微分的逆运算 ── 不定积分定义 6.1.1 若在某个区间上，函数
F x( )
和
f x( )
成立关系
F x f x( ) ( )
,
或等价地,
( ( ) ) ( )F x f x x?dd
,
则称
F x( )
是
f x( )
在这个区间上的一个 原函数 。
第六章 不定积分
§ 1 不定积分的概念和运算法则注意，如果一个函数存在 原函数，那么它的原函数必定是不唯一的。比如，若
F x( )
是
f x( )
的原函数，那么对任何常数 C,
F x C( )?
也是
f x( )
的原函数。
反之，若
G x( )
是
f x( )
的任一个原函数，则
[ ( ) ( ) ]F x G x 0
。于 是
F x G x C( ) ( )
，即
G x F x C( ) ( )
。
所以，只要求出了
f x( )
的任意一个原函数
F x( )
，就可以用
F x C( )?
来代表
f x( )
的原函数全体了。
定义 6,1,2 一个函数
f x( )
的原函数全体称为这个函数的 不定积分,记作
( ) df x x?
。
这里，,
”称为 积分号，
f x( )
称为 被积函数,x 称为 积分变量 。
微分运算,d,与不定积分运算,
”构成了一对逆运算,
()
()
()
Fx
f x x
F x C


d
d
,
或者具体写成
( ) ( )f x x f x xd d d
（ 即
( ) ( )f x x f x
x

d
d
d
）
与
( ) ( )F x F x C d
。
例 6.1.1 求 s i n xx? d 。
解 由于 ( c o s ) s i nx x xdd,即 ( c o s ) s i nx x xdd,因此得到
sin c o sx x x C d 。
例 6.1.2 求
xx d
，（ 1 ）。
解 由于

xx?

1
1
1,因此有
11
1x x x C


d
。
例 6.1.1 求 s i n xx? d 。
解 由于 ( c o s ) s i nx x xdd,即 ( c o s ) s i nx x xdd,因此得到
sin c o sx x x C d 。
例 6.1.3 求
x
x?
d
。
解 当 x? 0 时，有
( ln )x
x

1,因此
ln
x
xC
x

d
( )x? 0
。
当 x? 0 时，有
[l n( ) ] ( )
x
x x
1
1
1，因此
l n ( )
x
xC
x

d
( )x? 0
。
把两式结合起来，便得到
l n | |
x
xC
x

d
。
不定积分的线性性质定理 6.1.1 （ 线性性） 若函数 f x( ) 和 g x( ) 的原函数都存在，
则对任意常数 k
1
和 k
2
，函数 k f x k g x
1 2( ) ( )?
的原函数也存在，且有
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )k f x k g x x k f x x k g x xd d d
。
证 略。
基本的不定积分公式,
微 分 不 定 积 分
( e ) exx x?dd
ee
xx
xC d
(l n )
x
x
x
d
d
l n | |
x
xC
x

d
1()x x xdd
11
1
( 1 )x x x C

d
( s i n ) c o sx x x?dd
c os si nx x x C d
( c o s ) s i nx x xdd
sin c o sx x x C d
2( t a n ) s e cx x x?dd
2
s ec t anx x x C d
2( c o t ) c s cx x xdd
2
c s c c o tx x x C d
( s e c ) t a n s e cx x x x?dd
ta n se c se cx x x x C d
( c s c ) c o t c s cx x x xdd
co t csc cscx x x x C d
2
( a r c s in )
1
x
x
x
d
d
2
a r c s i n
1
x
xC
x

d
2
(a rc t a n )
1
x
x
x
d
d
2
a r c ta n
1
x
xC
x

d
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一些简单函数的不定积分。
例 6.1,4 求
2t an xx? d
。
解 利用三角恒等式 1s e ct a n 22 xx,
2t an xx? d
22( se c 1 ) se c 1x x x x xd d dCxx ta n
。
例 6.1.5 求
2sin
2
x x? d 。
解 利用三角函数的半角公式
2
c o s1
2s i n
2 xx
,
2 1 c o s 1 1sin ( 1 c o s ) ( sin )
2 2 2 2
xx x x x x x x Cd d d 。
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一些简单函数的不定积分。
例 6.1,4 求
2t an xx? d
。
解 利用三角恒等式 1s e ct a n 22 xx,
2t an xx? d
22( se c 1 ) se c 1x x x x xd d dCxx ta n
。
例 6.1,6 求 2( ) ( 2 )x x x x
x
x
d 。
解 2( ) ( 2 )x x x x
x
x
d32 34x x x x x x
x
d
57
22 2 3 22( 3 4 ) 2
7x x x x x x x C d 。
例 6.1,7 求 4
21
x x
x
d
,
解
4 4 2 2 2 2
22
2 2 2 2
11
1 1 1 1
x x x x x xx x x x x x x x
x x x x


d d d d d d
33
2
1 1 1 a r c ta n
3 1 3x x x x x x Cx dd
。
例 6.1,6 求 2( ) ( 2 )x x x x
x
x
d 。
解 2( ) ( 2 )x x x x
x
x
d32 34x x x x x x
x
d
57
22 2 3 22( 3 4 ) 2
7x x x x x x x C d 。
例 6.1,8 已知曲线
y f x? ( )
在任意一点
))(,( xfx
处的切线斜率都等于 x 2,并且曲线经过点
(,)3 2
，求该曲线的方程。
解 由
2xy
，得到
3
2
3
x
y x x C d
,
将
x y3 2,
代入上式，即可解得 C 7,所以曲线为
y
x

3
3
7
。