Beta 函数
形如
1
11
0
B(,) (1 ) d
pq
pq x x x
=?
∫
的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。
§ 3 Euler积分先讨论它的定义域。将 Beta 函数写成
12 1
11 11
012
B(,) (1 ) d (1 ) d
pq pq
p qxxxxxx
=?+?
∫∫
,
当 0→x 时，
11
)1(
qp
xx ～
1?p
x,所以只有当 0>p 时右边第一个反常 积分收敛。而当 1→x 时，
11
)1(
qp
xx ～
1
)1(
q
x,所以只有当 0>q 时右 边第二个反常积分收敛。这说明了
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
对于每 对
),0(),0(),( +∞×+∞∈qp 收敛，即 Beta 函数 B(,)p q 的定义域为
),0(),0( +∞×+∞ 。
Beta 函数
形如
1
11
0
B(,) (1 ) d
pq
pq x x x
=?
∫
的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。
§ 3 Euler积分
Beta 函数的性质
1,连续性,B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续 。
证 对于任意固定的 0,0
00
>> qp,当
00
,qqpp >> 时,
1111
00
)1()1(
≤?
qpqp
xxxx,10 ≤≤ x,
而
00
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
关于 qp,
在 ),[),[
00
+∞×+∞ qp 上一致收敛，从而 B(,)p q =
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
在
),[),[
00
+∞×+∞ qp 上连续。
由 0,0
00
>> qp 的任意性得知 B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续。
2,对称性,B(,) B(,)p qqp=,0,0 >> qp 。
证 作变换 tx?=1 就得到
11
11 11
00
B(,) (1 ) d (1 ) d B(,)
pq pq
p qx xx tttqp
=?=? =
∫∫
。
Beta 函数的性质
1,连续性,B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续 。
证 对于任意固定的 0,0
00
>> qp,当
00
,qqpp >> 时,
1111
00
)1()1(
≤?
qpqp
xxxx,10 ≤≤ x,
而
00
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
关于 qp,
在 ),[),[
00
+∞×+∞ qp 上一致收敛，从而 B(,)p q =
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
在
),[),[
00
+∞×+∞ qp 上连续。
由 0,0
00
>> qp 的任意性得知 B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续。
3,递推公式,
1
B(,) B(,1)
1
q
pq pq
pq
=?
+?
,1,0 >> qp 。
证 利用分部积分法得到
1
11
11 2
00
0
11
12 11
00
1
B(,) (1 ) d (1 ) (1 ) d
1
(1 ) d (1 ) d
11
B(,1) B(,).
qp p q p q
pq pq
q
p qxxxx xxx
pp p
q
xxxxxx
p
qq
pq pq
pp
=? =?+?
=
=
∫∫
∫∫
移项整理后就得到递推公式。
由 B(,)pq的对称性并结合递推公式可得到当 1,1 >> qp 时，成立
(1)(1)
B(,) B( 1,1)
(1)(2)
pq
pq p q
pq pq
=
+? +?
。
4,其他表示,
（ 1）作变量代换?
2
cos=x,得到
π 2
21 21
0
B(,) 2 cos sin d
pq
pq
=
∫
。
由此可以得到
11
B,π
22
=
。
（ 2）作变量代换
t
x
+
=
1
1
，得到
1
0
B(,) d
(1 )
q
pq
t
pq t
t
+∞
+
=
+
∫
11
1
01
dd
(1 ) (1 )
qq
pq pq
tt
tt
+∞
++
=+
∫∫
。
在最后一个积分中再作变量代换
u
t
1
=,得到
11
1
10
dd
(1 ) (1 )
qp
pq pq
tu
tu
+∞
++
=
∫∫
,
于是
11
1
0
B(,) d
(1 )
pq
pq
tt
pq t
t
+
+
=
+
∫
（ B(,)qp= ）。
Gamma 函数
形如
1
0
() e d
sx
sxx
+∞
Γ=
∫
的含参变量积分称为 Gamma 函数,或第二类 Euler 积分。
先讨论它的定义域。将 Gamma 函数写成
1
11
01
() ed ed
sx sx
sx xx x
+∞
Γ= +
∫∫
,
由反常积分的收敛判别法，当 0≤s 时，右边第一个反常积分发散，
而当 0>s 时，两个反常积分都收敛，因此 Gamma 函数 )(sΓ 的定
义域为 ),0( +∞ 。
Gamma 函数的性质
1,连续性与可导性,)(sΓ 在 ),0( +∞ 上连续且可导。
证 对于任意闭区间 ),0(],[ +∞?ba,当 ],[ bas∈ 时成立
xaxs
xx
≤ ee
11
,]1,0(∈x,
而
1
1
0
ed
ax
x x
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
1
0
ed
sx
x x
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛。又由于当 ],[ bas∈ 时成立
xbxs
xx
≤ ee
11
,),1[ +∞∈x,
而
1
1
ed
bx
x x
+∞
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
1
ed
sx
x x
+∞
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛。
于是
1
0
() e d
sx
sxx
+∞
Γ=
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛，从而 )(sΓ 在 ],[ ba
上连续。由区间 ],[ ba 的任意性，可知 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上连续。
用同样方法可以证明对于任意闭区间 ),0(],[ +∞?ba,
11
00
(e)d elnd
sx sx
x xx x
s
+∞ +∞
=
∫∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛，于是利用积分号下求导的定理得到 )(sΓ 在
],[ ba 上可导。由区间 ],[ ba 的任意性，可知 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上可导，且
1
0
() e ln d
sx
sx x
+∞
′
Γ=
∫
,0>s 。
事实上，仿照以上的方法可得到 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上任意阶可导，且成立
() 1
0
() e (ln )d
nsx
sx xx
+∞
Γ=
∫
,0>s 。
2,递推公式,)(sΓ 满足
)()1( sss Γ=+Γ,0>s 。
证 利用分部积分法，得到
1
000 0
(1) ed de e ed ()
sx s x sx s x
sxxxxsx s
+∞ +∞ +∞+∞
Γ += =? =? + =Γ
∫∫ ∫
。
特别地，当 ns = 为正整数时,
)1(!)1()1()()1( Γ==?Γ?=Γ=+Γ nnnnnnn ",
而
0
(1) e d 1
x
x
+∞
Γ ==
∫
，所以
!)1( nn =+Γ 。
因此可以说 Gamma 函数是阶乘的推广。
由于
s
s
s
)1(
)(
+Γ
=Γ 以及 1)1( =Γ,所以有
+∞=Γ
+→
)(lim
0
s
s
。
3,其他表示,
（ 1）在 )(sΓ 的表示式中作变量代换
2
tx =,那么
2
21
0
() 2 e d
st
stt
+∞
Γ=
∫
。
由此可知
2
0
1
2ed π
2
t
t
+∞
Γ= =
∫
。
（ 2）作变量代换 tx α= （ 0>α ）可得
1
0
() e d
sst
st
α
α
+∞
Γ=
∫
。
4．定义域的延拓,
由于等式
s
s
s
)1(
)(
+Γ
=Γ
的右边在 )0,1(? 上有意义，则可以应用上式来定义左边函数 )(sΓ 在 )0,1(?
上的值。用同样的方法，再利用 )(sΓ 已在 )0,1(? 上定义的值，可以定义 )(sΓ 在
)1,2( 上的值。如此继续下去，就可以把 )(sΓ 的定义域延拓到
},3,2,1,0{\),( "+∞?∞ 上去。 )(sΓ 的图像如图 15.3.1 所示。易证明 +∞=Γ
+∞→
)(lim s
s
。
图15.3.1
例 15.3.1 计算
2
2
0
ed
nx
Ix x
+∞
=
∫
。
解 利用表示式
2
21
0
() 2 e d
st
stt
+∞
Γ=
∫
和递推公式，则有
+
Γ=
+Γ= 1
2
12
2
1
2
1
2
1 n
nI
+?Γ
=
2
1
1
2
12
2
n
n
,
反复利用递推公式即得到
11
(2 1)!! 1 (2 1)!!
π.
222
nn
I
++
=Γ=
Beta 函数与 Gamma 函数的关系
定理 15.3.1 Beta 函数与 Gamma 函数之间具有如下关系,
()()
B(,),0,0
()
pq
pq p q
pq
Γ Γ
= >>
Γ+
。
证 由于
2
21
0
() 2 e d
pt
p tt
+∞
Γ=
∫
，
2
21
0
() 2 e d
qt
qtt
+∞
Γ=
∫
，取
{(,) | 0,0 }st s tΩ = ≤<+∞ ≤<+∞,
利用化反常重积分为累次积分的方法，得到
22 22
21 21 21 21
00
()() 4 e d e d 4 e e dd
ps qt psqt
p qs ttstst
Ω
+∞ +∞
ΓΓ= =
∫∫ ∫
。
对右边的反常二重积分作极坐标变换 θθ sin,cos rtrs ==,即得到
( )( )
2
2
2( ) 1 2 1 2 1
0
π
0
2
π 2
21 21 2( )1
00
()() 4 e cos sin dd
2cos sin d2 ed
B(,) ( ),
pq r p q
r
pq pqr
pq r r
rr
pq p q
θ
θθθ
θθθ
+
≤<+∞
≤≤
+∞
+
ΓΓ=
=
=Γ+
∫∫
∫∫
例 15.3.2 计算
π
64
2
0
sin cos dI xxx=
∫
。
解 利用 Beta 函数的性质及 Gamma 函数的递推公式,
π
64
2
0
57
1571
22
sin cos d B,
2222 (6)
Ixx
ΓΓ
===
Γ
∫
131 531 3π
ππ
25!22 222 512
= =
。
例 15.3.3 计算
1
83
0
1dIx xx=?
∫
。
解 作变量代换 tx =
3
，得到
11
83 2
00
113
1d 1d B3,
332
Ix xx t tt
=?=?=
∫∫
33
(3) 2!
6
22
97533
15
3
2 222 2
ΓΓ Γ
== =
ΓΓ
。
例 15.3.2 计算
π
64
2
0
sin cos dI xxx=
∫
。
解 利用 Beta 函数的性质及 Gamma 函数的递推公式,
π
64
2
0
57
1571
22
sin cos d B,
2222 (6)
Ixx
ΓΓ
===
Γ
∫
131 531 3π
ππ
25!22 222 512
= =
。
例 15.3.4 设 1?>a,计算
π
2
0
sin dx x
α
∫
与
π
2
0
cos dx x
α
∫
,
并用 Gamma 函数表示 n维球体 }|),,,{(
2
22
2
2
121
Rxxxxxx
nnn
≤+++= " "B
的体积
n
V 。
解 作变量代换
π
2
x t=?,可知
ππ
22
00
sin d cos dx xxx
αα
=
∫∫
。利用 Beta 函数的性质,
ππ
22
00
sin d cos dx xxx
αα
=
∫∫
111
B,
222
α +
=
11 1
1 π
22 2
22
αα
++
ΓΓ Γ
==
++
ΓΓ
。
在例 13.3.11 中已得到
( )( ) ( )( )( )
πππ2π
12 2
11 3 3 2 2 1
00 0 0 0
d sin d sin d sin d d,
R
nn
nn
Vrr
=
∫∫ ∫ ∫ ∫
"
再利用以上的计算结果，得到 n维球体体积为
( ) ( )( )
πππ
22
11 3 3 2 2
000
2π
sin d sin d sin d
n
n
R
V
n
=
∫∫∫
"
22
11 3 3 2 2
2π
2sin d 2sin d 2sin d
n
n
nn nn
R
n
=
"
132
2π
22
πππ
43
222
n
n
R
n
n
ΓΓΓ
=
ΓΓΓ
"
()
2
222ππ
(1) ππ
1
222 2
n nn
n
nn
R
RR
nnn n
n
Γ
=?==
ΓΓ Γ+
。
这是 n维球体体积的一种常用表示。
关于 Gamma 函数，还有三个重要公式：Legendre 公式、余元 公式和 Stirling 公式。
定理 15.3.2（ Legendre 公式）
21
1 π
() (2)
22
s
ss s
ΓΓ+ = Γ
,0>s 。
证 由于
11
22
1
11
11
2
00 0
11 11
B(,) (1 ) d d 2 d,
42 42
ss
ss
ss x x x x x x x
=?= =
∫∫ ∫
作变量代换 tx
2
1
2
1
=?,得到
1
1
1
2
21 21
0
11
B(,) (1 ) d B,
22
s
ss
ss t t t s
=?=
∫
。
再利用 Beta 函数与 Gamma 函数的关系，从上式得到
+Γ
Γ
Γ
=
Γ
ΓΓ
2
1
)(
2
1
2
1
)2(
)()(
12
s
s
s
ss
s 21
1 π ()
1
2
2
s
s
s
Γ
=
Γ+
。
整理后就得到 Legendre 公式。
定理 15.3.3（余元公式）
π
() (1 )
sin π
ss
s
ΓΓ?=,10 << s 。
证明从略。
定理 15.3.4（ Stirling 公式）
12
(1) 2π e
e
s
s
s
ss
θ
Γ+=
,0>s,
这里 10 <<θ 。特别地，当 ns = 为正整数时,
12
!2π e
e
n
n
n
nn
θ
=
。
证明从略。
例 15.3.5 计算
4
2
0
d
(1 )
x
Ix
x
+∞
=
+
∫
。
解
5
1
4
4
532
00
44
35
ddB,
(1 ) 4 4
(1 )
xx
Ix x
x
x
+∞ +∞
+
== =
+
+
∫∫
35113
1 π 2π
44444
π
(2) 1! 4 4
sin
4
ΓΓ ΓΓ
== ==
Γ
。
例15.3.6 计算曲线 θθ cossin
34
=r 所围图形的面积 A。
解 显然，曲线所围图形在第一象限部分的面积的两倍就是所 要求的面积（见图 15.3.2） 。根据定积分中计算面积的公式,
π 31
2 22
0
1135
2sincosdB,
224
A θθθ
=? =
∫
35
13 1 2π
44
2(2) 8 4 4 8
ΓΓ
==ΓΓ=
Γ
。
图15.3.2
y
x
O
例 15.3.7 设区域 {(,)| 0,0}xy x y= ≥≥D 。确定正数 βα,，使得反 常重积分
dd
1
x y
I
x y
α β
=
++
∫∫
D
收敛，并在收敛时计算 I 的值。
解 作变量代换
β
α
2
2
,vyux ==,得到
2
2
1
1
22
4
dd
1
uv
Iuv
uv
β
α
αβ
=
++
∫∫
D'
,
其中 {(,)| 0,0}uv u v=≥≥D' 。再利用极坐标变换 θθ sin,cos rvru ==,得到
22 22
1 1
22
π
11
2
2 2
00
π
0
2
0
44
cos sin d d cos sin d d
r
rr
Ir
αβ αβ
ββ
αα
θ
θθθ θθθ
αβ αβ
+? +?
+∞
≤≤
≤<+∞
==
++
∫∫ ∫ ∫
。
关于等式右端的第一个积分，有
2
2π
1
1
2
0
cos sin d
β
α
θ θθ
∫
=
111
B,
2 α β
。
在等式右端的第二个积分中作变量代换 tr =
2
，得到
22 11
11
2
00
1
dd
121
rt
rt
αβ αβ
+? +?
+∞ +∞
=
++
∫∫
,
它仅在 1
11
0 <+<
βα
时收敛，且等于
111 11
B,
2 α βαβ
+?+
。
于是当正数 βα,满足 1
11
<+
βα
时，反常重积分
dd
1
xy
I
xy
αβ
=
++
∫∫
D
收敛，且
+?+
=
βαβαβααβ
11
1,
111
,
11
BBI
+?Γ
Γ
Γ=
βαβααβ
11
1
111
。
形如
1
11
0
B(,) (1 ) d
pq
pq x x x
=?
∫
的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。
§ 3 Euler积分先讨论它的定义域。将 Beta 函数写成
12 1
11 11
012
B(,) (1 ) d (1 ) d
pq pq
p qxxxxxx
=?+?
∫∫
,
当 0→x 时，
11
)1(
qp
xx ～
1?p
x,所以只有当 0>p 时右边第一个反常 积分收敛。而当 1→x 时，
11
)1(
qp
xx ～
1
)1(
q
x,所以只有当 0>q 时右 边第二个反常积分收敛。这说明了
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
对于每 对
),0(),0(),( +∞×+∞∈qp 收敛，即 Beta 函数 B(,)p q 的定义域为
),0(),0( +∞×+∞ 。
Beta 函数
形如
1
11
0
B(,) (1 ) d
pq
pq x x x
=?
∫
的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。
§ 3 Euler积分
Beta 函数的性质
1,连续性,B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续 。
证 对于任意固定的 0,0
00
>> qp,当
00
,qqpp >> 时,
1111
00
)1()1(
≤?
qpqp
xxxx,10 ≤≤ x,
而
00
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
关于 qp,
在 ),[),[
00
+∞×+∞ qp 上一致收敛，从而 B(,)p q =
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
在
),[),[
00
+∞×+∞ qp 上连续。
由 0,0
00
>> qp 的任意性得知 B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续。
2,对称性,B(,) B(,)p qqp=,0,0 >> qp 。
证 作变换 tx?=1 就得到
11
11 11
00
B(,) (1 ) d (1 ) d B(,)
pq pq
p qx xx tttqp
=?=? =
∫∫
。
Beta 函数的性质
1,连续性,B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续 。
证 对于任意固定的 0,0
00
>> qp,当
00
,qqpp >> 时,
1111
00
)1()1(
≤?
qpqp
xxxx,10 ≤≤ x,
而
00
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
收敛,由 Weierstrass 判别法，
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
关于 qp,
在 ),[),[
00
+∞×+∞ qp 上一致收敛，从而 B(,)p q =
1
11
0
(1 ) d
pq
x xx
∫
在
),[),[
00
+∞×+∞ qp 上连续。
由 0,0
00
>> qp 的任意性得知 B(,)p q 在 ),0(),0( +∞×+∞ 上连续。
3,递推公式,
1
B(,) B(,1)
1
q
pq pq
pq
=?
+?
,1,0 >> qp 。
证 利用分部积分法得到
1
11
11 2
00
0
11
12 11
00
1
B(,) (1 ) d (1 ) (1 ) d
1
(1 ) d (1 ) d
11
B(,1) B(,).
qp p q p q
pq pq
q
p qxxxx xxx
pp p
q
xxxxxx
p
pq pq
pp
=? =?+?
=
=
∫∫
∫∫
移项整理后就得到递推公式。
由 B(,)pq的对称性并结合递推公式可得到当 1,1 >> qp 时，成立
(1)(1)
B(,) B( 1,1)
(1)(2)
pq
pq p q
pq pq
=
+? +?
。
4,其他表示,
（ 1）作变量代换?
2
cos=x,得到
π 2
21 21
0
B(,) 2 cos sin d
pq
pq
=
∫
。
由此可以得到
11
B,π
22
=
。
（ 2）作变量代换
t
x
+
=
1
1
，得到
1
0
B(,) d
(1 )
q
pq
t
pq t
t
+∞
+
=
+
∫
11
1
01
dd
(1 ) (1 )
pq pq
tt
tt
+∞
++
=+
∫∫
。
在最后一个积分中再作变量代换
u
t
1
=,得到
11
1
10
dd
(1 ) (1 )
qp
pq pq
tu
tu
+∞
++
=
∫∫
,
于是
11
1
0
B(,) d
(1 )
pq
pq
tt
pq t
t
+
+
=
+
∫
（ B(,)qp= ）。
Gamma 函数
形如
1
0
() e d
sx
sxx
+∞
Γ=
∫
的含参变量积分称为 Gamma 函数,或第二类 Euler 积分。
先讨论它的定义域。将 Gamma 函数写成
1
11
01
() ed ed
sx sx
sx xx x
+∞
Γ= +
∫∫
,
由反常积分的收敛判别法，当 0≤s 时，右边第一个反常积分发散，
而当 0>s 时，两个反常积分都收敛，因此 Gamma 函数 )(sΓ 的定
义域为 ),0( +∞ 。
Gamma 函数的性质
1,连续性与可导性,)(sΓ 在 ),0( +∞ 上连续且可导。
证 对于任意闭区间 ),0(],[ +∞?ba,当 ],[ bas∈ 时成立
xaxs
xx
≤ ee
11
,]1,0(∈x,
而
1
1
0
ed
ax
x x
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
1
0
ed
sx
x x
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛。又由于当 ],[ bas∈ 时成立
xbxs
xx
≤ ee
11
,),1[ +∞∈x,
而
1
1
ed
bx
x x
+∞
∫
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
1
ed
sx
x x
+∞
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛。
于是
1
0
() e d
sx
sxx
+∞
Γ=
∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛，从而 )(sΓ 在 ],[ ba
上连续。由区间 ],[ ba 的任意性，可知 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上连续。
用同样方法可以证明对于任意闭区间 ),0(],[ +∞?ba,
11
00
(e)d elnd
sx sx
x xx x
s
+∞ +∞
=
∫∫
关于 s在 ],[ ba 上一致收敛，于是利用积分号下求导的定理得到 )(sΓ 在
],[ ba 上可导。由区间 ],[ ba 的任意性，可知 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上可导，且
1
0
() e ln d
sx
sx x
+∞
′
Γ=
∫
,0>s 。
事实上，仿照以上的方法可得到 )(sΓ 在 ),0( +∞ 上任意阶可导，且成立
() 1
0
() e (ln )d
nsx
sx xx
+∞
Γ=
∫
,0>s 。
2,递推公式,)(sΓ 满足
)()1( sss Γ=+Γ,0>s 。
证 利用分部积分法，得到
1
000 0
(1) ed de e ed ()
sx s x sx s x
sxxxxsx s
+∞ +∞ +∞+∞
Γ += =? =? + =Γ
∫∫ ∫
。
特别地，当 ns = 为正整数时,
)1(!)1()1()()1( Γ==?Γ?=Γ=+Γ nnnnnnn ",
而
0
(1) e d 1
x
x
+∞
Γ ==
∫
，所以
!)1( nn =+Γ 。
因此可以说 Gamma 函数是阶乘的推广。
由于
s
s
s
)1(
)(
+Γ
=Γ 以及 1)1( =Γ,所以有
+∞=Γ
+→
)(lim
0
s
s
。
3,其他表示,
（ 1）在 )(sΓ 的表示式中作变量代换
2
tx =,那么
2
21
0
() 2 e d
st
stt
+∞
Γ=
∫
。
由此可知
2
0
1
2ed π
2
t
t
+∞
Γ= =
∫
。
（ 2）作变量代换 tx α= （ 0>α ）可得
1
0
() e d
sst
st
α
α
+∞
Γ=
∫
。
4．定义域的延拓,
由于等式
s
s
s
)1(
)(
+Γ
=Γ
的右边在 )0,1(? 上有意义，则可以应用上式来定义左边函数 )(sΓ 在 )0,1(?
上的值。用同样的方法，再利用 )(sΓ 已在 )0,1(? 上定义的值，可以定义 )(sΓ 在
)1,2( 上的值。如此继续下去，就可以把 )(sΓ 的定义域延拓到
},3,2,1,0{\),( "+∞?∞ 上去。 )(sΓ 的图像如图 15.3.1 所示。易证明 +∞=Γ
+∞→
)(lim s
s
。
图15.3.1
例 15.3.1 计算
2
2
0
ed
nx
Ix x
+∞
=
∫
。
解 利用表示式
2
21
0
() 2 e d
st
stt
+∞
Γ=
∫
和递推公式，则有
+
Γ=
+Γ= 1
2
12
2
1
2
1
2
1 n
nI
+?Γ
=
2
1
1
2
12
2
n
n
,
反复利用递推公式即得到
11
(2 1)!! 1 (2 1)!!
π.
222
nn
I
++
=Γ=
Beta 函数与 Gamma 函数的关系
定理 15.3.1 Beta 函数与 Gamma 函数之间具有如下关系,
()()
B(,),0,0
()
pq
pq p q
pq
Γ Γ
= >>
Γ+
。
证 由于
2
21
0
() 2 e d
pt
p tt
+∞
Γ=
∫
，
2
21
0
() 2 e d
qt
qtt
+∞
Γ=
∫
，取
{(,) | 0,0 }st s tΩ = ≤<+∞ ≤<+∞,
利用化反常重积分为累次积分的方法，得到
22 22
21 21 21 21
00
()() 4 e d e d 4 e e dd
ps qt psqt
p qs ttstst
Ω
+∞ +∞
ΓΓ= =
∫∫ ∫
。
对右边的反常二重积分作极坐标变换 θθ sin,cos rtrs ==,即得到
( )( )
2
2
2( ) 1 2 1 2 1
0
π
0
2
π 2
21 21 2( )1
00
()() 4 e cos sin dd
2cos sin d2 ed
B(,) ( ),
pq r p q
r
pq pqr
pq r r
rr
pq p q
θ
θθθ
θθθ
+
≤<+∞
≤≤
+∞
+
ΓΓ=
=
=Γ+
∫∫
∫∫
例 15.3.2 计算
π
64
2
0
sin cos dI xxx=
∫
。
解 利用 Beta 函数的性质及 Gamma 函数的递推公式,
π
64
2
0
57
1571
22
sin cos d B,
2222 (6)
Ixx
ΓΓ
===
Γ
∫
131 531 3π
ππ
25!22 222 512
= =
。
例 15.3.3 计算
1
83
0
1dIx xx=?
∫
。
解 作变量代换 tx =
3
，得到
11
83 2
00
113
1d 1d B3,
332
Ix xx t tt
=?=?=
∫∫
33
(3) 2!
6
22
97533
15
3
2 222 2
ΓΓ Γ
== =
ΓΓ
。
例 15.3.2 计算
π
64
2
0
sin cos dI xxx=
∫
。
解 利用 Beta 函数的性质及 Gamma 函数的递推公式,
π
64
2
0
57
1571
22
sin cos d B,
2222 (6)
Ixx
ΓΓ
===
Γ
∫
131 531 3π
ππ
25!22 222 512
= =
。
例 15.3.4 设 1?>a,计算
π
2
0
sin dx x
α
∫
与
π
2
0
cos dx x
α
∫
,
并用 Gamma 函数表示 n维球体 }|),,,{(
2
22
2
2
121
Rxxxxxx
nnn
≤+++= " "B
的体积
n
V 。
解 作变量代换
π
2
x t=?,可知
ππ
22
00
sin d cos dx xxx
αα
=
∫∫
。利用 Beta 函数的性质,
ππ
22
00
sin d cos dx xxx
αα
=
∫∫
111
B,
222
α +
=
11 1
1 π
22 2
22
αα
++
ΓΓ Γ
==
++
ΓΓ
。
在例 13.3.11 中已得到
( )( ) ( )( )( )
πππ2π
12 2
11 3 3 2 2 1
00 0 0 0
d sin d sin d sin d d,
R
nn
nn
Vrr
=
∫∫ ∫ ∫ ∫
"
再利用以上的计算结果，得到 n维球体体积为
( ) ( )( )
πππ
22
11 3 3 2 2
000
2π
sin d sin d sin d
n
n
R
V
n
=
∫∫∫
"
22
11 3 3 2 2
2π
2sin d 2sin d 2sin d
n
n
nn nn
R
n
=
"
132
2π
22
πππ
43
222
n
n
R
n
n
ΓΓΓ
=
ΓΓΓ
"
()
2
222ππ
(1) ππ
1
222 2
n nn
n
nn
R
RR
nnn n
n
Γ
=?==
ΓΓ Γ+
。
这是 n维球体体积的一种常用表示。
关于 Gamma 函数，还有三个重要公式：Legendre 公式、余元 公式和 Stirling 公式。
定理 15.3.2（ Legendre 公式）
21
1 π
() (2)
22
s
ss s
ΓΓ+ = Γ
,0>s 。
证 由于
11
22
1
11
11
2
00 0
11 11
B(,) (1 ) d d 2 d,
42 42
ss
ss
ss x x x x x x x
=?= =
∫∫ ∫
作变量代换 tx
2
1
2
1
=?,得到
1
1
1
2
21 21
0
11
B(,) (1 ) d B,
22
s
ss
ss t t t s
=?=
∫
。
再利用 Beta 函数与 Gamma 函数的关系，从上式得到
+Γ
Γ
Γ
=
Γ
ΓΓ
2
1
)(
2
1
2
1
)2(
)()(
12
s
s
s
ss
s 21
1 π ()
1
2
2
s
s
s
Γ
=
Γ+
。
整理后就得到 Legendre 公式。
定理 15.3.3（余元公式）
π
() (1 )
sin π
ss
s
ΓΓ?=,10 << s 。
证明从略。
定理 15.3.4（ Stirling 公式）
12
(1) 2π e
e
s
s
s
ss
θ
Γ+=
,0>s,
这里 10 <<θ 。特别地，当 ns = 为正整数时,
12
!2π e
e
n
n
n
nn
θ
=
。
证明从略。
例 15.3.5 计算
4
2
0
d
(1 )
x
Ix
x
+∞
=
+
∫
。
解
5
1
4
4
532
00
44
35
ddB,
(1 ) 4 4
(1 )
xx
Ix x
x
x
+∞ +∞
+
== =
+
+
∫∫
35113
1 π 2π
44444
π
(2) 1! 4 4
sin
4
ΓΓ ΓΓ
== ==
Γ
。
例15.3.6 计算曲线 θθ cossin
34
=r 所围图形的面积 A。
解 显然，曲线所围图形在第一象限部分的面积的两倍就是所 要求的面积（见图 15.3.2） 。根据定积分中计算面积的公式,
π 31
2 22
0
1135
2sincosdB,
224
A θθθ
=? =
∫
35
13 1 2π
44
2(2) 8 4 4 8
ΓΓ
==ΓΓ=
Γ
。
图15.3.2
y
x
O
例 15.3.7 设区域 {(,)| 0,0}xy x y= ≥≥D 。确定正数 βα,，使得反 常重积分
dd
1
x y
I
x y
α β
=
++
∫∫
D
收敛，并在收敛时计算 I 的值。
解 作变量代换
β
α
2
2
,vyux ==,得到
2
2
1
1
22
4
dd
1
uv
Iuv
uv
β
α
αβ
=
++
∫∫
D'
,
其中 {(,)| 0,0}uv u v=≥≥D' 。再利用极坐标变换 θθ sin,cos rvru ==,得到
22 22
1 1
22
π
11
2
2 2
00
π
0
2
0
44
cos sin d d cos sin d d
r
rr
Ir
αβ αβ
ββ
αα
θ
θθθ θθθ
αβ αβ
+? +?
+∞
≤≤
≤<+∞
==
++
∫∫ ∫ ∫
。
关于等式右端的第一个积分，有
2
2π
1
1
2
0
cos sin d
β
α
θ θθ
∫
=
111
B,
2 α β
。
在等式右端的第二个积分中作变量代换 tr =
2
，得到
22 11
11
2
00
1
dd
121
rt
rt
αβ αβ
+? +?
+∞ +∞
=
++
∫∫
,
它仅在 1
11
0 <+<
βα
时收敛，且等于
111 11
B,
2 α βαβ
+?+
。
于是当正数 βα,满足 1
11
<+
βα
时，反常重积分
dd
1
xy
I
xy
αβ
=
++
∫∫
D
收敛，且
+?+
=
βαβαβααβ
11
1,
111
,
11
BBI
+?Γ
Γ
Γ=
βαβααβ
11
1
111
。
