§3 无穷小量与无穷大量的阶无穷小量的比较
定义3.3.1 若 lim
xx→
0
() 0fx=,则称当 x → x
0
时 fx()是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x
0
可以扩充到
0
xx→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
§3 无穷小量与无穷大量的阶设 ux(),vx()是两个变量，当 x → x
0
时，它们都是无穷小量。为了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论
ux
vx
()
()
的极限情况,
无穷小量的比较
定义3.3.1 若 lim
xx→
0
() 0fx=,则称当 x → x
0
时 fx()是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x
0
可以扩充到
0
xx→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
(1) 若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
vx
=,则称当 x → x
0
时,u x()关于 v x()是 高阶无穷小量 （或 v x()关于 u x()是 低阶无穷小量 ），记为
()ux= (())ovx （ x → x
0
）。
例如
lim
x→0
1? cos x
x
= lim
x→0
2
2sin
2
0
x
x
= 可表示为
1cosx? = ()ox（ 0x → ）。
lim
x→0
2
tan sinx x
x
0
lim
x→
=
sin 1 cos
0
cos
xx
xx x
=
可表示为
tan x-sin x =
2
()ox ( 0x → ) 。
(1) 若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
vx
=,则称当 x → x
0
时,u x()关于 v x()是 高阶无穷小量 （或 v x()关于 u x()是 低阶无穷小量 ），记为
()ux= (())ovx （ x → x
0
）。
(2) 若存在 0A >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤,
则称当 x → x
0
时，
ux
vx
()
()
是有界量，记为
()ux= (())Ovx (x → x
0
)。
例如
当 0x → 时,
1
sinx
x
与 x都是无穷小量，且
1
sin
1
x
x
x
≤,所以
1
sinx
x
= ()Ox ( 0x → )。
(2) 若存在 0A >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤,
则称当 x → x
0
时，
ux
vx
()
()
是 有界量，记为
()ux= (())Ovx (x → x
0
)。
若又存在 0a >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
≤ ≤,
则称当 x → x
0
时,()ux与 v x()是 同阶无穷小量 。
显然，若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
c
vx
= ≠,则 ()ux与 v x()必是同阶无穷小量。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 v x()是 等价无穷小量，
记为
()ux～ v x() ( x → x
0
)
上式也可写成
()ux= v x()+ (())ovx (x → x
0
),
它表示当 x → x
0
时,()ux与 v x()并不一定相等,两者相差一个关于 v x()
的高阶无穷小量。
例如
lim
x→0
sin x
x
= 1可表示为
sin x x～ ( 0x → ),或者 sin x x= + ()ox ( 0x → )；
lim
x→0
1
1
2
2
cos x
x
= lim
x→0
2
2
2sin
2
1
2
x
x
= 可表示为
1cosx? ～
1
2
2
x ( 0x → ),或者 1cosx? =
1
2
2
x +
2
()ox ( 0x → ) ；
lim
x→0
3
tan sin
1
2
xx
x
= lim
x→0
2
sin 1 cos
1
cos
2
xx
xxx
=
可表示为
tan sinxx? ～
1
2
3
x ( 0x → ),或者 tan sinxx? =
1
2
3
x +
3
()ox ( 0x → )。
注 记号,o”、,O”和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说,在使用时应附上记号,( x → x
0
)”,以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
我们往往选取
0
() ( )
k
vx x x=? 作为与 ()ux进行比较的无穷小量（如果极限过程是 x→∞，则选取 vx()=
1
x
k
）,这样有便于得出 ()ux作为无穷小量的确切阶数。
例如由 1cosx? ～
1
2
2
x ( 0x → )可知当 0x → 时,1cosx? 是二阶无穷小量；由 tan x? sin x ～
1
2
3
x （ 0x → ）可知当 0x → 时,tan x? sin x 是三阶无穷小量。
注 记号,o”、,O”和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说,在使用时应附上记号,( x → x
0
)”,以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
()ux=o(1) ( x → x
0
) 表示当 x → x
0
时,()ux是无穷小量；
()ux=O(1) ( x → x
0
) 表示当 x → x
0
时,()ux是有界量。
例如当 0x → +时,
1
ln x
是无穷小量，但它关于无穷小量
α
x (α 为任意小的正数) 总是低阶无穷小量，所以它只能表示为
1
ln x
=o(1) ( 0x → +)。
又如当 0x → 时,
1
esin
x
x
是有界量，所以可表示为
1
esin
x
x
=O(1) ( 0x → )。
无穷大量的比较
定义3.3.2 若 lim
xx→
0
fx()=∞（或± ∞）,则称当 x → x
0
时,fx()是无穷大量（ 或 正、负无穷大量 ） 。
定义中的极限过程同样可以扩充到
0
x x→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
设 ()ux,v x()是两个变量，当
0
x x→ 时它们都是无穷大量，为了比较两者趋于无穷大的速度，同样我们讨论
ux
vx
()
()
的极限情况,
(1) 若 lim
xx→
0
()
()
ux
vx
= ∞，则当 x → x
0
时,()ux关于 v x()是 高阶无穷大量 (或 v x()关于 ()ux是 低阶无穷大量 )。
由于对任意正整数 k，有 lim
x→+∞
x
k
a
x
= ∞ (1)a > 和 lim
x→+∞
ln
0
k
x
x
=,所以当
x → +∞时,(1)
x
aa> 关于
k
x 是高阶无穷大量,ln
k
x关于 x是低阶无穷大量。
(
2
)
若存在
0A >
，当
x
在
x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤
,
则称当
0
x x→
时，
ux
vx
()
()
是有界量，记为
()ux
=
O
(
v x()
) (
0
x x→
)。
(1) 若 lim
xx→
0
()
()
ux
vx
= ∞，则当 x → x
0
时,()ux关于 v x()是 高阶无穷大量 (或 v x()关于 ()ux是 低阶无穷大量 )。
由于对任意正整数 k，有 lim
x→+∞
x
k
a
x
= ∞ (1)a > 和 lim
x→+∞
ln
0
k
x
x
=,所以当
x → +∞时,(1)
x
aa> 关于
k
x 是高阶无穷大量,ln
k
x关于 x是低阶无穷大量。
例如当 x →+∞时,x ( arctan x +sin x )与 x都是无穷大量，且
(arctan sin )
3
xxx
x
+
≤,从而有表示式
x ( arctan x +sin x )=()Ox ( 0x → )。
若又存在 0a >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
≤ ≤,
则称当
0
xx→ 时,()ux与 v x()是 同阶无穷大量 。
显然，若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
c
vx
= ≠,则 ()ux与 v x()必是同阶无穷大量。
例如当 x →+∞时,x ( arctan x +sin x )与 x都是无穷大量，且
(arctan sin )
3
xxx
x
+
≤,从而有表示式
x ( arctan x +sin x )=()Ox ( 0x → )。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 vx()是 等价无穷大量，
记为
()ux～ vx() ( x → x
0
) 。
例如 lim
x→∞
3
2
1
sinx
x
x
= lim
x→∞
1
sin
1
1
x
x
= 可表示为 x
x
3
1
sin ～ x
2
(x → ∞)。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 vx()是 等价无穷大量，
记为
()ux～ vx() ( x → x
0
) 。
例如 lim
x→∞
3
2
1
sinx
x
x
= lim
x→∞
1
sin
1
1
x
x
= 可表示为 x
x
3
1
sin ～ x
2
(x → ∞)。
对于极限 lim
x→?
π
2
π
2
x
tan x,令
π
2
yx=?,得到
lim
x→?
π
2
π
2
x
tan x
0
lim
y→+
=
cos
1
sin
yy
y
=,
此即可表示为
tan x～
1
2
π
x
（ x →
π
2
-）。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o”，
但仍使用记号,O”和“～”。
例3.3.1证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数k,
k
x
ln
1
关于 x是低阶无穷小量。
证 令 lny x=?,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
ln
k
x
x
=
lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
例3.3.2 证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数 k,e
1
x
关于 x
k
是高阶无穷小量。
证 令
1
y
x
=,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
e
x
k
x
= lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o”，
但仍使用记号,O”和“～”。
例3.3.1证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数k,
k
x
ln
1
关于 x是低阶无穷小量。
证 令 lny x=?,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
ln
k
x
x
=
lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
等价量
等价量就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例3.3.3 证明,ln(1 )x x+ ～ ( 0→x )。
证 lim
x→∞
1
1e
x
x
+=
等价于 lim
x→0
1
(1 ) e
x
x+ = 。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x→0
ln( )1+ x
x
= lim
x→0
ln( )1
1
+ x
x
= 1。
例3.3.4 证明,e
x
-1～ x ( x 0→ )。
证 令 e1
x
y =?，则当 x 0→ 时,0y →,且 ln(1 )xy= +,于是
lim
x→0
e1
x
x
= lim
y→0
1
ln(1 )
y
y
=
+
。
等价量
等价量就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例3.3.3 证明,ln(1 )x x+ ～ ( 0→x )。
证 lim
x→∞
1
1e
x
x
+=
等价于 lim
x→0
1
(1 ) e
x
x+ = 。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x→0
ln( )1+ x
x
= lim
x→0
ln( )1
1
+ x
x
= 1。
例3.3.5 证明,(1 )x
α
+ -1 ～ α x ( x 0→ )
证 令 (1 ) 1x y
α
+?=,则当 x 0→ 时,0y → 。于是
lim
x→0
(1 ) 1x
x
α
+?
= lim
x→0
(1 ) 1 ln(1 )
ln(1 )
xx
xx
α
α
α+?+
+
0
lim
y→
=?
+ )1ln( y
y
lim
x→0
αln( )1+ x
x
α= 。
这三个等价关系连同已经知道的 sin xx～ （ 0x → ），是计算极限时最常用的关系式。
例3.3.6 设 ()ux= xx+ 。
当 x +∞→ 时,lim
x→+∞
xx
x
+
= lim
x→+∞
1
11
x
+ =,所以有
()ux～ x
1
2
( x +∞→ )；
当 x +→ 0 时,lim
x→+0
xx
x
+
4
= lim
x→+0
11x+ =,所以有
()ux～ x
1
4
( 0x →+)。
例3.3.7 设 v x()= 23
35
x x+
当 x ∞→ 时,lim
x→∞
23
3
35
5
xx
x
+
= 1，所以有
v x()～ 3
5
x ( x ∞→ ）；
当 0x → 时,lim
x→0
23
2
35
3
xx
x
+
= 1，所以有
v x()～ 2
3
x ( 0x → )。
设一个变量是由几个相互不同阶的成分相加而成,则当它是无穷大量时,它与阶数最高的那个无穷大量成分等价； 当它是无穷小量时，
它与阶数最低的那个无穷小量成分等价。
定理 3.3.1 设 )(xu,)(xv 和 )(xw 在
0
x 的某个去心邻域 U 上有定
义，且 1
)(
)(
lim
0
=
→
xw
xv
xx
（即 )(xv ～ )(xw （
0
xx → ）），那么
（1）当 Axwxu
xx
=
→
)()(lim
0
时,Axvxu
xx
=
→
)()(lim
0；
（2）当 A
xw
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
时,A
xv
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
。
例3.3.8
lim
x→∞
ax a x ax
bx b x bx
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
+++
+++
+
+
+
+
1
1
1
1
null
null
= lim
x→∞
ax
bx
m
m
m
m
=
a
b
m
m
（ 0,≠
mm
ba ）；
及
lim
x→0
ax a x ax
bx b x bx
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
+++
+++
+
+
+
+
1
1
1
1
null
null
= lim
x→0
ax
bx
n
n
n
n
=
a
b
n
n
（ 0,≠
nn
ba ）。
定理 3.3.1 设 )(xu,)(xv 和 )(xw 在
0
x 的某个去心邻域 U 上有定
义，且 1
)(
)(
lim
0
=
→
xw
xv
xx
（即 )(xv ～ )(xw （
0
xx → ）），那么
（1）当 Axwxu
xx
=
→
)()(lim
0
时,Axvxu
xx
=
→
)()(lim
0；
（2）当 A
xw
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
时,A
xv
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
。
例3.3.9 计算 lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
。
解 由于 xtan ～ x,
2
e1
x
～ 2x,
22
~)1ln( xx+ （ 0→x ），所以
lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
2
0
1
lim
22
x
x
xx
→
= =
。
例3.3.10 计算 lim
x→0
3
1e
ln(1 2 )
x
x
x
+?
+
。
解 lim
x→0
3
1e
ln(1 2 )
x
x
x
+?
+
= lim
x→0
3
( 1 1) (e 1)
ln(1 2 )
x
x
x
+
+
=lim
x→0
() ()
23
2
xx
ox ox
x
+?+
= lim
x→0
()
6
2
x
ox
x
+
=
1
12
。
例3.3.9 计算 lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
。
解 由于 xtan ～ x,
2
e1
x
～ 2x,
22
~)1ln( xx+ （ 0→x ），所以
lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
2
0
1
lim
22
x
x
xx
→
= =
。
例3.3.11 计算 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ 。
解 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ = lim
x→∞
+ 1
1
11
1
1
3
2
3
2
2
xx
x
= lim
x→∞
2
22 22
11 11
33
xo o
xx xx
++
= lim
x→∞
2
22
21
3
xo
xx
+
=
2
3
。
例3.3.12 计算 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
。
解 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
= lim
x→0
[(cos)]11
1
2
x
x
=lim
x→0
2
1
2
2
1
x
x
= lim
x→0
2
1
2
2 2
2
1
x
x
=
1
e
。
例3.3.11 计算 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ 。
解 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ = lim
x→∞
+ 1
1
11
1
1
3
2
3
2
2
xx
x
= lim
x→∞
2
22 22
11 11
33
xo o
xx xx
++
= lim
x→∞
2
22
21
3
xo
xx
+
=
2
3
。
注意：当计算中出现无穷小量( 或无穷大量 )相加或相减时，就不能不加考虑便用等价量直接进行代换。例如，在求极限 lim
x→0
3
tan sinx x
x
时,若贸然用 tan x～ (0)xx→ 与 sin x ～ (0)xx→ 进行代换，就会得到
lim
x→0
3
tan sinx x
x
= lim
x→0
3
0
xx
x
=
的错误结论 —— 我们已经知道 lim
x→0
3
tan sinx x
x
=
1
2
。
事实上，虽然当 0→x 时,tan x与 sin x 分别等价于 x,但这是省略了关于 x的高阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以 tan x -sin x 并不等于0，而是等价于 x的高阶无穷小量
x
3
2
。
再比如，在求极限 lim
x→0
11
1
2
2
+xx
x
时，也不能直接用 0→x 时的等价关系 1+ x -1～
1
2
x 代入，事实上,
lim
x→0
11
1
2
2
+xx
x
= lim
x→0
+++
+?+
xxx
xx
2
1
11
2
1
1)1(
2
2
= lim
x→0
+++
xxx
x
2
1
11
4
1
2
2
=-
1
8
。
（以后可知 1+ x -1～
1
2
x -
1
8
x
2
( 0→x )）
定义3.3.1 若 lim
xx→
0
() 0fx=,则称当 x → x
0
时 fx()是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x
0
可以扩充到
0
xx→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
§3 无穷小量与无穷大量的阶设 ux(),vx()是两个变量，当 x → x
0
时，它们都是无穷小量。为了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论
ux
vx
()
()
的极限情况,
无穷小量的比较
定义3.3.1 若 lim
xx→
0
() 0fx=,则称当 x → x
0
时 fx()是 无穷小量 。
无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x
0
可以扩充到
0
xx→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
(1) 若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
vx
=,则称当 x → x
0
时,u x()关于 v x()是 高阶无穷小量 （或 v x()关于 u x()是 低阶无穷小量 ），记为
()ux= (())ovx （ x → x
0
）。
例如
lim
x→0
1? cos x
x
= lim
x→0
2
2sin
2
0
x
x
= 可表示为
1cosx? = ()ox（ 0x → ）。
lim
x→0
2
tan sinx x
x
0
lim
x→
=
sin 1 cos
0
cos
xx
xx x
=
可表示为
tan x-sin x =
2
()ox ( 0x → ) 。
(1) 若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
vx
=,则称当 x → x
0
时,u x()关于 v x()是 高阶无穷小量 （或 v x()关于 u x()是 低阶无穷小量 ），记为
()ux= (())ovx （ x → x
0
）。
(2) 若存在 0A >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤,
则称当 x → x
0
时，
ux
vx
()
()
是有界量，记为
()ux= (())Ovx (x → x
0
)。
例如
当 0x → 时,
1
sinx
x
与 x都是无穷小量，且
1
sin
1
x
x
x
≤,所以
1
sinx
x
= ()Ox ( 0x → )。
(2) 若存在 0A >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤,
则称当 x → x
0
时，
ux
vx
()
()
是 有界量，记为
()ux= (())Ovx (x → x
0
)。
若又存在 0a >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
≤ ≤,
则称当 x → x
0
时,()ux与 v x()是 同阶无穷小量 。
显然，若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
c
vx
= ≠,则 ()ux与 v x()必是同阶无穷小量。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 v x()是 等价无穷小量，
记为
()ux～ v x() ( x → x
0
)
上式也可写成
()ux= v x()+ (())ovx (x → x
0
),
它表示当 x → x
0
时,()ux与 v x()并不一定相等,两者相差一个关于 v x()
的高阶无穷小量。
例如
lim
x→0
sin x
x
= 1可表示为
sin x x～ ( 0x → ),或者 sin x x= + ()ox ( 0x → )；
lim
x→0
1
1
2
2
cos x
x
= lim
x→0
2
2
2sin
2
1
2
x
x
= 可表示为
1cosx? ～
1
2
2
x ( 0x → ),或者 1cosx? =
1
2
2
x +
2
()ox ( 0x → ) ；
lim
x→0
3
tan sin
1
2
xx
x
= lim
x→0
2
sin 1 cos
1
cos
2
xx
xxx
=
可表示为
tan sinxx? ～
1
2
3
x ( 0x → ),或者 tan sinxx? =
1
2
3
x +
3
()ox ( 0x → )。
注 记号,o”、,O”和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说,在使用时应附上记号,( x → x
0
)”,以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
我们往往选取
0
() ( )
k
vx x x=? 作为与 ()ux进行比较的无穷小量（如果极限过程是 x→∞，则选取 vx()=
1
x
k
）,这样有便于得出 ()ux作为无穷小量的确切阶数。
例如由 1cosx? ～
1
2
2
x ( 0x → )可知当 0x → 时,1cosx? 是二阶无穷小量；由 tan x? sin x ～
1
2
3
x （ 0x → ）可知当 0x → 时,tan x? sin x 是三阶无穷小量。
注 记号,o”、,O”和“～”都是相对于一定的极限过程的，
一般来说,在使用时应附上记号,( x → x
0
)”,以说明相应的极限过程。
只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略。
()ux=o(1) ( x → x
0
) 表示当 x → x
0
时,()ux是无穷小量；
()ux=O(1) ( x → x
0
) 表示当 x → x
0
时,()ux是有界量。
例如当 0x → +时,
1
ln x
是无穷小量，但它关于无穷小量
α
x (α 为任意小的正数) 总是低阶无穷小量，所以它只能表示为
1
ln x
=o(1) ( 0x → +)。
又如当 0x → 时,
1
esin
x
x
是有界量，所以可表示为
1
esin
x
x
=O(1) ( 0x → )。
无穷大量的比较
定义3.3.2 若 lim
xx→
0
fx()=∞（或± ∞）,则称当 x → x
0
时,fx()是无穷大量（ 或 正、负无穷大量 ） 。
定义中的极限过程同样可以扩充到
0
x x→+、
0
x?,∞,+∞,?∞等情况。
设 ()ux,v x()是两个变量，当
0
x x→ 时它们都是无穷大量，为了比较两者趋于无穷大的速度，同样我们讨论
ux
vx
()
()
的极限情况,
(1) 若 lim
xx→
0
()
()
ux
vx
= ∞，则当 x → x
0
时,()ux关于 v x()是 高阶无穷大量 (或 v x()关于 ()ux是 低阶无穷大量 )。
由于对任意正整数 k，有 lim
x→+∞
x
k
a
x
= ∞ (1)a > 和 lim
x→+∞
ln
0
k
x
x
=,所以当
x → +∞时,(1)
x
aa> 关于
k
x 是高阶无穷大量,ln
k
x关于 x是低阶无穷大量。
(
2
)
若存在
0A >
，当
x
在
x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
A
vx
≤
,
则称当
0
x x→
时，
ux
vx
()
()
是有界量，记为
()ux
=
O
(
v x()
) (
0
x x→
)。
(1) 若 lim
xx→
0
()
()
ux
vx
= ∞，则当 x → x
0
时,()ux关于 v x()是 高阶无穷大量 (或 v x()关于 ()ux是 低阶无穷大量 )。
由于对任意正整数 k，有 lim
x→+∞
x
k
a
x
= ∞ (1)a > 和 lim
x→+∞
ln
0
k
x
x
=,所以当
x → +∞时,(1)
x
aa> 关于
k
x 是高阶无穷大量,ln
k
x关于 x是低阶无穷大量。
例如当 x →+∞时,x ( arctan x +sin x )与 x都是无穷大量，且
(arctan sin )
3
xxx
x
+
≤,从而有表示式
x ( arctan x +sin x )=()Ox ( 0x → )。
若又存在 0a >,当 x在 x
0
的某个去心邻域中，成立
()
()
ux
aA
vx
≤ ≤,
则称当
0
xx→ 时,()ux与 v x()是 同阶无穷大量 。
显然，若 lim
xx→
0
()
0
()
ux
c
vx
= ≠,则 ()ux与 v x()必是同阶无穷大量。
例如当 x →+∞时,x ( arctan x +sin x )与 x都是无穷大量，且
(arctan sin )
3
xxx
x
+
≤,从而有表示式
x ( arctan x +sin x )=()Ox ( 0x → )。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 vx()是 等价无穷大量，
记为
()ux～ vx() ( x → x
0
) 。
例如 lim
x→∞
3
2
1
sinx
x
x
= lim
x→∞
1
sin
1
1
x
x
= 可表示为 x
x
3
1
sin ～ x
2
(x → ∞)。
(3) 若 lim
xx→
0
()
1
()
ux
vx
=,称当 x → x
0
时,()ux与 vx()是 等价无穷大量，
记为
()ux～ vx() ( x → x
0
) 。
例如 lim
x→∞
3
2
1
sinx
x
x
= lim
x→∞
1
sin
1
1
x
x
= 可表示为 x
x
3
1
sin ～ x
2
(x → ∞)。
对于极限 lim
x→?
π
2
π
2
x
tan x,令
π
2
yx=?,得到
lim
x→?
π
2
π
2
x
tan x
0
lim
y→+
=
cos
1
sin
yy
y
=,
此即可表示为
tan x～
1
2
π
x
（ x →
π
2
-）。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o”，
但仍使用记号,O”和“～”。
例3.3.1证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数k,
k
x
ln
1
关于 x是低阶无穷小量。
证 令 lny x=?,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
ln
k
x
x
=
lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
例3.3.2 证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数 k,e
1
x
关于 x
k
是高阶无穷小量。
证 令
1
y
x
=,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
e
x
k
x
= lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
注意：在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号,o”，
但仍使用记号,O”和“～”。
例3.3.1证明：当 x +→ 0 时，对任意的正整数k,
k
x
ln
1
关于 x是低阶无穷小量。
证 令 lny x=?,则当 x +→ 0 时,y →+∞，于是
lim
x→+0
1
ln
k
x
x
=
lim
y→+∞
0
e
k
y
y
= 。
等价量
等价量就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例3.3.3 证明,ln(1 )x x+ ～ ( 0→x )。
证 lim
x→∞
1
1e
x
x
+=
等价于 lim
x→0
1
(1 ) e
x
x+ = 。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x→0
ln( )1+ x
x
= lim
x→0
ln( )1
1
+ x
x
= 1。
例3.3.4 证明,e
x
-1～ x ( x 0→ )。
证 令 e1
x
y =?，则当 x 0→ 时,0y →,且 ln(1 )xy= +,于是
lim
x→0
e1
x
x
= lim
y→0
1
ln(1 )
y
y
=
+
。
等价量
等价量就是指等价无穷小量或等价无穷大量。
例3.3.3 证明,ln(1 )x x+ ～ ( 0→x )。
证 lim
x→∞
1
1e
x
x
+=
等价于 lim
x→0
1
(1 ) e
x
x+ = 。利用对数函数的连续性，
得到
lim
x→0
ln( )1+ x
x
= lim
x→0
ln( )1
1
+ x
x
= 1。
例3.3.5 证明,(1 )x
α
+ -1 ～ α x ( x 0→ )
证 令 (1 ) 1x y
α
+?=,则当 x 0→ 时,0y → 。于是
lim
x→0
(1 ) 1x
x
α
+?
= lim
x→0
(1 ) 1 ln(1 )
ln(1 )
xx
xx
α
α
α+?+
+
0
lim
y→
=?
+ )1ln( y
y
lim
x→0
αln( )1+ x
x
α= 。
这三个等价关系连同已经知道的 sin xx～ （ 0x → ），是计算极限时最常用的关系式。
例3.3.6 设 ()ux= xx+ 。
当 x +∞→ 时,lim
x→+∞
xx
x
+
= lim
x→+∞
1
11
x
+ =,所以有
()ux～ x
1
2
( x +∞→ )；
当 x +→ 0 时,lim
x→+0
xx
x
+
4
= lim
x→+0
11x+ =,所以有
()ux～ x
1
4
( 0x →+)。
例3.3.7 设 v x()= 23
35
x x+
当 x ∞→ 时,lim
x→∞
23
3
35
5
xx
x
+
= 1，所以有
v x()～ 3
5
x ( x ∞→ ）；
当 0x → 时,lim
x→0
23
2
35
3
xx
x
+
= 1，所以有
v x()～ 2
3
x ( 0x → )。
设一个变量是由几个相互不同阶的成分相加而成,则当它是无穷大量时,它与阶数最高的那个无穷大量成分等价； 当它是无穷小量时，
它与阶数最低的那个无穷小量成分等价。
定理 3.3.1 设 )(xu,)(xv 和 )(xw 在
0
x 的某个去心邻域 U 上有定
义，且 1
)(
)(
lim
0
=
→
xw
xv
xx
（即 )(xv ～ )(xw （
0
xx → ）），那么
（1）当 Axwxu
xx
=
→
)()(lim
0
时,Axvxu
xx
=
→
)()(lim
0；
（2）当 A
xw
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
时,A
xv
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
。
例3.3.8
lim
x→∞
ax a x ax
bx b x bx
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
+++
+++
+
+
+
+
1
1
1
1
null
null
= lim
x→∞
ax
bx
m
m
m
m
=
a
b
m
m
（ 0,≠
mm
ba ）；
及
lim
x→0
ax a x ax
bx b x bx
n
n
n
n
m
m
n
n
n
n
m
m
+++
+++
+
+
+
+
1
1
1
1
null
null
= lim
x→0
ax
bx
n
n
n
n
=
a
b
n
n
（ 0,≠
nn
ba ）。
定理 3.3.1 设 )(xu,)(xv 和 )(xw 在
0
x 的某个去心邻域 U 上有定
义，且 1
)(
)(
lim
0
=
→
xw
xv
xx
（即 )(xv ～ )(xw （
0
xx → ）），那么
（1）当 Axwxu
xx
=
→
)()(lim
0
时,Axvxu
xx
=
→
)()(lim
0；
（2）当 A
xw
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
时,A
xv
xu
xx
=
→
)(
)(
lim
0
。
例3.3.9 计算 lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
。
解 由于 xtan ～ x,
2
e1
x
～ 2x,
22
~)1ln( xx+ （ 0→x ），所以
lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
2
0
1
lim
22
x
x
xx
→
= =
。
例3.3.10 计算 lim
x→0
3
1e
ln(1 2 )
x
x
x
+?
+
。
解 lim
x→0
3
1e
ln(1 2 )
x
x
x
+?
+
= lim
x→0
3
( 1 1) (e 1)
ln(1 2 )
x
x
x
+
+
=lim
x→0
() ()
23
2
xx
ox ox
x
+?+
= lim
x→0
()
6
2
x
ox
x
+
=
1
12
。
例3.3.9 计算 lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
。
解 由于 xtan ～ x,
2
e1
x
～ 2x,
22
~)1ln( xx+ （ 0→x ），所以
lim
x→0
2
2
ln(1 )
(e 1) tan
x
x
x
+
2
0
1
lim
22
x
x
xx
→
= =
。
例3.3.11 计算 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ 。
解 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ = lim
x→∞
+ 1
1
11
1
1
3
2
3
2
2
xx
x
= lim
x→∞
2
22 22
11 11
33
xo o
xx xx
++
= lim
x→∞
2
22
21
3
xo
xx
+
=
2
3
。
例3.3.12 计算 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
。
解 lim
x→0
(cos )x
x
1
2
= lim
x→0
[(cos)]11
1
2
x
x
=lim
x→0
2
1
2
2
1
x
x
= lim
x→0
2
1
2
2 2
2
1
x
x
=
1
e
。
例3.3.11 计算 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ 。
解 lim
x→∞
)(
3 33 3
xxxxx+ = lim
x→∞
+ 1
1
11
1
1
3
2
3
2
2
xx
x
= lim
x→∞
2
22 22
11 11
33
xo o
xx xx
++
= lim
x→∞
2
22
21
3
xo
xx
+
=
2
3
。
注意：当计算中出现无穷小量( 或无穷大量 )相加或相减时，就不能不加考虑便用等价量直接进行代换。例如，在求极限 lim
x→0
3
tan sinx x
x
时,若贸然用 tan x～ (0)xx→ 与 sin x ～ (0)xx→ 进行代换，就会得到
lim
x→0
3
tan sinx x
x
= lim
x→0
3
0
xx
x
=
的错误结论 —— 我们已经知道 lim
x→0
3
tan sinx x
x
=
1
2
。
事实上，虽然当 0→x 时,tan x与 sin x 分别等价于 x,但这是省略了关于 x的高阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以 tan x -sin x 并不等于0，而是等价于 x的高阶无穷小量
x
3
2
。
再比如，在求极限 lim
x→0
11
1
2
2
+xx
x
时，也不能直接用 0→x 时的等价关系 1+ x -1～
1
2
x 代入，事实上,
lim
x→0
11
1
2
2
+xx
x
= lim
x→0
+++
+?+
xxx
xx
2
1
11
2
1
1)1(
2
2
= lim
x→0
+++
xxx
x
2
1
11
4
1
2
2
=-
1
8
。
（以后可知 1+ x -1～
1
2
x -
1
8
x
2
( 0→x )）
