第三章 函数极限与连续函数
§ 1 函数极限函数极限的定义在半径为 r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为
2 x,则圆弧长度为 2 xr,而圆弧所对的弦的长度为 2 s inrx,弦长与弧长之比值
y
是 x 的函数，其关系式为
y
x
x
s in 。
猜想：当 x 趋于 0 时，
y
x
x
s in 趋于 1 。
以后将对这一极限给出严格证明，并记为
lim
x? 0
s i n x
x
1
。
注意：在 x 趋于 0 的过程中，不取 0x? （事实上，当 0x? 时，函数
s i n x
x
没有定义）。我们关 心的是在 x 趋于 0 的过程中，函数
y
x
x
s in 的变化趋势，而不关心函数在 0x? 处是否有定义，如果有定义的话函数值为多少。
定义 3.1.1 设函数
y f x? ( )
在点
x 0
的某个去心邻域中有定义，
即存在
＞ 0,使
00(,) \ { }O x x D f
。
如果存在实数 A,对于任意给定的
0
，可以找到
0
，使得当
00 | |xx
时，成立
| ( ) |f x A
,
则称 A 是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，记为
lim
x x? 0
f x( )
A?,
或
f x( )?
A ( x?
x 0
) 。
如果不存在具有上述性质的实数 A,则称函数
f x( )
在点
x 0
的极限不存在。
函数极限定义的符号表述,
limx x? 0 f x( ) = A 0,0,x? ( 00 | |xx ),| ( ) |f x A 。
定义 3.1.1 设函数
y f x? ( )
在点
x 0
的某个去心邻域中有定义，
即存在
＞ 0,使
00(,) \ { }O x x D f
。
如果存在实数 A,对于任意给定的
0
，可以找到
0
，使得当
00 | |xx
时，成立
| ( ) |f x A
,
则称 A 是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，记为
lim
x x? 0
f x( )
A?,
或
f x( )?
A ( x?
x 0
) 。
如果不存在具有上述性质的实数 A,则称函数
f x( )
在点
x 0
的极限不存在。
例 3,1,1 证明
0
l im e 1x
x?
。
证?
0
( 不妨设
01
),要找
0
，使得当
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜ 。
上式等价于
l n ( 1 ) x l n ( 1 )
,
取
m i n { )1ln (,l n ( 1 ) } 0
，当 x 满足
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜,
所以
lim
x? 0
e1x? 。
同样，对任意给定的 0,正数? 并不要求取最大的或最佳的值，
所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度放大技巧。
例 3,1,1 证明
0
l im e 1x
x?
。
证?
0
( 不妨设
01
),要找
0
，使得当
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜ 。
上式等价于
l n ( 1 ) x l n ( 1 )
,
取
m i n { )1ln (,l n ( 1 ) } 0
，当 x 满足
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜,
所以
lim
x? 0
e1x? 。
例 3.1.2 证明
2
2
l im 4
x
x
。
证 对任意给定的
0
，要找
0
，使得当
0 | 2 |x
时，成立
｜ 2
4x?
｜
。
因为｜ 2
4x?
｜ =
22 xx
,保留因子｜ x? 2 ｜，而将因子
｜ x? 2 ｜放大，为此加上条件
21x
,即
13 x
,
于是
25x
，从而有
2 4 5 2xx
。
取
m in
5
,1
，则当
02 x
时，成立
｜ 2
4x?
｜ =
22 xx 5
5
,
所以
2
2
l im 4
x
x
。
例 3.1.3 证明
lim
( )
x
x x
x?
1
2
1
1
=
1
2
。
证
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
| |
| |
x
x
1
2 1
,
保留因子
| |x? 1
，而将因子
1
2 1| |x?
放大。为此，加上条件
0 1 1x
，即
02 x
,
于是
11
2 | 1 | 2x
。
取
m i n 1,2
，则当
01 x
，成立
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
| |
| |
x
x
1
2 1
＜
1
2
2
,
所以
2
1
( 1 )
l i m
1x
xx
x?
1
2
。
函数极限的性质
(1 ) 极限的唯一性定理 3.1.1 设 A 与 B 都是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，则 AB? 。
证 根据函数极限的定义，可知,
0
，
1 0
，
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |
2
f x A
；
2 0
，
x
(
020 | |xx
),
| ( ) |
2
f x B
。
取
m in
{
12,
},当
00 | |xx
时,
| A - B |
| ( ) |f x A | ( ) |f x B
。
由于
可以任意接近于 0,可知 A = B 。
证毕
(2 ) 局部保序性定理 3.1.2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且 A? B,则存在
0
，
当
00 | |xx
时，成立
()fx? g x( )
。
证 取
0?
=
0
2
AB?
。由
lim
x x? 0
f x( )
= A,
1 0
，
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |f x A
0?
，从而
2
AB?
f x( )；
由
lim
x x? 0
g x( )
= B,
2 0
，
x
(
020 | |xx
),
| ( ) |g x B
0?
，从而
()gx? A B?
2
。
取
m in
{
12,
},当
00 | |xx
，成立
g x( )
2
AB?
f x( )
。
证毕推论 1 若
0)(l im
0
Axf
xx
,则存在 0,当
||0 0xx
时，成立
2
)(
A
xf?
。
证 由
Axf
xx
)(lim
0
及
AxfAxf )()(
,可知
Axf
xx
)(lim
0
。 令
2
)(
A
xg?
，由
A
A
2
及定理 3,1.2,可知存在 0,当
00 | |xx
时，成立
2
)(
A
xf?
。
推论 2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且存在 r ＞ 0,使得当
0 0| |x x r
时，成立
()gx? f x( )
,则
B? A 。
证 反证法。若 B? A,则由定理 3,1.2,存在 0,当
00 | |xx
时,
()gx? f x( )
。
取
m i n
{?,r },则当
00 | |xx
时，既有
()gx? f x( )
,又有
()gx? f x( )
，从而产生矛盾。
注意：既使将推论 2 的条件加强到当 0 0| |x x r时，成立
()gx? f x( ),也只能得到 BA? 的结论，而不能得到 BA? 的结论。
推论 2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且存在 r ＞ 0,使得当
0 0| |x x r
时，成立
()gx? f x( )
,则
B? A 。
证 反证法。若 B? A,则由定理 3,1.2,存在 0,当
00 | |xx
时,
()gx? f x( )
。
取
m i n
{?,r },则当
00 | |xx
时，既有
()gx? f x( )
,又有
()gx? f x( )
，从而产生矛盾。
推论 3 ( 局部有界性 ) 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,则存在 0,使得
f x( )
在
),( 0?xO
\ {
x 0
} 中有界 。
证 取常数 M 与 m,满足 m A M,令
()g x m?
,
h x( )
= M 为两个常数函数，由定理 3,1.2 可知存在 0,当
00 | |xx
时，成立
m ()fx M 。
证毕
(3 ) 夹逼性定理 3.1.3 若存在
0r?
,使得当
0 0| |x x r
时，成立
g x( ) ()fx h x( )
,
且
lim
x x? 0
g x( )
=
lim
x x? 0
h x( )
= A,则
lim
x x? 0
f x( )
= A 。
证?
0
，由
lim
x x? 0
h x( )
= A,可知
1 0
,
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |h x A
，从而
()hx? A；
由
lim
x x? 0
g x( )
= A,可知
2 0
，
x
(
020 | |xx
):
| ( ) |g x A
,
从而 A -
g x( )
。
取
m in
{
12,,r
},
x
(
00 | |xx
),
A ()gx f x( ) ()hx A
,
所以
lim
x x? 0
f x( )
= A 。
证毕例 3.1.4 证明,
lim
x? 0
s i n x
x
1
证 （图 3,1.2 ）设∠ AOB 的弧度为
π
,0
2
xx
，由于
△ OAB 面积＜扇形 OAB 面积＜△ OBC 面积,
得到
si n ta nx x x
,
π
0
2
x
。
从而
sin
co s 1
x
x
x
,
π
0
2
x
。
显然上式对于
π
0
2
x
也成立。由于
c o s 1x 22 si n
2
x
x
2
2
,
可知
0
l i m co s 1
x
x
。应用极限的夹逼性，得到
lim
x? 0
s i n x
x
1
。
y
C
A
O B x
图 3,1.2
注 此极限亦可由例 2.4.5 的结果
lim
n
sin ( π )
1
π
n
n
直接导出：对任意
π π
,{ 0 }
22
x
\
，一定存在正整数 n,满足
π π
||
1
x
nn
,
由此得到
s in [ π ( 1 ) ]
π ( 1 ) 1
nn
nn
s i n x
x
s i n ( π )1
π
nn
nn
。
当 x? 0 时有 n,利用极限的夹逼性，即有
lim
x? 0
s in x
x? 1 。
函数极限的四则运算定理 3.1.4 设
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,则
( I )
lim
x x? 0
(
()fx?
+
()gx?
)=? A +
B (?,
是常数 ) ；
( II )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)= AB ；
( III )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
= A
B
( B ≠ 0) 。
证 由
limx x?
0
f x( ) = A,可知? 0 0,x? ( 000 | |xx ),
| f x( ) | X?,
且? 0,?
1 0
,? x (
010 | |xx
),
| ()f x A? | ；
再由
limx x?
0
g x( ) = B,可知? 2 0,x? ( 020 | |xx ),
()g x B
。
函数极限的四则运算定理 3.1.4 设
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,则
( I )
lim
x x? 0
(
()fx?
+
()gx?
)=? A +
B (?,
是常数 ) ；
( II )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)= AB ；
( III )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
= A
B
( B ≠ 0) 。
取
0 1 2m i n (,,)
，则 x? (
00 | |xx
),
| ( ()fx? + ()gx? ) - (? A +? B ) ｜? ||? )(| xf? - A ｜ + ||? )(| xg? - B |
()
及
| f x( ) g x( ) - AB | = | ( f x( ) ( g x( ) - B ) + B ( f x( ) - A ) |
()XB
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
利用定理 3,1.2 的推论 1,可知?
* 0
，
x
(
0*0 | |xx
),
()gx? | |B
2
。
取
* 1 2m i n (,,)
,
x
(
00 | |xx
),
()
()
f x A
g x B
)(
))(())((
xBg
BxgAAxfB
2
2 ( | | | |)
||
AB
B
,
因此 ( III ) 也成立。
证毕取
0 1 2m i n (,,)
，则 x? (
00 | |xx
),
| ( ()fx? + ()gx? ) - (? A +? B ) ｜? ||? )(| xf? - A ｜ + ||? )(| xg? - B |
()
及
| f x( ) g x( ) - AB | = | ( f x( ) ( g x( ) - B ) + B ( f x( ) - A ) |
()XB
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
例 3.1.5 对于任意实数 0,有
limx? 0 sin xx?
=
limx? 0 sin() xx
=? ；
对于任意实数,0,则有
limx? 0 s i n
s i n
x
x
=
limx? 0
( sin x
x
／ sin x
x
) =?
。
函数极限与数列极限的关系定理 3.1.5 （ Heine 定理）
limx x?
0
f x( ) = A 的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
,且
nx? x 0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 成立
limn f x n( )
= A 。
函数极限与数列极限的关系定理 3.1.5 （ Heine 定理）
limx x?
0
f x( ) = A 的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
,且
nx? x 0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 成立
limn f x n( )
= A 。
证 必要性,
由
lim
x x? 0
f x( )
= A,可知? 0,? 0,
x
(
00 | |xx
),
|
()f x A?
| ＜? 。
因为
lim
n
x n
=
x 0
，且
x n
≠
x 0
(
n? 1 2 3,,,?
),对于上述 0,
N
，
n N
,
00 | |nxx
。
于是当 nN? 时，成立
|
() nf x A?
|,
即
lim
n
f x n( )
= A 。
充分性：用反证法。
按函数极限定义，命题“
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限”可以表述为,
0,? 0,
x
(
00 | |xx
),
| ( ) |f x A
。
于是它的否定命题“
f x( )
在
x 0
点不以 A 为极限”可以对偶地表述为,
0 0
,? 0,? x (
00 | |xx
),
0| ( ) |f x A
。
取一列 {
n?
},
1
n
n
（
n? 1 2 3,,,?
）。
对
1 1
,存在
x 1
(
1 0 10 | |xx
),使
10| ( ) |f x A；
对
2?
= 1
2
,存在
x 2
(
2 0 20 | |xx
),使
20| ( ) |f x A；
,
一般地，对
k?
= 1
k
，存在
x k
(
00 | |kkxx
),使
0| ( ) |kf x A；
。
于是得到数列 {
x n
},满足
nx? x 0
，
lim
n
x n
=
x 0
，但相应的函数值数列
{
f x n( )
} 不可能以 A 为极限。
由此推翻假定，得到
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限。
证毕这一性质被经常用于证明某个函数极限的不存在性。
一般地，对
k?
= 1
k
，存在
x k
(
00 | |kkxx
),使
0| ( ) |kf x A；
。
于是得到数列 {
x n
},满足
nx? x 0
，
lim
n
x n
=
x 0
，但相应的函数值数列
{
f x n( )
} 不可能以 A 为极限。
由此推翻假定，得到
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限。
证毕例 3.1.6 证明
1
s i n
x
在 0x? 没有极限。
证 取
x n( )1
= 1
n?
(
n? 1 2 3,,,?
) ；
x n( )2
=
1
2
2
n?
(
n? 1 2 3,,,?
) 。
则显然有
( 1 ) 0
nx?
，
lim
n
( 1 ) 0
nx?
与
( 2 ) 0
nx?
，
lim
n
( 2 ) 0
nx?
。但由于
lim
n ( 1 )
1
s i n 0
nx
，
而
lim
n ( 2 )
1
si n 1
nx
,根据定理 3,1.5,可知
1
s i n
x
在 0x? 没有极限。
x
定理 3.1.5 ′
limx x?
0
f x( ) 存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
且 x
n
≠ x
0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 收敛 。
单侧极限定义 3.1.2 设
f x( )
在 (
0x?
,
0x
) 有定义（
0
）。如果存在实数 B,对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
0 0xx
时，
成立
| ( ) |f x B
,
则称 B 是函数
f x( )
在点
0x
的 左极限,记为
0
l i m
xx
)( xf 0()f x B
。
类似地，如果 f x( ) 在 ( x
0
,x
0
+? ) 有定义（ 0 ）。并且存在实数 C,
对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
00 xx
时，成立
| ( ) |f x C,
则称 C 是函数 f x( ) 在点 x
0
的 右极限,记为
limx x0
f x( ) 0()f x C 。
单侧极限定义 3.1.2 设
f x( )
在 (
0x?
,
0x
) 有定义（
0
）。如果存在实数 B,对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
0 0xx
时，
成立
| ( ) |f x B
,
则称 B 是函数
f x( )
在点
0x
的 左极限,记为
0
l i m
xx
)( xf 0()f x B
。
显然，函数 f x( ) 在 x
0
极限存在的充分必要条件是 f x( ) 在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
limx x? 0 ()f x A limx x0 f x( ) 0l i mxx ()f x A?
。
例 3.1.7 符号函数 s g n x 在原点的单侧极限存在但不相等,
0l i mx
s g n 1x,
0l i mx
s g n 1x?,
因此符号函数在 0x? 处没有极限。
显然，函数 f x( ) 在 x
0
极限存在的充分必要条件是 f x( ) 在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
limx x? 0 ()f x A limx x0 f x( ) 0l i mxx ()f x A?
。
例 3.1.8 设
.0,c o s2
,0,
2s in
)(
2
xx
x
x
x
xf
问当 x 趋于 0 时，
)( xf
的极限是否存在？
解 由于
2
2s i n
l i m)(l i m
00
x
x
xf
xx
，
2c o s2l im)(l im 2
00
xxf
xx
,
因此当 x 趋于 0 时，
)( xf
的极限存在，且
2)(lim
0
xf
x
。
函数极限定义的扩充函数极限
limx x?
0
()f x A? 可表述为,
0,? 0,? x (
00 | |xx
),| ( ) |f x A,
其中
0,xA
都是有限实数。
但实际上，自变量的极限过程有六种情况,
0xx?
、
x 0
+,
0x
,?,+?,,
函数值的极限有四种情况,
()f x A?
,?,+?, 。
经过分析，可以发现,
,? 0,?：
| ( ) |f x A
” 描述的是函数值的极限情况,
“
()f x A?
”；
“?,? 0,
x
(
00 | |xx
),?”描述的是自变量的极限过程“
0xx?
”。
函数极限定义的扩充函数极限
limx x?
0
()f x A? 可表述为,
0,? 0,? x (
00 | |xx
),| ( ) |f x A,
其中
0,xA
都是有限实数。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程，分别有相应的表述方式,
,()f x A? ( 有限数 ),：,? 0,?,| ( ) |f x A,；
,f x( ),,,0G,?,| ( ) |f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G,；
以及
,
0xx?
”,,
0,0,( 0 | | ),x x x
” ；
,
0xx
”,,
0,0,( 0 ),x x x
”；
,
0xx
”,,
0,0,( 0 ),x x x
”；
,x,,,,0,( | | ),X x x X”；
,x,,,,0,( ),X x x X”；
,x,,,,0,( ),X x x X”。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程，分别有相应的表述方式,
,()f x A? ( 有限数 ),：,? 0,?,| ( ) |f x A,；
,f x( ),,,0G,?,| ( ) |f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G,；
于是任何一种函数极限立即可以写出相应的定义。例如,
lim
x x0
f x( )
=? 的定义为,
0G,? 0,x? （
00 xx
）：
| ( ) |f x G?；
lim
x
()f x A?
的定义为,
0,
0X
,x? （ xX? ）：
| ( ) |f x A；
lim
x
f x( )
= +? 的定 义为,
0G,
0X
,x? （ xX ）：
()f x G?
。
例 3.1.9 证明
limx
e0x? 。
证 对于任意给定的 )1,0(,取 1
l n 0X
，当 xX 时,
成立
0e x e X,
于是得到
limx
e0x? 。
例 3.1.10 证明
lim
x1
2
1
x
x
。
证 对于任意给定的
0G?
，要找
0
，使当 -
10x
时,
成立
2
1
x
x
G?
。
为了适度放大不等式的左边,先加 上条件
2
1
10x
，于是
2x? 1
4
，从而 2
1
x
x
1
4 1( )x?
。
令
min
G4
1
,
2
1
，则当 -
10x
时
x
x
2
1?
1
4 ( 1 )x
1
4
G
。
由此证得
lim
x1
2
1
x
x
。 证毕例 3.1.11 由
l i m e 0nn
与
l im e nn
，以及函数 e x 的单调性，可知函数 ()fx? e 1x ( 图 3.1.4) 在 0x? 的左极限存在，且
limx0
1e0
x? ；而当
0x 时，函数 f x( ) 趋于,即 f x( ) 在 0x? 的右极限不存在。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
(2 ) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如,
)()(,( ) ( ),0,0
0
,?
等等，定理 3,1,4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
(3 ) 对于这些不同的函数极限，分别有相应的 H e i n e 定理，它们的叙述、证明方法和作用都是类似的。
(2 ) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如,
)()(,( ) ( ),0,0
0
,?
等等，定理 3,1,4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
例 3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
L
1
1
1
1lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
l
1
1
1
1
0
li m
,
其中
a n
，
ka
，
b m
，
jb
都是非零实数。
例 3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
L
1
1
1
1lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
l
1
1
1
1
0
li m
,
其中
a n
，
ka
，
b m
，
jb
都是非零实数。
解 （ 1 ）x 情形。
当 nm? 时,
L =
limx
jn
jn
n
kn
kn
n
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
1
1
n
n
a
b；
当 nm? 时,
L =
limx
1
1
1
0
nk
n nk
mn
jm
m mj
aa
a
xx
bbx
b
xx
；
当 nm? 时,
L =
limx
jm
jm
m
kn
kn
n
mn
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
1
1
。
（ 2 ） 0?x 情形。
当
jk?
时,
k
k
k
km
m
km
m
k
kn
n
kn
n
x b
a
bxbxb
axaxa
l?
1
1
1
1
0
lim；
当
jk?
时,
0lim
1
1
1
1
0
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
njk
x bxbxb
axaxa
xl
；
当
jk?
时,
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
n
kj
x bxbxb
axaxa
x
l
1
1
1
1
0
1
lim
。
所以
1
1
1
1
l i m
n n k
n n k
m m jx
m m j
a x a x a x
L
b x b x b x
;,
,,0
,,
mn
mn
mn
b
a
n
n
1
1
10
1
l i m
n n k
n n k
m m jx
m m j
a x a x a x
l
b x b x b x
.,
,,0
,,
jk
jk
jk
b
a
k
k
例 3.1.13
lim
x
1
1e
x
x
。
证 先证
lim
x
1
1e
x
x
。首先，对于任意
1x?
，有
[]
1
1
[ ] 1
x
x
1
1
x
x
1][
][
1
1
x
x
,
其中
[]x
表示
x
的整数 部分。当
x
时，不等式左、右两侧表现为两个数列极限
lim
n
1
1e
1
n
n
与
lim
n
1
1
1e
n
n
。
利用函数极限的夹逼性，得到
lim
x
1
1e
x
x
。
再证
lim
x
1
1e
x
x
。为此令
yx
,于是当x 时，
y
，
从而
lim
x
1
1
x
x
lim
y
1
1
y
y
lim
y
1
11
1 1 e
11
y
yy
。
将
lim
x
1
1e
x
x
与
x
l i m
1
1e
x
x
结合起来，就得到
lim
x
1
1e
x
x
。
注 上例的证明中包含下述结果,
lim
x
11
1
e
x
x
。
对各种函数极限的情况，同样有相应的 Cauchy 收敛原理，在证明中需要用到相应的 Heine 定理，下面仅举一例。
定理 3.1.6 函数极限
lim
x
f x( )
存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0,存在 0X?,使得 对一切?x,x X?,成立
| ( ) ( ) |f x f x
。
证 先证必要性。设
lim
x
()f x A?
，则? 0,0X,x,xX,
| ( ) |f x A
2
,
| ( ) |f x A
2
,
于是
| ( ) ( ) |f x f x| ( ) |f x A | ( ) |f x A
。
再证充分性。设? 0,0X,x,xX,
| ( ) ( ) |f x f x
。
任意选取数列 {
x n
},
limn nx?
,则对上述 0X?,? N,n N,
nxX?
。于是当 m n N 时，成立
| ( ) ( ) |nmf x f x
。
这说明函数值数列 {
f x n( )
} 是基本数列，因而必定收敛。根据相应的 H ei n e 定理，可知
limx f x( )
存在而且有限。
定理 3.1.6 函数极限
lim
x
f x( )
存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0,存在 0X?,使得 对一切?x,x X?,成立
| ( ) ( ) |f x f x
。
证 先证必要性。设
lim
x
()f x A?
，则? 0,0X,x,xX,
| ( ) |f x A
2
,
| ( ) |f x A
2
,
于是
| ( ) ( ) |f x f x| ( ) |f x A | ( ) |f x A
。
§ 1 函数极限函数极限的定义在半径为 r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为
2 x,则圆弧长度为 2 xr,而圆弧所对的弦的长度为 2 s inrx,弦长与弧长之比值
y
是 x 的函数，其关系式为
y
x
x
s in 。
猜想：当 x 趋于 0 时，
y
x
x
s in 趋于 1 。
以后将对这一极限给出严格证明，并记为
lim
x? 0
s i n x
x
1
。
注意：在 x 趋于 0 的过程中，不取 0x? （事实上，当 0x? 时，函数
s i n x
x
没有定义）。我们关 心的是在 x 趋于 0 的过程中，函数
y
x
x
s in 的变化趋势，而不关心函数在 0x? 处是否有定义，如果有定义的话函数值为多少。
定义 3.1.1 设函数
y f x? ( )
在点
x 0
的某个去心邻域中有定义，
即存在
＞ 0,使
00(,) \ { }O x x D f
。
如果存在实数 A,对于任意给定的
0
，可以找到
0
，使得当
00 | |xx
时，成立
| ( ) |f x A
,
则称 A 是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，记为
lim
x x? 0
f x( )
A?,
或
f x( )?
A ( x?
x 0
) 。
如果不存在具有上述性质的实数 A,则称函数
f x( )
在点
x 0
的极限不存在。
函数极限定义的符号表述,
limx x? 0 f x( ) = A 0,0,x? ( 00 | |xx ),| ( ) |f x A 。
定义 3.1.1 设函数
y f x? ( )
在点
x 0
的某个去心邻域中有定义，
即存在
＞ 0,使
00(,) \ { }O x x D f
。
如果存在实数 A,对于任意给定的
0
，可以找到
0
，使得当
00 | |xx
时，成立
| ( ) |f x A
,
则称 A 是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，记为
lim
x x? 0
f x( )
A?,
或
f x( )?
A ( x?
x 0
) 。
如果不存在具有上述性质的实数 A,则称函数
f x( )
在点
x 0
的极限不存在。
例 3,1,1 证明
0
l im e 1x
x?
。
证?
0
( 不妨设
01
),要找
0
，使得当
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜ 。
上式等价于
l n ( 1 ) x l n ( 1 )
,
取
m i n { )1ln (,l n ( 1 ) } 0
，当 x 满足
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜,
所以
lim
x? 0
e1x? 。
同样，对任意给定的 0,正数? 并不要求取最大的或最佳的值，
所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度放大技巧。
例 3,1,1 证明
0
l im e 1x
x?
。
证?
0
( 不妨设
01
),要找
0
，使得当
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜ 。
上式等价于
l n ( 1 ) x l n ( 1 )
,
取
m i n { )1ln (,l n ( 1 ) } 0
，当 x 满足
0 x
时，成立
｜ e1x? ｜,
所以
lim
x? 0
e1x? 。
例 3.1.2 证明
2
2
l im 4
x
x
。
证 对任意给定的
0
，要找
0
，使得当
0 | 2 |x
时，成立
｜ 2
4x?
｜
。
因为｜ 2
4x?
｜ =
22 xx
,保留因子｜ x? 2 ｜，而将因子
｜ x? 2 ｜放大，为此加上条件
21x
,即
13 x
,
于是
25x
，从而有
2 4 5 2xx
。
取
m in
5
,1
，则当
02 x
时，成立
｜ 2
4x?
｜ =
22 xx 5
5
,
所以
2
2
l im 4
x
x
。
例 3.1.3 证明
lim
( )
x
x x
x?
1
2
1
1
=
1
2
。
证
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
| |
| |
x
x
1
2 1
,
保留因子
| |x? 1
，而将因子
1
2 1| |x?
放大。为此，加上条件
0 1 1x
，即
02 x
,
于是
11
2 | 1 | 2x
。
取
m i n 1,2
，则当
01 x
，成立
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
| |
| |
x
x
1
2 1
＜
1
2
2
,
所以
2
1
( 1 )
l i m
1x
xx
x?
1
2
。
函数极限的性质
(1 ) 极限的唯一性定理 3.1.1 设 A 与 B 都是函数
f x( )
在点
x 0
的极限，则 AB? 。
证 根据函数极限的定义，可知,
0
，
1 0
，
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |
2
f x A
；
2 0
，
x
(
020 | |xx
),
| ( ) |
2
f x B
。
取
m in
{
12,
},当
00 | |xx
时,
| A - B |
| ( ) |f x A | ( ) |f x B
。
由于
可以任意接近于 0,可知 A = B 。
证毕
(2 ) 局部保序性定理 3.1.2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且 A? B,则存在
0
，
当
00 | |xx
时，成立
()fx? g x( )
。
证 取
0?
=
0
2
AB?
。由
lim
x x? 0
f x( )
= A,
1 0
，
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |f x A
0?
，从而
2
AB?
f x( )；
由
lim
x x? 0
g x( )
= B,
2 0
，
x
(
020 | |xx
),
| ( ) |g x B
0?
，从而
()gx? A B?
2
。
取
m in
{
12,
},当
00 | |xx
，成立
g x( )
2
AB?
f x( )
。
证毕推论 1 若
0)(l im
0
Axf
xx
,则存在 0,当
||0 0xx
时，成立
2
)(
A
xf?
。
证 由
Axf
xx
)(lim
0
及
AxfAxf )()(
,可知
Axf
xx
)(lim
0
。 令
2
)(
A
xg?
，由
A
A
2
及定理 3,1.2,可知存在 0,当
00 | |xx
时，成立
2
)(
A
xf?
。
推论 2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且存在 r ＞ 0,使得当
0 0| |x x r
时，成立
()gx? f x( )
,则
B? A 。
证 反证法。若 B? A,则由定理 3,1.2,存在 0,当
00 | |xx
时,
()gx? f x( )
。
取
m i n
{?,r },则当
00 | |xx
时，既有
()gx? f x( )
,又有
()gx? f x( )
，从而产生矛盾。
注意：既使将推论 2 的条件加强到当 0 0| |x x r时，成立
()gx? f x( ),也只能得到 BA? 的结论，而不能得到 BA? 的结论。
推论 2 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,且存在 r ＞ 0,使得当
0 0| |x x r
时，成立
()gx? f x( )
,则
B? A 。
证 反证法。若 B? A,则由定理 3,1.2,存在 0,当
00 | |xx
时,
()gx? f x( )
。
取
m i n
{?,r },则当
00 | |xx
时，既有
()gx? f x( )
,又有
()gx? f x( )
，从而产生矛盾。
推论 3 ( 局部有界性 ) 若
lim
x x? 0
f x( )
= A,则存在 0,使得
f x( )
在
),( 0?xO
\ {
x 0
} 中有界 。
证 取常数 M 与 m,满足 m A M,令
()g x m?
,
h x( )
= M 为两个常数函数，由定理 3,1.2 可知存在 0,当
00 | |xx
时，成立
m ()fx M 。
证毕
(3 ) 夹逼性定理 3.1.3 若存在
0r?
,使得当
0 0| |x x r
时，成立
g x( ) ()fx h x( )
,
且
lim
x x? 0
g x( )
=
lim
x x? 0
h x( )
= A,则
lim
x x? 0
f x( )
= A 。
证?
0
，由
lim
x x? 0
h x( )
= A,可知
1 0
,
x
(
010 | |xx
),
| ( ) |h x A
，从而
()hx? A；
由
lim
x x? 0
g x( )
= A,可知
2 0
，
x
(
020 | |xx
):
| ( ) |g x A
,
从而 A -
g x( )
。
取
m in
{
12,,r
},
x
(
00 | |xx
),
A ()gx f x( ) ()hx A
,
所以
lim
x x? 0
f x( )
= A 。
证毕例 3.1.4 证明,
lim
x? 0
s i n x
x
1
证 （图 3,1.2 ）设∠ AOB 的弧度为
π
,0
2
xx
，由于
△ OAB 面积＜扇形 OAB 面积＜△ OBC 面积,
得到
si n ta nx x x
,
π
0
2
x
。
从而
sin
co s 1
x
x
x
,
π
0
2
x
。
显然上式对于
π
0
2
x
也成立。由于
c o s 1x 22 si n
2
x
x
2
2
,
可知
0
l i m co s 1
x
x
。应用极限的夹逼性，得到
lim
x? 0
s i n x
x
1
。
y
C
A
O B x
图 3,1.2
注 此极限亦可由例 2.4.5 的结果
lim
n
sin ( π )
1
π
n
n
直接导出：对任意
π π
,{ 0 }
22
x
\
，一定存在正整数 n,满足
π π
||
1
x
nn
,
由此得到
s in [ π ( 1 ) ]
π ( 1 ) 1
nn
nn
s i n x
x
s i n ( π )1
π
nn
nn
。
当 x? 0 时有 n,利用极限的夹逼性，即有
lim
x? 0
s in x
x? 1 。
函数极限的四则运算定理 3.1.4 设
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,则
( I )
lim
x x? 0
(
()fx?
+
()gx?
)=? A +
B (?,
是常数 ) ；
( II )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)= AB ；
( III )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
= A
B
( B ≠ 0) 。
证 由
limx x?
0
f x( ) = A,可知? 0 0,x? ( 000 | |xx ),
| f x( ) | X?,
且? 0,?
1 0
,? x (
010 | |xx
),
| ()f x A? | ；
再由
limx x?
0
g x( ) = B,可知? 2 0,x? ( 020 | |xx ),
()g x B
。
函数极限的四则运算定理 3.1.4 设
lim
x x? 0
f x( )
= A,
lim
x x? 0
g x( )
= B,则
( I )
lim
x x? 0
(
()fx?
+
()gx?
)=? A +
B (?,
是常数 ) ；
( II )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)= AB ；
( III )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
= A
B
( B ≠ 0) 。
取
0 1 2m i n (,,)
，则 x? (
00 | |xx
),
| ( ()fx? + ()gx? ) - (? A +? B ) ｜? ||? )(| xf? - A ｜ + ||? )(| xg? - B |
()
及
| f x( ) g x( ) - AB | = | ( f x( ) ( g x( ) - B ) + B ( f x( ) - A ) |
()XB
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
利用定理 3,1.2 的推论 1,可知?
* 0
，
x
(
0*0 | |xx
),
()gx? | |B
2
。
取
* 1 2m i n (,,)
,
x
(
00 | |xx
),
()
()
f x A
g x B
)(
))(())((
xBg
BxgAAxfB
2
2 ( | | | |)
||
AB
B
,
因此 ( III ) 也成立。
证毕取
0 1 2m i n (,,)
，则 x? (
00 | |xx
),
| ( ()fx? + ()gx? ) - (? A +? B ) ｜? ||? )(| xf? - A ｜ + ||? )(| xg? - B |
()
及
| f x( ) g x( ) - AB | = | ( f x( ) ( g x( ) - B ) + B ( f x( ) - A ) |
()XB
,
因此 ( I ) 和 ( II ) 成立。
例 3.1.5 对于任意实数 0,有
limx? 0 sin xx?
=
limx? 0 sin() xx
=? ；
对于任意实数,0,则有
limx? 0 s i n
s i n
x
x
=
limx? 0
( sin x
x
／ sin x
x
) =?
。
函数极限与数列极限的关系定理 3.1.5 （ Heine 定理）
limx x?
0
f x( ) = A 的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
,且
nx? x 0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 成立
limn f x n( )
= A 。
函数极限与数列极限的关系定理 3.1.5 （ Heine 定理）
limx x?
0
f x( ) = A 的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
,且
nx? x 0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 成立
limn f x n( )
= A 。
证 必要性,
由
lim
x x? 0
f x( )
= A,可知? 0,? 0,
x
(
00 | |xx
),
|
()f x A?
| ＜? 。
因为
lim
n
x n
=
x 0
，且
x n
≠
x 0
(
n? 1 2 3,,,?
),对于上述 0,
N
，
n N
,
00 | |nxx
。
于是当 nN? 时，成立
|
() nf x A?
|,
即
lim
n
f x n( )
= A 。
充分性：用反证法。
按函数极限定义，命题“
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限”可以表述为,
0,? 0,
x
(
00 | |xx
),
| ( ) |f x A
。
于是它的否定命题“
f x( )
在
x 0
点不以 A 为极限”可以对偶地表述为,
0 0
,? 0,? x (
00 | |xx
),
0| ( ) |f x A
。
取一列 {
n?
},
1
n
n
（
n? 1 2 3,,,?
）。
对
1 1
,存在
x 1
(
1 0 10 | |xx
),使
10| ( ) |f x A；
对
2?
= 1
2
,存在
x 2
(
2 0 20 | |xx
),使
20| ( ) |f x A；
,
一般地，对
k?
= 1
k
，存在
x k
(
00 | |kkxx
),使
0| ( ) |kf x A；
。
于是得到数列 {
x n
},满足
nx? x 0
，
lim
n
x n
=
x 0
，但相应的函数值数列
{
f x n( )
} 不可能以 A 为极限。
由此推翻假定，得到
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限。
证毕这一性质被经常用于证明某个函数极限的不存在性。
一般地，对
k?
= 1
k
，存在
x k
(
00 | |kkxx
),使
0| ( ) |kf x A；
。
于是得到数列 {
x n
},满足
nx? x 0
，
lim
n
x n
=
x 0
，但相应的函数值数列
{
f x n( )
} 不可能以 A 为极限。
由此推翻假定，得到
f x( )
在
x 0
点以 A 为极限。
证毕例 3.1.6 证明
1
s i n
x
在 0x? 没有极限。
证 取
x n( )1
= 1
n?
(
n? 1 2 3,,,?
) ；
x n( )2
=
1
2
2
n?
(
n? 1 2 3,,,?
) 。
则显然有
( 1 ) 0
nx?
，
lim
n
( 1 ) 0
nx?
与
( 2 ) 0
nx?
，
lim
n
( 2 ) 0
nx?
。但由于
lim
n ( 1 )
1
s i n 0
nx
，
而
lim
n ( 2 )
1
si n 1
nx
,根据定理 3,1.5,可知
1
s i n
x
在 0x? 没有极限。
x
定理 3.1.5 ′
limx x?
0
f x( ) 存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
limn x n
= x
0
且 x
n
≠ x
0
( n? 1 2 3,,,? ) 的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { f x
n( )
} 收敛 。
单侧极限定义 3.1.2 设
f x( )
在 (
0x?
,
0x
) 有定义（
0
）。如果存在实数 B,对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
0 0xx
时，
成立
| ( ) |f x B
,
则称 B 是函数
f x( )
在点
0x
的 左极限,记为
0
l i m
xx
)( xf 0()f x B
。
类似地，如果 f x( ) 在 ( x
0
,x
0
+? ) 有定义（ 0 ）。并且存在实数 C,
对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
00 xx
时，成立
| ( ) |f x C,
则称 C 是函数 f x( ) 在点 x
0
的 右极限,记为
limx x0
f x( ) 0()f x C 。
单侧极限定义 3.1.2 设
f x( )
在 (
0x?
,
0x
) 有定义（
0
）。如果存在实数 B,对于任意给定的 0,可以找到 0,使得当
0 0xx
时，
成立
| ( ) |f x B
,
则称 B 是函数
f x( )
在点
0x
的 左极限,记为
0
l i m
xx
)( xf 0()f x B
。
显然，函数 f x( ) 在 x
0
极限存在的充分必要条件是 f x( ) 在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
limx x? 0 ()f x A limx x0 f x( ) 0l i mxx ()f x A?
。
例 3.1.7 符号函数 s g n x 在原点的单侧极限存在但不相等,
0l i mx
s g n 1x,
0l i mx
s g n 1x?,
因此符号函数在 0x? 处没有极限。
显然，函数 f x( ) 在 x
0
极限存在的充分必要条件是 f x( ) 在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
limx x? 0 ()f x A limx x0 f x( ) 0l i mxx ()f x A?
。
例 3.1.8 设
.0,c o s2
,0,
2s in
)(
2
xx
x
x
x
xf
问当 x 趋于 0 时，
)( xf
的极限是否存在？
解 由于
2
2s i n
l i m)(l i m
00
x
x
xf
xx
，
2c o s2l im)(l im 2
00
xxf
xx
,
因此当 x 趋于 0 时，
)( xf
的极限存在，且
2)(lim
0
xf
x
。
函数极限定义的扩充函数极限
limx x?
0
()f x A? 可表述为,
0,? 0,? x (
00 | |xx
),| ( ) |f x A,
其中
0,xA
都是有限实数。
但实际上，自变量的极限过程有六种情况,
0xx?
、
x 0
+,
0x
,?,+?,,
函数值的极限有四种情况,
()f x A?
,?,+?, 。
经过分析，可以发现,
,? 0,?：
| ( ) |f x A
” 描述的是函数值的极限情况,
“
()f x A?
”；
“?,? 0,
x
(
00 | |xx
),?”描述的是自变量的极限过程“
0xx?
”。
函数极限定义的扩充函数极限
limx x?
0
()f x A? 可表述为,
0,? 0,? x (
00 | |xx
),| ( ) |f x A,
其中
0,xA
都是有限实数。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程，分别有相应的表述方式,
,()f x A? ( 有限数 ),：,? 0,?,| ( ) |f x A,；
,f x( ),,,0G,?,| ( ) |f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G,；
以及
,
0xx?
”,,
0,0,( 0 | | ),x x x
” ；
,
0xx
”,,
0,0,( 0 ),x x x
”；
,
0xx
”,,
0,0,( 0 ),x x x
”；
,x,,,,0,( | | ),X x x X”；
,x,,,,0,( ),X x x X”；
,x,,,,0,( ),X x x X”。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程，分别有相应的表述方式,
,()f x A? ( 有限数 ),：,? 0,?,| ( ) |f x A,；
,f x( ),,,0G,?,| ( ) |f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G?,；
,f x( ),,,0G,?,()f x G,；
于是任何一种函数极限立即可以写出相应的定义。例如,
lim
x x0
f x( )
=? 的定义为,
0G,? 0,x? （
00 xx
）：
| ( ) |f x G?；
lim
x
()f x A?
的定义为,
0,
0X
,x? （ xX? ）：
| ( ) |f x A；
lim
x
f x( )
= +? 的定 义为,
0G,
0X
,x? （ xX ）：
()f x G?
。
例 3.1.9 证明
limx
e0x? 。
证 对于任意给定的 )1,0(,取 1
l n 0X
，当 xX 时,
成立
0e x e X,
于是得到
limx
e0x? 。
例 3.1.10 证明
lim
x1
2
1
x
x
。
证 对于任意给定的
0G?
，要找
0
，使当 -
10x
时,
成立
2
1
x
x
G?
。
为了适度放大不等式的左边,先加 上条件
2
1
10x
，于是
2x? 1
4
，从而 2
1
x
x
1
4 1( )x?
。
令
min
G4
1
,
2
1
，则当 -
10x
时
x
x
2
1?
1
4 ( 1 )x
1
4
G
。
由此证得
lim
x1
2
1
x
x
。 证毕例 3.1.11 由
l i m e 0nn
与
l im e nn
，以及函数 e x 的单调性，可知函数 ()fx? e 1x ( 图 3.1.4) 在 0x? 的左极限存在，且
limx0
1e0
x? ；而当
0x 时，函数 f x( ) 趋于,即 f x( ) 在 0x? 的右极限不存在。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
(2 ) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如,
)()(,( ) ( ),0,0
0
,?
等等，定理 3,1,4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
(3 ) 对于这些不同的函数极限，分别有相应的 H e i n e 定理，它们的叙述、证明方法和作用都是类似的。
(2 ) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如,
)()(,( ) ( ),0,0
0
,?
等等，定理 3,1,4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 ( 1 ) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+? 与 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将? 与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +? 或,我们可以认为不等式 A ( A 为任意实数 ) 成立。
例 3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
L
1
1
1
1lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
l
1
1
1
1
0
li m
,
其中
a n
，
ka
，
b m
，
jb
都是非零实数。
例 3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
L
1
1
1
1lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x xbxbxb
xaxaxa
l
1
1
1
1
0
li m
,
其中
a n
，
ka
，
b m
，
jb
都是非零实数。
解 （ 1 ）x 情形。
当 nm? 时,
L =
limx
jn
jn
n
kn
kn
n
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
1
1
n
n
a
b；
当 nm? 时,
L =
limx
1
1
1
0
nk
n nk
mn
jm
m mj
aa
a
xx
bbx
b
xx
；
当 nm? 时,
L =
limx
jm
jm
m
kn
kn
n
mn
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
1
1
。
（ 2 ） 0?x 情形。
当
jk?
时,
k
k
k
km
m
km
m
k
kn
n
kn
n
x b
a
bxbxb
axaxa
l?
1
1
1
1
0
lim；
当
jk?
时,
0lim
1
1
1
1
0
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
njk
x bxbxb
axaxa
xl
；
当
jk?
时,
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
n
kj
x bxbxb
axaxa
x
l
1
1
1
1
0
1
lim
。
所以
1
1
1
1
l i m
n n k
n n k
m m jx
m m j
a x a x a x
L
b x b x b x
;,
,,0
,,
mn
mn
mn
b
a
n
n
1
1
10
1
l i m
n n k
n n k
m m jx
m m j
a x a x a x
l
b x b x b x
.,
,,0
,,
jk
jk
jk
b
a
k
k
例 3.1.13
lim
x
1
1e
x
x
。
证 先证
lim
x
1
1e
x
x
。首先，对于任意
1x?
，有
[]
1
1
[ ] 1
x
x
1
1
x
x
1][
][
1
1
x
x
,
其中
[]x
表示
x
的整数 部分。当
x
时，不等式左、右两侧表现为两个数列极限
lim
n
1
1e
1
n
n
与
lim
n
1
1
1e
n
n
。
利用函数极限的夹逼性，得到
lim
x
1
1e
x
x
。
再证
lim
x
1
1e
x
x
。为此令
yx
,于是当x 时，
y
，
从而
lim
x
1
1
x
x
lim
y
1
1
y
y
lim
y
1
11
1 1 e
11
y
yy
。
将
lim
x
1
1e
x
x
与
x
l i m
1
1e
x
x
结合起来，就得到
lim
x
1
1e
x
x
。
注 上例的证明中包含下述结果,
lim
x
11
1
e
x
x
。
对各种函数极限的情况，同样有相应的 Cauchy 收敛原理，在证明中需要用到相应的 Heine 定理，下面仅举一例。
定理 3.1.6 函数极限
lim
x
f x( )
存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0,存在 0X?,使得 对一切?x,x X?,成立
| ( ) ( ) |f x f x
。
证 先证必要性。设
lim
x
()f x A?
，则? 0,0X,x,xX,
| ( ) |f x A
2
,
| ( ) |f x A
2
,
于是
| ( ) ( ) |f x f x| ( ) |f x A | ( ) |f x A
。
再证充分性。设? 0,0X,x,xX,
| ( ) ( ) |f x f x
。
任意选取数列 {
x n
},
limn nx?
,则对上述 0X?,? N,n N,
nxX?
。于是当 m n N 时，成立
| ( ) ( ) |nmf x f x
。
这说明函数值数列 {
f x n( )
} 是基本数列，因而必定收敛。根据相应的 H ei n e 定理，可知
limx f x( )
存在而且有限。
定理 3.1.6 函数极限
lim
x
f x( )
存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0,存在 0X?,使得 对一切?x,x X?,成立
| ( ) ( ) |f x f x
。
证 先证必要性。设
lim
x
()f x A?
，则? 0,0X,x,xX,
| ( ) |f x A
2
,
| ( ) |f x A
2
,
于是
| ( ) ( ) |f x f x| ( ) |f x A | ( ) |f x A
。
