外微分
设
n
RU 为区域,fxx x
n
(,,,)
12
"为 U 上的可微函数，则它的全微分为
1
dd
n
i
n
i
f
f x
x
=
=
∑
。
这可以理解为一个 0-形式作微分运算后成为 1-形式。
§ 4 微分形式的外微分
现在将微分运算 d 推广到 Λ
k
上去。对
k
Λ 中的任意一个 k-形式
12
12
12
,,,
1
()d d d
k
k
k
ii i i i i
ii i n
gxxx xω
≤<<<≤
=∧∧
∑"
"
",
定义
12
12
12
12
12
12
,,,
1
,,,
11
d(d()ddd
dd d d
k
k
k
k
k
k
ii i i i i
ii i n
n
ii i
ii i i
ii i ni
i
gxxx x
g
xx x x
x
ω
≤<<<≤
≤<<<≤ =
=∧∧∧
∑
∑∑
"
"
"
"
"
"。
同时，对空间 Λ Λ Λ Λ= + + +
01
"
n
上的任意一个元素
i
in
Λ∈+++= ωωωωω,
10
",
定义
01
dd d d
n
ω ωω ω= +++"。
这样的微分运算 d 称为外微分 。
显然，微分运算 d:Λ→Λ具有线性性，即 d( ) d dαωβη αωβη+ =+,
Λ∈ηω,，其中 α β,为常数。
由定义可直接得到
12 12
12
d(d d d ) d(1d d d )
(d1) d d d 0
kk
k
ii i ii i
ii i
xx x xx x
xx x
∧ ∧∧ = ∧ ∧∧
=∧∧∧∧=
""
"。
例 14.4.1 设 (,)d (,)dP xyxQxyyω = + 为
2
R 上的 1-形式，则
d(d)d(d)d d d d d d d
dd dd dd
PP QQ
P xQy x y x x y y
xy xy
PQ QP
yx xy xy
yx xy
ω

= ∧+ ∧= + ∧+ + ∧




=∧+∧=? ∧


。
显然，微分运算 d:Λ→Λ具有线性性，即 d( ) d dαωβη αωβη+ =+,
Λ∈ηω,，其中 α β,为常数。
由定义可直接得到
12 12
12
d(d d d ) d(1d d d )
(d1) d d d 0
kk
k
ii i ii i
ii i
xx x xx x
xx x
∧ ∧∧ = ∧ ∧∧
=∧∧∧∧=
""
"。
例 14.4.2 设 (,,)d (,,)d (,,)dP xyz x Qxyz y Rxyz zω = ++为
3
R 上的 1-形式，则
d (d) d (d) d (d) dP xQyRzω =∧+∧+∧
dddd dddd
dddd
dd dd dd
PPP QQQ
xyzx xyzy
xyz xyz
RRR
xyzz
xyz
RQ PR QP
yz zx xy
yz zx xy

=++∧+++∧




+++∧


=? ∧+? ∧+? ∧



。
例 14.4.3 设 (,,)d d (,,)d d (,,)d dP xyz y z Qxyz z x Rxyz x yω = ∧+ ∧+ ∧为
3
R
上的 2-形式，则
d(d)dd(d)dd(d)ddP yz Q zx R xyω = ∧∧+ ∧∧+ ∧∧
ddddd ddddd
PPP QQQ
xyzyz xyzzx
xyz xyz

= ++ ∧∧+ ++ ∧∧



ddddd
RRR
xyzxy
xyz

+++∧∧

ddd
PQR
xyz
xyz

=++ ∧∧



。
下面列出外微分的两个性质。
性质 1 设ω为k-形式,η为l-形式，则
d( ) d ( 1) d
k
ω ηωη ωη∧= ∧+? ∧。
证 由于 d 的线性性质，只要证明
12 1 2
()d d d,()d d d
kl
ii i j j j
ax x x x bx x x xω η= ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧""
的情形即可。这时
12 1 2
12 1 2
d( ) d( ( ) ( ) d d d d d d )
d( ( ) ( )) d d d d d d
kl
ii i j j j
ii i j j j
axbx x x x x x x
axbx x x x x x x
ω η∧ =∧∧∧∧∧∧∧∧""
12 1 2
12 1 2
12 1 2
1
1
1
dddddddd
ddd ddd d
(1)(d d d ) d d d
kl
kl
n
iiiiijjj
i
n
iii ijj j
i
i
n
k
ii i i j j j
i
i
ab
bxaxxx xxx x
xx
a
bxxx xxx x
x
b
ax x x dx x x x
x
=
=
=


= + ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧∧



=∧∧∧∧∧∧



+? ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧


∑
∑
∑
""
""
d(1)d
k
ω ηωη=∧+? ∧。
在以下讨论中，总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数。
设 ω ∈Λ，定义
2
dd(d)ω ω= 。
例 14.4.4 设 f ∈Λ
0
为 0-形式，则
2
d0f = 。
证 由于 f 具有二阶连续偏导数，因此
ijji
xx
f
xx
f

=

22
。所以
2
1
222
11
dd(d)d d
dd dd0.
n
i
i
i
nn
ji i j
ij ij
ji i j ji
f
ff x
x
fff
xx xx
xx xx xx
=
== <

==




=∧=?∧=



∑
∑∑ ∑
性质 2 对任意ω ∈Λ，有
2
d0ω = 。
证 由于 d 的线性性质，只要证明
12 12
()d d d () d d d
kk
ii i ii i
ax x x x ax x x xω =∧∧∧=∧∧∧∧""
的情形即可。这时
12 12
dd(()dd d)(d()dd d
ii i ii i
ax x x x ax x x xω =∧∧∧∧= ∧∧∧∧,
由性质 1 和例 14.4.4 的结果,
12 12
12
22
d d(d)(d)dd d(d)d(dd d)
0d d d (d)00
kk
k
ii i ii i
ii i
axx x a xx x
xx x a
ωω==∧∧∧∧?∧∧∧∧
=∧ ∧ ∧ ∧? ∧=
""
"。
外微分的应用
首先看 Green 公式
dd dd
QP
Px Qy x y
xy

+=?



∫∫∫
DD
,
其中?D取 D的诱导定向。将 ddxy∧ 看成正面积元素 ddxy，上式就可以表示为
dd dd
QP
Px Qy x y
xy

+ =?∧



∫∫∫
DD
。
由例 14.4.1，对于 1-形式 (,)d (,)dP x y xQxyyω = +,上式就是
dω ω
=
∫ ∫
DD
。
再看 Stokes 公式
dddPx Qy Rz
Σ?
++
∫
dd dd dd
RQ PR QP
yz zx xy
yz zx xy
Σ

=?∧+?∧+?∧



∫∫
,
其中 Σ? 取 Σ 的诱导定向。由例 14.4.2，对于 1-形式 (,,)dP x y zxω = +
(,,)dQxyz y (,,)dRxyz z+,上式就是
Σ
ω
∫
d
Σ
ω=
∫
。
同样地，对于 Gauss 公式
dd dd ddP yz Qzx Rxy
++
∫∫
Ω
ddd
PQR
xyz
xyz

=++



∫∫∫
Ω
,
将 dddxyz∧ ∧ 看成正体积元素 dddxyz，它就可以表示为
dd dd ddP yzQzxRxy
∧+ ∧+ ∧
∫∫
Ω
ddd
PQR
xyz
xyz

= ++ ∧∧



∫∫∫
Ω
,
其中?Ω 取 Ω 的诱导定向。由例 14.4.3，对于 2-形式 (,,)dP xyz yω = ∧
dz+ (,,)d d (,,)d dQxyz z x Rxyz x y∧+ ∧，上式就是
ω
=
∫
Ω
dω
∫
Ω
。
最后看看 Newton-Leibniz 公式
d() ()
b
b
a
a
f x f x=
∫
,
将上式右端视为 0-形式 )(xf 在区间 [,]ab=D 的诱导定向边界 {,}ab? =D
上的积分，那么上式就可以表示为
dff
=
∫ ∫
DD
。
这样一来,Newton-Leibniz 公式,Green 公式,Gauss 公式和 Stokes
公式就可以统一地写成如下形式,
dω ω
=
∫ ∫
MM
。
这个式子统称为 Stokes 公式 。 它说明了，高次的微分形式dω在给定区域上的积分等于低一次的微分形式ω在低一维的区域边界上的积分。 Stokes 公式是单变量情形的 Newton-Leibniz 公式在多变量情形的推广，是数学分析中最精彩的结论之一。
最后看看 Newton-Leibniz 公式
d() ()
b
b
a
a
f x f x=
∫
,
将上式右端视为 0-形式 )(xf 在区间 [,]ab=D 的诱导定向边界 {,}ab? =D
上的积分，那么上式就可以表示为
dff
=
∫ ∫
DD
。
这样一来,Newton-Leibniz 公式,Green 公式,Gauss 公式和 Stokes
公式就可以统一地写成如下形式,
dω ω
=
∫ ∫
MM
。