带 P eano 余项的 Taylor 公式定理 5,3,1 （ 带 P ea no 余项的 Ta y l o r 公式 ） 设
f x( )
在
x 0
处有 n 阶导数，则存在
x 0
的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x,成立
),()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中余项
r xn ( )
满足
))(()( 0 nn xxoxr
上述公式称为
f x( )
在
x x? 0
处的 带 P ea no 余项的 Ta y l o r 公式,它的前 n? 1 项组成的多项式
p xn ( )
=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
)(
2
0
0
000
称为
f x( )
的 n 次 Ta y l o r 多项式,余项
))(()( 0 nn xxoxr
称为 P ea no 余项 。
§ 3 Taylor公式和插值多项式证 考虑
)()( xfxr n
n
k
kk
xxxf
k0
00
)(
))((
!
1
，只要证明
))(()( 0 nn xxoxr
。显然
.0)()()()( 0)1(000 xrxrxrxr nnnnn?
反复应用 L ’ Hospital 法则，可得
0
lim
xx? n
n
xx
xr
)(
)(
0
=
0
lim
xx?
1
0
)(
)(
n
n
xxn
xr
0
lim
xx? 2
0
))(1(
)(
n
n
xxnn
xr
= …
=
0
lim
xx?
)(2)1(
)(
0
)1(
xxnn
xr
n
n
=
!
1
n 0
lim
xx
0
00
)(
0
)1()1(
))(()()(
xx
xxxfxfxf
nnn
=
!
1
n 0
lim
xx?
)(
)()(
0
)(
0
0
)1()1(
xf
xx
xfxf
n
nn
!
1
n
)()( 0)(0)( xfxf nn
0,
因此
))(()( 0 nn xxoxr
,
证毕带 L agrange 余项的 T aylor 公式定理 5.3,2 （ 带 L agran ge 余项的 T ayl o r 公式 ） 设
f x( )
在
],[ ba
上具有 n 阶连续导数，且在
),( ba
上有 n +1 阶导数。设
],[0 bax?
为一定点,则对于任意
bax,?
，成立
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中余项
r xn ( )
满足
( 1 )
1
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
f
r x x x
n
,
在 x 和
x 0
之间 。
上述公式称为
f x( )
在
x x? 0
处的 带 L agran ge 余项的 T ayl o r 公式 。 余项
( 1 )
1
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
f
r x x x
n
（
在 x 和
x 0
之间）
称为 L agran ge 余项 。
证 考虑辅助函数
)()( xftG
n
k
kk
txtf
k0
)(
))((
!
1
和
1)()( ntxtH
。
那么定理的结论 ( 即需要证明的 ) 就是
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
。
不妨设
xx?0
。则
)( tG
和
)( tH
在
],[ 0 xx
上连续，在
),( 0 xx
上可 导，且
n
n
tx
n
tf
tG )(
!
)(
)(
)1(
,
ntxntH ))(1()(
。
显然
)( tH?
在
),( 0 xx
上不等于零。因为
0)()( xHxG
，由 Cauchy 中值定理可得
)!1(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)1(
0
0
0
0
n
f
H
G
xHxH
xGxG
xH
xG
n
，
),( 0 xx
,
因此
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
。
证毕特别地，当 n? 0 时,定理 5.3,2 成为
00( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x
,
在 x 和
x 0
之间,
这恰为 L a g r a n g e 中值定理的结果。所以，带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式可以看成是 L a g r a n g e 中值定理的推广。
当
x x? 0
时，带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式蕴涵了带 P e a n o 余项的
T a y l or 公式。但采用带 P e a n o 余项的 T a y l or 公式时，对
f x( )
的要求比采用带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式时稍弱一些。
在实际使用时，经常将 T a y l or 公式写成（带 L a g r a n g e 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2?
1
)1(
)!1(
)(
n
n
x
n
xxf? （ ( 0,1 ) ）,
或是（带 P e a n o 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2?() nox?
的形式。
插值多项式和余项定义 5.3.1 设函数
)( xf
在
ba,
上的 m? 1 个互异点
mxxx,,,10?
上的函数值和若干阶导数值
)1,,1,0,,,2,1,0( )()( iij njmixf
是已知的，这里
1
0
nn
m
i
i
。
若存在一个 n 次多项式
)( xp n
，满足如下的 插值条件
p x f x i m j nn j i j i i( ) ( )( ) ( ) (,,,,,,,,,)0 1 2 0 1 2 1
,
则称
)( xp n
是
)( xf
在
ba,
上关于 插值 节 点 ( 一般就简称 节 点 )
mxxx,,,10?
的 n 次 插值多项式,而
r x f x p xn n( ) ( ) ( )
称为 插值余项 。
例如，若在
x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3
4 个点处 ( 即 m? 3 ),已知
f x( )
的 函数值和若干阶导数值如下表,
x 0
x 1
x 2
x 3
m j
j = 0
f x( )0
f x( )1
f x( )2
f x( )3
4
j = 1
f x( )0
─
f x( )2
f x( )3
3
j = 2
f x( )0
─
f x( )2
f x( )3
3
j = 3 ─ ─
f x( )2
— 1
n i
3 1 4 3
n1 11
这里,
n i
表示在点
x i
处所知道的值的个数，而
m j
表示已知 j 阶导数值的点的个数（为了叙 述问题方便，当
1m ax njn i
时，我们认为
m j
=0 ）。显然
m
j
j
n
0
1
1
0
nn
m
i
i
。
如果能找到一个 10 次多项式
p x10 ( )
，在这 4 个点处相应的 11 个值与上表相同,那么按 定义 5,3.1,它就是
f x( )
的 10 次插值多项式。
利用 Rol l e 定理，读者很容易自行证明下述结果,
引理 设函数
g x( )
在
],[ ba
上连续，在
),( ba
上可导，在
],[ ba
上的
l0
个不同的 点 上有
g x( )
=0,同时在其中的 l
1
个点上有
g x( )
= 0,则
g x( )
在
],[ ba 内至少有 l0 + l1 - 1 个不同的零点。
利用上述引理，即可导出下面的重要定理,
定理 5.3,3 （插值多项式的余项定理） 设
f x( )
在
],[ ba
上具有 n
阶连续导数，在
),( ba
上有 n +1 阶导数，且
)( xf
在
ba,
上的 m? 1 个互异点
mxxx,,,10?
上的函数值和若干阶导数值;1,,1,0,,,2,1,0( )()( iij njmixf
)1
0
nn
m
i
i
是已知的,则对于任意
bax,?
,上述插值问题有余项估计
m
i
n
i
n
nn
ixx
n
f
xpxfxr
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()()(
,
这里
是介于
x x x x xmm i n m i n (,,,)? 0 1?
和
x x x x xmm a x m a x (,,,)? 0 1?
之间的一个数（一般依赖于 x ） 。
证 设 x 是
ba,
中任一给定值。当 x 恰为某个插值 节 点时，余项估计式两端均为 0,结 论已经成立。
设
),,2,1,0( mixx i
,记 n? 1 次多项式
1
0
( ) ( )
i
m
n
ni
i
t t x?
,
作辅助函数
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
()
n
nn
n
t
t f t p t f x p x
x
,
则
()t?
在任意
x i
处的
j
阶导数值
(,,,)j n i0 1 1?
为
()
( ) ( ) ( ) 1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 0
()
j
j j j ni
i i n i n
n
x
x f x p x f x p x
x
；
此外，还有
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 0
()
n
nn
n
x
x f x p x f x p x
x
。
所以，使
0)(?t?
的点至少为
m 0 1?
个，而使得
0)()(?tj?
的点的个数至少为
m j
，
j n1 1,,?
。
由引理，在区间
[,]m in m a xx x
内，
()t
至少有
m m0 1?
个互异的零点；
()t
至少有
m m m0 1 2 1
个互异的零点；…… 。由数学归纳法，当
j n 1
时，在区间
baxx,],[ m a xm i n?
内，
() ()j t?
至少有
m j
l
l
j
1
0
个互异的零点。
当
j n 1
时,
m n m n n n
l
l
n
l
l
n
( ) ( )1 1 1 1
0
1
0
1
,
所以，至少应有 1 个点
m i n m a x(,)xx
，使得
( 1 ) ( ) 0n
。
因为
p tn ( )
是 n 次多项式，所以
p tn n( ( )1) 0
，而
1 ()n t
是 n +1 次的首一多项式（最高项系数为 1 的多项式），因此
( 1 )
1 ( ) ( 1 ) !
n
n tn?
，于是得到
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) !
0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
()
nn
n
n
n
f f x p x
x
,
也即
( 1 )
0
()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
i
n m
n
n n i
i
f
r x f x p x x x
n
。 证毕定理 5.3,4 满足上述插值条件的插值多项式存在且唯一 。
证 插值多项式的存在性可利用构造法证明（参见下面的例子，
此处从略）。
设
p xn ( )
和
q xn ( )
都是
)( xf
的 满足插值条件的 n 次多项式，考虑
p x q xn n( ) ( )?
。由插值条件，
x i
是它的
n i
重根，将
n i
重根视为
n i
个根，
则它共有
1
0
nn
m
i
i
个根。但
p x q xn n( ) ( )?
是不超过 n 次的多项式，由代数学基本定理，
p x q xn n( ) ( )?
只能恒为零，即
p x q xn n( ) ( )?
,
唯一性得证。
证毕
L agran ge 插值多项式和 T ayl o r 公式常用的插值多项式有多种类型，我们这里只介绍最重要的两种。
一、
n n n m nm0 1 1,
这时,n? 1 个插值条件均为函数值而不包括导数值，即
p xn ( )
满足
p x f xn i i( ) ( )?
,
i n? 0 1 2,,,,,?
由定理 5.3,3,它的插值余项为
( 1 )
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n n
ni
i
f
r x x x
n
,
m i n m a x(,)xx
。
下面我们用基函数法来具体构造这个多项式：如果能够找到一 组
n 次 多项式 q x
k ( )
，
k n? 0 1 2,,,,?
,满足
q xk i i k( )
,
这里
0,,
1,
ik
ik
ik
称为 K r o n e c k e r 记号 。 则容易验证,
p x f x q xn k k
k
n
( ) ( ) ( )?
0
就是满足条件的插值多项式。函数
{ ( )}q xk kn? 0
称为 基函数 。
利用上面已定义过 的 n? 1 次多项式
1 ()n x
以及插值条件，基函数
{ ( )}q xk kn? 0
可取为
0
1
1
0
()
()
()
( ) ( )
()
n
i
i
ik
n
k n
k n k
ki
i
ik
xx
x
qx
x x x
xx
,
k n? 0 1 2,,,,?
,
于是我们就得到了
f x( )
的 n 次插值多项式
n
k
n
ki
i ik
i
kn
xx
xx
xfxp
0 0
)(
)(
)()(
,
这被称为 L agr an ge 插值多项式 。
例 5.3.1 用
f x x( )?
的二次 L a g r a n g e 插值多项式计算
1 15.
的近似值。
解 取
x x x0 1 21 1 21 1 44,.,.
为插值 节 点，则函数
f x x( )?
相应的函数值为
f x f x f x( ),( ),,( ),0 1 21 1 1 1 2
,于是,由 L a g r a n g e 插值公式,
f x p x
x x x x x x
x x
( ) ( )
(,)(,)
(,)(,)
.
( )(,)
(,)(,,)
.
( )(,)
(,)(,,)
.,,
2
2
1
1 21 1 44
1 1 21 1 1 44
1 1
1 1 44
1 21 1 1 21 1 44
1 2
1 1 21
1 44 1 1 44 1 21
0 094108789 0 684170901 0 409937888,
将 x? 1 15,代进去，便得到
1 15.
的近似值
1 15 1 15 1 072275512,(,),p
,
它与准确值
0 7 2 3 8 0 5 3.115.1?
的差的绝对值 ( 称为 绝对误差 ) 约为
1 0 10 4,,而由插值余项估计公式，其误差约为
4
2
1077.2
)2.1)(1.1)(1(
16
1
)15.1(
xxx
r
n
,
可见其与理论结果非常吻合。
二、
n n m0 1 0,
这时，插值 节 点只剩下了一个
x 0
，而 n? 1 个插值条件成了这一点上的函数值与各阶导数值，即
p xn ( )
满足
p x f xn j j( ) ( )( ) ( )0 0?
,
j n? 0 1 2,,,,?
。
考虑 k 次多项式
q x
x x
k
k
k
( )
( )
!
0
,
k n? 0 1 2,,,,?
,
则显然有
()
0()
j
k j kqx
,
于是它们构成了一组基函数，作
p x f x q x
n
k
k
k
n
( ) ( ) ( )
( )
0
0
,
易知
p xn ( )
就是满足条件的插值多项式。
将上述表达式代入 f x p x r x
n n( ) ( ) ( )
，并利用定理 5.3,3 结果，便得到了定理 5.3,2 的结论，即带 L ag r an g e 余项的 Taylor 公式
，)()(! )()(!2 )())(()()( 00
)(
2
0
0
000 xrxxn
xfxxxfxxxfxfxf
n
n
n
其中 ( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fr x x x
n
（? 在 x 和 x
0
之间）。
例 5.3.2 用
f x x( )?
在
1?x
处的二次 T ay l o r 多项式计算
1 15.
的近似值,并将结果与例 5.3.1 相比较。
解 由于
f x x f x
x
f x
x x
( ),( ),( )
1
2
1
4
,
所以
f f f( ),( ),( )1 1 1
1
2
1
1
4
。
代入 T ay l o r 公式并取 n? 2,则得到
,
8
3
4
3
8
1
)1(
8
1
)1(
2
1
1)(
22
2
xxxxxpx
于是可算出
1 15 1 15 1 07218752,(,),p
。
它与准确值
0 7 2 3 8 0 5 3.115.1?
相比，绝对误差约为 1 9 10 4,,而此时的余项估计为
4
2
3
101.2
15.0
16
1
)15.1(
n
r
,
与理论结果也吻合得很好。
f x( )
在
x 0
处有 n 阶导数，则存在
x 0
的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x,成立
),()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中余项
r xn ( )
满足
))(()( 0 nn xxoxr
上述公式称为
f x( )
在
x x? 0
处的 带 P ea no 余项的 Ta y l o r 公式,它的前 n? 1 项组成的多项式
p xn ( )
=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
)(
2
0
0
000
称为
f x( )
的 n 次 Ta y l o r 多项式,余项
))(()( 0 nn xxoxr
称为 P ea no 余项 。
§ 3 Taylor公式和插值多项式证 考虑
)()( xfxr n
n
k
kk
xxxf
k0
00
)(
))((
!
1
，只要证明
))(()( 0 nn xxoxr
。显然
.0)()()()( 0)1(000 xrxrxrxr nnnnn?
反复应用 L ’ Hospital 法则，可得
0
lim
xx? n
n
xx
xr
)(
)(
0
=
0
lim
xx?
1
0
)(
)(
n
n
xxn
xr
0
lim
xx? 2
0
))(1(
)(
n
n
xxnn
xr
= …
=
0
lim
xx?
)(2)1(
)(
0
)1(
xxnn
xr
n
n
=
!
1
n 0
lim
xx
0
00
)(
0
)1()1(
))(()()(
xx
xxxfxfxf
nnn
=
!
1
n 0
lim
xx?
)(
)()(
0
)(
0
0
)1()1(
xf
xx
xfxf
n
nn
!
1
n
)()( 0)(0)( xfxf nn
0,
因此
))(()( 0 nn xxoxr
,
证毕带 L agrange 余项的 T aylor 公式定理 5.3,2 （ 带 L agran ge 余项的 T ayl o r 公式 ） 设
f x( )
在
],[ ba
上具有 n 阶连续导数，且在
),( ba
上有 n +1 阶导数。设
],[0 bax?
为一定点,则对于任意
bax,?
，成立
，)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xrxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中余项
r xn ( )
满足
( 1 )
1
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
f
r x x x
n
,
在 x 和
x 0
之间 。
上述公式称为
f x( )
在
x x? 0
处的 带 L agran ge 余项的 T ayl o r 公式 。 余项
( 1 )
1
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
f
r x x x
n
（
在 x 和
x 0
之间）
称为 L agran ge 余项 。
证 考虑辅助函数
)()( xftG
n
k
kk
txtf
k0
)(
))((
!
1
和
1)()( ntxtH
。
那么定理的结论 ( 即需要证明的 ) 就是
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
。
不妨设
xx?0
。则
)( tG
和
)( tH
在
],[ 0 xx
上连续，在
),( 0 xx
上可 导，且
n
n
tx
n
tf
tG )(
!
)(
)(
)1(
,
ntxntH ))(1()(
。
显然
)( tH?
在
),( 0 xx
上不等于零。因为
0)()( xHxG
，由 Cauchy 中值定理可得
)!1(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)1(
0
0
0
0
n
f
H
G
xHxH
xGxG
xH
xG
n
，
),( 0 xx
,
因此
)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
0
xH
n
f
xG
n
。
证毕特别地，当 n? 0 时,定理 5.3,2 成为
00( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x
,
在 x 和
x 0
之间,
这恰为 L a g r a n g e 中值定理的结果。所以，带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式可以看成是 L a g r a n g e 中值定理的推广。
当
x x? 0
时，带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式蕴涵了带 P e a n o 余项的
T a y l or 公式。但采用带 P e a n o 余项的 T a y l or 公式时，对
f x( )
的要求比采用带 L a g r a n g e 余项的 T a y l or 公式时稍弱一些。
在实际使用时，经常将 T a y l or 公式写成（带 L a g r a n g e 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2?
1
)1(
)!1(
)(
n
n
x
n
xxf? （ ( 0,1 ) ）,
或是（带 P e a n o 余项）
n
n
x
n
xf
x
xf
xxfxfxxf
!
)(
!2
)(
)()()(
)(
2?() nox?
的形式。
插值多项式和余项定义 5.3.1 设函数
)( xf
在
ba,
上的 m? 1 个互异点
mxxx,,,10?
上的函数值和若干阶导数值
)1,,1,0,,,2,1,0( )()( iij njmixf
是已知的，这里
1
0
nn
m
i
i
。
若存在一个 n 次多项式
)( xp n
，满足如下的 插值条件
p x f x i m j nn j i j i i( ) ( )( ) ( ) (,,,,,,,,,)0 1 2 0 1 2 1
,
则称
)( xp n
是
)( xf
在
ba,
上关于 插值 节 点 ( 一般就简称 节 点 )
mxxx,,,10?
的 n 次 插值多项式,而
r x f x p xn n( ) ( ) ( )
称为 插值余项 。
例如，若在
x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3
4 个点处 ( 即 m? 3 ),已知
f x( )
的 函数值和若干阶导数值如下表,
x 0
x 1
x 2
x 3
m j
j = 0
f x( )0
f x( )1
f x( )2
f x( )3
4
j = 1
f x( )0
─
f x( )2
f x( )3
3
j = 2
f x( )0
─
f x( )2
f x( )3
3
j = 3 ─ ─
f x( )2
— 1
n i
3 1 4 3
n1 11
这里,
n i
表示在点
x i
处所知道的值的个数，而
m j
表示已知 j 阶导数值的点的个数（为了叙 述问题方便，当
1m ax njn i
时，我们认为
m j
=0 ）。显然
m
j
j
n
0
1
1
0
nn
m
i
i
。
如果能找到一个 10 次多项式
p x10 ( )
，在这 4 个点处相应的 11 个值与上表相同,那么按 定义 5,3.1,它就是
f x( )
的 10 次插值多项式。
利用 Rol l e 定理，读者很容易自行证明下述结果,
引理 设函数
g x( )
在
],[ ba
上连续，在
),( ba
上可导，在
],[ ba
上的
l0
个不同的 点 上有
g x( )
=0,同时在其中的 l
1
个点上有
g x( )
= 0,则
g x( )
在
],[ ba 内至少有 l0 + l1 - 1 个不同的零点。
利用上述引理，即可导出下面的重要定理,
定理 5.3,3 （插值多项式的余项定理） 设
f x( )
在
],[ ba
上具有 n
阶连续导数，在
),( ba
上有 n +1 阶导数，且
)( xf
在
ba,
上的 m? 1 个互异点
mxxx,,,10?
上的函数值和若干阶导数值;1,,1,0,,,2,1,0( )()( iij njmixf
)1
0
nn
m
i
i
是已知的,则对于任意
bax,?
,上述插值问题有余项估计
m
i
n
i
n
nn
ixx
n
f
xpxfxr
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()()(
,
这里
是介于
x x x x xmm i n m i n (,,,)? 0 1?
和
x x x x xmm a x m a x (,,,)? 0 1?
之间的一个数（一般依赖于 x ） 。
证 设 x 是
ba,
中任一给定值。当 x 恰为某个插值 节 点时，余项估计式两端均为 0,结 论已经成立。
设
),,2,1,0( mixx i
,记 n? 1 次多项式
1
0
( ) ( )
i
m
n
ni
i
t t x?
,
作辅助函数
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
()
n
nn
n
t
t f t p t f x p x
x
,
则
()t?
在任意
x i
处的
j
阶导数值
(,,,)j n i0 1 1?
为
()
( ) ( ) ( ) 1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 0
()
j
j j j ni
i i n i n
n
x
x f x p x f x p x
x
；
此外，还有
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 0
()
n
nn
n
x
x f x p x f x p x
x
。
所以，使
0)(?t?
的点至少为
m 0 1?
个，而使得
0)()(?tj?
的点的个数至少为
m j
，
j n1 1,,?
。
由引理，在区间
[,]m in m a xx x
内，
()t
至少有
m m0 1?
个互异的零点；
()t
至少有
m m m0 1 2 1
个互异的零点；…… 。由数学归纳法，当
j n 1
时，在区间
baxx,],[ m a xm i n?
内，
() ()j t?
至少有
m j
l
l
j
1
0
个互异的零点。
当
j n 1
时,
m n m n n n
l
l
n
l
l
n
( ) ( )1 1 1 1
0
1
0
1
,
所以，至少应有 1 个点
m i n m a x(,)xx
，使得
( 1 ) ( ) 0n
。
因为
p tn ( )
是 n 次多项式，所以
p tn n( ( )1) 0
，而
1 ()n t
是 n +1 次的首一多项式（最高项系数为 1 的多项式），因此
( 1 )
1 ( ) ( 1 ) !
n
n tn?
，于是得到
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) !
0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
()
nn
n
n
n
f f x p x
x
,
也即
( 1 )
0
()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
i
n m
n
n n i
i
f
r x f x p x x x
n
。 证毕定理 5.3,4 满足上述插值条件的插值多项式存在且唯一 。
证 插值多项式的存在性可利用构造法证明（参见下面的例子，
此处从略）。
设
p xn ( )
和
q xn ( )
都是
)( xf
的 满足插值条件的 n 次多项式，考虑
p x q xn n( ) ( )?
。由插值条件，
x i
是它的
n i
重根，将
n i
重根视为
n i
个根，
则它共有
1
0
nn
m
i
i
个根。但
p x q xn n( ) ( )?
是不超过 n 次的多项式，由代数学基本定理，
p x q xn n( ) ( )?
只能恒为零，即
p x q xn n( ) ( )?
,
唯一性得证。
证毕
L agran ge 插值多项式和 T ayl o r 公式常用的插值多项式有多种类型，我们这里只介绍最重要的两种。
一、
n n n m nm0 1 1,
这时,n? 1 个插值条件均为函数值而不包括导数值，即
p xn ( )
满足
p x f xn i i( ) ( )?
,
i n? 0 1 2,,,,,?
由定理 5.3,3,它的插值余项为
( 1 )
0
()
( ) ( )
( 1 ) !
n n
ni
i
f
r x x x
n
,
m i n m a x(,)xx
。
下面我们用基函数法来具体构造这个多项式：如果能够找到一 组
n 次 多项式 q x
k ( )
，
k n? 0 1 2,,,,?
,满足
q xk i i k( )
,
这里
0,,
1,
ik
ik
ik
称为 K r o n e c k e r 记号 。 则容易验证,
p x f x q xn k k
k
n
( ) ( ) ( )?
0
就是满足条件的插值多项式。函数
{ ( )}q xk kn? 0
称为 基函数 。
利用上面已定义过 的 n? 1 次多项式
1 ()n x
以及插值条件，基函数
{ ( )}q xk kn? 0
可取为
0
1
1
0
()
()
()
( ) ( )
()
n
i
i
ik
n
k n
k n k
ki
i
ik
xx
x
qx
x x x
xx
,
k n? 0 1 2,,,,?
,
于是我们就得到了
f x( )
的 n 次插值多项式
n
k
n
ki
i ik
i
kn
xx
xx
xfxp
0 0
)(
)(
)()(
,
这被称为 L agr an ge 插值多项式 。
例 5.3.1 用
f x x( )?
的二次 L a g r a n g e 插值多项式计算
1 15.
的近似值。
解 取
x x x0 1 21 1 21 1 44,.,.
为插值 节 点，则函数
f x x( )?
相应的函数值为
f x f x f x( ),( ),,( ),0 1 21 1 1 1 2
,于是,由 L a g r a n g e 插值公式,
f x p x
x x x x x x
x x
( ) ( )
(,)(,)
(,)(,)
.
( )(,)
(,)(,,)
.
( )(,)
(,)(,,)
.,,
2
2
1
1 21 1 44
1 1 21 1 1 44
1 1
1 1 44
1 21 1 1 21 1 44
1 2
1 1 21
1 44 1 1 44 1 21
0 094108789 0 684170901 0 409937888,
将 x? 1 15,代进去，便得到
1 15.
的近似值
1 15 1 15 1 072275512,(,),p
,
它与准确值
0 7 2 3 8 0 5 3.115.1?
的差的绝对值 ( 称为 绝对误差 ) 约为
1 0 10 4,,而由插值余项估计公式，其误差约为
4
2
1077.2
)2.1)(1.1)(1(
16
1
)15.1(
xxx
r
n
,
可见其与理论结果非常吻合。
二、
n n m0 1 0,
这时，插值 节 点只剩下了一个
x 0
，而 n? 1 个插值条件成了这一点上的函数值与各阶导数值，即
p xn ( )
满足
p x f xn j j( ) ( )( ) ( )0 0?
,
j n? 0 1 2,,,,?
。
考虑 k 次多项式
q x
x x
k
k
k
( )
( )
!
0
,
k n? 0 1 2,,,,?
,
则显然有
()
0()
j
k j kqx
,
于是它们构成了一组基函数，作
p x f x q x
n
k
k
k
n
( ) ( ) ( )
( )
0
0
,
易知
p xn ( )
就是满足条件的插值多项式。
将上述表达式代入 f x p x r x
n n( ) ( ) ( )
，并利用定理 5.3,3 结果，便得到了定理 5.3,2 的结论，即带 L ag r an g e 余项的 Taylor 公式
，)()(! )()(!2 )())(()()( 00
)(
2
0
0
000 xrxxn
xfxxxfxxxfxfxf
n
n
n
其中 ( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fr x x x
n
（? 在 x 和 x
0
之间）。
例 5.3.2 用
f x x( )?
在
1?x
处的二次 T ay l o r 多项式计算
1 15.
的近似值,并将结果与例 5.3.1 相比较。
解 由于
f x x f x
x
f x
x x
( ),( ),( )
1
2
1
4
,
所以
f f f( ),( ),( )1 1 1
1
2
1
1
4
。
代入 T ay l o r 公式并取 n? 2,则得到
,
8
3
4
3
8
1
)1(
8
1
)1(
2
1
1)(
22
2
xxxxxpx
于是可算出
1 15 1 15 1 07218752,(,),p
。
它与准确值
0 7 2 3 8 0 5 3.115.1?
相比，绝对误差约为 1 9 10 4,,而此时的余项估计为
4
2
3
101.2
15.0
16
1
)15.1(
n
r
,
与理论结果也吻合得很好。
