单调有界数列收敛定理定理 2.4.1 单调有界数列必定收敛 。
证 不妨设数列 { x
n
} 单调增加且有上界，根据确界存在定理，由
{ x
n
} 构成的数集必有上确界?,? 满足,
( 1 ) Nn,
nx；
( 2 ) 0,
x n 0
:
x n 0
。 取
0Nn?
,n N,
nn xx 0
,
因而
nx
，于是得到
limn x n
=? 。
证毕
§ 4 收敛准则注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。定理 2.4.1 的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的极限。
例 2.4.1 设
01?x
,
x n? 1
=
1
1
x
x
n
n
,
n? 1 2 3,,,?
。证明数列 {
x n
}
收敛，并求它的极限。
解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当 n? 2 时,
21 nx
。
然后由
x n? 1
=
1
1
x
x
n
n
(
n? 1 2 3,,,?
) 可得
1nnxx
=
x x
x x
n n
n n
1
1
1 1( )( )
。
这说明对一切 n? 2,
1nnxx
具有相同符号，从而
{}nx
是单调数列。由定理 2.4.1,{
x n
} 收敛。
设
limnnx
a,在等式 x
n? 1
=
1
1
x
x
n
n
两边同时求极限，得到方程
a =
1 1a a
,
解得方程的根为 a = 1 5
2
。由 1?
nx
，舍去负值，即有
limn x n
= 1 5
2
。
例 2.4.2 设
10 1 x
,
x n? 1
=
x xn n( )1?
,n? 1 2 3,,,? 。证明 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 Nn,
10 nx
。
由
x n? 1
=
x xn n( )1?
(
,2,1?n
),可得
x n? 1
-
x n
=
02 nx
,
即 {
x n
} 单调减少有下界，由定理 2.4.1,
{}nx
收敛。
例 2.4.2 设
10 1 x
,
x n? 1
=
x xn n( )1?
,n? 1 2 3,,,? 。证明 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 Nn,
10 nx
。
由
x n? 1
=
x xn n( )1?
(
,2,1?n
),可得
x n? 1
-
x n
=
02 nx
,
即 {
x n
} 单调减少有下界，由定理 2.4.1,
{}nx
收敛。
设 lim
n
nx a,在等式 x n? 1 = x xn n( )1? 两边同时求极限，得到方程
a a a( )1,解得 a? 0 。于是得到,
limn 0?nx 。
应用 St o l z 定理,
lim
n
( )nx n
=
lim
n
n
x
n
1
=
lim
n
1
1 1
1
x x
n n?
=
lim
n
x x
x x
n n
n n
1
1
=
lim
n
x x
x
n n
n
2
2
1
1
( )?
。
换言之，不 管
10 1 x
如何选取，当 n 充分大时，无穷小量
{}nx
的变化规律与无穷小量
n
1
愈来愈趋于一致，在许多场合，
{}nx
可以用
n
1
来代替。这两个无穷小量称为是 等价 的。
例 2.4.3 设
x1
= 2,
x n? 1
=
3 2? x n
,
,3,2,1?n
。证明数列 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 首先有
30 1 x
。设
30 kx
，则
10 kx
=
323 kx
，由数学归纳法，可知对一切 n,成立
30 nx
。
由于
x n? 1
-
x n
=
3 2? x n
-
x n
=
0
23
)1)(3(
nn
nn
xx
xx
，数列 {
x n
} 单调增加且有上界，由定理 2.4.1 可知 {
x n
} 收敛。
例 2.4.3 设
x1
= 2,
x n? 1
=
3 2? x n
,
,3,2,1?n
。证明数列 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 首先有
30 1 x
。设
30 kx
，则
10 kx
=
323 kx
，由数学归纳法，可知对一切 n,成立
30 nx
。
由于
x n? 1
-
x n
=
3 2? x n
-
x n
=
0
23
)1)(3(
nn
nn
xx
xx
，数列 {
x n
} 单调增加且有上界，由定理 2.4.1 可知 {
x n
} 收敛。
设 lim
nnx
a,对 x n? 1 = 3 2? x n 两边求极限，得到 a = 3 2? a,解此方程，得到 3?a,即
limn 3?nx 。
例 2.4.4,Fibonacc i 数列” 与兔群增长率：
设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。
解设第一季度只有 1 对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和
1 1 0 0 1
2 0 1 0 1
3 1 0 1 2
4 1 1 1 3
5 2 1 2 5
6 3 2 3 8
7 5 3 5 13
设 a
n
是第 n 季度兔对总数，则
a 1 =1,a 2 =1,a 3 =2,a 4 =3,a 5 =5,?
数列 { a
n
} 称为 F i bona c ci 数列 。 到第 n? 1 季度，能产小兔的兔对数为
a n? 1,所以第 n? 1 季度兔对的总数应等于第 n 季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n? 1
，于是
{ a
n
} 具有性质,
a n? 1 = a n + a n? 1,n? 2 3 4,,,? 。
令 b
n
= a
a
n
n
1
，则 1?
nb
表示了兔群在第 n? 1 季度的增长率。由
bn = a
a
n
n
1
= a a
a
n n
n
1 = 1 1a
a
n
n
=
1 1
1
b n
,
可知当 b
n
2
15 时,b n? 1
2
15 ；当 bn
2
15 时,b n? 1
2
15 。
设 a
n
是第 n 季度兔对总数，则
a 1 =1,a 2 =1,a 3 =2,a 4 =3,a 5 =5,?
数列 { a
n
} 称为 F i bona c ci 数列 。 到第 n? 1 季度，能产小兔的兔对数为
a n? 1,所以第 n? 1 季度兔对的总数应等于第 n 季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n? 1
，于是
{ a
n
} 具有性质,
a n? 1 = a n + a n? 1,n? 2 3 4,,,? 。
{
bn
} 并不是单调数列。但是有关系
b k2 1
2
15
,0
,
b k2?
,
2
15
，
k? 1 2 3,,,?
,
b k2 2 b k2
=
1
1
1
1
2
b
k
-
b k2
=
0
1
2
15
2
15
2
22
k
kk
b
bb
,
b k2 1?
-
b k2 1?
=
1
1
1
1
2 1
b
k
-
b k2 1?
=
0
1
2
15
2
15
12
1212
k
kk
b
bb
。
所以 { b k2 } 是单调减少的有下界的数列,{ b k2 1? } 是单调增加的有上界的数列，因而都是收敛数列。
{
bn
} 并不是单调数列。但是有关系
b k2 1
2
15
,0
,
b k2?
,
2
15
，
k? 1 2 3,,,?
,
b k2 2 b k2
=
1
1
1
1
2
b
k
-
b k2
=
0
1
2
15
2
15
2
22
k
kk
b
bb
,
b k2 1?
-
b k2 1?
=
1
1
1
1
2 1
b
k
-
b k2 1?
=
0
1
2
15
2
15
12
1212
k
kk
b
bb
。
由
lim
k
b k2 2?
=
lim
k
1 2
1
2
2
b
b
k
k
得到
a
a
a
1 2
1；
由
lim
k
b k2 1?
=
lim
k
1 2
1
2 1
2 1
b
b
k
k
得到
b
b
b
1 2
1
。
这两个方程有相同的解 a = b = 15
2
,舍去负根，于是得出结论：在不考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
2
15? ≈ 0,6 1 8 。
设
klim?kb 2
a,
klim bb k 12
，则有 5 12 a + ∞, b0 5 12? 。
和 e
设单位圆内接正 n 边形的半周长为 L
n
，则
L n nn? sin
o180 。数列 {}
nL
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率? 。现在来严格证明 {}
nL
的极限存在。
例 2.4.5 数列
n
n
o180
s i n
收敛。
证 令
t
n n
180
1
o
( )
，则当 n? 3 时,nt? 45 o 。
ntt a n
ttn
ttn
t a n)1t a n (1
t a n)1t a n ( ttn t a n)1t a n ( tn t a n
,
于是
s i n ( ) s i n c o s c o s s i nn t nt t nt t1
nt
t
tnt
t a n
t a n
1c o ss in?
n
n
nt
1
si n
,
和 e
设单位圆内接正 n 边形的半周长为 L
n
，则
L n nn? sin
o180 。数列 {}
nL
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率? 。现在来严格证明 {}
nL
的极限存在。
所以，当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
( ) s in
o
n
n
L n1
180
1 1
。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
S n
n nn
s in co s
o o180 180
4
,
因此当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
4
180
c os
o
n
4
60
8
c o s o
。
所以，当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
( ) s in
o
n
n
L n1
180
1 1
。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
S n
n nn
s in co s
o o180 180
4
,
因此当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
4
180
c os
o
n
4
60
8
c o s o
。
综上所述，数列 { L
n
} 单调增加且有上界，因而收敛。将这个极限用希腊字母 π 来记，就有
limn π180s in o?nn 。
注 有了? 的定义，就可以定义角度的弧度制。
由于单位圆的半周长为?,就把半个圆周所对的圆心角（即 o180 ）
的弧度定义为?,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说，
一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。
设单位圆的内接正 n 边形的面积为
S n
，则
S n
的极限就是单位圆的面积。由于
π
1 8 0
c o s
1 8 0
s inlimlim
oo
nn
nS
n
n
n
,
可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。
在弧度制下，上例中的极限式又可以写成
lim
n
s in( )?
n
n
1
。
例 2.4.6 数列
n
n
1
1
单调增加，
1
1
1
n
n
单调减少，两者收敛于同一极限。
证 记
x n
= n
n
1
1
,
y n
= 1
1
1
n
n
，由平均值不等式
a a a nn 1 2?
n
aaa
n
21
(
0?ka
，
k n? 1 2 3,,,,?
),
得到
x n
=
1
1
1
n
n
1
1
1
1
1
n
n
n
n
=
x n? 1
,
1
y
n
=
1
1
1n
n
n
2
2
1
1
)1(
n
n
n
n
n
=
1
1
y
n?
。
即 { x
n
} 单调增加,{ y
n
} 单调减少。又由于
12 x x n? y n 41 y,
可知数列 { x
n
},{ y
n
} 都收敛。因为 1
1nnyx n
,所以它们具有相同的极限。
即 { x
n
} 单调增加,{ y
n
} 单调减少。又由于
12 x x n? y n 41 y,
可知数列 { x
n
},{ y
n
} 都收敛。因为 1
1nnyx n
,所以它们具有相同的极限。
习惯上用字母 e 来表示这一极限，即
limn
n
n
11 =
limn
1
1
1
n
n
e? 。
e = 2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9,.,是一个无理数。以 e 为底的对数称为 自然对数,通常记为
el n ( l o g )xx?
。
作为定理 2.4.1 的进一步应用，讨论数列 {}na,其中
1 1 11 23n p p pa n ( 0?p ) 。
例 2,4,7 当 1?p 时，数列 {}
na
收敛；当 10 p 时，数列 {}
na
是正无穷大量。
作为定理 2.4.1 的进一步应用，讨论数列 {}na,其中
1 1 11 23n p p pa n ( 0?p ) 。
证 数列
{}na
单调增加，它的收敛与否取决于其是否有界。
当
1?p
时，记 1
2 1p?
= r,则 10 r 。由于
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2 1p p p p p
r
,
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
4
1
4
1
4
2
p p p p p p p p r
,
例 2,4,7 当 1?p 时，数列 {}
na
收敛；当 10 p 时，数列 {}
na
是正无穷大量。
一般有，对 k = 1,2,3,
1 ( 1 )
1 1 1 2 1
2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2
k k
k p k p k p k p k p r
,
可知
a n 12 na 121 nrrr? 1
1? r
,
这说明当 1?p 时，数列 { a
n
} 收敛。
当
1?p
时，有
1
2
1
2p
1
3
1
4
1
4
1
4
1
2p p
,
1
5
1
6
1
7
1
8
4
8
1
2p p p p
,
1
2 1
1
2 2
1
2
2
2
1
2
1 1
( ) ( ) ( )
k p k p k p
k
k
,
因而
na 2 1
2
n 。
这说明当 1?p 时,数列｛ a
n2
｝是正无穷大量。由于数列 { a
n
} 单调增加，所以 { a
n
} 是正无穷大量。
特别当 p =1 时，
na n 131211
（?,3,2,1?n ）,{ a n } 是无穷大量。
例 2.4.8 记
bn
=
1
1
2
1
3
1
n nln
，则数列 {
bn
} 收敛。
证 由例 2.4.6,可知
n
n
11 e
1
1
1
n
n
,
由此得到
1
1n
n
n 1ln 1
n
。
例 2.4.8 记
bn
=
1
1
2
1
3
1
n nln
，则数列 {
bn
} 收敛。
证 由例 2.4.6,可知
n
n
11 e
1
1
1
n
n
,
由此得到
1
1n
n
n 1ln 1
n
。
这说明数列｛ b
n
｝单调减少有下界，从而收敛。
{ b
n
} 的极限 0,5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 0?称为 Eu l er 常数 。
于是有
b n? 1 - bn = 1
1n?
- l n ( )n? 1 + ln n = 1
1n?
-
01lnnn
,
bn = 1 1
2
1
3
1
n nln
ln 2
1
+
ln 32
+
ln 43
+
ln n n? 1
- ln n = l n ( )n? 1 - 0ln?n 。
例 2.4.9
lim
n
nnn 2
1
2
1
1
1
2ln 。
解 记
nc?
nnn 2
1
2
1
1
1
，则有
nc? b n2
-
bn
+
ln ( )2 n
- ln n =
b n2
-
bn
+ ln 2 。
由
lim
n
nb? lim
n
2 nb
,
即得到
lim
n
nc? lim
n
nnn 2
1
2
1
1
1
l n 2? 。
例 2.4.10
lim
n
n
n 1)1(
3
1
2
1
1 1?
ln 2 。
解 记
d n
=
1
1
2
1
3
1
11
( ) n
n
，由于
bn
=
1
1
2
1
3
1
1
1
n n
nln
（ n ）,
和
b n2
=
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2 2
1
2 1
1
2
2
n n n
nln
（ n ）,
例 2.4.10
lim
n
n
n 1)1(
3
1
2
1
1 1?
ln 2 。
解 记
d n
=
1
1
2
1
3
1
11
( ) n
n
，由于
bn
=
1
1
2
1
3
1
1
1
n n
nln
（ n ）,
和
b n2
=
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2 2
1
2 1
1
2
2
n n n
nln
（ n ）,
考虑 b
n2 nb?
，用
nb 2
中的第 k2 项与
nb
中的第 k 项（ nk,,2,1 ）对应相减，得到
b n2 nb? = 1 1
2
1
3
1
4
1
2 1
1
2 2 n n ln
d n2 2ln? 0 （ n ）。
由于
d d nn n2 1 2 12 1
及
limn 012 1n
，即可得到
limn d n
=
limn
n
n 1)1(
3
1
2
11 1? ln 2 。
闭区间套定理定义 2.4.1 如果一列闭区间 { [ a
n
,b
n ]
} 满足条件
( 1 ) [ a
n? 1
,b
n? 1 ]
[ a
n
,b
n ]
,n? 1 2 3,,,? ;
( 2 )
limn
( b
n
- a
n
) 0?,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
定理 2.4.2 ( 闭区间套定理 ) 如果 { [ a
n
,b
n ]
} 形成一个闭区间套，
则存在唯一的实数? 属于所有的闭区间 [ a
n
,b
n ]
,且? =
limn a n
=
limn bn
。
闭区间套定理定义 2.4.1 如果一列闭区间 { [ a
n
,b
n ]
} 满足条件
( 1 ) [ a
n? 1
,b
n? 1 ]
[ a
n
,b
n ]
,n? 1 2 3,,,? ;
( 2 )
limn
( b
n
- a
n
) 0?,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
证 由条件 (1) 可得
a 1?
a n? 1? a n? bn? b n? 1?
b 1
。
{
a n
} 单调增加而有上界
b 1
,{
bn
} 单调减少而有下界
a 1
，由定理 2.4.1,
{
a n
} 与 {
bn
} 都收敛。
设
lim
n
a n
=
，则
lim
n
bn
=
lim
n
[ (
bn
-
a n
)+
a n
] =
lim
n
(
bn
-
a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于
是 {
a n
} 所构成的数集的上确界，也是
{}nb
所构成的数集的下确界，于是有
a n bn
，
n? 1 2 3,,,?
，即
属于所有闭区间
[ a n
,
b n ]
。
若另有实数 '? 属于所有的闭区间 [ a
n
,b
n ]
，则也有 a
n? ' bn
,
n? 1 2 3,,,?,令 n,由极限的夹逼性得到
'? = lim
n
a n = lim
n
bn =?,
此即说明满足定理结论的实数? 是唯一的。
证毕证 由条件 (1) 可得
a 1?
a n? 1? a n? bn? b n? 1?
b 1
。
{
a n
} 单调增加而有上界
b 1
,{
bn
} 单调减少而有下界
a 1
，由定理 2.4.1,
{
a n
} 与 {
bn
} 都收敛。
设
lim
n
a n
=
，则
lim
n
bn
=
lim
n
[ (
bn
-
a n
)+
a n
] =
lim
n
(
bn
-
a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于
是 {
a n
} 所构成的数集的上确界，也是
{}nb
所构成的数集的下确界，于是有
a n bn
，
n? 1 2 3,,,?
，即
属于所有闭区间
[ a n
,
b n ]
。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列 { },{ }
nnab
依然收敛于同一个极限?,但这个? 可能不属于任何一个开区间
( a
n
,b
n
) 。
在定理 1.1.2 我们证明了有理数集
Q
是可列集，利用闭区间套定理，可以证明定理 2.4.3 实数集 R 是不可列集 。
证 用反证法。假设实数集 R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使
R ={ x
1
,
x 2
,?，
x n
,? } 。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列 { },{ }
nnab
依然收敛于同一个极限?,但这个? 可能不属于任何一个开区间
( a
n
,b
n
) 。
取闭区间 [ a 1,b 1 ],使 x1 1[ a?,b 1 ] ；
将［ a
1
,b
1
］三等分，则在闭区间
3
2
,11
1
ba
a
,
3
2
11
ba,
3
2
11
ba,
1
11,
3
2
b
ba 中，至少有一个不含有 x 2,把它记为
22[,]ab；
将
22[,]ab
三等分，在闭区间
3
2
,22
2
ba
a
,
3
2
22
ba
,
3
2
22
ba
,
2
22,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有
x 3
,把它记为
33[,]ab
,
这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套
{ [,] }nnab
，
满足
x n? [ a n
,
b n ]
,n? 1 2 3,,,? 。
由闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
[ a n
,
b n ]
，
换言之，
x n
( n? 1 2 3,,,? ),这就与集合 {
x1
,
x 2
,?，
x n
,? } 表示实数集 R 产生矛盾。
证毕子列定义 2.4.2 设 ｛
x n
｝ 是一个数列，而
n 1? n 2?
n k? n k? 1?
是一 列严格单调增加的正整数，则
x n 1
,
x n 2
,?，
x n k
,?
也形成一个数列，称为数列 {
x n
} 的 子列,记为 {
x n k
} 。
下标,n
k
”表示子列中的第 k 项恰好是原数列中的第 n
k
项。
由于子列下标,n
k
”的严格单调增加性质，可知成立
knk?
, Nk
和
jknn?
,jk?, Nkj,。
子列定义 2.4.2 设 ｛
x n
｝ 是一个数列，而
n 1? n 2?
n k? n k? 1?
是一 列严格单调增加的正整数，则
x n 1
,
x n 2
,?，
x n k
,?
也形成一个数列，称为数列 {
x n
} 的 子列,记为 {
x n k
} 。
定理 2.4.4 若数列 {
x n
} 收敛于 a,则它的任何子列 {
x n
k
} 也收敛于 a,即
lim
n
x n? a
lim
k
x n
k
a 。
证 由
lim
n
x n? a
，可知 0,
N
，
Nn
,
｜
x n? a
｜ 。
取 NK?,于是当 k K? 时，有
kn k N
，因而成立
｜
x n
k
a ｜ 。
证毕定理 2.4.4 经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
nx
的两个子列
(1){} knx
与
( 2 ){} knx
,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
nx
必定发散 。
例 2.4.11 数列 π
sin 4n
发散证 取 n
k( )1
= k4,n
k( )2
= 28?k,则子列
(1){} knx
收敛于 0,而子列
( 2 ){} knx
收敛于 1,由上述推论可知 {}
nx
发散。
定理 2.4.4 经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
nx
的两个子列
(1){} knx
与
( 2 ){} knx
,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
nx
必定发散 。
Bolzano - Weierstrass 定理定理 2.4.5 (Bolzano - Weierstrass 定理 ) 有界数列必有收敛子列 。
证 设数列 {
x n
} 有界，于是存在实数
a 1
,
b 1
，成立
a 1
x n
b 1
,
n? 1 2 3,,,?
。
将闭区间［
a1
,
b 1
］等分为两个小区间
2
,
11
1
ba
a
与
1
11
,
2
b
ba
，
则其中至少有一个含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项，把它记为
[ a 2
,
b 2 ]；
再将闭区间
[ a 2
,
b 2 ]
等 分 为 两 个 小 区 间
2
,
22
2
ba
a
与
2
22
,
2
b
ba
，同样其中至少有一个含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项，把它记 为 [
a 3
,
b 3
] ；
这样的步骤可以一直做下去,于是得到一个闭区间套
｛ [
a k
,
bk
] ｝,其中每一个闭区间 [
ka
,
bk
] 中都含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项。
根据闭区间套定理，存在实数
，满足
=
l i m k
k
a
=
lim
k
bk
。
现在证明数列 {
x n
} 必有一子列收敛于实数
。
在 [
a 1
,
b 1
] 中选取 {
x n
} 中某一项，记它为
x n
1；
因为在
[ a 2
,
b 2 ]
中含有 {
x n
} 中 的 无穷多项，可以选取位于
x n
1
后的某一项，记它为
x n
2
，
21nn?；
在选取
x n k?
[
a k
,
bk
] 后，因为在 [
a k? 1
,
b k? 1
] 中仍含有 {
x n
} 中无穷多项，可以选取位于
x n k
后的某一项，记它为
x n k? 1
，
n k? 1? n k；
继续这样做下去，就得到了数列 {
x n
} 的一个子列 {
x n k
},满足
a k
≤
x n k
≤
bk
,k? 1 2 3,,,? 。
由
lim
k
a k
=
lim
k
bk
=
，利用极限的夹逼性，得到
lim
k
kn
x
。
证毕当数列无界时，也有与定理 2.4.5 相对应的结论。
定理 2.4.6 若 { x
n
} 是一个无界数列，则存在子列 {
x n k
},使得
limk x n k
。
证 由于 { x
n
} 无界，因此对任意 M 0?,{ x
n
} 中必存在无穷多个
x n,满足｜ x n ｜? M ( 否则可以得出 { x n } 有界的结论 ) 。
令
11?M
,则存在
x n 1
，使得
1
1nx?；
令
22?M
,因为在 {
x n
} 中有无穷多项满足
2nx?
，可以取到位于
x n 1
之后的
x n 2
，
n 2? n 1
，使得
2
2nx?；
令
33?M
,同理可以取到
x n 3
，
32nn?
，使得
3
3nx?；
这样便得到｛
x n
｝的一个子列 {
x n k
},满足
kn
xk?
，由定义,
lim
k
x n k
。
证毕定义 2.4.3 如果数列 ｛ x
n
｝ 具有以下特性,对于任意给定的
0,存在正整数 N,使得当 Nmn?,时成立
｜?
nx x m
｜＜?,
则称数列 { x
n
} 是一个 基本数列 。
例 2.4.12 设
x n
=
1
1
2
1
3
1
2 2 2
n
，则 {
x n
} 是一个基本数列。
证 对任意正整数 n 与 m,不妨设 m n?,则
mx x n
=
1
1
1
2
1
2 2 2
( ) ( )n n m?
＜
1
1
1
1 2
1
1n n n n m m( ) ( )( ) ( )?
=
mmnnnn
1
1
1
2
1
1
1
1
11
=
1 1
n m
＜
1
n
,
对任意给定的
0
，取
1
N
，当 m n N 时，成立
｜
mx x n
｜＜? 。
例 2.4.13 设
x n
=
1
1
2
1
3
1
n
，则 {
x n
} 不是基本数列。
证 对任意正整数 n,有
nx 2 x n
= 1
1
1
2
1
2n n n?
＞
n
n
1
2
1
2
,
取
0
1
2
，无论 N 多么大，总存在正整数 n N?,
m n N2
，使得
｜
mx x n
｜ = ｜
nx 2 x n
｜＞
0?
,
因此｛
x n
｝不是基本数列 。
定理 2.4.7 (Cauchy 收敛原理 ) 数列 {
x n
} 收敛的充分必要条件是,｛
x n
｝是基本数列 。
证 必要性。
设 {
x n
} 收敛于 a,按照定义,? 0,
N
，
n m N,
,
2n
xa
,
2m
xa
,
于是
m n m nx x x a x a
。
充分性。
先证明基本数列必定有界。取
10
,因为 {
x n
} 是基本数列，所以
N 0
，
n N 0
,
｜
nx x N
0 1?
｜ 1? 。
令 M = m a x { ｜
x1
｜,｜
x 2
｜,…,｜
x N
0
｜,｜
x N
0 1?
｜ 1? },则对一切 n,
成立
｜
x n
｜ M? 。
由 Bolzano - Weierstrass 定理，在｛
x n
｝中必有收敛子列,
lim
k
x n
k
。
因为｛ x
n
｝是基本数列，所以? 0,? N,n m N,,
｜
nx x m
｜
2
。
取 x
m
=
x n k
，其中 k 充分大，满足 n
k
N,并且令 k,于是得到
｜
nx?
｜?
2
,
此即表明数列｛ x
n
｝收敛。
证毕
Cauchy 收敛原理表明由实数构成的基本数列 { x
n
} 必存在实数极限，这一性质称为 实数系的 完备性 。
注意有理数集不具有完备性。例如
n
n
1
1
是由有理数构成的基本数列，其极限 e 并不是有理数。
例 2.4.14 设数列 {
x n
} 满足 压缩性条件,
｜
1nx x n
｜? k ｜
nx x n? 1
｜,
10 k
,
n? 2 3,,?
,
则｛
x n
｝收敛。
证 只要证明｛
x n
｝是基本数列即可。
首先对于一切 n,有
｜
1nx x n
｜? k ｜
nx x n? 1
｜? k 2 ｜
1nx x n? 2
｜ k n? 1 ｜
2x x1
｜。
设 m ＞ n,则
｜
mx x n
｜? ｜
mx x m? 1
｜ + ｜
1mx x m? 2
｜ + … + ｜
1nx x n
｜
k m? 2 ｜
2x x1
｜ + k m? 3 ｜
2x x1
｜ + … + k n? 1 |
2x x1
｜
k
k
n
1
1 ｜
2x x1
｜ 0? ( n ）,
因此｛
x n
｝是基本数列，从而收敛。
实数系的基本定理在 § 1 中证明了实数系连续性定理 —— 确界存在定理。在本节中，
又依次证明了单调 有界数列收敛定理、闭区间套定理,Bolzano -
Weierstrass 定理与实数系完备性定理 —— Cauchy 收敛原理。它们之间的逻辑推理关系,
确界存在定理
单调有界数列收敛定理
闭区间套定理
Bolzano - Weierstrass 定理
Cauchy 收敛原理也就是说，实数系的连续性包含了实数系的完备性。
下面证明实数系的完备性也包含了实数系的连续性。即在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
定理 2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性 。
证 分两步来证明实数系的完备性包含实数系的连续性，即
Cauchy 收敛原理? 闭区间套定理? 确界存在定理。
Cauchy 收敛原理
闭区间套定理,
设｛［
a n
,
bn
］｝是一列闭区间，满足条件
( i ) ［
a n? 1
,
1nb?
］? ［
a n
,
bn
］,
n? 1 2 3,,,?；
( i i )
lim
n
(
nb a n
)
0?
。
设
mn?
，则
00 m n n na a b a
(
n
）,
所以数列｛
a n
｝是一基本数列，从而有
lim
n
a n =?,
并由此得到
lim
n
bn
=
lim
n
(
nb a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于数列 {
a n
} 单调增加，数列｛
bn
｝单调减少，可以知道
是属于所有闭区间［
na
,
bn
］的唯一实数。闭区间套定理得证。
闭区间套定理
确界存在定理,
设 S 是非空有上界的实数集合，又设 T 是由 S 的所有上界所组成的集合，现证 T 含有最小数，即 S 有上确界。
取
a 1
T?,
b 1
T,显然
1a b 1
。现按下述 规则 构造一列闭区间,
[ a 2
,
b 2 ]
=
;
2
,,
2
,
2
,
2
,
11
1
11
1111
1
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
[ a 3
,
b 3 ]
=
;
2
,,
2
,
2
,
2
,
22
2
22
2222
2
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
……,
由此得到一个闭区间套｛［
a n
,
bn
］｝，满足
a n T?
,
bn
T,n? 1 2 3,,,? 。
由闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
na[
,
]nb
，且
n
lim na
=
n
lim nb
=
。现只需说明
是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的上确界。
若
T
,即
不是集合 S 的上界，则存在 xS?,使得
x
。由
n
lim nb
，可知当 n 充分大时，成立
nbx?
，这就与
nb
T? 发生矛盾，所以
T
。
若存在
T?
，使得
,则由
l i m n
n
a?
,可知当 n 充分大时，成立
na
。由于
naT?
,于是存在
yS?
,使得
nay
,这就与
T
发生矛盾。从而得出
是集合 S 的最小上界。
证毕上述五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其 他 的定理，所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
证 不妨设数列 { x
n
} 单调增加且有上界，根据确界存在定理，由
{ x
n
} 构成的数集必有上确界?,? 满足,
( 1 ) Nn,
nx；
( 2 ) 0,
x n 0
:
x n 0
。 取
0Nn?
,n N,
nn xx 0
,
因而
nx
，于是得到
limn x n
=? 。
证毕
§ 4 收敛准则注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。定理 2.4.1 的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的极限。
例 2.4.1 设
01?x
,
x n? 1
=
1
1
x
x
n
n
,
n? 1 2 3,,,?
。证明数列 {
x n
}
收敛，并求它的极限。
解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当 n? 2 时,
21 nx
。
然后由
x n? 1
=
1
1
x
x
n
n
(
n? 1 2 3,,,?
) 可得
1nnxx
=
x x
x x
n n
n n
1
1
1 1( )( )
。
这说明对一切 n? 2,
1nnxx
具有相同符号，从而
{}nx
是单调数列。由定理 2.4.1,{
x n
} 收敛。
设
limnnx
a,在等式 x
n? 1
=
1
1
x
x
n
n
两边同时求极限，得到方程
a =
1 1a a
,
解得方程的根为 a = 1 5
2
。由 1?
nx
，舍去负值，即有
limn x n
= 1 5
2
。
例 2.4.2 设
10 1 x
,
x n? 1
=
x xn n( )1?
,n? 1 2 3,,,? 。证明 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 Nn,
10 nx
。
由
x n? 1
=
x xn n( )1?
(
,2,1?n
),可得
x n? 1
-
x n
=
02 nx
,
即 {
x n
} 单调减少有下界，由定理 2.4.1,
{}nx
收敛。
例 2.4.2 设
10 1 x
,
x n? 1
=
x xn n( )1?
,n? 1 2 3,,,? 。证明 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 Nn,
10 nx
。
由
x n? 1
=
x xn n( )1?
(
,2,1?n
),可得
x n? 1
-
x n
=
02 nx
,
即 {
x n
} 单调减少有下界，由定理 2.4.1,
{}nx
收敛。
设 lim
n
nx a,在等式 x n? 1 = x xn n( )1? 两边同时求极限，得到方程
a a a( )1,解得 a? 0 。于是得到,
limn 0?nx 。
应用 St o l z 定理,
lim
n
( )nx n
=
lim
n
n
x
n
1
=
lim
n
1
1 1
1
x x
n n?
=
lim
n
x x
x x
n n
n n
1
1
=
lim
n
x x
x
n n
n
2
2
1
1
( )?
。
换言之，不 管
10 1 x
如何选取，当 n 充分大时，无穷小量
{}nx
的变化规律与无穷小量
n
1
愈来愈趋于一致，在许多场合，
{}nx
可以用
n
1
来代替。这两个无穷小量称为是 等价 的。
例 2.4.3 设
x1
= 2,
x n? 1
=
3 2? x n
,
,3,2,1?n
。证明数列 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 首先有
30 1 x
。设
30 kx
，则
10 kx
=
323 kx
，由数学归纳法，可知对一切 n,成立
30 nx
。
由于
x n? 1
-
x n
=
3 2? x n
-
x n
=
0
23
)1)(3(
nn
nn
xx
xx
，数列 {
x n
} 单调增加且有上界，由定理 2.4.1 可知 {
x n
} 收敛。
例 2.4.3 设
x1
= 2,
x n? 1
=
3 2? x n
,
,3,2,1?n
。证明数列 {
x n
} 收敛，并求它的极限。
解 首先有
30 1 x
。设
30 kx
，则
10 kx
=
323 kx
，由数学归纳法，可知对一切 n,成立
30 nx
。
由于
x n? 1
-
x n
=
3 2? x n
-
x n
=
0
23
)1)(3(
nn
nn
xx
xx
，数列 {
x n
} 单调增加且有上界，由定理 2.4.1 可知 {
x n
} 收敛。
设 lim
nnx
a,对 x n? 1 = 3 2? x n 两边求极限，得到 a = 3 2? a,解此方程，得到 3?a,即
limn 3?nx 。
例 2.4.4,Fibonacc i 数列” 与兔群增长率：
设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。
解设第一季度只有 1 对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和
1 1 0 0 1
2 0 1 0 1
3 1 0 1 2
4 1 1 1 3
5 2 1 2 5
6 3 2 3 8
7 5 3 5 13
设 a
n
是第 n 季度兔对总数，则
a 1 =1,a 2 =1,a 3 =2,a 4 =3,a 5 =5,?
数列 { a
n
} 称为 F i bona c ci 数列 。 到第 n? 1 季度，能产小兔的兔对数为
a n? 1,所以第 n? 1 季度兔对的总数应等于第 n 季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n? 1
，于是
{ a
n
} 具有性质,
a n? 1 = a n + a n? 1,n? 2 3 4,,,? 。
令 b
n
= a
a
n
n
1
，则 1?
nb
表示了兔群在第 n? 1 季度的增长率。由
bn = a
a
n
n
1
= a a
a
n n
n
1 = 1 1a
a
n
n
=
1 1
1
b n
,
可知当 b
n
2
15 时,b n? 1
2
15 ；当 bn
2
15 时,b n? 1
2
15 。
设 a
n
是第 n 季度兔对总数，则
a 1 =1,a 2 =1,a 3 =2,a 4 =3,a 5 =5,?
数列 { a
n
} 称为 F i bona c ci 数列 。 到第 n? 1 季度，能产小兔的兔对数为
a n? 1,所以第 n? 1 季度兔对的总数应等于第 n 季度兔对的总数 a
n
加上新产下的小兔对数 a
n? 1
，于是
{ a
n
} 具有性质,
a n? 1 = a n + a n? 1,n? 2 3 4,,,? 。
{
bn
} 并不是单调数列。但是有关系
b k2 1
2
15
,0
,
b k2?
,
2
15
，
k? 1 2 3,,,?
,
b k2 2 b k2
=
1
1
1
1
2
b
k
-
b k2
=
0
1
2
15
2
15
2
22
k
kk
b
bb
,
b k2 1?
-
b k2 1?
=
1
1
1
1
2 1
b
k
-
b k2 1?
=
0
1
2
15
2
15
12
1212
k
kk
b
bb
。
所以 { b k2 } 是单调减少的有下界的数列,{ b k2 1? } 是单调增加的有上界的数列，因而都是收敛数列。
{
bn
} 并不是单调数列。但是有关系
b k2 1
2
15
,0
,
b k2?
,
2
15
，
k? 1 2 3,,,?
,
b k2 2 b k2
=
1
1
1
1
2
b
k
-
b k2
=
0
1
2
15
2
15
2
22
k
kk
b
bb
,
b k2 1?
-
b k2 1?
=
1
1
1
1
2 1
b
k
-
b k2 1?
=
0
1
2
15
2
15
12
1212
k
kk
b
bb
。
由
lim
k
b k2 2?
=
lim
k
1 2
1
2
2
b
b
k
k
得到
a
a
a
1 2
1；
由
lim
k
b k2 1?
=
lim
k
1 2
1
2 1
2 1
b
b
k
k
得到
b
b
b
1 2
1
。
这两个方程有相同的解 a = b = 15
2
,舍去负根，于是得出结论：在不考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
2
15? ≈ 0,6 1 8 。
设
klim?kb 2
a,
klim bb k 12
，则有 5 12 a + ∞, b0 5 12? 。
和 e
设单位圆内接正 n 边形的半周长为 L
n
，则
L n nn? sin
o180 。数列 {}
nL
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率? 。现在来严格证明 {}
nL
的极限存在。
例 2.4.5 数列
n
n
o180
s i n
收敛。
证 令
t
n n
180
1
o
( )
，则当 n? 3 时,nt? 45 o 。
ntt a n
ttn
ttn
t a n)1t a n (1
t a n)1t a n ( ttn t a n)1t a n ( tn t a n
,
于是
s i n ( ) s i n c o s c o s s i nn t nt t nt t1
nt
t
tnt
t a n
t a n
1c o ss in?
n
n
nt
1
si n
,
和 e
设单位圆内接正 n 边形的半周长为 L
n
，则
L n nn? sin
o180 。数列 {}
nL
应该收敛于该圆的半周长，即圆周率? 。现在来严格证明 {}
nL
的极限存在。
所以，当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
( ) s in
o
n
n
L n1
180
1 1
。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
S n
n nn
s in co s
o o180 180
4
,
因此当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
4
180
c os
o
n
4
60
8
c o s o
。
所以，当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
( ) s in
o
n
n
L n1
180
1 1
。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
S n
n nn
s in co s
o o180 180
4
,
因此当 n? 3 时,
L n
nn
s in
o180
4
180
c os
o
n
4
60
8
c o s o
。
综上所述，数列 { L
n
} 单调增加且有上界，因而收敛。将这个极限用希腊字母 π 来记，就有
limn π180s in o?nn 。
注 有了? 的定义，就可以定义角度的弧度制。
由于单位圆的半周长为?,就把半个圆周所对的圆心角（即 o180 ）
的弧度定义为?,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说，
一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。
设单位圆的内接正 n 边形的面积为
S n
，则
S n
的极限就是单位圆的面积。由于
π
1 8 0
c o s
1 8 0
s inlimlim
oo
nn
nS
n
n
n
,
可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。
在弧度制下，上例中的极限式又可以写成
lim
n
s in( )?
n
n
1
。
例 2.4.6 数列
n
n
1
1
单调增加，
1
1
1
n
n
单调减少，两者收敛于同一极限。
证 记
x n
= n
n
1
1
,
y n
= 1
1
1
n
n
，由平均值不等式
a a a nn 1 2?
n
aaa
n
21
(
0?ka
，
k n? 1 2 3,,,,?
),
得到
x n
=
1
1
1
n
n
1
1
1
1
1
n
n
n
n
=
x n? 1
,
1
y
n
=
1
1
1n
n
n
2
2
1
1
)1(
n
n
n
n
n
=
1
1
y
n?
。
即 { x
n
} 单调增加,{ y
n
} 单调减少。又由于
12 x x n? y n 41 y,
可知数列 { x
n
},{ y
n
} 都收敛。因为 1
1nnyx n
,所以它们具有相同的极限。
即 { x
n
} 单调增加,{ y
n
} 单调减少。又由于
12 x x n? y n 41 y,
可知数列 { x
n
},{ y
n
} 都收敛。因为 1
1nnyx n
,所以它们具有相同的极限。
习惯上用字母 e 来表示这一极限，即
limn
n
n
11 =
limn
1
1
1
n
n
e? 。
e = 2,7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9,.,是一个无理数。以 e 为底的对数称为 自然对数,通常记为
el n ( l o g )xx?
。
作为定理 2.4.1 的进一步应用，讨论数列 {}na,其中
1 1 11 23n p p pa n ( 0?p ) 。
例 2,4,7 当 1?p 时，数列 {}
na
收敛；当 10 p 时，数列 {}
na
是正无穷大量。
作为定理 2.4.1 的进一步应用，讨论数列 {}na,其中
1 1 11 23n p p pa n ( 0?p ) 。
证 数列
{}na
单调增加，它的收敛与否取决于其是否有界。
当
1?p
时，记 1
2 1p?
= r,则 10 r 。由于
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2 1p p p p p
r
,
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
4
1
4
1
4
2
p p p p p p p p r
,
例 2,4,7 当 1?p 时，数列 {}
na
收敛；当 10 p 时，数列 {}
na
是正无穷大量。
一般有，对 k = 1,2,3,
1 ( 1 )
1 1 1 2 1
2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2
k k
k p k p k p k p k p r
,
可知
a n 12 na 121 nrrr? 1
1? r
,
这说明当 1?p 时，数列 { a
n
} 收敛。
当
1?p
时，有
1
2
1
2p
1
3
1
4
1
4
1
4
1
2p p
,
1
5
1
6
1
7
1
8
4
8
1
2p p p p
,
1
2 1
1
2 2
1
2
2
2
1
2
1 1
( ) ( ) ( )
k p k p k p
k
k
,
因而
na 2 1
2
n 。
这说明当 1?p 时,数列｛ a
n2
｝是正无穷大量。由于数列 { a
n
} 单调增加，所以 { a
n
} 是正无穷大量。
特别当 p =1 时，
na n 131211
（?,3,2,1?n ）,{ a n } 是无穷大量。
例 2.4.8 记
bn
=
1
1
2
1
3
1
n nln
，则数列 {
bn
} 收敛。
证 由例 2.4.6,可知
n
n
11 e
1
1
1
n
n
,
由此得到
1
1n
n
n 1ln 1
n
。
例 2.4.8 记
bn
=
1
1
2
1
3
1
n nln
，则数列 {
bn
} 收敛。
证 由例 2.4.6,可知
n
n
11 e
1
1
1
n
n
,
由此得到
1
1n
n
n 1ln 1
n
。
这说明数列｛ b
n
｝单调减少有下界，从而收敛。
{ b
n
} 的极限 0,5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 0?称为 Eu l er 常数 。
于是有
b n? 1 - bn = 1
1n?
- l n ( )n? 1 + ln n = 1
1n?
-
01lnnn
,
bn = 1 1
2
1
3
1
n nln
ln 2
1
+
ln 32
+
ln 43
+
ln n n? 1
- ln n = l n ( )n? 1 - 0ln?n 。
例 2.4.9
lim
n
nnn 2
1
2
1
1
1
2ln 。
解 记
nc?
nnn 2
1
2
1
1
1
，则有
nc? b n2
-
bn
+
ln ( )2 n
- ln n =
b n2
-
bn
+ ln 2 。
由
lim
n
nb? lim
n
2 nb
,
即得到
lim
n
nc? lim
n
nnn 2
1
2
1
1
1
l n 2? 。
例 2.4.10
lim
n
n
n 1)1(
3
1
2
1
1 1?
ln 2 。
解 记
d n
=
1
1
2
1
3
1
11
( ) n
n
，由于
bn
=
1
1
2
1
3
1
1
1
n n
nln
（ n ）,
和
b n2
=
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2 2
1
2 1
1
2
2
n n n
nln
（ n ）,
例 2.4.10
lim
n
n
n 1)1(
3
1
2
1
1 1?
ln 2 。
解 记
d n
=
1
1
2
1
3
1
11
( ) n
n
，由于
bn
=
1
1
2
1
3
1
1
1
n n
nln
（ n ）,
和
b n2
=
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2 2
1
2 1
1
2
2
n n n
nln
（ n ）,
考虑 b
n2 nb?
，用
nb 2
中的第 k2 项与
nb
中的第 k 项（ nk,,2,1 ）对应相减，得到
b n2 nb? = 1 1
2
1
3
1
4
1
2 1
1
2 2 n n ln
d n2 2ln? 0 （ n ）。
由于
d d nn n2 1 2 12 1
及
limn 012 1n
，即可得到
limn d n
=
limn
n
n 1)1(
3
1
2
11 1? ln 2 。
闭区间套定理定义 2.4.1 如果一列闭区间 { [ a
n
,b
n ]
} 满足条件
( 1 ) [ a
n? 1
,b
n? 1 ]
[ a
n
,b
n ]
,n? 1 2 3,,,? ;
( 2 )
limn
( b
n
- a
n
) 0?,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
定理 2.4.2 ( 闭区间套定理 ) 如果 { [ a
n
,b
n ]
} 形成一个闭区间套，
则存在唯一的实数? 属于所有的闭区间 [ a
n
,b
n ]
,且? =
limn a n
=
limn bn
。
闭区间套定理定义 2.4.1 如果一列闭区间 { [ a
n
,b
n ]
} 满足条件
( 1 ) [ a
n? 1
,b
n? 1 ]
[ a
n
,b
n ]
,n? 1 2 3,,,? ;
( 2 )
limn
( b
n
- a
n
) 0?,
则称这列闭区间形成一个 闭区间套 。
证 由条件 (1) 可得
a 1?
a n? 1? a n? bn? b n? 1?
b 1
。
{
a n
} 单调增加而有上界
b 1
,{
bn
} 单调减少而有下界
a 1
，由定理 2.4.1,
{
a n
} 与 {
bn
} 都收敛。
设
lim
n
a n
=
，则
lim
n
bn
=
lim
n
[ (
bn
-
a n
)+
a n
] =
lim
n
(
bn
-
a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于
是 {
a n
} 所构成的数集的上确界，也是
{}nb
所构成的数集的下确界，于是有
a n bn
，
n? 1 2 3,,,?
，即
属于所有闭区间
[ a n
,
b n ]
。
若另有实数 '? 属于所有的闭区间 [ a
n
,b
n ]
，则也有 a
n? ' bn
,
n? 1 2 3,,,?,令 n,由极限的夹逼性得到
'? = lim
n
a n = lim
n
bn =?,
此即说明满足定理结论的实数? 是唯一的。
证毕证 由条件 (1) 可得
a 1?
a n? 1? a n? bn? b n? 1?
b 1
。
{
a n
} 单调增加而有上界
b 1
,{
bn
} 单调减少而有下界
a 1
，由定理 2.4.1,
{
a n
} 与 {
bn
} 都收敛。
设
lim
n
a n
=
，则
lim
n
bn
=
lim
n
[ (
bn
-
a n
)+
a n
] =
lim
n
(
bn
-
a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于
是 {
a n
} 所构成的数集的上确界，也是
{}nb
所构成的数集的下确界，于是有
a n bn
，
n? 1 2 3,,,?
，即
属于所有闭区间
[ a n
,
b n ]
。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列 { },{ }
nnab
依然收敛于同一个极限?,但这个? 可能不属于任何一个开区间
( a
n
,b
n
) 。
在定理 1.1.2 我们证明了有理数集
Q
是可列集，利用闭区间套定理，可以证明定理 2.4.3 实数集 R 是不可列集 。
证 用反证法。假设实数集 R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使
R ={ x
1
,
x 2
,?，
x n
,? } 。
注 若将定理条件中的闭区间套改为开区间套，则数列 { },{ }
nnab
依然收敛于同一个极限?,但这个? 可能不属于任何一个开区间
( a
n
,b
n
) 。
取闭区间 [ a 1,b 1 ],使 x1 1[ a?,b 1 ] ；
将［ a
1
,b
1
］三等分，则在闭区间
3
2
,11
1
ba
a
,
3
2
11
ba,
3
2
11
ba,
1
11,
3
2
b
ba 中，至少有一个不含有 x 2,把它记为
22[,]ab；
将
22[,]ab
三等分，在闭区间
3
2
,22
2
ba
a
,
3
2
22
ba
,
3
2
22
ba
,
2
22,
3
2
b
ba
中，至少有一个不含有
x 3
,把它记为
33[,]ab
,
这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套
{ [,] }nnab
，
满足
x n? [ a n
,
b n ]
,n? 1 2 3,,,? 。
由闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
[ a n
,
b n ]
，
换言之，
x n
( n? 1 2 3,,,? ),这就与集合 {
x1
,
x 2
,?，
x n
,? } 表示实数集 R 产生矛盾。
证毕子列定义 2.4.2 设 ｛
x n
｝ 是一个数列，而
n 1? n 2?
n k? n k? 1?
是一 列严格单调增加的正整数，则
x n 1
,
x n 2
,?，
x n k
,?
也形成一个数列，称为数列 {
x n
} 的 子列,记为 {
x n k
} 。
下标,n
k
”表示子列中的第 k 项恰好是原数列中的第 n
k
项。
由于子列下标,n
k
”的严格单调增加性质，可知成立
knk?
, Nk
和
jknn?
,jk?, Nkj,。
子列定义 2.4.2 设 ｛
x n
｝ 是一个数列，而
n 1? n 2?
n k? n k? 1?
是一 列严格单调增加的正整数，则
x n 1
,
x n 2
,?，
x n k
,?
也形成一个数列，称为数列 {
x n
} 的 子列,记为 {
x n k
} 。
定理 2.4.4 若数列 {
x n
} 收敛于 a,则它的任何子列 {
x n
k
} 也收敛于 a,即
lim
n
x n? a
lim
k
x n
k
a 。
证 由
lim
n
x n? a
，可知 0,
N
，
Nn
,
｜
x n? a
｜ 。
取 NK?,于是当 k K? 时，有
kn k N
，因而成立
｜
x n
k
a ｜ 。
证毕定理 2.4.4 经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
nx
的两个子列
(1){} knx
与
( 2 ){} knx
,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
nx
必定发散 。
例 2.4.11 数列 π
sin 4n
发散证 取 n
k( )1
= k4,n
k( )2
= 28?k,则子列
(1){} knx
收敛于 0,而子列
( 2 ){} knx
收敛于 1,由上述推论可知 {}
nx
发散。
定理 2.4.4 经常被用来判断一个数列的发散。
推论 若存在数列 {}
nx
的两个子列
(1){} knx
与
( 2 ){} knx
,分别收敛于不同的极限，则数列 {}
nx
必定发散 。
Bolzano - Weierstrass 定理定理 2.4.5 (Bolzano - Weierstrass 定理 ) 有界数列必有收敛子列 。
证 设数列 {
x n
} 有界，于是存在实数
a 1
,
b 1
，成立
a 1
x n
b 1
,
n? 1 2 3,,,?
。
将闭区间［
a1
,
b 1
］等分为两个小区间
2
,
11
1
ba
a
与
1
11
,
2
b
ba
，
则其中至少有一个含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项，把它记为
[ a 2
,
b 2 ]；
再将闭区间
[ a 2
,
b 2 ]
等 分 为 两 个 小 区 间
2
,
22
2
ba
a
与
2
22
,
2
b
ba
，同样其中至少有一个含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项，把它记 为 [
a 3
,
b 3
] ；
这样的步骤可以一直做下去,于是得到一个闭区间套
｛ [
a k
,
bk
] ｝,其中每一个闭区间 [
ka
,
bk
] 中都含有数列 {
x n
} 中 的 无穷多项。
根据闭区间套定理，存在实数
，满足
=
l i m k
k
a
=
lim
k
bk
。
现在证明数列 {
x n
} 必有一子列收敛于实数
。
在 [
a 1
,
b 1
] 中选取 {
x n
} 中某一项，记它为
x n
1；
因为在
[ a 2
,
b 2 ]
中含有 {
x n
} 中 的 无穷多项，可以选取位于
x n
1
后的某一项，记它为
x n
2
，
21nn?；
在选取
x n k?
[
a k
,
bk
] 后，因为在 [
a k? 1
,
b k? 1
] 中仍含有 {
x n
} 中无穷多项，可以选取位于
x n k
后的某一项，记它为
x n k? 1
，
n k? 1? n k；
继续这样做下去，就得到了数列 {
x n
} 的一个子列 {
x n k
},满足
a k
≤
x n k
≤
bk
,k? 1 2 3,,,? 。
由
lim
k
a k
=
lim
k
bk
=
，利用极限的夹逼性，得到
lim
k
kn
x
。
证毕当数列无界时，也有与定理 2.4.5 相对应的结论。
定理 2.4.6 若 { x
n
} 是一个无界数列，则存在子列 {
x n k
},使得
limk x n k
。
证 由于 { x
n
} 无界，因此对任意 M 0?,{ x
n
} 中必存在无穷多个
x n,满足｜ x n ｜? M ( 否则可以得出 { x n } 有界的结论 ) 。
令
11?M
,则存在
x n 1
，使得
1
1nx?；
令
22?M
,因为在 {
x n
} 中有无穷多项满足
2nx?
，可以取到位于
x n 1
之后的
x n 2
，
n 2? n 1
，使得
2
2nx?；
令
33?M
,同理可以取到
x n 3
，
32nn?
，使得
3
3nx?；
这样便得到｛
x n
｝的一个子列 {
x n k
},满足
kn
xk?
，由定义,
lim
k
x n k
。
证毕定义 2.4.3 如果数列 ｛ x
n
｝ 具有以下特性,对于任意给定的
0,存在正整数 N,使得当 Nmn?,时成立
｜?
nx x m
｜＜?,
则称数列 { x
n
} 是一个 基本数列 。
例 2.4.12 设
x n
=
1
1
2
1
3
1
2 2 2
n
，则 {
x n
} 是一个基本数列。
证 对任意正整数 n 与 m,不妨设 m n?,则
mx x n
=
1
1
1
2
1
2 2 2
( ) ( )n n m?
＜
1
1
1
1 2
1
1n n n n m m( ) ( )( ) ( )?
=
mmnnnn
1
1
1
2
1
1
1
1
11
=
1 1
n m
＜
1
n
,
对任意给定的
0
，取
1
N
，当 m n N 时，成立
｜
mx x n
｜＜? 。
例 2.4.13 设
x n
=
1
1
2
1
3
1
n
，则 {
x n
} 不是基本数列。
证 对任意正整数 n,有
nx 2 x n
= 1
1
1
2
1
2n n n?
＞
n
n
1
2
1
2
,
取
0
1
2
，无论 N 多么大，总存在正整数 n N?,
m n N2
，使得
｜
mx x n
｜ = ｜
nx 2 x n
｜＞
0?
,
因此｛
x n
｝不是基本数列 。
定理 2.4.7 (Cauchy 收敛原理 ) 数列 {
x n
} 收敛的充分必要条件是,｛
x n
｝是基本数列 。
证 必要性。
设 {
x n
} 收敛于 a,按照定义,? 0,
N
，
n m N,
,
2n
xa
,
2m
xa
,
于是
m n m nx x x a x a
。
充分性。
先证明基本数列必定有界。取
10
,因为 {
x n
} 是基本数列，所以
N 0
，
n N 0
,
｜
nx x N
0 1?
｜ 1? 。
令 M = m a x { ｜
x1
｜,｜
x 2
｜,…,｜
x N
0
｜,｜
x N
0 1?
｜ 1? },则对一切 n,
成立
｜
x n
｜ M? 。
由 Bolzano - Weierstrass 定理，在｛
x n
｝中必有收敛子列,
lim
k
x n
k
。
因为｛ x
n
｝是基本数列，所以? 0,? N,n m N,,
｜
nx x m
｜
2
。
取 x
m
=
x n k
，其中 k 充分大，满足 n
k
N,并且令 k,于是得到
｜
nx?
｜?
2
,
此即表明数列｛ x
n
｝收敛。
证毕
Cauchy 收敛原理表明由实数构成的基本数列 { x
n
} 必存在实数极限，这一性质称为 实数系的 完备性 。
注意有理数集不具有完备性。例如
n
n
1
1
是由有理数构成的基本数列，其极限 e 并不是有理数。
例 2.4.14 设数列 {
x n
} 满足 压缩性条件,
｜
1nx x n
｜? k ｜
nx x n? 1
｜,
10 k
,
n? 2 3,,?
,
则｛
x n
｝收敛。
证 只要证明｛
x n
｝是基本数列即可。
首先对于一切 n,有
｜
1nx x n
｜? k ｜
nx x n? 1
｜? k 2 ｜
1nx x n? 2
｜ k n? 1 ｜
2x x1
｜。
设 m ＞ n,则
｜
mx x n
｜? ｜
mx x m? 1
｜ + ｜
1mx x m? 2
｜ + … + ｜
1nx x n
｜
k m? 2 ｜
2x x1
｜ + k m? 3 ｜
2x x1
｜ + … + k n? 1 |
2x x1
｜
k
k
n
1
1 ｜
2x x1
｜ 0? ( n ）,
因此｛
x n
｝是基本数列，从而收敛。
实数系的基本定理在 § 1 中证明了实数系连续性定理 —— 确界存在定理。在本节中，
又依次证明了单调 有界数列收敛定理、闭区间套定理,Bolzano -
Weierstrass 定理与实数系完备性定理 —— Cauchy 收敛原理。它们之间的逻辑推理关系,
确界存在定理
单调有界数列收敛定理
闭区间套定理
Bolzano - Weierstrass 定理
Cauchy 收敛原理也就是说，实数系的连续性包含了实数系的完备性。
下面证明实数系的完备性也包含了实数系的连续性。即在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
定理 2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性 。
证 分两步来证明实数系的完备性包含实数系的连续性，即
Cauchy 收敛原理? 闭区间套定理? 确界存在定理。
Cauchy 收敛原理
闭区间套定理,
设｛［
a n
,
bn
］｝是一列闭区间，满足条件
( i ) ［
a n? 1
,
1nb?
］? ［
a n
,
bn
］,
n? 1 2 3,,,?；
( i i )
lim
n
(
nb a n
)
0?
。
设
mn?
，则
00 m n n na a b a
(
n
）,
所以数列｛
a n
｝是一基本数列，从而有
lim
n
a n =?,
并由此得到
lim
n
bn
=
lim
n
(
nb a n
)+
lim
n
a n
=
。
由于数列 {
a n
} 单调增加，数列｛
bn
｝单调减少，可以知道
是属于所有闭区间［
na
,
bn
］的唯一实数。闭区间套定理得证。
闭区间套定理
确界存在定理,
设 S 是非空有上界的实数集合，又设 T 是由 S 的所有上界所组成的集合，现证 T 含有最小数，即 S 有上确界。
取
a 1
T?,
b 1
T,显然
1a b 1
。现按下述 规则 构造一列闭区间,
[ a 2
,
b 2 ]
=
;
2
,,
2
,
2
,
2
,
11
1
11
1111
1
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
[ a 3
,
b 3 ]
=
;
2
,,
2
,
2
,
2
,
22
2
22
2222
2
T
ba
b
ba
T
baba
a
若若
……,
由此得到一个闭区间套｛［
a n
,
bn
］｝，满足
a n T?
,
bn
T,n? 1 2 3,,,? 。
由闭区间套定理，存在唯一的实数
属于所有的闭区间
na[
,
]nb
，且
n
lim na
=
n
lim nb
=
。现只需说明
是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的上确界。
若
T
,即
不是集合 S 的上界，则存在 xS?,使得
x
。由
n
lim nb
，可知当 n 充分大时，成立
nbx?
，这就与
nb
T? 发生矛盾，所以
T
。
若存在
T?
，使得
,则由
l i m n
n
a?
,可知当 n 充分大时，成立
na
。由于
naT?
,于是存在
yS?
,使得
nay
,这就与
T
发生矛盾。从而得出
是集合 S 的最小上界。
证毕上述五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其 他 的定理，所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
