含参变量反常积分的一致收敛
含参变量的反常积分也有两种,无穷区间上的含参变量反常积 分和 无界函数的含参变量反常积分 。
设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dca ×+∞ 上，若对某个 ],[
0
dcy ∈,反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
收敛，则称含参变量反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
在
0
y 处收敛，并称
0
y 为它的 收敛点 。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E
就是函数
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
的定义域，也称为 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
的 收敛域 。
§ 2 含参变量的反常积分为讨论 )(yI 的连续性、可微性和可积性，引进一致收敛的概念。
定义 15.2.1 设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dca ×+∞ 上,且对任意的 ],[ dcy∈,反常积分
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
存在。如果对于任意给定的的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使 得当
0
AA > 时,对于所有的 ],[ dcy∈,成立
(,)d ()
A
a
fxy x Iy ε? <
∫
,
即
(,)d
A
fxy x ε
+∞
<
∫
,
则称 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 （ 于 )(yI ）。 在参变量明确时,
也常简称 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
对 (,)d
a
f x y x
∞
∫
与 (,)df x y x
+∞
∞
∫
可同样定义关于 y 的一致收敛概念。
例15.2.1 含参变量 α的反常积分
0
ed
x
x
α
+∞
∫
关于 α 在 ),[
0
∞+α 上 一致收敛（ 0
0
>α ）,但在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。
解 先说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),[
0
∞+α 上一致收敛。由于当
0
αα ≥ 时,
0
0
111
0ed ed e e
xt
AxtA
AA
α
ααα
α
αα
=
+∞ +∞
≤= =≤
∫∫
令
,
而
0e
1
lim
0
0
=
+∞→
A
A
α
α
,
所以对于任意给定的 0>ε,存在正数
0
A,使得当
0
AA > 时，
0
0
1
e
Aα
ε
α
< 。
这时成立
ed
x
A
x
α
+∞
<
∫
0
0
1
e
Aα
ε
α
<,
这说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),[
0
∞+α 上一致收敛。
再说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。对于任意取定的正 数
A，由于
1
ed e
x A
A
x
α α
α
+∞
=
∫
,
而 +∞=
+→
Aα
α
α
e
1
lim
0
，所以必存在某个 ),0()( +∞∈Aα,使得
()
ed1
Ax
A
x
α
+∞
>
∫
。
因此
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。
对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念：
定义 15.2.1 '设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dcba × 上,且对 任意的
],[ dcy∈,以 b为奇点的反常积分
() (,)d
b
a
I yfx y x=
∫
存在。如果对于任意 0>ε,存在与 y 无关的 0>δ,使得当 δη <<0 时,
对所有 ],[ dcy∈ 成立
(,)d ()
b
a
fxy x Iy
η
ε
<
∫
,
即
(,)d
b
b
fxy x
η
ε
<
∫
,
则称 (,)d
b
a
f x y x
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 （ 于 )(yI ） 。在参变量明确时,
也常简称 (,)d
b
a
f x y x
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
一致收敛的判别法
下面仅以 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
为例讨论一致收敛的判别方法。 对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 15.2.1 （ Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0>ε,存 在 与
y 无关的正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
,成立
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
,],[ dcy∈ 。
由 Cauchy 收敛原理立即得知,
推论 15.2.1 若存在 0
0
>ε,使得对于任意大的正数
0
A,总存 在
0
,AAA >
′
及 ],[
0
dcy
A
∈,使得
0
0
(,)d
A
A
A
fxy x ε
′
≥
∫
,
那么含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上非一致收敛。
一致收敛的判别法
下面仅以 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
为例讨论一致收敛的判别方法。 对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 15.2.1 （ Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0>ε,存 在 与
y 无关的正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
,成立
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
,],[ dcy∈ 。
定理 15.2.2（ Weierstrass 判别法） 如果存在函数 )(xF 使得
（ 1） dycxaxFyxf ≤≤+∞<≤≤,),(|),(|,
（ 2） 反常积分 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛 。
那么含参变量的反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛 。
证 因为 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于 任意给定的 0>ε,存在正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
，成立
()d
A
A
Fx x ε
′
<
∫
。
因此当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,不等式
(,)d ()d
AA
fxy x Fx x ε
′′
≤ <
∫∫
成立，由定理 15.2.1,()d
a
F xx
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 15.2.2（ Weierstrass 判别法） 如果存在函数 )(xF 使得
（ 1） dycxaxFyxf ≤≤+∞<≤≤,),(|),(|,
（ 2） 反常积分 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛 。
那么含参变量的反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛 。
例15.2.2 证明
2
0
e
d
1
x
x
x
α?
+∞
+
∫
关于 α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
解 由于
+∞<≤+∞<≤
+
≤
+
<
α
α
0,0,
1
1
1
e
0
22
x
xx
x
,
而
2
0
1 π
d
12
x
x
+∞
=
+
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
2
0
e
d
1
x
x
x
α?
+∞
+
∫
在 ),0[ +∞ 上 一致收敛。
定理 15.2.3 设函数 ),( yxf 和 ),( yxg 满足以下两组条件之一,则含参变量的反常积分
(,) (,)d
a
f xygxy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛 。
1,（ Abel 判别法）
（ 1） (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛 ；
（ 2） ),( yxg 关于 x单调,即对每个固定的 ],[ dcy∈,g 关于 x是单调函数；
（ 3） ),( yxg 一致有界,即存在正数 L,使得
dycxaLyxg ≤≤+∞<≤≤,,|),(| 。
2,（ Dirichlet 判别法 ）
（ 1） (,)d
A
a
f x y x
∫
一致有界,即存在正数 L,使得
(,)d
A
a
f xy x L≤
∫
,+∞<< Aa,],[ dcy∈ ；
（ 2） ),( yxg 关于 x单调,即对每个固定的 ],[ dcy∈,g 关于 x是单调函数；
（ 3） 当 +∞→x 时 ),( yxg 关于 y 在 ],[ dc 上一致趋于零,即对于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
Ax ≥ 时,对于任意
],[ dcy∈ 成立
ε≤|),(| yxg 。
证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似 。
由于 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对 于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
,AAA >
′
时,
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
。
那么当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,由积分第二中值定理,
(,)(,)d (,) (,)d (,) (,)d
(,) (,)d (,) (,)d 2,
A A
AA
A
A
fxygxy x gAy fxy x gAy fxy x
gAy fxy x gAy fxy x L
ξ
ξ
ξ
ξ
ε
′ ′
′
′
=+
′
≤+ <
∫∫∫
∫∫
其中 ξ 在 A与 A′之间。于是由定理 15.2.1,(,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一 致收敛。
关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性,同样有 Cauchy
收敛原理，Weierstrass 判别法,Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。
证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似 。
由于 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对 于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
,AAA >
′
时,
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
。
那么当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,由积分第二中值定理,
(,)(,)d (,) (,)d (,) (,)d
(,) (,)d (,) (,)d 2,
A A
AA
A
A
fxygxy x gAy fxy x gAy fxy x
gAy fxy x gAy fxy x L
ξ
ξ
ξ
ξ
ε
′ ′
′
′
=+
′
≤+ <
∫∫∫
∫∫
其中 ξ 在 A与 A′之间。于是由定理 15.2.1,(,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一 致收敛。
例 15.2.3 证明含参变量反常积分
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
关于 α在 ),0[ +∞
上一致收敛。
证 因为
0
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛,它当然关于 α一致收敛。 显然
xα?
e 关于 x
单调，且
+∞<≤+∞<≤≤≤
x
x
0,0,1e0 α
α
,
即
xα?
e 一致有界。由 Abel 判别法，
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
例 15.2.4 证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
关于 y 在 ),[
0
+∞y （ 0
0
>y ）上一致收敛，
但在 ),0( +∞ 上非一致收敛。
证 先证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),[
0
+∞y （ 0
0
>y ）上一致收敛。由于
0
0
1cos( ) 2 2
sin d
A
Ay
xy x
yyy
=≤≤
∫
,0≥A,
0
,yy≥
因此它在 ),[
0
+∞y 一致有界。
x
1
是关于 x的单调减少函数，且 0
1
lim =
+∞→
x
x
，
由于
x
1
与 y 无关，因此这个极限关于 y 在 ),[
0
+∞y 上是一致的。于是由
Dirichlet 判别法，
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),[
0
+∞y 上一致收敛。
再证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),0( +∞ 上非一致收敛。对于任意正整数 n,取
n
y
n
1
=,这时
33 3
ππ π
22 2
sin
sin 12
ddsind
3
3π
π
2
nn
n
x
xy x
n
xx
xx
n
=> =
∫∫ ∫
。
因此，只要取
0
2
3π
ε =,则对于任意大的正数
0
A,总存在正整数 n满 足
0
πnA>,及 ∈=
n
y
n
1
),0( +∞,使得
3
π
2
0
π
sin 2
d
3π
n
n
n
xy
x
x
ε>=
∫
。由 Cauchy 收 敛原理的推论 15.2.1，
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
关于 y 在 ),0( +∞ 上非一致收敛。
例15.2.5 证明
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
关于 p 在 )1,1(? 上内闭一致收敛。
证 注意到被积函数
p
x
x
2
cos
在 0=x 附近无界，将
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
写为
22 2
1
12
001
cos cos cos
dd d
pp p
xx x
I
+∞ +∞
= +=+
∫∫∫
,
现证对于任意的 )1,1(],[
10
pp,
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
与
2
2
1
cos
d
p
x
I x
x
+∞
=
∫
在
],[
10
pp 上都一致收敛。
先看
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
，这是一个含参变量的无界函数的反常积分。
显然
1
11cos
2
ppp
xxx
x
≤≤,10 ≤< x,
10
ppp ≤≤,
由于 1
1
<p,因此
1
1
0
d
p
x
x
∫
收敛。 于是由 Weierstrass 判别法，
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
在 ],[
10
pp 上一致收敛。
再看
2
2
1
cos
d
p
x
Ix
x
+∞
=
∫
。作变换
2
xt =,得到
2
1
11
(1)
2
cos 1 cos
dd
2
p
p
xt
x
t
+∞ +∞
+
=
∫∫
。
由于
1
cos d sin sin1 2
A
tt A=?≤
∫
,+∞<≤ A1,
即
1
cos d
A
tt
∫
一致有界。而对于每个 ],[
10
ppp∈,函数
)1(
2
1
1
+p
t
关于 t单调 减少，且成立
)1(
2
1
)1(
2
1
0
11
++
≤
pp
tt
,+∞<≤t1,
10
ppp ≤≤,
因此当 +∞→t 时，
)1(
2
1
1
+p
t
关于 p 在 ],[
10
pp 上一致趋于零。 于是由 Dirichlet
判别法，
1
1
(1)
2
cos
d
p
t
t
t
+∞
+
∫
在 ],[
10
pp 上一致收敛,所以
2
2
1
cos
d
p
x
Ix
x
+∞
=
∫
在 ],[
10
pp
上一致收敛。
综上所述，
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
在 )1,1(? 上内闭一致收敛。
定理 15.2.4（ Dini 定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续 且 保持定号,如果含参变量积分
() (,)d
a
Iy fxy x
+∞
=
∫
在 ],[ dc 上连续,那么含参变量积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 用反证法。不妨设 0),( ≥yxf 。若 (,)d
a
fxy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 不一致收敛，那么存在某个正数
0
ε,对于任何正整数 an >,总存 在
],[ dcy
n
∈,使得
0
(,)d
n
n
fxy x ε
+∞
≥
∫
。
由于有界数列 }{
n
y 必有收敛子列，不妨就设 }{
n
y 收敛，并 记
],[lim
0
dcyy
n
n
∈=
∞→
。
由于反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
收敛，所以必存在 A（ a> ）,使得
0
0
(,)d
2
A
fxy x
ε
+∞
<
∫
。
并且由 0),( ≥yxf,可知当 An > 时,
0
(,)d (,)d
nn
An
fxy x fxy x ε
+∞ +∞
≥≥
∫∫
。
由于 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上连续，而且由常义含参变量积分的连 续性定理,(,)d
A
a
f xy x
∫
在 ],[ dc 上也连续，因此从
(,)d (,)d (,)d
A
Aaa
f xy x fxy x fxy x
+∞ +∞
=?
∫∫∫
可知 (,)d
A
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上连续。于是由
0
lim yy
n
n
=
∞→
可推出
0
0
lim (,)d (,)d
2
n
AAn
fxy x fxy x
ε
+∞ +∞
→∞
= <
∫∫
,
这与
0
(,)d
n
A
fxy x ε
+∞
≥
∫
（ An > ）矛盾。因此 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致 收敛。
一致收敛积分的分析性质
现在讨论含参变量反常积分的分析性质，即连续性、可微性和 可积性。
设反常积分 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
对于每个 ],[ dcy∈ 都收敛，这样就定义了函数
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
,],[ dcy∈ 。
任取一列严格单调增加的数列 }{
n
a,它满足 aa =
0
以 及
+∞→
n
a )( ∞→n 。令
1
() (,)d
n
n
a
n
a
u yfx y x
=
∫
， ",2,1=n,
那么
1
11
(,)d (,)d ()
n
n
a
n
aa
nn
f x y x f x y xuy
∞∞
+∞
==
∑∑
∫∫
。
利用 Cauchy 收敛原理容易证明如下的引理,
引理 15.2.1 若含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛，则函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 15.2.5（连续性定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续，
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则函数
() (,)d
a
Iy fx y x
+∞
=
∫
在 ],[ dc 上连续,即
00
lim (,)d lim (,)d
aayy yy
f x y x f x y x
+∞ +∞
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
也就是说,极限运算与积分运算可以交换 。
证 因为 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛,由引理 15.2.1，
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在
],[ dc 上一致收敛。由于 ),( yxf 在 ],[],[
1
dcaa
nn
×
上连续，由常义含参 变量积分的连续性定理,
1
() (,)d
n
n
a
n
a
uy fxyx
=
∫
连续（ ",2,1=n ） 。根据一致收敛级数的性质，可知和函数
1
() (,)d ()
n
a
n
Iy fxy x u y
∞
+∞
=
==
∑
∫
连续。
注意,Dini 定理并不是这个定理的逆定理。 Dini 定理只说明了 在
),( yxf 保持定号的情况下，由 () (,)d
a
I yfxyx
+∞
=
∫
的连续性可以推出
(,)d
a
f xy x
+∞
∫
的一致收敛。可以举例说明：去掉“保持定号”条件可 能导致结论不成立。
定理 15.2.6（积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续,(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则
d(,)d d(,)d
dd
ca a c
yfxyx xfxyy
+∞ +∞
=
∫∫ ∫ ∫
,
即积分次序可交换 。
证 由引理 15.2.1，可知
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在 ],[ dc 上一致收敛。根据一致 收敛级数的和号与积分号可以交换的结论,
1
d(,)d ()d
dd
n
ca c
n
yfx y xuyy
∞
+∞
=
=
∑
∫∫ ∫
( )
11
11 1
()d (,)d d d (,)d
nn
dda a
n
cc c
nn n
u yy fx y x yyfx y x
∞∞ ∞
== =
∑∑ ∑
∫∫∫ ∫
1
0
1
d(,)d d(,)d
n
n
ad d
ac c
n
xfx yy x f x yy
∞
+∞
=
∑
∫∫ ∫∫
。
其中第二行到第三行的推导是利用了常义含参变量积分的积分次 序可交换定理。
定理 15.2.6（积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续,(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则
d(,)d d(,)d
dd
ca a c
yfxyx xfxyy
+∞ +∞
=
∫∫ ∫ ∫
,
即积分次序可交换 。
当 ],[ dc 也改为无穷区间 ),[ +∞c 时，本定理的条件就不足以保证 积分次序可交换，但有下面的结论,
定理 15.2.6' 设 ),( yxf 在 ),[),[ +∞×+∞ ca 上连续,且 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ Cc 上一致收敛 （ +∞<<Cc ）,(,)d
c
f xy y
+∞
∫
关于 x在 ],[ Aa 上 一致收敛 （ +∞<< Aa ）。 进一步假设 d|(,)|d
ac
x fxy y
+∞ +∞
∫∫
和
d|(,)|d
ca
yfxyx
+∞ +∞
∫∫
中有一个存在,那么
d(,)d d(,)d
ca ac
yfxyx xfxyy
+∞ +∞ +∞ +∞
=
∫∫ ∫∫
。
证明从略。
定理 15.2.7（积分号下求导定理） 设 ),(),,( yxfyxf
y
都在
],[),[ dca ×+∞ 上连续，且 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
对于每个 ∈y ],[ dc 收敛。 进一步 假设 (,)d
y
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛。则 )(yI (,)d
a
f xy x
+∞
=
∫
在 ],[ dc
上可导，并且在 ],[ dc 上成立
() (,)d
y
a
Iy fxyx
+∞
′
=
∫
,
即
d
(,)d (,)d
d
aa
fxy x fxy x
yy
+∞ +∞
=
∫∫
,
也就是说，求导运算与积分运算可交换。
证 记 () (,)d
y
a
yfx y xφ
+∞
=
∫
，由 于 (,)d
y
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛,可知 )(yφ 在 ],[ dc 上连续。于是对于 ],[ dcy∈,由定理 15.2.6,
()d d (,)d d (,)d
[(,) (,)]d (,)d (,)d
yy y
zz
cca ac
aaa
zz z fxzx x fxzz
f xy fxc x fxy x fxc x
φ
+∞ +∞
+∞ +∞ +∞
==
=?=?
∫∫∫ ∫∫
∫∫∫
() ()Iy Ic=? 。
由于 )(yφ 在 ],[ dc 上连续，所以函数 ()d
y
c
zzφ
∫
可导，从而 )(yI 可导。 两边求导就得到
() () (,)d
y
a
I yy fx y xφ
+∞
′
==
∫
。
例 15.2.6 确定函数
3
0
ln(1 )
() d
x
I x
x
α
α
+∞
+
=
∫
的连续范围。
解 注意到 0=x 可能为奇点（ 0≤α 时显然积分发散）,将积分写为
33
1
12
01
ln(1 ) ln(1 )
() d d () ()
xx
IxxII
αα
α αα
+∞
++
=+ =+
∫∫
。
因为当 +→0x 时
α
x
x )1ln(
3
+
～
3
1
α
x
，所以只有当 13<?α 即 4<α 时 )(
1
αI 才收敛；而显然只有当 1>α 时 )(
2
αI 才收敛。所以 )(αI 的定义域为 )4,1( 。
现在说明 )(αI 在其定义域 )4,1( 上连续。为此只要说明在任意闭区间 )4,1(],[?ba 上 )(αI 连续即可。
对任意闭区间 )4,1(],[?ba,由于
b
x
x
x
x
x
x )1ln()1ln()1ln(
333
+
≤
+
=
+
αα
,bax ≤≤≤< α,10 4<,
且
3
1
0
ln(1 )
d
b
x
x
x
+
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法,)(
1
αI =
3
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
α
+
∫
在 ],[ ba
上一致收敛。由被积函数
α
x
x )1ln(
3
+
在 ],[]1,0( ba× 上的连续性，可知 )(
1
αI
在 ],[ ba 上连续。
又由于
a
x
x
x
x
x
x )1ln()1ln()1ln(
333
+
≤
+
=
+
αα
,bax ≤≤<+∞<≤ α1,1,
且
3
1
ln(1 )
d
a
x
x
x
+∞
+
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
3
2
1
ln(1 )
() d
x
Ix
x
α
α
+∞
+
=
∫
在
],[ ba 上一致收敛。由被积函数
α
x
x )1ln(
3
+
在 ],[),1[ ba×+∞ 上的连续性,可知 )(
2
αI 在 ],[ ba 上连续。
综上所述,)()()(
21
ααα III += 在其定义域 )4,1( 上连续。
例15.2.7 计算 Dirichlet 积分
0
sin
d
x
Ix
x
+∞
=
∫
。
解 考虑含参变量反常积分
0
sin
() e d
x
x
Ix
x
α
α
+∞
=
∫
,0≥α 。
（这里引进了 收敛因子
x
e
α?
，这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法） 。记
=
≠
=
.0,1
,0,
sin
e
),(
x
x
x
x
xf
xα
α
显然 ),( αxf 与 xxf
x
sine),(
α
α
α
= 都在 ),0[),0[ +∞×+∞ 上连续。
由例 15.2.3 知道，
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
关于 α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛，因此 )(αI 在 ),0[ +∞ 上连续，从而
)(lim)0(
0
α
α
III
+→
== 。
为了找出 )(αI,利用积分号下求导的方法。考虑
00
(,)d e sin d
x
f xx xx
α
α
α
+∞ +∞
=?
∫∫
。
对于任意 0
0
>α,由于
xx
x
0
e|sine|
αα
≤ （ +∞<≤ x0,+∞<≤αα
0
）,且
0
0
ed
x
x
α
+∞
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
00
(,)d e sin d
x
f xx xx
α
α
α
+∞ +∞
=?
∫∫
在
),[
0
+∞α 上一致收敛。由定理 15.2.7,
22
0
0
e ( sin cos ) 1
() e sind
11
x
x
xx
Ixx
α
α
α
α
α α
+∞
+∞
+
′
=? = =?
++
∫
。
由
0
α 的任意性，可知上式在 ),0( +∞ 上成立。对上式积分，得到
CI +?= αα arctan)( 。
现在确定常数 C。由于在 ),0( +∞ 上
00
sin 1
|()| e d e d
xx
x
Ixx
x
αα
α
α
+∞ +∞
= ≤=
∫∫
,
因此 0)(lim =
+∞→
α
α
I,所以
π
2
C =,从而
π
( ) arctan
2
I αα=? + 。于是,
0
sin
d
x
x
x
+∞
∫
00
ππ
(0) lim ( ) lim arctan
22
II
αα
αα
→+ →+
= ==?+=
。
从这个结果可推出一个有趣的结论,
0
2sin
sgn( ) d
π
xt
x t
t
+∞
=
∫
。
例 15.2.8 计算
2
0
() e cos2 d
t
Ix xtt
+∞
=
∫
。
解 记
2
(,) e cos2
t
f xt xt
=,则
2
(,) 2e sin2
t
x
fxt t xt
=? 。这时有
22
e|2sine2||),(|
tt
x
txtttxf
≤?=,+∞<≤+∞<<∞? tx 0,。
由于反常积分
2
0
ed
t
tt
+∞
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法,
2
00
(,)d 2 e sin2 d
t
x
f xt t t xtt
+∞ +∞
=?
∫∫
关于 x在 ),( +∞?∞ 上一致收敛。应用积分号下求导定理，得到
22 2
0
( ) 2 e sin 2 d e sin 2 2 e cos 2 d 2 ( )
tt t
I x t xt t xt x xt t xI x
+∞
+∞ +∞
′
=? =? =? 。
将这个式子写成 x
xI
xI
2
)(
)(
=
′
，再对等式两边积分，得到
2
() e
x
Ix C
= 。
由于
2
0
π
(0) e d
2
t
It
+∞
==
∫
，因此
π
2
C = 。于是
2
π
() e
2
x
Ix
=,+∞<<∞? x 。
例15.2.9 计算
2
0
cos cos
d
ax bx
Ix
x
+∞
=
∫
,0>> ab 。
解 由于
cos cos
sin d
b
a
ax bx
xy y
x
=
∫
,
所以
0
sin
dd
b
a
xy
Ix y
x
+∞
=
∫∫
。
由例 15.2.4 知道含参变量反常积分
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ],[ ba 上一致 收敛，并注意到
0
sin π
d
2
xy
x
x
+∞
=
∫
（ 0>y ）,就得到
00
sin sin ππ
ddd dd()
22
bb b
aa a
xy xy
Ix yy x y ba
xx
+∞ +∞
====?
∫∫ ∫∫ ∫
。
含参变量的反常积分也有两种,无穷区间上的含参变量反常积 分和 无界函数的含参变量反常积分 。
设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dca ×+∞ 上，若对某个 ],[
0
dcy ∈,反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
收敛，则称含参变量反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
在
0
y 处收敛，并称
0
y 为它的 收敛点 。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E
就是函数
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
的定义域，也称为 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
的 收敛域 。
§ 2 含参变量的反常积分为讨论 )(yI 的连续性、可微性和可积性，引进一致收敛的概念。
定义 15.2.1 设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dca ×+∞ 上,且对任意的 ],[ dcy∈,反常积分
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
存在。如果对于任意给定的的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使 得当
0
AA > 时,对于所有的 ],[ dcy∈,成立
(,)d ()
A
a
fxy x Iy ε? <
∫
,
即
(,)d
A
fxy x ε
+∞
<
∫
,
则称 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 （ 于 )(yI ）。 在参变量明确时,
也常简称 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
对 (,)d
a
f x y x
∞
∫
与 (,)df x y x
+∞
∞
∫
可同样定义关于 y 的一致收敛概念。
例15.2.1 含参变量 α的反常积分
0
ed
x
x
α
+∞
∫
关于 α 在 ),[
0
∞+α 上 一致收敛（ 0
0
>α ）,但在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。
解 先说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),[
0
∞+α 上一致收敛。由于当
0
αα ≥ 时,
0
0
111
0ed ed e e
xt
AxtA
AA
α
ααα
α
αα
=
+∞ +∞
≤= =≤
∫∫
令
,
而
0e
1
lim
0
0
=
+∞→
A
A
α
α
,
所以对于任意给定的 0>ε,存在正数
0
A,使得当
0
AA > 时，
0
0
1
e
Aα
ε
α
< 。
这时成立
ed
x
A
x
α
+∞
<
∫
0
0
1
e
Aα
ε
α
<,
这说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),[
0
∞+α 上一致收敛。
再说明
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。对于任意取定的正 数
A，由于
1
ed e
x A
A
x
α α
α
+∞
=
∫
,
而 +∞=
+→
Aα
α
α
e
1
lim
0
，所以必存在某个 ),0()( +∞∈Aα,使得
()
ed1
Ax
A
x
α
+∞
>
∫
。
因此
0
ed
x
x
α
+∞
∫
在 ),0( ∞+ 上不一致收敛。
对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念：
定义 15.2.1 '设二元函数 ),( yxf 定义在 ],[),[ dcba × 上,且对 任意的
],[ dcy∈,以 b为奇点的反常积分
() (,)d
b
a
I yfx y x=
∫
存在。如果对于任意 0>ε,存在与 y 无关的 0>δ,使得当 δη <<0 时,
对所有 ],[ dcy∈ 成立
(,)d ()
b
a
fxy x Iy
η
ε
<
∫
,
即
(,)d
b
b
fxy x
η
ε
<
∫
,
则称 (,)d
b
a
f x y x
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 （ 于 )(yI ） 。在参变量明确时,
也常简称 (,)d
b
a
f x y x
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
一致收敛的判别法
下面仅以 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
为例讨论一致收敛的判别方法。 对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 15.2.1 （ Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0>ε,存 在 与
y 无关的正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
,成立
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
,],[ dcy∈ 。
由 Cauchy 收敛原理立即得知,
推论 15.2.1 若存在 0
0
>ε,使得对于任意大的正数
0
A,总存 在
0
,AAA >
′
及 ],[
0
dcy
A
∈,使得
0
0
(,)d
A
A
A
fxy x ε
′
≥
∫
,
那么含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上非一致收敛。
一致收敛的判别法
下面仅以 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
为例讨论一致收敛的判别方法。 对于无界函数的情况，结果是类似的。
定理 15.2.1 （ Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛的充分必要条件为,对于任意给定的 0>ε,存 在 与
y 无关的正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
,成立
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
,],[ dcy∈ 。
定理 15.2.2（ Weierstrass 判别法） 如果存在函数 )(xF 使得
（ 1） dycxaxFyxf ≤≤+∞<≤≤,),(|),(|,
（ 2） 反常积分 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛 。
那么含参变量的反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛 。
证 因为 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于 任意给定的 0>ε,存在正数
0
A,使得对于任意的
0
,AAA >
′
，成立
()d
A
A
Fx x ε
′
<
∫
。
因此当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,不等式
(,)d ()d
AA
fxy x Fx x ε
′′
≤ <
∫∫
成立，由定理 15.2.1,()d
a
F xx
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 15.2.2（ Weierstrass 判别法） 如果存在函数 )(xF 使得
（ 1） dycxaxFyxf ≤≤+∞<≤≤,),(|),(|,
（ 2） 反常积分 ()d
a
F xx
+∞
∫
收敛 。
那么含参变量的反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛 。
例15.2.2 证明
2
0
e
d
1
x
x
x
α?
+∞
+
∫
关于 α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
解 由于
+∞<≤+∞<≤
+
≤
+
<
α
α
0,0,
1
1
1
e
0
22
x
xx
x
,
而
2
0
1 π
d
12
x
x
+∞
=
+
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
2
0
e
d
1
x
x
x
α?
+∞
+
∫
在 ),0[ +∞ 上 一致收敛。
定理 15.2.3 设函数 ),( yxf 和 ),( yxg 满足以下两组条件之一,则含参变量的反常积分
(,) (,)d
a
f xygxy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛 。
1,（ Abel 判别法）
（ 1） (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛 ；
（ 2） ),( yxg 关于 x单调,即对每个固定的 ],[ dcy∈,g 关于 x是单调函数；
（ 3） ),( yxg 一致有界,即存在正数 L,使得
dycxaLyxg ≤≤+∞<≤≤,,|),(| 。
2,（ Dirichlet 判别法 ）
（ 1） (,)d
A
a
f x y x
∫
一致有界,即存在正数 L,使得
(,)d
A
a
f xy x L≤
∫
,+∞<< Aa,],[ dcy∈ ；
（ 2） ),( yxg 关于 x单调,即对每个固定的 ],[ dcy∈,g 关于 x是单调函数；
（ 3） 当 +∞→x 时 ),( yxg 关于 y 在 ],[ dc 上一致趋于零,即对于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
Ax ≥ 时,对于任意
],[ dcy∈ 成立
ε≤|),(| yxg 。
证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似 。
由于 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对 于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
,AAA >
′
时,
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
。
那么当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,由积分第二中值定理,
(,)(,)d (,) (,)d (,) (,)d
(,) (,)d (,) (,)d 2,
A A
AA
A
A
fxygxy x gAy fxy x gAy fxy x
gAy fxy x gAy fxy x L
ξ
ξ
ξ
ξ
ε
′ ′
′
′
=+
′
≤+ <
∫∫∫
∫∫
其中 ξ 在 A与 A′之间。于是由定理 15.2.1,(,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一 致收敛。
关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性,同样有 Cauchy
收敛原理，Weierstrass 判别法,Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。
证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似 。
由于 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对 于任意给定的 0>ε,存在与 y 无关的正数
0
A,使得当
0
,AAA >
′
时,
(,)d
A
A
fxy x ε
′
<
∫
。
那么当
0
,AAA >
′
时，对于任意 ],[ dcy∈,由积分第二中值定理,
(,)(,)d (,) (,)d (,) (,)d
(,) (,)d (,) (,)d 2,
A A
AA
A
A
fxygxy x gAy fxy x gAy fxy x
gAy fxy x gAy fxy x L
ξ
ξ
ξ
ξ
ε
′ ′
′
′
=+
′
≤+ <
∫∫∫
∫∫
其中 ξ 在 A与 A′之间。于是由定理 15.2.1,(,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一 致收敛。
例 15.2.3 证明含参变量反常积分
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
关于 α在 ),0[ +∞
上一致收敛。
证 因为
0
sin
d
x
x
x
+∞
∫
收敛,它当然关于 α一致收敛。 显然
xα?
e 关于 x
单调，且
+∞<≤+∞<≤≤≤
x
x
0,0,1e0 α
α
,
即
xα?
e 一致有界。由 Abel 判别法，
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
例 15.2.4 证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
关于 y 在 ),[
0
+∞y （ 0
0
>y ）上一致收敛，
但在 ),0( +∞ 上非一致收敛。
证 先证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),[
0
+∞y （ 0
0
>y ）上一致收敛。由于
0
0
1cos( ) 2 2
sin d
A
Ay
xy x
yyy
=≤≤
∫
,0≥A,
0
,yy≥
因此它在 ),[
0
+∞y 一致有界。
x
1
是关于 x的单调减少函数，且 0
1
lim =
+∞→
x
x
，
由于
x
1
与 y 无关，因此这个极限关于 y 在 ),[
0
+∞y 上是一致的。于是由
Dirichlet 判别法，
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),[
0
+∞y 上一致收敛。
再证明
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ),0( +∞ 上非一致收敛。对于任意正整数 n,取
n
y
n
1
=,这时
33 3
ππ π
22 2
sin
sin 12
ddsind
3
3π
π
2
nn
n
x
xy x
n
xx
xx
n
=> =
∫∫ ∫
。
因此，只要取
0
2
3π
ε =,则对于任意大的正数
0
A,总存在正整数 n满 足
0
πnA>,及 ∈=
n
y
n
1
),0( +∞,使得
3
π
2
0
π
sin 2
d
3π
n
n
n
xy
x
x
ε>=
∫
。由 Cauchy 收 敛原理的推论 15.2.1，
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
关于 y 在 ),0( +∞ 上非一致收敛。
例15.2.5 证明
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
关于 p 在 )1,1(? 上内闭一致收敛。
证 注意到被积函数
p
x
x
2
cos
在 0=x 附近无界，将
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
写为
22 2
1
12
001
cos cos cos
dd d
pp p
xx x
I
+∞ +∞
= +=+
∫∫∫
,
现证对于任意的 )1,1(],[
10
pp,
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
与
2
2
1
cos
d
p
x
I x
x
+∞
=
∫
在
],[
10
pp 上都一致收敛。
先看
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
，这是一个含参变量的无界函数的反常积分。
显然
1
11cos
2
ppp
xxx
x
≤≤,10 ≤< x,
10
ppp ≤≤,
由于 1
1
<p,因此
1
1
0
d
p
x
x
∫
收敛。 于是由 Weierstrass 判别法，
2
1
1
0
cos
d
p
x
I x
x
=
∫
在 ],[
10
pp 上一致收敛。
再看
2
2
1
cos
d
p
x
Ix
x
+∞
=
∫
。作变换
2
xt =,得到
2
1
11
(1)
2
cos 1 cos
dd
2
p
p
xt
x
t
+∞ +∞
+
=
∫∫
。
由于
1
cos d sin sin1 2
A
tt A=?≤
∫
,+∞<≤ A1,
即
1
cos d
A
tt
∫
一致有界。而对于每个 ],[
10
ppp∈,函数
)1(
2
1
1
+p
t
关于 t单调 减少，且成立
)1(
2
1
)1(
2
1
0
11
++
≤
pp
tt
,+∞<≤t1,
10
ppp ≤≤,
因此当 +∞→t 时，
)1(
2
1
1
+p
t
关于 p 在 ],[
10
pp 上一致趋于零。 于是由 Dirichlet
判别法，
1
1
(1)
2
cos
d
p
t
t
t
+∞
+
∫
在 ],[
10
pp 上一致收敛,所以
2
2
1
cos
d
p
x
Ix
x
+∞
=
∫
在 ],[
10
pp
上一致收敛。
综上所述，
2
0
cos
d
p
x
x
x
+∞
∫
在 )1,1(? 上内闭一致收敛。
定理 15.2.4（ Dini 定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续 且 保持定号,如果含参变量积分
() (,)d
a
Iy fxy x
+∞
=
∫
在 ],[ dc 上连续,那么含参变量积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 一致收敛 。
证 用反证法。不妨设 0),( ≥yxf 。若 (,)d
a
fxy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上 不一致收敛，那么存在某个正数
0
ε,对于任何正整数 an >,总存 在
],[ dcy
n
∈,使得
0
(,)d
n
n
fxy x ε
+∞
≥
∫
。
由于有界数列 }{
n
y 必有收敛子列，不妨就设 }{
n
y 收敛，并 记
],[lim
0
dcyy
n
n
∈=
∞→
。
由于反常积分
0
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
收敛，所以必存在 A（ a> ）,使得
0
0
(,)d
2
A
fxy x
ε
+∞
<
∫
。
并且由 0),( ≥yxf,可知当 An > 时,
0
(,)d (,)d
nn
An
fxy x fxy x ε
+∞ +∞
≥≥
∫∫
。
由于 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上连续，而且由常义含参变量积分的连 续性定理,(,)d
A
a
f xy x
∫
在 ],[ dc 上也连续，因此从
(,)d (,)d (,)d
A
Aaa
f xy x fxy x fxy x
+∞ +∞
=?
∫∫∫
可知 (,)d
A
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上连续。于是由
0
lim yy
n
n
=
∞→
可推出
0
0
lim (,)d (,)d
2
n
AAn
fxy x fxy x
ε
+∞ +∞
→∞
= <
∫∫
,
这与
0
(,)d
n
A
fxy x ε
+∞
≥
∫
（ An > ）矛盾。因此 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致 收敛。
一致收敛积分的分析性质
现在讨论含参变量反常积分的分析性质，即连续性、可微性和 可积性。
设反常积分 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
对于每个 ],[ dcy∈ 都收敛，这样就定义了函数
() (,)d
a
I yfx y x
+∞
=
∫
,],[ dcy∈ 。
任取一列严格单调增加的数列 }{
n
a,它满足 aa =
0
以 及
+∞→
n
a )( ∞→n 。令
1
() (,)d
n
n
a
n
a
u yfx y x
=
∫
， ",2,1=n,
那么
1
11
(,)d (,)d ()
n
n
a
n
aa
nn
f x y x f x y xuy
∞∞
+∞
==
∑∑
∫∫
。
利用 Cauchy 收敛原理容易证明如下的引理,
引理 15.2.1 若含参变量反常积分 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛，则函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在 ],[ dc 上一致收敛。
定理 15.2.5（连续性定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续，
(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则函数
() (,)d
a
Iy fx y x
+∞
=
∫
在 ],[ dc 上连续,即
00
lim (,)d lim (,)d
aayy yy
f x y x f x y x
+∞ +∞
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
也就是说,极限运算与积分运算可以交换 。
证 因为 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛,由引理 15.2.1，
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在
],[ dc 上一致收敛。由于 ),( yxf 在 ],[],[
1
dcaa
nn
×
上连续，由常义含参 变量积分的连续性定理,
1
() (,)d
n
n
a
n
a
uy fxyx
=
∫
连续（ ",2,1=n ） 。根据一致收敛级数的性质，可知和函数
1
() (,)d ()
n
a
n
Iy fxy x u y
∞
+∞
=
==
∑
∫
连续。
注意,Dini 定理并不是这个定理的逆定理。 Dini 定理只说明了 在
),( yxf 保持定号的情况下，由 () (,)d
a
I yfxyx
+∞
=
∫
的连续性可以推出
(,)d
a
f xy x
+∞
∫
的一致收敛。可以举例说明：去掉“保持定号”条件可 能导致结论不成立。
定理 15.2.6（积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续,(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则
d(,)d d(,)d
dd
ca a c
yfxyx xfxyy
+∞ +∞
=
∫∫ ∫ ∫
,
即积分次序可交换 。
证 由引理 15.2.1，可知
∑
∞
=1
)(
n
n
yu 在 ],[ dc 上一致收敛。根据一致 收敛级数的和号与积分号可以交换的结论,
1
d(,)d ()d
dd
n
ca c
n
yfx y xuyy
∞
+∞
=
=
∑
∫∫ ∫
( )
11
11 1
()d (,)d d d (,)d
nn
dda a
n
cc c
nn n
u yy fx y x yyfx y x
∞∞ ∞
== =
∑∑ ∑
∫∫∫ ∫
1
0
1
d(,)d d(,)d
n
n
ad d
ac c
n
xfx yy x f x yy
∞
+∞
=
∑
∫∫ ∫∫
。
其中第二行到第三行的推导是利用了常义含参变量积分的积分次 序可交换定理。
定理 15.2.6（积分次序交换定理） 设 ),( yxf 在 ],[),[ dca ×+∞ 上连续,(,)d
a
f x y x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛,则
d(,)d d(,)d
dd
ca a c
yfxyx xfxyy
+∞ +∞
=
∫∫ ∫ ∫
,
即积分次序可交换 。
当 ],[ dc 也改为无穷区间 ),[ +∞c 时，本定理的条件就不足以保证 积分次序可交换，但有下面的结论,
定理 15.2.6' 设 ),( yxf 在 ),[),[ +∞×+∞ ca 上连续,且 (,)d
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ Cc 上一致收敛 （ +∞<<Cc ）,(,)d
c
f xy y
+∞
∫
关于 x在 ],[ Aa 上 一致收敛 （ +∞<< Aa ）。 进一步假设 d|(,)|d
ac
x fxy y
+∞ +∞
∫∫
和
d|(,)|d
ca
yfxyx
+∞ +∞
∫∫
中有一个存在,那么
d(,)d d(,)d
ca ac
yfxyx xfxyy
+∞ +∞ +∞ +∞
=
∫∫ ∫∫
。
证明从略。
定理 15.2.7（积分号下求导定理） 设 ),(),,( yxfyxf
y
都在
],[),[ dca ×+∞ 上连续，且 (,)d
a
f x y x
+∞
∫
对于每个 ∈y ],[ dc 收敛。 进一步 假设 (,)d
y
a
f xy x
+∞
∫
关于 y 在 ],[ dc 上一致收敛。则 )(yI (,)d
a
f xy x
+∞
=
∫
在 ],[ dc
上可导，并且在 ],[ dc 上成立
() (,)d
y
a
Iy fxyx
+∞
′
=
∫
,
即
d
(,)d (,)d
d
aa
fxy x fxy x
yy
+∞ +∞
=
∫∫
,
也就是说，求导运算与积分运算可交换。
证 记 () (,)d
y
a
yfx y xφ
+∞
=
∫
，由 于 (,)d
y
a
f x y x
+∞
∫
在 ],[ dc 上一致收敛,可知 )(yφ 在 ],[ dc 上连续。于是对于 ],[ dcy∈,由定理 15.2.6,
()d d (,)d d (,)d
[(,) (,)]d (,)d (,)d
yy y
zz
cca ac
aaa
zz z fxzx x fxzz
f xy fxc x fxy x fxc x
φ
+∞ +∞
+∞ +∞ +∞
==
=?=?
∫∫∫ ∫∫
∫∫∫
() ()Iy Ic=? 。
由于 )(yφ 在 ],[ dc 上连续，所以函数 ()d
y
c
zzφ
∫
可导，从而 )(yI 可导。 两边求导就得到
() () (,)d
y
a
I yy fx y xφ
+∞
′
==
∫
。
例 15.2.6 确定函数
3
0
ln(1 )
() d
x
I x
x
α
α
+∞
+
=
∫
的连续范围。
解 注意到 0=x 可能为奇点（ 0≤α 时显然积分发散）,将积分写为
33
1
12
01
ln(1 ) ln(1 )
() d d () ()
xx
IxxII
αα
α αα
+∞
++
=+ =+
∫∫
。
因为当 +→0x 时
α
x
x )1ln(
3
+
～
3
1
α
x
，所以只有当 13<?α 即 4<α 时 )(
1
αI 才收敛；而显然只有当 1>α 时 )(
2
αI 才收敛。所以 )(αI 的定义域为 )4,1( 。
现在说明 )(αI 在其定义域 )4,1( 上连续。为此只要说明在任意闭区间 )4,1(],[?ba 上 )(αI 连续即可。
对任意闭区间 )4,1(],[?ba,由于
b
x
x
x
x
x
x )1ln()1ln()1ln(
333
+
≤
+
=
+
αα
,bax ≤≤≤< α,10 4<,
且
3
1
0
ln(1 )
d
b
x
x
x
+
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法,)(
1
αI =
3
1
0
ln(1 )
d
x
x
x
α
+
∫
在 ],[ ba
上一致收敛。由被积函数
α
x
x )1ln(
3
+
在 ],[]1,0( ba× 上的连续性，可知 )(
1
αI
在 ],[ ba 上连续。
又由于
a
x
x
x
x
x
x )1ln()1ln()1ln(
333
+
≤
+
=
+
αα
,bax ≤≤<+∞<≤ α1,1,
且
3
1
ln(1 )
d
a
x
x
x
+∞
+
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
3
2
1
ln(1 )
() d
x
Ix
x
α
α
+∞
+
=
∫
在
],[ ba 上一致收敛。由被积函数
α
x
x )1ln(
3
+
在 ],[),1[ ba×+∞ 上的连续性,可知 )(
2
αI 在 ],[ ba 上连续。
综上所述,)()()(
21
ααα III += 在其定义域 )4,1( 上连续。
例15.2.7 计算 Dirichlet 积分
0
sin
d
x
Ix
x
+∞
=
∫
。
解 考虑含参变量反常积分
0
sin
() e d
x
x
Ix
x
α
α
+∞
=
∫
,0≥α 。
（这里引进了 收敛因子
x
e
α?
，这是改善被积函数收敛性质的一种常用方法） 。记
=
≠
=
.0,1
,0,
sin
e
),(
x
x
x
x
xf
xα
α
显然 ),( αxf 与 xxf
x
sine),(
α
α
α
= 都在 ),0[),0[ +∞×+∞ 上连续。
由例 15.2.3 知道，
0
sin
ed
x
x
x
x
α
+∞
∫
关于 α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛，因此 )(αI 在 ),0[ +∞ 上连续，从而
)(lim)0(
0
α
α
III
+→
== 。
为了找出 )(αI,利用积分号下求导的方法。考虑
00
(,)d e sin d
x
f xx xx
α
α
α
+∞ +∞
=?
∫∫
。
对于任意 0
0
>α,由于
xx
x
0
e|sine|
αα
≤ （ +∞<≤ x0,+∞<≤αα
0
）,且
0
0
ed
x
x
α
+∞
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
00
(,)d e sin d
x
f xx xx
α
α
α
+∞ +∞
=?
∫∫
在
),[
0
+∞α 上一致收敛。由定理 15.2.7,
22
0
0
e ( sin cos ) 1
() e sind
11
x
x
xx
Ixx
α
α
α
α
α α
+∞
+∞
+
′
=? = =?
++
∫
。
由
0
α 的任意性，可知上式在 ),0( +∞ 上成立。对上式积分，得到
CI +?= αα arctan)( 。
现在确定常数 C。由于在 ),0( +∞ 上
00
sin 1
|()| e d e d
xx
x
Ixx
x
αα
α
α
+∞ +∞
= ≤=
∫∫
,
因此 0)(lim =
+∞→
α
α
I,所以
π
2
C =,从而
π
( ) arctan
2
I αα=? + 。于是,
0
sin
d
x
x
x
+∞
∫
00
ππ
(0) lim ( ) lim arctan
22
II
αα
αα
→+ →+
= ==?+=
。
从这个结果可推出一个有趣的结论,
0
2sin
sgn( ) d
π
xt
x t
t
+∞
=
∫
。
例 15.2.8 计算
2
0
() e cos2 d
t
Ix xtt
+∞
=
∫
。
解 记
2
(,) e cos2
t
f xt xt
=,则
2
(,) 2e sin2
t
x
fxt t xt
=? 。这时有
22
e|2sine2||),(|
tt
x
txtttxf
≤?=,+∞<≤+∞<<∞? tx 0,。
由于反常积分
2
0
ed
t
tt
+∞
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法,
2
00
(,)d 2 e sin2 d
t
x
f xt t t xtt
+∞ +∞
=?
∫∫
关于 x在 ),( +∞?∞ 上一致收敛。应用积分号下求导定理，得到
22 2
0
( ) 2 e sin 2 d e sin 2 2 e cos 2 d 2 ( )
tt t
I x t xt t xt x xt t xI x
+∞
+∞ +∞
′
=? =? =? 。
将这个式子写成 x
xI
xI
2
)(
)(
=
′
，再对等式两边积分，得到
2
() e
x
Ix C
= 。
由于
2
0
π
(0) e d
2
t
It
+∞
==
∫
，因此
π
2
C = 。于是
2
π
() e
2
x
Ix
=,+∞<<∞? x 。
例15.2.9 计算
2
0
cos cos
d
ax bx
Ix
x
+∞
=
∫
,0>> ab 。
解 由于
cos cos
sin d
b
a
ax bx
xy y
x
=
∫
,
所以
0
sin
dd
b
a
xy
Ix y
x
+∞
=
∫∫
。
由例 15.2.4 知道含参变量反常积分
0
sin
d
xy
x
x
+∞
∫
在 ],[ ba 上一致 收敛，并注意到
0
sin π
d
2
xy
x
x
+∞
=
∫
（ 0>y ）,就得到
00
sin sin ππ
ddd dd()
22
bb b
aa a
xy xy
Ix yy x y ba
xx
+∞ +∞
====?
∫∫ ∫∫ ∫
。
