微元法我们先回忆一下求曲边梯形面积 S 的步骤：对区间
[,]a b
作划分
a x x x x bn0 1 2?
,
然后在小区间
],[ 1 ii xx?
中任取点
i?
，并记
1 iii xxx
，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值
iii xfS )(?
。 最后，将所有的 小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到
n
i
ii xfS
1
0
)(l im?
( )d
b
a
f x x
。
§ 5 微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点
x i? 1
和
x i
分别记为 x 和 x x,将区间
],[ xxx
上的小曲边梯形的面积记为 S?,并取
xi
，于是就有
xxfS )(
。然后令? x? 0,这相当于对自变量作微分，这样? x 变成
d x
,S? 变成
d S
，于是 上面的近似等式 就变为微分形式下的严格等式
d ( ) dS f x x?
。 最后，把对 小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对微分形式
d ( ) dS f x x?
在区间
[,]a b
上求定积分，就得到
( ) d
b
a
S f x x
。
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以 简捷地按照以下的步骤
xxfSxxx )(],[
规律科学分割自变量
d ( ) d ( ) d
b
a
S f x x S f x x
转 为 直 接微 分 积 分来直接求解。
了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步 简化：即一开始就将小区间形式地取为
[,d ]x x x?
（
d x
称为
x
的 微元 ），然后根据实际问题得出微分形式
d ( ) dS f x x?
（
d S
称为
S
的微元），再在区间
],[ ba
上求积分。也就是
d d ( ) d ( ) d
b
a
x S f x x S f x x
。
这种处理问题和解决问题的方法称为 微元法 。微元法使用起来非常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧长、
几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接 用微元法来导出，
下面我们举一些其 他 类型的例子。
由静态分布求总量我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为 l 的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可由某个连续的 分布函数
()x?
表示 (
x l? [,]0
),由 微元法,它在
[,d ]x x x?
上的物理量
d Q
为
d ( ) dQ x x
,
对等式两边在
[,]0 l
上积分，就得到由分布函数求总量的公式
0
( )d
l
Q x x
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根金属棒，其密度分布为
)k g / m(632)( 2 xxx?,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6 2
0
( 2 3 6 )dM x x x
)kg(2 3 46
2
3
3
2
6
0
23?
xxx
。
0 6 x
图 7.5.1
这个问题可以作以下的推广,
⑴假定物理量分布在一个平面区域上,x 的变化范围为区间
[,]a b
。
如果过 x （ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用
)( xf
表示，或者说该平面区域在横坐标位 于
[,d ]x x x?
中的部分上的物理量可以表示为
( )df x x
，那么由类似的讨论，
可以得到这个区域上的总物理量为
( ) d
b
a
Q f x x
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根金属棒，其密度分布为
)k g / m(632)( 2 xxx?,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6 2
0
( 2 3 6 )dM x x x
)kg(2 3 46
2
3
3
2
6
0
23?
xxx
。
0 6 x
图 7.5.1
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m,半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁片（图 7.5.2 ）所受到的水压力。
解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为 h 的地方所受到的压强为
ghp
,
这里，
是液体的密度，
g
是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为
x?10
处
(1 1x ) 受到的压强为
( )10? x g
，在圆铁片上截取与水面平行、以微元
d x
为宽度的一条带域，则带域的面积为
2d 2 1 dS x x
,
所以带域上所受到的压力为
2d 2 1 ( 1 0 ) dF g x x x
,
于是铁片所受到的水压力为
1
2
1
2 1 ( 1 0 ) d 1 0 πF g x x x g
（ N ）。
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§ 4 的第三部分给出了求 三维空间中夹在平面 x a? 和 x b? 之间的几何体的体积公式：
设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面 积为 A x( ),则几何体的体积为
( ) db
a
V A x x
。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
)( xA 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]
1 2
上，分布函数（即物理量的密度）为
f t( )
，在
( ( ),( ) )x t y t
处截取一段长度为
d l
的弧，那么在这段弧上的物理量
d Q
为
d ( )dQ f t l?
。
利用弧长的微分公式,
d ( )dQ f t l 22( ) ( ) ( ) df t x t y t t
,
关于 t 在
[,]T T1 2
上积分，就得到
22
11
22( ) d ( ) ( ) ( ) d
TT
TT
Q f t l f t x t y t t
。
这个结论可以推广到空间曲线的情况。
例 7.5.3 设上半个金属环
222 Ryx
（
0?y
）上任一点处的电荷线密度等于该点到
y
轴的距离的平方，求环上的总电量。
解 将金属环的方程写成参数形式
x R t
y R t
t
c o s,
s i n,
[,]0?
,
于是
d l? 22( ) ( ) d dx t y t t R t
。
分布函数
f t x t R t( ) [ ( )] c o s2 2 2
，因此
d ( )dQ f t l 32c o s dR t t
,
所以环上的总电量为
3
π
32
0
π
c o s d
2
R
Q R t t
。
⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴，无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）
而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。
求动态效应除了上述这些静态的物理量之外，还有 一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作 用的效果。比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是 力作用了一段距离的结果，等等。
在§ 1 中已经知道，以速度
v t( )
做变速运动的物体在
[,]T T1 2
走过的路程为
2
1
( ) d
T
T
S v t t
,
这可以用微元法来理解：在小区间
],[ dttt?
上速度可近似地看作是
v t( )
，
因此走过的一小段路程为
d ( ) dS v t t?
,
两边求积分，就得到了前面的结果。
这样的思路可以运用到所有这类问题中去。
例 7,5,4 一个内半径为 R 的圆柱形汽缸，点火后于时刻
t 0
到
t1
将活塞从 x a? 处推至 x b? 处（
t 0
与
t1
非常接近），求它在这段时间中的平均功率。
解 由于
t 0
与
t1
非常接近，可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化，由物理学定律，汽缸中气体的压强
p
与体积 V 成反比，即
p
C
V
，
C 是点火瞬间汽缸中气体的压强
p 0
与体积 aS 的乘积 ( S 为活塞的截面积
R 2
) 。所以当活塞在 x 处时，作用在活塞上的压力为
x
C
S
Sx
C
S
V
C
SpF
,
利用微元法，活塞移动
dx
距离所做的功可表示为
d d d
C
W F x x
x
,
于是，所求的平均功率为
10
db
a
W C x
N
T t t x
ap S
t t
b
a
0
1 0
ln
。
xa b
图 7.5.3
简单数学模型和求解要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来，
就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。
比如，关于例 5.5,7 给出的 Mal t h u s 人口模型
,)(
),()(
00
ptp
tptp?
,
可以直接对微分等式
d
d
p
t
p
的两边在
[,]t t0
上求积分，这时
p
的变化范围相应地为
[,]p p0
,
00
d
d
pt
pt
p
t
p
,
于是
0
0
l n ( )
p
tt
p
,
即
0()
0 e
ttpp
。
例 7.5.5 （跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿
y
轴正向前进，同时 B 于
(,0 )a
处开始保持距离 a 对 A 进行 跟踪（即 B 的前进方向始终对着 A 的位置，并与 A 始终保持距离 a ）,求 B 的运动轨迹。
解 设 B 的运动轨迹 为
y y x? ( )
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
,0)(
,
22
ay
x
xa
y
两边求定积分
22
0
dd
yx
a
ax
yx
x
,
即得到 B 的运动轨迹方程为
y a
a a x
x
a x?
ln
2 2
2 2
。
这也可以看成 一个重物 B 被 A 用一根长度为 a 的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为 曳线 。
x x
y
B
A
O
图 7.5.5
a
例 7.5.6 （ 火箭飞行的运动规律）
火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的。
设在时刻 t 火箭的总质量为
)( tM
，
速度为
v t( )
，从而其动量为
)()( tvtM
。在从 t 到
dtt?
时间段中，有部分燃料 以相对于火箭体的常速度 u 被反向喷射出去，在时刻
dtt?
火箭质量为
( d )M t t?
，速度为
( d )v t t?
，相应地，喷射掉的燃料质量为
( ) ( d )M t M t t
，而其速度为
( d )v t t u
，且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和。
t时刻
t+dt时刻
M(t)?M(t+dt)
M(t)
M(t+dt)
v(t)
v(t+dt)
v(t+dt)?u
图 7.5.6
因此在时间段
[,d ]t t t?
中，系统动量的改变量为
( d ) ( d ) [ ( ) ( d ) ] [ ( d ) ] ( ) ( )M t t v t t M t M t t v t t u M t v t
( ) [ ( d ) ( ) ] [ ( d ) ( ) ]M t v t t v t M t t M t u
( ) ( ) d ( ) dM t v t t u M t t
。
再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量
dFt
，
这样，就得到火箭运动的微分方程为
dd
dd
vM
M F u
tt
,
这里 F 是作用于火箭系统的外力，
d
d
v
M
t
称为火箭的 反推力 。
特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时，
F Mg
,方程成为
0
d 1 d
,
dd
(0 ) 0,(0 ),
vM
gu
t M t
v M M
两边在
[,]0 t
上积分,
0 0 0
()
( )d d d
()
t t t Mt
v t t g t u t
Mt
,
就得到
v t u
M
M t
gt( ) ln
( )
0
。
例 7.5,7 （ Lo g i s ti c 人口模型）
Mal t h u s 人口模型的解为
p p t t0 0e ( )?
,
当 t 时有
p t( )
，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界
p m a x
。
荷兰生物数学家 Ve r h u l s t 认为，人口的增长速率应随着
p t( )
接近
p m a x
而越来越小，他提出了一个修正的人口模型
,)(
),(
)(
1)(
00
m a x
ptp
tp
p
tp
tp?
将含有
p
的项全部集中到左边，两边在
[,]t t0
上积分,
00
2
m a x m a x
d
d
pt
pt
p
t
p p p p
,
利用有理函数的积分公式,即可解出
)(
m a x
0
0
m a x
e11
tt
p
p
p
p
。
在这模型中，当
t
时有
p t p( ) m a x?
。
美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。
从 K e p ler 行星运动定律到万有引力定律最后，我们用 K e pl e r 的行星运动三大定律,Ne wton 第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。
对任意一个确定的行星，由 K e pl e r 第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
1 c o s
p
r
e?
,
这里
p
b
a
2 是焦参数，
e
b
a
1
2
2
是离心率，
a b和分别是椭圆的半长轴和半短轴。
设在时刻 t 行星与太阳的距离为
r r t? ( )
，它们的连线与极轴的夹角为
()t
，则行星的坐标可以用向量记号表示成 r?
( c o s,s i n )rr
。
记
d A
是极径转过角度
d?
所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），
由极坐标下的面积公式
d A 21
d
2
r
,
由 K e pl e r 第二定律，单位时间中扫过的面积
2d1
d2
A
r
t
常数,
这里?
d
d t
表示行星运动的角速度。
记行星绕太阳运行一周的时间为 T,则经过 T 时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积
ab
，即
ab
2
0
d1
d
d2
T A
t r T
t
,
因此常数
2 2 π ab
r
T
,
两边求导后得到
22( ) 2 0r r r r
,
即
20rr
。
这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为
d
d
r
r
t
和 2
2
d
d
r
r
t
（称为 径向速度 和 径向加速度 ），角加速度为
d
d t
（用字母上面加点表示对
t 的导数是 Ne wton 的记号）。
于是行星在 x 方向和
y
方向上的加速度分量分别为
2
2
2
d ( c o s )
c o s 2 s i n [ s i n c o s ]
d
r
r r r
t
2( ) c o s (2 ) s i nr r r r
2( ) c o srr
,
2
2
2
d ( s i n )
s i n 2 c o s [ c o s s i n ]
d
r
r r r
t
2(2 ) c o s ( ) s i nr r r r
2( ) s i nrr
。
记
r
r
0
r
( c o s,s i n )
是 r 方向上的单位向量，于是，得到加速度向量
a r( )r r? 2 0
,
即行星在任一点的加速度的方向恰与它的极径同向，加速度的值为
r r 2
。
为了求出r r
2
，对椭圆方程
( 1 c o s )p r e
两边求二阶导数，注意到
p
是焦参数即常数,
20 ( 1 c o s ) 2 ( s i n ) ( s i n c o s )p r e r e r e
2( ) c o s (2 ) s i nr r r e r r e
2( ) c o sr r r e
22( ) ( 1 c o s )r r e r
r r
r
p r
2
2
,
所以
( )
r r
r
r p
a b
T
a
b r
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 4 1
4
1
2
3
2 2
a
T r
。
最后，由 N ew t o n 第二运动定律和 K ep l er 第三定律即 3
2
a
T
常数，
便有
F a? m
m r r( )? 2 0r
23
22
4 π a Mm
M T r
r0
23
22
4 π a Mm
M T r
r0 G
Mm
r 2
r0
,
这里 M 是太阳的质量,
G
M
a
T
4 2 3
2
1 1 2 26,6 7 1 0 ( N m / k g )
称为 引力常量 。
导出万有引力定律是人类历史上最成功的数学模型之一，它的结论为以后一系列的观测和实验数据所证实（其中最为人津津乐道的是发现海王星），它的适用范围从天体运动一直延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多既有的物理现象，并成为探索未知世界的有力工具。
[,]a b
作划分
a x x x x bn0 1 2?
,
然后在小区间
],[ 1 ii xx?
中任取点
i?
，并记
1 iii xxx
，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值
iii xfS )(?
。 最后，将所有的 小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到
n
i
ii xfS
1
0
)(l im?
( )d
b
a
f x x
。
§ 5 微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点
x i? 1
和
x i
分别记为 x 和 x x,将区间
],[ xxx
上的小曲边梯形的面积记为 S?,并取
xi
，于是就有
xxfS )(
。然后令? x? 0,这相当于对自变量作微分，这样? x 变成
d x
,S? 变成
d S
，于是 上面的近似等式 就变为微分形式下的严格等式
d ( ) dS f x x?
。 最后，把对 小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对微分形式
d ( ) dS f x x?
在区间
[,]a b
上求定积分，就得到
( ) d
b
a
S f x x
。
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以 简捷地按照以下的步骤
xxfSxxx )(],[
规律科学分割自变量
d ( ) d ( ) d
b
a
S f x x S f x x
转 为 直 接微 分 积 分来直接求解。
了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步 简化：即一开始就将小区间形式地取为
[,d ]x x x?
（
d x
称为
x
的 微元 ），然后根据实际问题得出微分形式
d ( ) dS f x x?
（
d S
称为
S
的微元），再在区间
],[ ba
上求积分。也就是
d d ( ) d ( ) d
b
a
x S f x x S f x x
。
这种处理问题和解决问题的方法称为 微元法 。微元法使用起来非常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧长、
几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接 用微元法来导出，
下面我们举一些其 他 类型的例子。
由静态分布求总量我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为 l 的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可由某个连续的 分布函数
()x?
表示 (
x l? [,]0
),由 微元法,它在
[,d ]x x x?
上的物理量
d Q
为
d ( ) dQ x x
,
对等式两边在
[,]0 l
上积分，就得到由分布函数求总量的公式
0
( )d
l
Q x x
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根金属棒，其密度分布为
)k g / m(632)( 2 xxx?,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6 2
0
( 2 3 6 )dM x x x
)kg(2 3 46
2
3
3
2
6
0
23?
xxx
。
0 6 x
图 7.5.1
这个问题可以作以下的推广,
⑴假定物理量分布在一个平面区域上,x 的变化范围为区间
[,]a b
。
如果过 x （ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用
)( xf
表示，或者说该平面区域在横坐标位 于
[,d ]x x x?
中的部分上的物理量可以表示为
( )df x x
，那么由类似的讨论，
可以得到这个区域上的总物理量为
( ) d
b
a
Q f x x
。
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根金属棒，其密度分布为
)k g / m(632)( 2 xxx?,
求这根金属棒的质量 M 。
解
6 2
0
( 2 3 6 )dM x x x
)kg(2 3 46
2
3
3
2
6
0
23?
xxx
。
0 6 x
图 7.5.1
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m,半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁片（图 7.5.2 ）所受到的水压力。
解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为 h 的地方所受到的压强为
ghp
,
这里，
是液体的密度，
g
是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为
x?10
处
(1 1x ) 受到的压强为
( )10? x g
，在圆铁片上截取与水面平行、以微元
d x
为宽度的一条带域，则带域的面积为
2d 2 1 dS x x
,
所以带域上所受到的压力为
2d 2 1 ( 1 0 ) dF g x x x
,
于是铁片所受到的水压力为
1
2
1
2 1 ( 1 0 ) d 1 0 πF g x x x g
（ N ）。
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§ 4 的第三部分给出了求 三维空间中夹在平面 x a? 和 x b? 之间的几何体的体积公式：
设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面 积为 A x( ),则几何体的体积为
( ) db
a
V A x x
。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
)( xA 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
x x t
y y t
t T T
( ),
( ),
[,]
1 2
上，分布函数（即物理量的密度）为
f t( )
，在
( ( ),( ) )x t y t
处截取一段长度为
d l
的弧，那么在这段弧上的物理量
d Q
为
d ( )dQ f t l?
。
利用弧长的微分公式,
d ( )dQ f t l 22( ) ( ) ( ) df t x t y t t
,
关于 t 在
[,]T T1 2
上积分，就得到
22
11
22( ) d ( ) ( ) ( ) d
TT
TT
Q f t l f t x t y t t
。
这个结论可以推广到空间曲线的情况。
例 7.5.3 设上半个金属环
222 Ryx
（
0?y
）上任一点处的电荷线密度等于该点到
y
轴的距离的平方，求环上的总电量。
解 将金属环的方程写成参数形式
x R t
y R t
t
c o s,
s i n,
[,]0?
,
于是
d l? 22( ) ( ) d dx t y t t R t
。
分布函数
f t x t R t( ) [ ( )] c o s2 2 2
，因此
d ( )dQ f t l 32c o s dR t t
,
所以环上的总电量为
3
π
32
0
π
c o s d
2
R
Q R t t
。
⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴，无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）
而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。
求动态效应除了上述这些静态的物理量之外，还有 一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作 用的效果。比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是 力作用了一段距离的结果，等等。
在§ 1 中已经知道，以速度
v t( )
做变速运动的物体在
[,]T T1 2
走过的路程为
2
1
( ) d
T
T
S v t t
,
这可以用微元法来理解：在小区间
],[ dttt?
上速度可近似地看作是
v t( )
，
因此走过的一小段路程为
d ( ) dS v t t?
,
两边求积分，就得到了前面的结果。
这样的思路可以运用到所有这类问题中去。
例 7,5,4 一个内半径为 R 的圆柱形汽缸，点火后于时刻
t 0
到
t1
将活塞从 x a? 处推至 x b? 处（
t 0
与
t1
非常接近），求它在这段时间中的平均功率。
解 由于
t 0
与
t1
非常接近，可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化，由物理学定律，汽缸中气体的压强
p
与体积 V 成反比，即
p
C
V
，
C 是点火瞬间汽缸中气体的压强
p 0
与体积 aS 的乘积 ( S 为活塞的截面积
R 2
) 。所以当活塞在 x 处时，作用在活塞上的压力为
x
C
S
Sx
C
S
V
C
SpF
,
利用微元法，活塞移动
dx
距离所做的功可表示为
d d d
C
W F x x
x
,
于是，所求的平均功率为
10
db
a
W C x
N
T t t x
ap S
t t
b
a
0
1 0
ln
。
xa b
图 7.5.3
简单数学模型和求解要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来，
就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。
比如，关于例 5.5,7 给出的 Mal t h u s 人口模型
,)(
),()(
00
ptp
tptp?
,
可以直接对微分等式
d
d
p
t
p
的两边在
[,]t t0
上求积分，这时
p
的变化范围相应地为
[,]p p0
,
00
d
d
pt
pt
p
t
p
,
于是
0
0
l n ( )
p
tt
p
,
即
0()
0 e
ttpp
。
例 7.5.5 （跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿
y
轴正向前进，同时 B 于
(,0 )a
处开始保持距离 a 对 A 进行 跟踪（即 B 的前进方向始终对着 A 的位置，并与 A 始终保持距离 a ）,求 B 的运动轨迹。
解 设 B 的运动轨迹 为
y y x? ( )
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
,0)(
,
22
ay
x
xa
y
两边求定积分
22
0
dd
yx
a
ax
yx
x
,
即得到 B 的运动轨迹方程为
y a
a a x
x
a x?
ln
2 2
2 2
。
这也可以看成 一个重物 B 被 A 用一根长度为 a 的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为 曳线 。
x x
y
B
A
O
图 7.5.5
a
例 7.5.6 （ 火箭飞行的运动规律）
火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的。
设在时刻 t 火箭的总质量为
)( tM
，
速度为
v t( )
，从而其动量为
)()( tvtM
。在从 t 到
dtt?
时间段中，有部分燃料 以相对于火箭体的常速度 u 被反向喷射出去，在时刻
dtt?
火箭质量为
( d )M t t?
，速度为
( d )v t t?
，相应地，喷射掉的燃料质量为
( ) ( d )M t M t t
，而其速度为
( d )v t t u
，且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和。
t时刻
t+dt时刻
M(t)?M(t+dt)
M(t)
M(t+dt)
v(t)
v(t+dt)
v(t+dt)?u
图 7.5.6
因此在时间段
[,d ]t t t?
中，系统动量的改变量为
( d ) ( d ) [ ( ) ( d ) ] [ ( d ) ] ( ) ( )M t t v t t M t M t t v t t u M t v t
( ) [ ( d ) ( ) ] [ ( d ) ( ) ]M t v t t v t M t t M t u
( ) ( ) d ( ) dM t v t t u M t t
。
再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量
dFt
，
这样，就得到火箭运动的微分方程为
dd
dd
vM
M F u
tt
,
这里 F 是作用于火箭系统的外力，
d
d
v
M
t
称为火箭的 反推力 。
特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时，
F Mg
,方程成为
0
d 1 d
,
dd
(0 ) 0,(0 ),
vM
gu
t M t
v M M
两边在
[,]0 t
上积分,
0 0 0
()
( )d d d
()
t t t Mt
v t t g t u t
Mt
,
就得到
v t u
M
M t
gt( ) ln
( )
0
。
例 7.5,7 （ Lo g i s ti c 人口模型）
Mal t h u s 人口模型的解为
p p t t0 0e ( )?
,
当 t 时有
p t( )
，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界
p m a x
。
荷兰生物数学家 Ve r h u l s t 认为，人口的增长速率应随着
p t( )
接近
p m a x
而越来越小，他提出了一个修正的人口模型
,)(
),(
)(
1)(
00
m a x
ptp
tp
p
tp
tp?
将含有
p
的项全部集中到左边，两边在
[,]t t0
上积分,
00
2
m a x m a x
d
d
pt
pt
p
t
p p p p
,
利用有理函数的积分公式,即可解出
)(
m a x
0
0
m a x
e11
tt
p
p
p
p
。
在这模型中，当
t
时有
p t p( ) m a x?
。
美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。
从 K e p ler 行星运动定律到万有引力定律最后，我们用 K e pl e r 的行星运动三大定律,Ne wton 第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。
对任意一个确定的行星，由 K e pl e r 第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
1 c o s
p
r
e?
,
这里
p
b
a
2 是焦参数，
e
b
a
1
2
2
是离心率，
a b和分别是椭圆的半长轴和半短轴。
设在时刻 t 行星与太阳的距离为
r r t? ( )
，它们的连线与极轴的夹角为
()t
，则行星的坐标可以用向量记号表示成 r?
( c o s,s i n )rr
。
记
d A
是极径转过角度
d?
所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），
由极坐标下的面积公式
d A 21
d
2
r
,
由 K e pl e r 第二定律，单位时间中扫过的面积
2d1
d2
A
r
t
常数,
这里?
d
d t
表示行星运动的角速度。
记行星绕太阳运行一周的时间为 T,则经过 T 时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积
ab
，即
ab
2
0
d1
d
d2
T A
t r T
t
,
因此常数
2 2 π ab
r
T
,
两边求导后得到
22( ) 2 0r r r r
,
即
20rr
。
这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为
d
d
r
r
t
和 2
2
d
d
r
r
t
（称为 径向速度 和 径向加速度 ），角加速度为
d
d t
（用字母上面加点表示对
t 的导数是 Ne wton 的记号）。
于是行星在 x 方向和
y
方向上的加速度分量分别为
2
2
2
d ( c o s )
c o s 2 s i n [ s i n c o s ]
d
r
r r r
t
2( ) c o s (2 ) s i nr r r r
2( ) c o srr
,
2
2
2
d ( s i n )
s i n 2 c o s [ c o s s i n ]
d
r
r r r
t
2(2 ) c o s ( ) s i nr r r r
2( ) s i nrr
。
记
r
r
0
r
( c o s,s i n )
是 r 方向上的单位向量，于是，得到加速度向量
a r( )r r? 2 0
,
即行星在任一点的加速度的方向恰与它的极径同向，加速度的值为
r r 2
。
为了求出r r
2
，对椭圆方程
( 1 c o s )p r e
两边求二阶导数，注意到
p
是焦参数即常数,
20 ( 1 c o s ) 2 ( s i n ) ( s i n c o s )p r e r e r e
2( ) c o s (2 ) s i nr r r e r r e
2( ) c o sr r r e
22( ) ( 1 c o s )r r e r
r r
r
p r
2
2
,
所以
( )
r r
r
r p
a b
T
a
b r
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 4 1
4
1
2
3
2 2
a
T r
。
最后，由 N ew t o n 第二运动定律和 K ep l er 第三定律即 3
2
a
T
常数，
便有
F a? m
m r r( )? 2 0r
23
22
4 π a Mm
M T r
r0
23
22
4 π a Mm
M T r
r0 G
Mm
r 2
r0
,
这里 M 是太阳的质量,
G
M
a
T
4 2 3
2
1 1 2 26,6 7 1 0 ( N m / k g )
称为 引力常量 。
导出万有引力定律是人类历史上最成功的数学模型之一，它的结论为以后一系列的观测和实验数据所证实（其中最为人津津乐道的是发现海王星），它的适用范围从天体运动一直延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多既有的物理现象，并成为探索未知世界的有力工具。
