性质 1（线性性） 设
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，
1k
和
2k
是 常数。
则函数
k f x k g x1 2( ) ( )?
在
[,]a b
上也可积，且有
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a a
k f x k g x x k f x x k g x x
。
证 对
[,]a b
的任意一个划分,
a x x x x bn0 1 2?
和任意点
],[ 1 iii xx
，成立等式
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
xgkxfkxgkfk
1
2
1
1
1
21
)()()]()([
。
令
0)(m a x
1
i
ni
x?
,
1 2 1 2
0 0 0
1 1 1
l i m [ ( ) ( ) ] l i m ( ) l i m ( )
n n n
i i i i i i i
i i i
k f k g x k f x k g x
12 ( )d ( )d
bb
aa
k f x x k g x x
,
§ 2 定积分的基本性质由定义,k f x k g x1 2( ) ( )? 在 [,]a b 上 可积，且
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a ak f x k g x x k f x x k g x x
。
推论 若 f x( ) 在 [,]a b 上可积，而 g x( ) 只在有限个点上与 f x( ) 的取值不相同，则 g x( ) 在 [,]a b 上也可积，并且有
( ) d ( ) dbbaaf x x g x x
。
这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影响其可积性和积分值。
由定义,k f x k g x1 2( ) ( )? 在 [,]a b 上 可积，且
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a ak f x k g x x k f x x k g x x
。
性质 2 （乘积可积性） 设
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，则
f x g x( ) ( )?
在
[,]a b
上也可积 。
证 由于
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积,所以它们 在
[,]a b
上 有界。
因此存在常数 M,满足
Mxf?|)(|
和
| ( ) |,[,]g x M x a b
。
对
[,]a b
的任意划分
a x x x x bn0 1 2?
,
设?x 和 ~x 是
[,]x xi i? 1
中的任意两点，则有
| ( ) ( ) ( ) ( ) |
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) |
( ) ( ) ( ) ( ),
f x g x f x g x
f x f x g x f x g x g x
M f x f x g x g x
记
f x g x( ) ( )?
在小区间
[,]x xi i? 1
上的振幅为
i?
，
f x( )
和
g x( )
在小区间
[,]x xi i? 1
上的振幅分别为
i
和
i
,则上式意味着
()i i iM
,
因此
1 1 1
0 ( )
n n n
i i i i i i
i i i
x M x x
。
令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到
0
1
l i m 0
n
ii
i
x
,
根据 R i e m a n n 可积的充分必要条件，即知
f x g x( ) ( )?
在
[,]a b
可积。
要注意的是，一般说来
( ) ( ) d ( ) d ( ) d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
。
性质 3 （保序性） 设
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，且在
[,]a b
上恒有
f x g x( ) ( )?
，则成立
( ) d ( ) d
bb
aa
f x x g x x
。
证 我们只要证明对
[,]a b
上 的非负函数
f x( )
，成立
( )d 0
b
a
f x x
。
由于在
[,]a b
上
f x( )? 0
，因此对
[,]a b
的任意一个划分
a x x x x bn0 1 2?
和任意点
1[,]i i ixx
，有
1
( ) 0
n
ii
i
fx?
。
令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
，即得到
0
1
( )d l i m ( ) 0
n
b
ii
a
i
f x x f x
。
性质 4（绝对可积性） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，则
| ( ) |f x
在
[,]a b
上也可积，且成立
( ) d | ( ) | d
bb
aa
f x x f x x
。
证 由于对于任意两点?x 和 ~x,都有
| | (? )| | ( ~ )| | | (? ) ( ~ ) |f x f x f x f x
,
仿照性质 2 的证明即可证得
| ( ) |f x
在
[,]a b
上 可积。
又因为对任意
],[ bax?
，成立
| ( ) | ( ) | ( ) |f x f x f x
,
由性质 3 得到
| ( ) | d ( )d | ( ) | d
b b b
a a a
f x x f x x f x x
,
这就是
( ) d | ( ) | d
bb
aa
f x x f x x
。
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 | ( ) |f x 在 [,]a b
上的可积性并不能得出 f x( ) 在 [,]a b 上 的可积性。
反例,
,,1
,,1)(
为无理数为有理数
x
xxf x? [,]0 1 。
性质 5 （区间可加性） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，则对任意点
c a b? [,]
，
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上都可积；反过来，若
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上都可积，
则
f x( )
在
[,]a b
上可积 。 此时成立
( ) d ( ) d ( ) d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
。
证 先假定
f x( )
在
[,]a b
上 可积，设 c 是
[,]a b
中任意给定的一点。
由定理 7.1.3,对任意给定的
0
，存在
[,]a b
的一个划分
a x x x x bn0 1 2?
,
使得满足
1
n
ii
i
x
。
我们总可以假定 c 是其中的某一个分点
x k
，否则只要在原有划分中插入分点 c 作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1 ）,上面的不等式仍然成立。
将
a x x x x ck0 1 2?
和
c x x x x bk k k n1 2?
分别看成是对
[,]a c
和
[,]c b
作的划分，则显然有
1
k
ii
i
x
和
1
n
ii
ik
x
,
由定理 7.1.3,
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上 都是可积的。
反过来，若
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上 都可积，则对任意给定的
0
，
分别存在
[,]a c
和
[,]c b
的划分
a x x x x cn0 1 2
1
和
c x x x x bn0 1 2
2
,
使得
1
1 2
n
ii
i
x
和
2
1 2
n
ii
i
x
,
将这两组分点合起来作为
[,]a b
的一组分点
{ }x i in? 0
，这里
n n n1 2
，于是得到
12
1 1 1
nnn
i i i i i i
i i i
x x x
,
因此
f x( )
在
[,]a b
上 可积。
在
( )d
b
a
f x x?
,
( )d
c
a
f x x?
和
( )d
b
c
f x x?
都存在的条件下，利用定积分的定义，容易证明
( ) d ( ) d ( ) d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
。
由于规定了
( )d
b
a
f x x?
= －
( )d
a
b
f x x?
,
不难证明，当 c 是
[,]a b
之外的一点时，只要函数
)( xf
的可积性依然保持，定积分的区间可加性依然成立。
性质 6 （积分第一中值定理） 设 f x( ) 和 g x( ) 都在 [,]a b 上可积,g x( )
在 [,]a b 上不变号，则存在 ],[ Mm,使得
( ) ( )d ( )dbb
aa
f x g x x g x x
,
这里 M m和 分别表示 f x( ) 在 [,]a b 的上确界和下确界 。
特别地，若 f x( ) 在 [,]a b 上连续，则存在 ],[ ba,使得
( ) ( )d ( ) ( )dbb
aa
f x g x x f g x x
。
证 因为 g x( ) 在 [,]a b 上不变号，不妨设
g x x a b( ),[,]0,
于是有
m g x f x g x M g x( ) ( ) ( ) ( ),
由性质 3,得到
( ) d ( ) ( ) d ( ) db b b
a a a
m g x x f x g x x M g x x
。
性质 6 （积分第一中值定理） 设 f x( ) 和 g x( ) 都在 [,]a b 上可积,g x( )
在 [,]a b 上不变号，则存在 ],[ Mm,使得
( ) ( )d ( )dbb
aa
f x g x x g x x
,
这里 M m和 分别表示 f x( ) 在 [,]a b 的上确界和下确界 。
特别地，若 f x( ) 在 [,]a b 上连续，则存在 ],[ ba,使得
( ) ( )d ( ) ( )dbb
aa
f x g x x f g x x
。
由于
( ) ( )d
b
a
f x g x x?
和
( )d
b
a
g x x?
都是常数，因而必有某个
],[ Mm
，使得
( ) ( )d ( )d
bb
aa
f x g x x g x x
。
若
f x( )
在
[,]a b
上连续，则由闭区间上连续函数的介值定 理，此时必存在某个
],[ ba
，使得
)(f
，因此
( ) ( )d ( ) ( )d
bb
aa
f x g x x f g x x
。
当
f x( )
在
[,]a b
上连续，而
g x( )? 1
时，上述积分第一中值定理的结论就变成了
( )d ( ) ( )
b
a
f x x f b a
。
( )d ( ) ( )ba f x x f b a
,
的几何意义十分明确（图 7.2.1 ）：当 f x( )? 0 时，上式的左边表示由曲线 f x( ) 和直线 ax?,bx? 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积，它一定等于以 [,]a b 为底、某个 f ( )? 为高的矩形面积。
y = f (x)
y
xa b?
f (?)
图 7.2.1
O
例 7.2.1 设
f x( )
在
],[ ba
上 连续，且
0)(?xf
,证明
1
l n ( ) d
b
a
f x x
ba
1
l n ( )d
b
a
f x x
ba
。
证 将区间
],[ ba n
等分，并设
)( ab
n
i
ax
i
（
ni,,2,1,0
），于是
n
ab
x
i
（
ni,,2,1
）。利用
xln
在
),0(
上的上凸性得
n
i
k
n
i
k
xf
n
xf
n 11
)(
1
ln)(ln
1
,
即
n
i
ik
n
i
ik
xxf
ab
xxf
ab 11
)(
1
ln)(ln
1
。
由假设条件知，
)( xf
和
)(ln xf
在
],[ ba
上 连续，因此可积。在上式中令
n
，则由定积分的定义及
xln
的连续性得
1
l n ( ) d
b
a
f x x
ba
1
l n ( )d
b
a
f x x
ba
。
例 7.2,2 （ H? l der 不等式 ） 设
)(),( xgxf
在
],[ ba
上连续，
qp,
为满足
1
11
qp
的正数，证明
11
| ( ) ( ) | d | ( ) | d | ( ) | d
b b bpq
pq
a a a
f x g x x f x x g x x
。
证 当
0)(?xf
或
0)(?xg
时，上式显然成立。
否则的话，令
)( x?
1
| ( ) |
| ( ) | d
b
pp
a
fx
f x x?
，
1
| ( ) |
()
| ( ) | d
b
qq
a
gx
x
g x x
，
],[ bax?
,
（注意由本节习题 5 可知
| ( ) | d
b p
a
f x x?
和
| ( ) | d
b q
a
g x x?
均大于零。）
由例 5,1,8 得到
qp x
q
x
p
xx )(1)(1)()(
,
即
11
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |
,[,]
| ( ) | d | ( ) | d
| ( ) | d | ( ) | d
pq
bb
pq
bb pq
pq
aa
aa
f x g x f x g x
x a b
p f x x q g x x
f x x g x x
,
对上式两边在
],[ ba
上求积分，利用定积分的性质得到
11
1
| ( ) ( ) |d
| ( ) | d | ( ) | d
b
a
bb pq
pq
aa
f x g x x
f x x g x x
| ( ) | d | ( ) | d11
1.
| ( ) | d | ( ) | d
bb
pq
aa
bb
pq
aa
f x x g x x
pqp f x x q f x x
在不等式两边同乘
11
| ( ) | d | ( ) | d
bb pq
pq
aa
f x x g x x
，得到
11
| ( ) ( ) | d | ( ) | d | ( ) | d
b b bpq
pq
a a a
f x g x x f x x g x x
。
例 7.2.3 设函数
)( xf
在
],[ ba
上二阶可导，
0
2
ba
f
，记
|)(|s u p xfM
bxa
，证明
3
()
( ) d
24
b
a
M b a
f x x
。
证
)( xf
在
2
ba
x
处的带 L ag r ang e 余项的 T ay l o r 公式为
2
2
)(
2
1
222
)(?
ba
xf
ba
x
ba
f
ba
fxf?
2
2
)(
2
1
22
ba
xf
ba
x
ba
f?
，
],[ bax?
,
其中
ba
。
对等式两边求积分，利用
d0
2
b
a
ab
xx
，得到
2
1
( ) d d ( ) d
2 2 2 2
b b b
a a a
a b a b a b
f x x f x x f x x?
2
1
( ) d,
22
b
a
ab
f x x?
于是
22 3
1 ( )
( ) d ( ) d d
2 2 2 2 2 4
b b b
a a a
a b M a b M b a
f x x f x x x x x?
。
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，
1k
和
2k
是 常数。
则函数
k f x k g x1 2( ) ( )?
在
[,]a b
上也可积，且有
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a a
k f x k g x x k f x x k g x x
。
证 对
[,]a b
的任意一个划分,
a x x x x bn0 1 2?
和任意点
],[ 1 iii xx
，成立等式
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iii
xgkxfkxgkfk
1
2
1
1
1
21
)()()]()([
。
令
0)(m a x
1
i
ni
x?
,
1 2 1 2
0 0 0
1 1 1
l i m [ ( ) ( ) ] l i m ( ) l i m ( )
n n n
i i i i i i i
i i i
k f k g x k f x k g x
12 ( )d ( )d
bb
aa
k f x x k g x x
,
§ 2 定积分的基本性质由定义,k f x k g x1 2( ) ( )? 在 [,]a b 上 可积，且
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a ak f x k g x x k f x x k g x x
。
推论 若 f x( ) 在 [,]a b 上可积，而 g x( ) 只在有限个点上与 f x( ) 的取值不相同，则 g x( ) 在 [,]a b 上也可积，并且有
( ) d ( ) dbbaaf x x g x x
。
这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影响其可积性和积分值。
由定义,k f x k g x1 2( ) ( )? 在 [,]a b 上 可积，且
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] d ( )d ( )d
b b b
a a ak f x k g x x k f x x k g x x
。
性质 2 （乘积可积性） 设
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，则
f x g x( ) ( )?
在
[,]a b
上也可积 。
证 由于
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积,所以它们 在
[,]a b
上 有界。
因此存在常数 M,满足
Mxf?|)(|
和
| ( ) |,[,]g x M x a b
。
对
[,]a b
的任意划分
a x x x x bn0 1 2?
,
设?x 和 ~x 是
[,]x xi i? 1
中的任意两点，则有
| ( ) ( ) ( ) ( ) |
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) |
( ) ( ) ( ) ( ),
f x g x f x g x
f x f x g x f x g x g x
M f x f x g x g x
记
f x g x( ) ( )?
在小区间
[,]x xi i? 1
上的振幅为
i?
，
f x( )
和
g x( )
在小区间
[,]x xi i? 1
上的振幅分别为
i
和
i
,则上式意味着
()i i iM
,
因此
1 1 1
0 ( )
n n n
i i i i i i
i i i
x M x x
。
令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到
0
1
l i m 0
n
ii
i
x
,
根据 R i e m a n n 可积的充分必要条件，即知
f x g x( ) ( )?
在
[,]a b
可积。
要注意的是，一般说来
( ) ( ) d ( ) d ( ) d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
。
性质 3 （保序性） 设
f x( )
和
g x( )
都在
[,]a b
上可积，且在
[,]a b
上恒有
f x g x( ) ( )?
，则成立
( ) d ( ) d
bb
aa
f x x g x x
。
证 我们只要证明对
[,]a b
上 的非负函数
f x( )
，成立
( )d 0
b
a
f x x
。
由于在
[,]a b
上
f x( )? 0
，因此对
[,]a b
的任意一个划分
a x x x x bn0 1 2?
和任意点
1[,]i i ixx
，有
1
( ) 0
n
ii
i
fx?
。
令
1
m a x ( ) 0i
in
x?
，即得到
0
1
( )d l i m ( ) 0
n
b
ii
a
i
f x x f x
。
性质 4（绝对可积性） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，则
| ( ) |f x
在
[,]a b
上也可积，且成立
( ) d | ( ) | d
bb
aa
f x x f x x
。
证 由于对于任意两点?x 和 ~x,都有
| | (? )| | ( ~ )| | | (? ) ( ~ ) |f x f x f x f x
,
仿照性质 2 的证明即可证得
| ( ) |f x
在
[,]a b
上 可积。
又因为对任意
],[ bax?
，成立
| ( ) | ( ) | ( ) |f x f x f x
,
由性质 3 得到
| ( ) | d ( )d | ( ) | d
b b b
a a a
f x x f x x f x x
,
这就是
( ) d | ( ) | d
bb
aa
f x x f x x
。
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 | ( ) |f x 在 [,]a b
上的可积性并不能得出 f x( ) 在 [,]a b 上 的可积性。
反例,
,,1
,,1)(
为无理数为有理数
x
xxf x? [,]0 1 。
性质 5 （区间可加性） 设
f x( )
在
[,]a b
上可积，则对任意点
c a b? [,]
，
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上都可积；反过来，若
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上都可积，
则
f x( )
在
[,]a b
上可积 。 此时成立
( ) d ( ) d ( ) d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
。
证 先假定
f x( )
在
[,]a b
上 可积，设 c 是
[,]a b
中任意给定的一点。
由定理 7.1.3,对任意给定的
0
，存在
[,]a b
的一个划分
a x x x x bn0 1 2?
,
使得满足
1
n
ii
i
x
。
我们总可以假定 c 是其中的某一个分点
x k
，否则只要在原有划分中插入分点 c 作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1 ）,上面的不等式仍然成立。
将
a x x x x ck0 1 2?
和
c x x x x bk k k n1 2?
分别看成是对
[,]a c
和
[,]c b
作的划分，则显然有
1
k
ii
i
x
和
1
n
ii
ik
x
,
由定理 7.1.3,
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上 都是可积的。
反过来，若
f x( )
在
[,]a c
和
[,]c b
上 都可积，则对任意给定的
0
，
分别存在
[,]a c
和
[,]c b
的划分
a x x x x cn0 1 2
1
和
c x x x x bn0 1 2
2
,
使得
1
1 2
n
ii
i
x
和
2
1 2
n
ii
i
x
,
将这两组分点合起来作为
[,]a b
的一组分点
{ }x i in? 0
，这里
n n n1 2
，于是得到
12
1 1 1
nnn
i i i i i i
i i i
x x x
,
因此
f x( )
在
[,]a b
上 可积。
在
( )d
b
a
f x x?
,
( )d
c
a
f x x?
和
( )d
b
c
f x x?
都存在的条件下，利用定积分的定义，容易证明
( ) d ( ) d ( ) d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
。
由于规定了
( )d
b
a
f x x?
= －
( )d
a
b
f x x?
,
不难证明，当 c 是
[,]a b
之外的一点时，只要函数
)( xf
的可积性依然保持，定积分的区间可加性依然成立。
性质 6 （积分第一中值定理） 设 f x( ) 和 g x( ) 都在 [,]a b 上可积,g x( )
在 [,]a b 上不变号，则存在 ],[ Mm,使得
( ) ( )d ( )dbb
aa
f x g x x g x x
,
这里 M m和 分别表示 f x( ) 在 [,]a b 的上确界和下确界 。
特别地，若 f x( ) 在 [,]a b 上连续，则存在 ],[ ba,使得
( ) ( )d ( ) ( )dbb
aa
f x g x x f g x x
。
证 因为 g x( ) 在 [,]a b 上不变号，不妨设
g x x a b( ),[,]0,
于是有
m g x f x g x M g x( ) ( ) ( ) ( ),
由性质 3,得到
( ) d ( ) ( ) d ( ) db b b
a a a
m g x x f x g x x M g x x
。
性质 6 （积分第一中值定理） 设 f x( ) 和 g x( ) 都在 [,]a b 上可积,g x( )
在 [,]a b 上不变号，则存在 ],[ Mm,使得
( ) ( )d ( )dbb
aa
f x g x x g x x
,
这里 M m和 分别表示 f x( ) 在 [,]a b 的上确界和下确界 。
特别地，若 f x( ) 在 [,]a b 上连续，则存在 ],[ ba,使得
( ) ( )d ( ) ( )dbb
aa
f x g x x f g x x
。
由于
( ) ( )d
b
a
f x g x x?
和
( )d
b
a
g x x?
都是常数，因而必有某个
],[ Mm
，使得
( ) ( )d ( )d
bb
aa
f x g x x g x x
。
若
f x( )
在
[,]a b
上连续，则由闭区间上连续函数的介值定 理，此时必存在某个
],[ ba
，使得
)(f
，因此
( ) ( )d ( ) ( )d
bb
aa
f x g x x f g x x
。
当
f x( )
在
[,]a b
上连续，而
g x( )? 1
时，上述积分第一中值定理的结论就变成了
( )d ( ) ( )
b
a
f x x f b a
。
( )d ( ) ( )ba f x x f b a
,
的几何意义十分明确（图 7.2.1 ）：当 f x( )? 0 时，上式的左边表示由曲线 f x( ) 和直线 ax?,bx? 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积，它一定等于以 [,]a b 为底、某个 f ( )? 为高的矩形面积。
y = f (x)
y
xa b?
f (?)
图 7.2.1
O
例 7.2.1 设
f x( )
在
],[ ba
上 连续，且
0)(?xf
,证明
1
l n ( ) d
b
a
f x x
ba
1
l n ( )d
b
a
f x x
ba
。
证 将区间
],[ ba n
等分，并设
)( ab
n
i
ax
i
（
ni,,2,1,0
），于是
n
ab
x
i
（
ni,,2,1
）。利用
xln
在
),0(
上的上凸性得
n
i
k
n
i
k
xf
n
xf
n 11
)(
1
ln)(ln
1
,
即
n
i
ik
n
i
ik
xxf
ab
xxf
ab 11
)(
1
ln)(ln
1
。
由假设条件知，
)( xf
和
)(ln xf
在
],[ ba
上 连续，因此可积。在上式中令
n
，则由定积分的定义及
xln
的连续性得
1
l n ( ) d
b
a
f x x
ba
1
l n ( )d
b
a
f x x
ba
。
例 7.2,2 （ H? l der 不等式 ） 设
)(),( xgxf
在
],[ ba
上连续，
qp,
为满足
1
11
qp
的正数，证明
11
| ( ) ( ) | d | ( ) | d | ( ) | d
b b bpq
pq
a a a
f x g x x f x x g x x
。
证 当
0)(?xf
或
0)(?xg
时，上式显然成立。
否则的话，令
)( x?
1
| ( ) |
| ( ) | d
b
pp
a
fx
f x x?
，
1
| ( ) |
()
| ( ) | d
b
a
gx
x
g x x
，
],[ bax?
,
（注意由本节习题 5 可知
| ( ) | d
b p
a
f x x?
和
| ( ) | d
b q
a
g x x?
均大于零。）
由例 5,1,8 得到
qp x
q
x
p
xx )(1)(1)()(
,
即
11
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |
,[,]
| ( ) | d | ( ) | d
| ( ) | d | ( ) | d
pq
bb
pq
bb pq
pq
aa
aa
f x g x f x g x
x a b
p f x x q g x x
f x x g x x
,
对上式两边在
],[ ba
上求积分，利用定积分的性质得到
11
1
| ( ) ( ) |d
| ( ) | d | ( ) | d
b
a
bb pq
pq
aa
f x g x x
f x x g x x
| ( ) | d | ( ) | d11
1.
| ( ) | d | ( ) | d
bb
pq
aa
bb
pq
aa
f x x g x x
pqp f x x q f x x
在不等式两边同乘
11
| ( ) | d | ( ) | d
bb pq
pq
aa
f x x g x x
，得到
11
| ( ) ( ) | d | ( ) | d | ( ) | d
b b bpq
pq
a a a
f x g x x f x x g x x
。
例 7.2.3 设函数
)( xf
在
],[ ba
上二阶可导，
0
2
ba
f
，记
|)(|s u p xfM
bxa
，证明
3
()
( ) d
24
b
a
M b a
f x x
。
证
)( xf
在
2
ba
x
处的带 L ag r ang e 余项的 T ay l o r 公式为
2
2
)(
2
1
222
)(?
ba
xf
ba
x
ba
f
ba
fxf?
2
2
)(
2
1
22
ba
xf
ba
x
ba
f?
，
],[ bax?
,
其中
ba
。
对等式两边求积分，利用
d0
2
b
a
ab
xx
，得到
2
1
( ) d d ( ) d
2 2 2 2
b b b
a a a
a b a b a b
f x x f x x f x x?
2
1
( ) d,
22
b
a
ab
f x x?
于是
22 3
1 ( )
( ) d ( ) d d
2 2 2 2 2 4
b b b
a a a
a b M a b M b a
f x x f x x x x x?
。
