面积
在一元定积分中已经学过计 算曲边梯形等平面图形的面积,但是并不能将其简单照搬到一般的平面点集上,因为一般平面点集是否有面积还是一个问题。为此，先引入面积的定义。
第十三章 重积分
§1 有界闭区域上的重积分设 D 为
2
R 上的有界子集。设 U ],[],[ dcba ×= 为包含 D 的一个闭 矩形。在 [,]ab中插入分点
ax x x b
n
= < < < =
01
null ；
在 [,]cd 中插入分点
cy y y d
m
= < < < =
01
null ；
过这些分点作平行于坐标轴的直线，将 U 分成许多小矩形
,1 1
[,][,]
ij i i j j
x x yy
= ×U,mjni,,2,1;,,2,1 nullnull ==,
这称为 U 的一个 划分 （见图13.1.1） 。
D
图13.1.1
记完全包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为 mA，与 D的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB，则显然有 mBmA ≤ 。
利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明：
若在原有划分的基础上,在 ],[ ba 和 ],[ dc 中再增加有限个分点 （ 所得的新划分称为原来划分的 加细）,则 mB 不增,mA不减； 且任意一种划分所得到的 mA不大于任意一种划分所得到的 mB。
这样，这些 mA有一个上确界
*
mD,mB有一个下确界
*
mD,并且
*
*
mm≤DD。
若
*
*
mm=DD,则称这个值为 D 的面积,记为 mD,此时称 D 是 可 求面积 的 。
同样可以考虑 D 的边界?D 的面积。记与?D 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB
D
，若所有 mB
D
的下确界
*
0m? =D （此式蕴涵
*
0m? =D ）,则称?D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零边界区域 。
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0>ε,存在 U的一个划分，使得
mAmB? （= mB
D
） ε< 。
所以有
定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面 积的充 分 必 要条 件 是它的 边 界
D 的面积为 0。
面积具有可加性,就是说,如果有界点集 D 由点集 D
1
和 D
2
组成，
D
1
和 D
2
可求面积，且
12
=?
nullnull
∩DD,那么 D 可求面积，并满足
mD = mD
1
+ mD
2
。
同样可以考虑 D 的边界?D 的面积。记与?D 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB
D
，若所有 mB
D
的下确界
*
0m? =D （此式蕴涵
*
0m? =D ）,则称?D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零边界区域 。
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0>ε,存在 U的一个划分，使得
mAmB? （= mB
D
） ε< 。
所以有
定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面 积的充 分 必 要条 件 是它的 边 界
D 的面积为 0。
例 13.1.1 设 yfxaxb= ≤ ≤()( )为非负连续函数。则它与直线
ax =,bx = 和 y = 0所围成的区域 D 是可求面积的。
y
yfx= ()
D
O x
图 13.1.2
证 由于 f 在 [,]ab上连续，那么它在 [,]ab上可积。在 [,]ab上插 入分点 bxxxa
n
=<<<= null
10
将 [,]ab n等分。记 )}({max xfM
bxa ≤≤
=,那么矩形
U= ],0[],[ Mba × 就包含了区域 D。
a
b
设 m
i
和 M
i
分别为 fx()在 ],[
1 ii
xx
上的最大、最小值（ ni,,2,1 null= ）。
在 ],0[ M 上插入分点
ii
Mm,（ ni,,2,1 null= ）,就得到 U 的一个划分。容易看出,
包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为 =
n
mA
∑
=
n
i
iii
xxm
1
1
)( （ 这是 f 的一个 Darboux 小和） ；与 D 的交集非空的那些小矩形的面积 之和为
∑
=
=
n
i
iiin
xxMmB
1
1
)( （这是 f 的一个 Darboux 大和）。
由于
*
*nn
mA m m mB≤≤≤DD,
令 ∞→n,由 f 在 [,]ab上的可积性及极限的夹逼性得
*
*
()d
b
a
mm fxx==
∫
DD 。
因此 D 是可求面积的，且面积为 ()d
b
a
f xx
∫
。
在上例中，记曲线 yfxaxb= ≤ ≤()( )为 L，那么小矩形
],;,[
1 iiii
Mmxx
,ni,,2,1 null= 的全体包含 L，其面积为
∑
=
n
i
iiii
xxmM
1
1
))((
1
n
ii
i
xω
=
= Δ
∑
,
当 ∞→n 时，它的极限是零。所以 L的面积为 0。
同样可以证明,平面上光滑曲线段的面积为 0。因此，若一个 有界区域的边界是分段光滑曲线（即由有限条光滑曲线衔接而成的曲线）,那么这个区域是可求面积的。
注意，并不是所有有界平面点集都是可求面积的。例如，平面点集
{(,) | 0 1,0 ( )}xy x y Dx= ≤≤ ≤≤S
就不可求面积，这里
=
为无理数为有理数
x
x
xD
,0
,,1
)(
为 Dirichlet 函数。事实上,S的边界为 [0,1] [0,1]?= ×S,它的面积为
1。这说明 S不是可求面积的。
二重积分的概念
考察一个 曲顶柱体,它的底是 xy平面上的具有零边界的有界闭区域 D，顶是非负连续函数 (,),(,)z f xy xy= ∈D所确定的曲面，侧面是以
D的边界曲线为准线,母线平行于 z 轴的柱面。
z
O y
x
图 13.1.3
zfxy= (,)
为了求出它的体积 V,我们先用一个面积为零的曲线段组成的曲线网将区域 D分成 n个小区域
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D。 由前面的讨论，每个
i
ΔD
都是可求面积的（ ni,,2,1 null= ） 。再分别以这些小区域的边界为准线，
作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面将原曲顶柱体分成 n个细小曲顶柱体。在每个
i
ΔD 上任取一点 ),(
ii
ηξ,那么以
i
ΔD 为底的小曲顶柱体的体积近似地等于
iii
f σηξ Δ),(,
这里
i
σΔ 表示
i
ΔD 的面积。于是，原曲顶柱体的体积近似地等于
∑
=
Δ
n
i
iii
f
1
),( σηξ 。
当所有的小区域
i
ΔD 的最大直径（记为 λ）趋于零时，这个近似值趋于原曲顶柱体的体积，即
∑
=
→
Δ=
n
i
iii
fV
1
0
),(lim σηξ
λ
。
这就是二重积分的概念。
定义 13.1.1 设 D为
2
R 上的零边界闭区域,函数 zfxy= (,)在 D上有界 。 将 D用曲线网分成 n 个小区域
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D（ 它称为 D的一个划分 ）,并记所有的小区域
i
ΔD 的最大直径为 λ，即
λ=
1
max{diam }
i
in≤≤
ΔD 。
在每个
i
ΔD 上任取一点 ),(
ii
ηξ,记
i
σΔ 为
i
ΔD 的面积,若 λ趋于零时,和式
∑
=
Δ
n
i
iii
f
1
),( σηξ
的极限存在,且与区域的分法和点 ),(
ii
ηξ 的取法无关,则称 fxy(,)在 D
上 可积,并称此极限为 fxy(,)在 D上的 二重积分,记为
(,)dfxy σ
∫∫
D
（ =
∑
=
→
Δ
n
i
iii
f
1
0
),(lim σηξ
λ
） 。
fxy(,)称为 被积函数,D称为 积分区域,x 和 y 称为 积分变量,dσ
称为 面积元素,(,)dfxy σ
∫∫
D
也称为 积分值 。
与一元的情况类似，设 M
i
和 m
i
分别为 fxy(,)在
i
ΔD 上的上确界与下确界，定义 Darboux 大和为
SM
ii
i
n
=
=
∑
Δσ
1；
Darboux 小和为
∑
=
Δ=
n
i
ii
ms
1
σ 。
则有以下性质,
性质 1 若在已有的划分上添加有限条曲线作进一步划分，则
Darboux 大和不增,Darboux 小和不减。
与一元的情况类似，设 M
i
和 m
i
分别为 fxy(,)在
i
ΔD 上的上确界与下确界，定义 Darboux 大和为
SM
ii
i
n
=
=
∑
Δσ
1；
Darboux 小和为
∑
=
Δ=
n
i
ii
ms
1
σ 。
则有以下性质,
性质 2 任何一个 Darboux 小和都不大于任何一个 Darboux 大和。
因此，若记 ISI s
*
*
inf{ },sup{ }==（这里上、下确界是对所有划分来取的）,则有
sI I S≤≤≤
*
*
。
性质 3 fxy(,)在 D 上可积的充分必要条件是,
lim( )
λ→
=
0
0Ss,
即
0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
σω
λ
。
这里 ω
i
= M
i
-m
i
是 fxy(,)在
i
ΔD 上的振幅。此时成立
00
lim lim (,)dsSfxy
λλ
σ
→→
==
∫∫
D
。
性质 2 任何一个 Darboux 小和都不大于任何一个 Darboux 大和。
因此，若记 ISI s
*
*
inf{ },sup{ }==（这里上、下确界是对所有划分来取的）,则有
sI I S≤≤≤
*
*
。
定理 13.1.2 若 fxy(,)在零边界闭区域 D上连续,那么它在 D上可积。
证 记 σ 为 D的面积。因为 fxy(,)在紧集 D上连续，所以它在 D上一致连续，于是对任意 ε ＞0，存在 δ ＞0，使得当
()()xx yy
12
2
12
2
+?<δ 时，成立
11 2 2
|(,) (,)|fxy fx y
ε
σ
< 。
因此对 D的任一划分
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D，当所有
i
ΔD 的最大直径 λ δ< 时，
fxy(,)在每个
i
ΔD 上的振幅
i
ω 就小于
σ
ε
，于是成立
εσ
σ
ε
σ
σ
ε
σω =?=Δ<Δ
∑∑
==
n
i
n
i
iii
11
,
所以 0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
σω
λ
，即 fxy(,)在 D上可积。
多重积分
同
2
R 中定义面积一样，可以在
n
R (n ≥ 3)中定义体积的概念。定义
n
R 中的 n维闭矩形 ],[],[],[
2211 nn
bababa ××× null 的体积为
)(
11
ab? )(
22
ab? )(
nn
ab?null,
那么就可以将
2
R 上定义面积的叙述完全平移到
n
R (n ≥ 3)上来定义体积，并同样称边界体积为零的的有界区域为 零边界区域,而且可以 证明光滑曲面片的体积为零。
设?是
n
R (n ≥ 3)上的有界区域，其边界是一张或数张无重点的封闭曲面，那么同样可得,有界点集?是可求体积的充分必要条件为其边界的体积为零，即?为零边界区域 。
同
2
R 中的原理一样，引入 n重积分的概念,
定义 13.1.2 设?为
n
R 上的零边界闭区域,函数 )(xfu = 在?
上有界。 将?用曲面网分成 n个小区域 Δ?
1
,Δ?
2
,…,Δ?
n
（ 称为?
的一个划分）,记
i
VΔ 为 Δ?
i
的体积,并记所有的小区域 Δ?
i
的最 大直径为 λ。 在每个 Δ?
i
上任取一点
i
x,若 λ趋于零时,和式
∑
=
Δ
n
i
ii
Vf
1
)(x
的极限存在且与区域的分法和点
i
x 的取法无关,则称 )(xf 在? 上 可积,并称此极限为 )(xf 在有界闭区域?上的 n 重积分,记为
df V
∫
Ω
（=
0
1
lim ( )
n
ii
i
f V
λ→
=
Δ
∑
x ） 。
)(xf 称为被积函数,?称为 积分区域,x称为 积分变量,dV 称为 体积元素,df V
∫
Ω
也称为积分值 。
类似于二维情形可知,若 )(xf 在零边界闭区域?上连续,那么 它在?上可积。
注意 2=n 与 2>n 的重积分在定义上没有本质区别。 在记号上通 常采用如下记法,
在
2
R 中,fxy(,)在 D上的二重积分记为
(,)ddf xy xy
∫∫
D；
在
3
R 中,fxyz(,,)在?上的三重积分记为
(,,)dddf xyz xyz
∫∫∫
Ω
或 (,,)df xyz V
∫∫∫
Ω；
在
n
R 中,fxx x
n
(,,,)
12
null 在?上的 n重积分记为
12 12
(,,)dd d
nn
f xx x xx x
∫
nullnull
Ω
或
12 12
(,,,)dd d
nn
f xx x xx x
∫∫
nullnull null
Ω
。
例13.1.2 设?
3
R? 为具有分片光滑表面的物体,fxyz(,,)是?
在 (,,)x y z 处的密度。求物体?的重心 (,,)x y z 。
解 将?用分片光滑曲面分成小块 Δ?
1
,Δ?
2
,…,Δ?
n
，那么
iiii
Vf Δ),,( ζηξ 就近似地为 Δ?
i
的质量，这里
i
VΔ 为 Δ?
i
的体积,),,(
iii
ζηξ
为
Δ
i
上任一点。于是，
∑
=
Δ
n
n
iiii
Vf
1
),,( ζηξ 就近似地表示?的质量。以
λ表示所有 Δ?
i
的最大直径，则
的质量 =
∑
=
→
Δ
n
n
iiii
Vf
1
0
),,(lim ζηξ
λ
= (,,)dddf xyz xyz
∫∫∫
Ω
。
由物理学的知识可知，如果空间上有 n个质点，它们的质量分别为
n
mmm,,,
21
null,且相应地分别位于点 ),,(,),,,(),,,(
222111 nnn
zyxzyxzyx null
处，那么这个质点系的重心坐标为
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
===
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
1
1
1
1
1
1
,,。
当 λ充分小时，如果将 Δ?
i
看成质点，
iiii
Vf Δ),,( ζηξ 就近似地为
Δ?
i
的质量，其中 ),,(
iii
ζηξ 为 Δ?
i
上任一点。那么其重心坐标为
,
),,(
),,(
,
),,(
),,(
,
),,(
),,(
1
1
1
1
1
1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
Δ
Δ
≈
Δ
Δ
≈
Δ
Δ
≈
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
iiii
n
i
iiiii
Vf
Vf
z
Vf
Vf
y
Vf
Vf
x
ζηξ
ζηξζ
ζηξ
ζηξη
ζηξ
ζηξξ
因此当 λ趋于零就得到
(,,)ddd (,,)ddd (,,)ddd
,,
(,,)ddd (,,)ddd (,,)ddd
xf xyz xyz yf xyz xyz zf xyz xyz
xy
f xyz xyz f xyz xyz f xyz xyz
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩΩ
。
Peano 曲线
值得注意的是，一条平面曲线所绘出的图形的面积并不一定是零。 Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域
（如三角形和正方形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称为 Peano 曲线 。
以下我们给出一个将 ]1,0[ 区间映满平面上边长为 2/1 的正三角形的连续映射的大致构造,
设Δ为平面上边长为 2/1 的闭正三角形。
作连续映射 Δ→]1,0[:
1
f,使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图
13.1.4 所示；
图 13.1.4
Peano 曲线
值得注意的是，一条平面曲线所绘出的图形的面积并不一定是零。 Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域
（如三角形和正方形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称为 Peano 曲线 。
将Δ分为四个全等三角形，再作
Δ→]1,0[:
2
f,使得
2
f 在每个区间
+
4
1
,
4
ii
上的像分别完全落在一个小三角形
i
Δ
（ 3,2,1,0=i ）上，且
2
f 的像在小三角形
i
Δ 的部分恰如
1
f 的像，如图 13.1.5 所示；
继续将每个小三角形
i
Δ 分为四个更小的全等三角形,作连续映射
Δ→]1,0[:
3
f,使得在每个区间
+
4
1
,
4
ii
（ 3,2,1,0=i ）上的像分别完全落在一个小三角形
i
Δ 上，
3
f 在这个区间上的构造完全类似于
2
f 在 ]1,0[ 上的构造,而且
3
f 的像在更小的三角形的部分恰如
1
f 的像，如图 13.1.6 所示；
图 13.1.6
图 13.1.5
如此继续下去，将正三角形Δ等分为
1
4
n
个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 Δ→]1,0[:
n
f,使得从
1?n
f
到
n
f 的构造完全类似于从
2
f 到
3
f 的构造,且
n
f 的像在每个小三角形的部分恰如
1
f 的像。
这样就构造出一个连续映射序列 }{
n
f 。
如此继续下去，将正三角形Δ等分为
1
4
n
个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 Δ→]1,0[:
n
f,使得从
1?n
f
到
n
f 的构造完全类似于从
2
f 到
3
f 的构造,且
n
f 的像在每个小三角形的部分恰如
1
f 的像。
这样就构造出一个连续映射序列 }{
n
f 。
由序列 }{
n
f 的构造可知，若 nm ≤,则对于每个 ]1,0[∈t,可以找到边长为
m
2/1 的小三角形同时含有 )(t
m
f 和 )(t
n
f,因此在 ]1,0[ 上成立
m
nm
tt 2/1|)()(| ≤? ff 。
于是连续映射序列 }{
n
f 在 ]1,0[ 上一致收敛于一个连续映射 Δ→]1,0[:f,
且 f 满足
m
m
tt 2/1|)()(| ≤? ff,]1,0[∈t 。
现在证明 f 的像为整个Δ。
首先证明 Δ上每一点都是 f 的像集的聚点。 从 }{
n
f 的构造可知：
n
f
的像到Δ上任一点的距离不超过
n
2/1 。对于 Δ上任一点 a及 a的任一邻域 U,取 N 充分大，使得 UO
N
)2/1,(
1
a,并且取 ]1,0[
0
∈t,使得
N
N
t 2/1|)(|
0
≤? fa 。
因此
1
0000
| ()|| ()|| () ()| 1/2 1/2 1/2
NN N
NN
tttt
≤? +?≤+=af af f f,
所以 ∈)(
0
tf UO
N
)2/1,(
1
a,这说明 a是 f 的像集的聚点。
显然 Δ?])1,0([f 。由于 f 为连续映射，所以 ])1,0([f 为紧集，因此是闭集，所以 ])1,0([f 包含它的所有聚点，因此 Δ=])1,0([f,即 f 的像为整个Δ。
在一元定积分中已经学过计 算曲边梯形等平面图形的面积,但是并不能将其简单照搬到一般的平面点集上,因为一般平面点集是否有面积还是一个问题。为此，先引入面积的定义。
第十三章 重积分
§1 有界闭区域上的重积分设 D 为
2
R 上的有界子集。设 U ],[],[ dcba ×= 为包含 D 的一个闭 矩形。在 [,]ab中插入分点
ax x x b
n
= < < < =
01
null ；
在 [,]cd 中插入分点
cy y y d
m
= < < < =
01
null ；
过这些分点作平行于坐标轴的直线，将 U 分成许多小矩形
,1 1
[,][,]
ij i i j j
x x yy
= ×U,mjni,,2,1;,,2,1 nullnull ==,
这称为 U 的一个 划分 （见图13.1.1） 。
D
图13.1.1
记完全包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为 mA，与 D的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB，则显然有 mBmA ≤ 。
利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明：
若在原有划分的基础上,在 ],[ ba 和 ],[ dc 中再增加有限个分点 （ 所得的新划分称为原来划分的 加细）,则 mB 不增,mA不减； 且任意一种划分所得到的 mA不大于任意一种划分所得到的 mB。
这样，这些 mA有一个上确界
*
mD,mB有一个下确界
*
mD,并且
*
*
mm≤DD。
若
*
*
mm=DD,则称这个值为 D 的面积,记为 mD,此时称 D 是 可 求面积 的 。
同样可以考虑 D 的边界?D 的面积。记与?D 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB
D
，若所有 mB
D
的下确界
*
0m? =D （此式蕴涵
*
0m? =D ）,则称?D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零边界区域 。
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0>ε,存在 U的一个划分，使得
mAmB? （= mB
D
） ε< 。
所以有
定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面 积的充 分 必 要条 件 是它的 边 界
D 的面积为 0。
面积具有可加性,就是说,如果有界点集 D 由点集 D
1
和 D
2
组成，
D
1
和 D
2
可求面积，且
12
=?
nullnull
∩DD,那么 D 可求面积，并满足
mD = mD
1
+ mD
2
。
同样可以考虑 D 的边界?D 的面积。记与?D 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 mB
D
，若所有 mB
D
的下确界
*
0m? =D （此式蕴涵
*
0m? =D ）,则称?D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为 零边界区域 。
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0>ε,存在 U的一个划分，使得
mAmB? （= mB
D
） ε< 。
所以有
定理 1.1.1 有界点集 D 是 可 求 面 积的充 分 必 要条 件 是它的 边 界
D 的面积为 0。
例 13.1.1 设 yfxaxb= ≤ ≤()( )为非负连续函数。则它与直线
ax =,bx = 和 y = 0所围成的区域 D 是可求面积的。
y
yfx= ()
D
O x
图 13.1.2
证 由于 f 在 [,]ab上连续，那么它在 [,]ab上可积。在 [,]ab上插 入分点 bxxxa
n
=<<<= null
10
将 [,]ab n等分。记 )}({max xfM
bxa ≤≤
=,那么矩形
U= ],0[],[ Mba × 就包含了区域 D。
a
b
设 m
i
和 M
i
分别为 fx()在 ],[
1 ii
xx
上的最大、最小值（ ni,,2,1 null= ）。
在 ],0[ M 上插入分点
ii
Mm,（ ni,,2,1 null= ）,就得到 U 的一个划分。容易看出,
包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为 =
n
mA
∑
=
n
i
iii
xxm
1
1
)( （ 这是 f 的一个 Darboux 小和） ；与 D 的交集非空的那些小矩形的面积 之和为
∑
=
=
n
i
iiin
xxMmB
1
1
)( （这是 f 的一个 Darboux 大和）。
由于
*
*nn
mA m m mB≤≤≤DD,
令 ∞→n,由 f 在 [,]ab上的可积性及极限的夹逼性得
*
*
()d
b
a
mm fxx==
∫
DD 。
因此 D 是可求面积的，且面积为 ()d
b
a
f xx
∫
。
在上例中，记曲线 yfxaxb= ≤ ≤()( )为 L，那么小矩形
],;,[
1 iiii
Mmxx
,ni,,2,1 null= 的全体包含 L，其面积为
∑
=
n
i
iiii
xxmM
1
1
))((
1
n
ii
i
xω
=
= Δ
∑
,
当 ∞→n 时，它的极限是零。所以 L的面积为 0。
同样可以证明,平面上光滑曲线段的面积为 0。因此，若一个 有界区域的边界是分段光滑曲线（即由有限条光滑曲线衔接而成的曲线）,那么这个区域是可求面积的。
注意，并不是所有有界平面点集都是可求面积的。例如，平面点集
{(,) | 0 1,0 ( )}xy x y Dx= ≤≤ ≤≤S
就不可求面积，这里
=
为无理数为有理数
x
x
xD
,0
,,1
)(
为 Dirichlet 函数。事实上,S的边界为 [0,1] [0,1]?= ×S,它的面积为
1。这说明 S不是可求面积的。
二重积分的概念
考察一个 曲顶柱体,它的底是 xy平面上的具有零边界的有界闭区域 D，顶是非负连续函数 (,),(,)z f xy xy= ∈D所确定的曲面，侧面是以
D的边界曲线为准线,母线平行于 z 轴的柱面。
z
O y
x
图 13.1.3
zfxy= (,)
为了求出它的体积 V,我们先用一个面积为零的曲线段组成的曲线网将区域 D分成 n个小区域
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D。 由前面的讨论，每个
i
ΔD
都是可求面积的（ ni,,2,1 null= ） 。再分别以这些小区域的边界为准线，
作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面将原曲顶柱体分成 n个细小曲顶柱体。在每个
i
ΔD 上任取一点 ),(
ii
ηξ,那么以
i
ΔD 为底的小曲顶柱体的体积近似地等于
iii
f σηξ Δ),(,
这里
i
σΔ 表示
i
ΔD 的面积。于是，原曲顶柱体的体积近似地等于
∑
=
Δ
n
i
iii
f
1
),( σηξ 。
当所有的小区域
i
ΔD 的最大直径（记为 λ）趋于零时，这个近似值趋于原曲顶柱体的体积，即
∑
=
→
Δ=
n
i
iii
fV
1
0
),(lim σηξ
λ
。
这就是二重积分的概念。
定义 13.1.1 设 D为
2
R 上的零边界闭区域,函数 zfxy= (,)在 D上有界 。 将 D用曲线网分成 n 个小区域
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D（ 它称为 D的一个划分 ）,并记所有的小区域
i
ΔD 的最大直径为 λ，即
λ=
1
max{diam }
i
in≤≤
ΔD 。
在每个
i
ΔD 上任取一点 ),(
ii
ηξ,记
i
σΔ 为
i
ΔD 的面积,若 λ趋于零时,和式
∑
=
Δ
n
i
iii
f
1
),( σηξ
的极限存在,且与区域的分法和点 ),(
ii
ηξ 的取法无关,则称 fxy(,)在 D
上 可积,并称此极限为 fxy(,)在 D上的 二重积分,记为
(,)dfxy σ
∫∫
D
（ =
∑
=
→
Δ
n
i
iii
f
1
0
),(lim σηξ
λ
） 。
fxy(,)称为 被积函数,D称为 积分区域,x 和 y 称为 积分变量,dσ
称为 面积元素,(,)dfxy σ
∫∫
D
也称为 积分值 。
与一元的情况类似，设 M
i
和 m
i
分别为 fxy(,)在
i
ΔD 上的上确界与下确界，定义 Darboux 大和为
SM
ii
i
n
=
=
∑
Δσ
1；
Darboux 小和为
∑
=
Δ=
n
i
ii
ms
1
σ 。
则有以下性质,
性质 1 若在已有的划分上添加有限条曲线作进一步划分，则
Darboux 大和不增,Darboux 小和不减。
与一元的情况类似，设 M
i
和 m
i
分别为 fxy(,)在
i
ΔD 上的上确界与下确界，定义 Darboux 大和为
SM
ii
i
n
=
=
∑
Δσ
1；
Darboux 小和为
∑
=
Δ=
n
i
ii
ms
1
σ 。
则有以下性质,
性质 2 任何一个 Darboux 小和都不大于任何一个 Darboux 大和。
因此，若记 ISI s
*
*
inf{ },sup{ }==（这里上、下确界是对所有划分来取的）,则有
sI I S≤≤≤
*
*
。
性质 3 fxy(,)在 D 上可积的充分必要条件是,
lim( )
λ→
=
0
0Ss,
即
0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
σω
λ
。
这里 ω
i
= M
i
-m
i
是 fxy(,)在
i
ΔD 上的振幅。此时成立
00
lim lim (,)dsSfxy
λλ
σ
→→
==
∫∫
D
。
性质 2 任何一个 Darboux 小和都不大于任何一个 Darboux 大和。
因此，若记 ISI s
*
*
inf{ },sup{ }==（这里上、下确界是对所有划分来取的）,则有
sI I S≤≤≤
*
*
。
定理 13.1.2 若 fxy(,)在零边界闭区域 D上连续,那么它在 D上可积。
证 记 σ 为 D的面积。因为 fxy(,)在紧集 D上连续，所以它在 D上一致连续，于是对任意 ε ＞0，存在 δ ＞0，使得当
()()xx yy
12
2
12
2
+?<δ 时，成立
11 2 2
|(,) (,)|fxy fx y
ε
σ
< 。
因此对 D的任一划分
12
,,,
n
Δ ΔΔnullDD D，当所有
i
ΔD 的最大直径 λ δ< 时，
fxy(,)在每个
i
ΔD 上的振幅
i
ω 就小于
σ
ε
，于是成立
εσ
σ
ε
σ
σ
ε
σω =?=Δ<Δ
∑∑
==
n
i
n
i
iii
11
,
所以 0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
σω
λ
，即 fxy(,)在 D上可积。
多重积分
同
2
R 中定义面积一样，可以在
n
R (n ≥ 3)中定义体积的概念。定义
n
R 中的 n维闭矩形 ],[],[],[
2211 nn
bababa ××× null 的体积为
)(
11
ab? )(
22
ab? )(
nn
ab?null,
那么就可以将
2
R 上定义面积的叙述完全平移到
n
R (n ≥ 3)上来定义体积，并同样称边界体积为零的的有界区域为 零边界区域,而且可以 证明光滑曲面片的体积为零。
设?是
n
R (n ≥ 3)上的有界区域，其边界是一张或数张无重点的封闭曲面，那么同样可得,有界点集?是可求体积的充分必要条件为其边界的体积为零，即?为零边界区域 。
同
2
R 中的原理一样，引入 n重积分的概念,
定义 13.1.2 设?为
n
R 上的零边界闭区域,函数 )(xfu = 在?
上有界。 将?用曲面网分成 n个小区域 Δ?
1
,Δ?
2
,…,Δ?
n
（ 称为?
的一个划分）,记
i
VΔ 为 Δ?
i
的体积,并记所有的小区域 Δ?
i
的最 大直径为 λ。 在每个 Δ?
i
上任取一点
i
x,若 λ趋于零时,和式
∑
=
Δ
n
i
ii
Vf
1
)(x
的极限存在且与区域的分法和点
i
x 的取法无关,则称 )(xf 在? 上 可积,并称此极限为 )(xf 在有界闭区域?上的 n 重积分,记为
df V
∫
Ω
（=
0
1
lim ( )
n
ii
i
f V
λ→
=
Δ
∑
x ） 。
)(xf 称为被积函数,?称为 积分区域,x称为 积分变量,dV 称为 体积元素,df V
∫
Ω
也称为积分值 。
类似于二维情形可知,若 )(xf 在零边界闭区域?上连续,那么 它在?上可积。
注意 2=n 与 2>n 的重积分在定义上没有本质区别。 在记号上通 常采用如下记法,
在
2
R 中,fxy(,)在 D上的二重积分记为
(,)ddf xy xy
∫∫
D；
在
3
R 中,fxyz(,,)在?上的三重积分记为
(,,)dddf xyz xyz
∫∫∫
Ω
或 (,,)df xyz V
∫∫∫
Ω；
在
n
R 中,fxx x
n
(,,,)
12
null 在?上的 n重积分记为
12 12
(,,)dd d
nn
f xx x xx x
∫
nullnull
Ω
或
12 12
(,,,)dd d
nn
f xx x xx x
∫∫
nullnull null
Ω
。
例13.1.2 设?
3
R? 为具有分片光滑表面的物体,fxyz(,,)是?
在 (,,)x y z 处的密度。求物体?的重心 (,,)x y z 。
解 将?用分片光滑曲面分成小块 Δ?
1
,Δ?
2
,…,Δ?
n
，那么
iiii
Vf Δ),,( ζηξ 就近似地为 Δ?
i
的质量，这里
i
VΔ 为 Δ?
i
的体积,),,(
iii
ζηξ
为
Δ
i
上任一点。于是，
∑
=
Δ
n
n
iiii
Vf
1
),,( ζηξ 就近似地表示?的质量。以
λ表示所有 Δ?
i
的最大直径，则
的质量 =
∑
=
→
Δ
n
n
iiii
Vf
1
0
),,(lim ζηξ
λ
= (,,)dddf xyz xyz
∫∫∫
Ω
。
由物理学的知识可知，如果空间上有 n个质点，它们的质量分别为
n
mmm,,,
21
null,且相应地分别位于点 ),,(,),,,(),,,(
222111 nnn
zyxzyxzyx null
处，那么这个质点系的重心坐标为
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
===
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
1
1
1
1
1
1
,,。
当 λ充分小时，如果将 Δ?
i
看成质点，
iiii
Vf Δ),,( ζηξ 就近似地为
Δ?
i
的质量，其中 ),,(
iii
ζηξ 为 Δ?
i
上任一点。那么其重心坐标为
,
),,(
),,(
,
),,(
),,(
,
),,(
),,(
1
1
1
1
1
1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
Δ
Δ
≈
Δ
Δ
≈
Δ
Δ
≈
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
iiii
n
i
iiiii
Vf
Vf
z
Vf
Vf
y
Vf
Vf
x
ζηξ
ζηξζ
ζηξ
ζηξη
ζηξ
ζηξξ
因此当 λ趋于零就得到
(,,)ddd (,,)ddd (,,)ddd
,,
(,,)ddd (,,)ddd (,,)ddd
xf xyz xyz yf xyz xyz zf xyz xyz
xy
f xyz xyz f xyz xyz f xyz xyz
===
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩΩ
。
Peano 曲线
值得注意的是，一条平面曲线所绘出的图形的面积并不一定是零。 Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域
（如三角形和正方形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称为 Peano 曲线 。
以下我们给出一个将 ]1,0[ 区间映满平面上边长为 2/1 的正三角形的连续映射的大致构造,
设Δ为平面上边长为 2/1 的闭正三角形。
作连续映射 Δ→]1,0[:
1
f,使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图
13.1.4 所示；
图 13.1.4
Peano 曲线
值得注意的是，一条平面曲线所绘出的图形的面积并不一定是零。 Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域
（如三角形和正方形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称为 Peano 曲线 。
将Δ分为四个全等三角形，再作
Δ→]1,0[:
2
f,使得
2
f 在每个区间
+
4
1
,
4
ii
上的像分别完全落在一个小三角形
i
Δ
（ 3,2,1,0=i ）上，且
2
f 的像在小三角形
i
Δ 的部分恰如
1
f 的像，如图 13.1.5 所示；
继续将每个小三角形
i
Δ 分为四个更小的全等三角形,作连续映射
Δ→]1,0[:
3
f,使得在每个区间
+
4
1
,
4
ii
（ 3,2,1,0=i ）上的像分别完全落在一个小三角形
i
Δ 上，
3
f 在这个区间上的构造完全类似于
2
f 在 ]1,0[ 上的构造,而且
3
f 的像在更小的三角形的部分恰如
1
f 的像，如图 13.1.6 所示；
图 13.1.6
图 13.1.5
如此继续下去，将正三角形Δ等分为
1
4
n
个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 Δ→]1,0[:
n
f,使得从
1?n
f
到
n
f 的构造完全类似于从
2
f 到
3
f 的构造,且
n
f 的像在每个小三角形的部分恰如
1
f 的像。
这样就构造出一个连续映射序列 }{
n
f 。
如此继续下去，将正三角形Δ等分为
1
4
n
个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 Δ→]1,0[:
n
f,使得从
1?n
f
到
n
f 的构造完全类似于从
2
f 到
3
f 的构造,且
n
f 的像在每个小三角形的部分恰如
1
f 的像。
这样就构造出一个连续映射序列 }{
n
f 。
由序列 }{
n
f 的构造可知，若 nm ≤,则对于每个 ]1,0[∈t,可以找到边长为
m
2/1 的小三角形同时含有 )(t
m
f 和 )(t
n
f,因此在 ]1,0[ 上成立
m
nm
tt 2/1|)()(| ≤? ff 。
于是连续映射序列 }{
n
f 在 ]1,0[ 上一致收敛于一个连续映射 Δ→]1,0[:f,
且 f 满足
m
m
tt 2/1|)()(| ≤? ff,]1,0[∈t 。
现在证明 f 的像为整个Δ。
首先证明 Δ上每一点都是 f 的像集的聚点。 从 }{
n
f 的构造可知：
n
f
的像到Δ上任一点的距离不超过
n
2/1 。对于 Δ上任一点 a及 a的任一邻域 U,取 N 充分大，使得 UO
N
)2/1,(
1
a,并且取 ]1,0[
0
∈t,使得
N
N
t 2/1|)(|
0
≤? fa 。
因此
1
0000
| ()|| ()|| () ()| 1/2 1/2 1/2
NN N
NN
tttt
≤? +?≤+=af af f f,
所以 ∈)(
0
tf UO
N
)2/1,(
1
a,这说明 a是 f 的像集的聚点。
显然 Δ?])1,0([f 。由于 f 为连续映射，所以 ])1,0([f 为紧集，因此是闭集，所以 ])1,0([f 包含它的所有聚点，因此 Δ=])1,0([f,即 f 的像为整个Δ。
