本节介绍 函数微分的 一些应用,包括 极值和最值 问题,函数作图 以及 在 数学 建模 中的 应用 。
极值问题
f x( ) 的全部极值点必定都在使得f x( ) 0 和使得?f x( ) 不存在的点集之中 。使 0)( xf 的点称为 )( xf 的 驻点 。
§ 5 应用举例定理 5.5.1 （极值点判定定理） 设函数
)( xf
在
x 0
点的某一 邻 域中有定义，且
)( xf
在
x 0
点连续。
⑴ 设存在 0,使得
)( xf
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上可导,
(i) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，则
x 0
是
)( xf
的极大值点；
(ii) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，
则
x 0
是
)( xf
的极小值点；
(i ii) 若
f x( )
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上同号，则
x 0
不是
)( xf
的极值点。
⑵ 设 0)(
0 xf
，且 f x( ) 在 x
0
点二阶可导,
( i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
是 )( xf 的极大值点；
( i i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
是 )( xf 的极小值点；
( i i i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
可能是 )( xf 的极值点，也可能不是 )( xf
的极值点 。
定理 5.5.1 （极值点判定定理） 设函数
)( xf
在
x 0
点的某一 邻 域中有定义，且
)( xf
在
x 0
点连续。
⑴ 设存在 0,使得
)( xf
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上可导,
(i) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，则
x 0
是
)( xf
的极大值点；
(ii) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，
则
x 0
是
)( xf
的极小值点；
(i ii) 若
f x( )
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上同号，则
x 0
不是
)( xf
的极值点。
证 ( 1 ) 的结论显然，我们只证 ( 2 ) 。
因为
0( ) 0fx
,由 T ay l o r 公式
)()( 0xfxf f?
(
0x
)
!2
)(
)(
0
0
xf
xx
20 )( xx ))(( 20xxo?
)( 0xf
!2
)(
0
xf 2
0 )( xx ))((
2
0xxo?
得到
0
2
0
( ) ( )
()
f x f x
xx
2
0
2
0
0
)(
))((
)(
!2
1
xx
xxo
xf
。
因为当
0xx?
时上式右侧第二项趋于 0,所以当
0)( 0 xf
时，由极限的性质可知在
0x
点附近成立
0
)(
)()(
2
0
0
xx
xfxf
,
所以
)()( 0xfxf?
,
从而
)( xf
在
0x
取极大值。同样可讨论
0)( 0 xf
的情况。 证毕关于定理 5,5,1 中 ( 2 ) ( i i i ),可分别考察函数 4xy?,4xy 和
3xy? 。 0?x 是 4xy? 的极小值点，是 4xy 的极大值 点，而不是 3xy?
的极值点。但它们都满足 0)0(y 和 0)0(y 的条件。
例 5,5,1 求函数
3 22 )2()( xxxf
的极值。
解 函数
)( xf
的定义域为
),(
。由
)1()2(
3
4
)( 3
1
-
2
xxxxf
,
可知
)( xf
的驻点为 1?x,使得
)( xf?
不存在的点为 0?x 和 2?x 。由于
（ 1 ） 当 0 x 时，
0)( xf；
（ 2 ） 当 10 x 时，
0)( xf；
（ 3 ） 当 21 x 时，
0)( xf；
（ 4 ） 当 x2 时，
0)( xf
,
由 定理 5,5,1 中 (1) 的结论知
0)0(?f
是极小值，
1)1(?f
是极大值，
0)2(?f
是极小值。
关于定理 5,5,1 中 ( 2 ) ( i i i ),可分别考察函数 4xy?,4xy 和
3xy? 。 0?x 是 4xy? 的极小值点，是 4xy 的极大值 点，而不是 3xy?
的极值点。但它们都满足 0)0(y 和 0)0(y 的条件。
例 5,5,2 求函数
1)1()( 32 xxf
的极值。
解 函数
)( xf
的定义域为
),(
。计算得
22 )1(6)( xxxf
，
)15)(1(6)( 22 xxxf
。
显然
)( xf
的驻点为 0?x,1?x 和 1x 。由于
06)0(f
，所以 由 定理
5,5.1 中 (2) 的结论知
0)0(?f
是极小值。
由于
0)1(f
，不能用定理 5,5,1 中 ( 2 ) 的结论。 但由于
)( xf?
在
1?x 与 1x 的左、右两侧保持同号,由 定理 5,5,1 中 ( 1 ) 的结论，知 )1(f
和
)1(?f
都不是函数
)( xf
的极值。
最值问题闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。
函数的最大值与最 小值统称为函数的 最值，使函数取到 最大值
（或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数的最值点。
对于一个定义于闭区间
ba,
上的函数
f x( )
来说，区间的两个端点
a 与 b 有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间ba,的话,
那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有
)( xf
的驻点与使
f x( )
不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值的点就可以了。
例 5,5,3 求函数
3 22 )2()( xxxf
在区间
4,1?
上的最大值与最小值。
解 由 例 5,5,1,已知函数
)( xf
在区间
4,1?
上的极大值点为 1?x,
极大值为
1)1(?f
，极小值点为 0?x 与 2?x,两个极小值都为 0 。为了求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值
3 9)1(f
与
4)4(?f
。对这些值进行比较，就得到函数
)( xf
在区间
4,1?
上的最大值点为 4?x,最大值为
4)4(?f
，最小值点为 0?x 与 2?x,最小值为 0 。
例 5,5,4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？
解 设罐身的厚度为
，则顶盖的厚度是 3
。
记罐头的容积为 V,底面半径为 r,则高为
h
V
r
2
。于是，罐身的用料为
22
1
() π 2 π π 2,
V
U r r r h r
r
顶盖的用料为
2
2 ( ) 3 π,U r r
因此问题化为求函数
2
12
( ) ( ) ( ) 4 π 2
V
U r U r U r r
r
，
),0(r
的最小值。
对
U r( )
求导，
2
( ) 2 4 π
V
U r r
r
，因此
U r( )
只有唯一的零点
r
V
0
3
4
。由于
3
( ) 4 2 π 0
V
Ur
r
,
r(,)0
,
所以
r0
是
U r( )
的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
2 0
4
4
。
也就 是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。
对
U r( )
求导，
2
( ) 2 4 π
V
U r r
r
，因此
U r( )
只有唯一的零点
r
V
0
3
4
。由于
3
( ) 4 2 π 0
V
Ur
r
,
r(,)0
,
所以
r0
是
U r( )
的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
2 0
4
4
。
也就 是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
例 5,5,5 设一辆汽车在平原上的行驶速度为
v 1
，在草原上的行驶速度为
v 2
，现要求它以最短的时间从平原上的 A 点到达草原上的 B 点，
问应该怎么走？
解 显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从 A 到
B 的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。
设汽车的行驶路径如图 5,5,2 所示，那么它的整个行驶时间应为
T x
h x
v
h l x
v
( )
( )
1
2 2
1
2
2 2
2
。
由
22
22
22
11
)(
)(
xlhv
xl
xhv
x
xT
,
可知
0)0(T
，
0)( lT
。
x
A
B
平原草原
q1
q2
h1
h2
l
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1?
xlhv
h
xhv
h
xT
,
可知存在唯一的
),0(0 lx?
，使得
0)( 0 xT
。因此
x 0
是
T x( )
的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
v h x
l x
v h l x
0
1 1
2
0
2
0
2 2
2
0
2?
( )
。
由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的，即光线总是走“捷径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律
12
12
sin sin
vv
qq? 。
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1?
xlhv
h
xhv
h
xT
,
可知存在唯一的
),0(0 lx?
，使得
0)( 0 xT
。因此
x 0
是
T x( )
的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
v h x
l x
v h l x
0
1 1
2
0
2
0
2 2
2
0
2?
( )
。
例 5,5,6 对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要涉及 三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为
Q
，则总成本
)( QC
一般可以表示成两部分的和
QQvfQC )()(
。
这里，
f? 0
称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、
财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而
v Q Q( )?
称为可变成本（如原材料、能源 等），
v Q( )
是一个正值函数，表示在总共生产
Q
件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是
v Q v( )
正常数。
)( QC
的导数
)( QC?
称为 边际成本,其经济学意义是在总共生产
Q
件产品的情况下，生产第
Q
件产品的成本。
总收益
QQpQE )()(
是指把
Q
件产品销售出去后得到的收入，这里
p Q( )
称为价格函数，表示在总共生产
Q
件产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此
p Q( )
是
Q
的单调减少函数。
)( QE
的导数
)( QE?
相应地称为 边际收益,其经济学意义是在总共生产销售了
Q
件产品的情况下，销售出第
Q
件产品所得到的收入。
总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为
)( QP
，则
)()()( QCQEQP
,
当
)( QE
和
)( QC
二阶可导时，利用 L a g r a ng e 中值定理的推论 2,就可以得到经济学中的,最大利润原理,,
,当且仅当 边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。,
这里的第一个条件即为
0)()()( QCQEQP
,
而第二个条件可表示为
0)()()( QCQEQP
,
请读者自行思考它们的经济学意义。
比 如,某 产 品 的 价 格
( ),(,0,)ap Q a b Q a b Q
b
，成本
vQfQC)(
，于是利润
2( ) ( ) ( ) ( )P Q E Q C Q b Q a v Q f,
要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证 a v 0 。
容易算出，当产量
Q
a v
b0 2
时有 0)(
0 QP
和
0)( 0 QP
，这时所获取的利润为最大。
数学建模例 5,5,7 （ M a l thu s 人口模型） 设
p t( )
是 某地区的人口数量函数，
则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导数
p t( )
。
显然,某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就越多。 M al t h u s 假定这两者成比例关系，设比例系数为
，他在 1 7 9 8
年提出了人类历史上的第一个人口模型
00
( ) ( )
()
p t p t
p t p
,
将“
( ) ( )p t p t
”写成微分形式
t
p
p
d
d
，得到
ln p t C
,或
1 e
tpC
,
其中
C C1? e
。令
t t? 0
并利用 初 值 条件
p t p( )0 0?
，可以定出
0
10 e
tCp
，最终得到人口数量函数
0()
0( ) e
ttp t p
。
例 5,5,8 在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，
除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学模型。
要对液体进行过滤，首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层（称为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量
Q t( )
成正比，同时，流速的减少与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为
q 0
，由导数 的意义即知 t 时刻的流速应当是
Q t( )
，从而流速的减少量为
q Q t0 ( )
，由上所述，它应与总滤出流量
Q t( )
成正比。这样，就得到了它的数学模型为
.0)0(
),()(
0
Q
tQqtQ?
作代换
10( ) ( )Q t q Q t
，便有
.)0(
),()(
01
11
qQ
tQtQ?
采用例 5,5,7 类似的方法，可以求出
10( ) e
tQ t q
,
即得到累积的总滤出流量为
0
01
1
( ) ( ( ) ) ( 1 e )
tq
Q t q Q t
。
因为
0()
l i m
t
q
Qt
及
t
Q t
lim ( ) 0
,
所以我们可以知道，在定压的过滤过程中，并不是想滤多少就可以不受限制地滤多少，其流出的总量是有上限
0
q
的。在流量接近这个上限的时候，其流速将趋近于零，也就是说，此时 杂质已沉积得过厚，需要清洗或更换滤芯 了。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 2 ）计算 )( xf?,找出 f x( ) 的驻点与导数不存在的点，从而求出 )( xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 3 ）计算 )( xf,找出所有使 0)( xf 的点与使 )( xf 不存在的点，从而求出 )( xf 的拐点，并以这些点为分点，继续对区间进行再划分，
使函数在每个区间上保持固定的凸性。
（ 2 ）计算 )( xf?,找出 f x( ) 的驻点与导数不存在的点，从而求出 )( xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（ 5 ）求出曲线 )( xfy? 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
通过上述步骤，就可作出函数 )( xfy? 的图 像 。
须注意的是，在作图之前，先应该考察函数的几何性质如奇偶性、
周期性等，如 f x( ) 是奇函数或偶函数，那么只要画出一半图形，而另一半可通过对称画出；对于周期函数，只要画出一个周期的图形就可以了，而其余部分可通过周期延拓画出。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（ 5 ）求出曲线 )( xfy? 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
例 5,5.9 作出函数
y
x
1
2
2
2
e
的图 像 。
解 因为
f x
x
( ) e?
1
2
2
2
是定义于整个实数域上的偶函数，我们只要考察 x? 0 就可以了。
f x x
x
( ) e
1
2
2
2
，
f x x
x
( ) e ( )
1
2
1
2
2 2
。
f x( )
的可能极值点为
f x( )
的零点 x? 0,可能的拐点的横坐标为
f x( )
的零点 x? 1 。
经检验，
f x( )
在 x? 0 的右侧和左侧的符号分别为负和正，所以
x? 0 是 f x( ) 的极大值点；f x( ) 在 x? 1 的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以
))1(,1( f
是曲线
)( xfy?
的拐点。
上面的分析可以 列表如下,
x 0 (,)0 1
1
(,)1
f x( )
0 - - -
f x( )
- - 0 +
f x( )
极大值
1
2?
拐点
1
1,
2 π e
当 x 时，
y x12 0
2
2? e
，因此 y? 0 即 x 轴是 )( xfy? 的水平渐近线，容易看出，曲线 )( xfy? 不再有其 他 的渐近线。
上面的分析可以 列表如下,
x 0 (,)0 1
1
(,)1
f x( )
0 - - -
f x( )
- - 0 +
f x( )
极大值
1
2?
拐点
1
1,
2 π e
根据这些信息，便可作出函数 )( xfy? 在右半平面的图 像,然后利用对称性，就可以作出函数的整个图 像 了（图 5,5,3 ）。
以后学习概率论时会知道，
y x12
2
2? e
是一个非常重要的函数。
例 5,5,10 作 出函数
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2 的图 像 。
解 由于 函数
f x
x
x
( )
( )
( )
1
3 1
2的定义域为
),1()1,(
，可知函数的图 像 包含两条曲线，它们被直线
1x
左右分开。
f x( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
2 2 1 1
3 1
3 1
3 1
2
2 2
x x x
x
x x
x
,
f x( )
有零点 x? 1 和 x 3 。由于
f x( )
在 x 3 的右侧和左侧的符号分别为负和正，而在 x? 1 的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 x 3 是
f x( )
的极大值点,x? 1 是
f x( )
的极小值点。
f x( )
8
3 1
3
( )x
,
因为
f x( )
在定义域中没有零点，所以曲线上没有拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
x (,) 3
- 3
(,)3 1
- 1
(,)? 1 1
1
(,)1
f x( )
+ 0 - 无定义
- 0 +
f x( )
- - - 无定义
+ + +
f x( )
极大值
83
无定义极小值
0
由例 5,4,1 4,
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2 的斜渐近线方程为
y
x
3
1
。
又因为
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
，
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
,
所以
x 1
是它的垂直渐近线，且根据上面两个极限式，可以知道曲线在
1x
的左右两侧以怎样的方式趋近于渐近线的。
根据这些信息，就不难作出函数
)( xfy?
的图形了 ( 图 5,5,4 ) 。
例 5,5.11 作出函数
y x x x3 23 1
的图 像 。
解 函数
33 23 23 1)1(1)( xxxxxxf
的定义域为
),(
。
，
3
23
3
1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
33
2
)1(1
)(
)1(1
)1()1(2
3
1
)1(
)1(
1
1
2
3
1
1)1()(
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxxf
f x( )
有零点
x
1
3
，并且在
x 1
处
)( xf?
不存在。经检测
)( xf?
在这 些点左右两侧的符号，即可知道
1x
不是函数的极值点，
3
1
x
是函数的极大值点，
1?x
是函数的极小值点。
3 23
3
1
)1(1
)(
)(
xx
x
xf
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
)1(1
1
1
2
)1(
)1(
9
1
3
)1(1
xx
x
x
x
xx
xx
3
2
3
)1(1
1
2
1
1
9
1
3
1
xx
xx
x
3 53 4 )1()1(9
8
xx
,
即知
f x( )
的二阶导数没有零点，但在
x 1
处
f x( )
不存在。由于
)( xf
在
1x
的两侧符号相反，而在
1?x
的两侧符号相同，所以
( 1,0 )?
是曲线的拐点，而
( 1,0)
不是曲线的拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
(,) 1
- 1
(,)1 13
13
(,)? 13 1
1
(,)1?
f x( )
+ 不存在 + 0 -
不存在
+
f x( )
+ 不存在 - - -
不存在
-
f x( )
拐点
( - 1,0 )
极大值
2
3
3 4
极小值
0
由例 5,4,1 5,y x x x3 23 1的渐近线方程为
y x 13
。
根据这些信息，就可作出函数 )( xfy? 的图形了 ( 图 5,5,5 ) 。
极值问题
f x( ) 的全部极值点必定都在使得f x( ) 0 和使得?f x( ) 不存在的点集之中 。使 0)( xf 的点称为 )( xf 的 驻点 。
§ 5 应用举例定理 5.5.1 （极值点判定定理） 设函数
)( xf
在
x 0
点的某一 邻 域中有定义，且
)( xf
在
x 0
点连续。
⑴ 设存在 0,使得
)( xf
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上可导,
(i) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，则
x 0
是
)( xf
的极大值点；
(ii) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，
则
x 0
是
)( xf
的极小值点；
(i ii) 若
f x( )
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上同号，则
x 0
不是
)( xf
的极值点。
⑵ 设 0)(
0 xf
，且 f x( ) 在 x
0
点二阶可导,
( i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
是 )( xf 的极大值点；
( i i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
是 )( xf 的极小值点；
( i i i ) 若f x( )
0 0
，则 x
0
可能是 )( xf 的极值点，也可能不是 )( xf
的极值点 。
定理 5.5.1 （极值点判定定理） 设函数
)( xf
在
x 0
点的某一 邻 域中有定义，且
)( xf
在
x 0
点连续。
⑴ 设存在 0,使得
)( xf
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上可导,
(i) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，则
x 0
是
)( xf
的极大值点；
(ii) 若在
),( 00 xx
上有
f x( ) 0
，在
),( 00xx
上有
f x( ) 0
，
则
x 0
是
)( xf
的极小值点；
(i ii) 若
f x( )
在
),( 00 xx
与
),( 00xx
上同号，则
x 0
不是
)( xf
的极值点。
证 ( 1 ) 的结论显然，我们只证 ( 2 ) 。
因为
0( ) 0fx
,由 T ay l o r 公式
)()( 0xfxf f?
(
0x
)
!2
)(
)(
0
0
xf
xx
20 )( xx ))(( 20xxo?
)( 0xf
!2
)(
0
xf 2
0 )( xx ))((
2
0xxo?
得到
0
2
0
( ) ( )
()
f x f x
xx
2
0
2
0
0
)(
))((
)(
!2
1
xx
xxo
xf
。
因为当
0xx?
时上式右侧第二项趋于 0,所以当
0)( 0 xf
时，由极限的性质可知在
0x
点附近成立
0
)(
)()(
2
0
0
xx
xfxf
,
所以
)()( 0xfxf?
,
从而
)( xf
在
0x
取极大值。同样可讨论
0)( 0 xf
的情况。 证毕关于定理 5,5,1 中 ( 2 ) ( i i i ),可分别考察函数 4xy?,4xy 和
3xy? 。 0?x 是 4xy? 的极小值点，是 4xy 的极大值 点，而不是 3xy?
的极值点。但它们都满足 0)0(y 和 0)0(y 的条件。
例 5,5,1 求函数
3 22 )2()( xxxf
的极值。
解 函数
)( xf
的定义域为
),(
。由
)1()2(
3
4
)( 3
1
-
2
xxxxf
,
可知
)( xf
的驻点为 1?x,使得
)( xf?
不存在的点为 0?x 和 2?x 。由于
（ 1 ） 当 0 x 时，
0)( xf；
（ 2 ） 当 10 x 时，
0)( xf；
（ 3 ） 当 21 x 时，
0)( xf；
（ 4 ） 当 x2 时，
0)( xf
,
由 定理 5,5,1 中 (1) 的结论知
0)0(?f
是极小值，
1)1(?f
是极大值，
0)2(?f
是极小值。
关于定理 5,5,1 中 ( 2 ) ( i i i ),可分别考察函数 4xy?,4xy 和
3xy? 。 0?x 是 4xy? 的极小值点，是 4xy 的极大值 点，而不是 3xy?
的极值点。但它们都满足 0)0(y 和 0)0(y 的条件。
例 5,5,2 求函数
1)1()( 32 xxf
的极值。
解 函数
)( xf
的定义域为
),(
。计算得
22 )1(6)( xxxf
，
)15)(1(6)( 22 xxxf
。
显然
)( xf
的驻点为 0?x,1?x 和 1x 。由于
06)0(f
，所以 由 定理
5,5.1 中 (2) 的结论知
0)0(?f
是极小值。
由于
0)1(f
，不能用定理 5,5,1 中 ( 2 ) 的结论。 但由于
)( xf?
在
1?x 与 1x 的左、右两侧保持同号,由 定理 5,5,1 中 ( 1 ) 的结论，知 )1(f
和
)1(?f
都不是函数
)( xf
的极值。
最值问题闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。
函数的最大值与最 小值统称为函数的 最值，使函数取到 最大值
（或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数的最值点。
对于一个定义于闭区间
ba,
上的函数
f x( )
来说，区间的两个端点
a 与 b 有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间ba,的话,
那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有
)( xf
的驻点与使
f x( )
不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值的点就可以了。
例 5,5,3 求函数
3 22 )2()( xxxf
在区间
4,1?
上的最大值与最小值。
解 由 例 5,5,1,已知函数
)( xf
在区间
4,1?
上的极大值点为 1?x,
极大值为
1)1(?f
，极小值点为 0?x 与 2?x,两个极小值都为 0 。为了求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值
3 9)1(f
与
4)4(?f
。对这些值进行比较，就得到函数
)( xf
在区间
4,1?
上的最大值点为 4?x,最大值为
4)4(?f
，最小值点为 0?x 与 2?x,最小值为 0 。
例 5,5,4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？
解 设罐身的厚度为
，则顶盖的厚度是 3
。
记罐头的容积为 V,底面半径为 r,则高为
h
V
r
2
。于是，罐身的用料为
22
1
() π 2 π π 2,
V
U r r r h r
r
顶盖的用料为
2
2 ( ) 3 π,U r r
因此问题化为求函数
2
12
( ) ( ) ( ) 4 π 2
V
U r U r U r r
r
，
),0(r
的最小值。
对
U r( )
求导，
2
( ) 2 4 π
V
U r r
r
，因此
U r( )
只有唯一的零点
r
V
0
3
4
。由于
3
( ) 4 2 π 0
V
Ur
r
,
r(,)0
,
所以
r0
是
U r( )
的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
2 0
4
4
。
也就 是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。
对
U r( )
求导，
2
( ) 2 4 π
V
U r r
r
，因此
U r( )
只有唯一的零点
r
V
0
3
4
。由于
3
( ) 4 2 π 0
V
Ur
r
,
r(,)0
,
所以
r0
是
U r( )
的最小值点。
这时，相应的高为
h
V
r
r
r
r
0
0
2
0
3
0
2 0
4
4
。
也就 是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。
例 5,5,5 设一辆汽车在平原上的行驶速度为
v 1
，在草原上的行驶速度为
v 2
，现要求它以最短的时间从平原上的 A 点到达草原上的 B 点，
问应该怎么走？
解 显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从 A 到
B 的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。
设汽车的行驶路径如图 5,5,2 所示，那么它的整个行驶时间应为
T x
h x
v
h l x
v
( )
( )
1
2 2
1
2
2 2
2
。
由
22
22
22
11
)(
)(
xlhv
xl
xhv
x
xT
,
可知
0)0(T
，
0)( lT
。
x
A
B
平原草原
q1
q2
h1
h2
l
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1?
xlhv
h
xhv
h
xT
,
可知存在唯一的
),0(0 lx?
，使得
0)( 0 xT
。因此
x 0
是
T x( )
的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
v h x
l x
v h l x
0
1 1
2
0
2
0
2 2
2
0
2?
( )
。
由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的，即光线总是走“捷径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律
12
12
sin sin
vv
qq? 。
由于
0
))(()(
)(
2322
22
2
2
2322
11
2
1?
xlhv
h
xhv
h
xT
,
可知存在唯一的
),0(0 lx?
，使得
0)( 0 xT
。因此
x 0
是
T x( )
的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式
x
v h x
l x
v h l x
0
1 1
2
0
2
0
2 2
2
0
2?
( )
。
例 5,5,6 对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要涉及 三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为
Q
，则总成本
)( QC
一般可以表示成两部分的和
QQvfQC )()(
。
这里，
f? 0
称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、
财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而
v Q Q( )?
称为可变成本（如原材料、能源 等），
v Q( )
是一个正值函数，表示在总共生产
Q
件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是
v Q v( )
正常数。
)( QC
的导数
)( QC?
称为 边际成本,其经济学意义是在总共生产
Q
件产品的情况下，生产第
Q
件产品的成本。
总收益
QQpQE )()(
是指把
Q
件产品销售出去后得到的收入，这里
p Q( )
称为价格函数，表示在总共生产
Q
件产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此
p Q( )
是
Q
的单调减少函数。
)( QE
的导数
)( QE?
相应地称为 边际收益,其经济学意义是在总共生产销售了
Q
件产品的情况下，销售出第
Q
件产品所得到的收入。
总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为
)( QP
，则
)()()( QCQEQP
,
当
)( QE
和
)( QC
二阶可导时，利用 L a g r a ng e 中值定理的推论 2,就可以得到经济学中的,最大利润原理,,
,当且仅当 边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。,
这里的第一个条件即为
0)()()( QCQEQP
,
而第二个条件可表示为
0)()()( QCQEQP
,
请读者自行思考它们的经济学意义。
比 如,某 产 品 的 价 格
( ),(,0,)ap Q a b Q a b Q
b
，成本
vQfQC)(
，于是利润
2( ) ( ) ( ) ( )P Q E Q C Q b Q a v Q f,
要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证 a v 0 。
容易算出，当产量
Q
a v
b0 2
时有 0)(
0 QP
和
0)( 0 QP
，这时所获取的利润为最大。
数学建模例 5,5,7 （ M a l thu s 人口模型） 设
p t( )
是 某地区的人口数量函数，
则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导数
p t( )
。
显然,某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就越多。 M al t h u s 假定这两者成比例关系，设比例系数为
，他在 1 7 9 8
年提出了人类历史上的第一个人口模型
00
( ) ( )
()
p t p t
p t p
,
将“
( ) ( )p t p t
”写成微分形式
t
p
p
d
d
，得到
ln p t C
,或
1 e
tpC
,
其中
C C1? e
。令
t t? 0
并利用 初 值 条件
p t p( )0 0?
，可以定出
0
10 e
tCp
，最终得到人口数量函数
0()
0( ) e
ttp t p
。
例 5,5,8 在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，
除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学模型。
要对液体进行过滤，首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层（称为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量
Q t( )
成正比，同时，流速的减少与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为
q 0
，由导数 的意义即知 t 时刻的流速应当是
Q t( )
，从而流速的减少量为
q Q t0 ( )
，由上所述，它应与总滤出流量
Q t( )
成正比。这样，就得到了它的数学模型为
.0)0(
),()(
0
Q
tQqtQ?
作代换
10( ) ( )Q t q Q t
，便有
.)0(
),()(
01
11
tQtQ?
采用例 5,5,7 类似的方法，可以求出
10( ) e
tQ t q
,
即得到累积的总滤出流量为
0
01
1
( ) ( ( ) ) ( 1 e )
tq
Q t q Q t
。
因为
0()
l i m
t
q
Qt
及
t
Q t
lim ( ) 0
,
所以我们可以知道，在定压的过滤过程中，并不是想滤多少就可以不受限制地滤多少，其流出的总量是有上限
0
q
的。在流量接近这个上限的时候，其流速将趋近于零，也就是说，此时 杂质已沉积得过厚，需要清洗或更换滤芯 了。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 2 ）计算 )( xf?,找出 f x( ) 的驻点与导数不存在的点，从而求出 )( xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 3 ）计算 )( xf,找出所有使 0)( xf 的点与使 )( xf 不存在的点，从而求出 )( xf 的拐点，并以这些点为分点，继续对区间进行再划分，
使函数在每个区间上保持固定的凸性。
（ 2 ）计算 )( xf?,找出 f x( ) 的驻点与导数不存在的点，从而求出 )( xf 的极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数在每个区间上保持单调。
函数作图函数作图的过程一般可分为以下几个步骤,
（ 1 ） 考察函数 f x( ) 的定义域 及 其在定义域内的连续性,找出函数的不连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函数在每个区间上连续。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（ 5 ）求出曲线 )( xfy? 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
通过上述步骤，就可作出函数 )( xfy? 的图 像 。
须注意的是，在作图之前，先应该考察函数的几何性质如奇偶性、
周期性等，如 f x( ) 是奇函数或偶函数，那么只要画出一半图形，而另一半可通过对称画出；对于周期函数，只要画出一个周期的图形就可以了，而其余部分可通过周期延拓画出。
（ 4 ）对上述（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）三个步骤所得到的结果列出表格，
在表格中标出函数在每个分点上的函数值（如果有定义的话），
以及函数在每个区间上的单调性与凸性。
（ 5 ）求出曲线 )( xfy? 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
例 5,5.9 作出函数
y
x
1
2
2
2
e
的图 像 。
解 因为
f x
x
( ) e?
1
2
2
2
是定义于整个实数域上的偶函数，我们只要考察 x? 0 就可以了。
f x x
x
( ) e
1
2
2
2
，
f x x
x
( ) e ( )
1
2
1
2
2 2
。
f x( )
的可能极值点为
f x( )
的零点 x? 0,可能的拐点的横坐标为
f x( )
的零点 x? 1 。
经检验，
f x( )
在 x? 0 的右侧和左侧的符号分别为负和正，所以
x? 0 是 f x( ) 的极大值点；f x( ) 在 x? 1 的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以
))1(,1( f
是曲线
)( xfy?
的拐点。
上面的分析可以 列表如下,
x 0 (,)0 1
1
(,)1
f x( )
0 - - -
f x( )
- - 0 +
f x( )
极大值
1
2?
拐点
1
1,
2 π e
当 x 时，
y x12 0
2
2? e
，因此 y? 0 即 x 轴是 )( xfy? 的水平渐近线，容易看出，曲线 )( xfy? 不再有其 他 的渐近线。
上面的分析可以 列表如下,
x 0 (,)0 1
1
(,)1
f x( )
0 - - -
f x( )
- - 0 +
f x( )
极大值
1
2?
拐点
1
1,
2 π e
根据这些信息，便可作出函数 )( xfy? 在右半平面的图 像,然后利用对称性，就可以作出函数的整个图 像 了（图 5,5,3 ）。
以后学习概率论时会知道，
y x12
2
2? e
是一个非常重要的函数。
例 5,5,10 作 出函数
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2 的图 像 。
解 由于 函数
f x
x
x
( )
( )
( )
1
3 1
2的定义域为
),1()1,(
，可知函数的图 像 包含两条曲线，它们被直线
1x
左右分开。
f x( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
2 2 1 1
3 1
3 1
3 1
2
2 2
x x x
x
x x
x
,
f x( )
有零点 x? 1 和 x 3 。由于
f x( )
在 x 3 的右侧和左侧的符号分别为负和正，而在 x? 1 的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 x 3 是
f x( )
的极大值点,x? 1 是
f x( )
的极小值点。
f x( )
8
3 1
3
( )x
,
因为
f x( )
在定义域中没有零点，所以曲线上没有拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
x (,) 3
- 3
(,)3 1
- 1
(,)? 1 1
1
(,)1
f x( )
+ 0 - 无定义
- 0 +
f x( )
- - - 无定义
+ + +
f x( )
极大值
83
无定义极小值
0
由例 5,4,1 4,
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2 的斜渐近线方程为
y
x
3
1
。
又因为
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
，
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
,
所以
x 1
是它的垂直渐近线，且根据上面两个极限式，可以知道曲线在
1x
的左右两侧以怎样的方式趋近于渐近线的。
根据这些信息，就不难作出函数
)( xfy?
的图形了 ( 图 5,5,4 ) 。
例 5,5.11 作出函数
y x x x3 23 1
的图 像 。
解 函数
33 23 23 1)1(1)( xxxxxxf
的定义域为
),(
。
，
3
23
3
1
3
2
3
3
2
3
2
3
3
33
2
)1(1
)(
)1(1
)1()1(2
3
1
)1(
)1(
1
1
2
3
1
1)1()(
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxxf
f x( )
有零点
x
1
3
，并且在
x 1
处
)( xf?
不存在。经检测
)( xf?
在这 些点左右两侧的符号，即可知道
1x
不是函数的极值点，
3
1
x
是函数的极大值点，
1?x
是函数的极小值点。
3 23
3
1
)1(1
)(
)(
xx
x
xf
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
)1(1
1
1
2
)1(
)1(
9
1
3
)1(1
xx
x
x
x
xx
xx
3
2
3
)1(1
1
2
1
1
9
1
3
1
xx
xx
x
3 53 4 )1()1(9
8
xx
,
即知
f x( )
的二阶导数没有零点，但在
x 1
处
f x( )
不存在。由于
)( xf
在
1x
的两侧符号相反，而在
1?x
的两侧符号相同，所以
( 1,0 )?
是曲线的拐点，而
( 1,0)
不是曲线的拐点。
根据上述结果即可列出下面的表格,
(,) 1
- 1
(,)1 13
13
(,)? 13 1
1
(,)1?
f x( )
+ 不存在 + 0 -
不存在
+
f x( )
+ 不存在 - - -
不存在
-
f x( )
拐点
( - 1,0 )
极大值
2
3
3 4
极小值
0
由例 5,4,1 5,y x x x3 23 1的渐近线方程为
y x 13
。
根据这些信息，就可作出函数 )( xfy? 的图形了 ( 图 5,5,5 ) 。
