第二章 数列极限
§1 实数系的连续性实数系
实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。
第二章 数列极限
数系的扩充历史
自然数集合 N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N关于减法运算并不封闭。
整数集合 Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z关于除法是不封闭的。整数集合 Z具有“离散性”。
§1 实数系的连续性实数系
实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。
有理数集合 Q
∈∈==
+
ZN qp
p
q
xx,,| 。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。
c
虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有,空隙” 。例如用 c表示边长为1 的正方形的对角线的长度，这个c 就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因 此有必要将有理数集合加以扩充。
-3 -2 -1 0 1 c 2 3
图2.1.1
有理数集合 Q
∈∈==
+
ZN qp
p
q
xx,,| 关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R ={ xx 是有理数或无理数}。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R ={ xx 是有理数或无理数}。
全体无理数所对应的点（称为 无理点 ）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。
实数集合的这一性质称为实数系 R的“连续性”。 R又被称为 实数连续统 。
实数系 R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。,确界存在定理” 就是实数系 R连续性的表述之一。
最大数与最小数
记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A B ∈xA,有 x B∈,
A B ∈xA,使得 x B? 。
设 S是一个数集，如果 S∈?ξ,使得? ∈xS，有 ξ≤x,则称
ξ是数集 S的最大数，记为 ξ = maxS ；如果 S∈?η,使得? ∈xS,
有 η≥x,则称 η是数集 S的最小数，记为 η = minS。
当数集 S 是非空有限集时,maxS是这有限个数中的最大者,minS是这有限个数中的最小者。但是当 S 是无限集时,S
可能不具有最大数及最小数。
最大数与最小数
记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A B ∈xA,有 x B∈,
A B ∈xA,使得 x B? 。
例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数,
min A = 0。
例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数,
min A = 0。
例2.1.2 集合 B = ≤ <{| }xx01没有最大数。
证 用反证法。
假设集合 B有最大数，记为 β 。由 ∈β [,)01，可知
2
1 β
β
+
=
′
∈[,)01。但是 ββ >
′
，这就与 β 是集合 B的最大数发生矛盾。所以集合 B没有最大数。
上确界与下确界
设 S是一个非空数集，如果 R∈?M,使得? ∈xS，有 x M≤,
则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m,使得? ∈xS，有 xm≥,则称 m是 S的一个下界。
上确界与下确界
设 S是一个非空数集，如果 R∈?M,使得? ∈xS，有 x M≤,
则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m,使得? ∈xS，有 xm≥,则称 m是 S的一个下界。
当数集 S既有上界，又有下界时，称 S为有界集。
S为有界集 >X 0，使得 Sx∈?,有 x ≤ X 。
设数集 S 有上界，记 U为 S 的上界全体所组成的集合，则显然 U不可能有最大数，下面将证明：U 一定有最小数。
设 U的最小数为 β,就称 β为数集 S的 上确界,即最小上界,
记为
β =supS。
上确界 β 满足下述两个性质,
1.β 是数集 S的上界,? ∈xS，有 β≤x ；
2.任何小于 β 的数不是数集 S的上界,?ε>0,? ∈xS,使得
εβ?>x 。
若数集 S 有下界，记 L为 S 的下界全体所组成的集合，则显然 L不可能有最小数，同样可以证明：L 一定有最大数。
设 L的最大数为 α,就称 α 为数集 S的 下确界,即最大下界,
记为
α =inf S。
下确界 α满足下述两个性质,
1,α是数集 S的下界,? ∈xS，有 α≥x ；
2,任何大于 α的数不是数集 S的下界,?ε>0,? ∈xS，使得 εα +<x 。
定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
证 任何一个实数 x可表示成
x=［ x］+( x),
其中［ x］表示 x的整数部分，( x)表示 x的非负小数部分。
将( x)表示成无限小数的形式,
(x) = 0
12
.aa a
n
" ",
其中 aa a
n12
，，，， " "中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的一个，若( x)是有限小数，则在后面接上无限个0。
注
无限小数 000
12
.aa a
p
" "(a
p
≠ 0)与无限小数
0 1 999
12
.()aa a
p
" "? 是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在
(x)的无限小数表示中不出现后者。 这样,任何一个实数集合 S
就可以由一个确定的无限小数的集合来表示,
｛
012
0.
n
aaaa+ " "｜ a
0
=［ x］,0
12
.aa a
n
" " = (x),x S∈ ｝。
设数集 S有上界，则可令 S中元素的整数部分的最大者为 α
0
，
并记
S
0
=∈ ={| [] }xx S x并且 α
0
。
S
0
不是空集，并且? x ∈S，只要
0
Sx ∈,就有 <x α
0
。
再考察数集 S
0
中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，
令它们中的最大者为 α
1
，并记
S
1
=∈{| }xx S x
01
并且 的第一位小数为 α 。
S
1
也不是空集，并且对于任意 x ∈S，只要 ∈x
1
S,就有 <x α
0 1
0.α+ 。
一般地，考察数集 S
n?1
中元素的无限小数表示中第 n位小数的数字，令它们中的最大者为 α
n
，并记
S
n
=∈
{| }xx S x n
nn1
并且 的第 位小数为 α 。
S
n
不是空集,并且对于任意 x ∈S,只要
n
Sx ∈,就有 <x α
0 1
0.α+ α
2
…
α
n
。
不断地做下去，我们得到一列非空数集 S? S
0
S
1
…? S
n
…，
和一列数 α
0
,α
1
,α
2
，…,α
n
,…，满足
0
α ∈Z；
k
α ∈｛0,1,2,…，9｝,
+
∈Nk 。
令
β = α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
…。
下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。
令
β = α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
…。
下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。
（1）设 Sx∈,则或者存在整数 n
0
0≥,使得
0
n
Sx ∈ ；或者对任何整数 n ≥ 0，有 xS
n
∈ 。
若
0
n
Sx ∈,便有
<x α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
0
β≤ ；
若 xS
n
∈ (? N∈n )，由 S
n
的定义并逐个比较 x与 β的整数部分及每一位小数，即知有
β=x 。
所以对任意的 Sx∈,有 x β≤,即 β是数集 S的上界。
（2） 对于任意给定的 0>ε,只要将自然数 n
0
取得充分大，便有
1
10
0
n
<ε。
取 xS
n0
0
∈,则 β与 x
0
的整数部分及前 n
0
位小数是相同的，所以
0
x?β ≤
1
10
0
n
<ε,
即
x
0
εβ?>,
即任何小于 β的数 εβ? 不是数集 S的上界。
同理可证非空有下界 的数集必有下确界。
证毕关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q在数轴上有,空隙”,它就不具备实数集合 R所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q内有上（下）界的集合 T
未必在 Q内有它的上（下）确界。
例2.1.3 设 }20|{
2
<>∈= xxxxT,并且Q,证明 T在 Q内没有上确界。
证 略。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q在数轴上有,空隙”,它就不具备实数集合 R所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q内有上（下）界的集合 T
未必在 Q内有它的上（下）确界。
§1 实数系的连续性实数系
实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。
第二章 数列极限
数系的扩充历史
自然数集合 N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N关于减法运算并不封闭。
整数集合 Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z关于除法是不封闭的。整数集合 Z具有“离散性”。
§1 实数系的连续性实数系
实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。
有理数集合 Q
∈∈==
+
ZN qp
p
q
xx,,| 。关于加法、减法、乘法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。
c
虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有,空隙” 。例如用 c表示边长为1 的正方形的对角线的长度，这个c 就无法用有理数来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因 此有必要将有理数集合加以扩充。
-3 -2 -1 0 1 c 2 3
图2.1.1
有理数集合 Q
∈∈==
+
ZN qp
p
q
xx,,| 关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R ={ xx 是有理数或无理数}。
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集
R,
R ={ xx 是有理数或无理数}。
全体无理数所对应的点（称为 无理点 ）填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。
实数集合的这一性质称为实数系 R的“连续性”。 R又被称为 实数连续统 。
实数系 R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。,确界存在定理” 就是实数系 R连续性的表述之一。
最大数与最小数
记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A B ∈xA,有 x B∈,
A B ∈xA,使得 x B? 。
设 S是一个数集，如果 S∈?ξ,使得? ∈xS，有 ξ≤x,则称
ξ是数集 S的最大数，记为 ξ = maxS ；如果 S∈?η,使得? ∈xS,
有 η≥x,则称 η是数集 S的最小数，记为 η = minS。
当数集 S 是非空有限集时,maxS是这有限个数中的最大者,minS是这有限个数中的最小者。但是当 S 是无限集时,S
可能不具有最大数及最小数。
最大数与最小数
记号：,?,表示“存在”或“可以找到”，,?,表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
A B ∈xA,有 x B∈,
A B ∈xA,使得 x B? 。
例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数,
min A = 0。
例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数,
min A = 0。
例2.1.2 集合 B = ≤ <{| }xx01没有最大数。
证 用反证法。
假设集合 B有最大数，记为 β 。由 ∈β [,)01，可知
2
1 β
β
+
=
′
∈[,)01。但是 ββ >
′
，这就与 β 是集合 B的最大数发生矛盾。所以集合 B没有最大数。
上确界与下确界
设 S是一个非空数集，如果 R∈?M,使得? ∈xS，有 x M≤,
则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m,使得? ∈xS，有 xm≥,则称 m是 S的一个下界。
上确界与下确界
设 S是一个非空数集，如果 R∈?M,使得? ∈xS，有 x M≤,
则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m,使得? ∈xS，有 xm≥,则称 m是 S的一个下界。
当数集 S既有上界，又有下界时，称 S为有界集。
S为有界集 >X 0，使得 Sx∈?,有 x ≤ X 。
设数集 S 有上界，记 U为 S 的上界全体所组成的集合，则显然 U不可能有最大数，下面将证明：U 一定有最小数。
设 U的最小数为 β,就称 β为数集 S的 上确界,即最小上界,
记为
β =supS。
上确界 β 满足下述两个性质,
1.β 是数集 S的上界,? ∈xS，有 β≤x ；
2.任何小于 β 的数不是数集 S的上界,?ε>0,? ∈xS,使得
εβ?>x 。
若数集 S 有下界，记 L为 S 的下界全体所组成的集合，则显然 L不可能有最小数，同样可以证明：L 一定有最大数。
设 L的最大数为 α,就称 α 为数集 S的 下确界,即最大下界,
记为
α =inf S。
下确界 α满足下述两个性质,
1,α是数集 S的下界,? ∈xS，有 α≥x ；
2,任何大于 α的数不是数集 S的下界,?ε>0,? ∈xS，使得 εα +<x 。
定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
证 任何一个实数 x可表示成
x=［ x］+( x),
其中［ x］表示 x的整数部分，( x)表示 x的非负小数部分。
将( x)表示成无限小数的形式,
(x) = 0
12
.aa a
n
" ",
其中 aa a
n12
，，，， " "中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的一个，若( x)是有限小数，则在后面接上无限个0。
注
无限小数 000
12
.aa a
p
" "(a
p
≠ 0)与无限小数
0 1 999
12
.()aa a
p
" "? 是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在
(x)的无限小数表示中不出现后者。 这样,任何一个实数集合 S
就可以由一个确定的无限小数的集合来表示,
｛
012
0.
n
aaaa+ " "｜ a
0
=［ x］,0
12
.aa a
n
" " = (x),x S∈ ｝。
设数集 S有上界，则可令 S中元素的整数部分的最大者为 α
0
，
并记
S
0
=∈ ={| [] }xx S x并且 α
0
。
S
0
不是空集，并且? x ∈S，只要
0
Sx ∈,就有 <x α
0
。
再考察数集 S
0
中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，
令它们中的最大者为 α
1
，并记
S
1
=∈{| }xx S x
01
并且 的第一位小数为 α 。
S
1
也不是空集，并且对于任意 x ∈S，只要 ∈x
1
S,就有 <x α
0 1
0.α+ 。
一般地，考察数集 S
n?1
中元素的无限小数表示中第 n位小数的数字，令它们中的最大者为 α
n
，并记
S
n
=∈
{| }xx S x n
nn1
并且 的第 位小数为 α 。
S
n
不是空集,并且对于任意 x ∈S,只要
n
Sx ∈,就有 <x α
0 1
0.α+ α
2
…
α
n
。
不断地做下去，我们得到一列非空数集 S? S
0
S
1
…? S
n
…，
和一列数 α
0
,α
1
,α
2
，…,α
n
,…，满足
0
α ∈Z；
k
α ∈｛0,1,2,…，9｝,
+
∈Nk 。
令
β = α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
…。
下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。
令
β = α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
…。
下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。
（1）设 Sx∈,则或者存在整数 n
0
0≥,使得
0
n
Sx ∈ ；或者对任何整数 n ≥ 0，有 xS
n
∈ 。
若
0
n
Sx ∈,便有
<x α
0
+
1
0.α α
2
… α
n
0
β≤ ；
若 xS
n
∈ (? N∈n )，由 S
n
的定义并逐个比较 x与 β的整数部分及每一位小数，即知有
β=x 。
所以对任意的 Sx∈,有 x β≤,即 β是数集 S的上界。
（2） 对于任意给定的 0>ε,只要将自然数 n
0
取得充分大，便有
1
10
0
n
<ε。
取 xS
n0
0
∈,则 β与 x
0
的整数部分及前 n
0
位小数是相同的，所以
0
x?β ≤
1
10
0
n
<ε,
即
x
0
εβ?>,
即任何小于 β的数 εβ? 不是数集 S的上界。
同理可证非空有下界 的数集必有下确界。
证毕关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q在数轴上有,空隙”,它就不具备实数集合 R所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q内有上（下）界的集合 T
未必在 Q内有它的上（下）确界。
例2.1.3 设 }20|{
2
<>∈= xxxxT,并且Q,证明 T在 Q内没有上确界。
证 略。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理,
定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集合 Q在数轴上有,空隙”,它就不具备实数集合 R所具有的“确界存在定理”，也就是说,Q内有上（下）界的集合 T
未必在 Q内有它的上（下）确界。
