待定型极限和 L ' H o s pi t a l 法则
lim
x
a x a x a x a
b x b x b x b
n
n
n
n
m
m
m
m
1
1
1 0
1
1
1 0
=
a
b
n m
n m
n m
n
n
,,
,,
,,
0
我们将这种类型的极限称为
待定型，简称
型。
待定型极限除了
型以外，还有
0
0
型、
0
型、∞? ∞型、
0
型、
1?
型、
0 0
型等几种。我们先讨论如何求
0
0
型和
型的极限，其余几种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。
§ 2 L’Hospital 法则定理 5,2,1 （ L ' H o s p i ta l 法则） 设函数
)( xf
和
)( xg
在
],( daa?
上可导 ( d 是某个正常数 ),且
0)( xg
。 若此时有
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
0
或
lim ( )
x a
g x
,
且
lim
( )
( )x a
f x
g x
存在（可以是有限数或∞）,则成立
lim
( )
( )
lim
( )
( )x a x a
f x
g x
f x
g x
。
证 这里仅对
lim
( )
( )x a
f x
g x
= A 为有限数时来证明。
先证明
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
0
的情况。
补充定义
0)()( agaf
，则
)( xf
和
)( xg
在
daa?,
上连续，在
daa?,
上满 足 C a u c hy 中值定理的条件，因而对于任意
),( daax
,存在
),( daa
，满足
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f a f
g x g x g a g
。
当 x a 时显然有
a
。两端令 x a,即有
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
g
f
xg
xf
axaax?
。
下面证明
lim ( )
x a
g x
时的情况。
f x
g x
f x f x
g x
f x
g x
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xgxg
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
。
于是,
A
xg
xf
)(
)(
A
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
。
因为
lim
( )
( )x a
f x
g x
= A,所以对于任意
0
，存在
0
(
d
),当
0 xa
时,
A
xg
xf
)(
)(
。
取
0xa
，由 C a u c hy 中值定理，对于任意
),( 0xax?
，存在
),(),( 0 aaxx
满足
0
0
( ) ( ) ()
( ) ( ) ( )
f x f x f
g x g x g
,
于是得到
A
g
f
A
xgxg
xfxf
)(
)(
)()(
)()(
0
0
。
又因为
lim ( )
x a
g x
，所以可以找到正数
，当
0 xa
时，成立
)(
)()(
,2
)(
)(
1
000
xg
xAgxf
xg
xg
。
综 上所 述，即知对于任意 0,存在 0,当 0 xa 时,
A
xg
xf
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
23,
所以
lim
( )
( )
lim
( )
( )x a x a
f x
g x
A
f x
g x
。
证毕以上结论在 ax,ax? 或x （包括 + ∞和 - ∞）时都是成立的。
例 5,2,1 求
2
0
2c o s1
l i m
x
x
x
。
解 这是
0
0
型。
因为
2
c o ss in2
)(
)2c o s1(
2
x
xx
x
x
（
0?x
），由 L 'H o s p i t a l 法则，就可以得到
2
2c o s1
l i m
2
0
x
x
x
。
一般可以写成如下格式,
22
00
0 0 0
1 c os 2 ( 1 c os 2 )
l im l im
()
2 si n c os si n
l im 2 l im l im c os 2.
xx
x x x
xx
xx
x x x
x
xx
例 5.2.2 求
π
a r c ta n
2
l im
1
s in
x
x
x
。
解 由 L ' H os p it a l 法则得,
π
a r c ta n
2
l im
1
s in
x
x
x
2
2
11
c o s
1
1
lim
xx
x
x
.1
1
lim
1
c o slim
1
2
2
x
x
x
x
x
若使用了 L 'H o s p i t a l 法则之后，所得到的
lim ( )( )
x a
f x
g x
仍是 0
0
型或
型，并且函数 )( xf? 和 )( xg? 依然满足定理 5,2,1 的条件，那么可以再次使用 L 'H o s p i t a l 法则，讨论
lim ( )( )
x a
f x
g x
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例 5,2,3 求
30
t a nl i m
x
xx
x
。
解 这是 0
0
型，由 L 'H o s p i t al 法则
2
2
030 3
s e c1limt a nlim
x
x
x
xx
xx
（仍是 0
0
型，再用 L 'H o s p i t a l 法则）
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0
30
1 s in 1 1l im ( ),
3 c o s 3x
x
xx?
若使用了 L 'H o s p i t a l 法则之后，所得到的
lim ( )( )
x a
f x
g x
仍是 0
0
型或
型，并且函数 )( xf? 和 )( xg? 依然满足定理 5,2,1 的条件，那么可以再次使用 L 'H o s p i t a l 法则，讨论
lim ( )( )
x a
f x
g x
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例 5,2,4 求
lim
ex
a
bx
x
(
0a?
,
0b?
) 。
解 这是
型。设
[ ]a n
（记号
[ ]x?
表示不小于 x 的最小整数），
反复使用 L 'H o s p i t a l 法则 n 次，即有
.0
e
)1()2)(1(
lim
e
)1(
lim
e
lim
e
lim
2
21
bxnan
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
naaaa
b
xaa
b
xax
这说明当 x 的时候，指数函数 xa （ a? 1 ）与任何次数的幂函数 nx 相比，都是更高阶的无穷大量。同样可以导出,
xnal o g
(
1a?
) 与任何次数的幂函数 x? (
0
) 相比，都是更低阶的无 穷大量。
可化为 0
0
型或
型的极限前面已经指出,0 型、∞? ∞型,? 0 型,1? 型,0 0 型等类型的极限都可以化成 0
0
型或
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0 型可化成 1
型或 1
0
0
型，即
型或 0
0
型。
例 5,2,5 求
lim ln
x
x x
0
。
解 这是 0 型，将其转化为
型
lim ln lim
ln
x x
x x
x
x
0 0 1
。
再由 L 'H o s p i t a l 法则得上式
lim
x
x
x
0
2
1
1
.0)(lim
0
x
x
可化为 0
0
型或
型的极限前面已经指出,0 型、∞? ∞型,? 0 型,1? 型,0 0 型等类型的极限都可以化成 0
0
型或
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0 型可化成 1
型或 1
0
0
型，即
型或 0
0
型。
⑵ 型可化成
0
1
0
1
型，再通分变成
0
00?
型，即
0
0
型。
例 5,2,6 求
x
x
x
1
c o tlim
0
。
解 这是 型，先对它通分,
x
x
x
1
c o tlim
0
xx
x
x
1
s in
c o s
li m
0
lim
cos s in
s inx
x x x
x x0
,
现在它已被转变成
0
0
型了。
由 L 'H o s p i t a l 法则得
x
x
x
1
c o tlim
0
lim
( co s s in )
( s in )x
x x x
x x0
xxx
xxxx
x c o ss i n
c o ss i nc o s
lim
0?
0
c o s
s i n
1
lim
0
x
x
x
x
x
。
⑶? 0 型,1? 型,0 0 型极限
lim ( ) ( )f x g x
可以通过对数恒等式统一化成
()l n ( ) ( ) l n ( ) l i m ( ) l n ( )l i m e l i m e egxf x g x f x g x f x
这里的 )(ln)(l im xfxg 已成为 0 型，于是便可用例 5,2,5 所示的方法来求出极限。
例 5,2,7 求
limx xx0
。
解 这是 00 型。将其改写为
limx xx0lim e eln lim lnx x x x xx0 0,
由例 5,2,5 知
lim lnx x x0 0
。于是
limx xx0
e lim lnx x x0e 0 1 。
⑶? 0 型,1? 型,0 0 型极限
lim ( ) ( )f x g x
可以通过对数恒等式统一化成
()l n ( ) ( ) l n ( ) l i m ( ) l n ( )l i m e l i m e egxf x g x f x g x f x
这里的 )(ln)(l im xfxg 已成为 0 型，于是便可用例 5,2,5 所示的方法来求出极限。
例 5.2.8 求
lim ln
x
x
x0
1
。
解 这是 0? 型，将其改写为
.eeli m
1
lnli m
1
lnlnl i m
1
lnln
00
0 x
x
x
x
x
x
x
x
x
由 L ' Hos p i ta l 法则得
1
1
0 0 0 0
2
111
l n l n
ln1
l im l n l n l im l im l im 0
1 ln
1
x
x x x x
x
x xx
x
x
x
x
，
于是
lim ln e e
lim ln ln
x
x
x
x
x
x
0
1
0
1
10 。
例 5.2,9 求
tan
π
2
l i m (si n )
x
x
x
。
解 这是?1 型，将其改写为
π
2
l im ta n l n s in
ta n ta n l n s in
π π
22
l im ( s in ) l im e e,
x
xx
x x x
xx
x
由 L ' Hos p i ta l 法则得
π π
22
2
π
2
( l n s in )
l im ta n l n s in l im
( c o t )
c o s
l im 0
s in ( c s c )
xx
x
x
xx
x
x
xx
，
于是
π
2
l im ta n l n s in
ta n
π
2
l im ( s in ) e
x
xx
x
x
x
e 0 1 。
最后，指出使用 L 'H o s p i t a l 法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
不是 0
0
型或
型时，不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，
否则将会造成错误。
例 5.2.1 0 求
π
2
1 s i n
l i m
1 c o sx
x
x?
。
解 这不是
0
0
型，也不是
型，它的极限为
π
2
π
1 s in
1 s in
2
l im 2
π1 c o s
1 c o s
2
x
x
x?
。
若不问情况地贸然使用 L ' Hos p it a l 法则,
x
x
x c o s1
s i n1
l im
2
π?
x
x
x s i n
c o s
l i m
2
π
0,
就会得出不正确的结果。因此，每次使用 L ' Hos p i ta l 法则之前都必须对极限的类型加以检验。
最后，指出使用 L 'H o s p i t a l 法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
不是 0
0
型或
型时，不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，
否则将会造成错误。
第二,L 'H o s p i t a l 法则只告诉我们，对于
0
0 型或
型，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
存在时，它的值等于
lim ( )( )
x a
f x
g x
。那么这是否意味着，当
lim ( )( )
x a
f x
g x
不存在时，
lim ( )( )
x a
f x
g x
也不存在呢？请看下面的例子。
例 5,2,1 1 求
x
xx
x
c o s
lim
。
解 这是
型，但我们并不能 根据当x 时
x
x
xx
s i n1
)c o s(
的极限不存在，就错误地得出
x
xx
x
c o s
lim
也不存在的结论 —— 事实上，
显然有
1
c o s
l i m?
x
xx
x
。
因此，
lim
( )
( )x a
f x
g x
不存在并不表示
lim
( )
( )x a
f x
g x
不存在，它仅仅意味着，
此时不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，而应改用其他方法来讨论
lim
( )
( )x a
f x
g x
。
第二,L 'H o s p i t a l 法则只告诉我们，对于
0
0 型或
型，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
存在时，它的值等于
lim ( )( )
x a
f x
g x
。那么这是否意味着，当
lim ( )( )
x a
f x
g x
不存在时，
lim ( )( )
x a
f x
g x
也不存在呢？请看下面的例子。
lim
x
a x a x a x a
b x b x b x b
n
n
n
n
m
m
m
m
1
1
1 0
1
1
1 0
=
a
b
n m
n m
n m
n
n
,,
,,
,,
0
我们将这种类型的极限称为
待定型，简称
型。
待定型极限除了
型以外，还有
0
0
型、
0
型、∞? ∞型、
0
型、
1?
型、
0 0
型等几种。我们先讨论如何求
0
0
型和
型的极限，其余几种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。
§ 2 L’Hospital 法则定理 5,2,1 （ L ' H o s p i ta l 法则） 设函数
)( xf
和
)( xg
在
],( daa?
上可导 ( d 是某个正常数 ),且
0)( xg
。 若此时有
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
0
或
lim ( )
x a
g x
,
且
lim
( )
( )x a
f x
g x
存在（可以是有限数或∞）,则成立
lim
( )
( )
lim
( )
( )x a x a
f x
g x
f x
g x
。
证 这里仅对
lim
( )
( )x a
f x
g x
= A 为有限数时来证明。
先证明
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
0
的情况。
补充定义
0)()( agaf
，则
)( xf
和
)( xg
在
daa?,
上连续，在
daa?,
上满 足 C a u c hy 中值定理的条件，因而对于任意
),( daax
,存在
),( daa
，满足
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f a f
g x g x g a g
。
当 x a 时显然有
a
。两端令 x a,即有
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
g
f
xg
xf
axaax?
。
下面证明
lim ( )
x a
g x
时的情况。
f x
g x
f x f x
g x
f x
g x
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xgxg
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
。
于是,
A
xg
xf
)(
)(
A
xg
xf
xgxg
xfxf
xg
xg
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
1
0
0
00
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
。
因为
lim
( )
( )x a
f x
g x
= A,所以对于任意
0
，存在
0
(
d
),当
0 xa
时,
A
xg
xf
)(
)(
。
取
0xa
，由 C a u c hy 中值定理，对于任意
),( 0xax?
，存在
),(),( 0 aaxx
满足
0
0
( ) ( ) ()
( ) ( ) ( )
f x f x f
g x g x g
,
于是得到
A
g
f
A
xgxg
xfxf
)(
)(
)()(
)()(
0
0
。
又因为
lim ( )
x a
g x
，所以可以找到正数
，当
0 xa
时，成立
)(
)()(
,2
)(
)(
1
000
xg
xAgxf
xg
xg
。
综 上所 述，即知对于任意 0,存在 0,当 0 xa 时,
A
xg
xf
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
1
00
0
00
xg
xAgxf
A
xgxg
xfxf
xg
xg?
23,
所以
lim
( )
( )
lim
( )
( )x a x a
f x
g x
A
f x
g x
。
证毕以上结论在 ax,ax? 或x （包括 + ∞和 - ∞）时都是成立的。
例 5,2,1 求
2
0
2c o s1
l i m
x
x
x
。
解 这是
0
0
型。
因为
2
c o ss in2
)(
)2c o s1(
2
x
xx
x
x
（
0?x
），由 L 'H o s p i t a l 法则，就可以得到
2
2c o s1
l i m
2
0
x
x
x
。
一般可以写成如下格式,
22
00
0 0 0
1 c os 2 ( 1 c os 2 )
l im l im
()
2 si n c os si n
l im 2 l im l im c os 2.
xx
x x x
xx
xx
x x x
x
xx
例 5.2.2 求
π
a r c ta n
2
l im
1
s in
x
x
x
。
解 由 L ' H os p it a l 法则得,
π
a r c ta n
2
l im
1
s in
x
x
x
2
2
11
c o s
1
1
lim
xx
x
x
.1
1
lim
1
c o slim
1
2
2
x
x
x
x
x
若使用了 L 'H o s p i t a l 法则之后，所得到的
lim ( )( )
x a
f x
g x
仍是 0
0
型或
型，并且函数 )( xf? 和 )( xg? 依然满足定理 5,2,1 的条件，那么可以再次使用 L 'H o s p i t a l 法则，讨论
lim ( )( )
x a
f x
g x
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例 5,2,3 求
30
t a nl i m
x
xx
x
。
解 这是 0
0
型，由 L 'H o s p i t al 法则
2
2
030 3
s e c1limt a nlim
x
x
x
xx
xx
（仍是 0
0
型，再用 L 'H o s p i t a l 法则）
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0
30
1 s in 1 1l im ( ),
3 c o s 3x
x
xx?
若使用了 L 'H o s p i t a l 法则之后，所得到的
lim ( )( )
x a
f x
g x
仍是 0
0
型或
型，并且函数 )( xf? 和 )( xg? 依然满足定理 5,2,1 的条件，那么可以再次使用 L 'H o s p i t a l 法则，讨论
lim ( )( )
x a
f x
g x
的极限情况，依次类推，直到求出极限为止。
例 5,2,4 求
lim
ex
a
bx
x
(
0a?
,
0b?
) 。
解 这是
型。设
[ ]a n
（记号
[ ]x?
表示不小于 x 的最小整数），
反复使用 L 'H o s p i t a l 法则 n 次，即有
.0
e
)1()2)(1(
lim
e
)1(
lim
e
lim
e
lim
2
21
bxnan
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
a
x
bx
naaaa
b
xaa
b
xax
这说明当 x 的时候，指数函数 xa （ a? 1 ）与任何次数的幂函数 nx 相比，都是更高阶的无穷大量。同样可以导出,
xnal o g
(
1a?
) 与任何次数的幂函数 x? (
0
) 相比，都是更低阶的无 穷大量。
可化为 0
0
型或
型的极限前面已经指出,0 型、∞? ∞型,? 0 型,1? 型,0 0 型等类型的极限都可以化成 0
0
型或
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0 型可化成 1
型或 1
0
0
型，即
型或 0
0
型。
例 5,2,5 求
lim ln
x
x x
0
。
解 这是 0 型，将其转化为
型
lim ln lim
ln
x x
x x
x
x
0 0 1
。
再由 L 'H o s p i t a l 法则得上式
lim
x
x
x
0
2
1
1
.0)(lim
0
x
x
可化为 0
0
型或
型的极限前面已经指出,0 型、∞? ∞型,? 0 型,1? 型,0 0 型等类型的极限都可以化成 0
0
型或
型，下面对每一种类型举出一个例子。
⑴ 0 型可化成 1
型或 1
0
0
型，即
型或 0
0
型。
⑵ 型可化成
0
1
0
1
型，再通分变成
0
00?
型，即
0
0
型。
例 5,2,6 求
x
x
x
1
c o tlim
0
。
解 这是 型，先对它通分,
x
x
x
1
c o tlim
0
xx
x
x
1
s in
c o s
li m
0
lim
cos s in
s inx
x x x
x x0
,
现在它已被转变成
0
0
型了。
由 L 'H o s p i t a l 法则得
x
x
x
1
c o tlim
0
lim
( co s s in )
( s in )x
x x x
x x0
xxx
xxxx
x c o ss i n
c o ss i nc o s
lim
0?
0
c o s
s i n
1
lim
0
x
x
x
x
x
。
⑶? 0 型,1? 型,0 0 型极限
lim ( ) ( )f x g x
可以通过对数恒等式统一化成
()l n ( ) ( ) l n ( ) l i m ( ) l n ( )l i m e l i m e egxf x g x f x g x f x
这里的 )(ln)(l im xfxg 已成为 0 型，于是便可用例 5,2,5 所示的方法来求出极限。
例 5,2,7 求
limx xx0
。
解 这是 00 型。将其改写为
limx xx0lim e eln lim lnx x x x xx0 0,
由例 5,2,5 知
lim lnx x x0 0
。于是
limx xx0
e lim lnx x x0e 0 1 。
⑶? 0 型,1? 型,0 0 型极限
lim ( ) ( )f x g x
可以通过对数恒等式统一化成
()l n ( ) ( ) l n ( ) l i m ( ) l n ( )l i m e l i m e egxf x g x f x g x f x
这里的 )(ln)(l im xfxg 已成为 0 型，于是便可用例 5,2,5 所示的方法来求出极限。
例 5.2.8 求
lim ln
x
x
x0
1
。
解 这是 0? 型，将其改写为
.eeli m
1
lnli m
1
lnlnl i m
1
lnln
00
0 x
x
x
x
x
x
x
x
x
由 L ' Hos p i ta l 法则得
1
1
0 0 0 0
2
111
l n l n
ln1
l im l n l n l im l im l im 0
1 ln
1
x
x x x x
x
x xx
x
x
x
x
，
于是
lim ln e e
lim ln ln
x
x
x
x
x
x
0
1
0
1
10 。
例 5.2,9 求
tan
π
2
l i m (si n )
x
x
x
。
解 这是?1 型，将其改写为
π
2
l im ta n l n s in
ta n ta n l n s in
π π
22
l im ( s in ) l im e e,
x
xx
x x x
xx
x
由 L ' Hos p i ta l 法则得
π π
22
2
π
2
( l n s in )
l im ta n l n s in l im
( c o t )
c o s
l im 0
s in ( c s c )
xx
x
x
xx
x
x
xx
，
于是
π
2
l im ta n l n s in
ta n
π
2
l im ( s in ) e
x
xx
x
x
x
e 0 1 。
最后，指出使用 L 'H o s p i t a l 法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
不是 0
0
型或
型时，不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，
否则将会造成错误。
例 5.2.1 0 求
π
2
1 s i n
l i m
1 c o sx
x
x?
。
解 这不是
0
0
型，也不是
型，它的极限为
π
2
π
1 s in
1 s in
2
l im 2
π1 c o s
1 c o s
2
x
x
x?
。
若不问情况地贸然使用 L ' Hos p it a l 法则,
x
x
x c o s1
s i n1
l im
2
π?
x
x
x s i n
c o s
l i m
2
π
0,
就会得出不正确的结果。因此，每次使用 L ' Hos p i ta l 法则之前都必须对极限的类型加以检验。
最后，指出使用 L 'H o s p i t a l 法则时要注意的两个问题。
第一，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
不是 0
0
型或
型时，不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，
否则将会造成错误。
第二,L 'H o s p i t a l 法则只告诉我们，对于
0
0 型或
型，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
存在时，它的值等于
lim ( )( )
x a
f x
g x
。那么这是否意味着，当
lim ( )( )
x a
f x
g x
不存在时，
lim ( )( )
x a
f x
g x
也不存在呢？请看下面的例子。
例 5,2,1 1 求
x
xx
x
c o s
lim
。
解 这是
型，但我们并不能 根据当x 时
x
x
xx
s i n1
)c o s(
的极限不存在，就错误地得出
x
xx
x
c o s
lim
也不存在的结论 —— 事实上，
显然有
1
c o s
l i m?
x
xx
x
。
因此，
lim
( )
( )x a
f x
g x
不存在并不表示
lim
( )
( )x a
f x
g x
不存在，它仅仅意味着，
此时不能使用 L 'H o s p i t a l 法则，而应改用其他方法来讨论
lim
( )
( )x a
f x
g x
。
第二,L 'H o s p i t a l 法则只告诉我们，对于
0
0 型或
型，当 lim ( )
( )x a
f x
g x
存在时，它的值等于
lim ( )( )
x a
f x
g x
。那么这是否意味着，当
lim ( )( )
x a
f x
g x
不存在时，
lim ( )( )
x a
f x
g x
也不存在呢？请看下面的例子。
