任意项级数一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以用正项级数的各种判别法来判断它的收敛性。 如果一个级数既有无限个正项，
又有无限个负项，那么 正项级数的各种判别法不再适用。
这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。
§ 4 任意项级数定理 9.4.1 （ 级数的 Cau c h y 收敛原理） 级数
1n
nx
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
m
｜ =
m
nk
k
x
1
对一切 m? n? N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
n + p
｜ =
p
k
kn
x
1
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
取 p = 1,上式即为｜ x n +1 ｜,于是就得到级数收敛的必要条件 lim
n
x n = 0 。
定理 9.4.1 （ 级数的 Cau c h y 收敛原理） 级数
1n
nx
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
m
｜ =
m
nk
k
x
1
对一切 m? n? N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
n + p
｜ =
p
k
kn
x
1
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
Leibniz 级数定义 9,4,1 如果级数
1n
nx
=
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）,则称此级数为交错级数 。
进一步，若级数
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）满足｛ u n ｝单调减少且收敛于 0,则称这样的 交错级数为 L ei bn i z 级数 。
定理 9,4,2 （ Le i bn i z 判别法） L e i b n i z 级数必定收敛 。
证 首先有
｜ x n +1 + x n +2 +? + x n + p ｜ = ｜ u n +1 - u n +2 + u n +3 -? + ( - 1)
p +1
u n + p ｜。
当 p 是奇数时,
u n +1 - u n +2 + u n +3 -? + ( - 1)
p +1
u n + p
=
;)()(
,0)()(
11321
4321
npnpnnnn
pnnnnn
uuuuuu
uuuuu
Leibniz 级数定义 9,4,1 如果级数
1n
nx
=
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）,则称此级数为交错级数 。
进一步，若级数
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）满足｛ u n ｝单调减少且收敛于 0,则称这样的 交错级数为 L ei bn i z 级数 。
当 p 是偶数时,
u
n +1
- u
n +2
+ u
n +3
-? + ( - 1)
p +1
u
n + p
=
,)(
,0)()()(
1321
14321
npnnnn
pnpnnnnn
uuuuu
uuuuuu
因而成立
｜ x
n +1
+ x
n +2
x
n + p
｜
= ｜ u
n +1
- u
n +2
+ u
n +3
( - 1)
p +1
u
n + p
｜? u
n +1
。
由
lim
n
u
n
= 0,对 于任意给定的
0,存在正整数 N,使得对一切
n? N,
u
n +1
,
于是，对一切正整数 p 成立
｜ x
n +1
+ x
n +2
+? + x
n + p
｜? u
n +1
,
根据定理 9,4,1,L e ib ni z 级数
1
1
)1(
n
n
n
u
收敛。
注 由定理 9,4.2 的证明，可以进一步得到下述结论,
(1 ) 对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，成立
0?
1
1)1(
n
n
n u
u 1 ;
(2 ) 对于 L ei b n i z 级数的余和 r n =
1
1)1(
nk
k
k u
，成立
｜ r n ｜? u n +1 。
由于
1
1)1(
n p
n
n
（ p? 0 ）,
2 ln
)1(
n q
n
n
（ q? 0 ）,
2
ln)1(
n
n n n,
1 3
21
1)1(n n n
n
等级数都是 L e i b n i z 级数，由定理 9,4,2 可知它们都是收敛的。
注 由定理 9,4.2 的证明，可以进一步得到下述结论,
(1 ) 对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，成立
0?
1
1)1(
n
n
n u
u 1 ;
(2 ) 对于 L ei b n i z 级数的余和 r n =
1
1)1(
nk
k
k u
，成立
｜ r n ｜? u n +1 。
例 9.4,1 级数
2
1
s in 1 π
n
n
收敛。
证 易知
2s i n 1 πn?
= ( - 1)
n
2s i n 1 πnn
= ( - 1)
n
2
π
s i n
1nn
。
显然
2
π
sin
1nn
是单调减少数列，且
lim
n
2
π
s i n
1nn
= 0,
所以
2
1
s in 1 π
n
n
是 L e i b ni z 级数。由定理 9,4,2 可知它是收敛的。
A bel 判别法与 D i ri ch l et 判别法引理 9,4,1 （ A bel 变换） 设 { a
n
},{ b
n
} 是两数列，记 B
k
=
k
i
i
b
1
（ k
= 1,2,…），则
p
k
kk
ba
1
= a
p
B
p
-
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa
。
证
p
k
kk
ba
1
= a
1
B
1
+
p
k
kkk
BBa
2
1
)(
= a
1
B
1
+
p
k
kk
Ba
2
-
p
k
kk
Ba
2
1
=
1
1
p
k
kk
Ba
-
1
1
1
p
k
kk
Ba
+ a
p
B
p
= a
p
B
p
-
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa
。
上式也称为 分部求和公式 。
上图是当 0?
na
,0?
nb
，且
na
单调增加时,A b el 变换的一个直观的示意。图中矩形
5,0 B5,0 a?
被分割成 9 个小矩形，根据所标出的各小矩形的面积，即得到 p = 5 的 A b e l 变换,
54
5 5 1
11
()k k k k k
kk
a b a B a a B?
。
a
5
445 )( Baa?
a
4
334 )( Baa?
55 ba
a
3
223 )( Baa?
44 ba
a
2
112 )( Baa?
33 ba
a
1
22 ba
11 ba
0 B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
利用 A b el 变换即得到如下的 A b el 引理。
引理 9,4,2 (A bel 引理 ) 设
(1 ) ｛ a k ｝为单调数列；
(2 ) ｛ B k ｝（ B k =
k
i
ib
1
,k = 1,2,… ) 为有界数列，即存在 M? 0,对一切 k,成立｜ B k ｜? M,则
p
k
kk ba
1
M ( ｜ a 1 ｜ +2 ｜ a p ｜ ) 。
证 由 A b el 变换得
p
k
kk
ba
1
｜
pp Ba
｜ +
1
1
1
||
p
k
kkk
Baa
1
1
1
||||
p
k
kkp
aaaM
。
由于｛
ka
｝单调，所以
1
1
1
||
p
k
kk
aa
=
1
1
1
)(
p
k
kk
aa
= ｜
1aa p?
｜,
于是得到
p
k
kk
ba
1
M ( ｜ a 1 ｜ +2 ｜
pa
｜ ) 。
定理 9,4,3 （ 级数的 A - D 判别法） 若下列两个条件之一满足,
则级数
1n
nn ba
收敛,
(1 ) ( A bel 判别法 ) ｛
na
｝单调有界，
1n
nb
收敛；
(2 ) ( D i r i ch l et 判别法 ) ｛
na
｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界 。
证 ( 1 ) 若 A b e l 判别法条件满足，设｜ a n ｜? M,由于
1n
nb
收敛，
则对于任意给定的 0,存在正整数 N,使得对于一切 n? N 和
p N,成立
pn
nk
kb
1
。 对
pn
nk
kk ba
1
应用 A b el 引理，即得 到
pn
nk
kk ba
1
( ｜ a n +1 ｜ +2 ｜
pna?
｜ )? 3 M? 。
定理 9,4,3 （ 级数的 A - D 判别法） 若下列两个条件之一满足,
则级数
1n
nn ba
收敛,
(1 ) ( A bel 判别法 ) ｛
na
｝单调有界，
1n
nb
收敛；
(2 ) ( D i r i ch l et 判别法 ) ｛
na
｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界 。
( 2) 若 Dir i c hl e t 判别法条件满足，由于
lim
n
a
n
= 0,因此对于任意给定的
>0,存在 N,使得对于一切
Nn?
，成立
｜ a
n
｜?
。
设
n
i
i
b
1
M,令 B k =
kn
ni
i
b
1
( k = 1,2,? ),则
｜
kB
｜ =
kn
i
i
b
1
n
i
i
b
1
2 M,
应用 Abe l 引理，同样得到
pn
nk
kk
ba
1
2 M ( ｜ a n +1 ｜ +2 ｜
pna?
｜ )? 6 M
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
根据 C a u c hy 收敛原理 ( 定理 9,4,1),即知
1n
nn
ba
收敛。
注 （ 1 ）对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，令 a n = u n,b n = ( - 1)
n +1
，则
｛ a n ｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界，则由 D i ri c h l e t 判别法，可知
1n
nn ba
=
1
1)1(
n
n
n u
收敛。所以交错级数的 L ei b n i z 判别法可以看成是 D i ri ch l e t
判别法的特例。
（ 2 ）若 A b el 判别法条件满足，由于数列｛ a n ｝单调有界，设
lim
n
a n
= a,则数列｛ a n - a ｝单调趋于 0 。又由于级数
1n
nb
收敛，则其部分和数列
n
i
ib
1
必定有界，根据 D i r i c h l e t 判别法，
1
)(
n
nn baa
收敛，从而即知
1n
nn ba
收敛。
这就是说,A b e l 判别法也可以看成是 D i ri c h l et 判别法的特例。
注 （ 1 ）对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，令 a n = u n,b n = ( - 1)
n +1
，则
｛ a n ｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界，则由 D i ri c h l e t 判别法，可知
1n
nn ba
=
1
1)1(
n
n
n u
收敛。所以交错级数的 L ei b n i z 判别法可以看成是 D i ri ch l e t
判别法的特例。
例 9,4,2 设
1n
nb
收敛，则由 A b e l 判别法，级数
1n
n
n
b,
1 1n
nbn
n,
1
11
n
n
n
bn
，
1 2
13ln
n
n n
nb
等等都收敛。
例 9,4,3 设数列｛ a n ｝单调趋于 0,则对一切实数 x,级数
1 s inn n nxa 收敛。
例 9,4,2 设
1n
nb
收敛，则由 A b e l 判别法，级数
1n
n
n
b,
1 1n
nbn
n,
1
11
n
n
n
bn
，
1 2
13ln
n
n n
nb
等等都收敛。
证 当
kx 2
时,
2 sin
2
x
n
k
kx
1
s i n
=
2
c o s
x
x
n
2
12
c o s
,
于是对一切正整数 n,
n
k
kx
1
s in
2
s i n
1
x
,
由 D i ri c h l et 判别法，可知当 x ≠ 2 k π 时，
1
s in
n
n
nxa
收敛。由于当
kx 2
时，
1
s in
n
n
nxa
= 0,于是得到对一切实数 x,
1
s in
n
n
nxa
收敛。
读者可自己证明，当｛ a
n
｝单调趋于 0 时，则对一切 x ≠ 2 k π,
1
c o s
n
n
nxa
收敛。
级数的绝对收敛与条件收敛定义 9,4,2 如果级数
1
||
n
nx
收敛，则称
1n
nx
为 绝对收敛 级数 。
由 Cau c h y 收敛原理和三角不等式
｜ x
n +1
+ x
n +2
x
m
｜? ｜ x
n +1
｜ + ｜ x
n +2
｜ ｜
mx
｜,
可知绝对收敛级数一定收敛。但这个结论的逆命题不成 立，例如
L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n
收敛，但调和级数
1
1
n n
是发散的。
如果级数
1n
nx
收敛而
1
||
n
nx
发散，则称
1n
nx
为 条件收敛 级数 。
由定义，
1
1)1(
n
n
n
是一个条件收敛级数。
1
||
n
nx
的收敛性可以采用正项级数收敛性的判别法来判定。需要指出，虽然一般说来，由
1
||
n
nx
发散并不能得出
1n
nx
发散，但若用
Cau c h y 判别法或 D 'A l em b ert 判别法判断出
1
||
n
nx
发散，则级数
1n
nx
本身一定发散，这是因为这两个判别法判定发散的依据是级数的 通项不趋于 0,即不满足收敛的必要条件。
例 9,4,4 讨论级数
1n
p
n
n
x
的敛散性。
解 对
1n
p
n
n
x
=
1
||
n
p
n
n
x
应用 Ca u ch y 判别法,
lim
n
n
p
n
n
x ||
= ｜ x ｜,
由此可知,
｜ x ｜? 1,p 为任意实数：级数收敛 ( 绝对收敛 ) ；
｜ x ｜? 1,p 为任意实数：级数发散 ；
x = 1,
级数发散；
级数收敛（绝对收敛）
,1
,,1
p
p
x = - 1,
.
,
,
,0
,10
,1
级数发散级数收敛（条件收敛）
级数收敛（绝对收敛）
p
p
p
例 9,4,5 讨论级数
1
s in
n
p
n
nx
(0? x?
) 的敛散性。
解 当 p? 1,由
p
n
nx |s i n|?
p
n
1
，可知级数
1
s in
n
p
n
nx
绝对收敛。
当 0? p? 1,由例 9,4,3,级数
1
s in
n
p
n
nx
收敛；但进一步我们有
p
n
nx |s i n|?
p
n
nx
2
s in
=
p
n2
1
p
n
nx
2
2c o s
,
级数
1 2
2c o s
n
p
n
nx
的收敛性同样可由 D i r i ch l e t 判别法得到，但由于
1 2
1
n
p
n
发散，可知
1
|s in|
n
p
n
nx
发散，换言之，当 0? p? 1,级数
1
s in
n
p
n
nx
(0? x
)
条件收敛。
当 p? 0,由于级数的一般项不趋于 0,级数
1
s in
n
p
n
nx
发散。
绝对收敛级数和条件收敛级数之间存在着许多本质差别，下面对此作进一步探讨。
设
1n
n
x
是任意数项级数，令
nx
=
2
||
nn
xx?
=
,0,0
,0,
n
nn
x
xx n = 1,2,?,
nx
=
2
||
nn
xx?
=
,0,0
,0,
n
nn
x
xx n = 1,2,?。
则
x
n
=
nx
-
nx
,｜ x
n
｜ =
nx
+
nx
,n = 1,2,?。
1n
n
x
是由
1n
n
x
的所有正项构成的级数，
1n
n
x
是由
1n
n
x
的所有负项变号后构成的级数，它们都是正项级数。
定理 9,4,4 若
1n
nx
绝对收敛，则
1n
nx
与
1n
nx
都收敛；若
1n
nx
条件收敛，则
1n
nx
与
1n
nx
都发散到 。
证 先设
1n
nx
绝对收敛，由于
0?
nx
｜
nx
｜,0?
nx
｜
nx
｜,n = 1,2,?,
则由
1
||
n
nx
的收敛性，即可得到
1n
nx
与
1n
nx
的收敛性。
现设
1n
nx
条件收敛，若
1n
nx
（或
1n
nx
）也收敛，则由
1n
nx
=
1n
nx
-
1n
nx
（或
1n
nx
=
1n
nx
+
1n
nx
）
可知
1n
nx
（或
1n
nx
）也收敛，于是得到
1
||
n
nx
=
1n
nx
+
1n
nx
的收敛性，从而产生矛盾。
加法交换律收敛的级数是否成立交换律呢？也就是说，将一个收敛级数
1n
nx
的项任意重新排列，得到的新级数
1n
nx
（称为
1n
nx
的更序级数）
是否仍然收敛? 如果收敛的话，其和是否保持不变，即是否有
1n
nx
=
1n
nx
回答是否定的。
例 9,4,6 考虑 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n
,
这是一个条件收敛级数，在例 2,4,1 0 中，已经证明了它的和为 2ln 。
现按下述规律构造
1
1)1(
n
n
n
的更序级数
1n
nx
,
顺次地在每一个正项后面接两个负项，即
1n
nx
= 1
2
1?
4
1?
3
1?
6
1
8
1
12
1
k
24
1
k k4
1
。
设
1
1
)1(
n
n
n
的部分和数列为｛ S
n
｝，
1n
n
x
的部分和数列为｛
nS?
｝，
则
nS 3?
=
n
k kkk1 4
1
24
1
12
1
=
n
k kk1 4
1
24
1
=
n
k kk1 2
1
12
1
2
1
=
2
1
S
2 n
,
于是
lim
n
nS 3?
=
2
1
lim
n
S
2 n
=
2ln
2
1
。
由于
13nS
=
nS 3?
+
n4
1
,
13nS
=
nS 3?
+
12
1
n
,
从而得到
1n
n
x
=
2ln
2
1
=
2
1
1
1
)1(
n
n
n
,
也就是说，尽管
1
1
)1(
n
n
n
是收敛的，但交换律不成立。
定理 9.4,5 若级数
1n
nx
绝对收敛，则它的更序级数
1n
nx
也绝对收敛，且和不变，即
1n
nx
=
1n
nx
。
证 我们分两步来证明定理。
(1 ) 先设
1n
nx
是正项级数，则对一切 nN,
n
k
kx
1
1n
nx
,于是可知
1n
nx
收敛，且
1n
nx
1n
nx；
反 之,也可以将
1n
nx
看成
1n
nx
的更序级数，又有
1n
nx
1n
nx
。
结合上述两式即得
1n
nx
=
1n
nx
。
定理 9.4,5 若级数
1n
nx
绝对收敛，则它的更序级数
1n
nx
也绝对收敛，且和不变，即
1n
nx
=
1n
nx
。
( 2) 现设
1n
n
x
是任意项级数，则由定理 9,4,4,正项级数
1n
n
x
与
1n
n
x
都收敛，且
1n
n
x
=
1n
n
x
-
1n
n
x
,
1
||
n
n
x
=
1n
n
x
+
1n
n
x
。
对于更序级数
1n
n
x
，同样构作正项级数
1n
n
x
与
1n
n
x
，由于
1n
n
x
即为
1n
n
x
的更序级数，
1n
n
x
即为
1n
n
x
的更序级数，根据 ( 1 ) 的结论,
1n
n
x
=
1n
n
x
,
1n
n
x
=
1n
n
x
,
于是得到
1
||
n
n
x
=
1n
n
x
+
1n
n
x
收敛，即
1n
n
x
绝对收敛，且
1n
n
x
=
1n
n
x?
1n
n
x
=
1n
n
x?
1n
n
x
=
1n
n
x
。
定理 9.4,6 （ Riem an n ） 设级数
1n
nx
条件收敛，则对任意给定的 a, a,必定存在
1n
nx
的更序级数
1n
nx
满足
1n
nx
= a 。
证 我们只证 a 为有限数的情况,a = 的情况留给读者考虑。
由于
1n
nx
条件收敛，由定理 9,4,4,
1n
nx
=,
1n
nx
= 。
依次计算
1n
nx
的部分和，必定存在最小的正整数 n 1,满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
a,
再依次计算
1n
nx
的部分和，也必定存在最小的正整数 m 1,满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
a,
定理 9.4,6 （ Riem an n ） 设级数
1n
nx
条件收敛，则对任意给定的 a, a,必定存在
1n
nx
的更序级数
1n
nx
满足
1n
nx
= a 。
类似地可找到最小的正整数 n
2?
n
1
,m
2?
m
1
，满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
+
11nx
+? +
2n
x
a
和
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
+
11nx
+? +
2n
x
-
11mx
-? -
2m
x
a,
这样的步骤可一直继续下去，由此得到
1n
n
x
的一个更序级数
1n
n
x
，
它的部分和摆动于 a +
kn
x
与 a -
km
x
之间。
由于
1n
n
x
收敛，可知
lim
n
nx
=
lim
n
nx
= 0,
于是得到
1n
n
x
= a 。
级数的乘法有限和式
n
k
k
a
1
和
n
k
k
b
1
的乘积是所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,?,n ; j =
1,2,?,m ) 项的和，显然，其最终结果与它们相加的次序与方式无关。
类似地，对于两个收敛的无穷级数
1n
n
a
与
1n
n
b
，可以同样写出所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,? ; j = 1,2,? ) 的项。将它们排列成下面无穷矩阵的形式,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
然后，将所有这些项相加的结果定义为
1n
n
a
与
1n
n
b
的乘积。
由于级数运算一般不满足交换律和结合律，这就有一个排列的次序与方式的问题。尽管排列的次序与方式多种多样，但常用的，也是最具应用价值的方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列。
对角线排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
令
c 1 = a 1 b 1,
c 2 = a 1 b 2 + a 2 b 1,
c n =
1nji
ji ba
= a 1 b n? a 2 b n - 1 a n b 1,
对角线排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
则称
1n
nc
=
1
1121 )(
n
nnn bababa?
为级数
1n
na
与
1n
nb
的 C a uch y 乘积。
正方形排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
令
d
1
= a
1
b
1
,
d
2
= a
1
b
2
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
,
d
n
= a
1
b
n?
a
2
b
n
a
n
b
n
+ a
n
1?nb
a
n
b
1
,
则
1n
n
d
就是级数
1n
n
a
与
1n
n
b
按正方形排列所得的乘积。
对于正方形排列所得的乘积，只要
1n
na
与
1n
nb
收敛，
1n
nd
总是收敛的，并成立
1n
nd
=
1n
na?
1n
nb
。
但是，仅有
1n
na
与
1n
nb
的收敛性不足以保证 Cau c h y 乘积
1n
nc
的收敛性，下面就是一个例子。
例 9,4,7 设
1n
n
a
=
1n
n
b
=
1
1
)1(
n
n
n
,这两个级数都是收敛的
( 条件收敛 ),它们的 Cau c h y 乘积的一般项为
c
n
=
ijnji
n 1
)1(
1
1
,
注意上面 c
n
的表达式中共有 n 项，在每一项中,i + j = n +1,因而
ij
2
ji?
=
2
1?n
,
于是得到
｜ c
n
｜?
1
2
n
n
,
因此｛ c
n
｝不是无穷小量，所以，
1n
n
a
与
1n
n
b
的 Cau c h y 乘积
1n
n
c
发散。
定理 9,4,7 如果级数
1n
na
与
1n
nb
绝对收敛，则将 a i b j （ i =
1,2,…； j = 1,2,…）按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于
1n
na
1n
nb
。
证 设
kk ji
ba
（ k = 1,2,?）是所有 a i b j（ i = 1,2,?； j = 1,2,?）的任意一种排列，对任意的 n,取
N =
nk1
ma x
｛ i k,j k ｝,
则
n
k
ji kk ba
1
||
N
i
ia
1
||?
N
j
jb
1
||
1
||
n
na?
1
||
n
nb
,
因此
1k
ji kk ba
绝对收敛。由定理 9,4,5,
1k
ji kk ba
的任意更序级数也绝对收敛，且和不变。
定理 9,4,7 如果级数
1n
na
与
1n
nb
绝对收敛，则将 a i b j （ i =
1,2,…； j = 1,2,…）按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于
1n
na
1n
nb
。
设
1n
nd
是级数
1n
na
与
1n
nb
按正方形排列所得的乘积，则
1n
nd
是
kk j
k
i ba?
1
更序后再添加括 号 所成的级数，于是得到
1k
ji kk ba
=
1n
nd
=
1n
na
1n
nb
。
下面举一例子，它反映了 C a u c hy 乘积的应用价值。
例 9.4,8 利用 D' Al e m ber t 判别法，可知对一切
R?x
，级数
)( xf
=
0 !n
n
n
x
是绝对收敛的。现考虑两个绝对收敛级数
0 !n
n
n
x
与
0 !n
n
n
y
的 C a u c hy 乘积，由定理 9,4,7,
0
!
n
n
n
x
0
!
n
n
n
y
=
0n
n
k
knk
knk
yx
0
)!(!
=
0n 0
C
!
k k n kn
n
k
xy
n
=
0 !
)(
n
n
n
yx
,
也就是成立
)()()( yfxfyxf
。
在第 10 章，我们将知道函数 f ( x ) 就是指数函数 x
e
，因而上式就是熟知的指数函数的加法定理。
又有无限个负项，那么 正项级数的各种判别法不再适用。
这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。
§ 4 任意项级数定理 9.4.1 （ 级数的 Cau c h y 收敛原理） 级数
1n
nx
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
m
｜ =
m
nk
k
x
1
对一切 m? n? N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
n + p
｜ =
p
k
kn
x
1
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
取 p = 1,上式即为｜ x n +1 ｜,于是就得到级数收敛的必要条件 lim
n
x n = 0 。
定理 9.4.1 （ 级数的 Cau c h y 收敛原理） 级数
1n
nx
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
m
｜ =
m
nk
k
x
1
对一切 m? n? N 成立。
定理结论还可以叙述为,对任意给定的 0,存在正整数 N,使得
｜ x
n +1
+ x
n +2
+ … + x
n + p
｜ =
p
k
kn
x
1
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
Leibniz 级数定义 9,4,1 如果级数
1n
nx
=
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）,则称此级数为交错级数 。
进一步，若级数
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）满足｛ u n ｝单调减少且收敛于 0,则称这样的 交错级数为 L ei bn i z 级数 。
定理 9,4,2 （ Le i bn i z 判别法） L e i b n i z 级数必定收敛 。
证 首先有
｜ x n +1 + x n +2 +? + x n + p ｜ = ｜ u n +1 - u n +2 + u n +3 -? + ( - 1)
p +1
u n + p ｜。
当 p 是奇数时,
u n +1 - u n +2 + u n +3 -? + ( - 1)
p +1
u n + p
=
;)()(
,0)()(
11321
4321
npnpnnnn
pnnnnn
uuuuuu
uuuuu
Leibniz 级数定义 9,4,1 如果级数
1n
nx
=
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）,则称此级数为交错级数 。
进一步，若级数
1
1)1(
n
n
n u
（ u n? 0 ）满足｛ u n ｝单调减少且收敛于 0,则称这样的 交错级数为 L ei bn i z 级数 。
当 p 是偶数时,
u
n +1
- u
n +2
+ u
n +3
-? + ( - 1)
p +1
u
n + p
=
,)(
,0)()()(
1321
14321
npnnnn
pnpnnnnn
uuuuu
uuuuuu
因而成立
｜ x
n +1
+ x
n +2
x
n + p
｜
= ｜ u
n +1
- u
n +2
+ u
n +3
( - 1)
p +1
u
n + p
｜? u
n +1
。
由
lim
n
u
n
= 0,对 于任意给定的
0,存在正整数 N,使得对一切
n? N,
u
n +1
,
于是，对一切正整数 p 成立
｜ x
n +1
+ x
n +2
+? + x
n + p
｜? u
n +1
,
根据定理 9,4,1,L e ib ni z 级数
1
1
)1(
n
n
n
u
收敛。
注 由定理 9,4.2 的证明，可以进一步得到下述结论,
(1 ) 对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，成立
0?
1
1)1(
n
n
n u
u 1 ;
(2 ) 对于 L ei b n i z 级数的余和 r n =
1
1)1(
nk
k
k u
，成立
｜ r n ｜? u n +1 。
由于
1
1)1(
n p
n
n
（ p? 0 ）,
2 ln
)1(
n q
n
n
（ q? 0 ）,
2
ln)1(
n
n n n,
1 3
21
1)1(n n n
n
等级数都是 L e i b n i z 级数，由定理 9,4,2 可知它们都是收敛的。
注 由定理 9,4.2 的证明，可以进一步得到下述结论,
(1 ) 对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，成立
0?
1
1)1(
n
n
n u
u 1 ;
(2 ) 对于 L ei b n i z 级数的余和 r n =
1
1)1(
nk
k
k u
，成立
｜ r n ｜? u n +1 。
例 9.4,1 级数
2
1
s in 1 π
n
n
收敛。
证 易知
2s i n 1 πn?
= ( - 1)
n
2s i n 1 πnn
= ( - 1)
n
2
π
s i n
1nn
。
显然
2
π
sin
1nn
是单调减少数列，且
lim
n
2
π
s i n
1nn
= 0,
所以
2
1
s in 1 π
n
n
是 L e i b ni z 级数。由定理 9,4,2 可知它是收敛的。
A bel 判别法与 D i ri ch l et 判别法引理 9,4,1 （ A bel 变换） 设 { a
n
},{ b
n
} 是两数列，记 B
k
=
k
i
i
b
1
（ k
= 1,2,…），则
p
k
kk
ba
1
= a
p
B
p
-
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa
。
证
p
k
kk
ba
1
= a
1
B
1
+
p
k
kkk
BBa
2
1
)(
= a
1
B
1
+
p
k
kk
Ba
2
-
p
k
kk
Ba
2
1
=
1
1
p
k
kk
Ba
-
1
1
1
p
k
kk
Ba
+ a
p
B
p
= a
p
B
p
-
1
1
1
)(
p
k
kkk
Baa
。
上式也称为 分部求和公式 。
上图是当 0?
na
,0?
nb
，且
na
单调增加时,A b el 变换的一个直观的示意。图中矩形
5,0 B5,0 a?
被分割成 9 个小矩形，根据所标出的各小矩形的面积，即得到 p = 5 的 A b e l 变换,
54
5 5 1
11
()k k k k k
kk
a b a B a a B?
。
a
5
445 )( Baa?
a
4
334 )( Baa?
55 ba
a
3
223 )( Baa?
44 ba
a
2
112 )( Baa?
33 ba
a
1
22 ba
11 ba
0 B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
利用 A b el 变换即得到如下的 A b el 引理。
引理 9,4,2 (A bel 引理 ) 设
(1 ) ｛ a k ｝为单调数列；
(2 ) ｛ B k ｝（ B k =
k
i
ib
1
,k = 1,2,… ) 为有界数列，即存在 M? 0,对一切 k,成立｜ B k ｜? M,则
p
k
kk ba
1
M ( ｜ a 1 ｜ +2 ｜ a p ｜ ) 。
证 由 A b el 变换得
p
k
kk
ba
1
｜
pp Ba
｜ +
1
1
1
||
p
k
kkk
Baa
1
1
1
||||
p
k
kkp
aaaM
。
由于｛
ka
｝单调，所以
1
1
1
||
p
k
kk
aa
=
1
1
1
)(
p
k
kk
aa
= ｜
1aa p?
｜,
于是得到
p
k
kk
ba
1
M ( ｜ a 1 ｜ +2 ｜
pa
｜ ) 。
定理 9,4,3 （ 级数的 A - D 判别法） 若下列两个条件之一满足,
则级数
1n
nn ba
收敛,
(1 ) ( A bel 判别法 ) ｛
na
｝单调有界，
1n
nb
收敛；
(2 ) ( D i r i ch l et 判别法 ) ｛
na
｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界 。
证 ( 1 ) 若 A b e l 判别法条件满足，设｜ a n ｜? M,由于
1n
nb
收敛，
则对于任意给定的 0,存在正整数 N,使得对于一切 n? N 和
p N,成立
pn
nk
kb
1
。 对
pn
nk
kk ba
1
应用 A b el 引理，即得 到
pn
nk
kk ba
1
( ｜ a n +1 ｜ +2 ｜
pna?
｜ )? 3 M? 。
定理 9,4,3 （ 级数的 A - D 判别法） 若下列两个条件之一满足,
则级数
1n
nn ba
收敛,
(1 ) ( A bel 判别法 ) ｛
na
｝单调有界，
1n
nb
收敛；
(2 ) ( D i r i ch l et 判别法 ) ｛
na
｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界 。
( 2) 若 Dir i c hl e t 判别法条件满足，由于
lim
n
a
n
= 0,因此对于任意给定的
>0,存在 N,使得对于一切
Nn?
，成立
｜ a
n
｜?
。
设
n
i
i
b
1
M,令 B k =
kn
ni
i
b
1
( k = 1,2,? ),则
｜
kB
｜ =
kn
i
i
b
1
n
i
i
b
1
2 M,
应用 Abe l 引理，同样得到
pn
nk
kk
ba
1
2 M ( ｜ a n +1 ｜ +2 ｜
pna?
｜ )? 6 M
对一切 n? N 与一切正整数 p 成立。
根据 C a u c hy 收敛原理 ( 定理 9,4,1),即知
1n
nn
ba
收敛。
注 （ 1 ）对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，令 a n = u n,b n = ( - 1)
n +1
，则
｛ a n ｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界，则由 D i ri c h l e t 判别法，可知
1n
nn ba
=
1
1)1(
n
n
n u
收敛。所以交错级数的 L ei b n i z 判别法可以看成是 D i ri ch l e t
判别法的特例。
（ 2 ）若 A b el 判别法条件满足，由于数列｛ a n ｝单调有界，设
lim
n
a n
= a,则数列｛ a n - a ｝单调趋于 0 。又由于级数
1n
nb
收敛，则其部分和数列
n
i
ib
1
必定有界，根据 D i r i c h l e t 判别法，
1
)(
n
nn baa
收敛，从而即知
1n
nn ba
收敛。
这就是说,A b e l 判别法也可以看成是 D i ri c h l et 判别法的特例。
注 （ 1 ）对于 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n u
，令 a n = u n,b n = ( - 1)
n +1
，则
｛ a n ｝单调趋于 0,
n
i
ib
1
有界，则由 D i ri c h l e t 判别法，可知
1n
nn ba
=
1
1)1(
n
n
n u
收敛。所以交错级数的 L ei b n i z 判别法可以看成是 D i ri ch l e t
判别法的特例。
例 9,4,2 设
1n
nb
收敛，则由 A b e l 判别法，级数
1n
n
n
b,
1 1n
nbn
n,
1
11
n
n
n
bn
，
1 2
13ln
n
n n
nb
等等都收敛。
例 9,4,3 设数列｛ a n ｝单调趋于 0,则对一切实数 x,级数
1 s inn n nxa 收敛。
例 9,4,2 设
1n
nb
收敛，则由 A b e l 判别法，级数
1n
n
n
b,
1 1n
nbn
n,
1
11
n
n
n
bn
，
1 2
13ln
n
n n
nb
等等都收敛。
证 当
kx 2
时,
2 sin
2
x
n
k
kx
1
s i n
=
2
c o s
x
x
n
2
12
c o s
,
于是对一切正整数 n,
n
k
kx
1
s in
2
s i n
1
x
,
由 D i ri c h l et 判别法，可知当 x ≠ 2 k π 时，
1
s in
n
n
nxa
收敛。由于当
kx 2
时，
1
s in
n
n
nxa
= 0,于是得到对一切实数 x,
1
s in
n
n
nxa
收敛。
读者可自己证明，当｛ a
n
｝单调趋于 0 时，则对一切 x ≠ 2 k π,
1
c o s
n
n
nxa
收敛。
级数的绝对收敛与条件收敛定义 9,4,2 如果级数
1
||
n
nx
收敛，则称
1n
nx
为 绝对收敛 级数 。
由 Cau c h y 收敛原理和三角不等式
｜ x
n +1
+ x
n +2
x
m
｜? ｜ x
n +1
｜ + ｜ x
n +2
｜ ｜
mx
｜,
可知绝对收敛级数一定收敛。但这个结论的逆命题不成 立，例如
L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n
收敛，但调和级数
1
1
n n
是发散的。
如果级数
1n
nx
收敛而
1
||
n
nx
发散，则称
1n
nx
为 条件收敛 级数 。
由定义，
1
1)1(
n
n
n
是一个条件收敛级数。
1
||
n
nx
的收敛性可以采用正项级数收敛性的判别法来判定。需要指出，虽然一般说来，由
1
||
n
nx
发散并不能得出
1n
nx
发散，但若用
Cau c h y 判别法或 D 'A l em b ert 判别法判断出
1
||
n
nx
发散，则级数
1n
nx
本身一定发散，这是因为这两个判别法判定发散的依据是级数的 通项不趋于 0,即不满足收敛的必要条件。
例 9,4,4 讨论级数
1n
p
n
n
x
的敛散性。
解 对
1n
p
n
n
x
=
1
||
n
p
n
n
x
应用 Ca u ch y 判别法,
lim
n
n
p
n
n
x ||
= ｜ x ｜,
由此可知,
｜ x ｜? 1,p 为任意实数：级数收敛 ( 绝对收敛 ) ；
｜ x ｜? 1,p 为任意实数：级数发散 ；
x = 1,
级数发散；
级数收敛（绝对收敛）
,1
,,1
p
p
x = - 1,
.
,
,
,0
,10
,1
级数发散级数收敛（条件收敛）
级数收敛（绝对收敛）
p
p
p
例 9,4,5 讨论级数
1
s in
n
p
n
nx
(0? x?
) 的敛散性。
解 当 p? 1,由
p
n
nx |s i n|?
p
n
1
，可知级数
1
s in
n
p
n
nx
绝对收敛。
当 0? p? 1,由例 9,4,3,级数
1
s in
n
p
n
nx
收敛；但进一步我们有
p
n
nx |s i n|?
p
n
nx
2
s in
=
p
n2
1
p
n
nx
2
2c o s
,
级数
1 2
2c o s
n
p
n
nx
的收敛性同样可由 D i r i ch l e t 判别法得到，但由于
1 2
1
n
p
n
发散，可知
1
|s in|
n
p
n
nx
发散，换言之，当 0? p? 1,级数
1
s in
n
p
n
nx
(0? x
)
条件收敛。
当 p? 0,由于级数的一般项不趋于 0,级数
1
s in
n
p
n
nx
发散。
绝对收敛级数和条件收敛级数之间存在着许多本质差别，下面对此作进一步探讨。
设
1n
n
x
是任意数项级数，令
nx
=
2
||
nn
xx?
=
,0,0
,0,
n
nn
x
xx n = 1,2,?,
nx
=
2
||
nn
xx?
=
,0,0
,0,
n
nn
x
xx n = 1,2,?。
则
x
n
=
nx
-
nx
,｜ x
n
｜ =
nx
+
nx
,n = 1,2,?。
1n
n
x
是由
1n
n
x
的所有正项构成的级数，
1n
n
x
是由
1n
n
x
的所有负项变号后构成的级数，它们都是正项级数。
定理 9,4,4 若
1n
nx
绝对收敛，则
1n
nx
与
1n
nx
都收敛；若
1n
nx
条件收敛，则
1n
nx
与
1n
nx
都发散到 。
证 先设
1n
nx
绝对收敛，由于
0?
nx
｜
nx
｜,0?
nx
｜
nx
｜,n = 1,2,?,
则由
1
||
n
nx
的收敛性，即可得到
1n
nx
与
1n
nx
的收敛性。
现设
1n
nx
条件收敛，若
1n
nx
（或
1n
nx
）也收敛，则由
1n
nx
=
1n
nx
-
1n
nx
（或
1n
nx
=
1n
nx
+
1n
nx
）
可知
1n
nx
（或
1n
nx
）也收敛，于是得到
1
||
n
nx
=
1n
nx
+
1n
nx
的收敛性，从而产生矛盾。
加法交换律收敛的级数是否成立交换律呢？也就是说，将一个收敛级数
1n
nx
的项任意重新排列，得到的新级数
1n
nx
（称为
1n
nx
的更序级数）
是否仍然收敛? 如果收敛的话，其和是否保持不变，即是否有
1n
nx
=
1n
nx
回答是否定的。
例 9,4,6 考虑 L ei b n i z 级数
1
1)1(
n
n
n
,
这是一个条件收敛级数，在例 2,4,1 0 中，已经证明了它的和为 2ln 。
现按下述规律构造
1
1)1(
n
n
n
的更序级数
1n
nx
,
顺次地在每一个正项后面接两个负项，即
1n
nx
= 1
2
1?
4
1?
3
1?
6
1
8
1
12
1
k
24
1
k k4
1
。
设
1
1
)1(
n
n
n
的部分和数列为｛ S
n
｝，
1n
n
x
的部分和数列为｛
nS?
｝，
则
nS 3?
=
n
k kkk1 4
1
24
1
12
1
=
n
k kk1 4
1
24
1
=
n
k kk1 2
1
12
1
2
1
=
2
1
S
2 n
,
于是
lim
n
nS 3?
=
2
1
lim
n
S
2 n
=
2ln
2
1
。
由于
13nS
=
nS 3?
+
n4
1
,
13nS
=
nS 3?
+
12
1
n
,
从而得到
1n
n
x
=
2ln
2
1
=
2
1
1
1
)1(
n
n
n
,
也就是说，尽管
1
1
)1(
n
n
n
是收敛的，但交换律不成立。
定理 9.4,5 若级数
1n
nx
绝对收敛，则它的更序级数
1n
nx
也绝对收敛，且和不变，即
1n
nx
=
1n
nx
。
证 我们分两步来证明定理。
(1 ) 先设
1n
nx
是正项级数，则对一切 nN,
n
k
kx
1
1n
nx
,于是可知
1n
nx
收敛，且
1n
nx
1n
nx；
反 之,也可以将
1n
nx
看成
1n
nx
的更序级数，又有
1n
nx
1n
nx
。
结合上述两式即得
1n
nx
=
1n
nx
。
定理 9.4,5 若级数
1n
nx
绝对收敛，则它的更序级数
1n
nx
也绝对收敛，且和不变，即
1n
nx
=
1n
nx
。
( 2) 现设
1n
n
x
是任意项级数，则由定理 9,4,4,正项级数
1n
n
x
与
1n
n
x
都收敛，且
1n
n
x
=
1n
n
x
-
1n
n
x
,
1
||
n
n
x
=
1n
n
x
+
1n
n
x
。
对于更序级数
1n
n
x
，同样构作正项级数
1n
n
x
与
1n
n
x
，由于
1n
n
x
即为
1n
n
x
的更序级数，
1n
n
x
即为
1n
n
x
的更序级数，根据 ( 1 ) 的结论,
1n
n
x
=
1n
n
x
,
1n
n
x
=
1n
n
x
,
于是得到
1
||
n
n
x
=
1n
n
x
+
1n
n
x
收敛，即
1n
n
x
绝对收敛，且
1n
n
x
=
1n
n
x?
1n
n
x
=
1n
n
x?
1n
n
x
=
1n
n
x
。
定理 9.4,6 （ Riem an n ） 设级数
1n
nx
条件收敛，则对任意给定的 a, a,必定存在
1n
nx
的更序级数
1n
nx
满足
1n
nx
= a 。
证 我们只证 a 为有限数的情况,a = 的情况留给读者考虑。
由于
1n
nx
条件收敛，由定理 9,4,4,
1n
nx
=,
1n
nx
= 。
依次计算
1n
nx
的部分和，必定存在最小的正整数 n 1,满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
a,
再依次计算
1n
nx
的部分和，也必定存在最小的正整数 m 1,满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
a,
定理 9.4,6 （ Riem an n ） 设级数
1n
nx
条件收敛，则对任意给定的 a, a,必定存在
1n
nx
的更序级数
1n
nx
满足
1n
nx
= a 。
类似地可找到最小的正整数 n
2?
n
1
,m
2?
m
1
，满足
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
+
11nx
+? +
2n
x
a
和
1x
+
2x
+? +
1n
x
-
1x
-
2x
-? -
1m
x
+
11nx
+? +
2n
x
-
11mx
-? -
2m
x
a,
这样的步骤可一直继续下去，由此得到
1n
n
x
的一个更序级数
1n
n
x
，
它的部分和摆动于 a +
kn
x
与 a -
km
x
之间。
由于
1n
n
x
收敛，可知
lim
n
nx
=
lim
n
nx
= 0,
于是得到
1n
n
x
= a 。
级数的乘法有限和式
n
k
k
a
1
和
n
k
k
b
1
的乘积是所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,?,n ; j =
1,2,?,m ) 项的和，显然，其最终结果与它们相加的次序与方式无关。
类似地，对于两个收敛的无穷级数
1n
n
a
与
1n
n
b
，可以同样写出所有诸如 a
i
b
j
( i = 1,2,? ; j = 1,2,? ) 的项。将它们排列成下面无穷矩阵的形式,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
然后，将所有这些项相加的结果定义为
1n
n
a
与
1n
n
b
的乘积。
由于级数运算一般不满足交换律和结合律，这就有一个排列的次序与方式的问题。尽管排列的次序与方式多种多样，但常用的，也是最具应用价值的方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列。
对角线排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
令
c 1 = a 1 b 1,
c 2 = a 1 b 2 + a 2 b 1,
c n =
1nji
ji ba
= a 1 b n? a 2 b n - 1 a n b 1,
对角线排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
则称
1n
nc
=
1
1121 )(
n
nnn bababa?
为级数
1n
na
与
1n
nb
的 C a uch y 乘积。
正方形排列,
14
13
12
11
ba
ba
ba
ba
24
23
22
21
ba
ba
ba
ba
34
33
32
31
ba
ba
ba
ba
44
43
42
41
ba
ba
ba
ba
令
d
1
= a
1
b
1
,
d
2
= a
1
b
2
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
,
d
n
= a
1
b
n?
a
2
b
n
a
n
b
n
+ a
n
1?nb
a
n
b
1
,
则
1n
n
d
就是级数
1n
n
a
与
1n
n
b
按正方形排列所得的乘积。
对于正方形排列所得的乘积，只要
1n
na
与
1n
nb
收敛，
1n
nd
总是收敛的，并成立
1n
nd
=
1n
na?
1n
nb
。
但是，仅有
1n
na
与
1n
nb
的收敛性不足以保证 Cau c h y 乘积
1n
nc
的收敛性，下面就是一个例子。
例 9,4,7 设
1n
n
a
=
1n
n
b
=
1
1
)1(
n
n
n
,这两个级数都是收敛的
( 条件收敛 ),它们的 Cau c h y 乘积的一般项为
c
n
=
ijnji
n 1
)1(
1
1
,
注意上面 c
n
的表达式中共有 n 项，在每一项中,i + j = n +1,因而
ij
2
ji?
=
2
1?n
,
于是得到
｜ c
n
｜?
1
2
n
n
,
因此｛ c
n
｝不是无穷小量，所以，
1n
n
a
与
1n
n
b
的 Cau c h y 乘积
1n
n
c
发散。
定理 9,4,7 如果级数
1n
na
与
1n
nb
绝对收敛，则将 a i b j （ i =
1,2,…； j = 1,2,…）按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于
1n
na
1n
nb
。
证 设
kk ji
ba
（ k = 1,2,?）是所有 a i b j（ i = 1,2,?； j = 1,2,?）的任意一种排列，对任意的 n,取
N =
nk1
ma x
｛ i k,j k ｝,
则
n
k
ji kk ba
1
||
N
i
ia
1
||?
N
j
jb
1
||
1
||
n
na?
1
||
n
nb
,
因此
1k
ji kk ba
绝对收敛。由定理 9,4,5,
1k
ji kk ba
的任意更序级数也绝对收敛，且和不变。
定理 9,4,7 如果级数
1n
na
与
1n
nb
绝对收敛，则将 a i b j （ i =
1,2,…； j = 1,2,…）按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于
1n
na
1n
nb
。
设
1n
nd
是级数
1n
na
与
1n
nb
按正方形排列所得的乘积，则
1n
nd
是
kk j
k
i ba?
1
更序后再添加括 号 所成的级数，于是得到
1k
ji kk ba
=
1n
nd
=
1n
na
1n
nb
。
下面举一例子，它反映了 C a u c hy 乘积的应用价值。
例 9.4,8 利用 D' Al e m ber t 判别法，可知对一切
R?x
，级数
)( xf
=
0 !n
n
n
x
是绝对收敛的。现考虑两个绝对收敛级数
0 !n
n
n
x
与
0 !n
n
n
y
的 C a u c hy 乘积，由定理 9,4,7,
0
!
n
n
n
x
0
!
n
n
n
y
=
0n
n
k
knk
knk
yx
0
)!(!
=
0n 0
C
!
k k n kn
n
k
xy
n
=
0 !
)(
n
n
n
yx
,
也就是成立
)()()( yfxfyxf
。
在第 10 章，我们将知道函数 f ( x ) 就是指数函数 x
e
，因而上式就是熟知的指数函数的加法定理。
