重积分的性质
性质 1（线性性） 设 f 和 g 都在区域? 上可积,βα,为常数,则
gf βα + 在?上也可积,并且
()df gVαβ+
∫
Ω
α= df V
∫
Ω
+β dgV
∫
Ω
。
性质 2（区域可加性） 设区域? 被分成两个 内点不 相 交的区域
1
和?
2
,如果 f 在? 上可积，则 f 在?
1
和?
2
上都可积 ； 反之,如果 f 在?
1
和?
2
上可积，则 f 也在?上可积。此时成立
df V
∫
Ω
1
df V=
∫
Ω
+
2
df V
∫
Ω
。
§ 2 重积分的性质与计算性质 3 设被积函数 f ≡ 1。 当 2=n 时
ddxy
∫∫
Ω
1d dxy= =
∫∫
Ω
的面积；
当 3≥n 时
dV
∫
Ω
1dV= =
∫
Ω
的体积 。
性质 4 （保序性） 设 f 和 g 都在区域?上可积,且满足 f ≤ g,
则成立不等式
df V ≤
∫
Ω
dgV
∫
Ω
。
性质 5 设 f 在区域? 上可积,M 与 m分别为 f 在? 上的上确界和下确界,则成立不等式
m V df V≤ ≤
∫
Ω
M V,
其中 V 当 2=n 时为?的面积,当 2>n 时为?的体积。
性质 5 是性质 4 的直接推论。
性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域?上可积,则 || f 也在?上可积,且成立不等式
| df V
∫
Ω
| ||df≤
∫
Ω
Ω 。
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域?上可积,则 fg? 也在?上可积。
性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域?上可积,且 g 在?
上不变号。设 M 与 m分别为 f 在?上的上确界和下确界,则存 在常数
μ ],[ Mm∈,使得
df gV? =
∫
Ω
μ dgV
∫
Ω
。
特别地,如果 f 在?上连续,则存在 ∈ξ?,使得
df gV? =
∫
Ω
)(ξf dgV
∫
Ω
。
矩形区域上的重积分计算
设 [,] [,]ab cd=×D 是
2
R 上的闭矩形,zfxy= (,)是 D上的非负连续函数，则以 D为底,曲面 zfxy= (,)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重 积分
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
用过 )0,0,(x )( bxa ≤≤ 点，且与
yz 平面平行的平面截这个曲顶柱体，所得的截面是曲边梯形（见图
13.2.1）,其面积为
∫
=
d
c
yyxfxA d),()( 。
a bxx
y
z
z = f (x,y)
O
A(x)
图13.2.1
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为
∫
=
b
a
xxAV d)(
∫∫
=
b
a
d
c
xyyxf dd),( 。
∫∫
b
a
d
c
xyyxf dd),( 称为 fxy(,)先对 y,再对 x 的 累次积分,习惯上写 成
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d,因此有等式
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d 。
这个几何方法提示我们,重积分可以通过累次积分来计算 。
定理 13.2.1 设二元函数 ),( yxf 在闭矩形 [,][,]ab cd= ×D 上可积 。
若积分
=)(xh
∫
d
c
yyxf d),(
对于每个 ],[ bax∈ 存在,则 )(xh 在 ],[ ba 上可积,并有等式
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫
b
a
xxh d)(
∫∫
=
b
a
d
c
xyyxf dd),( =
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d 。
证 在 [,]ab中插入分点
ax x x b
n
= < < < =
01
",
并记
1?
=Δ
iii
xxx （ ni,,2,1 "= ） 。显然只要证明
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
xh
1
0
)(lim ξ
λ
(,)d dfxy x y
∫∫
D
,
这里
i
ξ 为 ],[
1 ii
xx
中任意一点,λ为所有 Δx
i
的最大者。
再在 ],[ dc 中插入分点
dyyyc
m
=<<<= "
10
,
并记
1?
=Δ
jjj
yyy （ mj,,2,1 "= ） 。过 ],[ ba 和 ],[ dc 上的这些分点分别作平行于坐标轴的直线将 D分成许多小矩形（这是 D的一个划分），记
11
[,][,]
ij i i j j
x x yy
= ×D,mjni,,2,1;,,2,1 " " == ；
(,)
inf { (,)}
ij
xy
ij
m f x y
∈
=
D
，
(,)
sup { (,)}
ij
xy
ij
Mfx y
∈
=
D
。
由于 ],[
1 iii
xx
∈ξ,所以
∑∑
∫
∑
===
Δ≤=≤Δ
m
j
jij
m
j
y
y
ii
m
j
jij
yMyyfhym
j
j
111
1
d),()( ξξ,ni,,2,1 "= 。
将这些不等式分别乘以 Δx
i
，再把它们逐个加起来就得
∑∑∑∑∑
=====
ΔΔ≤Δ≤ΔΔ
n
i
m
j
jiij
n
i
ii
n
i
m
j
jiij
yxMxhyxm
11111
)(ξ 。
不等式的左右两端正是 ),( yxf 在所作划分上的 Darboux 小和与 大和，由于 ),( yxf 在 D上可积，当所有
ji
yx ΔΔ,都趋于零时，这个不等 式两端都趋于
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
由极限的夹逼性，即得到
∫
b
a
xxh d)( = =Δ
∑
=
→
n
i
ii
xh
1
0
)(lim ξ
λ
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
可以同样推出，若 fxy(,)在 [,] [,]ab cd= ×D 上可积，且对所有
ycd∈[,]，积分
∫
b
a
xyxf d),( 都存在，则 fxy(,)先对 x,再对 y 的累次积 分
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 。
特别地有,设一元函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上可积,)(yg 在闭区间
],[ dc 上可积。则成立
∫∫
× ],[],[
dd)()(
dcba
yxygxf
∫∫
=
b
a
d
c
xyygxf dd)()(
∫∫
=
b
a
d
c
xyygxf dd)()(
∫∫
=
b
a
d
c
yygxxf d)(d)( 。
可以同样推出，若 fxy(,)在 [,] [,]ab cd= ×D 上可积，且对所有
ycd∈[,]，积分
∫
b
a
xyxf d),( 都存在，则 fxy(,)先对 x,再对 y 的累次积 分
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 。
例 13.2.1 计算柱面
x zR
22 2
+ = 与平面 y = 0和
y aa= >()0 所围立体的体积。
解 由对称性,所求立体的体积 V 是该立体在第一卦限部分的体积的 4 倍。而它在第一卦限的的部分是以曲面
22
xRz?= 为顶，以 xy平面上区域
[0,] [0,]Ra= ×D 为底的曲顶柱体。因此
∫∫
=
D
yxxRV dd4
22
∫
π=?=?=
RRa
RaxxRayxRx
0
2
0
22
0
22
d4dd4 。
z
222
Rzx =+
a y
x
图 13.2.2
o
注 并不是所有重积分都能化为累次积分来计算。例如，设
[0,1] [0,1]= ×D,
==+
=
.,0
,,,
11
),(
其它点均为既约分数
y
y
x
x
yx
p
q
y
p
q
x
pp
yxf
易证明 fxy(,)在 D上可积，且
(,)d df xy x y
∫∫
D
= 0。
但它的两个累次积分都不存在。
定理 13.2.2 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
"××= ],[],[
2211
baba ],[
nn
ba×
上可积。 记? ],[],[
22* nn
baba ××= " 。 若积分
112 2
*
() (,,,)d d
nn
hx f x x x x x=
∫
" "
Ω
对于每个 xab
111
∈[,]存在,则 hx()
1
在 [,]ab
11
上可积,并成立
1
1
1
1
11 12 11
112 2
*
(,,)d d d ()d
d(,,,)dd.
b
nn n
a
b
nn
a
f xxxxx x hxx
xfxx xx x
=
=
∫∫
∫∫
" "
" "
Ω
Ω
特别，当 2=n 时，上式就是定理 13.2.1；
当 3=n 时，记? ],[],[],[ fedcba ××=,?
*
],[],[ fedc ×=,那么上式 成为
*
(,,)d d d d (,,)d d
b
a
f x y zxy zxf x y z y z=
∫∫∫ ∫ ∫∫
ΩΩ
。
定理 13.2.2 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
"××= ],[],[
2211
baba ],[
nn
ba×
上可积。 记? ],[],[
22* nn
baba ××= " 。 若积分
112 2
*
() (,,,)d d
nn
hx f x x x x x=
∫
" "
Ω
对于每个 xab
111
∈[,]存在,则 hx()
1
在 [,]ab
11
上可积,并成立
1
1
1
1
11 12 11
112 2
*
(,,)d d d ()d
d(,,,)dd.
b
nn n
a
b
nn
a
f xxxxx x hxx
xfxx xx x
=
=
∫∫
∫∫
" "
" "
Ω
Ω
注 在 2>n 时,n重积分也可以化为先对某个变量作定积分,再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
],[],[],[ fedcba ××= 可积，并且对于每个 ∈),( zy?
*
],[],[ fedc ×=,
∫
b
a
xzyxf d),,( 都存在，那么
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
( )
*
(,,)d d d
b
a
f xyz x y z
∫∫ ∫
Ω
=
*
dd (,,)d
b
a
yz fxyz x
∫∫ ∫
Ω
。
推论 13.2.1 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
],[],[],[
2211 nn
bababa ×××= "
上连续,则有
12 1 2
(,,,)d d d
nn
f xx x x x x
∫
" "
Ω
∫∫ ∫∫
=
1
1
2
2
21
1
1
121
d),,,(ddd
b
a
b
a
n
b
n
a
nn
n
b
n
a
n
xxxxfxxx " "
注 在 2>n 时,n重积分也可以化为先对某个变量作定积分,再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
],[],[],[ fedcba ××= 可积，并且对于每个 ∈),( zy?
*
],[],[ fedc ×=,
∫
b
a
xzyxf d),,( 都存在，那么
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
( )
*
(,,)d d d
b
a
f xyz x y z
∫∫ ∫
Ω
=
*
dd (,,)d
b
a
yz fxyz x
∫∫ ∫
Ω
。
一般区域上的重积分计算
设 fxy(,)在
12
{(,)| () (),}xy y x yyxaxb= ≤≤ ≤≤D
上连续，其中 yx yx
12
(),()为 [,]ab上的一元连续函数。
令 )(max),(min
21
xydxyc
bxabxa ≤≤≤≤
==,作闭矩形（图 13.2.3）
[,] [,]ab cd=×
D?D。
y
d
yyx=
2
()
D
yyx=
1
()
c
O a b x
图 13.2.3
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
fxy xy
fxy
xy
∈
=
∈?
D
DD
易证明 ),(
~
yxf 在
D上也可积。注意到
~
(,)fxy在 D外为零，就得到
() ()
12
() ()
12
() ()
22
() ()
11
(,)d (,)d (,)d (,)d
(,)d (,)d
dyx yxd
cc yx
yx yx
yx yx
f xyyfxyyfxyyfxyy
fxy y fxy y
=++
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
。
因此
(,)d df xy x y
∫∫
D
= (,)d d d (,)d
bd
ac
f xy x y x f xy y=
∫∫ ∫ ∫
D
=
()
2
()
1
d(,)d
byx
ayx
xfxyy
∫∫
。
类似地,如果 fxy(,)在
12
{(,)| () (),}xy x y xxy c y d= ≤≤ ≤≤D 上连续，
其中 xyxy
12
(),()在 [,]cd 上连续，则有
(,)d df x y x y
∫∫
D
∫∫
=
d
c
yx
yx
xyxfy
)(
2
)(
1
d),(d 。
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
fxy xy
fxy
xy
∈
=
∈?
D
DD
易证明 ),(
~
yxf 在
D上也可积。注意到
~
(,)fxy在 D外为零，就得到
() ()
12
() ()
12
() ()
22
() ()
11
(,)d (,)d (,)d (,)d
(,)d (,)d
dyx yxd
cc yx
yx yx
yx yx
f xyyfxyyfxyyfxyy
fxy y fxy y
=++
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
。
因此
(,)d df xy x y
∫∫
D
= (,)d d d (,)d
bd
ac
f xy x y x f xy y=
∫∫ ∫ ∫
D
=
()
2
()
1
d(,)d
byx
ayx
xfxyy
∫∫
。
同样，在三维情形，若 fxyz(,,)在
}),()(),,(),(|),,{(
2121
bxaxyyxyyxzzyxzzyx ≤≤≤≤≤≤=
上连续，且 )()(),,(),,(
2121
xyxyyxzyxz和都连续，则
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
2
1
(,)
(,)
dd (,,)d
zxy
zxy
xy
xy fxyz z
∫∫ ∫
Ω
,d),,(dd
),(
2
),(
1
)(
2
)(
1
∫∫∫
=
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyx
其中? }),()(|),{(
21
bxaxyyxyyx
xy
≤≤≤≤= 为区域?在 xy平面的投影。
2
(,)z zxy=
1
(,)z zxy=
2
()yyx=
1
()yyx=
xy
Ω
Ω
a
b
x
y
z
图13.2.4
利用类似的思想方法还可得到：设?为限制在平面 ze= 和 zf=
之间的一个具有分片光滑边界的区域，过 ze z f()≤ ≤ 且与 xy平面平 行的平面截?得到一个图形，记这个图形在 xy平面的投影区域为?
z
。
若 ),,( zyxf 是?上的连续函数，则成立以下公式
(,,)ddd (,,)dd
f
e
z
f x y zxy zdzf x y zxy=
∫∫∫ ∫ ∫∫
ΩΩ
。
例13.2.2 计算 ddxy x y
∫∫
D
,D为抛物线 yx
2
= 和直线 y x=? 2所围 成的闭区域。
y
yx
2
=
yx=?2
1
D
2
D
O 2 4 x
解法一 化为先对 y 后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部 是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x = 1将 D分为
1
{(,)|,0 1}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D 和
2
{(,)| 2,14}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D
两部分。那么
12
14
012
4
2
1
2
1
dd dd dd
dddd
45
0[()]d
8
xx
xyxy xyxy xyxy
x xyy x xyy
xx x x
=+
=+
=+ =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
。
DD D
解法二 化为先对 x 后对 y 的累次积分来计算，这时 D可统一表示为 {(,) |,}xy y x y y
2
21 2≤≤+?≤≤ 。因此
ddxy x y
∫∫
D
=
8
45
d])2[(dd
2
1
42
2
1
2
1
2
2
=?+=
∫∫∫
+
yyyyxxyy
y
y
。
显然，第二种解法较为简单。
解法一 化为先对 y 后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部 是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x = 1将 D分为
1
{(,)|,0 1}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D 和
2
{(,)| 2,14}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D
两部分。那么
12
14
012
4
2
1
2
1
dd dd dd
dddd
45
0[()]d
8
xx
xyxy xyxy xyxy
x xyy x xyy
xx x x
=+
=+
=+ =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
。
DD D
例 13.2.3 计算
2
sin d dxxy
∫∫
D
,D
为 0,π 2yx== 和 xy = 所围成的闭区域。
解 若将此积分化为先对 x 后对 y 的累次积分
π 2 π 2
22
0
sin d d d sin d
y
xxy y xx=
∫∫ ∫ ∫
D
,
这个积分是积不出来的。但若化为先对 y 后对 x 的累次积分就得
π 2
22
00
sin d d d sin d
x
xxy x xy=
∫∫ ∫ ∫
D
∫
π
=
2
0
2
dsin xxx
2
1
= 。
由此可见，适当选取累次积分次序非常重要。
y
xy =
D
O π 2 x
图13.2.6
例 13.2.4 求抛物柱面
xy =
2
2,平面 1
224
=++
zyx
和 0=z
所围立体的体积。
解 立体的顶为 1
224
=++
zyx
，
即
2
2
x
yz=,底为 xy平面上由直线 1
24
=+
yx
和抛物线 xy =
2
2 所围成的区域 D，因此它的体积为
142
222
22
1
234
2
(2 )d d d (2 )d
81
(4 4 3 2 )d
10
y
xx
y
Vyxy yx
yy yy y
= =
=++ =
∫∫ ∫ ∫
∫
。
D
z
1
224
=++
zyx
xy =
2
2
y
(2,1,0)
(8,-2,0)
x
图13.2.7
o
例 13.2.5 一非均匀金属块在空间的表示是由双曲抛物面 z xy=,平面 x y+ = 1和
z = 0所围成的区域?，其密度函数为 ρ (,,)x y zxy= 。 求它的质量。
解 如图所示,?可表为
}10,10,0|),,{( ≤≤?≤≤≤≤= xxyxyzzyx,
因此金属块的质量为
11
00 0
11 1
22 2 3
1
3
00 0
(,,)d d d d d d d d d
1
dd(1)d
180
xxy
x
M xyz x y z xy x y z x y xy z
xxyy x xx
ρ
===
==?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
z
zxy=
O y
xy+=1
x
图13.2.8
例13.2.6 计算
2
dddIzxy z=
∫∫∫
Ω
,其中?是由锥面 z
h
R
xy
2
2
2
22
=+()
与平面 z h= 所围成的闭区域。
z
zh=
2
222
2
()
h
zxy
R
=+
O y
x
图13.2.9
解?可表为
≤+≤≤=
222
2
2
)(,0),,( zyx
R
h
hzzyx,
因此
2
dddIzxyz=
∫∫∫
Ω
22
00
ddd ddd
hh
zz
zzxy zz xy==
∫∫∫ ∫ ∫
Ω Ω
,
这里对于每个 z,?
z
为平面 zz = 截?所得图形在 xy平面的投影，它为区域
≤+
222
2
2
)(),( zyx
R
h
yx,其面积为
2
2
2
π
R
z
h
，即 dd
z
xy
∫∫
Ω
2
2
0
2
π
R
z
h
= 。
因此
223
4
2
0
π
π d
5
h
RRh
Izz
h
==
∫
。
例 13.2.7 求
n
R 中几何体
12 1 2 1 2
{(,,,) | 0,0,,0,}
nn n n
xx x x x x x x x h=≥≥≥++≤ " " "T
（它称为 n维单纯形 ）的体积。
解 当 n = 2 时，
2
T 的体积为
2
ddxy
∫∫
T
2
000
2
1
d)(dd hxxhyx
hxhh
=?==
∫∫∫
。
当 n = 3时，
3
T 的体积为
3
dddxyz
∫∫∫
T
∫∫ ∫∫
≥≥
≤+
=
==
0,0
3
0
2
0
!3
d
2
)(
ddd
zy
xhzy
hh
h
x
xh
zyx 。
设
1n?
T 的体积为
1
12 1
1
dd d
(1)!
n
n
n
h
xx x
n
=
∫
"
T
。
则利用上式得
n
T 的体积为
23
23 1
1
1
12 1 23 1
00
0,0,,0
()
dd d d dd d d
(1)! !
n
n
n n
hh
nn
xx x
n
xx xhx
hx h
xx x x xx x x
nn
≥≥ ≥
+++≤?
===
∫∫∫ ∫
"
"
" "
T
。
性质 1（线性性） 设 f 和 g 都在区域? 上可积,βα,为常数,则
gf βα + 在?上也可积,并且
()df gVαβ+
∫
Ω
α= df V
∫
Ω
+β dgV
∫
Ω
。
性质 2（区域可加性） 设区域? 被分成两个 内点不 相 交的区域
1
和?
2
,如果 f 在? 上可积，则 f 在?
1
和?
2
上都可积 ； 反之,如果 f 在?
1
和?
2
上可积，则 f 也在?上可积。此时成立
df V
∫
Ω
1
df V=
∫
Ω
+
2
df V
∫
Ω
。
§ 2 重积分的性质与计算性质 3 设被积函数 f ≡ 1。 当 2=n 时
ddxy
∫∫
Ω
1d dxy= =
∫∫
Ω
的面积；
当 3≥n 时
dV
∫
Ω
1dV= =
∫
Ω
的体积 。
性质 4 （保序性） 设 f 和 g 都在区域?上可积,且满足 f ≤ g,
则成立不等式
df V ≤
∫
Ω
dgV
∫
Ω
。
性质 5 设 f 在区域? 上可积,M 与 m分别为 f 在? 上的上确界和下确界,则成立不等式
m V df V≤ ≤
∫
Ω
M V,
其中 V 当 2=n 时为?的面积,当 2>n 时为?的体积。
性质 5 是性质 4 的直接推论。
性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域?上可积,则 || f 也在?上可积,且成立不等式
| df V
∫
Ω
| ||df≤
∫
Ω
Ω 。
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域?上可积,则 fg? 也在?上可积。
性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域?上可积,且 g 在?
上不变号。设 M 与 m分别为 f 在?上的上确界和下确界,则存 在常数
μ ],[ Mm∈,使得
df gV? =
∫
Ω
μ dgV
∫
Ω
。
特别地,如果 f 在?上连续,则存在 ∈ξ?,使得
df gV? =
∫
Ω
)(ξf dgV
∫
Ω
。
矩形区域上的重积分计算
设 [,] [,]ab cd=×D 是
2
R 上的闭矩形,zfxy= (,)是 D上的非负连续函数，则以 D为底,曲面 zfxy= (,)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重 积分
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
用过 )0,0,(x )( bxa ≤≤ 点，且与
yz 平面平行的平面截这个曲顶柱体，所得的截面是曲边梯形（见图
13.2.1）,其面积为
∫
=
d
c
yyxfxA d),()( 。
a bxx
y
z
z = f (x,y)
O
A(x)
图13.2.1
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为
∫
=
b
a
xxAV d)(
∫∫
=
b
a
d
c
xyyxf dd),( 。
∫∫
b
a
d
c
xyyxf dd),( 称为 fxy(,)先对 y,再对 x 的 累次积分,习惯上写 成
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d,因此有等式
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d 。
这个几何方法提示我们,重积分可以通过累次积分来计算 。
定理 13.2.1 设二元函数 ),( yxf 在闭矩形 [,][,]ab cd= ×D 上可积 。
若积分
=)(xh
∫
d
c
yyxf d),(
对于每个 ],[ bax∈ 存在,则 )(xh 在 ],[ ba 上可积,并有等式
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫
b
a
xxh d)(
∫∫
=
b
a
d
c
xyyxf dd),( =
∫∫
b
a
d
c
yyxfx d),(d 。
证 在 [,]ab中插入分点
ax x x b
n
= < < < =
01
",
并记
1?
=Δ
iii
xxx （ ni,,2,1 "= ） 。显然只要证明
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
xh
1
0
)(lim ξ
λ
(,)d dfxy x y
∫∫
D
,
这里
i
ξ 为 ],[
1 ii
xx
中任意一点,λ为所有 Δx
i
的最大者。
再在 ],[ dc 中插入分点
dyyyc
m
=<<<= "
10
,
并记
1?
=Δ
jjj
yyy （ mj,,2,1 "= ） 。过 ],[ ba 和 ],[ dc 上的这些分点分别作平行于坐标轴的直线将 D分成许多小矩形（这是 D的一个划分），记
11
[,][,]
ij i i j j
x x yy
= ×D,mjni,,2,1;,,2,1 " " == ；
(,)
inf { (,)}
ij
xy
ij
m f x y
∈
=
D
，
(,)
sup { (,)}
ij
xy
ij
Mfx y
∈
=
D
。
由于 ],[
1 iii
xx
∈ξ,所以
∑∑
∫
∑
===
Δ≤=≤Δ
m
j
jij
m
j
y
y
ii
m
j
jij
yMyyfhym
j
j
111
1
d),()( ξξ,ni,,2,1 "= 。
将这些不等式分别乘以 Δx
i
，再把它们逐个加起来就得
∑∑∑∑∑
=====
ΔΔ≤Δ≤ΔΔ
n
i
m
j
jiij
n
i
ii
n
i
m
j
jiij
yxMxhyxm
11111
)(ξ 。
不等式的左右两端正是 ),( yxf 在所作划分上的 Darboux 小和与 大和，由于 ),( yxf 在 D上可积，当所有
ji
yx ΔΔ,都趋于零时，这个不等 式两端都趋于
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
由极限的夹逼性，即得到
∫
b
a
xxh d)( = =Δ
∑
=
→
n
i
ii
xh
1
0
)(lim ξ
λ
(,)d df xy x y
∫∫
D
。
可以同样推出，若 fxy(,)在 [,] [,]ab cd= ×D 上可积，且对所有
ycd∈[,]，积分
∫
b
a
xyxf d),( 都存在，则 fxy(,)先对 x,再对 y 的累次积 分
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 。
特别地有,设一元函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上可积,)(yg 在闭区间
],[ dc 上可积。则成立
∫∫
× ],[],[
dd)()(
dcba
yxygxf
∫∫
=
b
a
d
c
xyygxf dd)()(
∫∫
=
b
a
d
c
xyygxf dd)()(
∫∫
=
b
a
d
c
yygxxf d)(d)( 。
可以同样推出，若 fxy(,)在 [,] [,]ab cd= ×D 上可积，且对所有
ycd∈[,]，积分
∫
b
a
xyxf d),( 都存在，则 fxy(,)先对 x,再对 y 的累次积 分
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 也存在，且成立
(,)d df xy x y
∫∫
D
=
∫∫
d
c
b
a
xyxfy d),(d 。
例 13.2.1 计算柱面
x zR
22 2
+ = 与平面 y = 0和
y aa= >()0 所围立体的体积。
解 由对称性,所求立体的体积 V 是该立体在第一卦限部分的体积的 4 倍。而它在第一卦限的的部分是以曲面
22
xRz?= 为顶，以 xy平面上区域
[0,] [0,]Ra= ×D 为底的曲顶柱体。因此
∫∫
=
D
yxxRV dd4
22
∫
π=?=?=
RRa
RaxxRayxRx
0
2
0
22
0
22
d4dd4 。
z
222
Rzx =+
a y
x
图 13.2.2
o
注 并不是所有重积分都能化为累次积分来计算。例如，设
[0,1] [0,1]= ×D,
==+
=
.,0
,,,
11
),(
其它点均为既约分数
y
y
x
x
yx
p
q
y
p
q
x
pp
yxf
易证明 fxy(,)在 D上可积，且
(,)d df xy x y
∫∫
D
= 0。
但它的两个累次积分都不存在。
定理 13.2.2 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
"××= ],[],[
2211
baba ],[
nn
ba×
上可积。 记? ],[],[
22* nn
baba ××= " 。 若积分
112 2
*
() (,,,)d d
nn
hx f x x x x x=
∫
" "
Ω
对于每个 xab
111
∈[,]存在,则 hx()
1
在 [,]ab
11
上可积,并成立
1
1
1
1
11 12 11
112 2
*
(,,)d d d ()d
d(,,,)dd.
b
nn n
a
b
nn
a
f xxxxx x hxx
xfxx xx x
=
=
∫∫
∫∫
" "
" "
Ω
Ω
特别，当 2=n 时，上式就是定理 13.2.1；
当 3=n 时，记? ],[],[],[ fedcba ××=,?
*
],[],[ fedc ×=,那么上式 成为
*
(,,)d d d d (,,)d d
b
a
f x y zxy zxf x y z y z=
∫∫∫ ∫ ∫∫
ΩΩ
。
定理 13.2.2 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
"××= ],[],[
2211
baba ],[
nn
ba×
上可积。 记? ],[],[
22* nn
baba ××= " 。 若积分
112 2
*
() (,,,)d d
nn
hx f x x x x x=
∫
" "
Ω
对于每个 xab
111
∈[,]存在,则 hx()
1
在 [,]ab
11
上可积,并成立
1
1
1
1
11 12 11
112 2
*
(,,)d d d ()d
d(,,,)dd.
b
nn n
a
b
nn
a
f xxxxx x hxx
xfxx xx x
=
=
∫∫
∫∫
" "
" "
Ω
Ω
注 在 2>n 时,n重积分也可以化为先对某个变量作定积分,再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
],[],[],[ fedcba ××= 可积，并且对于每个 ∈),( zy?
*
],[],[ fedc ×=,
∫
b
a
xzyxf d),,( 都存在，那么
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
( )
*
(,,)d d d
b
a
f xyz x y z
∫∫ ∫
Ω
=
*
dd (,,)d
b
a
yz fxyz x
∫∫ ∫
Ω
。
推论 13.2.1 设 fxx x
n
(,,,)
12
" 在 n 维闭矩形
],[],[],[
2211 nn
bababa ×××= "
上连续,则有
12 1 2
(,,,)d d d
nn
f xx x x x x
∫
" "
Ω
∫∫ ∫∫
=
1
1
2
2
21
1
1
121
d),,,(ddd
b
a
b
a
n
b
n
a
nn
n
b
n
a
n
xxxxfxxx " "
注 在 2>n 时,n重积分也可以化为先对某个变量作定积分,再对其余 1?n 个变量作重积分的累次积分。例如，如果 ),,( zyxf 在
],[],[],[ fedcba ××= 可积，并且对于每个 ∈),( zy?
*
],[],[ fedc ×=,
∫
b
a
xzyxf d),,( 都存在，那么
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
( )
*
(,,)d d d
b
a
f xyz x y z
∫∫ ∫
Ω
=
*
dd (,,)d
b
a
yz fxyz x
∫∫ ∫
Ω
。
一般区域上的重积分计算
设 fxy(,)在
12
{(,)| () (),}xy y x yyxaxb= ≤≤ ≤≤D
上连续，其中 yx yx
12
(),()为 [,]ab上的一元连续函数。
令 )(max),(min
21
xydxyc
bxabxa ≤≤≤≤
==,作闭矩形（图 13.2.3）
[,] [,]ab cd=×
D?D。
y
d
yyx=
2
()
D
yyx=
1
()
c
O a b x
图 13.2.3
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
fxy xy
fxy
xy
∈
=
∈?
D
DD
易证明 ),(
~
yxf 在
D上也可积。注意到
~
(,)fxy在 D外为零，就得到
() ()
12
() ()
12
() ()
22
() ()
11
(,)d (,)d (,)d (,)d
(,)d (,)d
dyx yxd
cc yx
yx yx
yx yx
f xyyfxyyfxyyfxyy
fxy y fxy y
=++
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
。
因此
(,)d df xy x y
∫∫
D
= (,)d d d (,)d
bd
ac
f xy x y x f xy y=
∫∫ ∫ ∫
D
=
()
2
()
1
d(,)d
byx
ayx
xfxyy
∫∫
。
类似地,如果 fxy(,)在
12
{(,)| () (),}xy x y xxy c y d= ≤≤ ≤≤D 上连续，
其中 xyxy
12
(),()在 [,]cd 上连续，则有
(,)d df x y x y
∫∫
D
∫∫
=
d
c
yx
yx
xyxfy
)(
2
)(
1
d),(d 。
令
(,),(,),
(,)
0,(,),
fxy xy
fxy
xy
∈
=
∈?
D
DD
易证明 ),(
~
yxf 在
D上也可积。注意到
~
(,)fxy在 D外为零，就得到
() ()
12
() ()
12
() ()
22
() ()
11
(,)d (,)d (,)d (,)d
(,)d (,)d
dyx yxd
cc yx
yx yx
yx yx
f xyyfxyyfxyyfxyy
fxy y fxy y
=++
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
。
因此
(,)d df xy x y
∫∫
D
= (,)d d d (,)d
bd
ac
f xy x y x f xy y=
∫∫ ∫ ∫
D
=
()
2
()
1
d(,)d
byx
ayx
xfxyy
∫∫
。
同样，在三维情形，若 fxyz(,,)在
}),()(),,(),(|),,{(
2121
bxaxyyxyyxzzyxzzyx ≤≤≤≤≤≤=
上连续，且 )()(),,(),,(
2121
xyxyyxzyxz和都连续，则
(,,)d d df xyz x y z
∫∫∫
Ω
=
2
1
(,)
(,)
dd (,,)d
zxy
zxy
xy
xy fxyz z
∫∫ ∫
Ω
,d),,(dd
),(
2
),(
1
)(
2
)(
1
∫∫∫
=
yxz
yxz
xy
xy
b
a
zzyxfyx
其中? }),()(|),{(
21
bxaxyyxyyx
xy
≤≤≤≤= 为区域?在 xy平面的投影。
2
(,)z zxy=
1
(,)z zxy=
2
()yyx=
1
()yyx=
xy
Ω
Ω
a
b
x
y
z
图13.2.4
利用类似的思想方法还可得到：设?为限制在平面 ze= 和 zf=
之间的一个具有分片光滑边界的区域，过 ze z f()≤ ≤ 且与 xy平面平 行的平面截?得到一个图形，记这个图形在 xy平面的投影区域为?
z
。
若 ),,( zyxf 是?上的连续函数，则成立以下公式
(,,)ddd (,,)dd
f
e
z
f x y zxy zdzf x y zxy=
∫∫∫ ∫ ∫∫
ΩΩ
。
例13.2.2 计算 ddxy x y
∫∫
D
,D为抛物线 yx
2
= 和直线 y x=? 2所围 成的闭区域。
y
yx
2
=
yx=?2
1
D
2
D
O 2 4 x
解法一 化为先对 y 后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部 是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x = 1将 D分为
1
{(,)|,0 1}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D 和
2
{(,)| 2,14}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D
两部分。那么
12
14
012
4
2
1
2
1
dd dd dd
dddd
45
0[()]d
8
xx
xyxy xyxy xyxy
x xyy x xyy
xx x x
=+
=+
=+ =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
。
DD D
解法二 化为先对 x 后对 y 的累次积分来计算，这时 D可统一表示为 {(,) |,}xy y x y y
2
21 2≤≤+?≤≤ 。因此
ddxy x y
∫∫
D
=
8
45
d])2[(dd
2
1
42
2
1
2
1
2
2
=?+=
∫∫∫
+
yyyyxxyy
y
y
。
显然，第二种解法较为简单。
解法一 化为先对 y 后对 x 的累次积分。这时，区域边界的下部 是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 x = 1将 D分为
1
{(,)|,0 1}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D 和
2
{(,)| 2,14}xy x y x x=?≤≤ ≤≤D
两部分。那么
12
14
012
4
2
1
2
1
dd dd dd
dddd
45
0[()]d
8
xx
xyxy xyxy xyxy
x xyy x xyy
xx x x
=+
=+
=+ =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫
。
DD D
例 13.2.3 计算
2
sin d dxxy
∫∫
D
,D
为 0,π 2yx== 和 xy = 所围成的闭区域。
解 若将此积分化为先对 x 后对 y 的累次积分
π 2 π 2
22
0
sin d d d sin d
y
xxy y xx=
∫∫ ∫ ∫
D
,
这个积分是积不出来的。但若化为先对 y 后对 x 的累次积分就得
π 2
22
00
sin d d d sin d
x
xxy x xy=
∫∫ ∫ ∫
D
∫
π
=
2
0
2
dsin xxx
2
1
= 。
由此可见，适当选取累次积分次序非常重要。
y
xy =
D
O π 2 x
图13.2.6
例 13.2.4 求抛物柱面
xy =
2
2,平面 1
224
=++
zyx
和 0=z
所围立体的体积。
解 立体的顶为 1
224
=++
zyx
，
即
2
2
x
yz=,底为 xy平面上由直线 1
24
=+
yx
和抛物线 xy =
2
2 所围成的区域 D，因此它的体积为
142
222
22
1
234
2
(2 )d d d (2 )d
81
(4 4 3 2 )d
10
y
xx
y
Vyxy yx
yy yy y
= =
=++ =
∫∫ ∫ ∫
∫
。
D
z
1
224
=++
zyx
xy =
2
2
y
(2,1,0)
(8,-2,0)
x
图13.2.7
o
例 13.2.5 一非均匀金属块在空间的表示是由双曲抛物面 z xy=,平面 x y+ = 1和
z = 0所围成的区域?，其密度函数为 ρ (,,)x y zxy= 。 求它的质量。
解 如图所示,?可表为
}10,10,0|),,{( ≤≤?≤≤≤≤= xxyxyzzyx,
因此金属块的质量为
11
00 0
11 1
22 2 3
1
3
00 0
(,,)d d d d d d d d d
1
dd(1)d
180
xxy
x
M xyz x y z xy x y z x y xy z
xxyy x xx
ρ
===
==?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
z
zxy=
O y
xy+=1
x
图13.2.8
例13.2.6 计算
2
dddIzxy z=
∫∫∫
Ω
,其中?是由锥面 z
h
R
xy
2
2
2
22
=+()
与平面 z h= 所围成的闭区域。
z
zh=
2
222
2
()
h
zxy
R
=+
O y
x
图13.2.9
解?可表为
≤+≤≤=
222
2
2
)(,0),,( zyx
R
h
hzzyx,
因此
2
dddIzxyz=
∫∫∫
Ω
22
00
ddd ddd
hh
zz
zzxy zz xy==
∫∫∫ ∫ ∫
Ω Ω
,
这里对于每个 z,?
z
为平面 zz = 截?所得图形在 xy平面的投影，它为区域
≤+
222
2
2
)(),( zyx
R
h
yx,其面积为
2
2
2
π
R
z
h
，即 dd
z
xy
∫∫
Ω
2
2
0
2
π
R
z
h
= 。
因此
223
4
2
0
π
π d
5
h
RRh
Izz
h
==
∫
。
例 13.2.7 求
n
R 中几何体
12 1 2 1 2
{(,,,) | 0,0,,0,}
nn n n
xx x x x x x x x h=≥≥≥++≤ " " "T
（它称为 n维单纯形 ）的体积。
解 当 n = 2 时，
2
T 的体积为
2
ddxy
∫∫
T
2
000
2
1
d)(dd hxxhyx
hxhh
=?==
∫∫∫
。
当 n = 3时，
3
T 的体积为
3
dddxyz
∫∫∫
T
∫∫ ∫∫
≥≥
≤+
=
==
0,0
3
0
2
0
!3
d
2
)(
ddd
zy
xhzy
hh
h
x
xh
zyx 。
设
1n?
T 的体积为
1
12 1
1
dd d
(1)!
n
n
n
h
xx x
n
=
∫
"
T
。
则利用上式得
n
T 的体积为
23
23 1
1
1
12 1 23 1
00
0,0,,0
()
dd d d dd d d
(1)! !
n
n
n n
hh
nn
xx x
n
xx xhx
hx h
xx x x xx x x
nn
≥≥ ≥
+++≤?
===
∫∫∫ ∫
"
"
" "
T
。
