反常积分的 Cau c h y 收敛原理下面以
( ) d
a
f x x
为例来探讨反常积分敛散性的判别法 。
由于 反常积分
( ) d
a
f x x
收敛即为极限
limA ( )d
A
a
f x x?
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 C a u c h y 收敛原 理,它可以表述为如下形式,
§ 2 反常积分的收敛判别法定理 8.2.1 （ Cau c h y 收敛原理 ） 反常积分
( ) da f x x
收敛的充分必要条件是,对任意给定的 0,存在 aA?
0
,使得对任意 A A A,
0
，
有
( ) dAA f x x
。
§ 2 反常积分的收敛判别法反常积分的 Cau c h y 收敛原理下面以
( ) d
a
f x x
为例来探讨反常积分敛散性的判别法 。
由于 反常积分
( ) d
a
f x x
收敛即为极限
limA ( )d
A
a
f x x?
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 C a u c h y 收敛原 理,它可以表述为如下形式,
定义 8.2.1 设 f x( ) 在任意有限区间 [,]a A[,)a 上可积，且
| ( ) | d
a
f x x
收敛,则称
( ) d
a
f x x
绝对收敛 （ 或称 f x( ) 在 [,)a 上 绝对可积 ）。
若
( ) d
a
f x x
收敛而非绝对收敛，则称
( ) d
a
f x x
条件收敛 （ 或称
f x( ) 在 [,)a 上 条件可积 ）。
推论 若 反常积分
( ) d
a
f x x
绝对收敛，则它一定收敛。
证 对任意给定的 0,由于
| ( ) | d
a
f x x
收敛,所以存在
aA?0
，
使得对任意
A A A, 0
，成立
| ( ) | d
A
A
f x x?
。
利用定积分的性质，得到
( ) d
A
A
f x x
| ( ) | d
A
A
f x x?
,
由 C a u c hy 收敛原理，可知
( ) d
a
f x x
收敛。
虽然 C a u c h y 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，
但是对于具体的反常积分，在使用上往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法 。
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法定理 8.2.2 （比较判别法 ） 设在
[,)a
上恒有
)()(0 xKxf
，其中 K 是正常数。则
（ 1 ） 当
( ) d
a
xx?
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛；
（ 2 ） 当
( ) d
a
f x x
发散时
( ) d
a
xx?
也发散。
例 8.2.1 讨论
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
的敛散性 （
a
是常数） 。
解 因为 当
1x?
时有
xxax
xx 1s i n2c o s
23
,
在例 8.1.2 中，已知
1
1
d x
xx
收敛，由比较判别法，
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
绝对收敛，所以
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
收敛。
注意：在以上定理中，条件,在
[,)a
上恒有
)()(0 xKxf
”,
可以放宽为“存在
aA?
,在
),[A
上恒有
)()(0 xKxf
”。
推论（比较判别法的极限形式 ） 设在
[,)a
上恒有
( ) 0fx?
和
0)(?x?
，且
l
x
xf
x
)(
)(
lim
,
则
⑴ 若 0l,则
( ) d
a
xx?
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛；
⑵ 若 0l,则
( ) d
a
xx?
发散时
( ) d
a
f x x
也发散。
所以，当 0 l 时，
( ) d
a
xx?
和
( ) d
a
f x x
同时收敛或同时发散。
证 ⑴ 若
l
x
xf
x )(
)(l im
，则存在常数 Aa?,当 Ax? 时成立
1
)(
)( l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛。
⑵ 若
0
)(
)(l im
l
x
xf
x?
,存在常数 Aa?,使得当 Ax? 时成立
l
x
xf
)(
)(
,
其中 ll0 （当l 时,l? 可取任意正数）即
)()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
发散时
( ) d
a
f x x
也发散。
证 ⑴ 若
l
x
xf
x )(
)(l im
，则存在常数 Aa?,当 Ax? 时成立
1
)(
)( l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛。
例 8,2,2 讨论
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
的敛散性。
解 因为
limx
x
x x x x
43
4 3 23 3 5 2 1
1
,
由于
3 41
1 d x
x
收敛,所以
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
收敛。
将定理 8.2.2 中的
( )x
取为 1
x p
，就得到如下的 C a u c h y 判别法,
定理 8.2.3 （ Cau c h y 判别法 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
,K 是正常数。
⑴ 若
f x
K
x p
( )?
，且
p? 1
，则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若
f x
K
x p
( )?
，且
p? 1
，则
( ) d
a
f x x
发散。
例 8,2,2 讨论
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
的敛散性。
解 因为
limx
x
x x x x
43
4 3 23 3 5 2 1
1
,
由于
3 41
1 d x
x
收敛,所以
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
收敛。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( )x px f x l
,
则
⑴ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
发散。
例 8.2.3 讨论
0 ed
axxx
的敛散性（ R?a ）。
解 因为对任意常数 R?a,有
limx 0)e(2 xaxx
,
由 C au ch y 判别法的极限形式（ 1 ），可知
0 ed
axxx
收敛。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( )x px f x l
,
则
⑴ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
发散。
一般函数反常积分的收敛判别法我们先证明一个重要结果。
定理 8.2.4 （积分第二中值定理 ） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，
g x( )
在
[,]a b
上单调，则存在
[,]ab
，使得
( ) ( ) d
b
a
f x g x x? ( ) ( ) d ( ) ( ) d
b
a
g a f x x g b f x x
。
证 我们只对
f x( )
在
[,]a b
上连续，
g x( )
在
[,]a b
上单调且
)(' xg
在
[,]a b
上可积的情况加以证明。
记
F x( )?
( ) d
x
a
f t t?
，则
)( xF
在
],[ ba
连续，且
F a( )? 0
。由于
f x( )
在
[,]a b
上连续，于是
)( xF
是
f x( )
在
[,]a b
上的一个原函数，利用分部积分法，有
( ) ( ) d
b
a
f x g x x?
b
a
xgxF )()(? ( ) ( ) d
b
a
F x g x x
。
( ) ( ) d
b
a
f x g x x?
b
a
xgxF )()(? ( ) ( ) d
b
a
F x g x x
上式右端的第一项
)()()()( bgbFxgxF
b
a
( ) ( ) d
b
a
g b f x x
,
而在第二项中，由于
g x( )
单调，因此
g x( )
保持定号，由积分第一中值定理，存在
[,]ab
，使得
( ) ( ) d ( ) ( ) d
bb
aa
F x g x x F g x x [ ( ) ( ) ] ( ) d
a
g b g a f x x
,
于是
( ) ( ) d
b
a
f x g x x? ( ) ( ) d
b
a
g b f x x [ ( ) ( ) ] ( ) d
a
g b g a f x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
b
a
g a f x x g b f x x
。
注 在定理 8.2,4 的假设下，还有如下结论,
（ 1 ）若 )( xg 在 [,]a b 上单调增加，且 0)(?ag,则存在 [,]ab,使得
( ) ( ) db
a
f x g x x? ( ) ( ) dbg b f x x
；
（ 2 ）若 )( xg 在 [,]a b 上单调减少，且 0)(?bg,则存在 [,]ab,使得
( ) ( ) db
a
f x g x x ( ) ( ) d
a
g a f x x
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) da f x g x x
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) da f x x
收敛,g x( ) 在 [,)a 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) dAaF A f x x
在 [,)a 上有界,g x( ) 在
[,)a 上单调且 lim ( )
x g x 0
。
证 设? 是 任意给定的正数。
⑴ 若 A bel 判别法条件满足，记 G 是
| ( )|g x
在
[,)a
的一个上界，
因为
( ) d
a
f x x
收敛,由 C a u c h y 收敛原理，存在
aA?0
，使得对任意
A A A, 0
，有
( ) d
2
A
A
f x x
G
。
由 积分第二中值定理,
( ) ( ) d
A
A
f x g x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
A
A
g A f x x g A f x x
( ) d ( ) d
A
A
G f x x G f x x
22
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) da f x g x x
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) da f x x
收敛,g x( ) 在 [,)a 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) dAaF A f x x
在 [,)a 上有界,g x( ) 在
[,)a 上单调且 lim ( )
x g x 0
。
⑵ 若 Di r i c h l e t 判别法条件满足,记 M 是
F A( )
在
[,)a
的一个上界。此时 对任意
A A a,
,显然有
( ) d 2
A
A
f x x M
；
因为
lim ( )
x
g x
0
，所以存在
aA?0
，当
x A? 0
时，有
| ( ) |
4
gx
M
。
于是,对任意
A A A, 0
,
( ) ( ) d
A
A
f x g x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
A
A
g A f x x g A f x x
|)(|2|)(|2 AgMAgM
22
。
所以无论哪个判别法条件满足，由 C a u c h y 收敛原理，都有
( ) ( ) d
a
f x g x x
收敛的结论。
这两个判别法有时也统称为 A - D 判别法 。
例 8.2.4 讨论
1
sin
d
x
x
x
的敛散性。
解
1
s i n d
A
xx?
显然有界，
1
x
在
[,)1
上单调且
lim
x x
1
0
，由 Di r i c h l e t
判 别法，
1
sin
d
x
x
x
收敛。
但在
[,)1
，有
x
x
xx
x
x
x
2
2c o s
2
1s i ns i n
2
,
因
1
c os 2
d
2
x
x
x
收敛（仿照上面对
1
sin
d
x
x
x
的讨论 ）,而
1
1
d
2
x
x
发散，
所以 2
1
s i n
d
x
x
x
发散。再由比较判别法，可知
1
s in
d
x
x
x
发散。
因此，
1
sin
d
x
x
x
条件收敛。
例 8.2.5 讨论
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
的敛散性。
解 由例 8.2.4,
1
sin
d
x
x
x
收敛，而
xt a na r c
在
[,)1
上单调有界，
由 A be l 判 别法，
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
收敛。
当
x[,)3
时，有
x
x
x
xx s int a na r cs in
,
由比较判别法和
1
s in
d
x
x
x
发散，可知
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
非绝对收敛。
因此，
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
条件收敛。
无界函数反常积分的收敛判别法对于
f x( )
在
[,]a b
上只有一个奇点 x b? 的情况,我们 列出相应结果，证明请读者自己完成。
定理 8.2.1 ’（ Cau c h y 收敛原理 ） 反常积分
( ) d
b
a
f x x?
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在 0,使得对任意
),0(,
，
有
( ) d
b
b
f x x
。
定理 8.2.3 ’ （ Cau c h y 判别法 ） 设在
[,)a b
上恒有
f x( )? 0
，若当
x 属于 b 的某个 左邻域
0[,)bb
时，存在正常数 K,使得
⑴
f x
K
b x p
( )
( )
，且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
收敛；
⑵
f x
K
b x p
( )
( )
，且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
发散。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a b
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( ) ( )
x b
pb x f x l
,
则
⑴ 若 0l,且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
收敛；
⑵ 若 0l,且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
发散。
定理 8.2,5 ’ 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) db
a
f x g x x?
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) db
a
f x x?
收敛,g x( ) 在 [,)a b 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) db
a
F f x x
在 ],0( ab? 上有界,g x( )
在 [,)a b 上单调且
0)(l i m xgbx
。
例 8.2.6 讨论
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
的敛散性（
Rp
）。
解 这是个定号的反常积分,x? 0 是它的唯一奇点。
当
0 1p
时，取
q
p
p?
1
2
1(,)
，则
lim
x0
x
x x
q
p | ln |
0
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式，
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
收 敛。
类似地，当
p? 1
时，取
q
p
p?
1
2
1(,)
，则
lim
x0
xx
x
p
q
ln
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式，
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
发散。
当 p? 1 时，可以直接用 Newton - L ei bn i z 公式得到
1 /e
0
d
ln
x
xx?
/e1
0
|ln|lnli m?
x
。
因此，当 0 1p 时，反常积分
1 / e
0
d
lnp
x
xx?
收敛；当 p? 1 时，反常积分
1 / e
0
d
lnp
x
xx?
发散。
例 8,2,7 讨论
1
0
11
s i n d
p
x
xx?
的敛散性（
p? 2
）。
解 令
f x
x x
( ) si n?
1 1
2
，
g x x p( )2
。
对于
)1,0(
，有
1
( ) df x x
1
2
11
si n d x
xx?
1 11
s i n d
xx?
1
1
c o s
x
,
所以
1
( ) df x x
有界；而
g x( )
显然在
]1,0(
单调，且当
p? 2
时,
lim
x0
g x( )?
lim
x0
x p2 0 。
由无界函数反常积分的 D i r i c h l e t 判别法，
1
0
11
s i n d
p
x
xx?
收敛。
当
p? 1
时，有
pp
xxx
11
s in
1
,
由比较判别法，此时
1
0
11
s i n d
p
x
xx
绝对收敛。而 利用例 8,2,4 类似的方法可以得到，当
1 2p
时，
1
0
11
s i n d
p
x
xx
条件收敛。
注 事实上，若对
1
0
11
s i n d
p
x
xx
作变量代换
x
t
1
，就可将它化为
21
s in
d
p
t
t
t
,
利用无穷区间 反常积分的 D i r i c h l e t 判别法，可以得到同样的结果。
对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区间适当拆分。
例 8.2.8 讨论 1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
的敛散性（
R?qp,
）。
解 因为 x? 0 和 x? 1 可能是被积函数的奇点，积分区间也无界，
所以将其拆成
1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
1
1
0
d
( 1 )
p p q
x
xx
11
d
( 1 )
p p q
x
xx
。
要使积分收敛，考虑奇点 x? 0,应要求
p1 1；考虑奇点 x? 1,
应要求
p q 1；而当
x
时，由于
1
11x xp p q( )
12
1
~
qp
x
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式知，当
2 1 1p q
时积分收敛。
所以，只有当
qp,
同时满足
2,
2 ( 1 ) 1
p
p q p
时，积分
1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
才收敛。
上一节中已经提到，在
( ) d
a
f x x
收敛的情况下，即使
f x( )
在
[,)a
上 n 次可微，也不能导出
f x( )
在
[,)a
有界的结论。作为 反常积分
C a u c h y 收敛原理的一个应用,下面证明，只要把条件换成“
f x( )
一致连续”（注意这个条件并不比“可微”强，两者是互不包含的），就可以得到,
例 8.2.9 设
( ) d
a
f x x
收敛,且
f x( )
在
[,)a
一致连续，则
0)(lim?
xf
x
。
证 用反证法。
若当 x 时
f x( )
不趋于零，则由极限定义，存在
00
，对于任意给定的 aX?,存在
Xx?0
，使得
00| ( ) |fx
。
又因为
f x( )
在
[,)a
一致连续，所以对于
0 0
2
，存在
)1,0(0
，
使得对于任意 axx，,只要
0||xx
，就有
0| ( ) ( ) |
2
f x f x
。
令
0
2
00
1
，对于任意给定的
aA?0
，取
X A0 1
，并设
Xx?0
满足
00| ( ) |fx
。不妨设
f x( )0 0?
，则对任意满足
00||xx
的 x,有
00
0( ) ( ) 0
22
f x f x
。
取 A 和?A 分别等于
0
0
2
x
和
0
0
2
x
，则
A A A 0
，且有
( ) d
A
A
f x x
00
00
( ) d
x
x
f x x
10
0
2
。
由 C a u c h y 收敛原理，
( ) d
a
f x x
不收敛，与假设条件矛盾。于是
0)(lim?
xf
x
。
( ) d
a
f x x
为例来探讨反常积分敛散性的判别法 。
由于 反常积分
( ) d
a
f x x
收敛即为极限
limA ( )d
A
a
f x x?
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 C a u c h y 收敛原 理,它可以表述为如下形式,
§ 2 反常积分的收敛判别法定理 8.2.1 （ Cau c h y 收敛原理 ） 反常积分
( ) da f x x
收敛的充分必要条件是,对任意给定的 0,存在 aA?
0
,使得对任意 A A A,
0
，
有
( ) dAA f x x
。
§ 2 反常积分的收敛判别法反常积分的 Cau c h y 收敛原理下面以
( ) d
a
f x x
为例来探讨反常积分敛散性的判别法 。
由于 反常积分
( ) d
a
f x x
收敛即为极限
limA ( )d
A
a
f x x?
存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 C a u c h y 收敛原 理,它可以表述为如下形式,
定义 8.2.1 设 f x( ) 在任意有限区间 [,]a A[,)a 上可积，且
| ( ) | d
a
f x x
收敛,则称
( ) d
a
f x x
绝对收敛 （ 或称 f x( ) 在 [,)a 上 绝对可积 ）。
若
( ) d
a
f x x
收敛而非绝对收敛，则称
( ) d
a
f x x
条件收敛 （ 或称
f x( ) 在 [,)a 上 条件可积 ）。
推论 若 反常积分
( ) d
a
f x x
绝对收敛，则它一定收敛。
证 对任意给定的 0,由于
| ( ) | d
a
f x x
收敛,所以存在
aA?0
，
使得对任意
A A A, 0
，成立
| ( ) | d
A
A
f x x?
。
利用定积分的性质，得到
( ) d
A
A
f x x
| ( ) | d
A
A
f x x?
,
由 C a u c hy 收敛原理，可知
( ) d
a
f x x
收敛。
虽然 C a u c h y 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，
但是对于具体的反常积分，在使用上往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法 。
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法定理 8.2.2 （比较判别法 ） 设在
[,)a
上恒有
)()(0 xKxf
，其中 K 是正常数。则
（ 1 ） 当
( ) d
a
xx?
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛；
（ 2 ） 当
( ) d
a
f x x
发散时
( ) d
a
xx?
也发散。
例 8.2.1 讨论
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
的敛散性 （
a
是常数） 。
解 因为 当
1x?
时有
xxax
xx 1s i n2c o s
23
,
在例 8.1.2 中，已知
1
1
d x
xx
收敛，由比较判别法，
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
绝对收敛，所以
321
c o s 2 s i n
d
xx
x
xa
收敛。
注意：在以上定理中，条件,在
[,)a
上恒有
)()(0 xKxf
”,
可以放宽为“存在
aA?
,在
),[A
上恒有
)()(0 xKxf
”。
推论（比较判别法的极限形式 ） 设在
[,)a
上恒有
( ) 0fx?
和
0)(?x?
，且
l
x
xf
x
)(
)(
lim
,
则
⑴ 若 0l,则
( ) d
a
xx?
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛；
⑵ 若 0l,则
( ) d
a
xx?
发散时
( ) d
a
f x x
也发散。
所以，当 0 l 时，
( ) d
a
xx?
和
( ) d
a
f x x
同时收敛或同时发散。
证 ⑴ 若
l
x
xf
x )(
)(l im
，则存在常数 Aa?,当 Ax? 时成立
1
)(
)( l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛。
⑵ 若
0
)(
)(l im
l
x
xf
x?
,存在常数 Aa?,使得当 Ax? 时成立
l
x
xf
)(
)(
,
其中 ll0 （当l 时,l? 可取任意正数）即
)()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
发散时
( ) d
a
f x x
也发散。
证 ⑴ 若
l
x
xf
x )(
)(l im
，则存在常数 Aa?,当 Ax? 时成立
1
)(
)( l
x
xf
,
即
)()1()( xlxf 。
于是，由比较判别法，当
( ) d
a
xx
收敛时
( ) d
a
f x x
也收敛。
例 8,2,2 讨论
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
的敛散性。
解 因为
limx
x
x x x x
43
4 3 23 3 5 2 1
1
,
由于
3 41
1 d x
x
收敛,所以
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
收敛。
将定理 8.2.2 中的
( )x
取为 1
x p
，就得到如下的 C a u c h y 判别法,
定理 8.2.3 （ Cau c h y 判别法 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
,K 是正常数。
⑴ 若
f x
K
x p
( )?
，且
p? 1
，则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若
f x
K
x p
( )?
，且
p? 1
，则
( ) d
a
f x x
发散。
例 8,2,2 讨论
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
的敛散性。
解 因为
limx
x
x x x x
43
4 3 23 3 5 2 1
1
,
由于
3 41
1 d x
x
收敛,所以
3 4 3 21
1 d
3 5 2 1
x
x x x x
收敛。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( )x px f x l
,
则
⑴ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
发散。
例 8.2.3 讨论
0 ed
axxx
的敛散性（ R?a ）。
解 因为对任意常数 R?a,有
limx 0)e(2 xaxx
,
由 C au ch y 判别法的极限形式（ 1 ），可知
0 ed
axxx
收敛。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a(,)0
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( )x px f x l
,
则
⑴ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
收敛；
⑵ 若 0l,且 p? 1,则
( ) d
a
f x x
发散。
一般函数反常积分的收敛判别法我们先证明一个重要结果。
定理 8.2.4 （积分第二中值定理 ） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，
g x( )
在
[,]a b
上单调，则存在
[,]ab
，使得
( ) ( ) d
b
a
f x g x x? ( ) ( ) d ( ) ( ) d
b
a
g a f x x g b f x x
。
证 我们只对
f x( )
在
[,]a b
上连续，
g x( )
在
[,]a b
上单调且
)(' xg
在
[,]a b
上可积的情况加以证明。
记
F x( )?
( ) d
x
a
f t t?
，则
)( xF
在
],[ ba
连续，且
F a( )? 0
。由于
f x( )
在
[,]a b
上连续，于是
)( xF
是
f x( )
在
[,]a b
上的一个原函数，利用分部积分法，有
( ) ( ) d
b
a
f x g x x?
b
a
xgxF )()(? ( ) ( ) d
b
a
F x g x x
。
( ) ( ) d
b
a
f x g x x?
b
a
xgxF )()(? ( ) ( ) d
b
a
F x g x x
上式右端的第一项
)()()()( bgbFxgxF
b
a
( ) ( ) d
b
a
g b f x x
,
而在第二项中，由于
g x( )
单调，因此
g x( )
保持定号，由积分第一中值定理，存在
[,]ab
，使得
( ) ( ) d ( ) ( ) d
bb
aa
F x g x x F g x x [ ( ) ( ) ] ( ) d
a
g b g a f x x
,
于是
( ) ( ) d
b
a
f x g x x? ( ) ( ) d
b
a
g b f x x [ ( ) ( ) ] ( ) d
a
g b g a f x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
b
a
g a f x x g b f x x
。
注 在定理 8.2,4 的假设下，还有如下结论,
（ 1 ）若 )( xg 在 [,]a b 上单调增加，且 0)(?ag,则存在 [,]ab,使得
( ) ( ) db
a
f x g x x? ( ) ( ) dbg b f x x
；
（ 2 ）若 )( xg 在 [,]a b 上单调减少，且 0)(?bg,则存在 [,]ab,使得
( ) ( ) db
a
f x g x x ( ) ( ) d
a
g a f x x
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) da f x g x x
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) da f x x
收敛,g x( ) 在 [,)a 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) dAaF A f x x
在 [,)a 上有界,g x( ) 在
[,)a 上单调且 lim ( )
x g x 0
。
证 设? 是 任意给定的正数。
⑴ 若 A bel 判别法条件满足，记 G 是
| ( )|g x
在
[,)a
的一个上界，
因为
( ) d
a
f x x
收敛,由 C a u c h y 收敛原理，存在
aA?0
，使得对任意
A A A, 0
，有
( ) d
2
A
A
f x x
G
。
由 积分第二中值定理,
( ) ( ) d
A
A
f x g x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
A
A
g A f x x g A f x x
( ) d ( ) d
A
A
G f x x G f x x
22
。
定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) da f x g x x
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) da f x x
收敛,g x( ) 在 [,)a 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) dAaF A f x x
在 [,)a 上有界,g x( ) 在
[,)a 上单调且 lim ( )
x g x 0
。
⑵ 若 Di r i c h l e t 判别法条件满足,记 M 是
F A( )
在
[,)a
的一个上界。此时 对任意
A A a,
,显然有
( ) d 2
A
A
f x x M
；
因为
lim ( )
x
g x
0
，所以存在
aA?0
，当
x A? 0
时，有
| ( ) |
4
gx
M
。
于是,对任意
A A A, 0
,
( ) ( ) d
A
A
f x g x x
( ) ( ) d ( ) ( ) d
A
A
g A f x x g A f x x
|)(|2|)(|2 AgMAgM
22
。
所以无论哪个判别法条件满足，由 C a u c h y 收敛原理，都有
( ) ( ) d
a
f x g x x
收敛的结论。
这两个判别法有时也统称为 A - D 判别法 。
例 8.2.4 讨论
1
sin
d
x
x
x
的敛散性。
解
1
s i n d
A
xx?
显然有界，
1
x
在
[,)1
上单调且
lim
x x
1
0
，由 Di r i c h l e t
判 别法，
1
sin
d
x
x
x
收敛。
但在
[,)1
，有
x
x
xx
x
x
x
2
2c o s
2
1s i ns i n
2
,
因
1
c os 2
d
2
x
x
x
收敛（仿照上面对
1
sin
d
x
x
x
的讨论 ）,而
1
1
d
2
x
x
发散，
所以 2
1
s i n
d
x
x
x
发散。再由比较判别法，可知
1
s in
d
x
x
x
发散。
因此，
1
sin
d
x
x
x
条件收敛。
例 8.2.5 讨论
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
的敛散性。
解 由例 8.2.4,
1
sin
d
x
x
x
收敛，而
xt a na r c
在
[,)1
上单调有界，
由 A be l 判 别法，
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
收敛。
当
x[,)3
时，有
x
x
x
xx s int a na r cs in
,
由比较判别法和
1
s in
d
x
x
x
发散，可知
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
非绝对收敛。
因此，
1
s in a r c ta n
d
xx
x
x
条件收敛。
无界函数反常积分的收敛判别法对于
f x( )
在
[,]a b
上只有一个奇点 x b? 的情况,我们 列出相应结果，证明请读者自己完成。
定理 8.2.1 ’（ Cau c h y 收敛原理 ） 反常积分
( ) d
b
a
f x x?
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在 0,使得对任意
),0(,
，
有
( ) d
b
b
f x x
。
定理 8.2.3 ’ （ Cau c h y 判别法 ） 设在
[,)a b
上恒有
f x( )? 0
，若当
x 属于 b 的某个 左邻域
0[,)bb
时，存在正常数 K,使得
⑴
f x
K
b x p
( )
( )
，且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
收敛；
⑵
f x
K
b x p
( )
( )
，且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
发散。
推论（ Cau c h y 判别法的极限形式 ） 设在
[,)a b
上恒有
f x( )? 0
，且
lim ( ) ( )
x b
pb x f x l
,
则
⑴ 若 0l,且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
收敛；
⑵ 若 0l,且
p? 1
，则
( ) d
b
a
f x x?
发散。
定理 8.2,5 ’ 若下列两个条件之一满足，则
( ) ( ) db
a
f x g x x?
收敛,
⑴ （ Ab el 判别法 ）
( ) db
a
f x x?
收敛,g x( ) 在 [,)a b 上单调有界；
⑵ （ Di rich l et 判 别法 ）
( ) ( ) db
a
F f x x
在 ],0( ab? 上有界,g x( )
在 [,)a b 上单调且
0)(l i m xgbx
。
例 8.2.6 讨论
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
的敛散性（
Rp
）。
解 这是个定号的反常积分,x? 0 是它的唯一奇点。
当
0 1p
时，取
q
p
p?
1
2
1(,)
，则
lim
x0
x
x x
q
p | ln |
0
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式，
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
收 敛。
类似地，当
p? 1
时，取
q
p
p?
1
2
1(,)
，则
lim
x0
xx
x
p
q
ln
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式，
1 / e
0
d
ln
p
x
xx
发散。
当 p? 1 时，可以直接用 Newton - L ei bn i z 公式得到
1 /e
0
d
ln
x
xx?
/e1
0
|ln|lnli m?
x
。
因此，当 0 1p 时，反常积分
1 / e
0
d
lnp
x
xx?
收敛；当 p? 1 时，反常积分
1 / e
0
d
lnp
x
xx?
发散。
例 8,2,7 讨论
1
0
11
s i n d
p
x
xx?
的敛散性（
p? 2
）。
解 令
f x
x x
( ) si n?
1 1
2
，
g x x p( )2
。
对于
)1,0(
，有
1
( ) df x x
1
2
11
si n d x
xx?
1 11
s i n d
xx?
1
1
c o s
x
,
所以
1
( ) df x x
有界；而
g x( )
显然在
]1,0(
单调，且当
p? 2
时,
lim
x0
g x( )?
lim
x0
x p2 0 。
由无界函数反常积分的 D i r i c h l e t 判别法，
1
0
11
s i n d
p
x
xx?
收敛。
当
p? 1
时，有
pp
xxx
11
s in
1
,
由比较判别法，此时
1
0
11
s i n d
p
x
xx
绝对收敛。而 利用例 8,2,4 类似的方法可以得到，当
1 2p
时，
1
0
11
s i n d
p
x
xx
条件收敛。
注 事实上，若对
1
0
11
s i n d
p
x
xx
作变量代换
x
t
1
，就可将它化为
21
s in
d
p
t
t
t
,
利用无穷区间 反常积分的 D i r i c h l e t 判别法，可以得到同样的结果。
对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区间适当拆分。
例 8.2.8 讨论 1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
的敛散性（
R?qp,
）。
解 因为 x? 0 和 x? 1 可能是被积函数的奇点，积分区间也无界，
所以将其拆成
1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
1
1
0
d
( 1 )
p p q
x
xx
11
d
( 1 )
p p q
x
xx
。
要使积分收敛，考虑奇点 x? 0,应要求
p1 1；考虑奇点 x? 1,
应要求
p q 1；而当
x
时，由于
1
11x xp p q( )
12
1
~
qp
x
,
由 C a u c h y 判 别法的极限形式知，当
2 1 1p q
时积分收敛。
所以，只有当
qp,
同时满足
2,
2 ( 1 ) 1
p
p q p
时，积分
1
0
d
| 1 |
p
pq
x
x
x
才收敛。
上一节中已经提到，在
( ) d
a
f x x
收敛的情况下，即使
f x( )
在
[,)a
上 n 次可微，也不能导出
f x( )
在
[,)a
有界的结论。作为 反常积分
C a u c h y 收敛原理的一个应用,下面证明，只要把条件换成“
f x( )
一致连续”（注意这个条件并不比“可微”强，两者是互不包含的），就可以得到,
例 8.2.9 设
( ) d
a
f x x
收敛,且
f x( )
在
[,)a
一致连续，则
0)(lim?
xf
x
。
证 用反证法。
若当 x 时
f x( )
不趋于零，则由极限定义，存在
00
，对于任意给定的 aX?,存在
Xx?0
，使得
00| ( ) |fx
。
又因为
f x( )
在
[,)a
一致连续，所以对于
0 0
2
，存在
)1,0(0
，
使得对于任意 axx，,只要
0||xx
，就有
0| ( ) ( ) |
2
f x f x
。
令
0
2
00
1
，对于任意给定的
aA?0
，取
X A0 1
，并设
Xx?0
满足
00| ( ) |fx
。不妨设
f x( )0 0?
，则对任意满足
00||xx
的 x,有
00
0( ) ( ) 0
22
f x f x
。
取 A 和?A 分别等于
0
0
2
x
和
0
0
2
x
，则
A A A 0
，且有
( ) d
A
A
f x x
00
00
( ) d
x
x
f x x
10
0
2
。
由 C a u c h y 收敛原理，
( ) d
a
f x x
不收敛，与假设条件矛盾。于是
0)(lim?
xf
x
。
