含参变量常义积分的定义
设 ),( yxf 是定义在闭矩形 ],[],[ dcba × 上的连续函数，对于任意固定的 ],[ dcy∈,),( yxf 是 ],[ ba 上关于 x的一元连续函数，因此它在 ],[ ba
上的积分存在，且积分值 (,)d
b
a
f xy x
∫
由 y 唯一确定。也就是说,
() (,)d,[,]
b
a
I yfxyxycd=∈
∫
确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量，
所以称它为含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积 分
() (,)d
d
c
J xfxyy=
∫
,],[ bax∈ 。它们统称含参变量常义积分,一般就 称为 含参变量积分 。
第十五章 含参变量积分
§1 含参变量的常义积分例如计算椭圆 )0(1
2
2
2
2
>>=+ ab
b
y
a
x
的周长时,利用椭圆的参数方 程
tbytax sin,cos ==,记 L为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四分之一为
ππ
22 2 2 22 2 2
00
22
222
2
d sin cos d sin (1 sin )d
1sind1sind,
satbt atb tt
ba
bttbkt
b
=+=+?
=? =?
∫∫ ∫
L
这里
b
ab
k
22
= 。
22
2
0
1sindktt
π
∫
就是含参变量 k
的积分，称 为 第二类完全椭圆积分。遗憾的是，
被积函数 tk
22
sin1? 的原函数不能用初等函数表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计算的方法。
L
x
z
O
图 15.1.1
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设),( yxf在闭矩形=D ],[],[ dcba ×上连续，则函数
() (,)d
b
a
Iy fxy x=
∫
在],[ dc上连续。
证 因为 ),( yxf 在闭矩形 D上连续，所以一致连续。因此对于任 意给定的 ε > 0，存在 δ > 0，使得对于任意两点 ),,(
11
yx ∈),(
22
yx D，当
δ<?+?
2
21
2
21
)()( yyxx 时，成立
ε<? |),(),(|
2211
yxfyxf 。
对任意定点 ],[
0
dcy ∈,只要 δ<? ||
0
yy,就有
00
0
|() ( )| [(,) (,)]d
|(,) (,)|d ( ),
b
a
b
a
Iy Iy fxy fxy x
fxy fxy x b aε
=?
≤? <?
∫
∫
这说明 )(yI 在 ],[ dc 上连续。
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设),( yxf在闭矩形=D ],[],[ dcba ×上连续，则函数
() (,)d
b
a
Iy fxy x=
∫
在],[ dc上连续。
由这个结论可知
00
lim (,)d lim (,)d
bb
aayy yy
f x y x f x y x
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
即极限运算与积分号可以交换。
例 15.1.1 求
1
2
00
d
lim
1cos
x
x x
α
α
→
+
∫
。
解 由于函数
xx
xf
α
α
cos1
1
),(
2
+
=
在闭矩形
×
2
1
,
2
1
]1,0[ 上连续，因此由定理 15.1.1,
11
222
00 0
dd π
lim lim d
1 cos 1 cos 1 4
xx
x
xx xx x
αα
αα
→→
= ==
+++
∫∫ ∫
。
由这个结论可知
00
lim (,)d lim (,)d
bb
aayy yy
f x y x f x y x
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
即极限运算与积分号可以交换。
定理 15.1.2（积分次序交换定理） 设),( yxf在闭矩形],[],[ dcba ×
上连续，则
d(,)d d(,)d
db bd
ca ac
yfx y xxf x yy=
∫∫ ∫∫
。
证 由于 ),( yxf 在 ],[],[ dcba × 上连续,因此由二重积分的计算公 式可知
[,][,]
d (,)d (,)dd d (,)d
db bd
ca ac
ab cd
y fxy x fxy xy x fxy y
×
==
∫∫ ∫ ∫∫
。
例 15.1.2 计算
1
0
d
ln
ba
xx
I x
x
=
∫
，其中 0>> ab 。
解 由于
d
ln
ba
b
y
a
xx
xy
x
=
∫
,
因此
1
0
dd
b
y
a
Ixx=
∫∫
。
由于
y
xyxf =),( 在闭矩形 ],[]1,0[ ba× 上连续，所以积分次序可以交换，
即
11
00
11
dddd dln
bb b
yy
aa a
b
Ixxyyxx y
ya
+
====
++
∫∫ ∫∫ ∫
。
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设),(),,( yxfyxf
y
都在闭矩形
],[],[ dcba ×上连续，则)(yI在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
d( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f xy x
y
=
∫
。
证 对任意 ],[ dcy∈,当 ],[ dcyy ∈Δ+ 时，利用微分中值定理,
()() (,)(,)
d(,)d
bb
y
aa
Iy y Iy fxy y fxy
xfxyyx
yy
θ
+Δ? +Δ?
==+Δ
ΔΔ
∫∫
( 10 <<θ )。
由定理 15.1.1，即有
00
0
d( ) ( ) ( )
lim lim (,)d
d
lim (,)d (,)d,
b
y
ayy
bb
yy
aay
Iy Iy y Iy
f xy y x
yy
fxy yx fxyx
θ
θ
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
==+Δ
Δ
=+Δ=
∫
∫∫
这个定理的结论也可写为
d
(,)d (,)d
d
bb
aa
f x y x f x y x
yy
=
∫∫
。
这说明求导运算与积分号可以交换。
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设),(),,( yxfyxf
y
都在闭矩形
],[],[ dcba ×上连续，则)(yI在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
d( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f xy x
y
=
∫
。
证 对任意 ],[ dcy∈,当 ],[ dcyy ∈Δ+ 时，利用微分中值定理,
()() (,)(,)
d(,)d
bb
y
aa
Iy y Iy fxy y fxy
xfxyyx
yy
θ
+Δ? +Δ?
==+Δ
ΔΔ
∫∫
( 10 <<θ )。
由定理 15.1.1，即有
00
0
d( ) ( ) ( )
lim lim (,)d
d
lim (,)d (,)d,
b
y
ayy
bb
yy
aay
Iy Iy y Iy
f xy y x
yy
fxy yx fxyx
θ
θ
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
==+Δ
Δ
=+Δ=
∫
∫∫
定理 15.1.4 设),(),,( yxfyxf
y
都是闭矩形],[],[ dcba ×上的连续函数，又设)(),( ybya是在],[ dc上的可导函数，满足bybabyaa ≤≤≤≤ )(,)(,
则函数
()
()
() (,)d
by
ay
F yfxyx=
∫
在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
()
()
() (,)d ((),) () ((),) ()
by
y
ay
F yfxyxfbybyfayay
′′′
=+?
∫
。
证 将 )(yF 写成复合函数形式
() (,)d (,,)
v
u
F yfxyxIyuv==
∫
,)(),( ybvyau == 。
由定理 15.1.3,
(,,) (,)d
v
y
u
I
uvy f xy x
y
=
∫
,
容易验证 )( y,v,u
y
I
是连续函数。由积分上限函数的求导法则,
),(),,( yvf
v
I
yuf
u
I
=
=
,
它们都是连续的。所以函数 ),,( vuyI 可微，于是按复合函数的链式规则得到
dd
() (,,)
dd
I Iu Iv
Fy Iyuv
y yuyvy
′
==++
()
()
(,)d ((),) () ((),) ()
by
y
ay
f xy x fby yb y fay ya y
′′
=+?
∫
。
注意这时我们顺便得到：函数 )(yF 在 ],[ dc 上连续。
例 15.1.3 设
0
ln(1 )
() d
y
xy
Fy x
x
+
=
∫
,0>y,
求 )(yF
′ 。
解
22
2
0
0
ln(1 ) d ln(1 ) ln(1 ) 2
() ln(1 )
1
y
y
yxy xy
F yy
y y
+++
′
=+=+ =+
+
∫
。
例 15.1.4 计算
π
0
() ln(1 cos)d (||1)Ixxθθ θ= +<
∫
。
解 对于任意满足 1|| <θ 的 θ,必有正数 1<a,使得 a≤||θ 。 记
)cos1ln(),( xxf θθ +=,易知 ),( θxf 与
x
x
xf
cos1
cos
),(
θ
θ
θ
+
= 都在闭矩 形
[0,π][,]aa×? 上连续。因此由定理 15.1.3,
ππ π
00 0
cos 1 1 π 1d
() d 1 d
1 cos 1 cos 1 cos
xx
Ix x
x xx
θ
θθθ θθ
′
==?=?
++ +
∫∫ ∫
。
对于最后一个积分，作万能代换
2
tan
x
t =,就得到
π
22
00 0
2
d2d d
1
1cos 1 (1)1
1
1
xt t
xtt
t
θ
θθθ
θ
+∞ +∞
==
+++?+
+
+
∫∫ ∫
22
0
21 π
arctan
1
11
t
θ
θ
θ θ
+∞
==
+
。
于是
2
ππ
()
1
I θ
θ
θ θ
′
=?
。
在此式两边对 θ 积分，即得到
2
() πln(1 1 )ICθθ= +? +。
由于 0)0( =I,代入上式得到 πln 2C =?,于是
2
11
() πln
2
I
θ
θ
+?
= 。
设 ),( yxf 是定义在闭矩形 ],[],[ dcba × 上的连续函数，对于任意固定的 ],[ dcy∈,),( yxf 是 ],[ ba 上关于 x的一元连续函数，因此它在 ],[ ba
上的积分存在，且积分值 (,)d
b
a
f xy x
∫
由 y 唯一确定。也就是说,
() (,)d,[,]
b
a
I yfxyxycd=∈
∫
确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量，
所以称它为含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积 分
() (,)d
d
c
J xfxyy=
∫
,],[ bax∈ 。它们统称含参变量常义积分,一般就 称为 含参变量积分 。
第十五章 含参变量积分
§1 含参变量的常义积分例如计算椭圆 )0(1
2
2
2
2
>>=+ ab
b
y
a
x
的周长时,利用椭圆的参数方 程
tbytax sin,cos ==,记 L为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四分之一为
ππ
22 2 2 22 2 2
00
22
222
2
d sin cos d sin (1 sin )d
1sind1sind,
satbt atb tt
ba
bttbkt
b
=+=+?
=? =?
∫∫ ∫
L
这里
b
ab
k
22
= 。
22
2
0
1sindktt
π
∫
就是含参变量 k
的积分，称 为 第二类完全椭圆积分。遗憾的是，
被积函数 tk
22
sin1? 的原函数不能用初等函数表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计算的方法。
L
x
z
O
图 15.1.1
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设),( yxf在闭矩形=D ],[],[ dcba ×上连续，则函数
() (,)d
b
a
Iy fxy x=
∫
在],[ dc上连续。
证 因为 ),( yxf 在闭矩形 D上连续，所以一致连续。因此对于任 意给定的 ε > 0，存在 δ > 0，使得对于任意两点 ),,(
11
yx ∈),(
22
yx D，当
δ<?+?
2
21
2
21
)()( yyxx 时，成立
ε<? |),(),(|
2211
yxfyxf 。
对任意定点 ],[
0
dcy ∈,只要 δ<? ||
0
yy,就有
00
0
|() ( )| [(,) (,)]d
|(,) (,)|d ( ),
b
a
b
a
Iy Iy fxy fxy x
fxy fxy x b aε
=?
≤? <?
∫
∫
这说明 )(yI 在 ],[ dc 上连续。
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设),( yxf在闭矩形=D ],[],[ dcba ×上连续，则函数
() (,)d
b
a
Iy fxy x=
∫
在],[ dc上连续。
由这个结论可知
00
lim (,)d lim (,)d
bb
aayy yy
f x y x f x y x
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
即极限运算与积分号可以交换。
例 15.1.1 求
1
2
00
d
lim
1cos
x
x x
α
α
→
+
∫
。
解 由于函数
xx
xf
α
α
cos1
1
),(
2
+
=
在闭矩形
×
2
1
,
2
1
]1,0[ 上连续，因此由定理 15.1.1,
11
222
00 0
dd π
lim lim d
1 cos 1 cos 1 4
xx
x
xx xx x
αα
αα
→→
= ==
+++
∫∫ ∫
。
由这个结论可知
00
lim (,)d lim (,)d
bb
aayy yy
f x y x f x y x
→→
=
∫∫
,],[
0
dcy ∈ 。
即极限运算与积分号可以交换。
定理 15.1.2（积分次序交换定理） 设),( yxf在闭矩形],[],[ dcba ×
上连续，则
d(,)d d(,)d
db bd
ca ac
yfx y xxf x yy=
∫∫ ∫∫
。
证 由于 ),( yxf 在 ],[],[ dcba × 上连续,因此由二重积分的计算公 式可知
[,][,]
d (,)d (,)dd d (,)d
db bd
ca ac
ab cd
y fxy x fxy xy x fxy y
×
==
∫∫ ∫ ∫∫
。
例 15.1.2 计算
1
0
d
ln
ba
xx
I x
x
=
∫
，其中 0>> ab 。
解 由于
d
ln
ba
b
y
a
xx
xy
x
=
∫
,
因此
1
0
dd
b
y
a
Ixx=
∫∫
。
由于
y
xyxf =),( 在闭矩形 ],[]1,0[ ba× 上连续，所以积分次序可以交换，
即
11
00
11
dddd dln
bb b
yy
aa a
b
Ixxyyxx y
ya
+
====
++
∫∫ ∫∫ ∫
。
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设),(),,( yxfyxf
y
都在闭矩形
],[],[ dcba ×上连续，则)(yI在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
d( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f xy x
y
=
∫
。
证 对任意 ],[ dcy∈,当 ],[ dcyy ∈Δ+ 时，利用微分中值定理,
()() (,)(,)
d(,)d
bb
y
aa
Iy y Iy fxy y fxy
xfxyyx
yy
θ
+Δ? +Δ?
==+Δ
ΔΔ
∫∫
( 10 <<θ )。
由定理 15.1.1，即有
00
0
d( ) ( ) ( )
lim lim (,)d
d
lim (,)d (,)d,
b
y
ayy
bb
yy
aay
Iy Iy y Iy
f xy y x
yy
fxy yx fxyx
θ
θ
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
==+Δ
Δ
=+Δ=
∫
∫∫
这个定理的结论也可写为
d
(,)d (,)d
d
bb
aa
f x y x f x y x
yy
=
∫∫
。
这说明求导运算与积分号可以交换。
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设),(),,( yxfyxf
y
都在闭矩形
],[],[ dcba ×上连续，则)(yI在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
d( )
(,)d
d
b
y
a
Iy
f xy x
y
=
∫
。
证 对任意 ],[ dcy∈,当 ],[ dcyy ∈Δ+ 时，利用微分中值定理,
()() (,)(,)
d(,)d
bb
y
aa
Iy y Iy fxy y fxy
xfxyyx
yy
θ
+Δ? +Δ?
==+Δ
ΔΔ
∫∫
( 10 <<θ )。
由定理 15.1.1，即有
00
0
d( ) ( ) ( )
lim lim (,)d
d
lim (,)d (,)d,
b
y
ayy
bb
yy
aay
Iy Iy y Iy
f xy y x
yy
fxy yx fxyx
θ
θ
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
==+Δ
Δ
=+Δ=
∫
∫∫
定理 15.1.4 设),(),,( yxfyxf
y
都是闭矩形],[],[ dcba ×上的连续函数，又设)(),( ybya是在],[ dc上的可导函数，满足bybabyaa ≤≤≤≤ )(,)(,
则函数
()
()
() (,)d
by
ay
F yfxyx=
∫
在],[ dc上可导，并且在],[ dc上成立
()
()
() (,)d ((),) () ((),) ()
by
y
ay
F yfxyxfbybyfayay
′′′
=+?
∫
。
证 将 )(yF 写成复合函数形式
() (,)d (,,)
v
u
F yfxyxIyuv==
∫
,)(),( ybvyau == 。
由定理 15.1.3,
(,,) (,)d
v
y
u
I
uvy f xy x
y
=
∫
,
容易验证 )( y,v,u
y
I
是连续函数。由积分上限函数的求导法则,
),(),,( yvf
v
I
yuf
u
I
=
=
,
它们都是连续的。所以函数 ),,( vuyI 可微，于是按复合函数的链式规则得到
dd
() (,,)
dd
I Iu Iv
Fy Iyuv
y yuyvy
′
==++
()
()
(,)d ((),) () ((),) ()
by
y
ay
f xy x fby yb y fay ya y
′′
=+?
∫
。
注意这时我们顺便得到：函数 )(yF 在 ],[ dc 上连续。
例 15.1.3 设
0
ln(1 )
() d
y
xy
Fy x
x
+
=
∫
,0>y,
求 )(yF
′ 。
解
22
2
0
0
ln(1 ) d ln(1 ) ln(1 ) 2
() ln(1 )
1
y
y
yxy xy
F yy
y y
+++
′
=+=+ =+
+
∫
。
例 15.1.4 计算
π
0
() ln(1 cos)d (||1)Ixxθθ θ= +<
∫
。
解 对于任意满足 1|| <θ 的 θ,必有正数 1<a,使得 a≤||θ 。 记
)cos1ln(),( xxf θθ +=,易知 ),( θxf 与
x
x
xf
cos1
cos
),(
θ
θ
θ
+
= 都在闭矩 形
[0,π][,]aa×? 上连续。因此由定理 15.1.3,
ππ π
00 0
cos 1 1 π 1d
() d 1 d
1 cos 1 cos 1 cos
xx
Ix x
x xx
θ
θθθ θθ
′
==?=?
++ +
∫∫ ∫
。
对于最后一个积分，作万能代换
2
tan
x
t =,就得到
π
22
00 0
2
d2d d
1
1cos 1 (1)1
1
1
xt t
xtt
t
θ
θθθ
θ
+∞ +∞
==
+++?+
+
+
∫∫ ∫
22
0
21 π
arctan
1
11
t
θ
θ
θ θ
+∞
==
+
。
于是
2
ππ
()
1
I θ
θ
θ θ
′
=?
。
在此式两边对 θ 积分，即得到
2
() πln(1 1 )ICθθ= +? +。
由于 0)0( =I,代入上式得到 πln 2C =?,于是
2
11
() πln
2
I
θ
θ
+?
= 。
