微分的定义
设 yfx= ()是一个给定的函数，
在点 x附近有定义。若 fx()在 x处的自变量产生了某个增量 Δx变成了
x x+Δ （增量 Δx可正可负，但不为零），那么它的函数值也相应地产生了一个增量
Δ Δyx fx x fx() ( ) ()= +?,
在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般 就将 Δyx()简单地记为 Δy。
§1 微分和导数第四章 微 分定义4.1.1 对函数 yfx= ()定义域中的一点
0
x,若存在一个只与
0
x 有关，而与 Δx 无关的数 )(
0
xg,使得当 Δx → 0时恒成立关系式
0
() ( )ygxxoxΔ =Δ+Δ,
则称 fx()在
0
x 处的微分存在，或称 fx()在
0
x 处 可微 。
若函数 yfx= ()在某一区间上的每一点都可微,则称 fx()在该区间上 可微 。
由定义可知，若 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时 Δy也是无穷小量，且当 g x()≠ 0时，成立等价关系
Δ Δygxx~() 。
,gx x()Δ,这一项也被称为 Δy的 线性主要部分。
当 fx()在 x处可微且 Δx → 0时，将 Δx称为自变量的微分,记 作 x
d
，
而将 Δy的线性主要部分 ()gx xd （即 gx x()Δ ） 称为因变量的微分,记作 y
d
或 ()f x
d
，于是就有以下的微分关系式
()y gx x=
d d
。
例4.1.1 设
2
)( xxfy ==,对于在任意一点 ),( ∞+?∞∈x 处所产生的增量 Δx，有
22 2
() 2yxx x xxxΔ =+Δ?=Δ+Δ
由定义，函数 yx=
2
在 x处是可微的，它的微分为
2
()2yx xx==
d d d
。
由定义可知，若 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时 Δy也是无穷小量，且当 g x()≠ 0时，成立等价关系
Δ Δygxx~() 。
,gx x()Δ,这一项也被称为 Δy的 线性主要部分。
当 fx()在 x处可微且 Δx → 0时，将 Δx称为自变量的微分,记 作 x
d
，
而将 Δy的线性主要部分 ()gx xd （即 gx x()Δ ） 称为因变量的微分,记作 y
d
或 ()f x
d
，于是就有以下的微分关系式
()y gx x=
d d
。
例4.1.2 设 yfx x==()
23
，在 x = 0处，有
,
3 2
)0()( xfxfy Δ=?Δ=Δ
当 Δx → 0时,Δx
23
趋于0的阶比 Δx的阶低,因而 Δy不可能表示成 Δx
的线性项与高阶项的和。由定义，函数
3 2
xy = 在 x = 0处是不可微的。
函数 yx=
23
虽然不是 ),( ∞+?∞ 上的可微函数，但它在 (,)?∞ 0 和
),0( ∞+ 上却都是可微的。
注意：若函数 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时必有 Δy → 0，
即 fx()在 x处连续，所以可微必定连续 。
但要注意该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 yx=
23
，它在 x = 0处连续，但它在这一点处不可微。
例4.1.2 设 yfx x==()
23
，在 x = 0处，有
,
3 2
)0()( xfxfy Δ=?Δ=Δ
当 Δx → 0时,Δx
23
趋于0的阶比 Δx的阶低,因而 Δy不可能表示成 Δx
的线性项与高阶项的和。由定义，函数
3 2
xy = 在 x = 0处是不可微的。
函数 yx=
23
虽然不是 ),( ∞+?∞ 上的可微函数，但它在 (,)?∞ 0 和
),0( ∞+ 上却都是可微的。
微分和导数
若 fx()在
0
x 处可微，则有关系式
)()(
0
xoxxgy Δ+Δ=Δ,
其中 )(
0
xg 是当 Δx → 0时，因变量的差分与自变量的差分之比
Δ
Δ
y
x
(称为差商)的极限值。
定义4.1.2 若函数 )(xfy = 在其定义域中的一点
0
x 处极限
x
xfxxf
x
y
xx
Δ
Δ+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
)()(
limlim
00
00
存在，则称 fx()在
0
x 处 可导,并称这个极限值为 fx()在
0
x 处的 导数,
记为 )(
0
xf
′
（或 )(
0
xy
′
,
0
x x
f
x
=
d
d
，
0
x x
y
x
=
d
d
）。
若函数 yfx= ()在某一区间上的每一点都可导，则称 fx()在该区间上可导。
fx()在
0
x 处的导数还有如下的等价定义
0
0
0
)()(
lim)(
0
xx
xfxf
xf
xx
=
′
→
。
函数 fx()的所有可导点的集合是 ()f x 定义域的子集，导数值 ′fx()
可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数 fx()的 导函数,记为 )(xf
′
（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）。
导函数一般就简称为导数。
若 fx()在 x处可微,则它必定在 x处可导,而 () ( )ygxxoxΔ =Δ+Δ中的 gx()不是别的，正是 fx()在这一点的导数值 ′fx()。
反过来,fx()在 x处可导也保证它在 x处可微。因为
lim ( )
Δ
Δ
Δ
x
y
x
fx
→
= ′
0
等价于
0)(lim
0
=
′
Δ
Δ
→Δ
xf
x
y
x
,
于是 )1()( oxf
x
y
=
′
Δ
Δ
，也就是
() (1) ( )yfxxo xox
′
Δ?Δ=Δ=Δ。
定理4.1.1 函数 yfx= ()在 x处可微的充分必要条件是它在 x处可导。
对一元函数
．．．．
来说,它在任一点的可微性与可导性是等价的。 因此，
一元函数的
．．．．．
微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟”。
设 yfx= ()是一个给定的函数，
在点 x附近有定义。若 fx()在 x处的自变量产生了某个增量 Δx变成了
x x+Δ （增量 Δx可正可负，但不为零），那么它的函数值也相应地产生了一个增量
Δ Δyx fx x fx() ( ) ()= +?,
在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般 就将 Δyx()简单地记为 Δy。
§1 微分和导数第四章 微 分定义4.1.1 对函数 yfx= ()定义域中的一点
0
x,若存在一个只与
0
x 有关，而与 Δx 无关的数 )(
0
xg,使得当 Δx → 0时恒成立关系式
0
() ( )ygxxoxΔ =Δ+Δ,
则称 fx()在
0
x 处的微分存在，或称 fx()在
0
x 处 可微 。
若函数 yfx= ()在某一区间上的每一点都可微,则称 fx()在该区间上 可微 。
由定义可知，若 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时 Δy也是无穷小量，且当 g x()≠ 0时，成立等价关系
Δ Δygxx~() 。
,gx x()Δ,这一项也被称为 Δy的 线性主要部分。
当 fx()在 x处可微且 Δx → 0时，将 Δx称为自变量的微分,记 作 x
d
，
而将 Δy的线性主要部分 ()gx xd （即 gx x()Δ ） 称为因变量的微分,记作 y
d
或 ()f x
d
，于是就有以下的微分关系式
()y gx x=
d d
。
例4.1.1 设
2
)( xxfy ==,对于在任意一点 ),( ∞+?∞∈x 处所产生的增量 Δx，有
22 2
() 2yxx x xxxΔ =+Δ?=Δ+Δ
由定义，函数 yx=
2
在 x处是可微的，它的微分为
2
()2yx xx==
d d d
。
由定义可知，若 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时 Δy也是无穷小量，且当 g x()≠ 0时，成立等价关系
Δ Δygxx~() 。
,gx x()Δ,这一项也被称为 Δy的 线性主要部分。
当 fx()在 x处可微且 Δx → 0时，将 Δx称为自变量的微分,记 作 x
d
，
而将 Δy的线性主要部分 ()gx xd （即 gx x()Δ ） 称为因变量的微分,记作 y
d
或 ()f x
d
，于是就有以下的微分关系式
()y gx x=
d d
。
例4.1.2 设 yfx x==()
23
，在 x = 0处，有
,
3 2
)0()( xfxfy Δ=?Δ=Δ
当 Δx → 0时,Δx
23
趋于0的阶比 Δx的阶低,因而 Δy不可能表示成 Δx
的线性项与高阶项的和。由定义，函数
3 2
xy = 在 x = 0处是不可微的。
函数 yx=
23
虽然不是 ),( ∞+?∞ 上的可微函数，但它在 (,)?∞ 0 和
),0( ∞+ 上却都是可微的。
注意：若函数 fx()在 x处是可微的，那么当 Δx → 0时必有 Δy → 0，
即 fx()在 x处连续，所以可微必定连续 。
但要注意该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 yx=
23
，它在 x = 0处连续，但它在这一点处不可微。
例4.1.2 设 yfx x==()
23
，在 x = 0处，有
,
3 2
)0()( xfxfy Δ=?Δ=Δ
当 Δx → 0时,Δx
23
趋于0的阶比 Δx的阶低,因而 Δy不可能表示成 Δx
的线性项与高阶项的和。由定义，函数
3 2
xy = 在 x = 0处是不可微的。
函数 yx=
23
虽然不是 ),( ∞+?∞ 上的可微函数，但它在 (,)?∞ 0 和
),0( ∞+ 上却都是可微的。
微分和导数
若 fx()在
0
x 处可微，则有关系式
)()(
0
xoxxgy Δ+Δ=Δ,
其中 )(
0
xg 是当 Δx → 0时，因变量的差分与自变量的差分之比
Δ
Δ
y
x
(称为差商)的极限值。
定义4.1.2 若函数 )(xfy = 在其定义域中的一点
0
x 处极限
x
xfxxf
x
y
xx
Δ
Δ+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
)()(
limlim
00
00
存在，则称 fx()在
0
x 处 可导,并称这个极限值为 fx()在
0
x 处的 导数,
记为 )(
0
xf
′
（或 )(
0
xy
′
,
0
x x
f
x
=
d
d
，
0
x x
y
x
=
d
d
）。
若函数 yfx= ()在某一区间上的每一点都可导，则称 fx()在该区间上可导。
fx()在
0
x 处的导数还有如下的等价定义
0
0
0
)()(
lim)(
0
xx
xfxf
xf
xx
=
′
→
。
函数 fx()的所有可导点的集合是 ()f x 定义域的子集，导数值 ′fx()
可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数 fx()的 导函数,记为 )(xf
′
（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）。
导函数一般就简称为导数。
若 fx()在 x处可微,则它必定在 x处可导,而 () ( )ygxxoxΔ =Δ+Δ中的 gx()不是别的，正是 fx()在这一点的导数值 ′fx()。
反过来,fx()在 x处可导也保证它在 x处可微。因为
lim ( )
Δ
Δ
Δ
x
y
x
fx
→
= ′
0
等价于
0)(lim
0
=
′
Δ
Δ
→Δ
xf
x
y
x
,
于是 )1()( oxf
x
y
=
′
Δ
Δ
，也就是
() (1) ( )yfxxo xox
′
Δ?Δ=Δ=Δ。
定理4.1.1 函数 yfx= ()在 x处可微的充分必要条件是它在 x处可导。
对一元函数
．．．．
来说,它在任一点的可微性与可导性是等价的。 因此，
一元函数的
．．．．．
微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟”。
