Fourier 级数的分析性质
为简单起见，假定 fx()的周期为 2π。
首先，利用 Riemann 引理可以直接得出
定理 16.3.1 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则对于 fx()的
Fourier 系数
n
a 与
n
b,有
0lim =
∞→
n
n
a,0lim =
∞→
n
n
b 。
§ 3 Fourier级数的性质
定理 16.3.2 （ Fourier 级数的逐项 积分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
则 fx()的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意,[π,π]cx∈?,
()d
x
c
ft t
∫
0
1
d(cossin)d
2
xx
nn
cc
n
a
tantbtt
∞
=
=+ +
∑
∫∫
。
证 这里仅对 fx()在 [ π,π]? 上只有有限个第一类不连续点的情况加以证明。
定理 16.3.2 （ Fourier 级数的逐项 积分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
则 fx()的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意,[π,π]cx∈?,
()d
x
c
ft t
∫
0
1
d(cossin)d
2
xx
nn
cc
n
a
tantbtt
∞
=
=+ +
∑
∫∫
。
考虑函数
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
。
由定理 7.3.1 可知 Fx()是周期为 2π的连续函数，且在 fx()的 连续点，成立 ′ =?Fx fx
a
() ()
0
2
，而在 fx()的第一类不连续点,Fx()的 两个单侧导数
)(xF
±
′
)( ±= xf -
2
0
a
都存在。 由 Dini-Lipschitz 判别法的推论,Fx()可展开为收敛的 Fourier
级数
Fx()=
A
AnxBnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)。
利用分部积分法，即有
A
n
=
π
-π
1
()cos d
π
F xnxx
∫
π
π
π
-π
1sin 1
() ()sin d
ππ
nx
F xFxx
nn
′
=?
∫
π
0
π
1
() sin d
π 2
a
f xnx
n
=
∫
=?
b
n
n
。
类似可得
B
a
n
n
n
= 。
于是
Fx()=
∑
∞
=
+?+
1
0
sincos
2
n
nn
nx
n
a
nx
n
bA
,
令 x c=,有
∑
∞
=
+?+=
1
0
sincos
2
0
n
nn
nc
n
a
nc
n
bA
,
两式相减并整理，即得到
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
∑
∞
=
+?
+
=
1
coscossinsin
n
nn
n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
(cos sin)d
x
nn
c
n
antb tt
∞
=
=+
∑
∫
。
定理 16.3.2 说明，只要 fx()可以展成 Fourier 级数
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
哪怕这个级数并不表示 fx()，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数也一定能收敛于 )(xf 的积分。
令 x c=,有
∑
∞
=
+?+=
1
0
sincos
2
0
n
nn
nc
n
a
nc
n
bA
,
两式相减并整理，即得到
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
∑
∞
=
+?
+
=
1
coscossinsin
n
nn
n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
(cos sin)d
x
nn
c
n
antb tt
∞
=
=+
∑
∫
。
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fourier 级数的一个必要条件。
推论 16.3.1
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)是某个在 [ π,π]? 上 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是
b
n
n
n=
∞
∑
1
收敛。
由推论 16.3.1 可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数
∑
∞
=2
ln
sin
n
n
nx
，由
Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于
∑
∞
=2
ln
1
n
nn
发散，它不可能是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fourier 级数的一个必要条件。
推论 16.3.1
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)是某个在 [ π,π]? 上 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是
b
n
n
n=
∞
∑
1
收敛。
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来，
Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。
定理 16.3.3 （ Fourier 级数的逐项 微分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上连续,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
( π)(π)ff? =,且除了有限个点外 )(xf 可导。进一步假设 ′fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积（注意,′fx()在有限个点可能无定义,但这 并不影响其可积性） 。则 ′fx()的 Fourier 级数可由 fx()的 Fourier 级数逐项 微分得到，即
′fx()~
0
1
dd
(cos sin)
d2 d
nn
n
a
anxb x
xx
∞
=
++
∑
∑
∞
=
+?=
1
)cossin(
n
nn
nxnbnxna 。
证 由定理条件,′fx()可展开为 Fourier 级数。记 ′fx()的 Fourier
系数为 ′′ab
nn
和,则有,
′ =a
0
π
π
1
()d
π
f xx
′
∫
1
[(π)(π)] 0
π
ff==,
′ =a
n
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
′
∫
π
-π
()cos
π
fx nx
=+
π
π
()sin d
π
n
f xnxx
=
∫
nb
n
, ",2,1=n,
′ =b
n
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
′
=
∫
na
n
, ",2,1=n 。
于是
′fx()~ (sin cos)?+
=
∞
∑
an nx bn nx
nn
n 1
。
Fourier 级数的逼近性质
定义 16.3.1 设 S是一个定义了内积运算 (,) 的线性空间,取 S
中的范数为
=(,),
T 是 S一个 n维子空间,记 T 的一组正交基为
n
,,,
21
",即
12
span{,,,}
n
= "T,
若对于 ∈xS,有
11 2 2 nn
cc c=+++∈ "
T
xT,
使得
xx
T
min
∈
=?
yT
xy,
则称 x
T
是 x在 T 中的最佳平方逼近元素 。
x xx?
T
T x
T
图 16.3.1
引理 16.3.1 在上述假定下,
（1）对于任意 ∈xS,x在 T 中的最佳平方逼近元素 x
T
存在且唯一；
（2） ∈
T
xT是 x在 T 中的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
T
⊥xx T，即
0),( =?
kT
xx,nk,,2,1 "=,
或者等价地,x
T
的组合系数为
=
k
c
),(
),(
kk
k
x
,nk,,2,1 "= ；
（3）最佳平方逼近的余项满足估计式
xx
T
2
= x
2
x
T
2
= x
2
2
1
2
k
n
k
k
c?
∑
=
。
x xx?
T
T
图 16.3.1
T
x
证 先证（1）和（3） 。
令 =
k
c
),(
),(
kk
k
x
，则对于任意的
11 2 2 nn
dd d= +++∈ "y T,
利用 0),( =
kj
（ kj ≠ ）,得到
2
11
2
11
222
2
11
22 2
22
11
,
(,) 2 (,) (,)
2
().
nn
kk kk
nn
kk kkk
nn
kk k k k
nn
kk kk k
dd
dd
cd d
ccd
==
==
==
==
=
=? +
=? +
=? +?
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
xy x x
xx x
x
x
于是当且仅当
kk
cd =,nk,,2,1 "=
时,yx? 达到最小值。因此取
∑
=
=
n
k
kkT
c
1
x,则
xx
T
min
∈
=?
yT
xy,
且
xx
T
2
= x
2
2
1
2
k
n
j
k
c?
∑
=
= x
2
2
T
x? 。
再证（2 ）。
对于每个 nk,,2,1 "=,x在 T 中的最佳平方逼近元素
∑
=
=
n
k
kkT
c
1
x 满足
22
11
(,),(,) (,) 0
nn
Tk jjk k jjk kk kk
jj
cccc
==
=? =? =? =
∑∑
xx x x 。
反之，若
11 2 2 nn
dd d= +++∈ "y T 满足
0),( =?
k
yx,nk,,2,1 "=,
那么,
),(),(),(),(),(),(0
1
kkkkk
n
j
jjkkk
dd=?=?=
∑
=
xxyx,nk,,2,1 "= 。
因此
=
k
d
),(
),(
kk
k
x
=
k
c,
即
T
xy = 。
现在，具体地取 S 为 [ π,π]? 上 Riemann 可积或在反常积分意义下平方可积(为方便起见，以下都简称为“可积或平方可积”)的函数
fx()全体。 S 中的内积 (,) 和范数? 定义为
(,)fg
π
π
1
()()d
π
f x g xx
=
∫
,fff= (,)。
记 T 为 n阶三角多项式
∑
=
++
n
k
kk
kxBkxA
A
1
0
)sincos(
2
的全体，利用 前面已得到的正交性，可将 T 表示为
span=T }sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1{ nxnxxxxx ",
这时，有 12
2
= 和
1sincos
22
== kxkx,nk,,2,1 "= 。
由 Fourier 系数的 Euler-Fourier 公式，得到
=)cos,( kxf
π
π
1
()cos d
π
f xkxx
∫
n
a=,nk,,2,1,0 "=,
=)sin,( kxf
π
π
1
()sin d
π
f xkxx
∫
k
b=,nk,,2,1 "=,
于是，由引理 16.3.1 即得到下面的重要结论。
定理 16.3.4 （Fourier 级数的平方逼近性质） 设 fx()在 [ π,π]?
上可积或平方可积，则 fx()在 T 中的最佳平方逼近元素恰为 fx()的
Fourier 级数的部分和函数
∑
=
++=
n
k
kkn
kxbkxa
a
xS
1
0
)sincos(
2
)(,
逼近的余项为
2
n
Sf?
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
++?
∑
=
n
k
kk
ba
a
1
22
2
0
)(
2
。
因为 0
2
≥?
n
Sf,在余项中令 ∞→n,即得到
推论 16.3.2（Bessel 不等式） 设 fx()在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则 fx()的 Fourier 系数满足不等式
≤++
∑
∞
=1
22
2
0
)(
2
k
kk
ba
a
π
2
π
1
()d
π
f xx
∫
。
这表示 Fourier 系数的平方组成了一个收敛的级数。
定理 16.3.4 （ Fourier 级数的平方逼近性质） 设 fx()在 [ π,π]?
上可积或平方可积，则 fx()在 T 中的最佳平方逼近元素恰为 fx()的
Fourier 级数的部分和函数
∑
=
++=
n
k
kkn
kxbkxa
a
xS
1
0
)sincos(
2
)(,
逼近的余项为
2
n
Sf?
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
++?
∑
=
n
k
kk
ba
a
1
22
2
0
)(
2
。
进一步的研究表明，上面的不等式实际上是一个等式，称为
Parseval 等式（又称能量恒等式）。
定理 16.3.5 （ Parseval 等式） 设 fx()在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则成立等式
=++
∑
∞
=1
22
2
0
)(
2
k
kk
ba
a
π
2
π
1
()d
π
f xx
∫
。
证明从略。
定义 16.3.2 若函数序列 )}({ x
n
ψ 满足
0)()(lim
2
=?
∞→
xxf
n
n
ψ,
这里 fx()是某一个固定函数,则称 )}({ x
n
ψ 按范数? 平方收敛 于 fx()，
简称 )(x
n
ψ 平方收敛于 fx()。
由 Parseval 等式
2
lim
n
n
Sf?
∞→
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
0)(
2
1
22
2
0
=
++?
∑
∞
=k
kk
ba
a
,
即得到下述重要的结论,
推论 16.3.3 （ Fourier 级数的平方收敛性质） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或平方可积，则 fx()的 Fourier 级数的部分和函数序列 平 方收敛于 fx()。
定义 16.3.2 若函数序列 )}({ x
n
ψ 满足
0)()(lim
2
=?
∞→
xxf
n
n
ψ,
这里 fx()是某一个固定函数,则称 )}({ x
n
ψ 按范数? 平方收敛 于 fx()，
简称 )(x
n
ψ 平方收敛于 fx()。
对于一致收敛，我们不加证明地引进一个同样重要的结论。
定理 16.3.6 （ Weierstrass 第二逼近定理） 对周期为 2π的任意一个连续函数 fx()，都存在三角多项式序列
++=
∑
=
n
k
kkn
kxBkxA
A
x
1
0
)sincos(
2
)(ψ,
使得 )}({ x
n
ψ 一致收敛于 fx()。
等周问题
在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
定理 16.3.7 平面上具有定长的所有简单闭曲线中,圆周 所 围 的面积最大。换言之，若 L是平面上简单闭曲线 C的长度,A是曲线 C所围图形的面积，则
2
4π
L
A≤,
且等号成立时,C必须是圆周。
注
2
4π
L
就是周长为 L的圆所围的面积。
等周问题
在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
现在仅对平面上分段光滑的简单闭曲线加以讨论。 以下的证明 是
Hurwitz 在 1902 年给出的。
引理 16.3.2（ Wirtinger） 设 fx()在 [ π,π]? 上连续,( π)(π)f f? =,
π
π
()d 0fx x
=
∫
，且除了有限个点外 )(xf 可导，但在不可导点,)(xf 的单侧导数存在。进一步假设,fx()的导数 )(xf ′ 在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则
ππ
22
()d ()d,f xx f xx
′
≤
∫∫
等号成立当且仅当 xbxaxf sincos)( += （ ba,为常数） 。
证 由推论 16.2.3,)(xf 的 Fourier 级数在 [ π,π]? 上点点收敛 于
)(xf 。由于
π
0
π
1
()d 0
π
afx
==
∫
，所以
=)(xf
∑
∞
=
+
1
)sincos(
n
nn
nxbnxa,[ π,π]x∈? ；
进一步，由定理 16.3.3,
′fx()~
∑
∞
=
+?
1
)cossin(
n
nn
nxnbnxna 。
于是，由 Parseval 等式得到
π
2
π
1
[()]d
π
f xx
=
∫
∑
∞
=
+
1
22
)(
k
kk
ba,
π
2
π
1
['()]d
π
f xx
=
∫
22 2
1
()
kk
k
ka b
∞
=
+
∑
及
ππ
22
()d ()df xx f xx
′
=
∫∫
222
2
π (1)( )
kk
k
kab
∞
=
+
∑
。
上式说明
ππ
22
()d ()d 0fxx fxx
′
≥
∫∫
，并且等号成立当且仅当
0,0 ==
nn
ba （ ",3,2=n ）,即
xbxaxf sincos)(
11
+= 。
定理 16.3.7 的证明
设曲线 C以弧长为参数的方程为
)(sxx =,)(syy =,],0[ Ls∈,
且参数 s从 0变到 L时，点 ))(),(( sysx 沿逆时针方向画出曲线 C。因为 C
是闭曲线，所以 )()0( Lxx =,)()0( Lyy = 。作变量代换
2π 2
L L
st= +,可 将该曲线的方程改写为
)(tx?=,)(ty ψ=,[ π,π]t∈?,
且成立 ( π)(π)=,( π)(π)ψ ψ? = 。
不妨假设
π
π
()d 0tt?
=
∫
。若
π
π
()d 0ttk?
= ≠
∫
，则可考虑闭曲线 C
~
,
2π
k
xx=? = ()
2π
k
t,)(
~
tyy ψ== （ [ π,π]t∈? ）,
C
~
是 C的一个平移，其所围图形的面积与 C所围图形的面积相同,
且满足
π
π
() d 0
2π
k
tt?
=
∫
。
定理 16.3.7 的证明
设曲线 C以弧长为参数的方程为
)(sxx =,)(syy =,],0[ Ls∈,
且参数 s从 0变到 L时，点 ))(),(( sysx 沿逆时针方向画出曲线 C。因为 C
是闭曲线，所以 )()0( Lxx =,)()0( Lyy = 。作变量代换
2π 2
L L
st= +,可 将该曲线的方程改写为
)(tx?=,)(ty ψ=,[ π,π]t∈?,
且成立 ( π)(π)=,( π)(π)ψ ψ? = 。
由
2π 2
L L
st=+，可知
2
2
22
2
() ()
4π
Lds
tt
dt
ψ
′ ′
==+
,[ π,π]t∈?,
对上式在 [ π,π]? 上取定积分，得到
2
π
22
π
() () d
2π
L
ttt?ψ
′′
=+
∫
。
因为 C所围图形的面积
π
π
d()()d
C
A xy t t t?ψ
′
==
∫∫
，因此
2
π
22
π
2()()2()()d
2π
L
A ttttt?ψ?ψ
′′ ′
= +?
∫
[]
ππ
2
22
() () d () () dttt ttt ψ?
=?+?
∫∫
。
由引理 16.3.2，成立
π
22
π
() () d 0ttt
′
≥
∫
，所以
2
4π
L
A≤,
等号成立当且仅当
π
22
π
() () d 0ttt
′
=
∫
,
[]
π
2
π
() () d 0tttψ?
′
=
∫
,
即
tbtat sincos)( +=?,)()( tt?ψ =
′,
[ π,π]t∈? 。
这时 C的参数方程为
+?==
+==
,cossin)(
,sincos)(
ctbtaty
tbtatx
ψ
[ π,π]t∈?,
即 C是一个圆周。
为简单起见，假定 fx()的周期为 2π。
首先，利用 Riemann 引理可以直接得出
定理 16.3.1 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则对于 fx()的
Fourier 系数
n
a 与
n
b,有
0lim =
∞→
n
n
a,0lim =
∞→
n
n
b 。
§ 3 Fourier级数的性质
定理 16.3.2 （ Fourier 级数的逐项 积分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
则 fx()的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意,[π,π]cx∈?,
()d
x
c
ft t
∫
0
1
d(cossin)d
2
xx
nn
cc
n
a
tantbtt
∞
=
=+ +
∑
∫∫
。
证 这里仅对 fx()在 [ π,π]? 上只有有限个第一类不连续点的情况加以证明。
定理 16.3.2 （ Fourier 级数的逐项 积分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
则 fx()的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意,[π,π]cx∈?,
()d
x
c
ft t
∫
0
1
d(cossin)d
2
xx
nn
cc
n
a
tantbtt
∞
=
=+ +
∑
∫∫
。
考虑函数
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
。
由定理 7.3.1 可知 Fx()是周期为 2π的连续函数，且在 fx()的 连续点，成立 ′ =?Fx fx
a
() ()
0
2
，而在 fx()的第一类不连续点,Fx()的 两个单侧导数
)(xF
±
′
)( ±= xf -
2
0
a
都存在。 由 Dini-Lipschitz 判别法的推论,Fx()可展开为收敛的 Fourier
级数
Fx()=
A
AnxBnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)。
利用分部积分法，即有
A
n
=
π
-π
1
()cos d
π
F xnxx
∫
π
π
π
-π
1sin 1
() ()sin d
ππ
nx
F xFxx
nn
′
=?
∫
π
0
π
1
() sin d
π 2
a
f xnx
n
=
∫
=?
b
n
n
。
类似可得
B
a
n
n
n
= 。
于是
Fx()=
∑
∞
=
+?+
1
0
sincos
2
n
nn
nx
n
a
nx
n
bA
,
令 x c=,有
∑
∞
=
+?+=
1
0
sincos
2
0
n
nn
nc
n
a
nc
n
bA
,
两式相减并整理，即得到
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
∑
∞
=
+?
+
=
1
coscossinsin
n
nn
n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
(cos sin)d
x
nn
c
n
antb tt
∞
=
=+
∑
∫
。
定理 16.3.2 说明，只要 fx()可以展成 Fourier 级数
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
哪怕这个级数并不表示 fx()，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数也一定能收敛于 )(xf 的积分。
令 x c=,有
∑
∞
=
+?+=
1
0
sincos
2
0
n
nn
nc
n
a
nc
n
bA
,
两式相减并整理，即得到
Fx()=
0
() d
2
x
c
a
f tt
∫
∑
∞
=
+?
+
=
1
coscossinsin
n
nn
n
ncnx
b
n
ncnx
a
1
(cos sin)d
x
nn
c
n
antb tt
∞
=
=+
∑
∫
。
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fourier 级数的一个必要条件。
推论 16.3.1
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)是某个在 [ π,π]? 上 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是
b
n
n
n=
∞
∑
1
收敛。
由推论 16.3.1 可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数
∑
∞
=2
ln
sin
n
n
nx
，由
Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于
∑
∞
=2
ln
1
n
nn
发散，它不可能是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数是否为 Fourier 级数的一个必要条件。
推论 16.3.1
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)是某个在 [ π,π]? 上 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是
b
n
n
n=
∞
∑
1
收敛。
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来，
Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。
定理 16.3.3 （ Fourier 级数的逐项 微分定理） 设 fx()在 [ π,π]? 上连续,
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
( π)(π)ff? =,且除了有限个点外 )(xf 可导。进一步假设 ′fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积（注意,′fx()在有限个点可能无定义,但这 并不影响其可积性） 。则 ′fx()的 Fourier 级数可由 fx()的 Fourier 级数逐项 微分得到，即
′fx()~
0
1
dd
(cos sin)
d2 d
nn
n
a
anxb x
xx
∞
=
++
∑
∑
∞
=
+?=
1
)cossin(
n
nn
nxnbnxna 。
证 由定理条件,′fx()可展开为 Fourier 级数。记 ′fx()的 Fourier
系数为 ′′ab
nn
和,则有,
′ =a
0
π
π
1
()d
π
f xx
′
∫
1
[(π)(π)] 0
π
ff==,
′ =a
n
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
′
∫
π
-π
()cos
π
fx nx
=+
π
π
()sin d
π
n
f xnxx
=
∫
nb
n
, ",2,1=n,
′ =b
n
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
′
=
∫
na
n
, ",2,1=n 。
于是
′fx()~ (sin cos)?+
=
∞
∑
an nx bn nx
nn
n 1
。
Fourier 级数的逼近性质
定义 16.3.1 设 S是一个定义了内积运算 (,) 的线性空间,取 S
中的范数为
=(,),
T 是 S一个 n维子空间,记 T 的一组正交基为
n
,,,
21
",即
12
span{,,,}
n
= "T,
若对于 ∈xS,有
11 2 2 nn
cc c=+++∈ "
T
xT,
使得
xx
T
min
∈
=?
yT
xy,
则称 x
T
是 x在 T 中的最佳平方逼近元素 。
x xx?
T
T x
T
图 16.3.1
引理 16.3.1 在上述假定下,
（1）对于任意 ∈xS,x在 T 中的最佳平方逼近元素 x
T
存在且唯一；
（2） ∈
T
xT是 x在 T 中的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
T
⊥xx T，即
0),( =?
kT
xx,nk,,2,1 "=,
或者等价地,x
T
的组合系数为
=
k
c
),(
),(
kk
k
x
,nk,,2,1 "= ；
（3）最佳平方逼近的余项满足估计式
xx
T
2
= x
2
x
T
2
= x
2
2
1
2
k
n
k
k
c?
∑
=
。
x xx?
T
T
图 16.3.1
T
x
证 先证（1）和（3） 。
令 =
k
c
),(
),(
kk
k
x
，则对于任意的
11 2 2 nn
dd d= +++∈ "y T,
利用 0),( =
kj
（ kj ≠ ）,得到
2
11
2
11
222
2
11
22 2
22
11
,
(,) 2 (,) (,)
2
().
nn
kk kk
nn
kk kkk
nn
kk k k k
nn
kk kk k
dd
dd
cd d
ccd
==
==
==
==
=
=? +
=? +
=? +?
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
xy x x
xx x
x
x
于是当且仅当
kk
cd =,nk,,2,1 "=
时,yx? 达到最小值。因此取
∑
=
=
n
k
kkT
c
1
x,则
xx
T
min
∈
=?
yT
xy,
且
xx
T
2
= x
2
2
1
2
k
n
j
k
c?
∑
=
= x
2
2
T
x? 。
再证（2 ）。
对于每个 nk,,2,1 "=,x在 T 中的最佳平方逼近元素
∑
=
=
n
k
kkT
c
1
x 满足
22
11
(,),(,) (,) 0
nn
Tk jjk k jjk kk kk
jj
cccc
==
=? =? =? =
∑∑
xx x x 。
反之，若
11 2 2 nn
dd d= +++∈ "y T 满足
0),( =?
k
yx,nk,,2,1 "=,
那么,
),(),(),(),(),(),(0
1
kkkkk
n
j
jjkkk
dd=?=?=
∑
=
xxyx,nk,,2,1 "= 。
因此
=
k
d
),(
),(
kk
k
x
=
k
c,
即
T
xy = 。
现在，具体地取 S 为 [ π,π]? 上 Riemann 可积或在反常积分意义下平方可积(为方便起见，以下都简称为“可积或平方可积”)的函数
fx()全体。 S 中的内积 (,) 和范数? 定义为
(,)fg
π
π
1
()()d
π
f x g xx
=
∫
,fff= (,)。
记 T 为 n阶三角多项式
∑
=
++
n
k
kk
kxBkxA
A
1
0
)sincos(
2
的全体，利用 前面已得到的正交性，可将 T 表示为
span=T }sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1{ nxnxxxxx ",
这时，有 12
2
= 和
1sincos
22
== kxkx,nk,,2,1 "= 。
由 Fourier 系数的 Euler-Fourier 公式，得到
=)cos,( kxf
π
π
1
()cos d
π
f xkxx
∫
n
a=,nk,,2,1,0 "=,
=)sin,( kxf
π
π
1
()sin d
π
f xkxx
∫
k
b=,nk,,2,1 "=,
于是，由引理 16.3.1 即得到下面的重要结论。
定理 16.3.4 （Fourier 级数的平方逼近性质） 设 fx()在 [ π,π]?
上可积或平方可积，则 fx()在 T 中的最佳平方逼近元素恰为 fx()的
Fourier 级数的部分和函数
∑
=
++=
n
k
kkn
kxbkxa
a
xS
1
0
)sincos(
2
)(,
逼近的余项为
2
n
Sf?
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
++?
∑
=
n
k
kk
ba
a
1
22
2
0
)(
2
。
因为 0
2
≥?
n
Sf,在余项中令 ∞→n,即得到
推论 16.3.2（Bessel 不等式） 设 fx()在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则 fx()的 Fourier 系数满足不等式
≤++
∑
∞
=1
22
2
0
)(
2
k
kk
ba
a
π
2
π
1
()d
π
f xx
∫
。
这表示 Fourier 系数的平方组成了一个收敛的级数。
定理 16.3.4 （ Fourier 级数的平方逼近性质） 设 fx()在 [ π,π]?
上可积或平方可积，则 fx()在 T 中的最佳平方逼近元素恰为 fx()的
Fourier 级数的部分和函数
∑
=
++=
n
k
kkn
kxbkxa
a
xS
1
0
)sincos(
2
)(,
逼近的余项为
2
n
Sf?
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
++?
∑
=
n
k
kk
ba
a
1
22
2
0
)(
2
。
进一步的研究表明，上面的不等式实际上是一个等式，称为
Parseval 等式（又称能量恒等式）。
定理 16.3.5 （ Parseval 等式） 设 fx()在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则成立等式
=++
∑
∞
=1
22
2
0
)(
2
k
kk
ba
a
π
2
π
1
()d
π
f xx
∫
。
证明从略。
定义 16.3.2 若函数序列 )}({ x
n
ψ 满足
0)()(lim
2
=?
∞→
xxf
n
n
ψ,
这里 fx()是某一个固定函数,则称 )}({ x
n
ψ 按范数? 平方收敛 于 fx()，
简称 )(x
n
ψ 平方收敛于 fx()。
由 Parseval 等式
2
lim
n
n
Sf?
∞→
π
2
π
1
()d
π
f xx
=
∫
0)(
2
1
22
2
0
=
++?
∑
∞
=k
kk
ba
a
,
即得到下述重要的结论,
推论 16.3.3 （ Fourier 级数的平方收敛性质） 设 fx()在 [ π,π]? 上可积或平方可积，则 fx()的 Fourier 级数的部分和函数序列 平 方收敛于 fx()。
定义 16.3.2 若函数序列 )}({ x
n
ψ 满足
0)()(lim
2
=?
∞→
xxf
n
n
ψ,
这里 fx()是某一个固定函数,则称 )}({ x
n
ψ 按范数? 平方收敛 于 fx()，
简称 )(x
n
ψ 平方收敛于 fx()。
对于一致收敛，我们不加证明地引进一个同样重要的结论。
定理 16.3.6 （ Weierstrass 第二逼近定理） 对周期为 2π的任意一个连续函数 fx()，都存在三角多项式序列
++=
∑
=
n
k
kkn
kxBkxA
A
x
1
0
)sincos(
2
)(ψ,
使得 )}({ x
n
ψ 一致收敛于 fx()。
等周问题
在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
定理 16.3.7 平面上具有定长的所有简单闭曲线中,圆周 所 围 的面积最大。换言之，若 L是平面上简单闭曲线 C的长度,A是曲线 C所围图形的面积，则
2
4π
L
A≤,
且等号成立时,C必须是圆周。
注
2
4π
L
就是周长为 L的圆所围的面积。
等周问题
在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的,等周问题,。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下,
现在仅对平面上分段光滑的简单闭曲线加以讨论。 以下的证明 是
Hurwitz 在 1902 年给出的。
引理 16.3.2（ Wirtinger） 设 fx()在 [ π,π]? 上连续,( π)(π)f f? =,
π
π
()d 0fx x
=
∫
，且除了有限个点外 )(xf 可导，但在不可导点,)(xf 的单侧导数存在。进一步假设,fx()的导数 )(xf ′ 在 [ π,π]? 上 可积或平方可积，则
ππ
22
()d ()d,f xx f xx
′
≤
∫∫
等号成立当且仅当 xbxaxf sincos)( += （ ba,为常数） 。
证 由推论 16.2.3,)(xf 的 Fourier 级数在 [ π,π]? 上点点收敛 于
)(xf 。由于
π
0
π
1
()d 0
π
afx
==
∫
，所以
=)(xf
∑
∞
=
+
1
)sincos(
n
nn
nxbnxa,[ π,π]x∈? ；
进一步，由定理 16.3.3,
′fx()~
∑
∞
=
+?
1
)cossin(
n
nn
nxnbnxna 。
于是，由 Parseval 等式得到
π
2
π
1
[()]d
π
f xx
=
∫
∑
∞
=
+
1
22
)(
k
kk
ba,
π
2
π
1
['()]d
π
f xx
=
∫
22 2
1
()
kk
k
ka b
∞
=
+
∑
及
ππ
22
()d ()df xx f xx
′
=
∫∫
222
2
π (1)( )
kk
k
kab
∞
=
+
∑
。
上式说明
ππ
22
()d ()d 0fxx fxx
′
≥
∫∫
，并且等号成立当且仅当
0,0 ==
nn
ba （ ",3,2=n ）,即
xbxaxf sincos)(
11
+= 。
定理 16.3.7 的证明
设曲线 C以弧长为参数的方程为
)(sxx =,)(syy =,],0[ Ls∈,
且参数 s从 0变到 L时，点 ))(),(( sysx 沿逆时针方向画出曲线 C。因为 C
是闭曲线，所以 )()0( Lxx =,)()0( Lyy = 。作变量代换
2π 2
L L
st= +,可 将该曲线的方程改写为
)(tx?=,)(ty ψ=,[ π,π]t∈?,
且成立 ( π)(π)=,( π)(π)ψ ψ? = 。
不妨假设
π
π
()d 0tt?
=
∫
。若
π
π
()d 0ttk?
= ≠
∫
，则可考虑闭曲线 C
~
,
2π
k
xx=? = ()
2π
k
t,)(
~
tyy ψ== （ [ π,π]t∈? ）,
C
~
是 C的一个平移，其所围图形的面积与 C所围图形的面积相同,
且满足
π
π
() d 0
2π
k
tt?
=
∫
。
定理 16.3.7 的证明
设曲线 C以弧长为参数的方程为
)(sxx =,)(syy =,],0[ Ls∈,
且参数 s从 0变到 L时，点 ))(),(( sysx 沿逆时针方向画出曲线 C。因为 C
是闭曲线，所以 )()0( Lxx =,)()0( Lyy = 。作变量代换
2π 2
L L
st= +,可 将该曲线的方程改写为
)(tx?=,)(ty ψ=,[ π,π]t∈?,
且成立 ( π)(π)=,( π)(π)ψ ψ? = 。
由
2π 2
L L
st=+，可知
2
2
22
2
() ()
4π
Lds
tt
dt
ψ
′ ′
==+
,[ π,π]t∈?,
对上式在 [ π,π]? 上取定积分，得到
2
π
22
π
() () d
2π
L
ttt?ψ
′′
=+
∫
。
因为 C所围图形的面积
π
π
d()()d
C
A xy t t t?ψ
′
==
∫∫
，因此
2
π
22
π
2()()2()()d
2π
L
A ttttt?ψ?ψ
′′ ′
= +?
∫
[]
ππ
2
22
() () d () () dttt ttt ψ?
=?+?
∫∫
。
由引理 16.3.2，成立
π
22
π
() () d 0ttt
′
≥
∫
，所以
2
4π
L
A≤,
等号成立当且仅当
π
22
π
() () d 0ttt
′
=
∫
,
[]
π
2
π
() () d 0tttψ?
′
=
∫
,
即
tbtat sincos)( +=?,)()( tt?ψ =
′,
[ π,π]t∈? 。
这时 C的参数方程为
+?==
+==
,cossin)(
,sincos)(
ctbtaty
tbtatx
ψ
[ π,π]t∈?,
即 C是一个圆周。
