数值积分对于 求定积分，虽然有了 N ew t o n - L ei b n i z 公式，但在整个可积函数类中，能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分，也就是说，
对 绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 N ew t o n - L ei b n i z 公式求得其定积分之值 。
另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出这个函数在某个区间上的积分值，那么 N ew t o n - L ei b n i z 公式是难有用武之地的。
所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分 是其中最 重要的一种。
§ 6 定积分的数值计算从数值计算的观点来看，若能在
[,]a b
上找到一个具有足够精度的替代
f x( )
的可积函数
p x( )
，而
)( xp
的原函数可以用初等函数
)( xP
表示，
比如，
p x( )
为
f x( )
的某个插值多项式，那么便可用
p x( )
的 积分值近似地代替
f x( )
的积分值，即
( )d
b
a
f x x? ( )d
b
a
p x x b
axP )(?
。
此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数，
并将积分区间细化是数值积分的主要思想。
Ne w t o n - Co t e s 求积公式这是一个取等距结点的数值积分公式。
将积分区间
[,]a b
以步长
h
b a
n
分成 n 等份，以分点
ihax i
（
nni,1,,2,1,0
）
为结点作
f x( )
的 L a g r a n g e 插值多项式
f x( )? )()(
0 0
i
n
i
n
ij
j ji
j
n
xf
xx
xx
xp
,
对等式两边在
[,]a b
上积分，便有
( )d
b
a
f x x? ( ) d
b
na p x x
( ) ( )
( )
b a C f xi
n
i
n
i
0
,
这里,
()
0
1
d
n
b
jn
i
a
j ij
ji
xx
Cx
b a x x?


（令 x a th ）
0
0
d
n
n
j
ji
h t j
t
b a i j?


0
0
1 ( 1 )
( ) d
! ( ) !
ni n
n
j
ji
t j t
n i n i


。
这就是 n 步 N ew to n - C o tes 求积公式,计算时需取 n? 1 个结点，相应的
C i n( )
称为 C o tes 系数,它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式的积分事先算好。
C ot e s 系数具有如下性质,
1,对称性。可从
C i n( )
的表达式直接算出
C i n( )C n in( )
,
i n n0 1 2 1,,,,,?
,
2,规范性。 由于 Ne wton - C ot e s 公式对
f x( )? 1
是精确成立的，
因此
1d
b
a
x
( ) ( )b a C i n
i
n
0
,
即
C i n
i
n
( )

0
1
。
Ne wton - C otes 公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题，
下面是几个常用的情况。
⑴ 梯形公式当 n? 1 时，由 C otes 系数的性质，即知
C 0(1 )
C
1
1
2
(1 )
,
因此
( )d
b
a
f x x
b a
f a f b
2
[ ( ) ( )]
。
它的几何意义是用以
(,)a 0
，
(,( ))a f a
，
(,( ))b f b
和
(,)b 0
为顶点的直角梯形的面积近似代替由
y f x? ( )
,x a?,x b? 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.1 ）,
所以称为 梯形公式 。
a b
f(a)
f(b)
图 7.6.1
⑵ S i m ps on 公式当 n? 2 时,
2
( 2 ) ( 2 )
02
0
11
( 1 ) ( 2 ) d
46
C t t t C
,
C C C
1
2
0
2
2
2
1
4
6
( ) ( ) ( )

,
因此得到 S im p s o n 公式
( )d
b
a
f x x?


)(
2
4)(
6
bf
ba
faf
ab
。
它的几何意义是用过点
(,( ) )a f a
，

2
,
2
ba
f
ba
和
(,( ) )b f b
的抛物线
)(2 xpy?
与 x a?,x b? 和 x 轴所围成的曲边梯 形的面积，近似代替由
y f x? ( )
,x a?,x b? 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.2 ），
所以 S i m ps on 公式也 称为 抛物线 公式。
⑶ C otes 公式当 n? 4 时,
4
( 4 ) ( 4 )
04
0
17
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) d
9 6 9 0
C t t t t t C
,
4
( 4 ) ( 4 )
13
0
1 32
( 2) ( 3 ) ( 4) d
24 90
C t t t t t C
,
C C C
2
4
0
4
1
4
1 2
12
90
( ) ( ) ( )
( )
,
于是得到 Co t e s 公式
( )d
b
a
f x x)(12)]()([32)]()([7
90
23140
xfxfxfxfxf
ab

,
这里
x
i a ib
i
( )4
4
,
i? 0 1 2 3 4,,,,
。
例 7.6.1 分别用以上三个公式求
1
1
edx x

的近似值。
解 梯形公式,
I 1 1 1 3 08616127e e,
… ；
S i m ps on 公式：
I 2 1 0 1
1
3
4 2 362053757(e e e ),
… ；
C otes 公式,
I 4 1 1 0
1
45
7 32 12 2 350470904
1
2
1
2
[ (e e ) (e e ) e ],
… 。
而积分的精确值为
1
1
ed xIx
e
e
1? 2 350402387.
… 。
所 以,C otes 公式的精度最高，但它要计算 5 个函数值，而梯形公式只要计算两个就够了。
复化求积公式要提高数值积分的精度，不能采用一味提高 N ew t o n - Co t es 公式的步数的办法。理论上已经证明,n 较大时,N ew t o n - Co t es 公式的计算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是，先将积分区间分成若干等份，再在每一个小区间上使用低步数的 N ew t o n - Co t es 公式，
最后将各小区间上的积分近似值加起来。
⑴ 复化梯形公式将
[,]a b
以步长
h
b a
m
作 m 等分
ihax i
（
mmi,1,,2,1,0
），在每一个小区间
[,]x xi i? 1
使用梯形公式
( )d
b
a
f x x?
1
1
( ) d
i
i
m
x
x
i
f x x

h
f x f x
i i
i
m
2
1
1
[ ( ) ( )]
。
记

1
1
)1(
)(2)()(
2
m
i
im
xfbfaf
h
T
,
则
T m(1 )
称为将区间 m 等分的 复化梯形公式 。
可以证明，复化梯形公式与
( )d
b
a
f x x?
的误差为
))(( 2habO?
，与对整个区间直接使用梯形公式时的误差
))(( 3abO?
相比，精度大大提高了。
⑵ 复化 Si m p s o n 公式和复化 Co t es 公式记
x
i? 12
为区间
[,]x xi i? 1
的中点，可以完全类似地得到 复化 Si m ps o n
公式,
T Sm m( )2


m
i
iii
xfxfxf
h
1
1
)()(4)(
6 2
1


1
1 1
)(4)(2)()(
6 2
1
m
i
m
i
ii
xfxfbfaf
h
。
实际计算时并不是直接按这个公式去求
T m( )2
的。容易证明，复化
Si m p s o n 公式与复化梯形公式之间存在着如 下关系,
T
T T
m
m m( )
(1 ) (1 )
2 2
4
4 1
,
将
T
T T
m
m m( )
(1 ) (1 )
2 2
4
4 1
与第五章§ 4 的外推公式相比较，就知道 复化
S i m ps on 公式实质上是对复化梯形公式做了一次外推的结果。 但复化
S i m ps on 公式的误差为
5( ( ) )O b a h?
，远远好于
T m(1 )
和
T m2 (1 )
，这一现象符合我们在前面所说的，两个低精度的近似值进行适当外推后，可产生一个精度高得多的近似值。
仿照以上过程可导出复化 C ot e s 公式
T m( )3
，其满足关系式
T
T T
m
m m( )
( ) ( )
3
2
2
2 2
2
4
4 1
。