产生导数的实际背景微积分的发明人之一── N ew t o n 最早用导 数研究的是如何确定力学中运动物体的瞬时速度问题。
一个运动物体在时刻 t 的位移可以用函数
s s t? ( )
来描述，它在时间段
[,]t t t
中位移的改变量为
s s t t s t( ) ( )
，所以当? t 很小的时候，它在时刻 t 的瞬时速度可以近似地用它在
[,]t t t
中的平均速度
v t
s
t
s t t s t
t
( )
( ) ( )
来代替。而瞬时速度是当
t? 0
时
v t( )
的极限值，即
v t
s
t
s t t s t
tt t
( ) lim lim
( ) ( )
0 0
。
于是
v t s t( ) ( )
,
也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。
§ 2 导数的意义和性质将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化快慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、
经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都可以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导数实际上是因变量关于自变量的变化率。
比如，设函数
p p t? ( )
表示某个地区在时刻 t 的人口数，那么当
t? 0
时，便得到该地区在时刻 t 的人口增长速率为
p t
p
t
p t t p t
tt t
( ) lim lim
( ) ( )
0 0
,
即人口增长速率是人口数量函数的导数。
导数的几何意义设
y f x? ( )
是平面上的一条光滑的连续曲线，
))(,( xfx
是曲线上一个定点，
))(,( xxfxx
是曲线上的一个动点，
过
(,( ))x f x
和
(,( ))x x f x x
两点可以唯一确定曲线的一条过点
(,( ))x f x
的割线，并且，当点
(,( ))x x f x x
在曲线上移动时将引起割线位置的不断变化。曲线的切线定义应该是：如果在点
(,( ))x x f x x
沿着曲线无限趋近于点
(,( ))x f x
（即
x? 0
）时，
这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线就被称为曲线
)( xfy?
在点
(,( ) )x f x
处的 切线 （图 4.2.3 ）。
现求过点
(,( ))x f x
的切线的斜率。因为割线的斜率为
y
x
f x x f x
x
( ) ( )
,
因此，过点
(,( ))x f x
的切线斜率就是极限
lim lim
( ) ( )
x x
y
x
f x x f x
x
0 0
的值，即
f x( )
在 x 处的导数值
f x( )
──这就是导数的几何意义。
由此进一步可得，曲线
)( xfy?
在点
))(,( 000 xfxP
处的切线方程是
))(()( 000 xxxfxfy
。
过
0P
点且与切线垂直的直线称为曲线
)( xfy?
在点
0P
处的 法线,于是当
0)( 0 xf
时，在点
0P
处的法线方程是
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy?
。
例 4.2.1 求抛物线
)0(22 ppxy
上任意一点
(,)x y0 0
处的切线斜率。
解 设
(,)x y0 0
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方程改写成
)0(2)( xpxxfy
,
则它在
(,)x y0 0
处的切线斜率应为
0000
00
0
0 0 0
2 ( ) 2( ) ( )
l im l im
2 l im
( ( ) ) 2
xx
x
p x x p xf x x f x
xx
px
p
x x x x x
，
由此很容易求得它在任意一点处的切线 方程。
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。
记抛物线的方程为
)0(22 ppxy
，设它在点
(,)x y0 0
处的切线与 x
轴的夹角为
1?
，由于
y px0 02?,
该切线的斜率可以写成
1
00
t a n
2
p p
yx
,
再记点
(,)x y0 0
与抛物线的焦点
0,
2
p
的连线与 x 轴的夹角为
2?
，该连线与抛物线在点
00(,)xy
处的切线的夹角为
,（如图 4.2.4 ）
由此得到
20
0
2
t a n
p
x
y
,
于是
12
12
t a nt a n1
t a nt a n
t a n
020
0
020
0
1
y
p
x
y
y
p
x
y
p
p
1
0
t a n
y
p
,
即
恰好等于切线与 x 轴的夹角
1?
。
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角）
等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称轴平行。
根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后，
成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射,汇 聚于它的焦点上。
探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例子。
例 4.2.2 求椭圆
)0,(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
上任一点
(,)x y0 0
处的切线方程。
解 设
(,)x y0 0
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此区域中的椭圆方程改写成
),()(
22
axaxa
a
b
xfy
则它在
00(,)xy
处的切线斜率应为
2 2 2 2
0000
00
22
00
2 2 2 2 2 20
0 0 0
()( ) ( )
l im l im
()
l im
( ( ) )
xx
x
a x x a xf x x f x b
x a x
x x x xbb
aa
a x x a x x a x
。
于是它在
00(,)xy
处的切线方程为
y y
b
a
x
a x
x x
0
0
2
0
2
0
( )
,
注意到
(,)x y0 0
位于椭圆上，即满足
y
b
a
a x
0
2
0
2
,
两边整理后便得到切线方程
x x
a
y y
b
0
2
0
2
1
,
这正是我们在平面解析几何中已知的结论。
可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图
4.2.5 ）。
单侧导数
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
,
由极限存在的定义，函数
f x( )
在
0x
处可导的充分必要条件是相应的左极限
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
和右极限
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
存在并且相等，我们把它们分别称为
f x( )
在
0x
处的 左导数 和 右导数 。
若
f x( )
在
0x
处的 左右导数中至少有一个不存在，或是左右导数都存在但不相等的话，
f x( )
在
0x
处就是不可导的。
例 4.2.3 考察函数 ||)( xxf? 在 0?x 处的可导情况。
解 当 0?x,xxxf ||)(,所以 )( xf 在 0?x 处的 左导数为
1lim)0(
0
x
x
f
x；
而当 0?x,xxxf ||)(,所以 )( xf 在 0?x 处的 右导数为
1lim)0(
0
x
x
f
x
,
||)( xxf? 在
0?x
处的 左右导数都存在但不相等，由定义，它在
0?x
处不可导。
例 4.2.4 考察函数
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
在 x? 0 处的可导情况。
解 当
0 x
时，
f x( ) 0
，于是显然有
0
)0()(
lim)0(
0
x
fxf
f
x
,
当? x? 0 时,
f x f
x
x
x
x x
( ) ( )
s i n
s i n
0
1
1,
当
x0
时，上式的极限不存在，即函数在 x? 0 处的 右导数不存在，
由定义，它在这一点 不可导。
例 4.2,5 设函数
2,1
2,
)(
2
xax
xbx
xf
,
确定
ba,
，使得
)( xf
在
2?x
处可导。
解 要使
)( xf
在
2?x
处可导，首先它必须在
2?x
处连续。因此
)2()(lim)(lim 2
22
fbxxf
xx
,
即
124 ab
。
要使
)( xf
在
2?x
处可导，必须成立
)2()2( ff
，由
a
x
aax
x
fxf
f
xx
2
)12(1
lim
2
)2()(
lim)2(
22；
4
2
4
lim
2
)4(
lim
2
)2()(
lim)2(
2
2
2
22
x
x
x
bbx
x
fxf
f
xxx
。
得到
4?a
。将
4?a
代入
124 ab
，得到
5?b
。这时
4)2(f
。
对于在闭区间
,ab
上定义的函数
()y f x?
，如果
()fx
在开区间
(,)ab
上 可导，并且
()fx
在 xa? 的 右导数与在 xb? 的左导数存在，则称
()fx
在闭区间
,ab
上 可导。
对于 函数
22() bf x a x
a
，当 x a 时，相应的左右导数为
()fa
，
()fa
，所以函数
22() bf x a x
a
在 xa? 的左导数与在 xa 的右导数不存在,即
()fx
的可导区间为
),( aa?
。
若将函数改为
322
()g x a x
，则容易验证
()gx
在闭区间
aa,?
上 是可导的。
注意：虽然同样都是单侧导数不存在，但例 4.2.2 中的函数曲线
（即上半 椭 圆）在 x a 处的切线是存在的，只是切线的倾角是 π
2
而已，而例 4.2.4 中的函数曲线在 x? 0 处的右侧根本就没有切线存在。
在讨论问题时应注意区分这两种不同的情况。
一个运动物体在时刻 t 的位移可以用函数
s s t? ( )
来描述，它在时间段
[,]t t t
中位移的改变量为
s s t t s t( ) ( )
，所以当? t 很小的时候，它在时刻 t 的瞬时速度可以近似地用它在
[,]t t t
中的平均速度
v t
s
t
s t t s t
t
( )
( ) ( )
来代替。而瞬时速度是当
t? 0
时
v t( )
的极限值，即
v t
s
t
s t t s t
tt t
( ) lim lim
( ) ( )
0 0
。
于是
v t s t( ) ( )
,
也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。
§ 2 导数的意义和性质将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化快慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、
经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都可以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导数实际上是因变量关于自变量的变化率。
比如，设函数
p p t? ( )
表示某个地区在时刻 t 的人口数，那么当
t? 0
时，便得到该地区在时刻 t 的人口增长速率为
p t
p
t
p t t p t
tt t
( ) lim lim
( ) ( )
0 0
,
即人口增长速率是人口数量函数的导数。
导数的几何意义设
y f x? ( )
是平面上的一条光滑的连续曲线，
))(,( xfx
是曲线上一个定点，
))(,( xxfxx
是曲线上的一个动点，
过
(,( ))x f x
和
(,( ))x x f x x
两点可以唯一确定曲线的一条过点
(,( ))x f x
的割线，并且，当点
(,( ))x x f x x
在曲线上移动时将引起割线位置的不断变化。曲线的切线定义应该是：如果在点
(,( ))x x f x x
沿着曲线无限趋近于点
(,( ))x f x
（即
x? 0
）时，
这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线就被称为曲线
)( xfy?
在点
(,( ) )x f x
处的 切线 （图 4.2.3 ）。
现求过点
(,( ))x f x
的切线的斜率。因为割线的斜率为
y
x
f x x f x
x
( ) ( )
,
因此，过点
(,( ))x f x
的切线斜率就是极限
lim lim
( ) ( )
x x
y
x
f x x f x
x
0 0
的值，即
f x( )
在 x 处的导数值
f x( )
──这就是导数的几何意义。
由此进一步可得，曲线
)( xfy?
在点
))(,( 000 xfxP
处的切线方程是
))(()( 000 xxxfxfy
。
过
0P
点且与切线垂直的直线称为曲线
)( xfy?
在点
0P
处的 法线,于是当
0)( 0 xf
时，在点
0P
处的法线方程是
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy?
。
例 4.2.1 求抛物线
)0(22 ppxy
上任意一点
(,)x y0 0
处的切线斜率。
解 设
(,)x y0 0
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方程改写成
)0(2)( xpxxfy
,
则它在
(,)x y0 0
处的切线斜率应为
0000
00
0
0 0 0
2 ( ) 2( ) ( )
l im l im
2 l im
( ( ) ) 2
xx
x
p x x p xf x x f x
xx
px
p
x x x x x
，
由此很容易求得它在任意一点处的切线 方程。
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。
记抛物线的方程为
)0(22 ppxy
，设它在点
(,)x y0 0
处的切线与 x
轴的夹角为
1?
，由于
y px0 02?,
该切线的斜率可以写成
1
00
t a n
2
p p
yx
,
再记点
(,)x y0 0
与抛物线的焦点
0,
2
p
的连线与 x 轴的夹角为
2?
，该连线与抛物线在点
00(,)xy
处的切线的夹角为
,（如图 4.2.4 ）
由此得到
20
0
2
t a n
p
x
y
,
于是
12
12
t a nt a n1
t a nt a n
t a n
020
0
020
0
1
y
p
x
y
y
p
x
y
p
p
1
0
t a n
y
p
,
即
恰好等于切线与 x 轴的夹角
1?
。
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角）
等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称轴平行。
根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后，
成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射,汇 聚于它的焦点上。
探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例子。
例 4.2.2 求椭圆
)0,(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
上任一点
(,)x y0 0
处的切线方程。
解 设
(,)x y0 0
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此区域中的椭圆方程改写成
),()(
22
axaxa
a
b
xfy
则它在
00(,)xy
处的切线斜率应为
2 2 2 2
0000
00
22
00
2 2 2 2 2 20
0 0 0
()( ) ( )
l im l im
()
l im
( ( ) )
xx
x
a x x a xf x x f x b
x a x
x x x xbb
aa
a x x a x x a x
。
于是它在
00(,)xy
处的切线方程为
y y
b
a
x
a x
x x
0
0
2
0
2
0
( )
,
注意到
(,)x y0 0
位于椭圆上，即满足
y
b
a
a x
0
2
0
2
,
两边整理后便得到切线方程
x x
a
y y
b
0
2
0
2
1
,
这正是我们在平面解析几何中已知的结论。
可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图
4.2.5 ）。
单侧导数
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
,
由极限存在的定义，函数
f x( )
在
0x
处可导的充分必要条件是相应的左极限
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
和右极限
x
xfxxf
xf
x?
)()(
lim)(
00
0
0
存在并且相等，我们把它们分别称为
f x( )
在
0x
处的 左导数 和 右导数 。
若
f x( )
在
0x
处的 左右导数中至少有一个不存在，或是左右导数都存在但不相等的话，
f x( )
在
0x
处就是不可导的。
例 4.2.3 考察函数 ||)( xxf? 在 0?x 处的可导情况。
解 当 0?x,xxxf ||)(,所以 )( xf 在 0?x 处的 左导数为
1lim)0(
0
x
x
f
x；
而当 0?x,xxxf ||)(,所以 )( xf 在 0?x 处的 右导数为
1lim)0(
0
x
x
f
x
,
||)( xxf? 在
0?x
处的 左右导数都存在但不相等，由定义，它在
0?x
处不可导。
例 4.2.4 考察函数
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
在 x? 0 处的可导情况。
解 当
0 x
时，
f x( ) 0
，于是显然有
0
)0()(
lim)0(
0
x
fxf
f
x
,
当? x? 0 时,
f x f
x
x
x
x x
( ) ( )
s i n
s i n
0
1
1,
当
x0
时，上式的极限不存在，即函数在 x? 0 处的 右导数不存在，
由定义，它在这一点 不可导。
例 4.2,5 设函数
2,1
2,
)(
2
xax
xbx
xf
,
确定
ba,
，使得
)( xf
在
2?x
处可导。
解 要使
)( xf
在
2?x
处可导，首先它必须在
2?x
处连续。因此
)2()(lim)(lim 2
22
fbxxf
xx
,
即
124 ab
。
要使
)( xf
在
2?x
处可导，必须成立
)2()2( ff
，由
a
x
aax
x
fxf
f
xx
2
)12(1
lim
2
)2()(
lim)2(
22；
4
2
4
lim
2
)4(
lim
2
)2()(
lim)2(
2
2
2
22
x
x
x
bbx
x
fxf
f
xxx
。
得到
4?a
。将
4?a
代入
124 ab
，得到
5?b
。这时
4)2(f
。
对于在闭区间
,ab
上定义的函数
()y f x?
，如果
()fx
在开区间
(,)ab
上 可导，并且
()fx
在 xa? 的 右导数与在 xb? 的左导数存在，则称
()fx
在闭区间
,ab
上 可导。
对于 函数
22() bf x a x
a
，当 x a 时，相应的左右导数为
()fa
，
()fa
，所以函数
22() bf x a x
a
在 xa? 的左导数与在 xa 的右导数不存在,即
()fx
的可导区间为
),( aa?
。
若将函数改为
322
()g x a x
，则容易验证
()gx
在闭区间
aa,?
上 是可导的。
注意：虽然同样都是单侧导数不存在，但例 4.2.2 中的函数曲线
（即上半 椭 圆）在 x a 处的切线是存在的，只是切线的倾角是 π
2
而已，而例 4.2.4 中的函数曲线在 x? 0 处的右侧根本就没有切线存在。
在讨论问题时应注意区分这两种不同的情况。
