无界区域上的反常重积分
设 D为平面
2
R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组成的。假设 D上的函数 fxy(,)具有下述性质：它在 D中有界的、可 求面积的子区域上可积。并假设所取的割线 Γ 为一条面积为零的曲线，
它将 D割出一个有界子区域，记为
Γ
D,并记
{ }
22
() inf |(,)dxyxyΓ Γ=+ ∈
为 Γ 到原点的距离。
图 13.4.1
§ 4 反常重积分
Γ
D
D
Γ
定义 13.4.1 若当 ()d Γ 趋于无穷大,即
Γ
D 趋于 D时,
(,)ddf x y x y
Γ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上 可积,并记
()
(,)dd lim (,)dd
d
f x y x yfx y x y
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫ ∫∫
DD
。
这个极限值称为 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称反常 二 重 积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛。 如果右端的极限不存在，就称这一反常二重积分 发散。
先考虑函数是非负的情况。
引理 13.4.1 设 fxy(,)为无界区域 D上的非负函数 。 如果 {}
n
Γ 是一列曲线,它们割出的 D的有界子区域 {}
n
D 满足
12 n
" "DD D,及 lim ( )
n
n
d Γ
→∞
=+∞,
则反常积分 (,)ddf xy xy
∫∫
D
在 D上收敛的充分必要条件是：数列
(,)dd
n
fxy xy
∫∫
D
收敛。且在收敛时成立
(,)ddfxy xy
∫∫
D
lim (,)d d
n
n
fxy xy
→∞
=
∫∫
D
。
证 必要性是显然的。下面证明充分性。
如果 (,)dd
n
f xy xy
∫∫
D
收敛，记 lim (,)d d
n
n
f xy xy I
→∞
=
∫∫
D
。现在证明
()
lim (,)d d
d
f xy xy I
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫
D
。
对于曲线 Γ，令 ()ρ Γ
{ }
22
sup | (,)xy xyΓ=+ ∈。由假设
lim ( )
n
n
d Γ
→∞
=+∞得知，当 n充分大时，成立 () ()
n
d Γ ρΓ>,因此由数列
(,)dd
n
f xy xy
∫∫
D
的单调增加性得到
(,)dd (,)dd
n
f xy xy f xy xy I
Γ
≤ ≤
∫∫ ∫∫
DD
。
另一方面，由于数列 (,)dd
n
f x y x y
∫∫
D
收敛于 I,对于任意正数 ε,
存在正整数 N,使得
(,)dd
N
fxy xy I ε>?
∫∫
D
。
因此当 () ( )
N
d ΓρΓ> 时，有
(,)dd (,)dd
N
I f x y x yfx y x y I
Γ
ε≥≥>?
∫∫ ∫∫
DD
。
此即
()
lim (,)d d
d
f x y x y I
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫
D
。
例 13.4.1 设
222
{(,) | }xy a x y=≤+<+∞D （ 0>a ）。记 rxy=+
22
，
fxy
r
p
p
(,) ( )=>
1
0
为定义在 D上的函数。证明积分 (,)ddf xy xy
∫∫
D
当 p > 2时收敛； 当 p ≤ 2时发散。
证 取
22 2
{(,) | } ( )xy x y a
ρ
Γρρ=+=>，它割出的 D的有界部分为
222 2
{(,)|}xy a x y
ρ
ρ=≤+≤D 。
利用极坐标变换得到
2π
11
0
(,)dd d d 2π d
pp
aa
f xy xy r r r r
ρρ
ρ
θ
==
∫∫ ∫ ∫ ∫
D
。
令 ρ趋于正无穷大，最后一个积分当 p > 2时收敛，当 p ≤ 2 时发散。由引理 13.4.1 即可得知所需的结论。
从以上推导可以看出，当 D为扇形区域
{}
,(,[0,2π])ar αθβ αβ≤<+∞ ≤≤ ∈
时，上述结论也成立。
定理 13.4.1 （ 比较判别法） 设 D为
2
R 上具有分段光 滑边界 的 无界区域,在 D上成立 0 ≤ ≤fxy gxy(,) (,)。 那么
（ 1） 当 (,)ddgxy xy
∫∫
D
收敛时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
也收敛 ；
（ 2） 当 (,)ddf xy xy
∫∫
D
发散时,(,)ddgxy xy
∫∫
D
也发散 。
证明从略。
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。
定理 13.4.2 设 D为
2
R 上具有分段光滑边界的无界区域,则
fxy(,)在 D上可积的充分必要条件是,|(,)|fxy在 D上可积 。
证 记
fxy
fxy fxy
fxy
+
=
≥
<
(,)
(,),(,),
,(,;
当当
0
00
及
fxy
fxy
fxy fxy
=
>
≤
(,)
,(,),
(,),(,) 0
当当 。
显然，这两个函数都是非负的，且不大于 |(,)|fxy。
因此,由比较判别法,若 |(,)|fxy在 D上可积,则 fxy
+
(,)和 fxy
(,)
均在 D上可积，于是
),(),(),( yxfyxfyxf
+
=
也在 D上可积。充分性得证。
下面证明必要性,用反证法。 设 fxy(,)在 D上可积,但 |(,)|fxy在 D
上不可积。由于
|(,)|fxy= fxy
+
(,)+ fxy
(,),
那么非负函数 fxy
+
(,)和 fxy
(,)中至少有一个在 D上不可积。不妨设
fxy
+
(,)在 D上不可积。由引理 13.4.1 知，对于任意大的正数 K,存在一条曲线 Γ,使得在它割出的 D的有界子区域
Γ
D 上成立
(,)ddf xy xy K
Γ
+
>
∫∫
D
。
因此由归纳法可知，存在一族曲线 {}
n
Γ,它们割出的 D的有界子区 域
{}
n
D 满足
12
lim ( )
nn
n
d Γ
→∞
=+∞ " "，及 。DD D
且成立
1
(,)dd 2 | (,)|dd ( 1,2,)
nn
fxyxy fxy xyn n
+
+
>+=
∫∫ ∫∫
"。
DD
因此
1
(,)dd | (,)|dd ( 1,2,)
nn n
fxyxy fxy xyn n
+
+
>+=
∫∫ ∫∫
"。
DD D
由于 fxy(,)在
1nn+
DD上可积，可知 fxy
+
(,)在
1nn+
DD上可积（ 见本章 §1 习题 4）,其 Darboux 小和收敛于它在
1nn+
DD上的积分。所以充分细分
1nn+
DD后,),( yxf
+
的 Darboux 小和
1
1
(,)dd 1 | (,)|dd 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn n
mfxyxyfxyxynnσ
+
=
+
Δ>?> +? =
∑
∫∫ ∫∫
"
DD D
，
其中
i
n
σΔ 为细分
1nn+
DD后所得小区域
i
n
σ 的面积（
n
Si,,2,1 "= ），
i
n
m 为
),( yxf
+
在小区域
i
n
σ 上的下确界。由上式知，存在许多
1nn+
DD上的小区域
i
n
σ,在它们上面成立 0>
i
n
m,记
n
P 为所有这样的小区域的并集。
那么
1
(,)dd | (,)|dd 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn
fxyxy m fxy xyn nσ
+
=
≥Δ> +? =
∑
∫∫ ∫∫
"
PD
。
(,) (,)dd (,)dd (,)dd (,)dd
| (,)|dd (,)dd 1 ( 1,2,)
nnnnn
nn
f x y dxdyfx y x yfx y x yfx y x yfx y x y
fxy xy f xy xy n n
+
+
=+=+
≥? + >? =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
"。
EDPDP
DP
问题是
nnn
=∪E DP不一定连通，这时可以用一些狭小的“走廊”将其连通后得到区域 Σ
n
，而且这些“走廊”的总面积能充分的小，使得
(,)dd 2 ( 1,2,)
n
fxy xy n n
Σ
>? =
∫∫
"。
这说明 fxy(,)在 D上不可积，与假设矛盾。
结合例 13.4.1、定理 13.4.1 和定理 13.4.2，立即得到
推论 13.4.1（ Cauchy 判别法） 设 D为用极坐标表示的区域
D={(,) |,,,[0,2π]}rarθ αθβαβ≤ <+∞ ≤ ≤ ∈ )0( >a,
其中 rxy=+
22
。 ),( yxf 为定义在 D上的函数。则
（1）如果存在正常数 M,使得在 D上成立
p
r
M
yxf ≤|),(|,则当 p > 2
时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
收敛；
（2）如果存在正常数 m,使得在 D上成立
p
r
m
yxf ≥|),(|,则当 2≤p
时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
发散；
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 13.4.3 设 fxy(,)在 [,) [,)ac= +∞ × +∞D 上连续,且
d(,)d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
和 d | (,)| d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
都存在,则 fxy(,)在 D上可积,
而且
[,][,]
(,)dd d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x yy
+∞ +∞
+∞ × +∞
=
∫∫ ∫ ∫
。
关于反常二重积分的变量代换，同样有下述定理,
定理 13.4.4 设一一对应映射,()TT→DD
=
=
),(
),,(
vuyy
vuxx
具有连续导数，且 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
在 D上不等于零。 则变 量代 换公式
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
依然成立,并且等式某一边的积分收敛可以推出另一个积分收敛 。
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 13.4.3 设 fxy(,)在 [,) [,)ac= +∞ × +∞D 上连续,且
d(,)d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
和 d | (,)| d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
都存在,则 fxy(,)在 D上可积,
而且
[,][,]
(,)dd d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x yy
+∞ +∞
+∞ × +∞
=
∫∫ ∫ ∫
。
注 在高维情形，只要将“曲线”换为“曲面”,即可类似定义反常积分，并得到与定理 13.4.1—定理 13.4.4 相同的结论，这里不再展开了（注意：例 13.4.1 和推论 13.4.1 中的,p > 2,和,p ≤ 2,
要分别换为,pn>,和,pn≤,）。
例 13.4.2 计算
()
0
edd
xy
xy
xy
+
≤≤
∫∫
解 由于被积函数是正的，因此
() ()
00
eddlim edd
xy xy
R
xy xyR
xy xy
+?+
→+∞
≤≤ ≤≤≤
=
∫∫ ∫∫
()
()
222
0
lim d e d lim e e d
11
lim e e d lim (1 e ) e e
22
RRR R
xy x y
x x
R
xxR R RR
RR
xy
x
+
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
==
=?= +=
∫∫ ∫
∫
。
事实上，上例可以直接用化累次积分方法来计算,
() () 2
000
0
1
edd ded ee d ed
2
xy xy x y x
x x
xy
xy x y x x
+∞+∞ +∞ +∞ +∞
+?+
≤≤
= =? = =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
。
图13.4.2
y x=
x
y
O
例 13.4.3 计算
22
()
2
edd
xy
x y
+
∫∫
R
，并求
2
0
ed
x
x
+∞
∫
。
解 利用极坐标变换 xr yr= =cos,sinθ θ,
2
R 就变换为
{(,) | 0,0 2π }rrθ θ= ≤<+∞ ≤≤D 。
因此利用变量代换法得
2π
22 2 2 2
()
00 0
2
edded ded2π ed π
xy r r r
xy r rr rrθθ
+∞ +∞
+
= ===
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
R
D
。
又由于 ),(),(
2
∞+?∞×∞+?∞=R,所以利用化累次积分法得
( )
2
22 22 2 2 2
() ()
2
π edddededed ed
xy xy x y x
xy x y x y x
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
+?+
∞?∞?∞?∞?∞
== = =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
R
。
因此
2
ed π
x
x
+∞
∞
=
∫
。
所以
2
0
π
ed
2
x
x
+∞
=
∫
。
此积分叫 Possion 积分,在概率统计等领域中有着重要应用。
无界函数的反常重积分
设 D为
2
R 上的有界区域，点 P
0
∈D,fxy(,)在
0
\{}PD 上有定义，
但在点 P
0
的任何去心邻域内无界。这时 P
0
称为 f 的 奇点。
设 γ为内部含有 P
0
的、面积为零的闭曲线，记 σ 为它所包围的区域。并设二重积分
\
(,)ddf x y x y
σ
∫∫
D
总是存在。
定义 13.4.2 设 )(γρ }||sup{|
0
γ∈?= PPP 。若 )(γρ 趋于零时，
\
(,)ddf xy xy
σ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上可积,并记
() 0
\
(,)dd lim (,)ddf x y x yfx y x y
ργ
σ
→
=
∫∫ ∫∫
DD
,
这个极限值称为无界函数 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛 。 如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积分发散 。
如果函数 ),( yxf 在区域 D上有奇线
0
Γ,即 ),( yxf 在
0
\ΓD 上有定义，但在任何包含曲线
0
Γ 的区域上无界。同定义 13.4.2 一样可以 定义 fxy(,)在 D上的反常二重积分。
定义 13.4.2 设 )(γρ }||sup{|
0
γ∈?= PPP 。若 )(γρ 趋于零时，
\
(,)ddf xy xy
σ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上可积,并记
() 0
\
(,)dd lim (,)ddf x y x yfx y x y
ργ
σ
→
=
∫∫ ∫∫
DD
,
这个极限值称为无界函数 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛 。 如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积分发散 。
例 13.4.4 设
222
{(,)|}(0)xy x y a a= +≤ >D 。记 rxy=+
22
,
fxy
r
rp
p
(,),( )=≠>
1
00
为定义在 \{(0,0)}D 上的函数。 证明 (,)ddf xy xy
∫∫
D
当 p < 2 时收敛； 当 p ≥ 2
时发散。
证 取 )0(}|),{(
222
ayxyx ≤<=+= ρργ
ρ
，它所围的区域为
22 2
{(,) | }xy x y
ρ
ρ=+D 。
利用极坐标变换得到
2π
11
0
\
(,)dd d d 2π d
aa
pp
f x y x y rr rr
ρρ
ρ
θ
==
∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
令 ρ 趋于零，可知积分当 p < 2 时收敛，当 p ≥ 2 时发散。
例 13.4.5 判断反常重积分
3
dd
()
xy
x y
xy
+
∫∫
D
的敛散性，其中 {(,) | 0 1,0 1}xy x y= ≤≤ ≤≤D 。
解 显然 )0,0( 点是被积函数
3
)( yx
yx
+
的奇点。记
,ε δ
D }0,0|),{( δε ≤≤≤≤= yxyx 。
则
,
3
\
dd
()
xy
x y
xy
εδ
+
∫∫
DD
33
01
101
dd dd
() ()
xx
yy
xy xy
x yx
xy xy
εε
δ
≤≤ ≤≤
≤≤ ≤≤
=+
++
∫∫ ∫∫
111
33
00
dddd
() ()
xy xy
xyx y
xy xy
ε
δε
=+
++
∫∫ ∫∫
1
32 32
21 21
d
()() ()()
xx
x y
xy xy xy xy
ε
=?+?
++ ++
∫∫ ∫∫
.
2
1
+
=
δε
δ
由于当 +→+→ 0,0 δε 时，
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
εδ
+
∫∫
DD
无极限，所以反常积分
3
dd
()
xy
xy
xy
+
∫∫
D
发散。
1
,ε δ
D
,
\
ε δ
DD
y
x
ε
δ
1
O
同无界区域的情形一样，比较判别法和 Cauchy 判别法也对无界函数的反常积分成立；此时可积与绝对可积也是等价的；计算方法也可以化累次积分和采用变量代换。
无界函数的反常积分的概念也可以推广到高维空间去。
例 13.4.6 计算
22
ddxy
xy+
∫∫
D
,其中
22
{(,)|}xy x y x=+≤D 。
y
xyx
22
+=
O 1 x
解 利用极坐标变换,D就对应于
1
ππ
{(,)|,0 cos }
22
rrθ θθ=?≤≤D,
因此
ππ
cos
22
22 0
1
dd
dd d d cos d 2
xy
rr
xy
θ
θθ θθ
= ===
+
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
例 13.4.7 计算
2232
dd
()
xy
xy
xy+
∫∫
D
,
其中 {(,) | 0 1,0 1}xy x y= ≤≤ ≤≤D 。
解
11 1
2232 2232
200 0
dd d d 1 d 2 2
() ()
1
xy xy x
xy x y x
xy xy
x
==?=?
++
+
∫∫ ∫ ∫ ∫
。
D
例 13.4.8 计算
1
20
arctan
d
1
x
Ix
xx
=
∫
。
解 由
1
22
0
arctan d
1
xy
x x y
=
+
∫
得到
11
22 200
d
d
(1 ) 1
y
Ix
x yx
=
+?
∫∫
。
利用反常重积分
22 2
[0,1] [0,1]
1
dd
(1 ) 1
xy
xy x
×
+?
∫∫
与累次积分的关系，得到
11
22 2 22 200
[0,1] [0,1]
11
22 200
ddd
d
(1 )1 (1 )1
d
d.
(1 ) 1
yxy
Ix
x yx xyx
x
y
xy x
×
==
+? +?
=
+?
∫∫ ∫
∫∫
对于积分
1
22 20
d
(1 ) 1
x
xy x+?
∫
，作变量代换 θcos=x,
π
2π
1
2
22
22 2 2 2 200
0
dd1tanπ 1
arctan
1cos 2
(1 ) 1 1 1 1
x
y
x yx y y y
θθ
θ
== =
+
++ +?+
∫∫
。
于是
1
20
π 1 π
dln(12)
22
1
Iy
y
==+
+
∫
。
例 13.4.9 计算
222
ddd
1
xyz
xyz
∫∫∫
Ω
,
其中? }1|),,{(
222
≤++= zyxzyx 。
解 利用球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===,
这时?对应于?
1
{(,,) | 0 1,0 2π,0 π }rr? θθ= ≤≤ ≤≤ ≤≤,因此
2
222 2
1
2
2ππ 1
2
200 0
ddd sin
dd d
11
dsind dπ
1
xyz r
r
xyz r
r
r
r
θ
θ
=
==
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
例 13.4.9 还可以推广到高维的情况。当 2≥n 时,
12
22 2
22 2
121
12
dd d
1
n
nxx x
n
xx x
I
x xx
+++≤
=
∫
"
"
"
22 2
1
12 1
12 1
22 2
22 2
22 2
121
1
12 1
12 1
d
dd d
1
xx x
n
n
n
nxx x
xx x
n
n
x
xx x
x xx
+++ ≤
=
∫∫
"
"
"
"
"
12 1
22 2
1
12 1
π dd d
n
xx x
n
xx x
+++ ≤
=
∫
"
"
1
1
π,21,
!
2
π,2.
(2 1)!!
m
m
m
nm
m
nm
m
+
=+
=
=
这里利用了
22
d
π
a
a
u
au
=
∫
和上节例 13.3.11 的结果。
设 D为平面
2
R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组成的。假设 D上的函数 fxy(,)具有下述性质：它在 D中有界的、可 求面积的子区域上可积。并假设所取的割线 Γ 为一条面积为零的曲线，
它将 D割出一个有界子区域，记为
Γ
D,并记
{ }
22
() inf |(,)dxyxyΓ Γ=+ ∈
为 Γ 到原点的距离。
图 13.4.1
§ 4 反常重积分
Γ
D
D
Γ
定义 13.4.1 若当 ()d Γ 趋于无穷大,即
Γ
D 趋于 D时,
(,)ddf x y x y
Γ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上 可积,并记
()
(,)dd lim (,)dd
d
f x y x yfx y x y
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫ ∫∫
DD
。
这个极限值称为 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称反常 二 重 积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛。 如果右端的极限不存在，就称这一反常二重积分 发散。
先考虑函数是非负的情况。
引理 13.4.1 设 fxy(,)为无界区域 D上的非负函数 。 如果 {}
n
Γ 是一列曲线,它们割出的 D的有界子区域 {}
n
D 满足
12 n
" "DD D,及 lim ( )
n
n
d Γ
→∞
=+∞,
则反常积分 (,)ddf xy xy
∫∫
D
在 D上收敛的充分必要条件是：数列
(,)dd
n
fxy xy
∫∫
D
收敛。且在收敛时成立
(,)ddfxy xy
∫∫
D
lim (,)d d
n
n
fxy xy
→∞
=
∫∫
D
。
证 必要性是显然的。下面证明充分性。
如果 (,)dd
n
f xy xy
∫∫
D
收敛，记 lim (,)d d
n
n
f xy xy I
→∞
=
∫∫
D
。现在证明
()
lim (,)d d
d
f xy xy I
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫
D
。
对于曲线 Γ，令 ()ρ Γ
{ }
22
sup | (,)xy xyΓ=+ ∈。由假设
lim ( )
n
n
d Γ
→∞
=+∞得知，当 n充分大时，成立 () ()
n
d Γ ρΓ>,因此由数列
(,)dd
n
f xy xy
∫∫
D
的单调增加性得到
(,)dd (,)dd
n
f xy xy f xy xy I
Γ
≤ ≤
∫∫ ∫∫
DD
。
另一方面，由于数列 (,)dd
n
f x y x y
∫∫
D
收敛于 I,对于任意正数 ε,
存在正整数 N,使得
(,)dd
N
fxy xy I ε>?
∫∫
D
。
因此当 () ( )
N
d ΓρΓ> 时，有
(,)dd (,)dd
N
I f x y x yfx y x y I
Γ
ε≥≥>?
∫∫ ∫∫
DD
。
此即
()
lim (,)d d
d
f x y x y I
Γ
Γ
→+∞
=
∫∫
D
。
例 13.4.1 设
222
{(,) | }xy a x y=≤+<+∞D （ 0>a ）。记 rxy=+
22
，
fxy
r
p
p
(,) ( )=>
1
0
为定义在 D上的函数。证明积分 (,)ddf xy xy
∫∫
D
当 p > 2时收敛； 当 p ≤ 2时发散。
证 取
22 2
{(,) | } ( )xy x y a
ρ
Γρρ=+=>，它割出的 D的有界部分为
222 2
{(,)|}xy a x y
ρ
ρ=≤+≤D 。
利用极坐标变换得到
2π
11
0
(,)dd d d 2π d
pp
aa
f xy xy r r r r
ρρ
ρ
θ
==
∫∫ ∫ ∫ ∫
D
。
令 ρ趋于正无穷大，最后一个积分当 p > 2时收敛，当 p ≤ 2 时发散。由引理 13.4.1 即可得知所需的结论。
从以上推导可以看出，当 D为扇形区域
{}
,(,[0,2π])ar αθβ αβ≤<+∞ ≤≤ ∈
时，上述结论也成立。
定理 13.4.1 （ 比较判别法） 设 D为
2
R 上具有分段光 滑边界 的 无界区域,在 D上成立 0 ≤ ≤fxy gxy(,) (,)。 那么
（ 1） 当 (,)ddgxy xy
∫∫
D
收敛时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
也收敛 ；
（ 2） 当 (,)ddf xy xy
∫∫
D
发散时,(,)ddgxy xy
∫∫
D
也发散 。
证明从略。
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。
定理 13.4.2 设 D为
2
R 上具有分段光滑边界的无界区域,则
fxy(,)在 D上可积的充分必要条件是,|(,)|fxy在 D上可积 。
证 记
fxy
fxy fxy
fxy
+
=
≥
<
(,)
(,),(,),
,(,;
当当
0
00
及
fxy
fxy
fxy fxy
=
>
≤
(,)
,(,),
(,),(,) 0
当当 。
显然，这两个函数都是非负的，且不大于 |(,)|fxy。
因此,由比较判别法,若 |(,)|fxy在 D上可积,则 fxy
+
(,)和 fxy
(,)
均在 D上可积，于是
),(),(),( yxfyxfyxf
+
=
也在 D上可积。充分性得证。
下面证明必要性,用反证法。 设 fxy(,)在 D上可积,但 |(,)|fxy在 D
上不可积。由于
|(,)|fxy= fxy
+
(,)+ fxy
(,),
那么非负函数 fxy
+
(,)和 fxy
(,)中至少有一个在 D上不可积。不妨设
fxy
+
(,)在 D上不可积。由引理 13.4.1 知，对于任意大的正数 K,存在一条曲线 Γ,使得在它割出的 D的有界子区域
Γ
D 上成立
(,)ddf xy xy K
Γ
+
>
∫∫
D
。
因此由归纳法可知，存在一族曲线 {}
n
Γ,它们割出的 D的有界子区 域
{}
n
D 满足
12
lim ( )
nn
n
d Γ
→∞
=+∞ " "，及 。DD D
且成立
1
(,)dd 2 | (,)|dd ( 1,2,)
nn
fxyxy fxy xyn n
+
+
>+=
∫∫ ∫∫
"。
DD
因此
1
(,)dd | (,)|dd ( 1,2,)
nn n
fxyxy fxy xyn n
+
+
>+=
∫∫ ∫∫
"。
DD D
由于 fxy(,)在
1nn+
DD上可积，可知 fxy
+
(,)在
1nn+
DD上可积（ 见本章 §1 习题 4）,其 Darboux 小和收敛于它在
1nn+
DD上的积分。所以充分细分
1nn+
DD后,),( yxf
+
的 Darboux 小和
1
1
(,)dd 1 | (,)|dd 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn n
mfxyxyfxyxynnσ
+
=
+
Δ>?> +? =
∑
∫∫ ∫∫
"
DD D
，
其中
i
n
σΔ 为细分
1nn+
DD后所得小区域
i
n
σ 的面积（
n
Si,,2,1 "= ），
i
n
m 为
),( yxf
+
在小区域
i
n
σ 上的下确界。由上式知，存在许多
1nn+
DD上的小区域
i
n
σ,在它们上面成立 0>
i
n
m,记
n
P 为所有这样的小区域的并集。
那么
1
(,)dd | (,)|dd 1 ( 1,2,)
n
S
ii
nn
i
nn
fxyxy m fxy xyn nσ
+
=
≥Δ> +? =
∑
∫∫ ∫∫
"
PD
。
(,) (,)dd (,)dd (,)dd (,)dd
| (,)|dd (,)dd 1 ( 1,2,)
nnnnn
nn
f x y dxdyfx y x yfx y x yfx y x yfx y x y
fxy xy f xy xy n n
+
+
=+=+
≥? + >? =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
"。
EDPDP
DP
问题是
nnn
=∪E DP不一定连通，这时可以用一些狭小的“走廊”将其连通后得到区域 Σ
n
，而且这些“走廊”的总面积能充分的小，使得
(,)dd 2 ( 1,2,)
n
fxy xy n n
Σ
>? =
∫∫
"。
这说明 fxy(,)在 D上不可积，与假设矛盾。
结合例 13.4.1、定理 13.4.1 和定理 13.4.2，立即得到
推论 13.4.1（ Cauchy 判别法） 设 D为用极坐标表示的区域
D={(,) |,,,[0,2π]}rarθ αθβαβ≤ <+∞ ≤ ≤ ∈ )0( >a,
其中 rxy=+
22
。 ),( yxf 为定义在 D上的函数。则
（1）如果存在正常数 M,使得在 D上成立
p
r
M
yxf ≤|),(|,则当 p > 2
时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
收敛；
（2）如果存在正常数 m,使得在 D上成立
p
r
m
yxf ≥|),(|,则当 2≤p
时,(,)ddf xy xy
∫∫
D
发散；
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 13.4.3 设 fxy(,)在 [,) [,)ac= +∞ × +∞D 上连续,且
d(,)d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
和 d | (,)| d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
都存在,则 fxy(,)在 D上可积,
而且
[,][,]
(,)dd d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x yy
+∞ +∞
+∞ × +∞
=
∫∫ ∫ ∫
。
关于反常二重积分的变量代换，同样有下述定理,
定理 13.4.4 设一一对应映射,()TT→DD
=
=
),(
),,(
vuyy
vuxx
具有连续导数，且 Jacobi 行列式
),(
),(
vu
yx
在 D上不等于零。 则变 量代 换公式
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
依然成立,并且等式某一边的积分收敛可以推出另一个积分收敛 。
关于反常二重积分的计算，同样可以采用化累次积分的方法,
定理 13.4.3 设 fxy(,)在 [,) [,)ac= +∞ × +∞D 上连续,且
d(,)d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
和 d | (,)| d
ac
xfx yy
+∞ +∞
∫∫
都存在,则 fxy(,)在 D上可积,
而且
[,][,]
(,)dd d (,)d
ac
ac
f x y x y x f x yy
+∞ +∞
+∞ × +∞
=
∫∫ ∫ ∫
。
注 在高维情形，只要将“曲线”换为“曲面”,即可类似定义反常积分，并得到与定理 13.4.1—定理 13.4.4 相同的结论，这里不再展开了（注意：例 13.4.1 和推论 13.4.1 中的,p > 2,和,p ≤ 2,
要分别换为,pn>,和,pn≤,）。
例 13.4.2 计算
()
0
edd
xy
xy
xy
+
≤≤
∫∫
解 由于被积函数是正的，因此
() ()
00
eddlim edd
xy xy
R
xy xyR
xy xy
+?+
→+∞
≤≤ ≤≤≤
=
∫∫ ∫∫
()
()
222
0
lim d e d lim e e d
11
lim e e d lim (1 e ) e e
22
RRR R
xy x y
x x
R
xxR R RR
RR
xy
x
+
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
==
=?= +=
∫∫ ∫
∫
。
事实上，上例可以直接用化累次积分方法来计算,
() () 2
000
0
1
edd ded ee d ed
2
xy xy x y x
x x
xy
xy x y x x
+∞+∞ +∞ +∞ +∞
+?+
≤≤
= =? = =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
。
图13.4.2
y x=
x
y
O
例 13.4.3 计算
22
()
2
edd
xy
x y
+
∫∫
R
，并求
2
0
ed
x
x
+∞
∫
。
解 利用极坐标变换 xr yr= =cos,sinθ θ,
2
R 就变换为
{(,) | 0,0 2π }rrθ θ= ≤<+∞ ≤≤D 。
因此利用变量代换法得
2π
22 2 2 2
()
00 0
2
edded ded2π ed π
xy r r r
xy r rr rrθθ
+∞ +∞
+
= ===
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
R
D
。
又由于 ),(),(
2
∞+?∞×∞+?∞=R,所以利用化累次积分法得
( )
2
22 22 2 2 2
() ()
2
π edddededed ed
xy xy x y x
xy x y x y x
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
+?+
∞?∞?∞?∞?∞
== = =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
R
。
因此
2
ed π
x
x
+∞
∞
=
∫
。
所以
2
0
π
ed
2
x
x
+∞
=
∫
。
此积分叫 Possion 积分,在概率统计等领域中有着重要应用。
无界函数的反常重积分
设 D为
2
R 上的有界区域，点 P
0
∈D,fxy(,)在
0
\{}PD 上有定义，
但在点 P
0
的任何去心邻域内无界。这时 P
0
称为 f 的 奇点。
设 γ为内部含有 P
0
的、面积为零的闭曲线，记 σ 为它所包围的区域。并设二重积分
\
(,)ddf x y x y
σ
∫∫
D
总是存在。
定义 13.4.2 设 )(γρ }||sup{|
0
γ∈?= PPP 。若 )(γρ 趋于零时，
\
(,)ddf xy xy
σ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上可积,并记
() 0
\
(,)dd lim (,)ddf x y x yfx y x y
ργ
σ
→
=
∫∫ ∫∫
DD
,
这个极限值称为无界函数 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛 。 如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积分发散 。
如果函数 ),( yxf 在区域 D上有奇线
0
Γ,即 ),( yxf 在
0
\ΓD 上有定义，但在任何包含曲线
0
Γ 的区域上无界。同定义 13.4.2 一样可以 定义 fxy(,)在 D上的反常二重积分。
定义 13.4.2 设 )(γρ }||sup{|
0
γ∈?= PPP 。若 )(γρ 趋于零时，
\
(,)ddf xy xy
σ
∫∫
D
的极限存在,就称 fxy(,)在 D上可积,并记
() 0
\
(,)dd lim (,)ddf x y x yfx y x y
ργ
σ
→
=
∫∫ ∫∫
DD
,
这个极限值称为无界函数 fxy(,)在 D上的反常二重积分,这时也称无界函数的反常二重积分 (,)ddf x y x y
∫∫
D
收敛 。 如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积分发散 。
例 13.4.4 设
222
{(,)|}(0)xy x y a a= +≤ >D 。记 rxy=+
22
,
fxy
r
rp
p
(,),( )=≠>
1
00
为定义在 \{(0,0)}D 上的函数。 证明 (,)ddf xy xy
∫∫
D
当 p < 2 时收敛； 当 p ≥ 2
时发散。
证 取 )0(}|),{(
222
ayxyx ≤<=+= ρργ
ρ
，它所围的区域为
22 2
{(,) | }xy x y
ρ
ρ=+D 。
利用极坐标变换得到
2π
11
0
\
(,)dd d d 2π d
aa
pp
f x y x y rr rr
ρρ
ρ
θ
==
∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
令 ρ 趋于零，可知积分当 p < 2 时收敛，当 p ≥ 2 时发散。
例 13.4.5 判断反常重积分
3
dd
()
xy
x y
xy
+
∫∫
D
的敛散性，其中 {(,) | 0 1,0 1}xy x y= ≤≤ ≤≤D 。
解 显然 )0,0( 点是被积函数
3
)( yx
yx
+
的奇点。记
,ε δ
D }0,0|),{( δε ≤≤≤≤= yxyx 。
则
,
3
\
dd
()
xy
x y
xy
εδ
+
∫∫
DD
33
01
101
dd dd
() ()
xx
yy
xy xy
x yx
xy xy
εε
δ
≤≤ ≤≤
≤≤ ≤≤
=+
++
∫∫ ∫∫
111
33
00
dddd
() ()
xy xy
xyx y
xy xy
ε
δε
=+
++
∫∫ ∫∫
1
32 32
21 21
d
()() ()()
xx
x y
xy xy xy xy
ε
=?+?
++ ++
∫∫ ∫∫
.
2
1
+
=
δε
δ
由于当 +→+→ 0,0 δε 时，
,
3
\
dd
()
xy
xy
xy
εδ
+
∫∫
DD
无极限，所以反常积分
3
dd
()
xy
xy
xy
+
∫∫
D
发散。
1
,ε δ
D
,
\
ε δ
DD
y
x
ε
δ
1
O
同无界区域的情形一样，比较判别法和 Cauchy 判别法也对无界函数的反常积分成立；此时可积与绝对可积也是等价的；计算方法也可以化累次积分和采用变量代换。
无界函数的反常积分的概念也可以推广到高维空间去。
例 13.4.6 计算
22
ddxy
xy+
∫∫
D
,其中
22
{(,)|}xy x y x=+≤D 。
y
xyx
22
+=
O 1 x
解 利用极坐标变换,D就对应于
1
ππ
{(,)|,0 cos }
22
rrθ θθ=?≤≤D,
因此
ππ
cos
22
22 0
1
dd
dd d d cos d 2
xy
rr
xy
θ
θθ θθ
= ===
+
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
例 13.4.7 计算
2232
dd
()
xy
xy
xy+
∫∫
D
,
其中 {(,) | 0 1,0 1}xy x y= ≤≤ ≤≤D 。
解
11 1
2232 2232
200 0
dd d d 1 d 2 2
() ()
1
xy xy x
xy x y x
xy xy
x
==?=?
++
+
∫∫ ∫ ∫ ∫
。
D
例 13.4.8 计算
1
20
arctan
d
1
x
Ix
xx
=
∫
。
解 由
1
22
0
arctan d
1
xy
x x y
=
+
∫
得到
11
22 200
d
d
(1 ) 1
y
Ix
x yx
=
+?
∫∫
。
利用反常重积分
22 2
[0,1] [0,1]
1
dd
(1 ) 1
xy
xy x
×
+?
∫∫
与累次积分的关系，得到
11
22 2 22 200
[0,1] [0,1]
11
22 200
ddd
d
(1 )1 (1 )1
d
d.
(1 ) 1
yxy
Ix
x yx xyx
x
y
xy x
×
==
+? +?
=
+?
∫∫ ∫
∫∫
对于积分
1
22 20
d
(1 ) 1
x
xy x+?
∫
，作变量代换 θcos=x,
π
2π
1
2
22
22 2 2 2 200
0
dd1tanπ 1
arctan
1cos 2
(1 ) 1 1 1 1
x
y
x yx y y y
θθ
θ
== =
+
++ +?+
∫∫
。
于是
1
20
π 1 π
dln(12)
22
1
Iy
y
==+
+
∫
。
例 13.4.9 计算
222
ddd
1
xyz
xyz
∫∫∫
Ω
,
其中? }1|),,{(
222
≤++= zyxzyx 。
解 利用球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===,
这时?对应于?
1
{(,,) | 0 1,0 2π,0 π }rr? θθ= ≤≤ ≤≤ ≤≤,因此
2
222 2
1
2
2ππ 1
2
200 0
ddd sin
dd d
11
dsind dπ
1
xyz r
r
xyz r
r
r
r
θ
θ
=
==
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
例 13.4.9 还可以推广到高维的情况。当 2≥n 时,
12
22 2
22 2
121
12
dd d
1
n
nxx x
n
xx x
I
x xx
+++≤
=
∫
"
"
"
22 2
1
12 1
12 1
22 2
22 2
22 2
121
1
12 1
12 1
d
dd d
1
xx x
n
n
n
nxx x
xx x
n
n
x
xx x
x xx
+++ ≤
=
∫∫
"
"
"
"
"
12 1
22 2
1
12 1
π dd d
n
xx x
n
xx x
+++ ≤
=
∫
"
"
1
1
π,21,
!
2
π,2.
(2 1)!!
m
m
m
nm
m
nm
m
+
=+
=
=
这里利用了
22
d
π
a
a
u
au
=
∫
和上节例 13.3.11 的结果。
