应用一元函数的 定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
§ 4 定积分在几何计算中的应用求平面图形的面积考虑由连续曲线
y f x? ( )
，直线
x a?,x b? 和 y? 0 （即 x 轴）所围区域的面积。
当
f x( )? 0
时,面积为
( ) d
b
a
f x x?；
当
f x( )? 0
时，面积为
[ ( ) ] d
b
a
f x x
。
当
)( xf
在区间
],[ ba
上不保持定号时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为
| ( ) | d
b
a
S f x x
。
§ 4 定积分在几何计算中的应用应用一元函数的 定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
bca
夹在连续曲线
y f x? ( )
和
y g x? ( )
之间，
左右由直线 x a?,x b? 界定的那部分区域的面积 ( 图 7.4.2) 为
| ( ) ( ) | db
a
S f x g x x
。
例 7.4.1 计算由曲线
y x? 2
和
x y? 2
所围区域的面积。
解 曲线
y x? 2
和
x y? 2
的交点坐标为
(,)0 0
和
(,)1 1
，而当
x? [,]0 1
,x x? 2 ( 图
7.4.3),
因此，所求的面积为
1 2
0
( ) dx x x
3
1
3
1
3
2
1
0
3?
xxx
。
夹在连续曲线
y f x? ( )
和
y g x? ( )
之间，
左右由直线 x a?,x b? 界定的那部分区域的面积 ( 图 7.4.2) 为
| ( ) ( ) | db
a
S f x g x x
。
例 7.4.2 设
(,)x y
是等轴双曲线
x y2 2 1
上的任意一点，求由双曲线与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t ( 图 7.4.4) 。
解 不妨设 x? 0,
2?t 2
1
1d
2
xxy
uu
|1|ln1 22 xxxxxy
xy xy x yln ( )ln ( )x y
。
由此得到
x y t e
，由于
x y2 2 1
,
两式相除便有
x y te
，于是解得
x t
y t
t t
t t
e e
ch
e e
sh
2
2
，
。
例 7.4.2 设
(,)x y
是等轴双曲线
x y2 2 1
上的任意一点，求由双曲线与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t ( 图 7.4.4) 。
注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆上取点
(,)x y
和
(,)x y?
，类似地考虑由圆弧与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的扇形 ( 图 7.4.5),设扇形的面积为 t,则有熟知的结论
x t
y t
c o s
s i n
，
。
两 相 比 较,就 不 难 明 白,为 什 么 要 把
y x y xsh ch、
统称为双曲函数，并分别冠以双曲正弦和双曲余弦的名称。
若
()y f x?
，
[,]x a b?
是用参数形式
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]1 2
表达的，
)( tx
在
],[ 21 TT
上具有连续导数，且
0)( tx
。那么用换元法可以证明,由连续曲线
y f x? ( )
，直线 x a?,x b? 和
y? 0
（即 x 轴）所围区域的面积为
2
1
| ( ) ( ) | d
T
T
S y t x t t
。
例 7.4.3 求椭圆
x
a
y
b
2
2
2
2
1
的面积。
解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积 ( 图
7.4.6) 。将椭圆写成参数方程形式
x a t
y b t
c o s,
s i n,
则当 x 从 0 变到 a 时,t 从
2
变到 0,所以
π
2
0
sin ( c os ) d
4
S
ab t t t
π
2 2
0
s i n da b t t
=
4
ab
,
即
S ab
。
图 7.4.6
y
b
xa
例 7.4.4 求旋轮线（摆线） x a t t
y a t t
( s i n ),( c o s ),[,]1 0 2?
与 x 轴所围区域的面积 ( 图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) dS a t t
2 π2
0
1 c o s 21 2 c o s d
2
ta t t
3 2? a 。
0 x
y
a
图 7.4.7
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(?rr? 是区间 ],[ 上的连续函数 ( 2 π ),
求由两条极径, 与 )(?rr? 围成的图形的面积 S 。
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(?rr? 是区间 ],[ 上的连续函数 ( 2 π ),
求由两条极径, 与 )(?rr? 围成的图形的面积 S 。
在
[,]
中取一系列的分点
i?
，满足
n?210
记
1 iii
，在每个
1[,]ii
上任取一点
i?
，用半径为
)( ir?
、圆心角为
i
的小扇形的面积
iir )(
2
2
1
近似代替相应的小 曲边扇形的面积 ( 图 7.4.8),
那么
n
i
iirS
1
2 )(
2
1
,
因为 )(?rr? 在 ],[ 中 连续，所以 )(
221?r
在 ],[ 上可积。令 小扇形的圆心角的最大值
0)(m a x1 ini
,即有
n
i
iirS
1
2
0
)(l im21
21 ( ) d
2 r
,
这就是 极坐标下的面积公式。
例 7.4.5 求双曲螺线 ra 当? 从?
4
变到 2
4
时极径 r 扫过的面积 ( 图 7.4.9) 。
解 直接用极坐标下的求面积公式,
2 9 π 4
2π 4
1 d2aS 9 π 42
π 4
1
2
a
216
9 πa?
。
例 7.4.5 求双曲螺线 ra 当? 从?
4
变到 2
4
时极径 r 扫过的面积 ( 图 7.4.9) 。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 s in 3ra,
[ 0,π ] ( 图 7.4.10) 所围区域的面积。
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的面积，这时? 的变化范围是 π
0,
6
。
π
6
2
2
0
6 s in 3 d
2
aS
π
222
0
s i n da a
2
4
。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 s in 3ra,
[ 0,π ] ( 图 7.4.10) 所围区域的面积。
求曲线的弧长首先来定义什么叫一段曲线的弧长。
设平面曲线的参数方程为
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]
1 2
,
对区间
[,]T T1 2
作如下划分,
T t t t t Tn1 0 1 2 2
,
于是便得到这条曲线上 顺次排列的
n? 1 个 点
P P P n0 1,,,?
，
P x t y ti i i? ( ( ),( ))
，
用
P Pi i? 1
表示连接点
P Pi i? 1 和的直线段的长度，那么相应的折线的长度可以表示为
P P
i i
i
n
1
1
。
y
x
P0
P1
P2
P3
P4
PiPi-1
Pn
Pn-1
… …
图 7.4.11
若当
m a x ( )
1
0
i n i
t?
时，极限
lim
0 11
P Pi i
i
n 存在，且极限值与区间
21,TT
的划分无关，则称这条曲线是 可求长 的，并将此极限值
l P Pi i
i
n
lim
0 11
称为该条曲线的 弧长 。
我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率?,用的也正是这样的思想方法。
讨论,
ii PP 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x t x t y t y ti i i i1
2
1
2
,
若
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上连续，在
(,)T T1 2
上可导，则由 L a g r a n g e 中值定理，存在
i?
和
i?
属于
(,)t ti t? 1
，成立
x t x ti i( ) ( ) 1
ii tx )(?
,
y t y ti i( ) ( ) 1
ii ty )(?
,
于是
P P
i i
i
n
1
1
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([
。
由于
i?
和
i?
一般不会相同，上式还不是 R i e m a n n 和
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([
，
],[ 1 tii tt
的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长 l 正是这一 R i e m a n n 和的极限值。
定义 7.4.1 若
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上连续，且
0)]([)]([ 22 tytx
，则由参数方程
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]1 2
确定的曲线称为 光滑曲线 。
光滑曲线上的切线是连续变动的。
定理 7.4.1 （ 弧长公式 ） 若 由参数方程
x x t
y y t t T T
( ),
( ),[,]1 2
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
l x t y t t
。
证 对区间
[,]T T1 2
作划分，有
n
i
ii PP
1
1?
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
ii yx
1
22 )]([)]([
iii tyx
22 )]([)]([
。
定理 7.4.1 （ 弧长公式 ） 若 由参数方程
x x t
y y t t T T
( ),
( ),[,]1 2
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为由三角不等式
x x y y x y x y1 2 22 1 2 22 1 1 2 2 2 2( ) ( )| | | |x y x y1 1 2 2
,
得到
n
i
ii PP
1
1?
n
i
iii tyx
1
22
)]([)]([
i
n
i
ii txx
1
|)()(| i
n
i
ii tyy
1
|)()(|
i
n
i
ii
n
i
i tt
11
~
,
其中
i?
和
i?
~
分别是
x t( )
和
y t( )
在
[,]t ti t? 1
中的振幅。
因为
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上可积，由定积分存在的充分必要条件，
当
0)(m a x
1
ini
t
，有
0
1
i
n
i
i t
，及
0~
1
i
n
i
i t
,
于是
l P Pi i
i
n
lim
0
1
1
n
i
iii tyx
1
22
0
)]([)]([lim
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
x t y t t
。
注
22d [ ( ) ] [ ( ) ] dl x t y t t
称为 弧长的微分 。
当曲线采用直角坐标系下的显式方程
y f x x a b( ),[,]
时，容易得到相应的弧长公式
21 [ ( ) ] db
a
l f x x
。
当曲线采用极坐标方程
)(?rr?
，
],[
时，由于
c o s)(rx?
，
s i n)(ry?
，因此
s i n)(c o s)()( rrx
，
c o s)(s i n)()( rry
,
所以
2222 )]([)]([)]([)]([ rryx
,
于是
22[ ( ) ] [ ( ) ] dl r r?
。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
x a t
y a t
c o s,
s i n,
[0,2 π ]t?,
π2 22
04 c o s s i n dl a t t t
2? a 。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
解法三 采用极坐标方程 r a?,[0,2 π ],这时r 0,因此
2 π 22
0 ( ) ( ) dl r r
2 π
0 d2 πaa
。
一般来说，采用不同的方程形式求曲线的弧长，难易 程度会有所不同。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
x a t
y a t
c o s,
s i n,
[0,2 π ]t?,
π2 22
04 c o s s i n dl a t t t
2? a 。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长 ( 见图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) s i n dl a t t t
2 π
02 1 c o s da t t
2 π
02 s i n d2
tat 8 a 。
0 x
y
用同样的方法，可将定理 7.4.1 的结论推广到求空间曲线的弧长上去。
设
x t( )
、
y t( )
、
z t( )
在
],[ 21 TT
上连续，且
0)]([)]([)]([ 222 tztytx
，
则由参数方程
x x t
y y t
z z t
t T T
( ),
( ),
( ),
[,]
1 2
确定的曲线的弧长为
2
1
2 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
l x t y t z t t
。
0 x
y
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长 ( 见图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) s i n dl a t t t
2 π
02 1 c o s da t t
2 π
02 s i n d2
tat 8 a 。
例 7.4.9 求圆锥螺线
x at t
y at t
z bt
c os,
s i n,
,
( 图 7.4.12) 第一圈的长度。
解
2 π 2 2 2 2 2
0
[ c o s s i n ] [ s i n c o s ] dl a t t t a t t t b t
2 π 2 2 2 2
0
da t a b t
2 π
2 2 2 2 2
0
l n | |
2
a
t t s s t t s
（记 b
a
s
2
2
21
）
2 2 2
22 2 π 4 π
π 4 π ln
2
ss
as
s
。
例 7.4.9 求圆锥螺线
x at t
y at t
z bt
c os,
s i n,
,
( 图 7.4.12) 第一圈的长度。
当 b? 0 时，圆锥螺线退化为平面上的 A r c h i m e des 螺线 ( 图 7.4.13),
此时 s 2 1?,因此
222 π 4 π +1 l n ( 2 π +4 π + 1 )
2
al
,
这正是 A r c h i m e des 螺线 ra 第一圈的长度（见习题 3 ⑺ ）。
求某些特殊的几何体的体积设三维空间中的一个几何体夹在平面
x a? 和 x b? 之间，若对于任意 ],[ bax?,过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面的面积 A x( ) 是已知的，且 A x( ) 又是 [,]a b 上的连续函数，则我们可以用定积分计算出它的体积 ( 图 7.4.14) 。
对区间
[,]a b
作划分
a x x x x bn0 1 2?
,
记小区间
[,]x xi i? 1
的长度为
x x xi i i 1
,
在每个小区间上取一点
i?
，用底面积为
() iA?
，高为
x i
的柱体体积近似代替 夹在平面
x x i 1
和
x x i?
之间的那块 小几何体的体积，那么这些柱体体积之和
n
i
ii
xA
1
)(?
就是整个几何体体积的近似。令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
时，得到
0
1
l im ( ) ( ) d
n
b
ii
a
i
V A x A x x
,
这就是所要求的 几何体 的体积。
据《九章算术》记载，我国南北朝时的数学家祖暅 ( 祖冲之之子 )
在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为,祖暅原理,）,,夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异．,用现在的话来讲，一个几何体 (,立积,) 是由一系列很薄的小片 (,基,) 叠成的；若两个几何体相应的小片的 截面积 (,幂势,) 都相同，那它们的体积
(,积,) 必然相等．这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的 。
意大利数学家 Cav al i eri 在 1635 年得到了同样的结论，但比祖暅迟了一千多年。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a,平面
1P
过其底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2P
成夹角
，求圆柱体被
1P
与
2P
所截得的那部分的体积。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a,平面
1P
过其底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2P
成夹角
，求圆柱体被
1P
与
2P
所截得的那部分的体积。
解 先建立坐标系。将平面
2P
取成 xy 平面，并使得圆柱体底面的圆心与原点重合，同时让
1P
与 圆柱体底面圆周的交点落在
y
轴上
( 图 7.4.15) 。
对于任意
],[ aay
，过 y 点 且与 y
轴垂直的平面与该几何体的截面是一个竖立的矩形，它的底为
2 2 2a y?
,
高为
t a n)( ay?
，于是
A y( ) 222 ayt a n)( ay
,
因此，所求的体积为
2 2 2 22 t a n d d
aa
aa
V y a y y a a y y?
。
2 2 2 22 t a n d daaaaV y a y y a a y y
。
容易看出，括号内的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为 0,第二项中的积分恰为上半个圆的面积，即得到
3π t a nVa
。
注意，若采用以与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面是一个直角梯形，处理就会麻烦很多。
公式
( )d
b
a
V A x x
的一个重要的应用是计算旋转体的体积。
设函数
)( xf
在
],[ ba
上连续。对于由
|)(|0 xfy
与 a x b 所界定的那块平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体，若用过 x 点且与 x 轴垂直的平面去截，得 到的截面显然是一个半径为 |
f x( )
| 的圆 ( 图
7.4.16) 。因此它的面积为
A x( ) 2π [ ( ) ]fx?
,
所以该旋转体的体积计算公式为
2π [ ( ) ] db
a
V f x x
。
设曲线的参数方程为
),(
),(
tyy
txx ],[ 21 TTt? 。
假设在
],[ 21 TT
上，
)( tx?
和
)( ty
连续，且
0)( tx
。 对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
V 2
1
2π ( ) ( ) dT
T
y t x t t
。
极坐标下由 0 ( )rr （ [,] [0,π ] ） 所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积为
32 π ( ) sin d
3Vr
。
（见习题 6 （ 2 ））。
设曲线的参数方程为
),(
),(
tyy
txx ],[ 21 TTt? 。
假设在
],[ 21 TT
上，
)( tx?
和
)( ty
连续，且
0)( tx
。 对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
V 2
1
2π ( ) ( ) dT
T
y t x t t
。
例 7.4.11 求半径为 a 的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 y a x2 2 与 x 轴围成的半个圆绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22π ( ) da
a
V a x x
3
2π
3
a
a
x
ax
43 3? a
。
例 7,4,1 2 求旋轮线一拱 ( 见图 7,4,7 ) 与 x 轴围成的图形绕 x
轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转体体积的公式,
2
1
2π ( ) ( ) dT
TV y t x t t
2 π33
0π ( 1 c o s ) da t t
5 2 3? a 。
例 7.4.11 求半径为 a 的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 y a x2 2 与 x 轴围成的半个圆绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22π ( ) da
a
V a x x
3
2π
3
a
a
x
ax
43 3? a
。
求旋转曲面的面积设
],[
),(
),(
21
TTt
tyy
txx
确定平面上一段光滑曲线，且在
],[ 21 TT
上
0)(?ty
，现求它绕 x 轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积。
对区间
],[ 21 TT
作划分,
22101 TttttT n
,
由此得到 曲线上 顺次排列的 n? 1
个 点
P P P n0 1,,,?
,
P x t y ti i i? ( ( ),( ))
。
记
s i
是连接
P i? 1
和
Pi
的直线段绕 x 轴旋转一周得到的圆台侧面的面积，
则
s i [ ( ) ( )]y t y t P Pi i i i1 1
。
若当
m a x ( )
1
0
i n i
t?
时，极限
n
i
is
1
0
l im
lim [ ( ) ( )]
0
1 1
1
y t y t P Pi i i i
i
n
存在，且极限值与区间
21,TT
的划分无关，则称极限值
n
i
isS
1
0
lim
lim [ ( ) ( )]
0
1 1
1
y t y t P Pi i i i
i
n
为该段曲线绕 x 轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积 。
这也不是 R i em an n 和的极限，但与求曲线长度时的讨论一样，可以得到
2
1
222 π ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
S y t x t y t t
。
利用弧长的微分公式，也可以将上式写成
2
1
2 π ( ) dT
T
S y t l
。
例 7.4.13 求半径为 a 的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 y a x
2 2
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
22 π ( ) 1 [ ( ) ] da
a
S f x f x x
22
22
2 π d
a
a
axax
ax?
4 2? a 。
例 7.4.14 求旋轮线一拱 ( 见图 7.4.7) 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式
2 π2 2 2
0
2 π ( 1 c o s ) ( 1 c o s ) s i n dS a t t t t
2 π2
0
22 π ( 1 c o s ) 1 c o s da t t t
2 π23
0
16 π s i n d
22
tt
a
64
3
2? a
。
例 7.4.13 求半径为 a 的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 y a x
2 2
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
22 π ( ) 1 [ ( ) ] da
a
S f x f x x
22
22
2 π d
a
a
axax
ax?
4 2? a 。
本节中的计算公式列表直角坐标显式方程
y f x x a b( ),[,]
直角坐标参数方程
),(
),(
tyy
txx ],[
21 TTt?
极坐标方程
()rr
，
[,]
平面图形面积
( ) d
b
a
f x x?
2
1
( ) ( ) d
T
T
y t x t t
21
2 ( ) dr
弧长微分
2d 1 [ ( ) ] dl f x x
22d [ ( ) ] [ ( ) ] dl x t y t t
22d ( ) ( ) dl r r
曲线弧长
21 [ ( ) ] d
b
a
f x x
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] d
T
T
x t y t t
22( ) ( ) drr
旋转体体积
2π [ ( ) ] d
b
a
f x x?
2
1
2π ( ) ( ) d
T
T
y t x t t
32
3 π ( ) s i n dr
旋转曲面面积
22 π ( ) 1 [ ( ) ] d
b
a
f x f x x
2
1
222 π ( ) ( ) ( ) d
T
T
y t x t y t t
222 π ( ) s i n ( ) ( ) dr r r
曲线的曲率在许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。
究竟如何来刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图 7.4.18 所示的两条光滑曲线 C 和 C? 上的曲线段 AB 和 ''AB,它们的弧长分别记为 s? 与
s 。当动点从 A 点沿曲线段 AB 运动到 B 点时,A 点的切线
A?
也随着转动到 B 点的切线
B?
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
B?
和 x
轴的交角与
A?
和 x 轴的交角之差），同样地，记曲线段 ''AB 的两个端点
A?,B? 处的切线
A
和
B
的夹角为
。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大。也就是说，如果 ss,而,那么可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大；反之，如果,而
ss,那么同样可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大。
定义
s
K
为曲线段 AB 的 平均曲率,它刻画了曲线段 AB 的平均弯曲程度。定义
0
d
l i m
ds
K
ss
为曲线 C 在 A 点的 曲率 （如果该式中的极限存在的话）。这里取绝对值是为了使曲率不为负数。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大。也就是说，如果 ss,而,那么可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大；反之，如果,而
ss,那么同样可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大。
设曲线
C
在 A 点处的曲率
0?K
，若过 A 点作一个半径为
K
1
的圆，
使它在 A 点处与曲线
C
有相同的切线，并在 A 点附近与该曲线位于切线的同侧 ( 图 7.4.19),我们把这个圆称为曲线
C
在 A 点处的 曲率圆 或密切圆 。 曲率圆的半径
K
R
1
和圆心
0A
分别称为曲线
C
在 A 点处的 曲率半径 和 曲率中心 。 由曲率圆的定义可以知道，曲线
C
在点 A 处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸性。
图 7,4,19
例 7.4.15 求椭圆
tax c o s?
，
tby s in?
（
0 πt
）上曲率最大和最小的点（
ab0
）。
解 由于
tax s i n
，
tax c o s
，
tby c o s
，
tby s in
,
得到
22
3 3 2 3 2
2 2 2 22 2 2 2
22
2
| s i n c o s |
( ) s i ns i n c o s
x y x y a b t a b t a b
K
a b t ba t b t
xy
。
因此当
0 ba
时，椭圆上在
0,πt?
对应的点，即长轴的两个端点，
曲率最大；在
π 3 π
,
22
t?
对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。
当
Rba
时（这时椭圆成为半径为 R 的圆），
RK /1?
，即圆上各点处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。
设光滑曲线由参数方程
t
tyy
txx
),(
),(
确定，且
)(),( tytx
有二阶导数。对于每个
],[t
，曲线在对应点的切线斜率为
d ( )
t a n
d ( )
y y t
x x t
,
其中
是该切线与 x 轴的夹角，由
)(
)(
a r c t a n
tx
ty
,即可得到
22
d ( ) ( ) ( ) ( )
d ( ) ( )
x t y t x t y t
t x t y t
。
另外，由弧长的微分公式知
22d ( ) ( )
d
s
x t y t
t
。
于是
3
22
2
d
( ) ( ) ( ) ( )d d
dd
( ) ( )
d
x t y t x t y tt
K
ss
x t y t
t
。
这就是曲率的计算公式。
特别地，如果曲线由 )( xyy? 表示，且 )( xy 有二阶导数，那么相应的计算公式为
2
3
2 )1( y
y
K
。
容易知道，直线上曲率处处为零。
另外，由弧长的微分公式知
22d ( ) ( )
d
s
x t y t
t
。
于是
3
22
2
d
( ) ( ) ( ) ( )d d
dd
( ) ( )
d
x t y t x t y tt
K
ss
x t y t
t
。
这就是曲率的计算公式。
例 7.4.16 求悬链线
ee
2
xx
aa
a
y
的曲率（
0?a
）。
解
y 1
ee
2
xx
aa
，
y
2
1
ee
2
xx
aa
y
aa
。
由于
0?y
及
2
2
1
1 1 e e
4
xx
aa
y
y
a
,
所以
3
2
2
3
2
)1(
a
y
a
y
y
y
K
2
y
a
2
4
ee
xx
aa
a
。
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
§ 4 定积分在几何计算中的应用求平面图形的面积考虑由连续曲线
y f x? ( )
，直线
x a?,x b? 和 y? 0 （即 x 轴）所围区域的面积。
当
f x( )? 0
时,面积为
( ) d
b
a
f x x?；
当
f x( )? 0
时，面积为
[ ( ) ] d
b
a
f x x
。
当
)( xf
在区间
],[ ba
上不保持定号时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为
| ( ) | d
b
a
S f x x
。
§ 4 定积分在几何计算中的应用应用一元函数的 定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
bca
夹在连续曲线
y f x? ( )
和
y g x? ( )
之间，
左右由直线 x a?,x b? 界定的那部分区域的面积 ( 图 7.4.2) 为
| ( ) ( ) | db
a
S f x g x x
。
例 7.4.1 计算由曲线
y x? 2
和
x y? 2
所围区域的面积。
解 曲线
y x? 2
和
x y? 2
的交点坐标为
(,)0 0
和
(,)1 1
，而当
x? [,]0 1
,x x? 2 ( 图
7.4.3),
因此，所求的面积为
1 2
0
( ) dx x x
3
1
3
1
3
2
1
0
3?
xxx
。
夹在连续曲线
y f x? ( )
和
y g x? ( )
之间，
左右由直线 x a?,x b? 界定的那部分区域的面积 ( 图 7.4.2) 为
| ( ) ( ) | db
a
S f x g x x
。
例 7.4.2 设
(,)x y
是等轴双曲线
x y2 2 1
上的任意一点，求由双曲线与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t ( 图 7.4.4) 。
解 不妨设 x? 0,
2?t 2
1
1d
2
xxy
uu
|1|ln1 22 xxxxxy
xy xy x yln ( )ln ( )x y
。
由此得到
x y t e
，由于
x y2 2 1
,
两式相除便有
x y te
，于是解得
x t
y t
t t
t t
e e
ch
e e
sh
2
2
，
。
例 7.4.2 设
(,)x y
是等轴双曲线
x y2 2 1
上的任意一点，求由双曲线与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的曲边三角形的面积 t ( 图 7.4.4) 。
注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆上取点
(,)x y
和
(,)x y?
，类似地考虑由圆弧与连接点
(,)x y
和原点的线段，连接点
(,)x y?
和原点的线段所围成的扇形 ( 图 7.4.5),设扇形的面积为 t,则有熟知的结论
x t
y t
c o s
s i n
，
。
两 相 比 较,就 不 难 明 白,为 什 么 要 把
y x y xsh ch、
统称为双曲函数，并分别冠以双曲正弦和双曲余弦的名称。
若
()y f x?
，
[,]x a b?
是用参数形式
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]1 2
表达的，
)( tx
在
],[ 21 TT
上具有连续导数，且
0)( tx
。那么用换元法可以证明,由连续曲线
y f x? ( )
，直线 x a?,x b? 和
y? 0
（即 x 轴）所围区域的面积为
2
1
| ( ) ( ) | d
T
T
S y t x t t
。
例 7.4.3 求椭圆
x
a
y
b
2
2
2
2
1
的面积。
解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积 ( 图
7.4.6) 。将椭圆写成参数方程形式
x a t
y b t
c o s,
s i n,
则当 x 从 0 变到 a 时,t 从
2
变到 0,所以
π
2
0
sin ( c os ) d
4
S
ab t t t
π
2 2
0
s i n da b t t
=
4
ab
,
即
S ab
。
图 7.4.6
y
b
xa
例 7.4.4 求旋轮线（摆线） x a t t
y a t t
( s i n ),( c o s ),[,]1 0 2?
与 x 轴所围区域的面积 ( 图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) dS a t t
2 π2
0
1 c o s 21 2 c o s d
2
ta t t
3 2? a 。
0 x
y
a
图 7.4.7
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(?rr? 是区间 ],[ 上的连续函数 ( 2 π ),
求由两条极径, 与 )(?rr? 围成的图形的面积 S 。
下面来求极坐标下的面积公式。
设曲线的极坐标方程 )(?rr? 是区间 ],[ 上的连续函数 ( 2 π ),
求由两条极径, 与 )(?rr? 围成的图形的面积 S 。
在
[,]
中取一系列的分点
i?
，满足
n?210
记
1 iii
，在每个
1[,]ii
上任取一点
i?
，用半径为
)( ir?
、圆心角为
i
的小扇形的面积
iir )(
2
2
1
近似代替相应的小 曲边扇形的面积 ( 图 7.4.8),
那么
n
i
iirS
1
2 )(
2
1
,
因为 )(?rr? 在 ],[ 中 连续，所以 )(
221?r
在 ],[ 上可积。令 小扇形的圆心角的最大值
0)(m a x1 ini
,即有
n
i
iirS
1
2
0
)(l im21
21 ( ) d
2 r
,
这就是 极坐标下的面积公式。
例 7.4.5 求双曲螺线 ra 当? 从?
4
变到 2
4
时极径 r 扫过的面积 ( 图 7.4.9) 。
解 直接用极坐标下的求面积公式,
2 9 π 4
2π 4
1 d2aS 9 π 42
π 4
1
2
a
216
9 πa?
。
例 7.4.5 求双曲螺线 ra 当? 从?
4
变到 2
4
时极径 r 扫过的面积 ( 图 7.4.9) 。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 s in 3ra,
[ 0,π ] ( 图 7.4.10) 所围区域的面积。
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的面积，这时? 的变化范围是 π
0,
6
。
π
6
2
2
0
6 s in 3 d
2
aS
π
222
0
s i n da a
2
4
。
例 7.4.6 求三叶玫瑰线 s in 3ra,
[ 0,π ] ( 图 7.4.10) 所围区域的面积。
求曲线的弧长首先来定义什么叫一段曲线的弧长。
设平面曲线的参数方程为
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]
1 2
,
对区间
[,]T T1 2
作如下划分,
T t t t t Tn1 0 1 2 2
,
于是便得到这条曲线上 顺次排列的
n? 1 个 点
P P P n0 1,,,?
，
P x t y ti i i? ( ( ),( ))
，
用
P Pi i? 1
表示连接点
P Pi i? 1 和的直线段的长度，那么相应的折线的长度可以表示为
P P
i i
i
n
1
1
。
y
x
P0
P1
P2
P3
P4
PiPi-1
Pn
Pn-1
… …
图 7.4.11
若当
m a x ( )
1
0
i n i
t?
时，极限
lim
0 11
P Pi i
i
n 存在，且极限值与区间
21,TT
的划分无关，则称这条曲线是 可求长 的，并将此极限值
l P Pi i
i
n
lim
0 11
称为该条曲线的 弧长 。
我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率?,用的也正是这样的思想方法。
讨论,
ii PP 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x t x t y t y ti i i i1
2
1
2
,
若
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上连续，在
(,)T T1 2
上可导，则由 L a g r a n g e 中值定理，存在
i?
和
i?
属于
(,)t ti t? 1
，成立
x t x ti i( ) ( ) 1
ii tx )(?
,
y t y ti i( ) ( ) 1
ii ty )(?
,
于是
P P
i i
i
n
1
1
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([
。
由于
i?
和
i?
一般不会相同，上式还不是 R i e m a n n 和
n
i
iii
tyx
1
22
)]([)]([
，
],[ 1 tii tt
的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长 l 正是这一 R i e m a n n 和的极限值。
定义 7.4.1 若
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上连续，且
0)]([)]([ 22 tytx
，则由参数方程
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]1 2
确定的曲线称为 光滑曲线 。
光滑曲线上的切线是连续变动的。
定理 7.4.1 （ 弧长公式 ） 若 由参数方程
x x t
y y t t T T
( ),
( ),[,]1 2
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
l x t y t t
。
证 对区间
[,]T T1 2
作划分，有
n
i
ii PP
1
1?
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
iii tyx
1
22 )]([)]([
n
i
ii yx
1
22 )]([)]([
iii tyx
22 )]([)]([
。
定理 7.4.1 （ 弧长公式 ） 若 由参数方程
x x t
y y t t T T
( ),
( ),[,]1 2
确定的曲线是光滑曲线，则它是可求长的，其弧长为由三角不等式
x x y y x y x y1 2 22 1 2 22 1 1 2 2 2 2( ) ( )| | | |x y x y1 1 2 2
,
得到
n
i
ii PP
1
1?
n
i
iii tyx
1
22
)]([)]([
i
n
i
ii txx
1
|)()(| i
n
i
ii tyy
1
|)()(|
i
n
i
ii
n
i
i tt
11
~
,
其中
i?
和
i?
~
分别是
x t( )
和
y t( )
在
[,]t ti t? 1
中的振幅。
因为
x t( )
和
y t( )
在
[,]T T1 2
上可积，由定积分存在的充分必要条件，
当
0)(m a x
1
ini
t
，有
0
1
i
n
i
i t
，及
0~
1
i
n
i
i t
,
于是
l P Pi i
i
n
lim
0
1
1
n
i
iii tyx
1
22
0
)]([)]([lim
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
x t y t t
。
注
22d [ ( ) ] [ ( ) ] dl x t y t t
称为 弧长的微分 。
当曲线采用直角坐标系下的显式方程
y f x x a b( ),[,]
时，容易得到相应的弧长公式
21 [ ( ) ] db
a
l f x x
。
当曲线采用极坐标方程
)(?rr?
，
],[
时，由于
c o s)(rx?
，
s i n)(ry?
，因此
s i n)(c o s)()( rrx
，
c o s)(s i n)()( rry
,
所以
2222 )]([)]([)]([)]([ rryx
,
于是
22[ ( ) ] [ ( ) ] dl r r?
。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
x a t
y a t
c o s,
s i n,
[0,2 π ]t?,
π2 22
04 c o s s i n dl a t t t
2? a 。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
解法三 采用极坐标方程 r a?,[0,2 π ],这时r 0,因此
2 π 22
0 ( ) ( ) dl r r
2 π
0 d2 πaa
。
一般来说，采用不同的方程形式求曲线的弧长，难易 程度会有所不同。
解法二 采用直角坐标系下的参数方程
x a t
y a t
c o s,
s i n,
[0,2 π ]t?,
π2 22
04 c o s s i n dl a t t t
2? a 。
例 7.4.7 求半径为 a 的圆的周长。
解法一 采用直角坐标系下的显式方程 22()y f x a x,
2
0
4 1 [ ( ) ] dal f x x
220
d4 a xa
ax
0
4 a rc s i n 2 π
ax
aa
a
。
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长 ( 见图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) s i n dl a t t t
2 π
02 1 c o s da t t
2 π
02 s i n d2
tat 8 a 。
0 x
y
用同样的方法，可将定理 7.4.1 的结论推广到求空间曲线的弧长上去。
设
x t( )
、
y t( )
、
z t( )
在
],[ 21 TT
上连续，且
0)]([)]([)]([ 222 tztytx
，
则由参数方程
x x t
y y t
z z t
t T T
( ),
( ),
( ),
[,]
1 2
确定的曲线的弧长为
2
1
2 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
l x t y t z t t
。
0 x
y
例 7.4.8 求旋轮线一拱的弧长 ( 见图 7.4.7) 。
解 2 π
22
0 ( 1 c o s ) s i n dl a t t t
2 π
02 1 c o s da t t
2 π
02 s i n d2
tat 8 a 。
例 7.4.9 求圆锥螺线
x at t
y at t
z bt
c os,
s i n,
,
( 图 7.4.12) 第一圈的长度。
解
2 π 2 2 2 2 2
0
[ c o s s i n ] [ s i n c o s ] dl a t t t a t t t b t
2 π 2 2 2 2
0
da t a b t
2 π
2 2 2 2 2
0
l n | |
2
a
t t s s t t s
（记 b
a
s
2
2
21
）
2 2 2
22 2 π 4 π
π 4 π ln
2
ss
as
s
。
例 7.4.9 求圆锥螺线
x at t
y at t
z bt
c os,
s i n,
,
( 图 7.4.12) 第一圈的长度。
当 b? 0 时，圆锥螺线退化为平面上的 A r c h i m e des 螺线 ( 图 7.4.13),
此时 s 2 1?,因此
222 π 4 π +1 l n ( 2 π +4 π + 1 )
2
al
,
这正是 A r c h i m e des 螺线 ra 第一圈的长度（见习题 3 ⑺ ）。
求某些特殊的几何体的体积设三维空间中的一个几何体夹在平面
x a? 和 x b? 之间，若对于任意 ],[ bax?,过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面的面积 A x( ) 是已知的，且 A x( ) 又是 [,]a b 上的连续函数，则我们可以用定积分计算出它的体积 ( 图 7.4.14) 。
对区间
[,]a b
作划分
a x x x x bn0 1 2?
,
记小区间
[,]x xi i? 1
的长度为
x x xi i i 1
,
在每个小区间上取一点
i?
，用底面积为
() iA?
，高为
x i
的柱体体积近似代替 夹在平面
x x i 1
和
x x i?
之间的那块 小几何体的体积，那么这些柱体体积之和
n
i
ii
xA
1
)(?
就是整个几何体体积的近似。令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
时，得到
0
1
l im ( ) ( ) d
n
b
ii
a
i
V A x A x x
,
这就是所要求的 几何体 的体积。
据《九章算术》记载，我国南北朝时的数学家祖暅 ( 祖冲之之子 )
在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为,祖暅原理,）,,夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异．,用现在的话来讲，一个几何体 (,立积,) 是由一系列很薄的小片 (,基,) 叠成的；若两个几何体相应的小片的 截面积 (,幂势,) 都相同，那它们的体积
(,积,) 必然相等．这一结论与上述求体积公式的推导思想是相同的 。
意大利数学家 Cav al i eri 在 1635 年得到了同样的结论，但比祖暅迟了一千多年。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a,平面
1P
过其底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2P
成夹角
，求圆柱体被
1P
与
2P
所截得的那部分的体积。
例 7.4.10 已知一个直圆柱体的底面半径为 a,平面
1P
过其底面圆周上的一点，且与其底面所在的平面
2P
成夹角
，求圆柱体被
1P
与
2P
所截得的那部分的体积。
解 先建立坐标系。将平面
2P
取成 xy 平面，并使得圆柱体底面的圆心与原点重合，同时让
1P
与 圆柱体底面圆周的交点落在
y
轴上
( 图 7.4.15) 。
对于任意
],[ aay
，过 y 点 且与 y
轴垂直的平面与该几何体的截面是一个竖立的矩形，它的底为
2 2 2a y?
,
高为
t a n)( ay?
，于是
A y( ) 222 ayt a n)( ay
,
因此，所求的体积为
2 2 2 22 t a n d d
aa
aa
V y a y y a a y y?
。
2 2 2 22 t a n d daaaaV y a y y a a y y
。
容易看出，括号内的第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为 0,第二项中的积分恰为上半个圆的面积，即得到
3π t a nVa
。
注意，若采用以与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面是一个直角梯形，处理就会麻烦很多。
公式
( )d
b
a
V A x x
的一个重要的应用是计算旋转体的体积。
设函数
)( xf
在
],[ ba
上连续。对于由
|)(|0 xfy
与 a x b 所界定的那块平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体，若用过 x 点且与 x 轴垂直的平面去截，得 到的截面显然是一个半径为 |
f x( )
| 的圆 ( 图
7.4.16) 。因此它的面积为
A x( ) 2π [ ( ) ]fx?
,
所以该旋转体的体积计算公式为
2π [ ( ) ] db
a
V f x x
。
设曲线的参数方程为
),(
),(
tyy
txx ],[ 21 TTt? 。
假设在
],[ 21 TT
上，
)( tx?
和
)( ty
连续，且
0)( tx
。 对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
V 2
1
2π ( ) ( ) dT
T
y t x t t
。
极坐标下由 0 ( )rr （ [,] [0,π ] ） 所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积为
32 π ( ) sin d
3Vr
。
（见习题 6 （ 2 ））。
设曲线的参数方程为
),(
),(
tyy
txx ],[ 21 TTt? 。
假设在
],[ 21 TT
上，
)( tx?
和
)( ty
连续，且
0)( tx
。 对上式作变量代换，即得到相应的旋转体的体积公式
V 2
1
2π ( ) ( ) dT
T
y t x t t
。
例 7.4.11 求半径为 a 的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 y a x2 2 与 x 轴围成的半个圆绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22π ( ) da
a
V a x x
3
2π
3
a
a
x
ax
43 3? a
。
例 7,4,1 2 求旋轮线一拱 ( 见图 7,4,7 ) 与 x 轴围成的图形绕 x
轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转体体积的公式,
2
1
2π ( ) ( ) dT
TV y t x t t
2 π33
0π ( 1 c o s ) da t t
5 2 3? a 。
例 7.4.11 求半径为 a 的球的体积。
解 半径为 a 的球的体积可看成上半圆周 y a x2 2 与 x 轴围成的半个圆绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
22π ( ) da
a
V a x x
3
2π
3
a
a
x
ax
43 3? a
。
求旋转曲面的面积设
],[
),(
),(
21
TTt
tyy
txx
确定平面上一段光滑曲线，且在
],[ 21 TT
上
0)(?ty
，现求它绕 x 轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积。
对区间
],[ 21 TT
作划分,
22101 TttttT n
,
由此得到 曲线上 顺次排列的 n? 1
个 点
P P P n0 1,,,?
,
P x t y ti i i? ( ( ),( ))
。
记
s i
是连接
P i? 1
和
Pi
的直线段绕 x 轴旋转一周得到的圆台侧面的面积，
则
s i [ ( ) ( )]y t y t P Pi i i i1 1
。
若当
m a x ( )
1
0
i n i
t?
时，极限
n
i
is
1
0
l im
lim [ ( ) ( )]
0
1 1
1
y t y t P Pi i i i
i
n
存在，且极限值与区间
21,TT
的划分无关，则称极限值
n
i
isS
1
0
lim
lim [ ( ) ( )]
0
1 1
1
y t y t P Pi i i i
i
n
为该段曲线绕 x 轴旋转一周所得到的 旋转曲面的面积 。
这也不是 R i em an n 和的极限，但与求曲线长度时的讨论一样，可以得到
2
1
222 π ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] dT
T
S y t x t y t t
。
利用弧长的微分公式，也可以将上式写成
2
1
2 π ( ) dT
T
S y t l
。
例 7.4.13 求半径为 a 的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 y a x
2 2
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
22 π ( ) 1 [ ( ) ] da
a
S f x f x x
22
22
2 π d
a
a
axax
ax?
4 2? a 。
例 7.4.14 求旋轮线一拱 ( 见图 7.4.7) 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
解 将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式
2 π2 2 2
0
2 π ( 1 c o s ) ( 1 c o s ) s i n dS a t t t t
2 π2
0
22 π ( 1 c o s ) 1 c o s da t t t
2 π23
0
16 π s i n d
22
tt
a
64
3
2? a
。
例 7.4.13 求半径为 a 的球的表面积。
解 此即为求半径为 a 的圆的上半部分 y a x
2 2
绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。因此,
22 π ( ) 1 [ ( ) ] da
a
S f x f x x
22
22
2 π d
a
a
axax
ax?
4 2? a 。
本节中的计算公式列表直角坐标显式方程
y f x x a b( ),[,]
直角坐标参数方程
),(
),(
tyy
txx ],[
21 TTt?
极坐标方程
()rr
，
[,]
平面图形面积
( ) d
b
a
f x x?
2
1
( ) ( ) d
T
T
y t x t t
21
2 ( ) dr
弧长微分
2d 1 [ ( ) ] dl f x x
22d [ ( ) ] [ ( ) ] dl x t y t t
22d ( ) ( ) dl r r
曲线弧长
21 [ ( ) ] d
b
a
f x x
2
1
22[ ( ) ] [ ( ) ] d
T
T
x t y t t
22( ) ( ) drr
旋转体体积
2π [ ( ) ] d
b
a
f x x?
2
1
2π ( ) ( ) d
T
T
y t x t t
32
3 π ( ) s i n dr
旋转曲面面积
22 π ( ) 1 [ ( ) ] d
b
a
f x f x x
2
1
222 π ( ) ( ) ( ) d
T
T
y t x t y t t
222 π ( ) s i n ( ) ( ) dr r r
曲线的曲率在许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。
究竟如何来刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图 7.4.18 所示的两条光滑曲线 C 和 C? 上的曲线段 AB 和 ''AB,它们的弧长分别记为 s? 与
s 。当动点从 A 点沿曲线段 AB 运动到 B 点时,A 点的切线
A?
也随着转动到 B 点的切线
B?
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
B?
和 x
轴的交角与
A?
和 x 轴的交角之差），同样地，记曲线段 ''AB 的两个端点
A?,B? 处的切线
A
和
B
的夹角为
。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大。也就是说，如果 ss,而,那么可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大；反之，如果,而
ss,那么同样可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大。
定义
s
K
为曲线段 AB 的 平均曲率,它刻画了曲线段 AB 的平均弯曲程度。定义
0
d
l i m
ds
K
ss
为曲线 C 在 A 点的 曲率 （如果该式中的极限存在的话）。这里取绝对值是为了使曲率不为负数。
显然，当弧的长度相同时，则切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大；而当切线间的夹角相同时，则弧的长度愈小，同样曲线的弯曲程度就愈大。也就是说，如果 ss,而,那么可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大；反之，如果,而
ss,那么同样可以认为 ''AB 的弯曲程度比 AB 的弯曲程度大。
设曲线
C
在 A 点处的曲率
0?K
，若过 A 点作一个半径为
K
1
的圆，
使它在 A 点处与曲线
C
有相同的切线，并在 A 点附近与该曲线位于切线的同侧 ( 图 7.4.19),我们把这个圆称为曲线
C
在 A 点处的 曲率圆 或密切圆 。 曲率圆的半径
K
R
1
和圆心
0A
分别称为曲线
C
在 A 点处的 曲率半径 和 曲率中心 。 由曲率圆的定义可以知道，曲线
C
在点 A 处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸性。
图 7,4,19
例 7.4.15 求椭圆
tax c o s?
，
tby s in?
（
0 πt
）上曲率最大和最小的点（
ab0
）。
解 由于
tax s i n
，
tax c o s
，
tby c o s
，
tby s in
,
得到
22
3 3 2 3 2
2 2 2 22 2 2 2
22
2
| s i n c o s |
( ) s i ns i n c o s
x y x y a b t a b t a b
K
a b t ba t b t
xy
。
因此当
0 ba
时，椭圆上在
0,πt?
对应的点，即长轴的两个端点，
曲率最大；在
π 3 π
,
22
t?
对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。
当
Rba
时（这时椭圆成为半径为 R 的圆），
RK /1?
，即圆上各点处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。
设光滑曲线由参数方程
t
tyy
txx
),(
),(
确定，且
)(),( tytx
有二阶导数。对于每个
],[t
，曲线在对应点的切线斜率为
d ( )
t a n
d ( )
y y t
x x t
,
其中
是该切线与 x 轴的夹角，由
)(
)(
a r c t a n
tx
ty
,即可得到
22
d ( ) ( ) ( ) ( )
d ( ) ( )
x t y t x t y t
t x t y t
。
另外，由弧长的微分公式知
22d ( ) ( )
d
s
x t y t
t
。
于是
3
22
2
d
( ) ( ) ( ) ( )d d
dd
( ) ( )
d
x t y t x t y tt
K
ss
x t y t
t
。
这就是曲率的计算公式。
特别地，如果曲线由 )( xyy? 表示，且 )( xy 有二阶导数，那么相应的计算公式为
2
3
2 )1( y
y
K
。
容易知道，直线上曲率处处为零。
另外，由弧长的微分公式知
22d ( ) ( )
d
s
x t y t
t
。
于是
3
22
2
d
( ) ( ) ( ) ( )d d
dd
( ) ( )
d
x t y t x t y tt
K
ss
x t y t
t
。
这就是曲率的计算公式。
例 7.4.16 求悬链线
ee
2
xx
aa
a
y
的曲率（
0?a
）。
解
y 1
ee
2
xx
aa
，
y
2
1
ee
2
xx
aa
y
aa
。
由于
0?y
及
2
2
1
1 1 e e
4
xx
aa
y
y
a
,
所以
3
2
2
3
2
)1(
a
y
a
y
y
y
K
2
y
a
2
4
ee
xx
aa
a
。
