第三章 函数极限与连续函数
§ 1 函数极限
函数极限的定义
在半径为 r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为
2x，则圆弧长度为 2xr,而圆弧所对的弦的长度为 2sinrx，弦长与弧长之比值 y是 x的函数，其关系式为 y
x
x
=
sin
。
猜想：当 x趋于 0时,y
x
x
=
sin
趋于 1。
以后将对这一极限给出严格证明，并记为 lim
x→0
sin x
x
= 1。
注意：在 x趋于0 的过程中，不取 0x = （事实上，当 0x = 时，函数
sin x
x
没有定义）。我们关心的是在 x趋于 0的过程中，函数 y
x
x
=
sin
的变化趋势，而不关心函数在 0x = 处是否有定义，如果有定义的话函数值为多少。
定义3.1.1 设函数 yfx= ()在点 x
0
的某个去心邻域中有定义，
即存在 ρ＞ 0,使
00
(,)\{}Ox xρ? D
f
。
如果存在实数 A，对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
|() |fx A ε? <,
则称 A是函数 fx()在点 x
0
的极限，记为
lim
xx→
0
fx() A=,
或
fx()→ A (x → x
0
)。
如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 fx()在点 x
0
的极限不存在。
函数极限定义的符号表述,
lim
xx→
0
fx()= A 0ε >,0δ? >,x? (
0
0| |xx δ<? <),|() |fx A ε? < 。
定义3.1.1 设函数 yfx= ()在点 x
0
的某个去心邻域中有定义,
即存在 ρ＞ 0,使
00
(,)\{}Ox xρ? D
f
。
如果存在实数 A，对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
|() |fx A ε? <,
则称 A是函数 fx()在点 x
0
的极限，记为
lim
xx→
0
fx() A=,
或
fx()→ A (x → x
0
)。
如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 fx()在点 x
0
的 极限 不存在。
例 3.1.1 证明
0
lim e 1
x
x→
= 。
证? ε>0 (不妨设 01ε< < )，要找 0δ >,使得当 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε< 。
上式等价于
ln(1 )ε? x< < ln(1 )ε+,
取 min{δ = )1ln( ε+,ln(1 )} 0ε>，当 x满足 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε<,
所以
lim
x→0
e1
x
= 。
同样，对任意给定的 0ε >,正数 δ 并不要求取最大的或最佳的值，
所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度放大技巧。
例 3.1.1 证明
0
lim e 1
x
x→
= 。
证? ε>0 (不妨设 01ε< < )，要找 0δ >,使得当 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε< 。
上式等价于
ln(1 )ε? x< < ln(1 )ε+,
取 min{δ = )1ln( ε+,ln(1 )} 0ε>，当 x满足 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε<,
所以
lim
x→0
e1
x
= 。
例3.1.2 证明
2
2
lim 4
x
x
→
= 。
证 对任意给定的 0ε >,要找 0δ >,使得当 0| 2|x δ<?<时，成 立
｜
2
4x? ｜ ε< 。
因为｜
2
4x? ｜ = 22 + xx,保留因子｜ x? 2｜，而将因子
｜ x + 2｜放大，为此加上条件
21x? <,即 13x< <,
于是 25x+ <,从而有
2
45 2xx? <?。
取 minδ =
5
,1
ε
，则当 02x δ<?<时，成立
｜
2
4x? ｜ = 22 + xx 5
5
ε
ε<?=,
所以
2
2
lim 4
x
x
→
= 。
例3.1.3 证明 lim
()
x
xx
x
→
1
2
1
1
=
1
2
。
证
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
||
||
x
x
+
1
21
,
保留因子 ||x?1,而将因子
1
21||x +
放大。为此，加上条件
011x<?<，即 02x< <,
于是
11
2| 1| 2x
<
+
。
取
{}
min 1,2δ ε=,则当 01x δ<?<，成立
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
||
||
x
x
+
1
21
＜
1
2
2ε ε? =,
所以
2
1
(1)
lim
1
x
xx
x
→
=
1
2
。
函数极限的性质
(1) 极限的唯一性
定理3.1.1 设 A与 B都是函数 fx()在点 x
0
的极限，则 A B= 。
证 根据函数极限的定义，可知,
ε>0,?
1
0δ >,? x (
01
0| |xx δ<?<),|() |
2
fx A
ε
< ；
2
0δ >,? x (
02
0| |xx δ<?<),|() |
2
fx B
ε
< 。
取 minδ = {
12
,δ δ }，当
0
0| |xx δ<?<时,
| A-B| |() |f xA≤?+|() |f xB? ε< 。
由于 ε可以任意接近于0，可知 A=B。
证毕
(2) 局部保序性
定理3.1.2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B，且 A > B，则存在 0δ >,
当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
()f x > g x()。
证 取
0
ε = 0
2
AB?
> 。由 lim
xx→
0
fx()= A,?
1
0δ >,? x (
01
0 ||xx δ<?<)：
|() |f xA? <
0
ε,从而
2
A B+
< fx()；
由 lim
xx→
0
g x()= B,?
2
0δ >,? x (
02
0 ||xx δ<?<),
|() |gx B? <
0
ε,从而 ()gx<
AB+
2
。
取 minδ = {
12
,δ δ }，当
0
0| |xx δ<?<，成立
g x()
2
A B+
< < fx()。
证毕推论1 若 0)(lim
0
≠=
→
Axf
xx
，则存在 0δ >,当 δ<?< ||0
0
xx 时，成立
2
)(
A
xf > 。
证 由 Axf
xx
=
→
)(lim
0
及 AxfAxf?≤? )()(,可知 Axf
xx
=
→
)(lim
0
。 令
2
)(
A
xg =,由 A
A
<
2
及定理 3.1.2，可知存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<时,成立
2
)(
A
xf > 。
推论2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B,且存在 r ＞ 0，使得当
0
0
<? <||xx r时，成立 ()gx≤ fx(),则
B ≤ A。
证 反证法。 若 B > A,则由定理3.1.2,存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<
时,
()gx> fx()。
取 minη = {δ,r }，则当
0
0| |xx η<?<时，既有 ()gx> fx(),又有
()gx≤ fx()，从而产生矛盾。
注意：既使将推论 2的条件加强到当 0
0
<? <||xx r时，成立
()gx< fx(),也只能得到 BA≤ 的结论，而不能得到 BA< 的结论。
推论2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B,且存在 r ＞ 0，使得当
0
0
<? <||xx r时，成立 ()gx≤ fx(),则
B ≤ A。
证 反证法。 若 B > A,则由定理3.1.2,存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<
时,
()gx> fx()。
取 minη = {δ,r }，则当
0
0| |xx η<?<时，既有 ()gx> fx(),又有
()gx≤ fx()，从而产生矛盾。
推论3 (局部有界性) 若 lim
xx→
0
fx()= A,则存在 0δ >,使得 fx()在
),(
0
δxO \{x
0
} 中有界 。
证 取常数 M 与 m，满足 m A< < M,令 ()g xm=,h x()= M 为两个 常数函数，由定理3.1.2 可知存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<? <时，成立
m ()f x< < M 。
证毕
(3) 夹逼性
定理3.1.3 若存在 0r >,使得当 0
0
<? <||xx r时，成立
gx() ()f x≤ ≤ hx(),
且 lim
xx→
0
gx()= lim
xx→
0
hx()= A,则 lim
xx→
0
fx()= A。
证? 0ε >,由 lim
xx→
0
h x()= A，可知?
1
0δ >,? x(
01
0| |xx δ<?<)：
| () |hx A ε? <,从而 ()hx< A ε+ ；
由 lim
xx→
0
g x()= A，可知?
2
0δ >,? x(
02
0| |xx δ<? <):|() |gx A ε? <,
从而 A-ε < g x()。
取 minδ = {
12
,,rδ δ },? x(
0
0 ||xx δ<?<),
A ε? ()g x< ≤ fx() ()hx≤ < A ε+,
所以
lim
xx→
0
fx()= A。
证毕
例 3.1.4 证明,lim
x→0
sin x
x
= 1
证 （图 3.1.2）设∠ AOB的弧度为
π
,0
2
xx<<，由于
△ OAB面积＜扇形OAB 面积＜△ OBC面积,
得到
sin tanx xx<<,
π
0
2
x< < 。
从而
sin
cos 1
x
x
x
<<,
π
0
2
x< < 。
显然上式对于
π
0
2
x?<<也成立。由于
cos 1x?=
2
2sin
2
x
≤
x
2
2
,
可知
0
lim cos 1
x
x
→
= 。应用极限的夹逼性，得到
lim
x→0
sin x
x
= 1。
y
C
A
O B x
图 3.1.2
注 此极限亦可由例2.4.5的结果
lim
n→∞
sin(π )
1
π
n
n
=
直接导出：对任意
ππ
,{0}
22
x
∈?
\,一定存在正整数 n，满足
ππ
||
1
x
nn
< ≤
+
,
由此得到
sin[π (1)]
π (1) 1
nn
nn
+
+ +
<<
sin x
x
sin(π )1
π
nn
nn
+
。
当 x→ 0时有 n→∞，利用极限的夹逼性，即有
lim
x→0
sin x
x
= 1。
函数极限的四则运算
定理3.1.4 设 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
gx() = B,则
(I) lim
xx→
0
( ()f xα + ()gxβ )=α A+β B (α,β 是常数 )；
(II) lim
xx→
0
( fx()gx())=AB；
(III) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
A
B
(B≠ 0)。
证 由 lim
xx→
0
fx()= A，可知?
0
0δ >,x? (
00
0 ||xx δ<?<),
| fx()| X≤,
且? 0ε >,?
1
0δ >,? x (
01
0 ||xx δ<?<),
| ()f xA? | ε< ；
再由 lim
xx→
0
g x()=B，可知?
2
0δ >,x? (
02
0 ||xx δ<?<),
()gx B ε? < 。
函数极限的四则运算
定理3.1.4 设 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
gx() = B,则
(I) lim
xx→
0
( ()f xα + ()gxβ )=α A+β B (α,β 是常数 )；
(II) lim
xx→
0
( fx()gx())=AB；
(III) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
A
B
(B≠ 0)。
取
012
min(,,)δ δδδ=,则 x? (
0
0| |xx δ<?<),
| ( ()f xα + ()gxβ )-(α A+β B)｜ ≤ ||α )(| xf? -A｜ + || β )(| xg? -B |
()α βε<+
及
|fx()g x()-AB | = | ( fx()( g x()-B ) + B( fx()-A ) | ()XBε<+,
因此 (I)和 (II)成立。
利用定理3.1.2的推论1,可知?
*
0δ >,? x(
0*
0 ||xx δ<?<),
()gx >
||B
2
。
取
*12
min(,,)δ δδδ=,? x(
0
0| |xx δ<?<),
()
()
f xA
gx B
=
)(
))(())((
xBg
BxgAAxfB
2
2(||||)
||
A B
B
+
< ε,
因此(III)也成立。
证毕
取
012
min(,,)δ δδδ=,则 x? (
0
0| |xx δ<?<),
| ( ()f xα + ()gxβ )-(α A+β B)｜ ≤ ||α )(| xf? -A｜ + || β )(| xg? -B |
()α βε<+
及
|fx()g x()-AB | = | ( fx()( g x()-B ) + B( fx()-A ) | ()XBε<+,
因此 (I)和 (II)成立。
例3.1.5 对于任意实数 0α ≠,有
lim
x→0
sin x
x
α
= lim
x→0
sin
()
x
x
α
α
α
=α ；
对于任意实数,0α β ≠,则有
lim
x→0
sin
sin
x
x
α
β
= lim
x→0
(
sin x
x
α
／
sin x
x
β
) =
α
β
。
函数极限与数列极限的关系
定理3.1.5 （ Heine定理） lim
xx→
0
fx()= A 的充分必要条件是,对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且
n
x ≠ x
0
( n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列{ fx
n
()}成立
lim
n→∞
fx
n
()= A。
函数极限与数列极限的关系
定理3.1.5 （ Heine定理） lim
xx→
0
fx()= A 的充分必要条件是,对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且
n
x ≠ x
0
( n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列{ fx
n
()}成立
lim
n→∞
fx
n
()= A。
证 必要性,
由 lim
xx→
0
fx()= A，可知? 0ε >,? 0δ >,? x (
0
0| |xx δ<?<),
| ()f xA? |＜ ε 。
因为 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且 x
n
≠ x
0
( n = 123,,, ")，对于上述 0δ >,? N,? >nN：
0
0| |
n
xxδ<?<。
于是当 nN> 时，成立
| ()
n
f xA? | ε<,
即
lim
n→∞
fx
n
()= A。
充分性：用反证法。
按函数极限定义，命题,fx()在 x
0
点以 A为极限”可以表述为：
0ε >,? 0δ >,? x (
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? < 。
于是它的否定命题,fx()在 x
0
点不以 A为极限”可以对偶地表述为：
0
0ε >,? 0δ >,?x (
0
0| |xx δ<?<),
0
|() |fx A ε? ≥ 。
取一列 {
n
δ },
1
n
n
δ = （ n = 123,,, "）。
对
1
1δ =,存在 x
1
(
10 1
0 ||xx δ<?<)，使
10
| () |fx A ε? ≥ ；
对
2
δ =
1
2
,存在 x
2
(
20 2
0 ||xxδ<?<)，使
20
| () |fx A ε? ≥ ；
……,
一般地，对
k
δ =
1
k
，存在 x
k
(
0
0| |
kk
xxδ<?<)，使
0
|( ) |
k
fx A ε? ≥ ；
……。
于是得到数列 { x
n
}，满足
n
x ≠ x
0
,lim
n→∞
x
n
= x
0
，但相应的函数值数列
{ fx
n
()}不可能以 A 为极限。
由此推翻假 定，得到 fx()在 x
0
点以 A 为极限。
证 毕
这一性质被经常用于证明某个函数极限的不存在性。
一般地，对
k
δ =
1
k
，存在 x
k
(
0
0| |
kk
xxδ<?<)，使
0
|( ) |
k
fx A ε? ≥ ；
……。
于是得到数列 { x
n
}，满足
n
x ≠ x
0
,lim
n→∞
x
n
= x
0
，但相应的函数值数列
{ fx
n
()}不可能以 A 为极限。
由此推翻假 定，得到 fx()在 x
0
点以 A 为极限。
证 毕
例3.1.6 证明
1
sin
x
在 0x = 没有极限。
证 取 x
n
()1
=
1
nπ
( n = 123,,, ")； x
n
()2
=
1
2
2
nπ
π
+
( n = 123,,, ")。
则显然有
(1)
0
n
x ≠,lim
n→∞
(1)
0
n
x = 与
(2)
0
n
x ≠,lim
n→∞
(2)
0
n
x = 。 但由于 lim
n→∞
(1)
1
sin 0
n
x
=,
而 lim
n→∞
(2)
1
sin 1
n
x
=,根据定理3.1.5,可知
1
sin
x
在 0x = 没有极限。
x
定理3.1.5′ lim
xx→
0
fx() 存在的充分必要条件是：对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
且 x
n
≠ x
0
(n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { fx
n
()}收敛 。
单侧极限
定义3.1.2 设 fx()在 (?
0
x ρ,
0
x )有定义（ 0ρ > ）。 如果存在实数 B，对于任意给定的 0>ε,可以找到 0δ >,使得当
0
0xxδ? <? <时,
成立
| () |fx B ε? <,
则称 B是函数 fx()在点
0
x 的 左极限,记为
→
0
lim
xx
)(xf
0
()f xB=?= 。
类似地,如果 fx()在 ( x
0
,x
0
+ρ )有定义 （ 0ρ > ）。 并且存在实数 C，
对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 xx δ<?<时，成立
|() |fx C ε? <,
则称 C是函数 fx()在点 x
0
的 右极限,记为
lim
xx→+
0
fx()
0
()f xC= += 。
单侧极限
定义3.1.2 设 fx()在 (?
0
x ρ,
0
x )有定义（ 0ρ > ）。 如果存在实数 B，对于任意给定的 0>ε,可以找到 0δ >,使得当
0
0xxδ? <? <时,
成立
| () |fx B ε? <,
则称 B是函数 fx()在点
0
x 的 左极限,记为
→
0
lim
xx
)(xf
0
()f xB=?= 。
显然，函数 fx()在 x
0
极限存在的充分必要条件是 fx()在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
lim
xx→
0
()f xA=? lim
xx→?
0
fx()
0
lim
x x→+
= ()f xA= 。
例3.1.7 符号函数 sgn x在原点的单侧极限存在但不相等,
→0
lim
x
sgn 1x =?,
+→0
lim
x
sgn 1x =,
因此符号函数在 0x = 处没有极限。
显然，函数 fx()在 x
0
极限存在的充分必要条件是 fx()在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
lim
xx→
0
()f xA=? lim
xx→?
0
fx()
0
lim
x x→+
= ()f xA= 。
例3.1.8 设
≥
<
=
.0,cos2
,0,
2sin
)(
2
xx
x
x
x
xf
问当 x趋于0时,)(xf 的极限是否存在？
解 由于
2
2sin
lim)(lim
00
==
→?→
x
x
xf
xx
,2cos2lim)(lim
2
00
==
+→+→
xxf
xx
,
因此当 x趋于0时,)(xf 的极限存在，且 2)(lim
0
=
→
xf
x
。
函数极限定义的扩充
函数极限 lim
xx→
0
()f xA= 可表述为,
0ε >,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? <,
其中
0
,x A都是有限实数。
但实际上，自变量的极限过程有六种情况,
0
x x→,x
0
+,?
0
x,∞、+ ∞,∞?,
函数值的极限有四种情况,
()f xA→,∞、+ ∞,∞? 。
经过分析，可以发现,
,? 0ε >,…,| () |fx A ε? <,描述的是函数值的极限情况,
,()f xA→,；
“…,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<)：…”描述的是自变量的极 限过程“
0
x x→,。
函数极限定义的扩充
函数极限 lim
xx→
0
()f xA= 可表述为,
0ε >,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? <,
其中
0
,x A都是有限实数。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程,分别有相应的表述方式,
,()f xA→ (有限数)”：,? 0ε >,…,|() |fx A ε? <,；
,fx()→∞”,,0G? >,…,| ()|f xG>,；
,fx()→ ∞+,,,0G? >,…,()f xG>,；
,fx()→ ∞?,,,0G? >,…,()f xG<?,；
以及
,
0
x x→,,,
0
,0,(0||):xxxδδ >? <? <,；
,
0
x x→+”,,
0
,0,(0 ):xxx >? <? <”；
,
0
xx→?”,,
0
,0,( 0):xxxδδ > <? <”；
,x →∞”,,,0,(|| ):XxxX >? >”；
,x →+∞”,,,0,():XxxX >? >”；
,x →?∞”,,,0,( ):XxxX >? <”。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程,分别有相应的表述方式,
,()f xA→ (有限数)”：,? 0ε >,…,|() |fx A ε? <,；
,fx()→∞”,,0G? >,…,| ()|f xG>,；
,fx()→ ∞+,,,0G? >,…,()f xG>,；
,fx()→ ∞?,,,0G? >,…,()f xG<?,；
于是任何一种函数极限立即可以写出相应的定义。例如,
lim
xx→+
0
fx()=∞的定义为,
0G?>,? 0δ >,x? （
0
0 xx δ<?<）,|()|f xG> ；
lim
x→+∞
()f xA= 的定义为,
ε > 0,0X? >,x? （ x X> ）,|() |fx A ε? < ；
lim
x→?∞
fx()= +∞ 的定义为,
0G?>,0X? >,x? （ x X<? ）,()f xG> 。
例3.1.9 证明 lim
x→?∞
e0
x
= 。
证 对于任意给定的 )1,0(∈ε,取
1
ln 0X
ε
= >,当 x X<? 时,
成立
0e
x
< < e
X
ε
=,
于是得到
lim
x→?∞
e0
x
= 。
例 3.1.10 证明 lim
x→?1
2
1
x
x
=
∞? 。
证 对于任意给定的 0G >,要找 0δ >,使当- δ 10x<?<时,
成立
2
1
x
x
<
G? 。
为了适度放大不等式的左边，先加上条件
2
1
10x<?<，于 是
2
x >
1
4
，从而
2
1
x
x
<
1
41()x?
。
令 δ =min
G4
1
,
2
1
，则当- δ 10x<?<时
x
x
2
1?
1
4( 1)x
< <
1
4
G
δ
≤? 。
由此证得
lim
x→?1
2
1
x
x
=
∞? 。 证毕
例3.1.11 由 lim e 0
n
n
→∞
= 与 lim e
n
n→∞
=+∞，以及函数 e
x
的单调性,可知函数 ()f x = e
1
x
(图3.1.4)在 0x = 的左极限存在，且 lim
x→?0
1
e0
x
= ；而当
0x →+时，函数 fx()趋于 ∞+,即 fx()在 0x = 的右极限不存在。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
(2) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如 ∞ ± ∞,
)()( +∞?+∞,()()+∞ +?∞,0?∞，
0
0
，
∞
∞
等等，定理 3.1.4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
(3) 对于这些不同的函数极限，分别有相应的 Heine 定理，它们的叙述、证明方法和作用都是类似的。
(2) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如 ∞ ± ∞,
)()( +∞?+∞,()()+∞ +?∞,0?∞，
0
0
，
∞
∞
等等，定理 3.1.4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
例3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
L
+++
+++
=
∞→
"
"
1
1
1
1
lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
l
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim,
其中 a
n
，
k
a,b
m
，
j
b 都是非零实数。
例3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
L
+++
+++
=
∞→
"
"
1
1
1
1
lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
l
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim,
其中 a
n
，
k
a,b
m
，
j
b 都是非零实数。
解 （1） ∞→x 情形。
当 nm= 时,
L=lim
x→∞
jn
j
n
n
kn
kn
n
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
+++
+++
"
"
1
1
n
n
a
b
= ；
当 nm< 时,
L=lim
x→∞
1
1
1
0
nk
n
nk
mn
j
m
m
mj
aa
a
xx
b
bx
b
xx
+++
=
+++
"
"；
当 nm> 时,
L=lim
x→∞
∞=
+++
+++
jm
j
m
m
kn
kn
n
mn
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
"
"
1
1
。
（2） 0→x 情形。
当 jk = 时,
k
k
k
km
m
km
m
k
kn
n
kn
n
x
b
a
bxbxb
axaxa
l =
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim ；
当 jk > 时,
0lim
1
1
1
1
0
=
+++
+++
=
→
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
njk
x
bxbxb
axaxa
xl
"
"；
当 jk < 时,
∞=
+++
+++
=
→
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
n
kj
x
bxbxb
axaxa
x
l
"
"
1
1
1
1
0
1
lim 。
所以
1
1
1
1
lim
nn k
k
mm j
x
mm j
ax a x ax
L
bx b x bx
→∞
+++
= =
+++
"
"
>∞
<
=;,
,,0
,,
mn
mn
mn
b
a
n
n
1
1
1
0
1
lim
nn k
k
mm j
x
mm j
ax a x ax
l
bx b x bx
→
+++
= =
+++
"
"
<∞
>
=
.,
,,0
,,
jk
jk
jk
b
a
k
k
例3.1.13 lim
x→∞
1
1e
x
x
+ =
。
证 先证 lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
。首先，对于任意 1x ≥,有
[]
1
1
[] 1
x
x
+ <
+
1
1
x
x
+ <
1][
][
1
1
+
+
x
x
,
其中 []x 表示 x的整数部分。当 x →+∞时，不等式左、右两侧表现为 两个数列极限
lim
n→∞
1
1e
1
n
n
+ =
+
与
lim
n→∞
1
1
1e
n
n
+
+ =
。
利用函数极限的夹逼性，得到
lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
。
再证 lim
x→?∞
1
1e
x
x
+ =
。为此令 yx=?,于是当?∞→x 时,+∞→y,
从而
lim
x→?∞
1
1
x
x
+=
lim
y→+∞
1
1
y
y
=
lim
y→+∞
1
11
11e
y
yy
+?+=
。
将 lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
与
∞→x
lim
1
1e
x
x
+ =
结合起来，就得到
lim
x→∞
1
1e
x
x
+ =
。
注 上例的证明中包含下述结果,
lim
x→∞
11
1
e
x
x
=
。
对各种函数极限的情况，同样有相应的 Cauchy收敛原理，在 证明中需要用到相应的Heine定理，下面仅举一例。
定理3.1.6 函数极限 lim
x→+∞
fx()存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0ε >,存在 0X >,使得对一切 ′x,′′x X>,成立
|() ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
证 先证必要性。 设 lim
x→+∞
()f xA=,则? 0ε >,0X? >,? ′x,x X
′′
>,
|() |fx A′?
2
ε
<,|() |fx A′′?
2
ε
<,
于是
|() ( )|fx fx′? ′′ ≤ |() |f xA
′
+ |( ) |f xA
′′
ε< 。
再证充分性。设? 0ε >,0X? >,? ′x,x X′′>,
| () ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
任意选取数列{ x
n
},lim
n→∞
n
x = ∞+,则对上述 0X >,? N,? >nN:
n
x X> 。于是当 mnN>>时，成立
| () ( )|
nm
fx fx ε? < 。
这说明函数值数列 { fx
n
()}是基本数列，因而必定收敛。根据相应的 Heine 定理，可知 lim
x→+∞
fx()存在而且有限。
定理3.1.6 函数极限 lim
x→+∞
fx()存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0ε >,存在 0X >,使得对一切 ′x,′′x X>,成立
|() ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
证 先证必要性。 设 lim
x→+∞
()f xA=,则? 0ε >,0X? >,? ′x,x X
′′
>,
|() |fx A′?
2
ε
<,|() |fx A′′?
2
ε
<,
于是
|() ( )|fx fx′? ′′ ≤ |() |f xA
′
+ |( ) |f xA
′′
ε< 。
§ 1 函数极限
函数极限的定义
在半径为 r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为
2x，则圆弧长度为 2xr,而圆弧所对的弦的长度为 2sinrx，弦长与弧长之比值 y是 x的函数，其关系式为 y
x
x
=
sin
。
猜想：当 x趋于 0时,y
x
x
=
sin
趋于 1。
以后将对这一极限给出严格证明，并记为 lim
x→0
sin x
x
= 1。
注意：在 x趋于0 的过程中，不取 0x = （事实上，当 0x = 时，函数
sin x
x
没有定义）。我们关心的是在 x趋于 0的过程中，函数 y
x
x
=
sin
的变化趋势，而不关心函数在 0x = 处是否有定义，如果有定义的话函数值为多少。
定义3.1.1 设函数 yfx= ()在点 x
0
的某个去心邻域中有定义，
即存在 ρ＞ 0,使
00
(,)\{}Ox xρ? D
f
。
如果存在实数 A，对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
|() |fx A ε? <,
则称 A是函数 fx()在点 x
0
的极限，记为
lim
xx→
0
fx() A=,
或
fx()→ A (x → x
0
)。
如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 fx()在点 x
0
的极限不存在。
函数极限定义的符号表述,
lim
xx→
0
fx()= A 0ε >,0δ? >,x? (
0
0| |xx δ<? <),|() |fx A ε? < 。
定义3.1.1 设函数 yfx= ()在点 x
0
的某个去心邻域中有定义,
即存在 ρ＞ 0,使
00
(,)\{}Ox xρ? D
f
。
如果存在实数 A，对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
|() |fx A ε? <,
则称 A是函数 fx()在点 x
0
的极限，记为
lim
xx→
0
fx() A=,
或
fx()→ A (x → x
0
)。
如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 fx()在点 x
0
的 极限 不存在。
例 3.1.1 证明
0
lim e 1
x
x→
= 。
证? ε>0 (不妨设 01ε< < )，要找 0δ >,使得当 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε< 。
上式等价于
ln(1 )ε? x< < ln(1 )ε+,
取 min{δ = )1ln( ε+,ln(1 )} 0ε>，当 x满足 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε<,
所以
lim
x→0
e1
x
= 。
同样，对任意给定的 0ε >,正数 δ 并不要求取最大的或最佳的值，
所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度放大技巧。
例 3.1.1 证明
0
lim e 1
x
x→
= 。
证? ε>0 (不妨设 01ε< < )，要找 0δ >,使得当 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε< 。
上式等价于
ln(1 )ε? x< < ln(1 )ε+,
取 min{δ = )1ln( ε+,ln(1 )} 0ε>，当 x满足 0 x δ< < 时，成立
｜ e1
x
｜ ε<,
所以
lim
x→0
e1
x
= 。
例3.1.2 证明
2
2
lim 4
x
x
→
= 。
证 对任意给定的 0ε >,要找 0δ >,使得当 0| 2|x δ<?<时，成 立
｜
2
4x? ｜ ε< 。
因为｜
2
4x? ｜ = 22 + xx,保留因子｜ x? 2｜，而将因子
｜ x + 2｜放大，为此加上条件
21x? <,即 13x< <,
于是 25x+ <,从而有
2
45 2xx? <?。
取 minδ =
5
,1
ε
，则当 02x δ<?<时，成立
｜
2
4x? ｜ = 22 + xx 5
5
ε
ε<?=,
所以
2
2
lim 4
x
x
→
= 。
例3.1.3 证明 lim
()
x
xx
x
→
1
2
1
1
=
1
2
。
证
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
||
||
x
x
+
1
21
,
保留因子 ||x?1,而将因子
1
21||x +
放大。为此，加上条件
011x<?<，即 02x< <,
于是
11
2| 1| 2x
<
+
。
取
{}
min 1,2δ ε=,则当 01x δ<?<，成立
2
1
1
)1(
2
x
xx
=
||
||
x
x
+
1
21
＜
1
2
2ε ε? =,
所以
2
1
(1)
lim
1
x
xx
x
→
=
1
2
。
函数极限的性质
(1) 极限的唯一性
定理3.1.1 设 A与 B都是函数 fx()在点 x
0
的极限，则 A B= 。
证 根据函数极限的定义，可知,
ε>0,?
1
0δ >,? x (
01
0| |xx δ<?<),|() |
2
fx A
ε
< ；
2
0δ >,? x (
02
0| |xx δ<?<),|() |
2
fx B
ε
< 。
取 minδ = {
12
,δ δ }，当
0
0| |xx δ<?<时,
| A-B| |() |f xA≤?+|() |f xB? ε< 。
由于 ε可以任意接近于0，可知 A=B。
证毕
(2) 局部保序性
定理3.1.2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B，且 A > B，则存在 0δ >,
当
0
0 ||xx δ<?<时，成立
()f x > g x()。
证 取
0
ε = 0
2
AB?
> 。由 lim
xx→
0
fx()= A,?
1
0δ >,? x (
01
0 ||xx δ<?<)：
|() |f xA? <
0
ε,从而
2
A B+
< fx()；
由 lim
xx→
0
g x()= B,?
2
0δ >,? x (
02
0 ||xx δ<?<),
|() |gx B? <
0
ε,从而 ()gx<
AB+
2
。
取 minδ = {
12
,δ δ }，当
0
0| |xx δ<?<，成立
g x()
2
A B+
< < fx()。
证毕推论1 若 0)(lim
0
≠=
→
Axf
xx
，则存在 0δ >,当 δ<?< ||0
0
xx 时，成立
2
)(
A
xf > 。
证 由 Axf
xx
=
→
)(lim
0
及 AxfAxf?≤? )()(,可知 Axf
xx
=
→
)(lim
0
。 令
2
)(
A
xg =,由 A
A
<
2
及定理 3.1.2，可知存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<时,成立
2
)(
A
xf > 。
推论2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B,且存在 r ＞ 0，使得当
0
0
<? <||xx r时，成立 ()gx≤ fx(),则
B ≤ A。
证 反证法。 若 B > A,则由定理3.1.2,存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<
时,
()gx> fx()。
取 minη = {δ,r }，则当
0
0| |xx η<?<时，既有 ()gx> fx(),又有
()gx≤ fx()，从而产生矛盾。
注意：既使将推论 2的条件加强到当 0
0
<? <||xx r时，成立
()gx< fx(),也只能得到 BA≤ 的结论，而不能得到 BA< 的结论。
推论2 若 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
g x()=B,且存在 r ＞ 0，使得当
0
0
<? <||xx r时，成立 ()gx≤ fx(),则
B ≤ A。
证 反证法。 若 B > A,则由定理3.1.2,存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<?<
时,
()gx> fx()。
取 minη = {δ,r }，则当
0
0| |xx η<?<时，既有 ()gx> fx(),又有
()gx≤ fx()，从而产生矛盾。
推论3 (局部有界性) 若 lim
xx→
0
fx()= A,则存在 0δ >,使得 fx()在
),(
0
δxO \{x
0
} 中有界 。
证 取常数 M 与 m，满足 m A< < M,令 ()g xm=,h x()= M 为两个 常数函数，由定理3.1.2 可知存在 0δ >,当
0
0| |xx δ<? <时，成立
m ()f x< < M 。
证毕
(3) 夹逼性
定理3.1.3 若存在 0r >,使得当 0
0
<? <||xx r时，成立
gx() ()f x≤ ≤ hx(),
且 lim
xx→
0
gx()= lim
xx→
0
hx()= A,则 lim
xx→
0
fx()= A。
证? 0ε >,由 lim
xx→
0
h x()= A，可知?
1
0δ >,? x(
01
0| |xx δ<?<)：
| () |hx A ε? <,从而 ()hx< A ε+ ；
由 lim
xx→
0
g x()= A，可知?
2
0δ >,? x(
02
0| |xx δ<? <):|() |gx A ε? <,
从而 A-ε < g x()。
取 minδ = {
12
,,rδ δ },? x(
0
0 ||xx δ<?<),
A ε? ()g x< ≤ fx() ()hx≤ < A ε+,
所以
lim
xx→
0
fx()= A。
证毕
例 3.1.4 证明,lim
x→0
sin x
x
= 1
证 （图 3.1.2）设∠ AOB的弧度为
π
,0
2
xx<<，由于
△ OAB面积＜扇形OAB 面积＜△ OBC面积,
得到
sin tanx xx<<,
π
0
2
x< < 。
从而
sin
cos 1
x
x
x
<<,
π
0
2
x< < 。
显然上式对于
π
0
2
x?<<也成立。由于
cos 1x?=
2
2sin
2
x
≤
x
2
2
,
可知
0
lim cos 1
x
x
→
= 。应用极限的夹逼性，得到
lim
x→0
sin x
x
= 1。
y
C
A
O B x
图 3.1.2
注 此极限亦可由例2.4.5的结果
lim
n→∞
sin(π )
1
π
n
n
=
直接导出：对任意
ππ
,{0}
22
x
∈?
\,一定存在正整数 n，满足
ππ
||
1
x
nn
< ≤
+
,
由此得到
sin[π (1)]
π (1) 1
nn
nn
+
+ +
<<
sin x
x
sin(π )1
π
nn
nn
+
。
当 x→ 0时有 n→∞，利用极限的夹逼性，即有
lim
x→0
sin x
x
= 1。
函数极限的四则运算
定理3.1.4 设 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
gx() = B,则
(I) lim
xx→
0
( ()f xα + ()gxβ )=α A+β B (α,β 是常数 )；
(II) lim
xx→
0
( fx()gx())=AB；
(III) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
A
B
(B≠ 0)。
证 由 lim
xx→
0
fx()= A，可知?
0
0δ >,x? (
00
0 ||xx δ<?<),
| fx()| X≤,
且? 0ε >,?
1
0δ >,? x (
01
0 ||xx δ<?<),
| ()f xA? | ε< ；
再由 lim
xx→
0
g x()=B，可知?
2
0δ >,x? (
02
0 ||xx δ<?<),
()gx B ε? < 。
函数极限的四则运算
定理3.1.4 设 lim
xx→
0
fx()= A,lim
xx→
0
gx() = B,则
(I) lim
xx→
0
( ()f xα + ()gxβ )=α A+β B (α,β 是常数 )；
(II) lim
xx→
0
( fx()gx())=AB；
(III) lim
xx→
0
fx
gx
()
()
=
A
B
(B≠ 0)。
取
012
min(,,)δ δδδ=,则 x? (
0
0| |xx δ<?<),
| ( ()f xα + ()gxβ )-(α A+β B)｜ ≤ ||α )(| xf? -A｜ + || β )(| xg? -B |
()α βε<+
及
|fx()g x()-AB | = | ( fx()( g x()-B ) + B( fx()-A ) | ()XBε<+,
因此 (I)和 (II)成立。
利用定理3.1.2的推论1,可知?
*
0δ >,? x(
0*
0 ||xx δ<?<),
()gx >
||B
2
。
取
*12
min(,,)δ δδδ=,? x(
0
0| |xx δ<?<),
()
()
f xA
gx B
=
)(
))(())((
xBg
BxgAAxfB
2
2(||||)
||
A B
B
+
< ε,
因此(III)也成立。
证毕
取
012
min(,,)δ δδδ=,则 x? (
0
0| |xx δ<?<),
| ( ()f xα + ()gxβ )-(α A+β B)｜ ≤ ||α )(| xf? -A｜ + || β )(| xg? -B |
()α βε<+
及
|fx()g x()-AB | = | ( fx()( g x()-B ) + B( fx()-A ) | ()XBε<+,
因此 (I)和 (II)成立。
例3.1.5 对于任意实数 0α ≠,有
lim
x→0
sin x
x
α
= lim
x→0
sin
()
x
x
α
α
α
=α ；
对于任意实数,0α β ≠,则有
lim
x→0
sin
sin
x
x
α
β
= lim
x→0
(
sin x
x
α
／
sin x
x
β
) =
α
β
。
函数极限与数列极限的关系
定理3.1.5 （ Heine定理） lim
xx→
0
fx()= A 的充分必要条件是,对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且
n
x ≠ x
0
( n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列{ fx
n
()}成立
lim
n→∞
fx
n
()= A。
函数极限与数列极限的关系
定理3.1.5 （ Heine定理） lim
xx→
0
fx()= A 的充分必要条件是,对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且
n
x ≠ x
0
( n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列{ fx
n
()}成立
lim
n→∞
fx
n
()= A。
证 必要性,
由 lim
xx→
0
fx()= A，可知? 0ε >,? 0δ >,? x (
0
0| |xx δ<?<),
| ()f xA? |＜ ε 。
因为 lim
n→∞
x
n
= x
0
，且 x
n
≠ x
0
( n = 123,,, ")，对于上述 0δ >,? N,? >nN：
0
0| |
n
xxδ<?<。
于是当 nN> 时，成立
| ()
n
f xA? | ε<,
即
lim
n→∞
fx
n
()= A。
充分性：用反证法。
按函数极限定义，命题,fx()在 x
0
点以 A为极限”可以表述为：
0ε >,? 0δ >,? x (
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? < 。
于是它的否定命题,fx()在 x
0
点不以 A为极限”可以对偶地表述为：
0
0ε >,? 0δ >,?x (
0
0| |xx δ<?<),
0
|() |fx A ε? ≥ 。
取一列 {
n
δ },
1
n
n
δ = （ n = 123,,, "）。
对
1
1δ =,存在 x
1
(
10 1
0 ||xx δ<?<)，使
10
| () |fx A ε? ≥ ；
对
2
δ =
1
2
,存在 x
2
(
20 2
0 ||xxδ<?<)，使
20
| () |fx A ε? ≥ ；
……,
一般地，对
k
δ =
1
k
，存在 x
k
(
0
0| |
kk
xxδ<?<)，使
0
|( ) |
k
fx A ε? ≥ ；
……。
于是得到数列 { x
n
}，满足
n
x ≠ x
0
,lim
n→∞
x
n
= x
0
，但相应的函数值数列
{ fx
n
()}不可能以 A 为极限。
由此推翻假 定，得到 fx()在 x
0
点以 A 为极限。
证 毕
这一性质被经常用于证明某个函数极限的不存在性。
一般地，对
k
δ =
1
k
，存在 x
k
(
0
0| |
kk
xxδ<?<)，使
0
|( ) |
k
fx A ε? ≥ ；
……。
于是得到数列 { x
n
}，满足
n
x ≠ x
0
,lim
n→∞
x
n
= x
0
，但相应的函数值数列
{ fx
n
()}不可能以 A 为极限。
由此推翻假 定，得到 fx()在 x
0
点以 A 为极限。
证 毕
例3.1.6 证明
1
sin
x
在 0x = 没有极限。
证 取 x
n
()1
=
1
nπ
( n = 123,,, ")； x
n
()2
=
1
2
2
nπ
π
+
( n = 123,,, ")。
则显然有
(1)
0
n
x ≠,lim
n→∞
(1)
0
n
x = 与
(2)
0
n
x ≠,lim
n→∞
(2)
0
n
x = 。 但由于 lim
n→∞
(1)
1
sin 0
n
x
=,
而 lim
n→∞
(2)
1
sin 1
n
x
=,根据定理3.1.5,可知
1
sin
x
在 0x = 没有极限。
x
定理3.1.5′ lim
xx→
0
fx() 存在的充分必要条件是：对于任意满足条件 lim
n→∞
x
n
= x
0
且 x
n
≠ x
0
(n = 123,,, ")的数列 { x
n
},相应的函数值数列 { fx
n
()}收敛 。
单侧极限
定义3.1.2 设 fx()在 (?
0
x ρ,
0
x )有定义（ 0ρ > ）。 如果存在实数 B，对于任意给定的 0>ε,可以找到 0δ >,使得当
0
0xxδ? <? <时,
成立
| () |fx B ε? <,
则称 B是函数 fx()在点
0
x 的 左极限,记为
→
0
lim
xx
)(xf
0
()f xB=?= 。
类似地,如果 fx()在 ( x
0
,x
0
+ρ )有定义 （ 0ρ > ）。 并且存在实数 C，
对于任意给定的 0ε >,可以找到 0δ >,使得当
0
0 xx δ<?<时，成立
|() |fx C ε? <,
则称 C是函数 fx()在点 x
0
的 右极限,记为
lim
xx→+
0
fx()
0
()f xC= += 。
单侧极限
定义3.1.2 设 fx()在 (?
0
x ρ,
0
x )有定义（ 0ρ > ）。 如果存在实数 B，对于任意给定的 0>ε,可以找到 0δ >,使得当
0
0xxδ? <? <时,
成立
| () |fx B ε? <,
则称 B是函数 fx()在点
0
x 的 左极限,记为
→
0
lim
xx
)(xf
0
()f xB=?= 。
显然，函数 fx()在 x
0
极限存在的充分必要条件是 fx()在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
lim
xx→
0
()f xA=? lim
xx→?
0
fx()
0
lim
x x→+
= ()f xA= 。
例3.1.7 符号函数 sgn x在原点的单侧极限存在但不相等,
→0
lim
x
sgn 1x =?,
+→0
lim
x
sgn 1x =,
因此符号函数在 0x = 处没有极限。
显然，函数 fx()在 x
0
极限存在的充分必要条件是 fx()在 x
0
的左极限与右极限存在并且相等,
lim
xx→
0
()f xA=? lim
xx→?
0
fx()
0
lim
x x→+
= ()f xA= 。
例3.1.8 设
≥
<
=
.0,cos2
,0,
2sin
)(
2
xx
x
x
x
xf
问当 x趋于0时,)(xf 的极限是否存在？
解 由于
2
2sin
lim)(lim
00
==
→?→
x
x
xf
xx
,2cos2lim)(lim
2
00
==
+→+→
xxf
xx
,
因此当 x趋于0时,)(xf 的极限存在，且 2)(lim
0
=
→
xf
x
。
函数极限定义的扩充
函数极限 lim
xx→
0
()f xA= 可表述为,
0ε >,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? <,
其中
0
,x A都是有限实数。
但实际上，自变量的极限过程有六种情况,
0
x x→,x
0
+,?
0
x,∞、+ ∞,∞?,
函数值的极限有四种情况,
()f xA→,∞、+ ∞,∞? 。
经过分析，可以发现,
,? 0ε >,…,| () |fx A ε? <,描述的是函数值的极限情况,
,()f xA→,；
“…,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<)：…”描述的是自变量的极 限过程“
0
x x→,。
函数极限定义的扩充
函数极限 lim
xx→
0
()f xA= 可表述为,
0ε >,? 0δ >,? x(
0
0| |xx δ<?<),|() |fx A ε? <,
其中
0
,x A都是有限实数。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程,分别有相应的表述方式,
,()f xA→ (有限数)”：,? 0ε >,…,|() |fx A ε? <,；
,fx()→∞”,,0G? >,…,| ()|f xG>,；
,fx()→ ∞+,,,0G? >,…,()f xG>,；
,fx()→ ∞?,,,0G? >,…,()f xG<?,；
以及
,
0
x x→,,,
0
,0,(0||):xxxδδ >? <? <,；
,
0
x x→+”,,
0
,0,(0 ):xxx >? <? <”；
,
0
xx→?”,,
0
,0,( 0):xxxδδ > <? <”；
,x →∞”,,,0,(|| ):XxxX >? >”；
,x →+∞”,,,0,():XxxX >? >”；
,x →?∞”,,,0,( ):XxxX >? <”。
对于上述四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程,分别有相应的表述方式,
,()f xA→ (有限数)”：,? 0ε >,…,|() |fx A ε? <,；
,fx()→∞”,,0G? >,…,| ()|f xG>,；
,fx()→ ∞+,,,0G? >,…,()f xG>,；
,fx()→ ∞?,,,0G? >,…,()f xG<?,；
于是任何一种函数极限立即可以写出相应的定义。例如,
lim
xx→+
0
fx()=∞的定义为,
0G?>,? 0δ >,x? （
0
0 xx δ<?<）,|()|f xG> ；
lim
x→+∞
()f xA= 的定义为,
ε > 0,0X? >,x? （ x X> ）,|() |fx A ε? < ；
lim
x→?∞
fx()= +∞ 的定义为,
0G?>,0X? >,x? （ x X<? ）,()f xG> 。
例3.1.9 证明 lim
x→?∞
e0
x
= 。
证 对于任意给定的 )1,0(∈ε,取
1
ln 0X
ε
= >,当 x X<? 时,
成立
0e
x
< < e
X
ε
=,
于是得到
lim
x→?∞
e0
x
= 。
例 3.1.10 证明 lim
x→?1
2
1
x
x
=
∞? 。
证 对于任意给定的 0G >,要找 0δ >,使当- δ 10x<?<时,
成立
2
1
x
x
<
G? 。
为了适度放大不等式的左边，先加上条件
2
1
10x<?<，于 是
2
x >
1
4
，从而
2
1
x
x
<
1
41()x?
。
令 δ =min
G4
1
,
2
1
，则当- δ 10x<?<时
x
x
2
1?
1
4( 1)x
< <
1
4
G
δ
≤? 。
由此证得
lim
x→?1
2
1
x
x
=
∞? 。 证毕
例3.1.11 由 lim e 0
n
n
→∞
= 与 lim e
n
n→∞
=+∞，以及函数 e
x
的单调性,可知函数 ()f x = e
1
x
(图3.1.4)在 0x = 的左极限存在，且 lim
x→?0
1
e0
x
= ；而当
0x →+时，函数 fx()趋于 ∞+,即 fx()在 0x = 的右极限不存在。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
(2) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如 ∞ ± ∞,
)()( +∞?+∞,()()+∞ +?∞,0?∞，
0
0
，
∞
∞
等等，定理 3.1.4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
(3) 对于这些不同的函数极限，分别有相应的 Heine 定理，它们的叙述、证明方法和作用都是类似的。
(2) 关于函数极限的四则运算，只要不是待定型，如 ∞ ± ∞,
)()( +∞?+∞,()()+∞ +?∞,0?∞，
0
0
，
∞
∞
等等，定理 3.1.4 总是成立的。
如果出现待定型，则需要对具体的函数极限作具体的讨论。
注 (1) 关于函数极限的性质，例如局部保序定理与夹逼性定理，
只当函数极限 A 为有限数,+∞与 ∞? 时才是成立的。也就是说，讨论这些定理，须排除 A 是未定号无穷大∞的情况。这是因为我们无法将 ∞与任意有限数作大小的比较，而对于定号无穷大 +∞或 ∞?,我们可以认为不等式 A?∞< <+∞ ( A 为任意实数 ) 成立。
例3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
L
+++
+++
=
∞→
"
"
1
1
1
1
lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
l
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim,
其中 a
n
，
k
a,b
m
，
j
b 都是非零实数。
例3.1.12 讨论极限
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
L
+++
+++
=
∞→
"
"
1
1
1
1
lim
与
j
j
m
m
m
m
k
k
n
n
n
n
x
xbxbxb
xaxaxa
l
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim,
其中 a
n
，
k
a,b
m
，
j
b 都是非零实数。
解 （1） ∞→x 情形。
当 nm= 时,
L=lim
x→∞
jn
j
n
n
kn
kn
n
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
+++
+++
"
"
1
1
n
n
a
b
= ；
当 nm< 时,
L=lim
x→∞
1
1
1
0
nk
n
nk
mn
j
m
m
mj
aa
a
xx
b
bx
b
xx
+++
=
+++
"
"；
当 nm> 时,
L=lim
x→∞
∞=
+++
+++
jm
j
m
m
kn
kn
n
mn
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
"
"
1
1
。
（2） 0→x 情形。
当 jk = 时,
k
k
k
km
m
km
m
k
kn
n
kn
n
x
b
a
bxbxb
axaxa
l =
+++
+++
=
→
"
"
1
1
1
1
0
lim ；
当 jk > 时,
0lim
1
1
1
1
0
=
+++
+++
=
→
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
njk
x
bxbxb
axaxa
xl
"
"；
当 jk < 时,
∞=
+++
+++
=
→
j
jm
m
jm
m
k
kn
n
kn
n
kj
x
bxbxb
axaxa
x
l
"
"
1
1
1
1
0
1
lim 。
所以
1
1
1
1
lim
nn k
k
mm j
x
mm j
ax a x ax
L
bx b x bx
→∞
+++
= =
+++
"
"
>∞
<
=;,
,,0
,,
mn
mn
mn
b
a
n
n
1
1
1
0
1
lim
nn k
k
mm j
x
mm j
ax a x ax
l
bx b x bx
→
+++
= =
+++
"
"
<∞
>
=
.,
,,0
,,
jk
jk
jk
b
a
k
k
例3.1.13 lim
x→∞
1
1e
x
x
+ =
。
证 先证 lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
。首先，对于任意 1x ≥,有
[]
1
1
[] 1
x
x
+ <
+
1
1
x
x
+ <
1][
][
1
1
+
+
x
x
,
其中 []x 表示 x的整数部分。当 x →+∞时，不等式左、右两侧表现为 两个数列极限
lim
n→∞
1
1e
1
n
n
+ =
+
与
lim
n→∞
1
1
1e
n
n
+
+ =
。
利用函数极限的夹逼性，得到
lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
。
再证 lim
x→?∞
1
1e
x
x
+ =
。为此令 yx=?,于是当?∞→x 时,+∞→y,
从而
lim
x→?∞
1
1
x
x
+=
lim
y→+∞
1
1
y
y
=
lim
y→+∞
1
11
11e
y
yy
+?+=
。
将 lim
x→+∞
1
1e
x
x
+ =
与
∞→x
lim
1
1e
x
x
+ =
结合起来，就得到
lim
x→∞
1
1e
x
x
+ =
。
注 上例的证明中包含下述结果,
lim
x→∞
11
1
e
x
x
=
。
对各种函数极限的情况，同样有相应的 Cauchy收敛原理，在 证明中需要用到相应的Heine定理，下面仅举一例。
定理3.1.6 函数极限 lim
x→+∞
fx()存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0ε >,存在 0X >,使得对一切 ′x,′′x X>,成立
|() ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
证 先证必要性。 设 lim
x→+∞
()f xA=,则? 0ε >,0X? >,? ′x,x X
′′
>,
|() |fx A′?
2
ε
<,|() |fx A′′?
2
ε
<,
于是
|() ( )|fx fx′? ′′ ≤ |() |f xA
′
+ |( ) |f xA
′′
ε< 。
再证充分性。设? 0ε >,0X? >,? ′x,x X′′>,
| () ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
任意选取数列{ x
n
},lim
n→∞
n
x = ∞+,则对上述 0X >,? N,? >nN:
n
x X> 。于是当 mnN>>时，成立
| () ( )|
nm
fx fx ε? < 。
这说明函数值数列 { fx
n
()}是基本数列，因而必定收敛。根据相应的 Heine 定理，可知 lim
x→+∞
fx()存在而且有限。
定理3.1.6 函数极限 lim
x→+∞
fx()存在而且有限的充分必要条 件是,对于任意给定的 0ε >,存在 0X >,使得对一切 ′x,′′x X>,成立
|() ( )|fx fx ε
′ ′′
< 。
证 先证必要性。 设 lim
x→+∞
()f xA=,则? 0ε >,0X? >,? ′x,x X
′′
>,
|() |fx A′?
2
ε
<,|() |fx A′′?
2
ε
<,
于是
|() ( )|fx fx′? ′′ ≤ |() |f xA
′
+ |( ) |f xA
′′
ε< 。
