无穷乘积的定义设 p 1,p 2,?，
np
，?（
0?np
）是无穷可列个实数，我们称它们的“积”
nppp 21
为 无穷乘积,记为
1n
np
，其中
np
称为 无穷乘积的通项 或 一般项 。
§ 5 无穷乘积与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构作无穷乘积
1n
np
的,部分积数列,｛
nP
｝,
1P
=
1p
,
2P
=
21 pp?
,
3P
=
321 ppp
,
nP
=
nppp21
=
n
k
kp
1
,
定义 9,5,1 如果部分积数列 ｛
nP
｝ 收敛于一个非零的有限数 P,
则称无穷乘积
1n
np
收敛,且称 P 为它的积,记为
1n
np
= P 。
如果 ｛
nP
｝ 发散或 ｛
nP
｝ 收敛于 0,则称无穷乘积
1n
np
发散 。
注意,当
nn Pl i m
= 0 时，我们称无穷乘积
1n
np
发散于 0,而不是收敛于 0 。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。
定义 9,5,1 如果部分积数列 ｛
nP
｝ 收敛于一个非零的有限数 P,
则称无穷乘积
1n
np
收敛,且称 P 为它的积,记为
1n
np
= P 。
如果 ｛
nP
｝ 发散或 ｛
nP
｝ 收敛于 0,则称无穷乘积
1n
np
发散 。
定理 9,5,1 如果无穷乘积
1n
n
p
收敛,则
(1 )
lim
n
nP
= 1 ；
(2 )
m
lim?
1mn
n
p
= 1 。
证 设
1n
n
p
的部分积数列为｛
nP
｝，则
lim
n
np
=
lim
n
1?n
n
P
P
= 1 ；
m
lim?
1mn
n
p
=
m
lim
m
n
n
n
n
p
p
1
1
=1 。
为方便起见，我们常把
np
记为 1 + a n,则定理 9,5,1 的 (1 ) 又可表达为,如果无穷乘积
1
)1(
n
na
收敛,则
lim
n
a n = 0 。
定理 9,5,1 的 ( 1 ) 可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0 。作为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。
例如，设 p n =
12?n
n,q n =
1
2
n
n,r 2 n =
12?n
n,12?nr =
1
2
n
n,则无穷乘积
1n
np
，
1n
nq
，
1n
nr
都是发散的。
例 9,5,1 设
np
=
1
11
n
（ n = 1,2,?），则部分积
nP
=
n
k k1 1
1
1
=

n
k k
k
1 1
=
14
3
3
2
2
1

n
n? =
1
1
n
,
由
nn Pl i m
= 0,可知无穷乘积
1 1
1
1
n n
发散于 0 。
例 9.5,2 设
np
=
2
)2(
1
1
n
,n = 1,2,?，则部分积
nP
=
n
k k1
2
)2(
1
1
=


n
k kk
kk
1 22
)12)(12(
=
)2)(2(664422
)12)(12(755331
nn
nn


=
2
2
]!)!2[(
]!)!12[(
n
n? )12( n
。
为了判断部分积数列｛
nP
｝的收敛性，考虑积分
I
n
= π
2
0
s i n d
n
xx?
,
由例 7,3,8,我们知道
nI 2
=
!)!2(
!)!12(
n
n π
2
,
12?nI
=
!)!12(
!)!2(
n
n
,
因此
π
2
n
P
=
12
2
n
n
I
I
。
由于
12 nI?nI 2 12?nI
，可得

12
2
1
n
n
I
I
12
12
n
n
I
I
,
因为
n
l i m
12
12
n
n
I
I
=
n
l i m
n
n
2
12?
= 1,由数列极限的夹逼性,
lim
n
nP
=
lim
n
2
21
2
π
n
n
I
I



=
2
π
,
于是得到无穷乘积
1
2
)2(
1
1
n n
的收敛性，并且
1
2
)2(
1
1
n n
=
2
π
。
将上式换一个形式表示，就得到著名的 W al l i ce 公式
π2 =?12?32?34?54?5676 12 2n n 12 2n n 。
例 9,5,3 设
np
= c o s
n
x
2
,n = 1,2,?,应用三角函数的倍角公式,
s i n x = 2 c o s
2
x
s i n
2
x
= 2
2
co s
2
x
co s
2
2
x
s i n
2
2
x

= 2
n
c o s
2
x
co s

2
2
x
co s
n
x
2
s i n
n
x
2
,
可知当 0 ＜ x ＜ π 时，部分积
nP
=
n
k
k
x
1 2
c o s
=
n
n
x
x
2
s i n2
s i n
,
所以
nn Pl i m
=
n
l i m
n
n x
x
2
s i n2
s i n
=
x
xs i n
,
即
1 2
c o s
n
n
x
=
x
xs i n
。
令 x =
π
2
，就得到 V iet e 公式
2
π
= c o s
π
4
c os
π
8

c os
π
2 n
。
无穷乘积与级数由定理 9,5,1,无穷乘积
1n
np
收敛的必要条件是
nn plim
= 1,因此必定存在正整数 N,当 n? N 时成立
0?np
。由于无穷乘积的收敛性与它的前 N 项非零因子无关，所以在讨论无穷乘积
1n
np
的收敛性问题时，都假定
0?np
。
定理 9,5,2 无穷乘积
1n
np
收敛的充分必要条件是级数
1
ln
n
np
收敛 。
证 设
1n
np
的部分积数列为｛
nP
｝，
1
ln
n
np
的部分和数列为｛
nS
｝，
则
nP
=
nSe
,
由此得到｛
nP
｝收敛于非 零实数的充分必要条件是｛
nS
｝收敛。特别，｛
nP
｝收敛于 0,即
1n
np
发散于 0 的充分必要条件是｛
nS
｝发散于 。
推论 1 设 a
n?
0 （或 a
n?
0 ）,则无穷乘积
1
)1(
n
n
a
收敛的充分必要条件是级数
1n
n
a
收敛 。
证 级数
1
)1l n (
n
n
a
与
1n
n
a
都是正项级数 ( 或都是负项级数 ),它们都以
lim
n
a
n
= 0 为收敛的必要条件，而当
lim
n
a
n
= 0 时,
lim
n
n
n
a
a )1ln (?
=1,
于是由正项级数的比较判别法，级数
1
)1l n (
n
n
a
收敛的充分必要条件是
1n
n
a
收敛。
由推论 1,立刻可以得到例 9,5,1,例 9,5,2 和例 9,5,3 中关于无穷乘积收敛与发散的结论。
如果 { a
n
} 不保持定号，则
1n
n
a
的收敛性并不能保证无穷乘积
1
)1(
n
n
a
的收敛性。事实上，我们有下述进一步的结果,
推论 2 设无穷级数
1n
n
a
收敛,则无穷乘积
1
)1(
n
n
a
收敛的充分必要条件是级数
1
2
n
n
a
收敛 。
证 由
1n
n
a
收敛，可知
lim
n
a
n
= 0,由 l n ( 1+ a
n
)? a
n
及
lim
n 2
)1ln (
n
nn
a
aa
=
lim
n
22
2
1
()
2
nn
n
a o a
a
=
2
1
,
由 比较判别法，当
1
)1l n (
n
n
a
与
1n
n
a
收敛时，必有
1
2
n
n
a
的收敛性。
反过来，当
1
2
n
n
a
收敛时，由于
1n
n
a
的收敛性，必可得到
1
)1l n (
n
n
a
的收敛性。
例 9,5,4 讨论

1
1
)1(
1
n
x
n
n
的敛散性。
解 由无穷乘积收敛性的必要条件，可知当 x? 0 时，

1
1
)1(
1
n
x
n
n
是发散的。
当 x? 0,
1n
na
=
1
1
)1(
n
x
n
n
收敛，而
1
2
n
na
=
1
2
1
n
xn
在 0? x?
2
1
时发散，
在 x?
2
1
时收敛，于是由推论 2,得到,
当 x?
2
1
时，

1
1
)1(
1
n
x
n
n
收敛；当 x?
2
1
时，

1
1
)1(
1
n
x
n
n
发散。
从定理 9,5.2 推论 2 的证明中可以看出，若
1n
na
收敛，而
1
2
n
na
=,则无穷乘积
1
)1(
n
na
必定发散于 0,证明留给读者。
注意,推论 2 的叙述不能改为“
1
)1(
n
na
收敛的充分必要条件是
1n
na
与
1
2
n
na
收敛”。事实上，我们有这样的例子，
1
)1(
n
na
是收敛的，
但
1n
na
与
1
2
n
na
却都是发散的（见习题 7 ）。
定义 9,5,2 当级数
1
ln
n
np
绝对收敛时,称 无穷乘积
1n
np
绝对收敛 。
显然，绝对收敛的无穷乘积必定收敛。
由于绝对收敛级数具有可交换性，可知绝对收敛的无穷乘积具有可交换性，而收敛但非绝对收敛的无穷乘积不一定具有可交换性。
定理 9,5,3 设 a n 1,n = 1,2,?,则下述三命题等价,
(1 ) 无穷乘积
1
)1(
n
na
绝对收敛 ；
(2 ) 无穷乘积
1
)||1(
n
na
收敛 ；
(3 ) 无穷级数
1
||
n
na
收敛 。
定义 9,5,2 当级数
1
ln
n
np
绝对收敛时,称 无穷乘积
1n
np
绝对收敛 。
显然，绝对收敛的无穷乘积必定收敛。
由于绝对收敛级数具有可交换性，可知绝对收敛的无穷乘积具有可交换性，而收敛但非绝对收敛的无穷乘积不一定具有可交换性。
证 首先命题 ( 1 ),( 2 ),( 3 ) 的必要条件都是
lim
n
a
n
= 0 。而在
lim
n
a
n
=
0 的条件下,
lim
n
||
|)1ln (|
n
n
a
a?
= 1,
lim
n
||
)||1ln (
n
n
a
a?
= 1,
由正项级数的比较判别法，即得到定理的结论。
由定理 9,5,3,例 9,5,4 中的无穷乘积

1
1
)1(
1
n
x
n
n
在 x? 1 时绝对收敛，在
2
1
x? 1 时非绝对收敛。
例 9,5.5 证明 S t irli n g 公式,
!n
～ nn
n?
e2 2
1 (
n
) 。
证 设
1
2
!e
n
n
n
n
b
n
，
1,2,n?
，则
1
n
n
b
b
1
21
e1
n
n



11
1 l n 1
2e
n
n


22
11
12e
o
nn



22
11
1
12
o
nn



。
令 1 + a
n
=
1?n
n
b
b
，于是
2n
n
a
是收敛的定号级数，由定理 9,5,2 的推论 1,
无穷乘积
2
)1(
n
n
a
=
2 1n n
n
b
b
收敛于非零的实数。
记
lim
n
b n = b 1
0
2 1


A
b
b
n n
n
,
利用例 9,5,2 中的 W al l i ce 公式，得到
A =
lim
n
b n =
lim
n
n
n
b
b
2
2 =
lim
n !)!12(
!)!2(
n
n
n
2 =?2,
此式即为
!n ～ nnn e2 2
1 (
n ) 。
例 9,5.6 求极限
lim
n
n n
n
!
。
解 由
lim
n
1
2
!
1
2 π e
n
n
n
n
,
易知
lim
n
1
2
!
2 π e
n
n
n n
n
n
=
lim
n
1
2
!
1
2 π e
n
n
n
n
n
。
于是利用等价无穷大量代换的方法得到
lim
n
!n
n
n
limn
1
2
e
2 π e
nn
n
n
n
。
例 9,5.7 证明,
s in x = x 2
22
1
1
πn
x
n



。
证 由三角函数的知识，我们知道
s in 3
= s i n
(3 - 4s in
2
),
s in 5
= s in
(5 - 20s in
2
+ 16s in
4
),
利用三角恒等式
s in ( 2 k + 1 )
= 2( 1 - 2s in
2
) s in ( 2 k - 1)
- s in ( 2 k - 3)
,
以及应用数学归纳法，可以得到
s in ( 2 n + 1 )
= s in
P ( s in
2
),
其中 P ( u ) 是 n 次多项式 。
P ( u ) 的常数项为
P ( 0) =
0
l i m

P ( s in
2
) =
0
l i m

si n( 2 1 )
si n
n?
= 2 n +1 。
由于
=
π
21
k
n?
（ k =1,2,?,n ）使上面等式的左端取值为 0,可知
2 π
sin
21
k
n?
（ k = 1,2,?,n ）恰好是多项式 P ( u ) 的 n 个不同的根，于是
P ( u ) = (2 n + 1 )
2
1
1
π
sin
21
n
k
u
k
n





,
从而得到
s in ( 2 n + 1 )
= ( 2 n + 1) s in
2
2
1
sin
1
π
sin
21
n
k
k
n





。
令 x = ( 2 n + 1)
，代入上式后得到
s in x = (2 n + 1) s in
12?n
x
2
2
1
sin
21
1
π
sin
21
n
k
x
n
k
n





,
固定 m,当 n ＞ m 时，成立
2
2
1
sin
sin
21
( 2 1 ) sin 1
π21
sin
21
m
k
x
x
x
n
n
kn
n






=
2
2
1
s in
21
1
π
s in
21
n
km
x
n
k
n






。
当
n
时上式左端的极限为
2
22
1
sin
1
π
m
k
x
x
x
k



。
由于
s i n
2
12 n
x
2
2
)12(?n
x
,
s in
2
π
21
k
n?
2
4
22
2
π
( 2 1 )
k
n?
( k =1,2,?,n ),
关于上式的右端，有估计式


n
mk
n
k
n
x
1 2
2
12
s i n
12
s i n
11

n
mk k
x
1
2
2
4
1?


1
2
2
4
1
mk k
x
。
令n,就得到
2
22
1
s in
1
1
π
m
k
x
x
x
k







1
2
2
4
1
mk k
x
。
由
1
2
2
4k k
x 的收敛性，可知无穷乘积


1
2
2
4
1
k k
x
收敛，再根据定理 9,5,1
的 ( 2),令m,由极限的夹逼性，得到
s in x = x 2
22
1
1
πn
x
n



。