函数在 x? 0 处的 T ayl o r 公式函数
xf
在 x? 0 处的 T a y l or 公式
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2 xrx
n
f
x
f
xffxf nn
n
,
其中
)( xr n
有 P e a n o 余项与 L a g r a n g e 余项两种表示形式，即有
)()( nn xoxr?
，或
1
)1(
)!1(
)(
)(?
n
n
n x
n
xf
xr
，
( 0,1 )
。
函数
xf
在 x? 0 处的 T ayl o r 公式又称为函数
xf
的 M aclau r in 公式 。下面我们求几个最基本的初等函数的 M aclau r in 公式 。
§ 4 函数的 Taylor公式及其应用例 5.4.1 求
f x x( ) e?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 对函数
f x x( ) e?
有
xn xfxfxfxf e)()()()( )(
,
于是
1)0()0()0()0( )( nffff?
,
因此,e x 在 x? 0 处的 T ay l o r 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
r xn ( )
,
它的余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,
)!1(
e
)(
1
n
x
n
x
n
xr
。
例 5.4.2 求
f x x( ) s in?
和
f x x( ) c o s?
在 x? 0 处的 T a y l or 公式。
解 先考虑
f x x( ) s in?
。
由于对
k? 0 1 2,,,?
，有
()
( ) s i n π
2
k k
f x x
,
于是
,12,)1(
,2,0
)0(
)(
nk
nk
f
n
k
因此 s i n x 在 x? 0 处的 T a y l or 公式为
)!12(
)1(
!5!3
s i n
1253
n
xxx
xx
n
n
r xn2 2 ( )
,
相应的余项为
)()( 2222 nn xoxr
，或 23
22
23
( ) s i n π,( 0,1 )
( 2 3 ) ! 2
n
n
xn
r x x
n
。
同理可以求出 c o s x 在 x? 0 处的 T a y l or 公式为
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
242
n
xxxx nnr xn2 1 ( ),
相应的余项为
)()( 1212 nn xoxr,或 22
21
22( ) c o s π,(0,1 )
( 2 2 ) ! 2
n
n
xnr x x
n
。
例 5.4.3 求
)1()( xxf
（? 为任意实数）在 x? 0 处的 T ay l o r
公式。
解 因为
1)1()0(
0
x
xf?
,
0
1)1()0(
x
xf
,
)1()1)(1()0(
0
2
x
xf
,
对任意正整数 k,一般地有
)1()1()0()( kf k
。
记
,
!
)1()1(
k
k
k
并规定
1
0
。
当
为正整数 n 时,n
j
n
j
C
，
nj1
，因而它是组合数的推广。
由此得到
n
x
n
xxxx
32
3210
)1(
r xn ( )
,
它的余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,)1(
1
)(
1)1(
nn
n
xx
n
xr
。
下面是几种最常见的情况。
(a) 当? 为正整数 n 时，上式即成为
( ) C1
0 0
x nk x xn
k
n
k
n
k k
k
n,
这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零。
( b) 当 1 时，易知
1
1
k
k( ),
因此
nn xxxxx
x
)1(1
1
1 432
r xn ( )
,
余项为
)()(
nn xoxr?
，或 1
1
2( ) ( 1 ),( 0,1 )( 1 )
n
n
n n
xrx
x
。
下面是几种最常见的情况。
(a) 当? 为正整数 n 时，上式即成为
( ) C1
0 0
x nk x xn
k
n
k
n
k k
k
n,
这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零。
( c ) 当
2
1
时，对
1?k
，有
!
)1()1(
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
!2
))1(21()41)(21(
k
k
k
,1,
!)!2(
!)!32(
)1(
,1,
2
1
1
k
k
k
k
k
其中记号
!!k
为
.12,135)4)(2(
,2,246)4)(2(
!!
nkkkk
nkkkk
k
因此,
nn
x
n
n
xxxx
!)!2(
!)!32(
)1(
642
31
42
1
2
1
11
132?
r xn ( )
,
余项为
)()( nn xoxr?
，或
1
2
1
( 2 1 ) ! !
( ) ( 1 ),( 0,1 )
( 2 2 ) ! ! ( 1 )
n
n
n n
nx
rx
n x
。
(d ) 当
2
1
时，对
1?k
，有
,
!)!2(
!)!12(
)1(
!2
))1(21()41)(21)(1(
!
)1()1)((
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
因此
nn
x
n
n
xxx
x !)!2(
!)!12(
)1(
642
531
42
31
2
1
1
1
1 32?
r xn ( )
,
余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,
)1(!)!22(
!)!12(
)1()(
2
3
1
1
n
n
n
n
x
x
n
n
xr
。
例 5.4.4 求 f x x( )? 2 在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 将 2 x 写成 e ( l n )2 x,令 u x? ( ln )2 并对 e u 使用例 5,4.1 的 T ay l o r 公式，代回变量即有
)(
!
)2( ln
!3
)2( ln
!2
)2( ln)2( ln12 3322 nnnx xo
n
xxxx。
例 5.4.5 求
f x x( ) c o s23
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式（展开至 4
次）。
解 令 u x1 c o s,则当
x? 0
时
u? 0
，于是
2
233
3
2
2
2 c o s 1 ( 1 c o s ) 1 1 ( )
39
1 c o s ( 1 c o s )
1 ( ( 1 c o s ) ),
39
uu
x x u o u
xx
ox
由于
)(
242
c o s1
4
42
xo
xx
x
,
代入上式，得到展开式
)(
246
1c o s2
4
42
3 xoxxx
。
请读者思考一下，为什么不能将 23? c o s x 化为 23? 1
23?
cos x,
再对 1
23?
cos x 使用例 5,4.3 的结论。
例 5.4.5 求
f x x( ) c o s23
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式（展开至 4
次）。
解 令 u x1 c o s,则当
x? 0
时
u? 0
，于是
2
233
3
2
2
2 c o s 1 ( 1 c o s ) 1 1 ( )
39
1 c o s ( 1 c o s )
1 ( ( 1 c o s ) ),
39
uu
x x u o u
xx
ox
由于
)(
242
c o s1
4
42
xo
xx
x
,
代入上式，得到展开式
)(
246
1c o s2
4
42
3 xoxxx
。
定理 5.4.1 设 f x( ) 在 x
0
的某个邻域有 n? 2 阶导数存在，则它的
n? 1 次 T a y l or 多项式的导数恰为?f x( ) 的 n 次 T a y l or 多项式 。
证明留作习题。这个性质给我们带来很大的方便。
例 5.4.6 求
f x x( ) l n ( )1
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由于
[ln ( ) ]1
1
1
x
x
，设
ln ( )1? x
的 T ay l o r 公式为
)()1l n ( 2210 nnn xoxaxaxaax
,
则由定理 5,4.1,
)(32])1[ l n ( 112321 nnn xoxnaxaxaax?
。
由于
[ln ( ) ]1
1
1
x
x
，而由例 5,4.3 的 (b ),
1
1? x
的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 111432
nnn
xoxxxxx
x
,
比较两式，便得到
a
j
j
j
( )1
1,
j n? 1 2,,,?
,
同时可以明显看出
a 0 1 0ln
,因此可得
)()1(
432
)1ln (
1
432
n
n
n
xo
n
xxxx
xx
。
例 5.4.7 求
xxf t a na r c)(?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由例 5,4.3 的 (b ),函数 1
1 2? x
在 x? 0 的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 1228642
2
nnn xoxxxxx
x
,
因为
21
1
)t a n( a r c
x
x
，按例 5,4.6 同样的方法，易知
)(
12
)1(
53
t a na r c 22
1253
n
n
n xo
n
xxx
xx?
。
函数 f x( ) 在 0xx? 处的 T ay l o r 公式可以通过对它在 x? 0 处的
T ay l o r 公式作适当的变换后直接得到，而不需要按定义去计算。
例 5.4.7 求
xxf t a na r c)(?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由例 5,4.3 的 (b ),函数 1
1 2? x
在 x? 0 的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 1228642
2
nnn xoxxxxx
x
,
因为
21
1
)t a n( a r c
x
x
，按例 5,4.6 同样的方法，易知
)(
12
)1(
53
t a na r c 22
1253
n
n
n xo
n
xxx
xx?
。
例 5.4.8 求
f x x( )?
在 x? 1 处的 T ay l o r 公式。
解 将 x 改写成
1 1( )x
，用例 5,4.3 的 (c) 的结论，即有
x x1 1( )
).)1(()1(
!)!2(
!)!32(
)1(
)1(
642
31
)1(
42
1
)1(
2
1
1
1
32
nnn
xox
n
n
xxx
T ayl o r 公式的应用一、近似计算例 5.4.9 用 e x 的 10 次 T a y l or 多项式求 e 的近似值，并估计误差。
解 在 e x 的 T a y l or 公式（例 5,4,1 ）中取 x? 1,n? 10,则可算得
.7 1 8 2 8 1 8 0 1.2
!10
1
!3
1
!2
1
11e
关于计算的误差，则有如下的估计
8
1
11
108.6
!11
3
!11
e
x
xd
。
注意,T a y l or 公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时,x 不能远离
x 0
，否则效果会比较差。
二、求极限对于待定型的极限问题,T ay l o r 公式往往是比 L 'H o s p i t al 法则更为有效的求极限工具。
例 5.4.10 求
lim
c o s e
x
x
x
x?
0
2
4
2
。
解 这是个
0
0
待定型的极限问题。如果用 L 'H o s p i t al 法则，则分子分母需要求导 4 次，但若采用 T ay l o r 公式，则有
2
2
2 4 2 2
44
2
44
00
44
4
0
1
1 ( ) 1 ( )
2 ! 4 ! 2 2 ! 2
c o s e
l im l im
1
()
1
12
l im,
12
x
xx
x
x x x x
o x o x
x
xx
x o x
x
例 5.4.11 求
4
32
0
1c o s26)s i n1ln (
li m
x
xx
x
。
解 这也是个
0
0
待定型的极限问题。由例 5,4.5 和例 5,4.6,有
)(
246
1c o s2
4
42
3
xo
xx
x
,
)( s in
2
s in
s in)s in1ln (
4
4
22
xo
x
xx
。
用
2
4
3
2
)(
6
s i n
xo
x
xx
代入，即有
)(
6
5
)s in1ln (
4
4
22
xo
x
xx
。
于是,
2 3
4
0
2 4 4 2 4 4
5 11
6 6 2 4
4
0
l n ( 1 s in ) 6 ( 2 c o s 1 )
l im
( ) 6 ( )
7
l im,
12
x
x
xx
x
x x o x x x o x
x
三、证明不等式下面举例说明,Taylor 公式 也是证明不等式的重要方法 。
例 5.4.12 设
1
。证明：当
1x
时成立
xx 1)1(
,
且等号仅当
0?x
时成立。
证
)1()( xxf
在
),1(
上二阶可导，且有
1)0(?f；
1)1()( xxf
，
)0(f；以及
2)1)(1()( xxf
。
对
)( xf
应用在
0?x
处的带 L ag ran g e 余项的 T ay l o r 公式，得
22
)1(
2
)1(
1)1( xxxx
，
1x
。
注意到上式中最后一项是非负的，且仅当
0?x
时为零。所以
xx 1)1(
，
1x
,
且等号仅当
0?x
时成立。
例 5,4,1 3 设
)( xf
在
]1,0[
上具有二阶导数，且
]1,0[
上成立
Axf?|)(|
，
Bxf |)(|
。证明
BAxf
2
1
2|)(|
，
]1,0[?x
。
证 对于任意
]1,0[?c
，由
)( xf
在
cx?
处的带 L ag ran g e 余项的 T ay l o r
公式，得
2
))((
2
1
))(()()( cxfcxcfcfxf
，
]1,0[?x
,
其中
在
c
与
x
之间，因此
]1,0[
。特别地有
2
1
)0)((
2
1
)0)(()()0( cfccfcff
,
2
2
)1)((
2
1
)1)(()()1( cfccfcff
,
其中
]1,0[,21
。将以上两式相减得
2
1
2
2
)()1)((
2
1
)0()1()( cfcfffcf
,
于是由已知条件得
,)1(
2
2
|)(|)1(|)(|
2
1
|)0(||)1(||)(|
22
2
1
2
2
cc
B
A
cfcfffcf
注意到在
]1,0[
上成立
1)1( 22 xx
，因此
BAcf
2
12|)(|
。
由 c 在
]1,0[
上的任意性，即得结论。
四、求曲线的渐近线方程直线
y ax b
是曲线
y f x? ( )
的 渐近线的充分必要条件为
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
0
或
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
0
。
如果
y ax b
是曲线
y f x? ( )
的渐近线，则
x
l i m
( ) ( )
0
f x ax b
x
（或
x
l i m
( ) ( )
0
f x ax b
x
）,
因此首先有
l i m
x
a
x
xf )(
（或
l i m
x
a
x
xf )(
）。
其次，再由
x
l i m
[ ( ) ( ) ] 0f x a x b
（或
x
l i m
[ ( ) ( ) ] 0f x a x b
）可得
l i m
x
b
])([ axxf?
（或
l i m
x
b
])([ axxf?
）。
注意：如果上面的极限计算对于x 成立，则说明直线
baxy
关于曲线
y f x? ( )
在 x 和 两个方向上都是渐近线。
除上述情况外，如果当 ax 或?a 时，
f x( )
趋于 或
，即
)(lim xf
ax
或
)(lim xf
ax
,
则直线 x a? 是曲线
y f x? ( )
的一条垂直 渐近线 。
例 5.4.14 求曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的渐近线方程。
解 由于
a
3
1
)1(3
)1(
l iml im
2
xx
x
x
y
xx
,
x
x
x
ax
x
x
b
xx 3
1
)1(3
)1(
lim
)1(3
)1(
lim
22
1
1
13
lim
3
1
x
x
x
,
因此
y
x
3
1
为曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的斜渐近线。又由于
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
，
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
,
可知
1x
是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的垂直渐近线。
显然，
y
x
3
1
在
x
和 两个方向上都是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的斜渐近线，而
1x
在
ax
和
a
两个方向上都是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的垂直渐近线。
例 5.4.15 求曲线
y x x x3 23 1
的渐近线方程。
解 设
y x x x3 23 1
的渐近线方程为
baxy
，则由定义
a
x
xxx
x
y
xx
3 23
1
l iml im 1
1
1lim 3
3
2
x
xx
x
,
xxxxb
x
3 23 1l i m
1
1
1lim 3
3
2
x
xx
x
x
1
11
3
1
1lim
3
2
x
o
x
xx
x
x 3
1
)1(
3
1
l im
o
x
,
因此
y x x x3 23 1
的渐近线方程为
y x
1
3
。
例 5,4,16 求曲线 11
3 (e e 2 )xxyx
的渐近线方程。
解 设 11
3 (e e 2 )xxyx
的渐近线方程为
baxy
，则由定义
a
x
y
x
lim
11
2
l i m ( e e 2 )xx
x
x
2
1
2
11
1
1
2
11
1lim
2222
2
x
o
xxx
o
xx
x
x
1?,
11
3
l i m ( e e 2)
xx
x
b x x
3
2 3 3 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
l im 1 1 2
2 6 2 6x
x o o x
x x x x x x x x
0])1([lim
xox
x
。
因此
xy?
为曲线 113
(e e 2 )xxyx
的斜渐近线。
由于
1 1 1
33
00
l im ( e e 2 ) l im ex x x
xx
xx
,
1 1 1
33
00
l im ( e e 2 ) l im ex x x
xx
xx
,
可知 0?x 是曲线 113 (e e 2 )xxyx的垂直渐近线。
五、外推若对于某个值 a,按参数 h 算出的近似值
a h1 ( )
可以展开成
332211 )( hchchcaha
那么按参数
h
2
算出的近似值
2
1
h
a
就是
3
3
2
211
8
1
4
1
2
1
2
hchchca
h
a
,
a h1 ( )
和
2
1
h
a
与准确值 a 的误差都是
)( hO
阶的。
现在，将后一式乘上 2 减去前一式，便得到
3
3
2
2
11
2
12
)(
2
2
)( hdhda
ha
h
a
ha
,
也就是说，对两个
)( hO
阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有
)( 2hO
阶的近似值
a h2 ( )
。这样的过程 就称为 外推 。
若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从
a h2 ( )
出发再次外推,
4
4
3
3
22
3
14
)(
2
4
)( hehea
ha
h
a
ha
,
得到
)( 3hO
阶的近似值
a h3 ( )
。这样的过程可以进行 k? 1 步，直到
)(
12
)(
2
2
)(
1
11
1
k
k
kk
k
k
hOa
ha
h
a
ha
满足预先给定的精度。
外推方法是一种非常重要的近似计算技术。
我们来看一个具体的例子。
古人很早就知道用“割圆术”，即计算圆的内接或外切正多边形的周长或面积来求圆周率
。
例 5.4.17 单位圆的内接正 n 边形的面积可以表示为
S h
h
h( ) s i n ( )?
1
2
2?
,
这里
h
n
1
，按照 T a y l or 公式
35
2 4 6
1 2 3
1 ( 2 π ) ( 2 π )
( ) [ 2 π ]
2 3 ! 5!
π
hh
S h h
h
c h c h c h
,
因此，其内接正 2 n 边形的面积可以表示为
35
2 4 6
1 2 3
1( π )( π )1
π π
2 3 ! 5! 4
h h h
S h c h c h c h
h
，
用它们作为
的近似值，误差都是
)( 2hO
量级的。
现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合,
3
)(
2
214
)(
2
4
)(
~
hS
h
S
h
S
hS
h
S
hS
,
那么通过简单的计算就可以知道
46
23() πS h d h d h
,
h 2 项被消掉了！也就是说，用 ~ ( )S h 近似表示?,其精度可以大大提高。
我国三国时的著名数学家刘徽曾对半径为 10 的圆算出
1 5 8 4 1 6 4
1 0 0 3 1 3 1 0 0 3 1 4
9 6 6 2 5 1 9 2 6 2 5
SS
，,
接着他“以十二觚之幂为率消息”，“取此分寸之三十六”，用现在的话来说，即以
36
625
加到
1 9 2
1
1 0 0 S
上去，便得到了当时最精确的圆周率
1 6 4 3 6
π 3 1 4 3,1 4 1 6
1 0 0 6 2 5 6 2 5
。
后人发现，他用的增量
36
625
与 ~
( )S h
表达式中对
2
h
S
的修正量
3
)(
2
hS
h
S
314
64
625
313
584
625
3
35
625
相当接近，因此有理由认为，他在当时已经掌握了某种与外推方法类似的计算技术。
例 5.4.18 证明,e 是无理数。
证 用反证法。假设 e 是有理数，那么显而易见，一定存在充分大的自然数 m,使得
( !) em
是正整数。
在 e x 的 T a y l or 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
1
e
,(0,1 )
( 1 ) !
x
n
x
n
中，将 n 取为 m,并令 x? 1 。即有
!
1
!3
1
!2
1
11e
m
e
,( 0,1 )
( 1 ) !m
。
两边同乘上 m !,便得到
( !) em
!
1
!3
1
!2
1
11)!(
m
m?
( ! ) e
( 1 ) !
m
m
,
即
)!( m
!
1
!3
1
!2
1
11e
m
e
1m
。
按假设，等式的左端是正整数。
但由于
( 0,1 )
，因此
1 e 3,
代入上式的右端，就得到估计式
1 e 3
111mmm
。
于是，对于任意正整 数 2?m,都有 e
1m
(,)0 1
，也就是说，上述等式的右端决不可能是正整数，这样就导出了矛盾。
所以假设 e 是有理数不成立，即 e 是无理数。
xf
在 x? 0 处的 T a y l or 公式
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2 xrx
n
f
x
f
xffxf nn
n
,
其中
)( xr n
有 P e a n o 余项与 L a g r a n g e 余项两种表示形式，即有
)()( nn xoxr?
，或
1
)1(
)!1(
)(
)(?
n
n
n x
n
xf
xr
，
( 0,1 )
。
函数
xf
在 x? 0 处的 T ayl o r 公式又称为函数
xf
的 M aclau r in 公式 。下面我们求几个最基本的初等函数的 M aclau r in 公式 。
§ 4 函数的 Taylor公式及其应用例 5.4.1 求
f x x( ) e?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 对函数
f x x( ) e?
有
xn xfxfxfxf e)()()()( )(
,
于是
1)0()0()0()0( )( nffff?
,
因此,e x 在 x? 0 处的 T ay l o r 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
r xn ( )
,
它的余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,
)!1(
e
)(
1
n
x
n
x
n
xr
。
例 5.4.2 求
f x x( ) s in?
和
f x x( ) c o s?
在 x? 0 处的 T a y l or 公式。
解 先考虑
f x x( ) s in?
。
由于对
k? 0 1 2,,,?
，有
()
( ) s i n π
2
k k
f x x
,
于是
,12,)1(
,2,0
)0(
)(
nk
nk
f
n
k
因此 s i n x 在 x? 0 处的 T a y l or 公式为
)!12(
)1(
!5!3
s i n
1253
n
xxx
xx
n
n
r xn2 2 ( )
,
相应的余项为
)()( 2222 nn xoxr
，或 23
22
23
( ) s i n π,( 0,1 )
( 2 3 ) ! 2
n
n
xn
r x x
n
。
同理可以求出 c o s x 在 x? 0 处的 T a y l or 公式为
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
242
n
xxxx nnr xn2 1 ( ),
相应的余项为
)()( 1212 nn xoxr,或 22
21
22( ) c o s π,(0,1 )
( 2 2 ) ! 2
n
n
xnr x x
n
。
例 5.4.3 求
)1()( xxf
（? 为任意实数）在 x? 0 处的 T ay l o r
公式。
解 因为
1)1()0(
0
x
xf?
,
0
1)1()0(
x
xf
,
)1()1)(1()0(
0
2
x
xf
,
对任意正整数 k,一般地有
)1()1()0()( kf k
。
记
,
!
)1()1(
k
k
k
并规定
1
0
。
当
为正整数 n 时,n
j
n
j
C
，
nj1
，因而它是组合数的推广。
由此得到
n
x
n
xxxx
32
3210
)1(
r xn ( )
,
它的余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,)1(
1
)(
1)1(
nn
n
xx
n
xr
。
下面是几种最常见的情况。
(a) 当? 为正整数 n 时，上式即成为
( ) C1
0 0
x nk x xn
k
n
k
n
k k
k
n,
这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零。
( b) 当 1 时，易知
1
1
k
k( ),
因此
nn xxxxx
x
)1(1
1
1 432
r xn ( )
,
余项为
)()(
nn xoxr?
，或 1
1
2( ) ( 1 ),( 0,1 )( 1 )
n
n
n n
xrx
x
。
下面是几种最常见的情况。
(a) 当? 为正整数 n 时，上式即成为
( ) C1
0 0
x nk x xn
k
n
k
n
k k
k
n,
这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零。
( c ) 当
2
1
时，对
1?k
，有
!
)1()1(
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
!2
))1(21()41)(21(
k
k
k
,1,
!)!2(
!)!32(
)1(
,1,
2
1
1
k
k
k
k
k
其中记号
!!k
为
.12,135)4)(2(
,2,246)4)(2(
!!
nkkkk
nkkkk
k
因此,
nn
x
n
n
xxxx
!)!2(
!)!32(
)1(
642
31
42
1
2
1
11
132?
r xn ( )
,
余项为
)()( nn xoxr?
，或
1
2
1
( 2 1 ) ! !
( ) ( 1 ),( 0,1 )
( 2 2 ) ! ! ( 1 )
n
n
n n
nx
rx
n x
。
(d ) 当
2
1
时，对
1?k
，有
,
!)!2(
!)!12(
)1(
!2
))1(21()41)(21)(1(
!
)1()1)((
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
因此
nn
x
n
n
xxx
x !)!2(
!)!12(
)1(
642
531
42
31
2
1
1
1
1 32?
r xn ( )
,
余项为
)()( nn xoxr?
，或
)1,0(,
)1(!)!22(
!)!12(
)1()(
2
3
1
1
n
n
n
n
x
x
n
n
xr
。
例 5.4.4 求 f x x( )? 2 在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 将 2 x 写成 e ( l n )2 x,令 u x? ( ln )2 并对 e u 使用例 5,4.1 的 T ay l o r 公式，代回变量即有
)(
!
)2( ln
!3
)2( ln
!2
)2( ln)2( ln12 3322 nnnx xo
n
xxxx。
例 5.4.5 求
f x x( ) c o s23
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式（展开至 4
次）。
解 令 u x1 c o s,则当
x? 0
时
u? 0
，于是
2
233
3
2
2
2 c o s 1 ( 1 c o s ) 1 1 ( )
39
1 c o s ( 1 c o s )
1 ( ( 1 c o s ) ),
39
uu
x x u o u
xx
ox
由于
)(
242
c o s1
4
42
xo
xx
x
,
代入上式，得到展开式
)(
246
1c o s2
4
42
3 xoxxx
。
请读者思考一下，为什么不能将 23? c o s x 化为 23? 1
23?
cos x,
再对 1
23?
cos x 使用例 5,4.3 的结论。
例 5.4.5 求
f x x( ) c o s23
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式（展开至 4
次）。
解 令 u x1 c o s,则当
x? 0
时
u? 0
，于是
2
233
3
2
2
2 c o s 1 ( 1 c o s ) 1 1 ( )
39
1 c o s ( 1 c o s )
1 ( ( 1 c o s ) ),
39
uu
x x u o u
xx
ox
由于
)(
242
c o s1
4
42
xo
xx
x
,
代入上式，得到展开式
)(
246
1c o s2
4
42
3 xoxxx
。
定理 5.4.1 设 f x( ) 在 x
0
的某个邻域有 n? 2 阶导数存在，则它的
n? 1 次 T a y l or 多项式的导数恰为?f x( ) 的 n 次 T a y l or 多项式 。
证明留作习题。这个性质给我们带来很大的方便。
例 5.4.6 求
f x x( ) l n ( )1
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由于
[ln ( ) ]1
1
1
x
x
，设
ln ( )1? x
的 T ay l o r 公式为
)()1l n ( 2210 nnn xoxaxaxaax
,
则由定理 5,4.1,
)(32])1[ l n ( 112321 nnn xoxnaxaxaax?
。
由于
[ln ( ) ]1
1
1
x
x
，而由例 5,4.3 的 (b ),
1
1? x
的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 111432
nnn
xoxxxxx
x
,
比较两式，便得到
a
j
j
j
( )1
1,
j n? 1 2,,,?
,
同时可以明显看出
a 0 1 0ln
,因此可得
)()1(
432
)1ln (
1
432
n
n
n
xo
n
xxxx
xx
。
例 5.4.7 求
xxf t a na r c)(?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由例 5,4.3 的 (b ),函数 1
1 2? x
在 x? 0 的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 1228642
2
nnn xoxxxxx
x
,
因为
21
1
)t a n( a r c
x
x
，按例 5,4.6 同样的方法，易知
)(
12
)1(
53
t a na r c 22
1253
n
n
n xo
n
xxx
xx?
。
函数 f x( ) 在 0xx? 处的 T ay l o r 公式可以通过对它在 x? 0 处的
T ay l o r 公式作适当的变换后直接得到，而不需要按定义去计算。
例 5.4.7 求
xxf t a na r c)(?
在 x? 0 处的 T ay l o r 公式。
解 由例 5,4.3 的 (b ),函数 1
1 2? x
在 x? 0 的 T ay l o r 公式为
)()1(1
1
1 1228642
2
nnn xoxxxxx
x
,
因为
21
1
)t a n( a r c
x
x
，按例 5,4.6 同样的方法，易知
)(
12
)1(
53
t a na r c 22
1253
n
n
n xo
n
xxx
xx?
。
例 5.4.8 求
f x x( )?
在 x? 1 处的 T ay l o r 公式。
解 将 x 改写成
1 1( )x
，用例 5,4.3 的 (c) 的结论，即有
x x1 1( )
).)1(()1(
!)!2(
!)!32(
)1(
)1(
642
31
)1(
42
1
)1(
2
1
1
1
32
nnn
xox
n
n
xxx
T ayl o r 公式的应用一、近似计算例 5.4.9 用 e x 的 10 次 T a y l or 多项式求 e 的近似值，并估计误差。
解 在 e x 的 T a y l or 公式（例 5,4,1 ）中取 x? 1,n? 10,则可算得
.7 1 8 2 8 1 8 0 1.2
!10
1
!3
1
!2
1
11e
关于计算的误差，则有如下的估计
8
1
11
108.6
!11
3
!11
e
x
xd
。
注意,T a y l or 公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时,x 不能远离
x 0
，否则效果会比较差。
二、求极限对于待定型的极限问题,T ay l o r 公式往往是比 L 'H o s p i t al 法则更为有效的求极限工具。
例 5.4.10 求
lim
c o s e
x
x
x
x?
0
2
4
2
。
解 这是个
0
0
待定型的极限问题。如果用 L 'H o s p i t al 法则，则分子分母需要求导 4 次，但若采用 T ay l o r 公式，则有
2
2
2 4 2 2
44
2
44
00
44
4
0
1
1 ( ) 1 ( )
2 ! 4 ! 2 2 ! 2
c o s e
l im l im
1
()
1
12
l im,
12
x
xx
x
x x x x
o x o x
x
xx
x o x
x
例 5.4.11 求
4
32
0
1c o s26)s i n1ln (
li m
x
xx
x
。
解 这也是个
0
0
待定型的极限问题。由例 5,4.5 和例 5,4.6,有
)(
246
1c o s2
4
42
3
xo
xx
x
,
)( s in
2
s in
s in)s in1ln (
4
4
22
xo
x
xx
。
用
2
4
3
2
)(
6
s i n
xo
x
xx
代入，即有
)(
6
5
)s in1ln (
4
4
22
xo
x
xx
。
于是,
2 3
4
0
2 4 4 2 4 4
5 11
6 6 2 4
4
0
l n ( 1 s in ) 6 ( 2 c o s 1 )
l im
( ) 6 ( )
7
l im,
12
x
x
xx
x
x x o x x x o x
x
三、证明不等式下面举例说明,Taylor 公式 也是证明不等式的重要方法 。
例 5.4.12 设
1
。证明：当
1x
时成立
xx 1)1(
,
且等号仅当
0?x
时成立。
证
)1()( xxf
在
),1(
上二阶可导，且有
1)0(?f；
1)1()( xxf
，
)0(f；以及
2)1)(1()( xxf
。
对
)( xf
应用在
0?x
处的带 L ag ran g e 余项的 T ay l o r 公式，得
22
)1(
2
)1(
1)1( xxxx
，
1x
。
注意到上式中最后一项是非负的，且仅当
0?x
时为零。所以
xx 1)1(
，
1x
,
且等号仅当
0?x
时成立。
例 5,4,1 3 设
)( xf
在
]1,0[
上具有二阶导数，且
]1,0[
上成立
Axf?|)(|
，
Bxf |)(|
。证明
BAxf
2
1
2|)(|
，
]1,0[?x
。
证 对于任意
]1,0[?c
，由
)( xf
在
cx?
处的带 L ag ran g e 余项的 T ay l o r
公式，得
2
))((
2
1
))(()()( cxfcxcfcfxf
，
]1,0[?x
,
其中
在
c
与
x
之间，因此
]1,0[
。特别地有
2
1
)0)((
2
1
)0)(()()0( cfccfcff
,
2
2
)1)((
2
1
)1)(()()1( cfccfcff
,
其中
]1,0[,21
。将以上两式相减得
2
1
2
2
)()1)((
2
1
)0()1()( cfcfffcf
,
于是由已知条件得
,)1(
2
2
|)(|)1(|)(|
2
1
|)0(||)1(||)(|
22
2
1
2
2
cc
B
A
cfcfffcf
注意到在
]1,0[
上成立
1)1( 22 xx
，因此
BAcf
2
12|)(|
。
由 c 在
]1,0[
上的任意性，即得结论。
四、求曲线的渐近线方程直线
y ax b
是曲线
y f x? ( )
的 渐近线的充分必要条件为
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
0
或
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
0
。
如果
y ax b
是曲线
y f x? ( )
的渐近线，则
x
l i m
( ) ( )
0
f x ax b
x
（或
x
l i m
( ) ( )
0
f x ax b
x
）,
因此首先有
l i m
x
a
x
xf )(
（或
l i m
x
a
x
xf )(
）。
其次，再由
x
l i m
[ ( ) ( ) ] 0f x a x b
（或
x
l i m
[ ( ) ( ) ] 0f x a x b
）可得
l i m
x
b
])([ axxf?
（或
l i m
x
b
])([ axxf?
）。
注意：如果上面的极限计算对于x 成立，则说明直线
baxy
关于曲线
y f x? ( )
在 x 和 两个方向上都是渐近线。
除上述情况外，如果当 ax 或?a 时，
f x( )
趋于 或
，即
)(lim xf
ax
或
)(lim xf
ax
,
则直线 x a? 是曲线
y f x? ( )
的一条垂直 渐近线 。
例 5.4.14 求曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的渐近线方程。
解 由于
a
3
1
)1(3
)1(
l iml im
2
xx
x
x
y
xx
,
x
x
x
ax
x
x
b
xx 3
1
)1(3
)1(
lim
)1(3
)1(
lim
22
1
1
13
lim
3
1
x
x
x
,
因此
y
x
3
1
为曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的斜渐近线。又由于
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
，
)1(3
)1(
lim
2
1 x
x
x
,
可知
1x
是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的垂直渐近线。
显然，
y
x
3
1
在
x
和 两个方向上都是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的斜渐近线，而
1x
在
ax
和
a
两个方向上都是曲线
y
x
x
( )
( )
1
3 1
2
的垂直渐近线。
例 5.4.15 求曲线
y x x x3 23 1
的渐近线方程。
解 设
y x x x3 23 1
的渐近线方程为
baxy
，则由定义
a
x
xxx
x
y
xx
3 23
1
l iml im 1
1
1lim 3
3
2
x
xx
x
,
xxxxb
x
3 23 1l i m
1
1
1lim 3
3
2
x
xx
x
x
1
11
3
1
1lim
3
2
x
o
x
xx
x
x 3
1
)1(
3
1
l im
o
x
,
因此
y x x x3 23 1
的渐近线方程为
y x
1
3
。
例 5,4,16 求曲线 11
3 (e e 2 )xxyx
的渐近线方程。
解 设 11
3 (e e 2 )xxyx
的渐近线方程为
baxy
，则由定义
a
x
y
x
lim
11
2
l i m ( e e 2 )xx
x
x
2
1
2
11
1
1
2
11
1lim
2222
2
x
o
xxx
o
xx
x
x
1?,
11
3
l i m ( e e 2)
xx
x
b x x
3
2 3 3 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
l im 1 1 2
2 6 2 6x
x o o x
x x x x x x x x
0])1([lim
xox
x
。
因此
xy?
为曲线 113
(e e 2 )xxyx
的斜渐近线。
由于
1 1 1
33
00
l im ( e e 2 ) l im ex x x
xx
xx
,
1 1 1
33
00
l im ( e e 2 ) l im ex x x
xx
xx
,
可知 0?x 是曲线 113 (e e 2 )xxyx的垂直渐近线。
五、外推若对于某个值 a,按参数 h 算出的近似值
a h1 ( )
可以展开成
332211 )( hchchcaha
那么按参数
h
2
算出的近似值
2
1
h
a
就是
3
3
2
211
8
1
4
1
2
1
2
hchchca
h
a
,
a h1 ( )
和
2
1
h
a
与准确值 a 的误差都是
)( hO
阶的。
现在，将后一式乘上 2 减去前一式，便得到
3
3
2
2
11
2
12
)(
2
2
)( hdhda
ha
h
a
ha
,
也就是说，对两个
)( hO
阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有
)( 2hO
阶的近似值
a h2 ( )
。这样的过程 就称为 外推 。
若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从
a h2 ( )
出发再次外推,
4
4
3
3
22
3
14
)(
2
4
)( hehea
ha
h
a
ha
,
得到
)( 3hO
阶的近似值
a h3 ( )
。这样的过程可以进行 k? 1 步，直到
)(
12
)(
2
2
)(
1
11
1
k
k
kk
k
k
hOa
ha
h
a
ha
满足预先给定的精度。
外推方法是一种非常重要的近似计算技术。
我们来看一个具体的例子。
古人很早就知道用“割圆术”，即计算圆的内接或外切正多边形的周长或面积来求圆周率
。
例 5.4.17 单位圆的内接正 n 边形的面积可以表示为
S h
h
h( ) s i n ( )?
1
2
2?
,
这里
h
n
1
，按照 T a y l or 公式
35
2 4 6
1 2 3
1 ( 2 π ) ( 2 π )
( ) [ 2 π ]
2 3 ! 5!
π
hh
S h h
h
c h c h c h
,
因此，其内接正 2 n 边形的面积可以表示为
35
2 4 6
1 2 3
1( π )( π )1
π π
2 3 ! 5! 4
h h h
S h c h c h c h
h
，
用它们作为
的近似值，误差都是
)( 2hO
量级的。
现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合,
3
)(
2
214
)(
2
4
)(
~
hS
h
S
h
S
hS
h
S
hS
,
那么通过简单的计算就可以知道
46
23() πS h d h d h
,
h 2 项被消掉了！也就是说，用 ~ ( )S h 近似表示?,其精度可以大大提高。
我国三国时的著名数学家刘徽曾对半径为 10 的圆算出
1 5 8 4 1 6 4
1 0 0 3 1 3 1 0 0 3 1 4
9 6 6 2 5 1 9 2 6 2 5
SS
，,
接着他“以十二觚之幂为率消息”，“取此分寸之三十六”，用现在的话来说，即以
36
625
加到
1 9 2
1
1 0 0 S
上去，便得到了当时最精确的圆周率
1 6 4 3 6
π 3 1 4 3,1 4 1 6
1 0 0 6 2 5 6 2 5
。
后人发现，他用的增量
36
625
与 ~
( )S h
表达式中对
2
h
S
的修正量
3
)(
2
hS
h
S
314
64
625
313
584
625
3
35
625
相当接近，因此有理由认为，他在当时已经掌握了某种与外推方法类似的计算技术。
例 5.4.18 证明,e 是无理数。
证 用反证法。假设 e 是有理数，那么显而易见，一定存在充分大的自然数 m,使得
( !) em
是正整数。
在 e x 的 T a y l or 公式
!!3!2
1e
32
n
xxx
x
n
x
1
e
,(0,1 )
( 1 ) !
x
n
x
n
中，将 n 取为 m,并令 x? 1 。即有
!
1
!3
1
!2
1
11e
m
e
,( 0,1 )
( 1 ) !m
。
两边同乘上 m !,便得到
( !) em
!
1
!3
1
!2
1
11)!(
m
m?
( ! ) e
( 1 ) !
m
m
,
即
)!( m
!
1
!3
1
!2
1
11e
m
e
1m
。
按假设，等式的左端是正整数。
但由于
( 0,1 )
，因此
1 e 3,
代入上式的右端，就得到估计式
1 e 3
111mmm
。
于是，对于任意正整 数 2?m,都有 e
1m
(,)0 1
，也就是说，上述等式的右端决不可能是正整数，这样就导出了矛盾。
所以假设 e 是有理数不成立，即 e 是无理数。
