早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 Z e n o 的学者，曾提出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，,A c h i l l es （希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。
设乌龟在 A c h i l l e s 前面
1S
米处向前爬行,A ch i l l es 在后面追赶，
当 A ch i l l e s 化了
1t
秒时间，跑完
1S
米时，乌龟已向前爬了
2S
米；当
A ch i l l es 再化
2t
秒时间，跑完
2S
米时，乌龟又向前爬了
3S
米；?，这样的过程可以一直继续下去，因此 A c h i l l es 永远也追不上乌龟。
第九章 数项级数显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑，
A ch i l l es 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（ T 和 S 是常数）。
Z en o 的诡辩之处就在于把有限的时间 T （或距离 S ）分割成无穷段
1t
，
2t
，?（或
1S
，
2S
，?），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种假像：这样“追 - 爬 - 追 - 爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将花掉的时间
1t
，
2t
，?（或跑过的距离
1S
，
2S
，?）加起来，即
1t2tnt
（或
1S 2S nS
+?）,
尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T （或 S ）。换言之，
经过时间 T 秒,A ch i l l es 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。
这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题。
数项级数设
1x
，
2x
，?,
nx
，?是无穷可列个实数，我们称它们的“和”
1x
2x

nx
为 无穷数项级数 ( 简称 级数 ),记为
1n
nx
，其中
nx
称为级数的 通项 或 一般项 。
§ 1 数项级数的收敛性为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数
1n
n
x
的
,部分和数列,{
nS
},
1S 1x
,
2S 1x
+
2x
,
3S 1x
+
2x
+
3x
,

nS
=
1x
+
2x

nx
=
n
k
k
x
1
,

定义 9,1,1 如果部分和数列 {
nS
} 收敛于有限数 S,则称无穷级数
1n
nx
收敛，且称它的和为 S,记为
S =
1n
nx；
如果部分和数列 {
nS
} 发散,则称无穷级数
1n
nx
发散。
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以，
级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。
例 9,1,1 设
1||?q
，则 几何级数 （即 等比级数 ）
1
1
n
n
q
=
nqqq 21
是收敛的。它的部分和数列的通项为
nS
=
q
q
q
nn
k
k

1
1
1
1
,
显然,
lim
n
nS
=
q?1
1
。
现在来回答本章开头提出的 A c h i l l es 追赶乌龟的问题。
设乌龟的速度
1v
( 米／秒 ) 与 A c h i l l e s 的速度
2v
（米／秒）之比为
q =
2
1
v
v
,0 < q <1 。 A ch i l l e s 在乌龟后面
1S
（米）处开始追赶乌龟。当 A ch i l l es
跑完
1S
（米）时，乌龟已向前爬了
12 qSS?
（米）；当 Ac h i l l e s 继续跑完
2S
（米）时，乌龟又向前爬了
1
2
3 SqS?
（米）；
,?
当 A ch i l l es 继续跑完
nS
（米）时，乌龟又向前爬了
11 SqS
n
n
（米）；
.?
显然 A ch i l l e s
要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程
,,,,,21 nSSS
由于
nSSS 21
=
)1( 121nqqqS
=
,
1
1
q
S
所以当 A ch i l l e s 跑完路程 S =
q
S
1
1
米（即经过了时间 T =
2
1
)1( vq
S
秒），
他已经追上了乌龟。
例 9,1.2 级数

1
1)1(
n
n
=
1)1(111 n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
nS
= 0,
1,
n
n
为 偶 数,
为 奇 数,
显然 {
nS
} 是发散的。
例 9,1,3 根据第二章的例 2,4,7,级数
1
1
n
pn
=
ppp n 13 12 11
( p? 0 )
当 p? 1 时收敛；当 0? p? 1 时发散到正无穷大。
1
1
n
pn
称为 p 级数 （ p = 1 时又称
1
1
n n
为 调和级数 ） 。
例 9,1.2 级数

1
1)1(
n
n
=
1)1(111 n
是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为
nS
= 0,
1,
n
n
为 偶 数,
为 奇 数,
显然 {
nS
} 是发散的。
级数的基本性质定理 9,1,1 （ 级数收敛的必要条件 ） 设级数
1n
n
x
收敛,则其通项所构成的数列 {
nx
} 是无穷小量,即
lim
n
x n
= 0 。
证 设
1n
n
x
= S,则对
nS
=
n
k
k
x
1
，成立
lim
n
nS
=
lim
n
1?nS
= S,
于是得到
lim
n
x n
=
lim
n
(
nS
-
1?nS
) =
lim
n
nS
-
lim
n
1?nS
= 0 。
定理 9,1.1 可以用来判断某些级数发散。例如，当
|| q?
1 时 {
nq
}
不是无穷小量，因此级数
1n
nq
发散。 例 9,1,2 中

1
1)1(
n
n
的一般项为
± 1,所以也发散 。
注意定理 9,1,1 只是级数收敛的必要条件，而非充分条件。换言之，数列 {
x n
} 为无穷小量并不能保证级数
1n
nx
收敛。例如，虽然数列 {
n
1
} 是无穷小量，但级数
1
1
n n
却是发散的。
定理 9,1.2 （ 线性性 ） 设
1n
n
a
= A,
1n
n
b
= B,
，
是两个常数,
则
1
()
nn
n
ab

=
A +
B 。
证 设
1n
n
a
的部分和数列为 {
)1(
nS
},
1n
n
b
的部分和数列为 {
)2(
nS
},
则对
1
()
nn
n
ab

的部分和数列 {
nS
} 有
nS
=
)1(
nS
+
)2(
nS
,
于是成立
lim
n
nS
=
lim
n
)1(
nS
+
lim
n
)2(
nS
=
A +
B 。
定理 9,1,2 表示对收敛级数可以进行加法和数乘运算。
例 9,1,4 求级数

1
1
5
234
n
n
nn 的值。
解 因为 几何级数 n
n
0 5
4 与
0 5
2
n
n 都收敛，所以有
1
1
4 3 2
5
nn
n
n



n
n
0 5
4
5
16 -
n
n
0 5
2
5
6
1 6 1
45
1
5

-
61
14
25
1
5

。
定理 9,1,3 设级数
1n
n
x
收敛,则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛,且其和不变 。
证 设
1n
n
x
添加括号后表示为
(
1x
+
2x

1n
x
)? (
11?nx
+
21?nx

2n
x
)
(
11knx
+
21knx

kn
x
)
令
1y
=
1x
+
2x

1n
x
,
2y
=
11?nx
+
21?nx

2n
x
,

ky
=
11knx
+
21knx

kn
x
,

则
1n
n
x
按上面方式添加括号后所得的级数为
1n
n
y
。
令
1n
nx
的部分和数列为 {
nS
},
1n
ny
的部分和数列为 {
nU
},则
1U
=
1n
S
,
2U
=
2n
S
,

kU
=
kn
S
,

显然 {
nU
} 是 {
nS
} 的一个子列，于是由 {
nS
} 的收敛性即得到 {
nU
} 的收敛性，且极限相同。
在极限论中已经知道，一个数列的某个子列收敛并不能保证数列本身收敛。因此，相应地，在一个级数的和式中，添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级数收敛，即上面的级数
1n
ny
收敛并不能保证级数
1n
nx
收敛。
例 9,1,5 已知例 9,1.2 中的级数
1
1
)1(
n
n
=
1)1(111 n
,
是发散的。但若在每两项之间加上括号，则有
)11()11()11( 0 0 0 0
,
即添加了括号后所得的级数是收敛 的。
进一步，对一个发散的级数，若按不同的方式加 括号，所得的级数可能收敛 于不同的极限。仍以
1
1
)1(
n
n
=
1)1(111 n
为例，除了上面的加括号 方式 外，还可以有
)11()11()11(1 1 0 0 0 1
的不同结果。
这就是说,发散的级数不 满足加法结合律。
例 9,1,6 计算机进行计算时所处理的数据都是二进制的，求二进制无限循环小数 ( 1 1 0,1 1 0 1 1 0? )
2
的值。
解 ( 1 1 0,1 1 0 1 1 0? )
2
= 22 + 12 +
2
1
+
2
2
1
+
4
2
1
+
5
2
1
+
7
2
1
+
8
2
1
+?
设上述无穷级数的部分和数列为 {
nS
},则
nS 2
=

n
k
kk
1
4353
2
1
2
1
=
7
6
6
n
8
1
1
,
12?nS
=
nS 2
+
23
2
1
n
,
令
n
，得
lim
n
nS
=
7
6
6
,
即二进制无限循环小数 ( 1 1 0,1 1 0 1 1 0? )
2
的值为
7
6
6
。
例 9,1,7 一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用
0,0 5 m g,设体内的药物每天有 2 0 % 通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平?
解 服药第一天，病人体内药量为 0,0 5 m g ；服药第二天，病人体内药量为
0,0 5 ( 1 - 2 0 % )+0,0 5 =
5
4
105.0
( mg ) ；
服药第三天，病人体内药量为
[0,0 5 ( 1 - 2 0 % )+ 0,0 5 ] (1 - 2 0 % )+0,0 5 =0,0 5

2
5
4
5
4
1
( mg ) ；
按此推下去，长期服药后,体内药量为
0,0 5



32
5
4
5
4
5
4
1
= 0.0 5 n
n
0
5
4
= 0.2 5 (m g ) 。
在实际病例中，医生往往根据病人的病情，考虑体内药量水平的需求，确定病人每天的服药量。
例 9,1,8 计算级数
1 2
12
n
n
n
。
解 设级数的部分和数列为 {
nS
},则
nS
=2
nS
-
nS
=2
n
k
k
k
1 2
12
-
n
k
k
k
1 2
12
=
1
0 2
12n
k
k
k
-
n
k
k
k
1 2
12
=1 +
1
1
12
1n
k
k
-
n
n
2
12?
,
于是
lim
n
nS
=
0
1
13
2 kk

。
例 9,1,9 计算级数
1
2
2
1
a r c t a n
n n
。
解 利用公式
xy
yx
yx

1
a r c t a na r c t a na r c t a n
,
可得
12
1
a r c ta n
12
1
a r c ta n
2
1
a r c ta n
2?
nnn
,
于是关于级数的部分和有
nS
=
12
1
a r c t a n1a r c t a n
n
,
令 n,即得
1
2
2
1
a r c t a n
n n
=
4
。