§ 2 连续函数连续函数的定义定义 3.2.1 设函数
f x( )
在点
x 0
的某个邻域中有定义,并且成立
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
则称函数
f x( )
在点
x 0
连续,而称
x 0
是函数
f x( )
的 连续点 。
“函数
f x( )
在点
x 0
连续”的符号表述（或称,,表述）,
0,? 0,? x (
0||xx
),
0| ( ) ( ) |f x f x
。
§ 2 连续函数定义 3.2.2 若函数 f x( ) 在区间 ),( ba 的每一点都连续,则称函数
f x( ) 在 开区间 ),( ba 上连续 。
连续函数的定义定义 3.2.1 设函数
f x( )
在点
x 0
的某个邻域中有定义,并且成立
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
则称函数
f x( )
在点
x 0
连续,而称
x 0
是函数
f x( )
的 连续点 。
“函数
f x( )
在点
x 0
连续”的符号表述（或称,,表述）,
0,? 0,? x (
0||xx
),
0| ( ) ( ) |f x f x
。
例 3.2.1 函数
()fx? 1
x
在区间 (0,1 ) 上 连续。
证 设
x 0
是 (0,1 ) 中任意一点。对于任意给定的
0
，要找
0
，
使得当
0||xx
时，有
0
11
xx
=
0
0
xx
xx
。
为了放大左边不等式，加上条件
| |x x
x
0
0
2
，于是
x
x
0
2
,从而
xx
x
0
0
2
2
。
取
m in
2
,
2
2
00
xx
，当
|| 0xx
时,
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
0
2
0
2 | |xx
x
,
所以
f x( )
=
1
x
在 (0,1 ) 上 连续。
证毕为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义 3.2.3
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
左连续 ；
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
右连续 。
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
0 0xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x；
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
00 xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x
。
定义 3.2.4 若 f x( ) 在 ),( ba 连续,且在左端点 a 右连续,在右端点
b 左连续,则称函数 f x( ) 在闭区间 ],[ ba 上连续 。
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义 3.2.3
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
左连续 ；
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
右连续 。
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
0 0xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x；
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
00 xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x
。
例 3.2.2
f x( )
=
x x( )1?
在闭区间
[ 0,1 ]
上连续。
证 设
0 ( 0,1 )x?
是任意一点，令
m i n
{
x 0
,
01 x?
}
0?
，当
0||xx
时，
(0,1 )x?
，因而
|
x x( )1?
-
x x0 01( )?
|
=
| |
( ) ( )
1
1 1
0
0 0
x x
x x x x
| |x x? 0
00
1
( 1 )xx
| |x x? 0
。
对任意给定的
0
，取
m in
{
，
00( 1 )xx
｝，当
0||xx
时，成立
|
x x( )1?
-
x x0 01( )?
|
00
1
( 1 )xx
| |x x? 0
,
所以
f x( )
=
x x( )1?
在
( 0,1 )
上连续 。
现考虑区间的端点，对任意给定的 0,取 2,
则当 0 x 时,
| ( ) ( 0 ) |f x f x；
而当 10x 时,
| ( ) ( 1 ) | 1f x f x。
这说明
f x( )
在 0x? 右连续，在 1x? 左连续。
由此得出
f x( )
=
x x( )1?
在闭区间
[ 0,1 ]
上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )( xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx
0
与 0,0,)(
0 xxXx
：
)()( 0xfxf,则称函数 )( xf 在区间 X 上 连续。
例 3.2.3
( ) s i nf x x?
在
),(
上连续。
证 设
x 0? ),(
是任意一点，由于
|
0s i n s i nxx?
| =
002 c o s s i n
22
x x x x
| |x? 0
,
对任意给定的 0,取,当
0||xx
时，成立
|
0s i n s i nxx?
|
0||xx
。
所以
( ) s i nf x x?
在
),(
上连续。
同样可以按定义证明
( ) c o sf x x?
在
),(
上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )( xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx
0
与 0,0,)(
0 xxXx
：
)()( 0xfxf,则称函数 )( xf 在区间 X 上 连续。
例 3,2,4 指数函数
f x( )
= a x （
0,1aa
）在
),(
上连续。
证 首先，对任意一点
x 0? ),(
，有
xa? a x 0 = a x 0 ( 0 1xxa ) 。
所以证
lim
x x? 0
a x = a x 0 就归结为证
lim
t? 0
1ta?
。
若
0t
，则当
1a?
时，成立
1 ta
ta
1
1
,
因
lim
n
1n a?
，由极限的夹逼性，得到
lim
t0
1ta?
。
当 01 a,由极限的除法运算，得到
lim
t0
a t =
lim
t0
t
a
1
1
0
1 / l i m
t
1
1
t
a
；
若 0t,则令 ut,于是
lim
t0
ta?
lim
u0
1
1
ua
。
综合起来，得到
lim
t? 0
1ta?,从而有
lim
x x? 0
a x = a x 0 。
连续函数的四则运算设
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
lim
x x? 0
g x( )
=
g x( )0
,则
( Ⅰ )
lim
x x? 0
(?
f x( )
+
g x( )
)=?
f x( )0
+
g x( )0
(?,
是常数 ) ；
( Ⅱ )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)=
f x( )0 g x( )0；
( Ⅲ )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
=
f x
g x
( )
( )
0
0
(
0( ) 0gx?
) 。
由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间进行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使分母为零的点后余下的范围连续。
例 3.2.5 对于常数函数
()f x c?
与恒等函数
()g x x?
，容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
( Ⅰ ) 任意多项式
1
1 1 0()
nn
n n np x a x a x a x a
在
),(
上连续；
( Ⅱ ) 任意有理函数 1
1 1 0
1
1 1 0
()
nn
nn
mm
mm
a x a x a x a
Qx
b x b x b x b
在其定义域上连续，即
Q x( )
在
),(
去掉分母
b x b x b x bm m m m1 1 1 0?
的零点 ( 至多
m 个点 ) 的范围连续。
例 3.2.6 证明了三角函数 s i n x 与 c o s x 的连续性，由连续函数的四则运算规则，可知 tan x = s i n
c o s
x
x
,1
se c c o sx x?
在其定义域
{ π
| π + 2x x x k kRZ，,
} 上连续； c o t x = c o s
s i n
x
x
,1
cs c sinx x?
在其定义域 { | πx x x k kRZ，,} 上连续。
例 3.2.5 对于常数函数
()f x c?
与恒等函数
()g x x?
，容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
( Ⅰ ) 任意多项式
1
1 1 0()
nn
n n np x a x a x a x a
在
),(
上连续；
( Ⅱ ) 任意有理函数 1
1 1 0
1
1 1 0
()
nn
nn
mm
mm
a x a x a x a
Qx
b x b x b x b
在其定义域上连续，即
Q x( )
在
),(
去掉分母
b x b x b x bm m m m1 1 1 0?
的零点 ( 至多
m 个点 ) 的范围连续。
不连续点类型按照连续性定义，函数 f x( ) 在点 x
0
连续必须满足,
(1 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有定义，即 f x( )
0
为有限值；
(2 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有左极限，且 f x( )
0?
= f x( )
0;
(3 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有右极限，且 f x( )
0?
= f x( )
0
。
三者缺一不可。否则，函数 f x( ) 在点 x 0 不连续,亦称 f x( ) 在点 x 0
间断 ； 这时点 x 0 是函数 f x( ) 的 不连续点,亦称 间断点 。
通常将不连续点分成三类。
第一类不连续点,函数
f x( )
在点
x 0
的左、右极限都存在但不相等，
即
0()fx f x( )0?
。
例如
( ) s g nf x x?
,0x? 是它的第一类不连续点。
在函数的第一类不连续点处，图 像 会出现一个跳跃，所以第一类不连续点又称为 跳跃点,
00( ) ( )f x f x
称为函数
f x( )
在点
x 0
的 跃度 。
例如符号函数
s g n x
在 0x? 的跃度为 2 。
第二类不连续点：函数 f x( ) 在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 f x( ) = e 1x,0x? 是它的第二类不连续点（图 3,1.4 ）,
f ( )0? = lim
x0
1
e0x?,f ( )0? =
limx0
1
e x 。
又如 f x( ) = s i n 1
x
,0x? 也是它的第二类不连续点（图 3,1.3 ），因为 s i n 1
x
在 0x? 的左、右极限都不存在。
第二类不连续点：函数 f x( ) 在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 f x( ) = e 1x,0x? 是它的第二类不连续点（图 3,1.4 ）,
f ( )0? = lim
x0
1
e0x?,f ( )0? =
limx0
1
e x 。
第三类不连续点：函数
f x( )
在点
x 0
的左、右极限都存在而且相等，
但不等于
f x( )0
或者
f x( )
在点
x 0
无定义。
例如
f x( )
=
x
x
s i n
1,它在 0x? 没有定义，但在 0x? 的左、右极限都等于 0,所以 0x? 是它的第三类不连续点。通过重新定义
f x( )
= x
x
x
x
s in,
,,
1
0
0 0
,
则
f x( )
就是
),(
上的连续函数。
在函数的第三类不连续点，可以通过重新定义在该点的函数值，
使之成为函数的连续点，因此第三类不连续点又称为 可去不连续点 或可去间断点 。
例 3.2.7 设 R i em a nn 函数
()Rx
定义如下,
R x( )
=
是无理数，
互质
x
x
qpqp
q
p
x
p
,0
,0,1
),,,}0{\,(,
1
ZN
其中定义
(0 ) 1R?
（这是因为
0x?
可写成
0
1
x?
，同时这样定义也保证了
()Rx
的周期性）。 证明
()Rx
在任意点
x 0
的极限存在，且极限值为 0 。
换言之，一切无理点是
R x( )
的连续点，而一切有理点是
R x( )
的第三类不连续点。
证
R x( )
是以 1 为周期的周期函数，所以只要讨论区间
0,1
上的函数性质。
在
0,1
上，分母为 1 的有理点只有两个,0
1
和 1
1；分母为 2 的有理点只有一个,1
2；分母为 3 的有理点只有两个,1
3
和 2
3；分母为 4 的有理点只有两个,1
4
和 3
4；分母为 5 的有理点只有四个,1
5
,2
5
,3
5
和
4
5；?，总之，对任意正整数 k,在
0,1
上分母不超过 k 的有理点个数是有限的。
设
x 00,1
是任意一点，对任意给定的
0
，设 k =
1
，因为在
0,1
上分母不超过 k 的有理点个数有限，设它们为
r1
，
r2
,?，
rn
。令
m i n
1
0
i n
r xi
{ |
ri
-
x 0
| },
显然
0
。当
0,1x?
且
00 | |xx
时，若 x 是无理数，则 R ( x ) = 0 ；若
x 是有理数，其分母必大于
1
，于是
1
()
1
1
Rx
,因此成立
| ( ) 0 |Rx
。
此即说明
()Rx
在
x 0
的极限为 0 （
0 0x?
时是指右极限，
0 1x?
时是指左极限）。根据
()Rx
的周期性，对一切
x 0? ),(
成立
0
l i m ( ) 0
xx
Rx
。
例 3.2.8 区间
),( ba
上单调函数的不连续点必为第一类不连续点。
证 不妨设
f x( )
在
),( ba
单调增加。
设
x 0? ),( ba
是任意一点。显然集合 {
f x( )
| x? ( a,
x 0
)} 有上界，由
“确界存在定理”，必定存在上确界，记它为
,
sup
{
f x( )
| x? ( a,
x 0
)} 。
对一切 x? ( a,
x 0
),成立
()fx；而对任意给定 的
0
，必存在
x? ( a,
x 0
),使得
()fx
。取
=
x 0
-
0x
，则当
0 0xx
时，
有
xx x
0
，于是成立
-
()fx ()fx?
-
0
,
这就说明
lim
x x0
f x( )
=
。同理可证
lim
x x0
()fx
，其中
i n f
{
f x( )
| x? (
x 0
,b ) } 。
所以单调函数在任意点的左、右极限都存在。换言之，单调函数的不连续点必定是跳跃点。
反函数连续性定理定理 3.2.1 （ 反函数存在性定理） 若函数
y f x? ( )
,x?
D f
是严格单调增加（减少）的,则存在它的反函数
1 ()x f y
，
y? R
f
,并且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加（减少）的 。
反函数连续性定理定理 3.2.1 （ 反函数存在性定理） 若函数
y f x? ( )
,x?
D f
是严格单调增加（减少）的,则存在它的反函数
1 ()x f y
，
y? R
f
,并且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加（减少）的 。
证 不妨设
y f x? ( )
,x?
D f
严格单调增加。对任意两点?x,
x?
D f
及它们相应的函数值
y f x( )
，
y f x( )
，由
f x( )
严格单调增加，可知 xx?
yy
。显然它保证了逆像的唯一性，所以存在反函数
1 ()x f y
，
fyR?
。
设
y 1
，
y 2
R f
，
1y? y 2
，它们的逆像相应为
1x? f y
1
1( )
，
2x?
f y? 1 2( )
。则
x 1
，
x 2
的大小只有三种可能,(1)
1x? x 2
,(2)
12xx?
，
(3)
12xx?
。 但
1x? x 2
违背
f
的严格单调增加性，
1x? x 2
违背
f
具有像的唯一性，于是必然有
1x? x 2
，这表明
f y? 1 ( )
也是严格单调增加的。
证毕定理 3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数 y f x? ( ) 在闭区间 ],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa,()fb,则它的反函数 1 ()x f y
在 ],[ 连续且严格单调增加 。
证 首先证明
( [,] )f a b
=
],[
，即
f
的 值域 ( 也就是
f? 1
的定义域 )
是
],[
。
显然?,
( [,] )f a b
。设
),(
是任意一点，记
S? { |xx? [,]a b,()fx },
则集合 S 非空且有上界，由确界存在定理,S 必有上确界，记
0 s u pxS?
，则
x 0? ),( ba
。
根据
f x( )
的严格单调增加性，当
0xx?
时，
()fx；当
0xx?
时，
()fx
。于是
f x( )0 f x( )0?
。
由
f x( )
在点
x 0
的连续性，得到
0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x
。这说明
f x( )
的值域是闭区间
],[
。
定理 3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数 y f x? ( ) 在闭区间 ],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa,()fb,则它的反函数 1 ()x f y
在 ],[ 连续且严格单调增加 。
y
y f x? ( )
y2
y0
y1
0x
x0
0x
x
根据定理 3.2.1,在
],[
上必定存在
f
的反函数
1 ()x f y
，且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加函数。
现 在 只 需 要 证 明 反 函 数
1 ()x f y
在
],[
上的连续性。 ( 图
3,2,1 )
设
y0? ),(
，相应地有
f y? 1 0( )
=
x0? ),( ba
。对于任意给定的 0,
要找出 0,使当
0||yy
时，成立
| ( ) ( ) |f y f y1 1 0= |)(| 01 xyf,
即
0x? 1 ()fy x 0 +? 。
图 3,2.1
令
y 1
=
0()fx
，
y 2
=
0()fx
，取 m in {
0y y 1
，
2y y 0
} 0?,则当
0||yy
时,成立
| ( ) ( ) |f y f y1 1 0
。
同样可证
1 ()x f y
在
0y
的右连续性，在
0y
的左连续性。
证毕例 3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域连续,
a r c s i nyx?
,
[ 1,1 ]x
,
y? π π
,
22
；
ar cc o syx?
,x?
]1,1[?
,
y? [ 0,π ]；
a r c ta nyx?
,x?
),(
，
y? π π
,
22
；
a r c c o tyx?
,x?
),(
，
y? ( 0,π )
。
例 3,2,10 指数函数 xya? 的反函数 l o g ayx? （ 0,1aa ）在 ),0(
连续。
例 3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域连续,
a r c s i nyx?
,
[ 1,1 ]x
,
y? π π
,
22
；
ar cc o syx?
,x?
]1,1[?
,
y? [ 0,π ]；
a r c ta nyx?
,x?
),(
，
y? π π
,
22
；
a r c c o tyx?
,x?
),(
，
y? ( 0,π )
。
复合函数的连续性设
lim
x x? 0
g x( )
=
u 0
，
lim
u u? 0
()f u A?
，对于复合函数
f g x? ( )
，我们不能得出
lim
x x? 0
()f g x A?
的结论。反例,
()y f u 0,0,
1,0,
u
u
()u g x 1
sinx
x
,
显然有
lim
x? 0
( ) 0gx?
,
lim
u? 0
( ) 1fu?
,
但是复合函数
f g x? ( )
在
0x?
没有极限。
但是当
f
与
g
都是连续函数时，则上述的结论是成立的。
定理 3.2.3 若
()u g x?
在点
x 0
连续,g (
x 0
)
0u?
,又
()y f u?
在点
u 0
连续,则复合函数
()y f g x?
在点
x 0
连续 。
证 对于任意给定的
0
，由于
lim
u u? 0
()fu? f u( )0
，所以存在
0
，
当
0||uu
时，成立
0| ( ) ( ) |f u f u
。
对上面这个
0
，由于
lim
x x? 0
()gx?
0()gx 0u?
，所以存在
0
，当
0||xx
时，成立
0| ( ) |g x u
。
由此得出，当
0||xx
时,
|
)( xgf? f g x? ( )0
|=|
)( xgf? f u( )0
|
,
即
lim
x x? 0
0( ) ( )f g x f g x?
。
证毕例 3.2.10 双曲正弦函数 eesh
2
xxx 与双曲余弦函数
eech 2xxx 在 ),( 连续。
例 3.2.11 对于任意实数?,幂函数
()fx? x?
在
),0(
连续。
解 事实上，幂函数
()fx? x?
是由
f x( ) x lne x?
，
( 0,)x
定义的，即它是由
e uy?
，
(,)u
与 lnux,x?
),0(
复合而成。
根据定理 3.2.3,
()f x x
在
),0(
连续。
例 3.2.10 双曲正弦函数 eesh
2
xxx 与双曲余弦函数
eech 2xxx 在 ),( 连续。
注 对于具体给定的实数?,()fx? x? 的定义域可以扩大。例如当? 是正整数 n 时,()fx? x n 的定义域是 ),( ；当? 是负整数 - n 时，
()fx? x n? 的定义域是 )0,( ∪ ),0( ；当? 是正有理数 q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),(,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ ；?。
总的来说，幂函数 ()f x x 在其定义域连续。
结论,常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这 6 类基本初等函数在它们的定义域上连续，且从这些基本初等函数出发，经过有限次四则运算及复合运算所产生的函数（即初等函数）也在它们各自的定义域上连续。
定理 3.2.4 一切初等函数在其定义域上连续 。
注 对于具体给定的实数?,()fx? x? 的定义域可以扩大。例如当? 是正整数 n 时,()fx? x n 的定义域是 ),( ；当? 是负整数 - n 时，
()fx? x n? 的定义域是 )0,( ∪ ),0( ；当? 是正有理数 q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),(,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ ；?。
总的来说，幂函数 ()f x x 在其定义域连续。
在函数极限的计算中，经常需要用到函数的连续性。
例 3.2.12 计算极限
lim
x? 0
( c o s )x x
1
2 。
解 利用对数恒等式，有 2
1
( c o s ) xx? e
u,其中
()u g x 1
2
x
xl n ( c o s ) 2
2
1
l n 1 2 s in
2
x
x
2
s i n2
1
2
2
2
2
2
s i n21ln
2
s i n2
xx
x
x
,
由对数函数的连续性,
lim
x? 0
g x( )
0
l i m
x?
2
12
2 si n2
2
2
0
2 s i n
2
l i m l n 1 2 s i n
2
x
x
x
x
x?
11
ln
2e
2
1
。
再由指数函数 e u 的连续性，得到
lim
x? 0
( c o s )x x
1
2
1
2
li m
u
e u
1
e
。
例 3.2.13 放射性物质的质量变化规律设时刻
0t?
时有质量为 M 的某种放射性物质，它的瞬时放射速率与该时刻放射性物质的质量成正比，比例系数为
k
。求时刻 t 时该放射性物质的质量
M t( )
。
解 随着时间从
0
变到 t,放射性 物质的质量在连续不断地减少，
而放射速率也随之连续地减小。为了便于进行计算，我们采用下述处理方法,
将时间区间
t,0
平均分成 n 个小区间
0,t
n
i
i
1?
,
i
n
it
n
ti
,
)1(
,
并在每个小区间
i?
上，将放射速率近似地取为常数
n
ti
kM
)1(
。
在时间段
1?
上，因放射速率近似为 kM,于是
n
t
M
M? kM t
n
M?
n
t
k1；
在时间段
2?
上，因放射速率近 似为
()
t
kM
n
，于是
n
t
M
2? M
n
t
k1
kM
n
t
k1
t
n
M?
2
1?
n
t
k；
继续不断地做下去，可得到
M t( )
的近似值
M t( )
M n
n
t
k?
1
。
显然分割的区间数
n
越大，近似值就越接近
M t( )
的精确值。于是
()Mt?
lim
n
M
n
n
t
k?
1
M?
lim
n
l n 1
e
n
t
k
n
M e? k t 。
例 3,2.1 3 说明放射性物质的质量函数是时间 t 的指数函数。自然界中这类函数关系是很普遍的，例如一类物种在不考虑种种灾难性因素的前提下，它的数量函数也是时间 t 的指数函数。
f x( )
在点
x 0
的某个邻域中有定义,并且成立
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
则称函数
f x( )
在点
x 0
连续,而称
x 0
是函数
f x( )
的 连续点 。
“函数
f x( )
在点
x 0
连续”的符号表述（或称,,表述）,
0,? 0,? x (
0||xx
),
0| ( ) ( ) |f x f x
。
§ 2 连续函数定义 3.2.2 若函数 f x( ) 在区间 ),( ba 的每一点都连续,则称函数
f x( ) 在 开区间 ),( ba 上连续 。
连续函数的定义定义 3.2.1 设函数
f x( )
在点
x 0
的某个邻域中有定义,并且成立
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
则称函数
f x( )
在点
x 0
连续,而称
x 0
是函数
f x( )
的 连续点 。
“函数
f x( )
在点
x 0
连续”的符号表述（或称,,表述）,
0,? 0,? x (
0||xx
),
0| ( ) ( ) |f x f x
。
例 3.2.1 函数
()fx? 1
x
在区间 (0,1 ) 上 连续。
证 设
x 0
是 (0,1 ) 中任意一点。对于任意给定的
0
，要找
0
，
使得当
0||xx
时，有
0
11
xx
=
0
0
xx
xx
。
为了放大左边不等式，加上条件
| |x x
x
0
0
2
，于是
x
x
0
2
,从而
xx
x
0
0
2
2
。
取
m in
2
,
2
2
00
xx
，当
|| 0xx
时,
0
11
xx
=
0
0
xx
xx?
0
2
0
2 | |xx
x
,
所以
f x( )
=
1
x
在 (0,1 ) 上 连续。
证毕为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义 3.2.3
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
左连续 ；
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
右连续 。
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
0 0xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x；
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
00 xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x
。
定义 3.2.4 若 f x( ) 在 ),( ba 连续,且在左端点 a 右连续,在右端点
b 左连续,则称函数 f x( ) 在闭区间 ],[ ba 上连续 。
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要 单侧连续 的概念,
定义 3.2.3
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
左连续 ；
若
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
,则称函数
f x( )
在
x 0
右连续 。
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
0 0xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x；
lim
x x0
f x( )
=
f x( )0
可表述为,? 0,? 0,
x
（
00 xx
）,
0| ( ) ( ) |f x f x
。
例 3.2.2
f x( )
=
x x( )1?
在闭区间
[ 0,1 ]
上连续。
证 设
0 ( 0,1 )x?
是任意一点，令
m i n
{
x 0
,
01 x?
}
0?
，当
0||xx
时，
(0,1 )x?
，因而
|
x x( )1?
-
x x0 01( )?
|
=
| |
( ) ( )
1
1 1
0
0 0
x x
x x x x
| |x x? 0
00
1
( 1 )xx
| |x x? 0
。
对任意给定的
0
，取
m in
{
，
00( 1 )xx
｝，当
0||xx
时，成立
|
x x( )1?
-
x x0 01( )?
|
00
1
( 1 )xx
| |x x? 0
,
所以
f x( )
=
x x( )1?
在
( 0,1 )
上连续 。
现考虑区间的端点，对任意给定的 0,取 2,
则当 0 x 时,
| ( ) ( 0 ) |f x f x；
而当 10x 时,
| ( ) ( 1 ) | 1f x f x。
这说明
f x( )
在 0x? 右连续，在 1x? 左连续。
由此得出
f x( )
=
x x( )1?
在闭区间
[ 0,1 ]
上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )( xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx
0
与 0,0,)(
0 xxXx
：
)()( 0xfxf,则称函数 )( xf 在区间 X 上 连续。
例 3.2.3
( ) s i nf x x?
在
),(
上连续。
证 设
x 0? ),(
是任意一点，由于
|
0s i n s i nxx?
| =
002 c o s s i n
22
x x x x
| |x? 0
,
对任意给定的 0,取,当
0||xx
时，成立
|
0s i n s i nxx?
|
0||xx
。
所以
( ) s i nf x x?
在
),(
上连续。
同样可以按定义证明
( ) c o sf x x?
在
),(
上连续。
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式：
设函数 )( xf 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果 Xx
0
与 0,0,)(
0 xxXx
：
)()( 0xfxf,则称函数 )( xf 在区间 X 上 连续。
例 3,2,4 指数函数
f x( )
= a x （
0,1aa
）在
),(
上连续。
证 首先，对任意一点
x 0? ),(
，有
xa? a x 0 = a x 0 ( 0 1xxa ) 。
所以证
lim
x x? 0
a x = a x 0 就归结为证
lim
t? 0
1ta?
。
若
0t
，则当
1a?
时，成立
1 ta
ta
1
1
,
因
lim
n
1n a?
，由极限的夹逼性，得到
lim
t0
1ta?
。
当 01 a,由极限的除法运算，得到
lim
t0
a t =
lim
t0
t
a
1
1
0
1 / l i m
t
1
1
t
a
；
若 0t,则令 ut,于是
lim
t0
ta?
lim
u0
1
1
ua
。
综合起来，得到
lim
t? 0
1ta?,从而有
lim
x x? 0
a x = a x 0 。
连续函数的四则运算设
lim
x x? 0
f x( )
=
f x( )0
,
lim
x x? 0
g x( )
=
g x( )0
,则
( Ⅰ )
lim
x x? 0
(?
f x( )
+
g x( )
)=?
f x( )0
+
g x( )0
(?,
是常数 ) ；
( Ⅱ )
lim
x x? 0
(
f x( ) g x( )
)=
f x( )0 g x( )0；
( Ⅲ )
lim
x x? 0
f x
g x
( )
( )
=
f x
g x
( )
( )
0
0
(
0( ) 0gx?
) 。
由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间进行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使分母为零的点后余下的范围连续。
例 3.2.5 对于常数函数
()f x c?
与恒等函数
()g x x?
，容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
( Ⅰ ) 任意多项式
1
1 1 0()
nn
n n np x a x a x a x a
在
),(
上连续；
( Ⅱ ) 任意有理函数 1
1 1 0
1
1 1 0
()
nn
nn
mm
mm
a x a x a x a
Qx
b x b x b x b
在其定义域上连续，即
Q x( )
在
),(
去掉分母
b x b x b x bm m m m1 1 1 0?
的零点 ( 至多
m 个点 ) 的范围连续。
例 3.2.6 证明了三角函数 s i n x 与 c o s x 的连续性，由连续函数的四则运算规则，可知 tan x = s i n
c o s
x
x
,1
se c c o sx x?
在其定义域
{ π
| π + 2x x x k kRZ，,
} 上连续； c o t x = c o s
s i n
x
x
,1
cs c sinx x?
在其定义域 { | πx x x k kRZ，,} 上连续。
例 3.2.5 对于常数函数
()f x c?
与恒等函数
()g x x?
，容易从定义出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可以得到
( Ⅰ ) 任意多项式
1
1 1 0()
nn
n n np x a x a x a x a
在
),(
上连续；
( Ⅱ ) 任意有理函数 1
1 1 0
1
1 1 0
()
nn
nn
mm
mm
a x a x a x a
Qx
b x b x b x b
在其定义域上连续，即
Q x( )
在
),(
去掉分母
b x b x b x bm m m m1 1 1 0?
的零点 ( 至多
m 个点 ) 的范围连续。
不连续点类型按照连续性定义，函数 f x( ) 在点 x
0
连续必须满足,
(1 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有定义，即 f x( )
0
为有限值；
(2 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有左极限，且 f x( )
0?
= f x( )
0;
(3 ) 函数 f x( ) 在点 x
0
有右极限，且 f x( )
0?
= f x( )
0
。
三者缺一不可。否则，函数 f x( ) 在点 x 0 不连续,亦称 f x( ) 在点 x 0
间断 ； 这时点 x 0 是函数 f x( ) 的 不连续点,亦称 间断点 。
通常将不连续点分成三类。
第一类不连续点,函数
f x( )
在点
x 0
的左、右极限都存在但不相等，
即
0()fx f x( )0?
。
例如
( ) s g nf x x?
,0x? 是它的第一类不连续点。
在函数的第一类不连续点处，图 像 会出现一个跳跃，所以第一类不连续点又称为 跳跃点,
00( ) ( )f x f x
称为函数
f x( )
在点
x 0
的 跃度 。
例如符号函数
s g n x
在 0x? 的跃度为 2 。
第二类不连续点：函数 f x( ) 在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 f x( ) = e 1x,0x? 是它的第二类不连续点（图 3,1.4 ）,
f ( )0? = lim
x0
1
e0x?,f ( )0? =
limx0
1
e x 。
又如 f x( ) = s i n 1
x
,0x? 也是它的第二类不连续点（图 3,1.3 ），因为 s i n 1
x
在 0x? 的左、右极限都不存在。
第二类不连续点：函数 f x( ) 在点 x
0
的左、右极限中至少有一个不存在。
例如 f x( ) = e 1x,0x? 是它的第二类不连续点（图 3,1.4 ）,
f ( )0? = lim
x0
1
e0x?,f ( )0? =
limx0
1
e x 。
第三类不连续点：函数
f x( )
在点
x 0
的左、右极限都存在而且相等，
但不等于
f x( )0
或者
f x( )
在点
x 0
无定义。
例如
f x( )
=
x
x
s i n
1,它在 0x? 没有定义，但在 0x? 的左、右极限都等于 0,所以 0x? 是它的第三类不连续点。通过重新定义
f x( )
= x
x
x
x
s in,
,,
1
0
0 0
,
则
f x( )
就是
),(
上的连续函数。
在函数的第三类不连续点，可以通过重新定义在该点的函数值，
使之成为函数的连续点，因此第三类不连续点又称为 可去不连续点 或可去间断点 。
例 3.2.7 设 R i em a nn 函数
()Rx
定义如下,
R x( )
=
是无理数，
互质
x
x
qpqp
q
p
x
p
,0
,0,1
),,,}0{\,(,
1
ZN
其中定义
(0 ) 1R?
（这是因为
0x?
可写成
0
1
x?
，同时这样定义也保证了
()Rx
的周期性）。 证明
()Rx
在任意点
x 0
的极限存在，且极限值为 0 。
换言之，一切无理点是
R x( )
的连续点，而一切有理点是
R x( )
的第三类不连续点。
证
R x( )
是以 1 为周期的周期函数，所以只要讨论区间
0,1
上的函数性质。
在
0,1
上，分母为 1 的有理点只有两个,0
1
和 1
1；分母为 2 的有理点只有一个,1
2；分母为 3 的有理点只有两个,1
3
和 2
3；分母为 4 的有理点只有两个,1
4
和 3
4；分母为 5 的有理点只有四个,1
5
,2
5
,3
5
和
4
5；?，总之，对任意正整数 k,在
0,1
上分母不超过 k 的有理点个数是有限的。
设
x 00,1
是任意一点，对任意给定的
0
，设 k =
1
，因为在
0,1
上分母不超过 k 的有理点个数有限，设它们为
r1
，
r2
,?，
rn
。令
m i n
1
0
i n
r xi
{ |
ri
-
x 0
| },
显然
0
。当
0,1x?
且
00 | |xx
时，若 x 是无理数，则 R ( x ) = 0 ；若
x 是有理数，其分母必大于
1
，于是
1
()
1
1
Rx
,因此成立
| ( ) 0 |Rx
。
此即说明
()Rx
在
x 0
的极限为 0 （
0 0x?
时是指右极限，
0 1x?
时是指左极限）。根据
()Rx
的周期性，对一切
x 0? ),(
成立
0
l i m ( ) 0
xx
Rx
。
例 3.2.8 区间
),( ba
上单调函数的不连续点必为第一类不连续点。
证 不妨设
f x( )
在
),( ba
单调增加。
设
x 0? ),( ba
是任意一点。显然集合 {
f x( )
| x? ( a,
x 0
)} 有上界，由
“确界存在定理”，必定存在上确界，记它为
,
sup
{
f x( )
| x? ( a,
x 0
)} 。
对一切 x? ( a,
x 0
),成立
()fx；而对任意给定 的
0
，必存在
x? ( a,
x 0
),使得
()fx
。取
=
x 0
-
0x
，则当
0 0xx
时，
有
xx x
0
，于是成立
-
()fx ()fx?
-
0
,
这就说明
lim
x x0
f x( )
=
。同理可证
lim
x x0
()fx
，其中
i n f
{
f x( )
| x? (
x 0
,b ) } 。
所以单调函数在任意点的左、右极限都存在。换言之，单调函数的不连续点必定是跳跃点。
反函数连续性定理定理 3.2.1 （ 反函数存在性定理） 若函数
y f x? ( )
,x?
D f
是严格单调增加（减少）的,则存在它的反函数
1 ()x f y
，
y? R
f
,并且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加（减少）的 。
反函数连续性定理定理 3.2.1 （ 反函数存在性定理） 若函数
y f x? ( )
,x?
D f
是严格单调增加（减少）的,则存在它的反函数
1 ()x f y
，
y? R
f
,并且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加（减少）的 。
证 不妨设
y f x? ( )
,x?
D f
严格单调增加。对任意两点?x,
x?
D f
及它们相应的函数值
y f x( )
，
y f x( )
，由
f x( )
严格单调增加，可知 xx?
yy
。显然它保证了逆像的唯一性，所以存在反函数
1 ()x f y
，
fyR?
。
设
y 1
，
y 2
R f
，
1y? y 2
，它们的逆像相应为
1x? f y
1
1( )
，
2x?
f y? 1 2( )
。则
x 1
，
x 2
的大小只有三种可能,(1)
1x? x 2
,(2)
12xx?
，
(3)
12xx?
。 但
1x? x 2
违背
f
的严格单调增加性，
1x? x 2
违背
f
具有像的唯一性，于是必然有
1x? x 2
，这表明
f y? 1 ( )
也是严格单调增加的。
证毕定理 3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数 y f x? ( ) 在闭区间 ],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa,()fb,则它的反函数 1 ()x f y
在 ],[ 连续且严格单调增加 。
证 首先证明
( [,] )f a b
=
],[
，即
f
的 值域 ( 也就是
f? 1
的定义域 )
是
],[
。
显然?,
( [,] )f a b
。设
),(
是任意一点，记
S? { |xx? [,]a b,()fx },
则集合 S 非空且有上界，由确界存在定理,S 必有上确界，记
0 s u pxS?
，则
x 0? ),( ba
。
根据
f x( )
的严格单调增加性，当
0xx?
时，
()fx；当
0xx?
时，
()fx
。于是
f x( )0 f x( )0?
。
由
f x( )
在点
x 0
的连续性，得到
0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x
。这说明
f x( )
的值域是闭区间
],[
。
定理 3.2.2 ( 反函数连续性定理 ) 设函数 y f x? ( ) 在闭区间 ],[ ba
上连续且严格单调增加,()fa,()fb,则它的反函数 1 ()x f y
在 ],[ 连续且严格单调增加 。
y
y f x? ( )
y2
y0
y1
0x
x0
0x
x
根据定理 3.2.1,在
],[
上必定存在
f
的反函数
1 ()x f y
，且
f y? 1 ( )
也是严格单调增加函数。
现 在 只 需 要 证 明 反 函 数
1 ()x f y
在
],[
上的连续性。 ( 图
3,2,1 )
设
y0? ),(
，相应地有
f y? 1 0( )
=
x0? ),( ba
。对于任意给定的 0,
要找出 0,使当
0||yy
时，成立
| ( ) ( ) |f y f y1 1 0= |)(| 01 xyf,
即
0x? 1 ()fy x 0 +? 。
图 3,2.1
令
y 1
=
0()fx
，
y 2
=
0()fx
，取 m in {
0y y 1
，
2y y 0
} 0?,则当
0||yy
时,成立
| ( ) ( ) |f y f y1 1 0
。
同样可证
1 ()x f y
在
0y
的右连续性，在
0y
的左连续性。
证毕例 3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域连续,
a r c s i nyx?
,
[ 1,1 ]x
,
y? π π
,
22
；
ar cc o syx?
,x?
]1,1[?
,
y? [ 0,π ]；
a r c ta nyx?
,x?
),(
，
y? π π
,
22
；
a r c c o tyx?
,x?
),(
，
y? ( 0,π )
。
例 3,2,10 指数函数 xya? 的反函数 l o g ayx? （ 0,1aa ）在 ),0(
连续。
例 3.2.9 由以上结果，可知下述反三角函数在它们的定义域连续,
a r c s i nyx?
,
[ 1,1 ]x
,
y? π π
,
22
；
ar cc o syx?
,x?
]1,1[?
,
y? [ 0,π ]；
a r c ta nyx?
,x?
),(
，
y? π π
,
22
；
a r c c o tyx?
,x?
),(
，
y? ( 0,π )
。
复合函数的连续性设
lim
x x? 0
g x( )
=
u 0
，
lim
u u? 0
()f u A?
，对于复合函数
f g x? ( )
，我们不能得出
lim
x x? 0
()f g x A?
的结论。反例,
()y f u 0,0,
1,0,
u
u
()u g x 1
sinx
x
,
显然有
lim
x? 0
( ) 0gx?
,
lim
u? 0
( ) 1fu?
,
但是复合函数
f g x? ( )
在
0x?
没有极限。
但是当
f
与
g
都是连续函数时，则上述的结论是成立的。
定理 3.2.3 若
()u g x?
在点
x 0
连续,g (
x 0
)
0u?
,又
()y f u?
在点
u 0
连续,则复合函数
()y f g x?
在点
x 0
连续 。
证 对于任意给定的
0
，由于
lim
u u? 0
()fu? f u( )0
，所以存在
0
，
当
0||uu
时，成立
0| ( ) ( ) |f u f u
。
对上面这个
0
，由于
lim
x x? 0
()gx?
0()gx 0u?
，所以存在
0
，当
0||xx
时，成立
0| ( ) |g x u
。
由此得出，当
0||xx
时,
|
)( xgf? f g x? ( )0
|=|
)( xgf? f u( )0
|
,
即
lim
x x? 0
0( ) ( )f g x f g x?
。
证毕例 3.2.10 双曲正弦函数 eesh
2
xxx 与双曲余弦函数
eech 2xxx 在 ),( 连续。
例 3.2.11 对于任意实数?,幂函数
()fx? x?
在
),0(
连续。
解 事实上，幂函数
()fx? x?
是由
f x( ) x lne x?
，
( 0,)x
定义的，即它是由
e uy?
，
(,)u
与 lnux,x?
),0(
复合而成。
根据定理 3.2.3,
()f x x
在
),0(
连续。
例 3.2.10 双曲正弦函数 eesh
2
xxx 与双曲余弦函数
eech 2xxx 在 ),( 连续。
注 对于具体给定的实数?,()fx? x? 的定义域可以扩大。例如当? 是正整数 n 时,()fx? x n 的定义域是 ),( ；当? 是负整数 - n 时，
()fx? x n? 的定义域是 )0,( ∪ ),0( ；当? 是正有理数 q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),(,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ ；?。
总的来说，幂函数 ()f x x 在其定义域连续。
结论,常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这 6 类基本初等函数在它们的定义域上连续，且从这些基本初等函数出发，经过有限次四则运算及复合运算所产生的函数（即初等函数）也在它们各自的定义域上连续。
定理 3.2.4 一切初等函数在其定义域上连续 。
注 对于具体给定的实数?,()fx? x? 的定义域可以扩大。例如当? 是正整数 n 时,()fx? x n 的定义域是 ),( ；当? 是负整数 - n 时，
()fx? x n? 的定义域是 )0,( ∪ ),0( ；当? 是正有理数 q
p
（既约分数），
若 p 是奇数，则定义域是 ),(,若 p 是偶数，则定义域是 ),0[ ；?。
总的来说，幂函数 ()f x x 在其定义域连续。
在函数极限的计算中，经常需要用到函数的连续性。
例 3.2.12 计算极限
lim
x? 0
( c o s )x x
1
2 。
解 利用对数恒等式，有 2
1
( c o s ) xx? e
u,其中
()u g x 1
2
x
xl n ( c o s ) 2
2
1
l n 1 2 s in
2
x
x
2
s i n2
1
2
2
2
2
2
s i n21ln
2
s i n2
xx
x
x
,
由对数函数的连续性,
lim
x? 0
g x( )
0
l i m
x?
2
12
2 si n2
2
2
0
2 s i n
2
l i m l n 1 2 s i n
2
x
x
x
x
x?
11
ln
2e
2
1
。
再由指数函数 e u 的连续性，得到
lim
x? 0
( c o s )x x
1
2
1
2
li m
u
e u
1
e
。
例 3.2.13 放射性物质的质量变化规律设时刻
0t?
时有质量为 M 的某种放射性物质，它的瞬时放射速率与该时刻放射性物质的质量成正比，比例系数为
k
。求时刻 t 时该放射性物质的质量
M t( )
。
解 随着时间从
0
变到 t,放射性 物质的质量在连续不断地减少，
而放射速率也随之连续地减小。为了便于进行计算，我们采用下述处理方法,
将时间区间
t,0
平均分成 n 个小区间
0,t
n
i
i
1?
,
i
n
it
n
ti
,
)1(
,
并在每个小区间
i?
上，将放射速率近似地取为常数
n
ti
kM
)1(
。
在时间段
1?
上，因放射速率近似为 kM,于是
n
t
M
M? kM t
n
M?
n
t
k1；
在时间段
2?
上，因放射速率近 似为
()
t
kM
n
，于是
n
t
M
2? M
n
t
k1
kM
n
t
k1
t
n
M?
2
1?
n
t
k；
继续不断地做下去，可得到
M t( )
的近似值
M t( )
M n
n
t
k?
1
。
显然分割的区间数
n
越大，近似值就越接近
M t( )
的精确值。于是
()Mt?
lim
n
M
n
n
t
k?
1
M?
lim
n
l n 1
e
n
t
k
n
M e? k t 。
例 3,2.1 3 说明放射性物质的质量函数是时间 t 的指数函数。自然界中这类函数关系是很普遍的，例如一类物种在不考虑种种灾难性因素的前提下，它的数量函数也是时间 t 的指数函数。
