正项级数定义 9,3,1 如果级数
1n
nx
的各项都是非负实数,即
x n? 0,n = 1,2,?,
则称此级数为 正项级数 。
§ 3 正项级数显然，正项级数
1n
nx
的部分和数列 {
nS
} 是单调增加的，即
nS
=
n
k
kx
1
1
1
n
k
kx
=
1?nS
,n = 1,2,?,
根据单调数列的性质，立刻可以得到定理 9,3,1 （正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 。
§ 3 正项级数 正项级数定义 9,3,1 如果级数
1n
nx
的各项都是非负实数,即
x n? 0,n = 1,2,?,
则称此级数为 正项级数 。
例 9,3,1 级数 2
2
1
ln
( 1 )( 1 )nn
n
nnn
是正项级数。它的部分和数列的通项
21
2
1
ln
( 1 ) ( 1 )
n
n k
k
k
S
kkk
1
2
1
l n l n
1
n
k
kk
kk
2l n 2 l n l n 2
1
n
n
,
所以正项级数 2
2
1
ln
( 1 )( 1 )nn
n
nnn
收敛。
比较判别法定理 9,3,2 ( 比较判别法 ) 设
1n
nx
与
1n
ny
是两个正项级数,若存在常数 0?A,使得
x n?
A
ny
,n = 1,2,?,
则
(1 ) 当
1n
ny
收敛时,
1n
nx
也收敛 ；
(2 ) 当
1n
nx
发散时,
1n
ny
也发散 。
证 设级数
1n
nx
的部分和数列为 {
nS
},级数
1n
ny
的部分和数列为 {
nT
},则显然有
nS
A
nT
,n = 1,2,?。
于是当 {
nT
} 有上界时,{
nS
} 也有上界，而当 {
nS
} 无上界时,{
nT
} 必定无上界。由 定理 9,3,1 即得结论。
比较判别法定理 9,3,2 ( 比较判别法 ) 设
1n
nx
与
1n
ny
是两个正项级数,若存在常数 0?A,使得
x n?
A
ny
,n = 1,2,?,
则
(1 ) 当
1n
ny
收敛时,
1n
nx
也收敛 ；
(2 ) 当
1n
nx
发散时,
1n
ny
也发散 。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 ( 虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” ),所以定理 9,3.2 的条件可放宽为：,存在正整数 N 与常数 A? 0,使得 x
n?
A
ny
对一切 n? N
成立,。
例 9,3,2 判断正项级数
1
32
3
n nn
n 的敛散性。
解 容易看出当 n? 3 时成立
nn
n
32
3
2
1
n
,
由
1
2
1
n n
的收敛性，可知
1
32
3
n nn
n 收敛。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 ( 虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” ),所以定理 9,3.2 的条件可放宽为：,存在正整数 N 与常数 A? 0,使得 x
n?
A
ny
对一切 n? N
成立,。
例 9.3,3 判断正项级数
1
πsin
nn
的敛散性。
解 当
2
,0x
时，成立不等式 s in x? 2
π
x
，所以当 n? 2 时,
s in
n
2
π
n
=
n
2,
由于
1
1
n n
是发散的，可知
1
πsin
nn
发散。
定理 9,3,2 '（比较判别法的极限形式 ） 设
1n
n
x
与
1n
n
y
是两个正项级数，且
lim
n
n
n
y
x
= l (0? l ),
则
（ 1 ）若 0? l,则当
1n
n
y
收敛时，
1n
n
x
也 收敛 ；
（ 2 ） 若 0? l,则当
1n
n
y
发散时，
1n
n
x
也 发散。
所以当 0? l 时，
1n
n
x
与
1n
n
y
同时收敛或同时发散。
证 下面只给出（ 1 ）的证明，（ 2 ）的证明类似。
由于
lim
n
n
n
y
x
= l,由极限的性质知，存在正整数 N,当 n? N
时,
n
n
y
x?
l+ 1,
因此
x n?
( l+ 1 )
ny
。
由定理 9,3,2 即得所需结论。
在例 9,3,2 中，
nn
n
32
3 ～
22
1
n
(n ),在例 9,3,3 中,s i n
n
～
n
(n ),利用定理 9,3,2 '立刻就可得出
1
32
3
n nn
n 收敛与
1
πsin
n n
发散的结论。
证 下面只给出（ 1 ）的证明，（ 2 ）的证明类似。
由于
lim
n
n
n
y
x
= l,由极限的性质知，存在正整数 N,当 n? N
时,
n
n
y
x?
l+ 1,
因此
x n?
( l+ 1 )
ny
。
由定理 9,3,2 即得所需结论。
例 9.3,4 判断正项级数
2
1
1
π
e co s
n
n
n
的敛散性。
解 因为
n
n
c o se
2
1 = 2
2 2 2
1 1 1 π 1
11
2
oo
n n n n
= 2
22
π 11
1
2
o
nn
,
所以
lim
n
2
1
2
π
e c o s
1
n
n
n
= 1+ 2
π
2
。
由
1
2
1
n n
收敛，即知
2
1
1
π
e co s
n
n
n
收敛。
C a uchy 判别法与 D ' A l em bert 判别法定理 9,3,3 (C a uchy 判别法 ) 设
1n
nx
是正项级数,r =
n
l i m n nx
，
则
(1 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r = 1 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 当 r? 1 时，取 q 满足 r? q? 1,由定理 9,2,3,可知存在正整数 N,使得对一切 n? N,成立
n nx
q,
从而
x n? nq
,0? q? 1,
由定理 9,3,2 可知
1n
n
x
收敛。
当 r? 1,由于 r 是数列 {
n
nx
} 的极限点，可知存在无穷多个 n 满足
1?n nx
，这说明数列 {
x n
} 不是无穷小量，从而
1n
n
x
发散。
当 r = 1,可以通过级数
1
2
1
n n
与
1
1
n n
知道判别法失效。
例 9,3,5 判断正项级数
1
3
3
])1(2[
n
n
nnn 的敛散性。
解 由于
nl i m
n
n
nnn
3
])1(2[3 = 1
3
12,
由定理 9,3,3,级数
1
3
3
])1(2[
n
n
nnn 收敛。
定理 9,3,4 (D ' A l em bert 判别法 ) 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
则
(1 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1?
= r? 1 时,级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1? = r? 1 时,级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r? 1 或
r?
1 时，判别法失效，即级数可能收敛,也可能发散 。
定理 9,3.4 的证明包含在下述引理中。
引理 9,3,1 设 { x
n
} 是正项数列,则
nl i m n
n
x
x 1
nl i m
n nx?
nl i m
n nx?
nl i m
n
n
x
x 1? 。
定理 9,3,4 (D ' A l em bert 判别法 ) 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
则
(1 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1?
= r? 1 时,级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1? = r? 1 时,级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r? 1 或
r?
1 时，判别法失效，即级数可能收敛,也可能发散 。
证 设 r =
n
l i m
n
n
x
x
1?
,
由定理 9,2,3,对任意给定的
0
，存在正整数 N,使得对一切 n? N,
成立
n
n
x
x
1?
r +?,
于是
x n
1)( Nnr?
1?Nx
（ n? N +1 ）,
从而
n
l i m
n
nx
n
l i m
n
N
Nn
xr 1
1
)(?
= r +
,
由
的任意性，即得到
n
l i m
n
nx
r =
n
l i m
n
n
x
x
1?
。
读者可以按类似的思路，自己证明
n
l i m
n
n
x
x
1?
n
l i m
n
nx
。
例 9,3,6 判断正项级数
1 !3n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令
x n
=
!3 n
n
n
n
，则
n
l i m
n
n
x
x 1?
=
n
l i m?
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
=
lim
n
n
n
1
1
3
1 =
1
3
e
,
由 D 'A l em b ert 判别法可知级数
1 !3n
n
n
n
n
收敛。
引理 9,3.1 告诉我们：若一个正项级数的敛散情况可以由
D 'A l em b ert 判别法判定，则它一定也能用 Cauc h y 判别法来判定。但是，能用 Ca u c h y 判别法判定的，却未必能用 D 'A l em b ert 判别法判定。
例 9,3,6 判断正项级数
1 !3n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令
x n
=
!3 n
n
n
n
，则
n
l i m
n
n
x
x 1?
=
n
l i m?
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
=
lim
n
n
n
1
1
3
1 =
1
3
e
,
由 D 'A l em b ert 判别法可知级数
1 !3n
n
n
n
n
收敛。
例 9,3.7 考虑级数
1n
n
x
=
2
1
+
3
1
+
2
2
1
+
2
3
1
+
3
2
1
+
3
3
1
,
则
n
l i m
n
nx
=
n
l i m 12
2
1
n
n
=
2
1；
n
l i m
n
n
x
x
1?
=
n
l i m
1
2
3
n
n ；
n
l i m
n
n
x
x
1?
=
n
l i m
n
n
3
2
= 0 。
由 Cau c h y 判别法可知级数
1n
n
x
收敛，但 D 'A l em b ert 判别法却是失效的。
R a a be 判别法对某些正项级数
1n
nx
,成立
limn
n
n
x
x 1? =1 （或者说 lim
n
1?n
n
x
x = 1 ），这时
Cau c h y 判别法与 D 'A l em b ert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
定理 9,3,5 （ R a a be 判别法） 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
r
x
x
n
n
n
n
1lim
1
,则
(1 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
发散 。
R a a be 判别法对某些正项级数
1n
nx
,成立
limn
n
n
x
x 1? =1 （或者说 lim
n
1?n
n
x
x = 1 ），这时
Cau c h y 判别法与 D 'A l em b ert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
证 设 s? t? 1,f ( x ) =
txsx )1(1
，由
0)0(?f
与
0)0( tsf
，
可知存在
0
，当
x0
时，成立
txsx )1(1
。 (* )
当 r? 1 时，取 s,t 满足 r? s? t? 1 。由
lim
n
tsr
x
x
n
n
n
1
1
与不等式 (* ),可知对于充分大的 n,成立
1?n
n
x
x?
1+
n
s?
t
n
1
1
=
t
t
n
n )1(?
,
这说明正项数列 {
n
t xn
} 从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设
n
t xn?
A,
于是
x n
t
n
A
,
由于 t? 1,因而
1
1
n
t
n
收敛，根据比较判别法即得到
1n
n
x
的收敛性。
当
lim
n
11
1
r
x
x
n
n
n
，则对于充分大的 n,成立
1?n
n
x
x?
n
1
1?
=
n
n 1?
,
这说明正项数列 { n
x n
} 从某一项开始单调增加，因而存在正整数 N 与实数
0,使得
n
x n
对一切 n? N 成立，于是
x n?
n
。
由于
1
1
n n
发散，根据比较判别法即得到
1n
n
x
发散。
例 9,3,8 判断级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1?
nn
n
n
的敛散性。
解 设
x n
=
12
1
!)!2(
!)!12(
nn
n
，则
lim
n
n
n
x
x
1?
=
lim
n
)32)(22(
)12(
2
nn
n
= 1,
也就是说，此时 Ca u c h y 判别法与 D 'A l e m b ert 判别法都不适用，但应用 Raab e 判别法，可得
lim
n
1
1n
n
x
x
n
=
lim
n 2
)12(
)56(
n
nn
=
1
2
3
,
所以级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1?
nn
n
n
收敛。
注 虽然 Raabe 判别法有时可以处理 D ' Al e m b e r t 判别法失效（即出现
lim
n
n
n
x
x
1?
= 1 的情况）的级数，但 当
lim
n
1
1n
n
x
x
n
= 1 时 Raabe 判别法仍失效，即级数 可能收敛，也 可能发散。例如对于 正项级数
2 ln
1
n
q
nn
，成立
lim
n
1
1n
n
x
x
n
=1,但由下面的 例 9,3.9,可以知道级数
2 ln
1
n
q
nn
当 q? 1 时收敛，当 q? 1 时发散。事实上，还可以建立比 R a a be
判别法更有效的判别法，例如 B e r t r a n d 判别法,设
1
l im ( l n ) 1 1
n
n
n
x
n n r
x
,
则当 r? 1 时，级数
1n
n
x
收敛；当 r? 1 时，级数
1n
n
x
发散。但当 1?r 时,
判别法又失效了。这个过程 ( 即逐次建立更有效的判别法的过程 ) 是无限的,虽然每次都能得到新的、适用范围更广的判别法，但这些判别法的证明也变得更加复杂。
积分判别法设
)( xf
定义于
,a
，且
0)(?xf
，进一步设
)( xf
在任意有限区间
［ a,A ］上 R i e m a nn 可积。
取一单调增加趋于 的数列 { a n },
a = a 1? a 2? a 3
a n
,
令
u n =
1 d)(n
n
a
a
xxf
。
定理 9,3,6 （积分判别法） 反常积分
a
xxf d)(
与正项级数
1n
nu
同时收敛或同时发散于,且
a
xxf d)(
=
1n
nu
=
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf
。
特别地,当 f ( x ) 单调减少时,取 a n = n,则反常积分
a
xxf d)(
与正项级数
Nn
nf )(
（ N = [ a ] + 1 ） 同时收敛或同时发散 。
积分判别法设
)( xf
定义于
,a
，且
0)(?xf
，进一步设
)( xf
在任意有限区间
［ a,A ］上 R i e m a nn 可积。
取一单调增加趋于 的数列 { a n },
a = a 1? a 2? a 3
a n
,
令
u n =
1 d)(n
n
a
a
xxf
。
证 设正项级数
1n
n
u
的部分和数列为 { S
n
},则对任意 A? a,存在正整数 n,成立 a
n?
A? a
n +1
，于是
1?nS
A
a
xxf d)(
S n 。
当 { S
n
} 有界，即
1n
n
u
收敛时，则有
A
lim?
A
a
xxf d)(
收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当 { S
n
} 无界，即
1n
n
u
发散于
时，则同样有
A
lim
A
a
xxf d)(
。由此得到下述关系
a
xxf d)(
=
1n
n
u
=
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf
。
特别，当 )( xf 单调减少时，取 a n = n,则当 n? N = [ a ] + 1,
)1(?nf? u n = 1 ( )dn
n f x x
)( nf,
由比较判别法可知
Nn
nf )(
与
Nn
nu
同时收敛或同时发散，从而与
a xxf d)(
同时收敛或同时发散。
利用定理 9,3,6 可以很容易验证 p 级数
1
1
n
pn
的收敛性。取 f ( x ) =
px
1,则 f ( x) 在 ),1[ 上单调减少，且
1
)(
n
nf
=
1
1
n
pn
。由于反常积分
1 d1 xx p
在 p? 1 时收敛，在 p? 1 时发散，由此得到
1
1
n
pn
在 p? 1 时收敛，在 p? 1 时发散。
例 9,3.9 证明 正项级数
2 ln
1
n
q
nn
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散。
证 取 f ( x ) =
xx
q
ln
1
，则在
),2[
上，
)( xf
单调减少，
0)(?xf
，
且
2
)(
n
nf
=
2 ln
1
n
q
nn
，由
A
xxf
2
d)(
=
11
11
l n l n 2,1,
11
l n l n l n l n 2,1,
qq
Aq
qq
Aq
令
A
，可知积分
2
d)( xxf
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散，由此得到
2 ln
1
n
q
nn
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散。
在例 9,3,9 中，我们利用积分判别法，由已知收敛性的反常积分出发，来判断级数的收敛性。事实上，也可以由已知收敛性的级数出发，去判断某些反常积分的收敛性。
例 9,3,1 0 证明,
(1 ) 反常积分
0 22 s i n1
d
xx
x
发散；
(2 ) 反常积分
0 24 s i n1
d
xx
x
收敛。
证 ( 1) 取 a
n
= n
π
,n = 0,1,2,?,则
u
n
=
( 1 ) π
22π
d
1 s in
n
n
x
xx
=
π
220
d
1( π ) s in
t
n t t
)1(
1
0 22 s i n)(1
d
n
ttn
t
。
当
)1(
1
0
n
t
时,
22( π ) s i nn t t 2 2 2( 1 ) πnt 22( 1 ) πn?
22
1
( 1 ) πn
= 1,
于是
u
n
)1(
1
0 22 s i n)(1
d
n
ttn
t
1
1
2
1
n
。
因为
1 1
1
n n
发散，可知
1n
n
u
发散，由此得到
0
22
s i n1
d
xx
x
发散。
(2 ) 取 a
n
= n?,n = 0,1,2,?,则
u
n
=
)1(
24 s i n1
dn
n xx
x
=
0 24 s in)(1
d
ttn
t
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
+
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
。
令
nu?
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
,
nu
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
。
则
u
n
=
nu?
+
nu
。
当
2
0
t
时,
42( π ) s i nn t t
2
4 4 2 4 22
π 4 π
π
t
n n t
,
于是
nu?
π
2
2 4 20
d
14 π
t
nt
=
2
1
2 π n
22 π
20
d
1
n t
t
24
1
n
,
因为
1
2
1
n n
收敛，可知
1n
nu
收敛。同理也可证
1n
nu
收敛，从而
1n
nu
收敛。由此得到
0 24 s i n1
d
xx
x
收敛。
1n
nx
的各项都是非负实数,即
x n? 0,n = 1,2,?,
则称此级数为 正项级数 。
§ 3 正项级数显然，正项级数
1n
nx
的部分和数列 {
nS
} 是单调增加的，即
nS
=
n
k
kx
1
1
1
n
k
kx
=
1?nS
,n = 1,2,?,
根据单调数列的性质，立刻可以得到定理 9,3,1 （正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 。
§ 3 正项级数 正项级数定义 9,3,1 如果级数
1n
nx
的各项都是非负实数,即
x n? 0,n = 1,2,?,
则称此级数为 正项级数 。
例 9,3,1 级数 2
2
1
ln
( 1 )( 1 )nn
n
nnn
是正项级数。它的部分和数列的通项
21
2
1
ln
( 1 ) ( 1 )
n
n k
k
k
S
kkk
1
2
1
l n l n
1
n
k
kk
kk
2l n 2 l n l n 2
1
n
n
,
所以正项级数 2
2
1
ln
( 1 )( 1 )nn
n
nnn
收敛。
比较判别法定理 9,3,2 ( 比较判别法 ) 设
1n
nx
与
1n
ny
是两个正项级数,若存在常数 0?A,使得
x n?
A
ny
,n = 1,2,?,
则
(1 ) 当
1n
ny
收敛时,
1n
nx
也收敛 ；
(2 ) 当
1n
nx
发散时,
1n
ny
也发散 。
证 设级数
1n
nx
的部分和数列为 {
nS
},级数
1n
ny
的部分和数列为 {
nT
},则显然有
nS
A
nT
,n = 1,2,?。
于是当 {
nT
} 有上界时,{
nS
} 也有上界，而当 {
nS
} 无上界时,{
nT
} 必定无上界。由 定理 9,3,1 即得结论。
比较判别法定理 9,3,2 ( 比较判别法 ) 设
1n
nx
与
1n
ny
是两个正项级数,若存在常数 0?A,使得
x n?
A
ny
,n = 1,2,?,
则
(1 ) 当
1n
ny
收敛时,
1n
nx
也收敛 ；
(2 ) 当
1n
nx
发散时,
1n
ny
也发散 。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 ( 虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” ),所以定理 9,3.2 的条件可放宽为：,存在正整数 N 与常数 A? 0,使得 x
n?
A
ny
对一切 n? N
成立,。
例 9,3,2 判断正项级数
1
32
3
n nn
n 的敛散性。
解 容易看出当 n? 3 时成立
nn
n
32
3
2
1
n
,
由
1
2
1
n n
的收敛性，可知
1
32
3
n nn
n 收敛。
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性 ( 虽然在收敛的情况下可能改变它的“和” ),所以定理 9,3.2 的条件可放宽为：,存在正整数 N 与常数 A? 0,使得 x
n?
A
ny
对一切 n? N
成立,。
例 9.3,3 判断正项级数
1
πsin
nn
的敛散性。
解 当
2
,0x
时，成立不等式 s in x? 2
π
x
，所以当 n? 2 时,
s in
n
2
π
n
=
n
2,
由于
1
1
n n
是发散的，可知
1
πsin
nn
发散。
定理 9,3,2 '（比较判别法的极限形式 ） 设
1n
n
x
与
1n
n
y
是两个正项级数，且
lim
n
n
n
y
x
= l (0? l ),
则
（ 1 ）若 0? l,则当
1n
n
y
收敛时，
1n
n
x
也 收敛 ；
（ 2 ） 若 0? l,则当
1n
n
y
发散时，
1n
n
x
也 发散。
所以当 0? l 时，
1n
n
x
与
1n
n
y
同时收敛或同时发散。
证 下面只给出（ 1 ）的证明，（ 2 ）的证明类似。
由于
lim
n
n
n
y
x
= l,由极限的性质知，存在正整数 N,当 n? N
时,
n
n
y
x?
l+ 1,
因此
x n?
( l+ 1 )
ny
。
由定理 9,3,2 即得所需结论。
在例 9,3,2 中，
nn
n
32
3 ～
22
1
n
(n ),在例 9,3,3 中,s i n
n
～
n
(n ),利用定理 9,3,2 '立刻就可得出
1
32
3
n nn
n 收敛与
1
πsin
n n
发散的结论。
证 下面只给出（ 1 ）的证明，（ 2 ）的证明类似。
由于
lim
n
n
n
y
x
= l,由极限的性质知，存在正整数 N,当 n? N
时,
n
n
y
x?
l+ 1,
因此
x n?
( l+ 1 )
ny
。
由定理 9,3,2 即得所需结论。
例 9.3,4 判断正项级数
2
1
1
π
e co s
n
n
n
的敛散性。
解 因为
n
n
c o se
2
1 = 2
2 2 2
1 1 1 π 1
11
2
oo
n n n n
= 2
22
π 11
1
2
o
nn
,
所以
lim
n
2
1
2
π
e c o s
1
n
n
n
= 1+ 2
π
2
。
由
1
2
1
n n
收敛，即知
2
1
1
π
e co s
n
n
n
收敛。
C a uchy 判别法与 D ' A l em bert 判别法定理 9,3,3 (C a uchy 判别法 ) 设
1n
nx
是正项级数,r =
n
l i m n nx
，
则
(1 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r = 1 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
证 当 r? 1 时，取 q 满足 r? q? 1,由定理 9,2,3,可知存在正整数 N,使得对一切 n? N,成立
n nx
q,
从而
x n? nq
,0? q? 1,
由定理 9,3,2 可知
1n
n
x
收敛。
当 r? 1,由于 r 是数列 {
n
nx
} 的极限点，可知存在无穷多个 n 满足
1?n nx
，这说明数列 {
x n
} 不是无穷小量，从而
1n
n
x
发散。
当 r = 1,可以通过级数
1
2
1
n n
与
1
1
n n
知道判别法失效。
例 9,3,5 判断正项级数
1
3
3
])1(2[
n
n
nnn 的敛散性。
解 由于
nl i m
n
n
nnn
3
])1(2[3 = 1
3
12,
由定理 9,3,3,级数
1
3
3
])1(2[
n
n
nnn 收敛。
定理 9,3,4 (D ' A l em bert 判别法 ) 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
则
(1 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1?
= r? 1 时,级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1? = r? 1 时,级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r? 1 或
r?
1 时，判别法失效，即级数可能收敛,也可能发散 。
定理 9,3.4 的证明包含在下述引理中。
引理 9,3,1 设 { x
n
} 是正项数列,则
nl i m n
n
x
x 1
nl i m
n nx?
nl i m
n nx?
nl i m
n
n
x
x 1? 。
定理 9,3,4 (D ' A l em bert 判别法 ) 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
则
(1 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1?
= r? 1 时,级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当
n
l i m
n
n
x
x 1? = r? 1 时,级数
1n
nx
发散；
(3 ) 当 r? 1 或
r?
1 时，判别法失效，即级数可能收敛,也可能发散 。
证 设 r =
n
l i m
n
n
x
x
1?
,
由定理 9,2,3,对任意给定的
0
，存在正整数 N,使得对一切 n? N,
成立
n
n
x
x
1?
r +?,
于是
x n
1)( Nnr?
1?Nx
（ n? N +1 ）,
从而
n
l i m
n
nx
n
l i m
n
N
Nn
xr 1
1
)(?
= r +
,
由
的任意性，即得到
n
l i m
n
nx
r =
n
l i m
n
n
x
x
1?
。
读者可以按类似的思路，自己证明
n
l i m
n
n
x
x
1?
n
l i m
n
nx
。
例 9,3,6 判断正项级数
1 !3n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令
x n
=
!3 n
n
n
n
，则
n
l i m
n
n
x
x 1?
=
n
l i m?
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
=
lim
n
n
n
1
1
3
1 =
1
3
e
,
由 D 'A l em b ert 判别法可知级数
1 !3n
n
n
n
n
收敛。
引理 9,3.1 告诉我们：若一个正项级数的敛散情况可以由
D 'A l em b ert 判别法判定，则它一定也能用 Cauc h y 判别法来判定。但是，能用 Ca u c h y 判别法判定的，却未必能用 D 'A l em b ert 判别法判定。
例 9,3,6 判断正项级数
1 !3n
n
n
n
n
的敛散性。
解 令
x n
=
!3 n
n
n
n
，则
n
l i m
n
n
x
x 1?
=
n
l i m?
n
n
n
n
n
n
n
n !3
!)1(3
)1(
1
1
=
lim
n
n
n
1
1
3
1 =
1
3
e
,
由 D 'A l em b ert 判别法可知级数
1 !3n
n
n
n
n
收敛。
例 9,3.7 考虑级数
1n
n
x
=
2
1
+
3
1
+
2
2
1
+
2
3
1
+
3
2
1
+
3
3
1
,
则
n
l i m
n
nx
=
n
l i m 12
2
1
n
n
=
2
1；
n
l i m
n
n
x
x
1?
=
n
l i m
1
2
3
n
n ；
n
l i m
n
n
x
x
1?
=
n
l i m
n
n
3
2
= 0 。
由 Cau c h y 判别法可知级数
1n
n
x
收敛，但 D 'A l em b ert 判别法却是失效的。
R a a be 判别法对某些正项级数
1n
nx
,成立
limn
n
n
x
x 1? =1 （或者说 lim
n
1?n
n
x
x = 1 ），这时
Cau c h y 判别法与 D 'A l em b ert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
定理 9,3,5 （ R a a be 判别法） 设
1n
nx
(
x n 0?
) 是正项级数,
r
x
x
n
n
n
n
1lim
1
,则
(1 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
收敛；
(2 ) 当 r? 1 时，级数
1n
nx
发散 。
R a a be 判别法对某些正项级数
1n
nx
,成立
limn
n
n
x
x 1? =1 （或者说 lim
n
1?n
n
x
x = 1 ），这时
Cau c h y 判别法与 D 'A l em b ert 判别法都失效，下面给出一种针对这类情况的判别法。
证 设 s? t? 1,f ( x ) =
txsx )1(1
，由
0)0(?f
与
0)0( tsf
，
可知存在
0
，当
x0
时，成立
txsx )1(1
。 (* )
当 r? 1 时，取 s,t 满足 r? s? t? 1 。由
lim
n
tsr
x
x
n
n
n
1
1
与不等式 (* ),可知对于充分大的 n,成立
1?n
n
x
x?
1+
n
s?
t
n
1
1
=
t
t
n
n )1(?
,
这说明正项数列 {
n
t xn
} 从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设
n
t xn?
A,
于是
x n
t
n
A
,
由于 t? 1,因而
1
1
n
t
n
收敛，根据比较判别法即得到
1n
n
x
的收敛性。
当
lim
n
11
1
r
x
x
n
n
n
，则对于充分大的 n,成立
1?n
n
x
x?
n
1
1?
=
n
n 1?
,
这说明正项数列 { n
x n
} 从某一项开始单调增加，因而存在正整数 N 与实数
0,使得
n
x n
对一切 n? N 成立，于是
x n?
n
。
由于
1
1
n n
发散，根据比较判别法即得到
1n
n
x
发散。
例 9,3,8 判断级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1?
nn
n
n
的敛散性。
解 设
x n
=
12
1
!)!2(
!)!12(
nn
n
，则
lim
n
n
n
x
x
1?
=
lim
n
)32)(22(
)12(
2
nn
n
= 1,
也就是说，此时 Ca u c h y 判别法与 D 'A l e m b ert 判别法都不适用，但应用 Raab e 判别法，可得
lim
n
1
1n
n
x
x
n
=
lim
n 2
)12(
)56(
n
nn
=
1
2
3
,
所以级数 1+
12
1
!)!2(
!)!12(
1?
nn
n
n
收敛。
注 虽然 Raabe 判别法有时可以处理 D ' Al e m b e r t 判别法失效（即出现
lim
n
n
n
x
x
1?
= 1 的情况）的级数，但 当
lim
n
1
1n
n
x
x
n
= 1 时 Raabe 判别法仍失效，即级数 可能收敛，也 可能发散。例如对于 正项级数
2 ln
1
n
q
nn
，成立
lim
n
1
1n
n
x
x
n
=1,但由下面的 例 9,3.9,可以知道级数
2 ln
1
n
q
nn
当 q? 1 时收敛，当 q? 1 时发散。事实上，还可以建立比 R a a be
判别法更有效的判别法，例如 B e r t r a n d 判别法,设
1
l im ( l n ) 1 1
n
n
n
x
n n r
x
,
则当 r? 1 时，级数
1n
n
x
收敛；当 r? 1 时，级数
1n
n
x
发散。但当 1?r 时,
判别法又失效了。这个过程 ( 即逐次建立更有效的判别法的过程 ) 是无限的,虽然每次都能得到新的、适用范围更广的判别法，但这些判别法的证明也变得更加复杂。
积分判别法设
)( xf
定义于
,a
，且
0)(?xf
，进一步设
)( xf
在任意有限区间
［ a,A ］上 R i e m a nn 可积。
取一单调增加趋于 的数列 { a n },
a = a 1? a 2? a 3
a n
,
令
u n =
1 d)(n
n
a
a
xxf
。
定理 9,3,6 （积分判别法） 反常积分
a
xxf d)(
与正项级数
1n
nu
同时收敛或同时发散于,且
a
xxf d)(
=
1n
nu
=
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf
。
特别地,当 f ( x ) 单调减少时,取 a n = n,则反常积分
a
xxf d)(
与正项级数
Nn
nf )(
（ N = [ a ] + 1 ） 同时收敛或同时发散 。
积分判别法设
)( xf
定义于
,a
，且
0)(?xf
，进一步设
)( xf
在任意有限区间
［ a,A ］上 R i e m a nn 可积。
取一单调增加趋于 的数列 { a n },
a = a 1? a 2? a 3
a n
,
令
u n =
1 d)(n
n
a
a
xxf
。
证 设正项级数
1n
n
u
的部分和数列为 { S
n
},则对任意 A? a,存在正整数 n,成立 a
n?
A? a
n +1
，于是
1?nS
A
a
xxf d)(
S n 。
当 { S
n
} 有界，即
1n
n
u
收敛时，则有
A
lim?
A
a
xxf d)(
收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当 { S
n
} 无界，即
1n
n
u
发散于
时，则同样有
A
lim
A
a
xxf d)(
。由此得到下述关系
a
xxf d)(
=
1n
n
u
=
1
1
d)(
n
a
a
n
n
xxf
。
特别，当 )( xf 单调减少时，取 a n = n,则当 n? N = [ a ] + 1,
)1(?nf? u n = 1 ( )dn
n f x x
)( nf,
由比较判别法可知
Nn
nf )(
与
Nn
nu
同时收敛或同时发散，从而与
a xxf d)(
同时收敛或同时发散。
利用定理 9,3,6 可以很容易验证 p 级数
1
1
n
pn
的收敛性。取 f ( x ) =
px
1,则 f ( x) 在 ),1[ 上单调减少，且
1
)(
n
nf
=
1
1
n
pn
。由于反常积分
1 d1 xx p
在 p? 1 时收敛，在 p? 1 时发散，由此得到
1
1
n
pn
在 p? 1 时收敛，在 p? 1 时发散。
例 9,3.9 证明 正项级数
2 ln
1
n
q
nn
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散。
证 取 f ( x ) =
xx
q
ln
1
，则在
),2[
上，
)( xf
单调减少，
0)(?xf
，
且
2
)(
n
nf
=
2 ln
1
n
q
nn
，由
A
xxf
2
d)(
=
11
11
l n l n 2,1,
11
l n l n l n l n 2,1,
Aq
Aq
令
A
，可知积分
2
d)( xxf
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散，由此得到
2 ln
1
n
q
nn
在 q? 1 时收敛，在 q? 1 时发散。
在例 9,3,9 中，我们利用积分判别法，由已知收敛性的反常积分出发，来判断级数的收敛性。事实上，也可以由已知收敛性的级数出发，去判断某些反常积分的收敛性。
例 9,3,1 0 证明,
(1 ) 反常积分
0 22 s i n1
d
xx
x
发散；
(2 ) 反常积分
0 24 s i n1
d
xx
x
收敛。
证 ( 1) 取 a
n
= n
π
,n = 0,1,2,?,则
u
n
=
( 1 ) π
22π
d
1 s in
n
n
x
xx
=
π
220
d
1( π ) s in
t
n t t
)1(
1
0 22 s i n)(1
d
n
ttn
t
。
当
)1(
1
0
n
t
时,
22( π ) s i nn t t 2 2 2( 1 ) πnt 22( 1 ) πn?
22
1
( 1 ) πn
= 1,
于是
u
n
)1(
1
0 22 s i n)(1
d
n
ttn
t
1
1
2
1
n
。
因为
1 1
1
n n
发散，可知
1n
n
u
发散，由此得到
0
22
s i n1
d
xx
x
发散。
(2 ) 取 a
n
= n?,n = 0,1,2,?,则
u
n
=
)1(
24 s i n1
dn
n xx
x
=
0 24 s in)(1
d
ttn
t
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
+
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
。
令
nu?
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
,
nu
=
2
0 24 s i n)(1
d
ttn
t
。
则
u
n
=
nu?
+
nu
。
当
2
0
t
时,
42( π ) s i nn t t
2
4 4 2 4 22
π 4 π
π
t
n n t
,
于是
nu?
π
2
2 4 20
d
14 π
t
nt
=
2
1
2 π n
22 π
20
d
1
n t
t
24
1
n
,
因为
1
2
1
n n
收敛，可知
1n
nu
收敛。同理也可证
1n
nu
收敛，从而
1n
nu
收敛。由此得到
0 24 s i n1
d
xx
x
收敛。
