从定义出发求导函数
一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数,
常数函数 yC= 的导数恒等于零。
例4.3.1 求 yx= sin 的导函数。
解
2
sin
2
cos2sin)sin(
xx
xxxx
Δ
Δ
+=?Δ+,由 cos x的连续性与
)0(
2
~
2
sin →Δ
ΔΔ
x
xx
，可知
0
sin( ) sin
lim
x
xx x
x
Δ→
+Δ?
Δ
2
2
sin
lim
2
coslim
00
x
x
x
x
xx
Δ
Δ
Δ
+=
→Δ→Δ
=cos x,
根据定义，即得
(sin ) cosxx′ = 。
§ 3 导数四则运算和反函数求导法则例4.3.2 求 yx= ln 的导函数。
解
Δ
+=
Δ+
=?Δ+
x
x
x
xx
xxx 1lnlnln)ln(,
由 )0(~1ln →Δ
Δ
Δ
+ x
x
x
x
x
，可知
00
ln 1
ln( ) ln 1 1
lim lim
xx
x
xx x
x
x
xx x
x
Δ→ Δ→
Δ

+

+Δ?

= =
Δ
Δ
,
根据定义，即有
(ln )x
x
′ =
1
。
例4.3.3 求
x
y e= 的导函数。
解 利用等价关系式 e1~ ( 0)
x
xx
Δ
ΔΔ→，可得
00
ee e1
lim e lim e
xx x x
x x
+Δ Δ
Δ→ Δ→

=?=
ΔΔ
,
即有
(e ) e
xx
′ = 。
进一步，利用等价关系 )1,0(ln~1 ≠>?Δ?
Δ
aaaxa
x
，可得
() (ln)aaa
xx
′ = 。
注意,y
x
= e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数函数和对数函数时经常将底数取成 e的缘故。以后会知道，若一个函数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y
x
= e 至多相差一个常数因子，即它必为
yC
x
= e
的形式。
例4.3.3 求
x
y e= 的导函数。
解 利用等价关系式 e1~ ( 0)
x
xx
Δ
ΔΔ→，可得
00
ee e1
lim e lim e
xx x x
x x
+Δ Δ
Δ→ Δ→

=?=
ΔΔ
,
即有
(e ) e
xx
′ = 。
进一步，利用等价关系 )1,0(ln~1 ≠>?Δ?
Δ
aaaxa
x
，可得
() (ln)aaa
xx
′ = 。
例4.3.4 求幂函数 yx
a
= ( 0x > )的导函数,其中 a为任意实数。
解 利用等价关系
x
xa
x
x
a
Δ
Δ
+ ~11 ( 0→Δx ),有
,
11
lim
11
lim
)(
lim
1
0
1
00
→Δ
→Δ→Δ
=
Δ
Δ
+
=
Δ
Δ
+
=
Δ
Δ+
a
a
x
a
a
a
x
aa
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
于是得到
()xax
aa
′ =
1
。
注意：对于具体给定的实数 a，幂函数 yx
a
= 的定义域与可导范围可能扩大，例如,
n
yx= （ n为自然数）的定义域为 (,)?∞+∞，它的导函数为
1
,(,)
n
ynx x
′
= ∈?∞+∞；
1
n
y
x
= （ n为自然数）的定义域为 (,0)(0,)?∞∪+∞，它的导函数为
1
,(,0)(0,)
n
n
yx
x
+
′
= ∈?∞ ∪ +∞；
2
3
y x= 的定义域为 (,)?∞+∞，它的导函数为
3
2
,(,0)(0,)
3
yx
x
′
= ∈?∞ ∪ +∞；
1
2
y x= 的定义域为
[ )
0,+∞,它的导函数为
1
,(0,)
2
yx
x
′
= ∈+∞。
求导的四则运算法则
定理4.3.1 设 fx()和 gx()在某一区间上都是可导的,则对任意常数 c
1
和 c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[() )] () )cf x cgx cf x cg x
12 1 2
+ ( ′ = ′ + ′( 。
证 由 fx()和 gx()可导性,根据定义，可得
[]
12
() ()c f xcg x
′
+ =
[ ] [ ]
12 12
0
()() ()()
lim
x
c f xxcg xx cf xcg x
x
Δ→
+Δ + +Δ? +
Δ
=
1
0
()()
lim
x
f xxf x
c
x
Δ→
+Δ?
Δ
+
2
0
()()
lim
x
g xxg x
c
x
Δ→
+Δ?
Δ
=
12
() ().cf x cg x
′ ′
+
证毕
对于函数 cf x cgx
12
() )+ ( 的微分，也有类似的结果,
)][)]([)])([
2121
xgcxfcxgcxfc (+=(+ ddd 。
求导的四则运算法则
定理4.3.1 设 fx()和 gx()在某一区间上都是可导的,则对任意常数 c
1
和 c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也在该区间上可导，且满足如下的线性运算关系
[() )] () )cf x cgx cf x cg x
12 1 2
+ ( ′ = ′ + ′( 。
证 由 fx()和 gx()可导性,根据定义，可得
[]
12
() ()c f xcg x
′
+ =
[ ] [ ]
12 12
0
()() ()()
lim
x
c f xxcg xx cf xcg x
x
Δ→
+Δ + +Δ? +
Δ
=
1
0
()()
lim
x
f xxf x
c
x
Δ→
+Δ?
Δ
+
2
0
()()
lim
x
g xxg x
c
x
Δ→
+Δ?
Δ
=
12
() ().cf x cg x
′ ′
+
证毕
因为
a
x
x
a
ln
ln
log =,由定理4.3.1和对数函数的导数公式，有
()
ax
x
a
x
a
ln
1
)(ln
ln
1
log =
′
=
′
。
例4.3.5 求 xxy
a
3log5 += 的导函数 )1,0( ≠> aa 。
解
53
(5log 3)5(log )3( ),
ln
2
aa
yxx xx
xa
x
′′′′
=+= +=+。
定理4.3.2 设 fx()和 gx()在某一区间上都是可导的,则它们的积函数也在该区间上可导，且满足
[() )] () ) () )fx gx f xgx fxgx? ( ′ = ′ ( + ′( ；
相应的微分表达式为
)][)()]([))])([ xgxfxfxgxgxf (+(=(? ddd 。
证 因为
() )())
[( ) ) ( ) )][( ) ) () )]
)) ()()
() ),
fx x gx x fx gx
x
f xxg xxf xxg x f xxg x f x g x
x
gx x gx fx x fx
fx x gx
x x
+Δ? ( +Δ (
Δ
+Δ? ( +Δ? +Δ? ( + +Δ? ( (
=
Δ
(+Δ?( +Δ?
=+Δ +(
Δ Δ
由 fx()和 gx()可导性（显然 ()f x 也具有连续性），即可得到
0
00 0
() )())
[() ()] lim
)) ()()
lim ( )lim )lim
x
xx x
fx x gx x fx gx
fx gx
x
gx x gx fx x fx
fx x gx
xx
Δ→
Δ→ Δ→ Δ→
+Δ?(+Δ(
′
=
Δ
(+Δ?( +Δ?
=+Δ +(
ΔΔ
。
()() () ().f xgx f xg x
′′
= + 证毕例4.3.6 求 yx
x
= 3cos 的导函数。
解
(3 cos ) (3 ) cos 3 (cos )
ln 3 (3 ) cos 3 sin 3 (ln 3 cos sin )
xxx
xxx
yx xx
x xxx
′′′ ′
==+
= = 。
例4.3.7 求 y
x
x
=
sin
的导函数。
解
=
′
y
′
+
′
=
′
x
x
x
x
x
x 1
sin
1
)(sin
sin
2
11
cos sinx x
xx
=? =
xx x
x
cos sin
2
。
例4.3.6 求 yx
x
= 3cos 的导函数。
解
(3 cos ) (3 ) cos 3 (cos )
ln 3 (3 ) cos 3 sin 3 (ln 3 cos sin )
xxx
xxx
yx xx
x xxx
′′′ ′
==+
= = 。
定理4.3.3 设 gx()在某一区间上可导,且 g x()≠ 0,则它的倒数也在该区间上可导，且满足
2
)][
)
)
1
xg
xg
xg (
(
′
=
′
(；
相应的微分表达形式为
2
11
dd[)]
)[)]
gx
gx gx

=?(

((

。
证 记 y
gx
=
(
1
)
，则有
00 0
2
11
1))))
lim lim lim
() ) )
1))1'(
lim lim
))[]
xx x
yggxgx x gx
gx x x gx x gx x
gx x gx g x
gx x gx x gx
Δ→ Δ→ Δ→
Δ→ Δ→
′
Δ(?+Δ
(+Δ (
== =

ΔΔ +Δ?(?

(+Δ?(


(Δ (+Δ


。
证毕例4.3.8 求 y x= sec 的导函数。
解 因为 sec
cos
x
x
=
1
，于是
22
1(cos)sin
(sec ) tan sec
cos cos cos
xx
x xx
xxx
′
′

′
====


。
同理可得
xxx csccot)(csc?=
′
。
推论 设 fx()和 gx()在某一区间上都是可导的，且 g x()≠ 0,则它们的商函数也在该区间上可导，且满足
2
)][
))())(
)
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
(
(
′
(
′
=
′
(；
这一结论的微分形式为
2
() )d[ ()] ()d[ )]
d
)[
f x g x f x f x g x
gx gx
(?(
=

((

。
例4.3.8 求 y x= sec 的导函数。
解 因为 sec
cos
x
x
=
1
，于是
22
1(cos)sin
(sec ) tan sec
cos cos cos
xx
x xx
xxx
′
′

′
====


。
同理可得
xxx csccot)(csc?=
′
。
例4.3.9 求 xy tan= 的导函数。
解 因为
x
x
x
cos
sin
tan =,由上述推论,
2
22
2
2
sin (sin ) cos sin (cos )
(tan )
cos cos
cos sin
sec
cos
x xxxx
x
xx
xx
x
x
′
′ ′

′
==


+
==。
同理可得
xx
2
csc)(cot?=
′
。
反函数求导法则
定理4.3.4 (反函数求导定理) 若函数 yfx= ()在 (,)ab上连续,
严格单调、可导并且 ′ ≠fx() 0，记 ))(),(min(?+= bfafα,
))(),(max(?+= bfafβ,则它的反函数 xfy=
1
()在 ),( βα 上可导且有
[()]
()
fy
fx
′ =
′
1
1
。
证 因为函数 )(xfy = 在 (,)ab上连续且严格单调，由反函数连
续定理，它的反函数 xfy=
1
()在 ),( βα 上存在,连续,且严格单调，
所以 ()()0yfx x fxΔ =+Δ? ≠等价于
11
()()0xfy y fy

Δ =+Δ? ≠，并且当
yΔ
0→ 时有 xΔ 0→ 。因此
1
()()f y
′
=
0
lim
→Δy
11
()()f yyfy
y

+Δ?
Δ
=
0
lim
→Δx
()()
x
f xxfx
Δ
+Δ?
0
1
()()
lim
x
f xxfx
x
Δ→
= =
+Δ?
Δ
1
()f x
′
。
证毕例4.3.10 求 xy tanarc= 和 yx= arcsin 的导函数。
解 容易验证 yx tan= 满足定理4.3.4的所有条件，将 xy tanarc=
看成它的反函数，于是有
222
1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1
)tan(arc
xyyy
x
+
=
+
==
′
=
′
。
类似地，将 yx= arcsin 看成 xy= sin 的反函数，便可得到
(arcsin )
(sin ) cos
sin
x
yy
yx
′ =
′
==
=
11 1
1
1
1
22
。
同样可得到
(arccos )x
x
′=?
1
1
2
,
2
1
1
)cot(arc
x
x
+
=
′
。
例4.3.11 求双曲函数及反双曲函数的导函数。
解 由于
x
x
x
x
x
x
x
=?=
′
=
′
=
′
e
e
e
)(e
)(e
e
1
)(e
22
,
于是
xx
xxxx
ch
2
ee
2
ee
)(sh =
+
=
′
=
′

。
同理可得
(ch ) shxx′ = 。
由
sh
th
ch
x
x
x
= 和
x
x
x
x
sh
ch
th
1
cth ==,可以得到
(th )
ch
sechx
x
x′ ==
1
2
2
,
(cth )
sh
cschx
x
x′ ==
1
2
2
。
反双曲函数的导函数可按反三角函数类似导出，如
(sh )
(sh ) ch
sh
′ =
′
==
+
=
+
1
22
11 1
1
1
1
x
yy
yx
,
这里利用了双曲函数的关系 ch sh
22
1xx? = 。
同理可得
(ch )
′ =
1
2
1
1
x
x
,
2
11
1
1
)(cth)(th
x
xx
=
′
=
′

。
基本初等函数的导数和微分公式,
()C ′ = 0 d( ) 0 d 0Cx=? =
1
()xx
αα
α
′
=
1
d( ) dxxx
αα
α
=
(sin ) cosxx′ = d(sin ) cos dxxx=
(cos ) sinxx′=? d(cos ) sin dxxx=?
xx
2
sec)(tan =
′
2
d(tan ) secxxx= d
xx
2
csc)(cot?=
′
2
d(cot ) cscxxx=? d
xxx sectan)(sec =
′
d(sec ) tan secxxx= d
xxx csccot)(csc?=
′
d(csc ) cot cscxxx=? d
(arcsin )x
x
′=
1
1
2
2
d
d (arcsin )
1
x
x
x
=
(arccos )x
x
′=?
1
1
2
2
d
d(arccos )
1
x
x
x
=?
2
1
1
)tan(arc
x
x
+
=
′
2
d
d(arctan )
1
x
x
x
=
+
2
1
1
)cot(arc
x
x
+
=
′
2
d
d(arccot )
1
x
x
x
=?
+
() lnaaa
xx
′ =?,
d( ) ln d
xx
aaax=?
特别地 (e ) e
xx
′ = 特别地 d(e ) e d
xx
x=
(log )
ln
a
x
ax
′ =?
11
1d
d(log )
ln
a
x
x
ax
=?
特别地 (ln )x
x
′=
1
特别地
d
d(ln )
x
x
x
=
(sh ) chxx′= d(sh ) ch dxxx=
(ch ) shxx′ = d(ch ) sh dxxx=
xx
2
sech)(th =
′
2
d(th ) sech dxxx=
xx
2
csch)(cth?=
′
2
d(cth ) csch d=?
2
1
1
1
)(sh
x
x
+
=
′
1
2
d
d(sh )
1
x
x
x
=
+
(ch )
′ =
1
2
1
1
x
x
1
2
d
d(ch )
1
x
x
x
=
(th ) (cth )

′ = ′ =
11
2
1
1
xx
x
11
2
d
d(th ) d(cth )
1
x
xx
x

==
定理4.3.1和定理4.3.2可以推广到多个函数的情况,
⑴ 多个函数线性组合的导函数,
[()] ()cf x cf x
ii
i
n
ii
i
n
==
∑∑
′ = ′
11
,
其中
i
c （ ni,,2,1"= ）为常数。
⑵ 多个函数乘积的导函数,
[()] {()()}fx f x fx
i
i
n
j
j
n
i
i
ij
n
= = =
≠
∏ ∑ ∏
′ = ′
1 1 1
。
例4.3.12 求 n次多项式
01
1
1
axaxaxay
n
n
n
n
++++=
"的导函数。
解
11
0 1 10
12
()())()
(1)
nn n n
n
nn
yaxax axa ax ax ax a
anx a n x a


′ ′′ ′ ′′
=+ +++= + +++
=+?++
""
"。
n次多项式的导函数是 n?1次多项式。
例4.3.13 求函数 ]arcsin)13([e
2
xxxy
x
+= 的导函数。
解 ]arcsin)13([e
2
′
+=
′
xxxy
x
= ′ +? + +?′ ++? ′(e ) ( ) arcsin e ( ) arcsin e ( )(arcsin )
xx
xx x xx x xx x
22 2
31 31 31
=+? ++ +
+?
e ( ) arcsin e ( ) arcsin exx x x x
xx
x
2
2
2
31 2 3
31
1
2
2
2
31
e( 5 2)arcsin
1
x
xx
xx x
x

+?
=++ +


。
例4.3.12 求 n次多项式
01
1
1
axaxaxay
n
n
n
n
++++=
"的导函数。
解
11
0 1 10
12
()())()
(1)
nn n n
n
nn
yaxax axa ax ax ax a
anx a n x a


′ ′′ ′ ′′
=+ +++= + +++
=+?++
""
"。
n次多项式的导函数是 n?1次多项式。