数列的上极限和下极限先考虑有界数列的情况 。
定义 9.2.1 在有界数列 {
x n
} 中，若存在它的一个子列 {
kn
x
} 使得
k
l i m knx
=
,
则称
为数列 {
x n
} 的一个 极限点 。
“
是 数列 {
x n
} 的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的
0
，存在 {
x n
} 中的无穷多个项属于
的? 邻域,。
记
E = {
|
是 {
x n
} 的极限点 },
则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = s u p E 和下确界 h = in f
E 存在。
§ 2 上极限与下极限定理 9,2,1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E,即
H = m ax E,h = m i n E 。
证 由
s u p?H
E 可知，存在
k?
E
),2,1(k
，使得
l i m k
k
H?
。
取
k
k
1
),2,1(k
。
因为
1?
是
nx
的极限 点，所以在
),( 11O
中有
nx
的无穷多个项，取
1 11
(,)nxO；
因为
2?
是
nx
的极限点，所以在
),( 22O
中有
nx
的无穷多个项，
可以取
12 nn?
，使得
2 22
(,)nxO；
因为
k?
是
nx
的极限点，所以在
),( kkO
中有
nx
的无穷多个项，
可以取
1 kk nn
,使得
(,)
kn k k
xO；
这么一直做下去，便得到 {
x n
} 的子列
}{
kn
x
，满足
1
knk
x
k
,
于是有
l i m l i m
knkkk
xH?
。
由定义 1.2.9,H 是
nx
的极限点，也就是说,?H E 。
同理可证 h? E 。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = m a x E 称为数列 { x
n
} 的 上极限,
E 的最小值 h = m i n E 称为数列 { x
n
} 的 下极限,记为
H =
nl i m
x n ； h =
nl i m
x n 。
定理 9.2.2 设 {
x n
} 是有界数列。则
nx
收敛的充分必要条件是
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
证 若 {
x n
} 是收敛的，则它的任一子列收 敛于同一极限（定理
2,4,4 ），因而此时 E 中只有一个元素，于是成立
lim
n
x n
=
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
若 {
x n
} 不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有
n
l i m x n
n
l i m
x n
。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = m a x E 称为数列 { x
n
} 的 上极限,
E 的最小值 h = m i n E 称为数列 { x
n
} 的 下极限,记为
H =
nl i m
x n ； h =
nl i m
x n 。
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大，
按上述思路，可将极限点的定义扩充为定义 9.2,1 ' 在数列 {
x n
} 中，若存在它的一个子列 {
kn
x
} 使得
k
l i m knx
（
）,
则称
为数列 {
x n
} 的一个 极限 点 。
“
= （或 ）是 {
x n
} 的极限点”也可以等价地表述为：“对于任意给定的 G > 0,存在 {
x n
} 中的无穷多个项，使得
x n
> G （ 或
x n
<
- G ）” 。
同样地，仍定义 E 为 {
x n
} 的极限点全体。当
= （或 ）是
{
x n
} 的极限点时，定义 s u p E = （或 in f E = ）；当
= （或 ）
是 {
x n
} 的唯一极限点时，定义 s u p E = in f E = （或 s u p E = in f E
= ）。那么定理 9,2,1 依然成立，而定理 9,2,2 只要改为定理 9,2.2'
lim
n
x n
存在（有限数, 或 ）的充分必要条件是
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
例 9,2.1 求数列 2 π
c o s
5n
nx
的上极限与下极限。
解 因为
45?nx
=
15?nx
= 2 π
c o s 5
，
35?nx
=
25?nx
= π
c o s 5?
，
5 1nx?
，所以 { x
n
}
的最大极限点是 1,最小极限点是 π
c o s 5?
，即
nl i m
1nx?,
n
l i m nx?
πc o s
5?
。
例 9,2,2 求数列
nnx
n
)1(
的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,?,
它没有上界，因而
n
l i m x n
= 。
又由
x n?
0,且
}{ 12?nx
的极限为 0,即知
n
l i m
x n
= 0 。
例 9,2,3 求数列 { x
n
= - n } 的上极限与下极限。
解 由于 lim
n
x n =,因而
nl i m
x n =
nl i m
x n = lim
n
x n = 。
例 9,2,2 求数列
nnx
n
)1(
的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,?,
它没有上界，因而
n
l i m x n
= 。
又由
x n?
0,且
}{ 12?nx
的极限为 0,即知
n
l i m
x n
= 0 。
为了以后讨论问题的方便，先证明一个有用的结论。
定理 9.2.3 设 {
x n
} 是有界数列。则
( 1 )
n
l i m
x n
=
的充分必要条件 是：对任意给定的
0,
( i ) 存在正整数 N,使得
x n
+
对一切 n? N 成立 ；
( ii )
nx
中有无穷多项，满足
x n
–
,
( 2 )
n
l i m
x n
=
的充分必要条件 是：对任意给定的
0,
( i ) 存在正整数 N,使得
x n
对一切 n? N 成立 ；
( ii )
nx
中有无穷多项，满足
x n
,
证 下面只给出 ( 1 ) 的证明,( 2 ) 的证明类似。
必要性,由于
是 {
x n
} 的最大极限点，因此 对于任意给定的
0
，
在区间 [
+?,
)
上至多只有 {
x n
} 中的有限项（请读者考虑 为什么）。
设这有限项中最大的下标为
0n
。显然，只要取 N =
0n
，当 n? N 时，必有
x n
+?,
这就证明了 ( i) 。
由于
是 {
x n
} 的极限点，因此 {
x n
} 中有无穷多项属于
的? 邻域，
因此这无穷多个项满足
x n
–?,
这就证明了 ( ii ) 。
充分性,由 ( i ),对任意给定的 0,存在正整数 N,使得当 n? N
时,成立
x n
+?,于是
n
l i m x n
+? 。由? 的任意性 可 知
n
l i m x n
。
由 ( ii ),
nx
中有无穷多项，满足
x n
–?,于是
n
l i m x n
。 由
的任意性 又可 知
n
l i m x n
。
结合上述两式，就得到
n
l i m x n
=
。
上极限和下极限的运算数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 x
n
= ( - 1)
n
,
ny
= ( - 1)
n +1
，则
nl i m
x n +
nl i m
ny
= 2,而
nl i m
( x
n
+
ny
) = 0,两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
定理 9,2,4 设 {
x n
},{
ny
} 是两数列,则
(1 )
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y；
(2 ) 若
lim
n
nx
存在,则
n
l i m
(
x n
+
ny
) =
n
l i m
x n
+
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n
+
ny
) =
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y
。
( 要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 ( )+( ) 等 )
上极限和下极限的运算数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 x
n
= ( - 1)
n
,
ny
= ( - 1)
n +1
，则
nl i m
x n +
nl i m
ny
= 2,而
nl i m
( x
n
+
ny
) = 0,两者并不相等。
但我们 还是可以得到下述关系。
证 下面只给出 ( 1) 与 ( 2) 中第一式的证明，并假定式中出现的上极限是有限数（上极限是 或 的情况留给读者自证）。
记
n
l i m
x n
= H
1
，
n
l i m n
y
= H
2
。
由定理 9,2,3,对任意给定的
0,存在正整数 N,对一切 n? N
成立
x n
H 1 +?,
ny
H 2 +?,
即
x n
+
ny
H 1 + H 2 + 2?,
所以
n
l i m
(
x n
+
ny
)? H
1
+ H
2
+ 2
,
由
的任意性，即得到
n
l i m
(
x n
+
ny
)? H
1
+ H
2
=
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y
。
这就是 ( 1) 的第一式。
若
lim
n
nx
存在，则由 ( 1 ) 的第一式,
n
l i m ny
=
n
l i m
[(
x n
+
ny
) -
nx
]?
n
l i m
(
x n
+
ny
) +
n
l i m
( -
nx
),
此式 即为
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
。
将上式结合
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
,
即得到 ( 2 ) 的第一式。
定理 9,2,5 设 {
x n
},{
ny
} 是两数列,
(1 ) 若
x n?
0,
ny
0,则
n
l i m
(
x n ny
)?
n
l i m?nx
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n ny
)?
n
l i m
nx
n
l i m n
y；
(2 ) 若
lim
n
x n
= x, x0,则
n
l i m
(
x n ny
) =
lim
n
nx
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n ny
) =
lim
n
nx
n
l i m n
y
。
( 要求上述诸式的右端不是待定型,即不为
)(0
等 )
证 下面只给出 ( 2) 的第一式的证明，并假定
n
l i m ny
是有限数。
由
lim
n
x n
= x, x0,可知对任意给定的? （ 0 x ），存在 正整数 N 1,对一切 n? N 1 成立
0? x -
x n?
x +?,
记
n
l i m ny
= H 2,由定理 9,2,3,对上述? （ 0 x ），存在正整数 N 2,对一切 n? N 2 成立
ny
H 2 +?,
取 N = m a x { N
1
,N
2
},则当 n? N 时，成立
x n
ny
m a x {( x –? )( H 2 +? ),( x +? )( H 2 +? )},
于是有
n
l i m
(
x n
ny
)? m a x { ( x –
)( H
2
+
),( x +
)( H
2
+
) },
由
的任意性，即得到
n
l i m
(
x n
ny
)?
2Hx?
=
lim
n
nx
n
l i m n
y
。
由于
n
l i m n
y
=
n
l i m
[(
x n
ny
)
n
x
1
]?
n
l i m
(
x n
ny
)
n
l i m
n
x
1
,
即
n
l i m
(
x n
ny
)?
lim
n
nx
n
l i m n
y
,
两式结合即得到 ( 2) 的第一式。
注意在定理 9,2,5 中，若条件改变的话，则给出的关系式也将作相应的改变。例如，在 ( 1 ) 中将条件改为 x
n?
0,
ny?
0,在 ( 2 ) 中将条件改为
limn x n
= x, x? 0,请读者考虑关 系式将如何改变。
因此，在对上极限和下极限进行运算时必须非常小心。
数列的上极限与下极限也可如下定义。
设 {
x n
} 是一个有界数列，令
nb
= sup{
1?nx
,
2?nx
,? }=
nk?
s u p
{
kx
} ；
na
= in f{
1?nx
,
2?nx
,? }=
nk?
i n f
{
kx
} 。
则 {
na
} 是单调增加有上界的数列,{
nb
} 是单调减少有下界的数列，因此数列 {
na
} 与 {
nb
} 都收敛。
记
H * =
lim
n
nb
=
lim
n
nk?
s u p
{
kx
} ；
h * =
lim
n
na
=
lim
n nk?
i n f
{
kx
} 。
当数列 { x
n
} 无上界而有下界时，则对一切 nN,
nb
=,定义
H * = 。
这时数列 {
na
} 单调增加，但也可能没有上界。如果 h * =
limn na
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 无下界而有上界时，则对一切 nN,
na
=,定义
h * = 。
这时数列 {
nb
} 单调减少，但也可能没有下界。如果 H * =
limn nb
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 无上界而有下界时，则对一切 nN,
nb
=,定义
H * = 。
这时数列 {
na
} 单调增加，但也可能没有上界。如果 h * =
limn na
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 既无上界又无下界时，则对一切 nN,
na
=,
nb
=,定义
H * =,h * = 。
所以，对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但 H * 与 h *
总是存在的 ( 有限数或 或 ),且成立
h *? H * 。
当数列 { x
n
} 既无上界又无下界时，则对一切 nN,
na
=,
nb
=,定义
H * =,h * = 。
关于这一定义与定义 9,2,1 的等价性，我们有下述定理,
定理 9.2.6 H * 是 {
x n
} 的最大极限点,h * 是 {
x n
} 的最小极限点。
证 首先证明,{
x n
} 的任意一个极限点
（有限数或 或 ）
满足
h *? ξ? H * 。
设
l i m
knk
x?
，则对一切 k? N
+
，成立
1?kna
kn
x
1?knb
,
由
lim
n
na
= h *,
lim
n
nb
= H * 与
k
l i m knx
= ξ,得到
h *? ξ? H * 。
其次证明，存在 {
x n
} 的子列 {
kn
x
} 与 {
km
x
},使得
k
l i m knx
= H *,
k
l i m kmx
= h * 。
设 {
x n
} 的上极限 H 与下极限 h 都是有限数，取
k?
=
k
1
,k = 1,2,?。
对
1?
= 1,由
1b
=
1
s u p
i
{
ix
},?
1n
：
1b
- 1?
1n
x
1b；
对
2?
=
2
1
，由
1n
b
=
1
su p
ni?
{
ix
},?
2n
1n
：
1n
b
-
2
1?
2n
x
1n
b；
对
1k
=
1
1
k
，由
kn
b
=
kni?
su p
{
ix
},?
1?kn
kn
：
kn
b
-
1
1
k
1?kn
x
kn
b；
令
k
，由数列极限的夹逼性，得到
k
l i m kn
x
=
k
l i m kn
b
=
lim
n
nb
= H * 。
同理可证存在子列 {
km
x
},使得
k
l i m km
x
= h * 。
若 {
x n
} 无上界，即 H * =,则显然存在子列 {
kn
x
} 是正无穷大量，
即
k
l i m knx
= H * = ；若 H * =,前面已经指出
lim
n
x n
= H * = ；若
{
x n
} 无下界，即 h * =,则显然存在子列 {
km
x
} 是负无穷大量，即
k
l i m kmx
= h * = ；若 h * =,前面也已经指出
lim
n
x n
= h * = 。
由定理 9.2.6,即得到
H * = m a x E =
n
l i m x n
,h * = m in E =
n
l i m
x n
。
定义 9.2.1 在有界数列 {
x n
} 中，若存在它的一个子列 {
kn
x
} 使得
k
l i m knx
=
,
则称
为数列 {
x n
} 的一个 极限点 。
“
是 数列 {
x n
} 的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的
0
，存在 {
x n
} 中的无穷多个项属于
的? 邻域,。
记
E = {
|
是 {
x n
} 的极限点 },
则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = s u p E 和下确界 h = in f
E 存在。
§ 2 上极限与下极限定理 9,2,1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E,即
H = m ax E,h = m i n E 。
证 由
s u p?H
E 可知，存在
k?
E
),2,1(k
，使得
l i m k
k
H?
。
取
k
k
1
),2,1(k
。
因为
1?
是
nx
的极限 点，所以在
),( 11O
中有
nx
的无穷多个项，取
1 11
(,)nxO；
因为
2?
是
nx
的极限点，所以在
),( 22O
中有
nx
的无穷多个项，
可以取
12 nn?
，使得
2 22
(,)nxO；
因为
k?
是
nx
的极限点，所以在
),( kkO
中有
nx
的无穷多个项，
可以取
1 kk nn
,使得
(,)
kn k k
xO；
这么一直做下去，便得到 {
x n
} 的子列
}{
kn
x
，满足
1
knk
x
k
,
于是有
l i m l i m
knkkk
xH?
。
由定义 1.2.9,H 是
nx
的极限点，也就是说,?H E 。
同理可证 h? E 。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = m a x E 称为数列 { x
n
} 的 上极限,
E 的最小值 h = m i n E 称为数列 { x
n
} 的 下极限,记为
H =
nl i m
x n ； h =
nl i m
x n 。
定理 9.2.2 设 {
x n
} 是有界数列。则
nx
收敛的充分必要条件是
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
证 若 {
x n
} 是收敛的，则它的任一子列收 敛于同一极限（定理
2,4,4 ），因而此时 E 中只有一个元素，于是成立
lim
n
x n
=
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
若 {
x n
} 不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有
n
l i m x n
n
l i m
x n
。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = m a x E 称为数列 { x
n
} 的 上极限,
E 的最小值 h = m i n E 称为数列 { x
n
} 的 下极限,记为
H =
nl i m
x n ； h =
nl i m
x n 。
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大，
按上述思路，可将极限点的定义扩充为定义 9.2,1 ' 在数列 {
x n
} 中，若存在它的一个子列 {
kn
x
} 使得
k
l i m knx
（
）,
则称
为数列 {
x n
} 的一个 极限 点 。
“
= （或 ）是 {
x n
} 的极限点”也可以等价地表述为：“对于任意给定的 G > 0,存在 {
x n
} 中的无穷多个项，使得
x n
> G （ 或
x n
<
- G ）” 。
同样地，仍定义 E 为 {
x n
} 的极限点全体。当
= （或 ）是
{
x n
} 的极限点时，定义 s u p E = （或 in f E = ）；当
= （或 ）
是 {
x n
} 的唯一极限点时，定义 s u p E = in f E = （或 s u p E = in f E
= ）。那么定理 9,2,1 依然成立，而定理 9,2,2 只要改为定理 9,2.2'
lim
n
x n
存在（有限数, 或 ）的充分必要条件是
n
l i m x n
=
n
l i m
x n
。
例 9,2.1 求数列 2 π
c o s
5n
nx
的上极限与下极限。
解 因为
45?nx
=
15?nx
= 2 π
c o s 5
，
35?nx
=
25?nx
= π
c o s 5?
，
5 1nx?
，所以 { x
n
}
的最大极限点是 1,最小极限点是 π
c o s 5?
，即
nl i m
1nx?,
n
l i m nx?
πc o s
5?
。
例 9,2,2 求数列
nnx
n
)1(
的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,?,
它没有上界，因而
n
l i m x n
= 。
又由
x n?
0,且
}{ 12?nx
的极限为 0,即知
n
l i m
x n
= 0 。
例 9,2,3 求数列 { x
n
= - n } 的上极限与下极限。
解 由于 lim
n
x n =,因而
nl i m
x n =
nl i m
x n = lim
n
x n = 。
例 9,2,2 求数列
nnx
n
)1(
的上极限与下极限。
解 此数列为
1,2,
3
1
,4,
5
1
,6,
7
1
,8,?,
它没有上界，因而
n
l i m x n
= 。
又由
x n?
0,且
}{ 12?nx
的极限为 0,即知
n
l i m
x n
= 0 。
为了以后讨论问题的方便，先证明一个有用的结论。
定理 9.2.3 设 {
x n
} 是有界数列。则
( 1 )
n
l i m
x n
=
的充分必要条件 是：对任意给定的
0,
( i ) 存在正整数 N,使得
x n
+
对一切 n? N 成立 ；
( ii )
nx
中有无穷多项，满足
x n
–
,
( 2 )
n
l i m
x n
=
的充分必要条件 是：对任意给定的
0,
( i ) 存在正整数 N,使得
x n
对一切 n? N 成立 ；
( ii )
nx
中有无穷多项，满足
x n
,
证 下面只给出 ( 1 ) 的证明,( 2 ) 的证明类似。
必要性,由于
是 {
x n
} 的最大极限点，因此 对于任意给定的
0
，
在区间 [
+?,
)
上至多只有 {
x n
} 中的有限项（请读者考虑 为什么）。
设这有限项中最大的下标为
0n
。显然，只要取 N =
0n
，当 n? N 时，必有
x n
+?,
这就证明了 ( i) 。
由于
是 {
x n
} 的极限点，因此 {
x n
} 中有无穷多项属于
的? 邻域，
因此这无穷多个项满足
x n
–?,
这就证明了 ( ii ) 。
充分性,由 ( i ),对任意给定的 0,存在正整数 N,使得当 n? N
时,成立
x n
+?,于是
n
l i m x n
+? 。由? 的任意性 可 知
n
l i m x n
。
由 ( ii ),
nx
中有无穷多项，满足
x n
–?,于是
n
l i m x n
。 由
的任意性 又可 知
n
l i m x n
。
结合上述两式，就得到
n
l i m x n
=
。
上极限和下极限的运算数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 x
n
= ( - 1)
n
,
ny
= ( - 1)
n +1
，则
nl i m
x n +
nl i m
ny
= 2,而
nl i m
( x
n
+
ny
) = 0,两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
定理 9,2,4 设 {
x n
},{
ny
} 是两数列,则
(1 )
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y；
(2 ) 若
lim
n
nx
存在,则
n
l i m
(
x n
+
ny
) =
n
l i m
x n
+
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n
+
ny
) =
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y
。
( 要求上述诸式的右端不是待定型,即不为 ( )+( ) 等 )
上极限和下极限的运算数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 x
n
= ( - 1)
n
,
ny
= ( - 1)
n +1
，则
nl i m
x n +
nl i m
ny
= 2,而
nl i m
( x
n
+
ny
) = 0,两者并不相等。
但我们 还是可以得到下述关系。
证 下面只给出 ( 1) 与 ( 2) 中第一式的证明，并假定式中出现的上极限是有限数（上极限是 或 的情况留给读者自证）。
记
n
l i m
x n
= H
1
，
n
l i m n
y
= H
2
。
由定理 9,2,3,对任意给定的
0,存在正整数 N,对一切 n? N
成立
x n
H 1 +?,
ny
H 2 +?,
即
x n
+
ny
H 1 + H 2 + 2?,
所以
n
l i m
(
x n
+
ny
)? H
1
+ H
2
+ 2
,
由
的任意性，即得到
n
l i m
(
x n
+
ny
)? H
1
+ H
2
=
n
l i m
x n
+
n
l i m n
y
。
这就是 ( 1) 的第一式。
若
lim
n
nx
存在，则由 ( 1 ) 的第一式,
n
l i m ny
=
n
l i m
[(
x n
+
ny
) -
nx
]?
n
l i m
(
x n
+
ny
) +
n
l i m
( -
nx
),
此式 即为
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
。
将上式结合
n
l i m
(
x n
+
ny
)?
n
l i m x n
+
n
l i m ny
,
即得到 ( 2 ) 的第一式。
定理 9,2,5 设 {
x n
},{
ny
} 是两数列,
(1 ) 若
x n?
0,
ny
0,则
n
l i m
(
x n ny
)?
n
l i m?nx
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n ny
)?
n
l i m
nx
n
l i m n
y；
(2 ) 若
lim
n
x n
= x, x0,则
n
l i m
(
x n ny
) =
lim
n
nx
n
l i m ny
,
n
l i m
(
x n ny
) =
lim
n
nx
n
l i m n
y
。
( 要求上述诸式的右端不是待定型,即不为
)(0
等 )
证 下面只给出 ( 2) 的第一式的证明，并假定
n
l i m ny
是有限数。
由
lim
n
x n
= x, x0,可知对任意给定的? （ 0 x ），存在 正整数 N 1,对一切 n? N 1 成立
0? x -
x n?
x +?,
记
n
l i m ny
= H 2,由定理 9,2,3,对上述? （ 0 x ），存在正整数 N 2,对一切 n? N 2 成立
ny
H 2 +?,
取 N = m a x { N
1
,N
2
},则当 n? N 时，成立
x n
ny
m a x {( x –? )( H 2 +? ),( x +? )( H 2 +? )},
于是有
n
l i m
(
x n
ny
)? m a x { ( x –
)( H
2
+
),( x +
)( H
2
+
) },
由
的任意性，即得到
n
l i m
(
x n
ny
)?
2Hx?
=
lim
n
nx
n
l i m n
y
。
由于
n
l i m n
y
=
n
l i m
[(
x n
ny
)
n
x
1
]?
n
l i m
(
x n
ny
)
n
l i m
n
x
1
,
即
n
l i m
(
x n
ny
)?
lim
n
nx
n
l i m n
y
,
两式结合即得到 ( 2) 的第一式。
注意在定理 9,2,5 中，若条件改变的话，则给出的关系式也将作相应的改变。例如，在 ( 1 ) 中将条件改为 x
n?
0,
ny?
0,在 ( 2 ) 中将条件改为
limn x n
= x, x? 0,请读者考虑关 系式将如何改变。
因此，在对上极限和下极限进行运算时必须非常小心。
数列的上极限与下极限也可如下定义。
设 {
x n
} 是一个有界数列，令
nb
= sup{
1?nx
,
2?nx
,? }=
nk?
s u p
{
kx
} ；
na
= in f{
1?nx
,
2?nx
,? }=
nk?
i n f
{
kx
} 。
则 {
na
} 是单调增加有上界的数列,{
nb
} 是单调减少有下界的数列，因此数列 {
na
} 与 {
nb
} 都收敛。
记
H * =
lim
n
nb
=
lim
n
nk?
s u p
{
kx
} ；
h * =
lim
n
na
=
lim
n nk?
i n f
{
kx
} 。
当数列 { x
n
} 无上界而有下界时，则对一切 nN,
nb
=,定义
H * = 。
这时数列 {
na
} 单调增加，但也可能没有上界。如果 h * =
limn na
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 无下界而有上界时，则对一切 nN,
na
=,定义
h * = 。
这时数列 {
nb
} 单调减少，但也可能没有下界。如果 H * =
limn nb
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 无上界而有下界时，则对一切 nN,
nb
=,定义
H * = 。
这时数列 {
na
} 单调增加，但也可能没有上界。如果 h * =
limn na
=,
则由
1?na
x
n
1?nb
,
可知
limn x n
= 。
当数列 { x
n
} 既无上界又无下界时，则对一切 nN,
na
=,
nb
=,定义
H * =,h * = 。
所以，对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但 H * 与 h *
总是存在的 ( 有限数或 或 ),且成立
h *? H * 。
当数列 { x
n
} 既无上界又无下界时，则对一切 nN,
na
=,
nb
=,定义
H * =,h * = 。
关于这一定义与定义 9,2,1 的等价性，我们有下述定理,
定理 9.2.6 H * 是 {
x n
} 的最大极限点,h * 是 {
x n
} 的最小极限点。
证 首先证明,{
x n
} 的任意一个极限点
（有限数或 或 ）
满足
h *? ξ? H * 。
设
l i m
knk
x?
，则对一切 k? N
+
，成立
1?kna
kn
x
1?knb
,
由
lim
n
na
= h *,
lim
n
nb
= H * 与
k
l i m knx
= ξ,得到
h *? ξ? H * 。
其次证明，存在 {
x n
} 的子列 {
kn
x
} 与 {
km
x
},使得
k
l i m knx
= H *,
k
l i m kmx
= h * 。
设 {
x n
} 的上极限 H 与下极限 h 都是有限数，取
k?
=
k
1
,k = 1,2,?。
对
1?
= 1,由
1b
=
1
s u p
i
{
ix
},?
1n
：
1b
- 1?
1n
x
1b；
对
2?
=
2
1
，由
1n
b
=
1
su p
ni?
{
ix
},?
2n
1n
：
1n
b
-
2
1?
2n
x
1n
b；
对
1k
=
1
1
k
，由
kn
b
=
kni?
su p
{
ix
},?
1?kn
kn
：
kn
b
-
1
1
k
1?kn
x
kn
b；
令
k
，由数列极限的夹逼性，得到
k
l i m kn
x
=
k
l i m kn
b
=
lim
n
nb
= H * 。
同理可证存在子列 {
km
x
},使得
k
l i m km
x
= h * 。
若 {
x n
} 无上界，即 H * =,则显然存在子列 {
kn
x
} 是正无穷大量，
即
k
l i m knx
= H * = ；若 H * =,前面已经指出
lim
n
x n
= H * = ；若
{
x n
} 无下界，即 h * =,则显然存在子列 {
km
x
} 是负无穷大量，即
k
l i m kmx
= h * = ；若 h * =,前面也已经指出
lim
n
x n
= h * = 。
由定理 9.2.6,即得到
H * = m a x E =
n
l i m x n
,h * = m in E =
n
l i m
x n
。
