微分的定义设
y f x? ( )
是一个给定的函数，
在点 x 附近有定义。若
f x( )
在 x 处的自变量产生了某个增量? x 变成了
x x （增量? x 可正可负，但不为零），那么它的函数值也相应地产生了一个增量
y x f x x f x( ) ( ) ( )
,
在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就将
y x( )
简单地记为
y
。
第四章 微 分
§ 1 微分和导数定义 4.1.1 对函数
y f x? ( )
定义域中的一点
0x
，若存在一个只与
0x
有关，而与? x 无关的数
)( 0xg
，使得当? x? 0 时恒成立关系式
0( ) ( )y g x x o x
,
则称
f x( )
在
0x
处的微分存在，或称
f x( )
在
0x
处 可微 。
若函数
y f x? ( )
在某一区间上的每一点都可微，则称
f x( )
在该区间上 可微 。
由定义可知，若
f x( )
在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时
y
也是无穷小量，且当
g x( )? 0
时，成立等价关系
y g x x~ ( )
。
“
g x x( )?
”这一项也被称为
y
的 线性主要 部分 。
当
f x( )
在 x 处 可微且? x? 0 时，将? x 称为 自变量的微分,记作 xd,
而将
y
的线性主要部分
()g x xd
（即
g x x( )?
）称为 因变量的微分,记作
yd
或
()fxd
，于是就有以下的微分关系式
()y g x x?dd
。
例 4.1.1 设 2)( xxfy,对于在任意一点 ),(x 处所产生的增量? x,有
2 2 2( ) 2y x x x x x x
由定义，函数 y x? 2 在 x 处是可微的，它的微分为
2( ) 2y x x xd d d。
由定义可知，若
f x( )
在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时
y
也是无穷小量，且当
g x( )? 0
时，成立等价关系
y g x x~ ( )
。
“
g x x( )?
”这一项也被称为
y
的 线性主要 部分 。
当
f x( )
在 x 处 可微且? x? 0 时，将? x 称为 自变量的微分,记作 xd,
而将
y
的线性主要部分
()g x xd
（即
g x x( )?
）称为 因变量的微分,记作
yd
或
()fxd
，于是就有以下的微分关系式
()y g x x?dd
。
例 4.1.2 设 y f x x( ) 23,在 x? 0 处，有
,3 2)0()( xfxfy
当? x? 0 时,? x 23 趋于 0 的阶比? x 的阶低,因而
y
不可能表示成? x
的线性项与高阶项的和。由定义,函数 3 2xy? 在 x? 0 处是不可微的。
函数 y x? 23 虽然不是
),(
上的可微函数，但它在
(,) 0
和
),0(
上却都是可微的。
注意：若函数 f x( ) 在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时必有? y? 0,
即 f x( ) 在 x 处连续，所以 可微必定连续 。
但要 注意 该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 y x? 23,它在 x? 0 处连续，但它在这一点处不可微。
例 4.1.2 设 y f x x( ) 23,在 x? 0 处，有
,3 2)0()( xfxfy
当? x? 0 时,? x 23 趋于 0 的阶比? x 的阶低,因而
y
不可能表示成? x
的线性项与高阶项的和。由定义,函数 3 2xy? 在 x? 0 处是不可微的。
函数 y x? 23 虽然不是
),(
上的可微函数，但它在
(,) 0
和
),0(
上却都是可微的。
微分和导数若
f x( )
在
0x
处可微，则有关系式
)()( 0 xoxxgy
,
其中
)( 0xg
是当
x? 0
时，因变量的差分与自变量的差分之比
y
x
( 称为差商 ) 的极限值。
定义 4.1.2 若函数
)( xfy?
在其定义域中的一点
0x
处极限
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(
limlim
00
00
存在，则称
f x( )
在
0x
处 可导,并称这个极限值为
f x( )
在
0x
处的 导数,
记为
)( 0xf?
（或
)( 0xy?
,
0
xx
f
x
d
d
，
0
xx
y
x
d
d
）。
若函数
y f x? ( )
在某一区间上的每一点都可导，则称
f x( )
在该区间上 可导。
f x( )
在
0x
处的导 数还有如下的等价定义
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
。
函数
f x( )
的所有可导点的集合是
()fx
定义域的子集，导数值
f x( )
可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数
f x( )
的 导函数,记为
)( xf?
（或
)( xy?
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）。
导函数一般就简称为导数。
若
f x( )
在 x 处可微，则它必定在 x 处可导，而
( ) ( )y g x x o x
中的
g x( )
不是别的，正是
f x( )
在这一点的导数值
f x( )
。
反过来，
f x( )
在 x 处可导也保证它在 x 处可微。因为
lim ( )
x
y
x
f x
0
等价于
0)(lim
0
xf
x
y
x
,
于是
)1()( oxf
x
y
，也就是
( ) ( 1 ) ( )y f x x o x o x
。
定理 4.1.1 函数 y f x? ( ) 在 x 处可微的充分必要条件是它在 x 处可导。
对 一元函数
．,,,
来说，它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此，
一元函数的
．,,,,
微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟”。
y f x? ( )
是一个给定的函数，
在点 x 附近有定义。若
f x( )
在 x 处的自变量产生了某个增量? x 变成了
x x （增量? x 可正可负，但不为零），那么它的函数值也相应地产生了一个增量
y x f x x f x( ) ( ) ( )
,
在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就将
y x( )
简单地记为
y
。
第四章 微 分
§ 1 微分和导数定义 4.1.1 对函数
y f x? ( )
定义域中的一点
0x
，若存在一个只与
0x
有关，而与? x 无关的数
)( 0xg
，使得当? x? 0 时恒成立关系式
0( ) ( )y g x x o x
,
则称
f x( )
在
0x
处的微分存在，或称
f x( )
在
0x
处 可微 。
若函数
y f x? ( )
在某一区间上的每一点都可微，则称
f x( )
在该区间上 可微 。
由定义可知，若
f x( )
在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时
y
也是无穷小量，且当
g x( )? 0
时，成立等价关系
y g x x~ ( )
。
“
g x x( )?
”这一项也被称为
y
的 线性主要 部分 。
当
f x( )
在 x 处 可微且? x? 0 时，将? x 称为 自变量的微分,记作 xd,
而将
y
的线性主要部分
()g x xd
（即
g x x( )?
）称为 因变量的微分,记作
yd
或
()fxd
，于是就有以下的微分关系式
()y g x x?dd
。
例 4.1.1 设 2)( xxfy,对于在任意一点 ),(x 处所产生的增量? x,有
2 2 2( ) 2y x x x x x x
由定义，函数 y x? 2 在 x 处是可微的，它的微分为
2( ) 2y x x xd d d。
由定义可知，若
f x( )
在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时
y
也是无穷小量，且当
g x( )? 0
时，成立等价关系
y g x x~ ( )
。
“
g x x( )?
”这一项也被称为
y
的 线性主要 部分 。
当
f x( )
在 x 处 可微且? x? 0 时，将? x 称为 自变量的微分,记作 xd,
而将
y
的线性主要部分
()g x xd
（即
g x x( )?
）称为 因变量的微分,记作
yd
或
()fxd
，于是就有以下的微分关系式
()y g x x?dd
。
例 4.1.2 设 y f x x( ) 23,在 x? 0 处，有
,3 2)0()( xfxfy
当? x? 0 时,? x 23 趋于 0 的阶比? x 的阶低,因而
y
不可能表示成? x
的线性项与高阶项的和。由定义,函数 3 2xy? 在 x? 0 处是不可微的。
函数 y x? 23 虽然不是
),(
上的可微函数，但它在
(,) 0
和
),0(
上却都是可微的。
注意：若函数 f x( ) 在 x 处是可微的，那么当? x? 0 时必有? y? 0,
即 f x( ) 在 x 处连续，所以 可微必定连续 。
但要 注意 该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 y x? 23,它在 x? 0 处连续，但它在这一点处不可微。
例 4.1.2 设 y f x x( ) 23,在 x? 0 处，有
,3 2)0()( xfxfy
当? x? 0 时,? x 23 趋于 0 的阶比? x 的阶低,因而
y
不可能表示成? x
的线性项与高阶项的和。由定义,函数 3 2xy? 在 x? 0 处是不可微的。
函数 y x? 23 虽然不是
),(
上的可微函数，但它在
(,) 0
和
),0(
上却都是可微的。
微分和导数若
f x( )
在
0x
处可微，则有关系式
)()( 0 xoxxgy
,
其中
)( 0xg
是当
x? 0
时，因变量的差分与自变量的差分之比
y
x
( 称为差商 ) 的极限值。
定义 4.1.2 若函数
)( xfy?
在其定义域中的一点
0x
处极限
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(
limlim
00
00
存在，则称
f x( )
在
0x
处 可导,并称这个极限值为
f x( )
在
0x
处的 导数,
记为
)( 0xf?
（或
)( 0xy?
,
0
xx
f
x
d
d
，
0
xx
y
x
d
d
）。
若函数
y f x? ( )
在某一区间上的每一点都可导，则称
f x( )
在该区间上 可导。
f x( )
在
0x
处的导 数还有如下的等价定义
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
。
函数
f x( )
的所有可导点的集合是
()fx
定义域的子集，导数值
f x( )
可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数
f x( )
的 导函数,记为
)( xf?
（或
)( xy?
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）。
导函数一般就简称为导数。
若
f x( )
在 x 处可微，则它必定在 x 处可导，而
( ) ( )y g x x o x
中的
g x( )
不是别的，正是
f x( )
在这一点的导数值
f x( )
。
反过来，
f x( )
在 x 处可导也保证它在 x 处可微。因为
lim ( )
x
y
x
f x
0
等价于
0)(lim
0
xf
x
y
x
,
于是
)1()( oxf
x
y
，也就是
( ) ( 1 ) ( )y f x x o x o x
。
定理 4.1.1 函数 y f x? ( ) 在 x 处可微的充分必要条件是它在 x 处可导。
对 一元函数
．,,,
来说，它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此，
一元函数的
．,,,,
微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟”。
