§ 4 闭区间上的连续函数有界性定理定理 3.4.1 若函数
)( xf
在闭区间
],[ ba
上连续,则它在
],[ ba
上有界 。
证 用反证法。
若
f x( )
在
],[ ba
上无界，将
],[ ba
等分为两个小区间
2
,
ba
a
与
b
ba
,
2
,则
f x( )
至少在其中之一上无界，把它记为
11,ab；
再将闭区间
11,ab
与等分为两个小区间
2
,
11
1
ba
a
与
1
11
,
2
b
ba
，
同样
f x( )
至少在其中之一上无界，把它记为
[ a 2
,
b 2 ]；
……
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套 {
[,]nnab
},
f x( )
在其中任何一个闭区间
[,]nnab
上都是无界的。
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
[,]nnab
，
并且
=
lim
n
a n
=
lim
n
b n
。
因为
],[ ba
，而
f x( )
在点
连续，所以存在
0
，
0?M
，对于一切
x
),(O?
∩
],[ ba
，成立
()f x M?
。
由于
lim
n
a n
=
lim
n
b n
=
，又可知道对于充分大的 n,
[,]nnab ),(O?
∩
],[ ba
,
于是得到
f x( )
在这些闭区间
[,]nnab
( n 充分大 ) 上有界的结论，从而产生矛盾。
证毕开区间上的连续函数不一定是有界的。
例如 1
()fx x?
在开区间 ( 0,1 ) 上连续，但显然是无界的。
最值定理定理 3.4.2 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它在
],[ ba
上必能取到最大值与最小值,即存在
和
[,]ab
,对于一切
[,]x a b?
成立
( ) ( )f f x ()f?
。
证 集合
R f
= {
( ) | [,]f x x a b?
} 是有界数集，所以必有上确界与下确界，记
i n f fR?
,
s u p
fR?
。
由于对任意给定的
0
，存在
[,]x a b?
，使得
()fx
。于是取
n?
=
1
n
（
n? 1 2 3,,,?
）相应地得到数列 {
x n
},
x n? ],[ ba
,满足
()
nfx
1
n
。
因为 {
x n
} 是有界数列，应用 Bo l zan o - W ei ers t ras s 定理，存在收敛子列
{
x n
k
},
lim
k
x n
k
=
，且
],[ ba
。
考虑不等式
()
kn
fx
+
1
n
k
,k = 1,2,3,…,
令 k →∞,由极限的夹逼性与
f x( )
在点
的连续性，得到
()f
。
这说明
f x( )
在
],[ ba
上取到最小值?,即?
m i n fR?
。
同样可以证明存在
[,]ab
，使得
)(f m a x
fR
。
证毕同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大
（小）值。例如,()f x x? 在 ( 0,1 ) 上 连续而且有界，因而有上、下确界
i n f { ()fx | (0,1 )x? } 0?,
s u p { ()fx | (0,1 )x? } 1?,
但是 f x( ) 在区间 ( 0,1 ) 上取不到 0 与 1 。
零点存在定理定理 3.4.3 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上 连续,且
( ) ( ) 0f a f b
,则一定存在
),( ba
,使
( ) 0f
。
证 不失一般性，设
( ) 0fa?
，
( ) 0fb?
,定义集合 V,
V = {
( ) 0,[,]x f x x a b
} 。
集合 V 有界，非空，所以必有上确界。令
s u p V
,
现证
),( ba
,且
( ) 0f
。
由于
f x( )
连续，
( ) 0fa?
,?
1 0
,
1[,]x a a
：
( ) 0fx?；再由
( ) 0fb?
，
2 0
，
x?
2(,]bb
：
( ) 0fx?
。于是可知
1a
2b
,
即
),( ba
。
取
( 1,2,)nx V n
,
nx
（ n? ∞），因
( ) 0nfx?
，得到
( ) l i m ( ) 0nnf f x
。
若 ( ) 0f,由 f x( ) 在点? 的连续性,0,(,)xO,
( ) 0fx?,
这就与 s u p V 产生矛盾。于是必然有
( ) 0f 。
证毕例 3.4.1 讨论多项式
32( ) 2 3 3 2p x x x x
零点的位置。
解
x - 2 0 1 3
()px
- 20 2 - 2 20
()px
的三个零点（或根）分别落在区间
( 2,0 )?
,
( 0,1 )
与
( 1,3 )
内。事实上，
1
( ) 2( 1 ) ( ) ( 2)
2
p x x x x
，它的三个零点为
11x
，
2x 1
2
，
23?x
。
例 3.4.2 设函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续，且
]),([ baf
],[ ba,则存在 ],[ ba,?)(?f? （ 这样的? 称为 f x( ) 的一个 不动点 。）
证 设
( ) ( )g x f x x
，则
()gx
在
],[ ba
上连续，由
( [,] )f a b
],[ ba,可知 ( ) 0ga?,( ) 0gb? 。
若
( ) 0ga?
，则有
a；若
( ) 0gb?
，则有
b；若
( ) 0ga?
，
( ) 0gb?
，
则由定理 3.4.3,必存在
),( ba
，使得
( ) 0g
,即
()f
。
本例中闭区间
],[ ba
不能改为开区间。例如
()
2
x
fx?
在开区间
( 0,1 )
上连续，
且
( (0,1 ) ) (0,1 )f?
,但
()fx
在开区间
( 0,1 )
中没有不动点。
中间值定理定理 3.4.4 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它一定能取到最大值
m a xM? { ( ) | [,] }f x x a b?
和最小值
m i nm? { ( ) | [,] }f x x a b?
之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在
, ],[ ba
，使得
()fm
,
()fM
。
不妨设
，对任何一个中间值
,C m C M
，考察辅助函数
( ) ( )x f x C
。
因为
()x?
在闭区间
[,]
上连续，
( ) ( ) 0fC
，
( ) ( ) 0fC
,由零点存在定理，必有
(,)
，使得
( ) 0
,即
()fC
。
证毕推论 若函数 f x( ) 在闭区间 ],[ ba 上 连续,m 是最小值,M 是最大值,则 f x( ) 的值域是闭区间
[,]fR m M? 。
中间值定理定理 3.4.4 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它一定能取到最大值
m a xM? { ( ) | [,] }f x x a b?
和最小值
m i nm? { ( ) | [,] }f x x a b?
之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在
, ],[ ba
，使得
()fm
,
()fM
。
不妨设
，对任何一个中间值
,C m C M
，考察辅助函数
( ) ( )x f x C
。
因为
()x?
在闭区间
[,]
上连续，
( ) ( ) 0fC
，
( ) ( ) 0fC
,由零点存在定理，必有
(,)
，使得
( ) 0
,即
()fC
。
证毕一致连续概念设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间
],[ ba
,开区间
),( ba
、
(,)a
、
(,)b
、
(,)
,半开半闭区间
ba,
,
ba,
,
b,
、
,a 等等。
定义 3.4.1 设函数
f x( )
在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0,存在 0,只要?x,xX 满足 | xx |,就成立 | ()fx?
()fx
|,则称函数
f x( )
在区间 X 上 一致连续 。
在上面定义中，若固定
0xxX
,就得到 f x( ) 在点 x
0
的连续性。
由于 x
0
可以是 X 中的任意一点，于是得到
f x( ) 在区间 X 上一致连续? f x( ) 在区间 X 上连续。
至于反向的命题，就不一定成立。
一致连续概念设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间
],[ ba
,开区间
),( ba
、
(,)a
、
(,)b
、
(,)
,半开半闭区间
ba,
,
ba,
,
b,
、
,a 等等。
定义 3.4.1 设函数
f x( )
在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0,存在 0,只要?x,xX 满足 | xx |,就成立 | ()fx?
()fx
|,则称函数
f x( )
在区间 X 上 一致连续 。
例 3.4.3
( ) s i nf x x?
在
),(
上一致连续。
证 由不等式
| s i n x? s i n x |
2 c o s s in
22
x x x x
||xx
,
对于任意给定的 0,取,则对于任意两点?x,x
),(
，只要
|| xx?
，就一定成立
| s i n x? s i n x |
||xx
。
由定义,s i n x 在
),(
上是一致连续的。
例 3,4,4
()fx? 1
x
在
( 0,1 )
上 连续，但非一致连续。
证 对 于 任 意 给 定 的
,0 1
,我 们 通 过 精 确 地 解 出
*? (
x 0
,
)
0
i n f
x
(
x 0
,
),来说明不存在适用于整个区间
( 0,1 )
的
( ) 0
。
对任意
0,( 0,1 )xx?
，关系式
0
11
xx
即为
1
0
x
1
x
1
0
x
,
它等价于
0
0
1
x
x
x?
0
0
1
x
x
,
即
2
0
0
1
x
x
x
x 0
2
0
0
1
x
x
,
由此得到
0(,) m i nx
0
2
0
0
2
0
1
,
1 x
x
x
x = 20
01
x
x
。
显然，这就是 *?
0(,)x?
。
但是当
0 0x?
时，有 *?
0(,) 0x
，所以不存在对区间 ( 0,1 ) 中一切点都适用的? ( ) 0,因此 ()fx? 1
x
在 ( 0,1 ) 上非一致连续。
对于大部分函数，要精确解出 *? ( x
0
,? ) 往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致 连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理 3.4.5 函数 f x( ) 在区间 X 上定义,则 f x( ) 在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 {?x
n
}(x X
n
) 和 {x
n
}(x X
n
),只要满足
limn
(?x
n
-x
n
) 0?,就成立
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
证 必要性,
函数
f x( )
在 X 上的一致连续性可表述为,? 0,? 0,
x,(xX |?x -x | ),| ()fx ()fx | 。
对上述的 0,由
limn
(
x n
-
x n
) 0?,可知 N?,nN,
|?x
n
-x
n
|,从而得到
|
() nfx () nfx
|,
这就证明了
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
对于大部分函数，要精确解出 *? ( x
0
,? ) 往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致 连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理 3.4.5 函数 f x( ) 在区间 X 上定义,则 f x( ) 在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 {?x
n
}(x X
n
) 和 {x
n
}(x X
n
),只要满足
limn
(?x
n
-x
n
) 0?,就成立
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
充分性：采用反证法。
函数
f x( )
在 X 上的非一致连续性可表述为,?
0 0
,? 0,
x,xX (|?x -x | ),|
() nfx () nfx
|
0
。
取
n?
= 1
n
（
n? 1 2 3,,,?
），于是存在
x n
,
nxX
,满足
|
x n
-
x n
|
1
n
,|
() nfx () nfx
|
0
。
显然，
lim
n
(
x n
-
x n
) 0?,但
{ ( ) ( ) }nnf x f x
不可能收敛于 0,这就产生矛盾。
证毕对例 3.4.4,只要取
x n
= 1
2 n
，
x n
= 1
n
,就有
lim
n
(
x n
-
x n
) 0?,但
lim
n
(
() nfx () nfx
) =
l i m ( 2 )
n
nn
,
由定理 3.4.5 可知
1
()fx
x
在
( 0,1 )
上 非一致连续。
但是若将区间
( 0,1 )
换成
[,1 )?
，
0
，则
1
()fx
x
就在
[,1 )?
上一致连续。这是因为
xx
11 ||xx
xx
2
||xx
,
对于任意给定的 0,只要取? =
2 0
即可。
例 3.4.5
2()f x x?
在
0,
上非一致连续，但是在
[ 0,]A
上 一致连续
( A 为任意有限正数 )
证 取
nx
n? 1
，
nx
n
（
n? 1 2 3,,,?
），于是
lim
n
(
x n
-
x n
)
l i m
n
(
n? 1
-
n
)
0?
,
但是
lim
n
(
() nfx () nfx
) 1?,由定理 3.4.5 可知
()fx
在
0,
上非一致连续。
当区间限制在
[ 0,]A
时，有
|?x 2 -x 2 | = |(?x +x )(?x -x )| 2 A? |?x -x |,
对于任意给定的
0
，取
0
2 A
，对任意?x,
[0,]xA
，只要
|?x -x |,就成立 |?x 2 -x 2 |,即
2()f x x?
在
[ 0,]A
上一致连续。
通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如 ),[a 上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如 ),[a 上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
定理 3.4.6 （ Can t o r 定理 ） 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,
则它在
],[ ba
上一致连续 。
证 采用反证法。
假设
f x( )
在
],[ ba
上非一致连续，可知存在
0 0
及两列点列
{}nx?
和
{
x n
},
x n
,
nx ],[ ba
，满足
|
x n
-
x n
|
1
n
,且 |
() nfx () nfx
|
0
（
n? 1 2 3,,,?
）。
因为 {
x n
} 有界，由 Bolzano - Weierstrass 定理，存在收敛子列 {
x n
k
},
lim
k
kn
x
，
],[ ba
。
在点列 {
x n
} 中取子列 {
x n
k
},其下标与 {
x n
k
} 下标相同，则由
|
x n
k
-
x n
k
|
1
k
n
,k = 1,2,3,…，又得到
lim
k
kn
x lim
k
[
kn
x (
kn
x )
kn
x ] l i m
k
knx
。
由于函数
f x( )
在点
连续，因而
lim
k
()
kn
fx lim
k
()
kn
fx ()f
,
所以
lim
k
(
()
kn
fx ()
kn
fx
)
0?
,
这与 |
() nfx () nfx
|
0
产生矛盾，从而得到
f x( )
在
],[ ba
上的一致连续性结论。
证毕有限开区间
),( ba
上的连续函数
f x( )
不一定一致连续。那么要具备怎样的条件，才能保证它在
),( ba
上一致连续呢？
定理 3.4.7 函数
f x( )
在有限开区间
),( ba
连续,则
f x( )
在
),( ba
上一致连续的充分必要条件是,
()fa?
与
()fb?
存在 。
证 充分性,
设
()f a A
，
()f b B
，定义函数 ~
( )f x
,
~ ( )f x =
,,
,),(
,,
bxB
bxaxf
axA
则 ~
( )f x
是闭区间
],[ ba
上的连续函数。
由 Can t o r 定理,~
( )f x
在
],[ ba
上一致连续。显然，对于一致连续的函数，当定义域缩小时，其一致连续性仍然保持。于是 ~
( )f x
在开区间
),( ba
上也是一致连续的，这就说明
f x( )
在
),( ba
上一致连续。
必要性,设函数
f x( )
在开区间
),( ba
上一致连续，则?
0
，
0,x,x?
),( ba
(|
xx
|
),
|
()fx? ()fx
|
。
任意选取数列 {
x n
},
x n? ),( ba
且
lim
n
nxa?
。因 {
x n
} 是基本数列，
对于上述
0
，
N?
，
,n m N
,|
nx?
x m
|
，从而
|
() nfx? () mfx
|
。
这说明了函数值数列 {
() nfx
} 也是基本数列，因而必定收敛。
由定理 3.1.5',可知
()fa
l i m ( )
xa
fx
存在。
同理可以证明
()fb
l im ( )
xb
fx
存在。
证毕注意：定理 3.4.7 不适用于无限开区间的情况。例如,( ) s i nf x x? 在
(,) 上是一致连续的，但 ()f 与 ()f 都不存在。
必要性,设函数
f x( )
在开区间
),( ba
上一致连续，则?
0
，
0,x,x?
),( ba
(|
xx
|
),
|
()fx? ()fx
|
。
任意选取数列 {
x n
},
x n? ),( ba
且
lim
n
nxa?
。因 {
x n
} 是基本数列，
对于上述
0
，
N?
，
,n m N
,|
nx?
x m
|
，从而
|
() nfx? () mfx
|
。
这说明了函数值数列 {
() nfx
} 也是基本数列，因而必定收敛。
由定理 3.1.5',可知
()fa
l i m ( )
xa
fx
存在。
同理可以证明
()fb
l im ( )
xb
fx
存在。
证毕注
1,本节中给出的 5 个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定理、中间值定理,Ca n t o r 定理（即一致连续定理），是闭区间上连续函数最重要的分析性质，必须牢记并熟练掌握。
2,在证明这 5 个定理时,分别采用了确界存在定理、闭区间套定理,Bo l za n o - W ei ers t ras s 定理和 Ca u ch y 收敛原理。 事实上，由于实数系的 5 个基本定理是等价的，所以在理论上，可以采用从实数系的连续性到实数系的完备性中的任何一个定理，来证明上述的闭区间上连续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了。
)( xf
在闭区间
],[ ba
上连续,则它在
],[ ba
上有界 。
证 用反证法。
若
f x( )
在
],[ ba
上无界，将
],[ ba
等分为两个小区间
2
,
ba
a
与
b
ba
,
2
,则
f x( )
至少在其中之一上无界，把它记为
11,ab；
再将闭区间
11,ab
与等分为两个小区间
2
,
11
1
ba
a
与
1
11
,
2
b
ba
，
同样
f x( )
至少在其中之一上无界，把它记为
[ a 2
,
b 2 ]；
……
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套 {
[,]nnab
},
f x( )
在其中任何一个闭区间
[,]nnab
上都是无界的。
根据闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
[,]nnab
，
并且
=
lim
n
a n
=
lim
n
b n
。
因为
],[ ba
，而
f x( )
在点
连续，所以存在
0
，
0?M
，对于一切
x
),(O?
∩
],[ ba
，成立
()f x M?
。
由于
lim
n
a n
=
lim
n
b n
=
，又可知道对于充分大的 n,
[,]nnab ),(O?
∩
],[ ba
,
于是得到
f x( )
在这些闭区间
[,]nnab
( n 充分大 ) 上有界的结论，从而产生矛盾。
证毕开区间上的连续函数不一定是有界的。
例如 1
()fx x?
在开区间 ( 0,1 ) 上连续，但显然是无界的。
最值定理定理 3.4.2 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它在
],[ ba
上必能取到最大值与最小值,即存在
和
[,]ab
,对于一切
[,]x a b?
成立
( ) ( )f f x ()f?
。
证 集合
R f
= {
( ) | [,]f x x a b?
} 是有界数集，所以必有上确界与下确界，记
i n f fR?
,
s u p
fR?
。
由于对任意给定的
0
，存在
[,]x a b?
，使得
()fx
。于是取
n?
=
1
n
（
n? 1 2 3,,,?
）相应地得到数列 {
x n
},
x n? ],[ ba
,满足
()
nfx
1
n
。
因为 {
x n
} 是有界数列，应用 Bo l zan o - W ei ers t ras s 定理，存在收敛子列
{
x n
k
},
lim
k
x n
k
=
，且
],[ ba
。
考虑不等式
()
kn
fx
+
1
n
k
,k = 1,2,3,…,
令 k →∞,由极限的夹逼性与
f x( )
在点
的连续性，得到
()f
。
这说明
f x( )
在
],[ ba
上取到最小值?,即?
m i n fR?
。
同样可以证明存在
[,]ab
，使得
)(f m a x
fR
。
证毕同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大
（小）值。例如,()f x x? 在 ( 0,1 ) 上 连续而且有界，因而有上、下确界
i n f { ()fx | (0,1 )x? } 0?,
s u p { ()fx | (0,1 )x? } 1?,
但是 f x( ) 在区间 ( 0,1 ) 上取不到 0 与 1 。
零点存在定理定理 3.4.3 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上 连续,且
( ) ( ) 0f a f b
,则一定存在
),( ba
,使
( ) 0f
。
证 不失一般性，设
( ) 0fa?
，
( ) 0fb?
,定义集合 V,
V = {
( ) 0,[,]x f x x a b
} 。
集合 V 有界，非空，所以必有上确界。令
s u p V
,
现证
),( ba
,且
( ) 0f
。
由于
f x( )
连续，
( ) 0fa?
,?
1 0
,
1[,]x a a
：
( ) 0fx?；再由
( ) 0fb?
，
2 0
，
x?
2(,]bb
：
( ) 0fx?
。于是可知
1a
2b
,
即
),( ba
。
取
( 1,2,)nx V n
,
nx
（ n? ∞），因
( ) 0nfx?
，得到
( ) l i m ( ) 0nnf f x
。
若 ( ) 0f,由 f x( ) 在点? 的连续性,0,(,)xO,
( ) 0fx?,
这就与 s u p V 产生矛盾。于是必然有
( ) 0f 。
证毕例 3.4.1 讨论多项式
32( ) 2 3 3 2p x x x x
零点的位置。
解
x - 2 0 1 3
()px
- 20 2 - 2 20
()px
的三个零点（或根）分别落在区间
( 2,0 )?
,
( 0,1 )
与
( 1,3 )
内。事实上，
1
( ) 2( 1 ) ( ) ( 2)
2
p x x x x
，它的三个零点为
11x
，
2x 1
2
，
23?x
。
例 3.4.2 设函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续，且
]),([ baf
],[ ba,则存在 ],[ ba,?)(?f? （ 这样的? 称为 f x( ) 的一个 不动点 。）
证 设
( ) ( )g x f x x
，则
()gx
在
],[ ba
上连续，由
( [,] )f a b
],[ ba,可知 ( ) 0ga?,( ) 0gb? 。
若
( ) 0ga?
，则有
a；若
( ) 0gb?
，则有
b；若
( ) 0ga?
，
( ) 0gb?
，
则由定理 3.4.3,必存在
),( ba
，使得
( ) 0g
,即
()f
。
本例中闭区间
],[ ba
不能改为开区间。例如
()
2
x
fx?
在开区间
( 0,1 )
上连续，
且
( (0,1 ) ) (0,1 )f?
,但
()fx
在开区间
( 0,1 )
中没有不动点。
中间值定理定理 3.4.4 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它一定能取到最大值
m a xM? { ( ) | [,] }f x x a b?
和最小值
m i nm? { ( ) | [,] }f x x a b?
之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在
, ],[ ba
，使得
()fm
,
()fM
。
不妨设
，对任何一个中间值
,C m C M
，考察辅助函数
( ) ( )x f x C
。
因为
()x?
在闭区间
[,]
上连续，
( ) ( ) 0fC
，
( ) ( ) 0fC
,由零点存在定理，必有
(,)
，使得
( ) 0
,即
()fC
。
证毕推论 若函数 f x( ) 在闭区间 ],[ ba 上 连续,m 是最小值,M 是最大值,则 f x( ) 的值域是闭区间
[,]fR m M? 。
中间值定理定理 3.4.4 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,则它一定能取到最大值
m a xM? { ( ) | [,] }f x x a b?
和最小值
m i nm? { ( ) | [,] }f x x a b?
之间的任何一个值 。
证 由最值定理，存在
, ],[ ba
，使得
()fm
,
()fM
。
不妨设
，对任何一个中间值
,C m C M
，考察辅助函数
( ) ( )x f x C
。
因为
()x?
在闭区间
[,]
上连续，
( ) ( ) 0fC
，
( ) ( ) 0fC
,由零点存在定理，必有
(,)
，使得
( ) 0
,即
()fC
。
证毕一致连续概念设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间
],[ ba
,开区间
),( ba
、
(,)a
、
(,)b
、
(,)
,半开半闭区间
ba,
,
ba,
,
b,
、
,a 等等。
定义 3.4.1 设函数
f x( )
在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0,存在 0,只要?x,xX 满足 | xx |,就成立 | ()fx?
()fx
|,则称函数
f x( )
在区间 X 上 一致连续 。
在上面定义中，若固定
0xxX
,就得到 f x( ) 在点 x
0
的连续性。
由于 x
0
可以是 X 中的任意一点，于是得到
f x( ) 在区间 X 上一致连续? f x( ) 在区间 X 上连续。
至于反向的命题，就不一定成立。
一致连续概念设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间
],[ ba
,开区间
),( ba
、
(,)a
、
(,)b
、
(,)
,半开半闭区间
ba,
,
ba,
,
b,
、
,a 等等。
定义 3.4.1 设函数
f x( )
在区间 X 上定义,若对于任意给定的
0,存在 0,只要?x,xX 满足 | xx |,就成立 | ()fx?
()fx
|,则称函数
f x( )
在区间 X 上 一致连续 。
例 3.4.3
( ) s i nf x x?
在
),(
上一致连续。
证 由不等式
| s i n x? s i n x |
2 c o s s in
22
x x x x
||xx
,
对于任意给定的 0,取,则对于任意两点?x,x
),(
，只要
|| xx?
，就一定成立
| s i n x? s i n x |
||xx
。
由定义,s i n x 在
),(
上是一致连续的。
例 3,4,4
()fx? 1
x
在
( 0,1 )
上 连续，但非一致连续。
证 对 于 任 意 给 定 的
,0 1
,我 们 通 过 精 确 地 解 出
*? (
x 0
,
)
0
i n f
x
(
x 0
,
),来说明不存在适用于整个区间
( 0,1 )
的
( ) 0
。
对任意
0,( 0,1 )xx?
，关系式
0
11
xx
即为
1
0
x
1
x
1
0
x
,
它等价于
0
0
1
x
x
x?
0
0
1
x
x
,
即
2
0
0
1
x
x
x
x 0
2
0
0
1
x
x
,
由此得到
0(,) m i nx
0
2
0
0
2
0
1
,
1 x
x
x
x = 20
01
x
x
。
显然，这就是 *?
0(,)x?
。
但是当
0 0x?
时，有 *?
0(,) 0x
，所以不存在对区间 ( 0,1 ) 中一切点都适用的? ( ) 0,因此 ()fx? 1
x
在 ( 0,1 ) 上非一致连续。
对于大部分函数，要精确解出 *? ( x
0
,? ) 往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致 连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理 3.4.5 函数 f x( ) 在区间 X 上定义,则 f x( ) 在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 {?x
n
}(x X
n
) 和 {x
n
}(x X
n
),只要满足
limn
(?x
n
-x
n
) 0?,就成立
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
证 必要性,
函数
f x( )
在 X 上的一致连续性可表述为,? 0,? 0,
x,(xX |?x -x | ),| ()fx ()fx | 。
对上述的 0,由
limn
(
x n
-
x n
) 0?,可知 N?,nN,
|?x
n
-x
n
|,从而得到
|
() nfx () nfx
|,
这就证明了
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
对于大部分函数，要精确解出 *? ( x
0
,? ) 往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致 连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。
定理 3.4.5 函数 f x( ) 在区间 X 上定义,则 f x( ) 在 X 上一致连续的充分必要条件是,对任意 {?x
n
}(x X
n
) 和 {x
n
}(x X
n
),只要满足
limn
(?x
n
-x
n
) 0?,就成立
limn
(
() nfx () nfx
) 0? 。
充分性：采用反证法。
函数
f x( )
在 X 上的非一致连续性可表述为,?
0 0
,? 0,
x,xX (|?x -x | ),|
() nfx () nfx
|
0
。
取
n?
= 1
n
（
n? 1 2 3,,,?
），于是存在
x n
,
nxX
,满足
|
x n
-
x n
|
1
n
,|
() nfx () nfx
|
0
。
显然，
lim
n
(
x n
-
x n
) 0?,但
{ ( ) ( ) }nnf x f x
不可能收敛于 0,这就产生矛盾。
证毕对例 3.4.4,只要取
x n
= 1
2 n
，
x n
= 1
n
,就有
lim
n
(
x n
-
x n
) 0?,但
lim
n
(
() nfx () nfx
) =
l i m ( 2 )
n
nn
,
由定理 3.4.5 可知
1
()fx
x
在
( 0,1 )
上 非一致连续。
但是若将区间
( 0,1 )
换成
[,1 )?
，
0
，则
1
()fx
x
就在
[,1 )?
上一致连续。这是因为
xx
11 ||xx
xx
2
||xx
,
对于任意给定的 0,只要取? =
2 0
即可。
例 3.4.5
2()f x x?
在
0,
上非一致连续，但是在
[ 0,]A
上 一致连续
( A 为任意有限正数 )
证 取
nx
n? 1
，
nx
n
（
n? 1 2 3,,,?
），于是
lim
n
(
x n
-
x n
)
l i m
n
(
n? 1
-
n
)
0?
,
但是
lim
n
(
() nfx () nfx
) 1?,由定理 3.4.5 可知
()fx
在
0,
上非一致连续。
当区间限制在
[ 0,]A
时，有
|?x 2 -x 2 | = |(?x +x )(?x -x )| 2 A? |?x -x |,
对于任意给定的
0
，取
0
2 A
，对任意?x,
[0,]xA
，只要
|?x -x |,就成立 |?x 2 -x 2 |,即
2()f x x?
在
[ 0,]A
上一致连续。
通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如 ),[a 上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如 ),[a 上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有下面的著名定理,
定理 3.4.6 （ Can t o r 定理 ） 若函数
f x( )
在闭区间
],[ ba
上连续,
则它在
],[ ba
上一致连续 。
证 采用反证法。
假设
f x( )
在
],[ ba
上非一致连续，可知存在
0 0
及两列点列
{}nx?
和
{
x n
},
x n
,
nx ],[ ba
，满足
|
x n
-
x n
|
1
n
,且 |
() nfx () nfx
|
0
（
n? 1 2 3,,,?
）。
因为 {
x n
} 有界，由 Bolzano - Weierstrass 定理，存在收敛子列 {
x n
k
},
lim
k
kn
x
，
],[ ba
。
在点列 {
x n
} 中取子列 {
x n
k
},其下标与 {
x n
k
} 下标相同，则由
|
x n
k
-
x n
k
|
1
k
n
,k = 1,2,3,…，又得到
lim
k
kn
x lim
k
[
kn
x (
kn
x )
kn
x ] l i m
k
knx
。
由于函数
f x( )
在点
连续，因而
lim
k
()
kn
fx lim
k
()
kn
fx ()f
,
所以
lim
k
(
()
kn
fx ()
kn
fx
)
0?
,
这与 |
() nfx () nfx
|
0
产生矛盾，从而得到
f x( )
在
],[ ba
上的一致连续性结论。
证毕有限开区间
),( ba
上的连续函数
f x( )
不一定一致连续。那么要具备怎样的条件，才能保证它在
),( ba
上一致连续呢？
定理 3.4.7 函数
f x( )
在有限开区间
),( ba
连续,则
f x( )
在
),( ba
上一致连续的充分必要条件是,
()fa?
与
()fb?
存在 。
证 充分性,
设
()f a A
，
()f b B
，定义函数 ~
( )f x
,
~ ( )f x =
,,
,),(
,,
bxB
bxaxf
axA
则 ~
( )f x
是闭区间
],[ ba
上的连续函数。
由 Can t o r 定理,~
( )f x
在
],[ ba
上一致连续。显然，对于一致连续的函数，当定义域缩小时，其一致连续性仍然保持。于是 ~
( )f x
在开区间
),( ba
上也是一致连续的，这就说明
f x( )
在
),( ba
上一致连续。
必要性,设函数
f x( )
在开区间
),( ba
上一致连续，则?
0
，
0,x,x?
),( ba
(|
xx
|
),
|
()fx? ()fx
|
。
任意选取数列 {
x n
},
x n? ),( ba
且
lim
n
nxa?
。因 {
x n
} 是基本数列，
对于上述
0
，
N?
，
,n m N
,|
nx?
x m
|
，从而
|
() nfx? () mfx
|
。
这说明了函数值数列 {
() nfx
} 也是基本数列，因而必定收敛。
由定理 3.1.5',可知
()fa
l i m ( )
xa
fx
存在。
同理可以证明
()fb
l im ( )
xb
fx
存在。
证毕注意：定理 3.4.7 不适用于无限开区间的情况。例如,( ) s i nf x x? 在
(,) 上是一致连续的，但 ()f 与 ()f 都不存在。
必要性,设函数
f x( )
在开区间
),( ba
上一致连续，则?
0
，
0,x,x?
),( ba
(|
xx
|
),
|
()fx? ()fx
|
。
任意选取数列 {
x n
},
x n? ),( ba
且
lim
n
nxa?
。因 {
x n
} 是基本数列，
对于上述
0
，
N?
，
,n m N
,|
nx?
x m
|
，从而
|
() nfx? () mfx
|
。
这说明了函数值数列 {
() nfx
} 也是基本数列，因而必定收敛。
由定理 3.1.5',可知
()fa
l i m ( )
xa
fx
存在。
同理可以证明
()fb
l im ( )
xb
fx
存在。
证毕注
1,本节中给出的 5 个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定理、中间值定理,Ca n t o r 定理（即一致连续定理），是闭区间上连续函数最重要的分析性质，必须牢记并熟练掌握。
2,在证明这 5 个定理时,分别采用了确界存在定理、闭区间套定理,Bo l za n o - W ei ers t ras s 定理和 Ca u ch y 收敛原理。 事实上，由于实数系的 5 个基本定理是等价的，所以在理论上，可以采用从实数系的连续性到实数系的完备性中的任何一个定理，来证明上述的闭区间上连续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了。
