无穷大量随着 n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为 无穷大量,其严格的分析定义为,
定义 2.3.1 若对于任意给定的 G? 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时成立
nxG?
,
则称数列｛
x n
｝是无穷大量，记为
l i m n
n
x
。
§ 3 无穷大量无穷大量随着 n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为 无穷大量,其严格的分析定义为,
定义 2.3.1 若对于任意给定的 G? 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时成立
nxG?
,
则称数列｛
x n
｝是无穷大量，记为
l i m n
n
x
。
符号表述法
“数列 { x n } 是无穷大量”,G 0,? N,n N,｜ x n ｜? G 。
§ 3 无穷大量注
(1) 与极限定义中? 表示任意给定的很小的正数相类似，这里的 G 表示任意给定的很大的正数。
(2) 如果无穷大量｛
x n
｝从某一项开始都是正的 ( 或负的 ),则称其为 正无穷大量 ( 或 负无穷大量 ),统称为 定号无穷大量,分别记为
l i m n
n
x
( 或
l i m n
n
x
) 。
例如,{ n 2 } 是正无穷大量,{ n10? } 是负无穷大量，而｛
( )? 2 n
｝
是 ( 不定号 ) 无穷大量。
例 2.3.1 设 1||?q,证明 { q n } 是无穷大量。
证G 1,取
||lg
lg
q
GN,于是n N,成立
nq || ||lg
lg
|| q
G
q G 。
因此 { q n } 是无穷大量。
例 2.3.2 证明
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
证 当 5?n 时，有不等式
n
n
2 1
5
2
n
,
于是G 0,取
N G? m a x { [ ],}2 5
,
n N
，成立
n
n
2 1
5
2
n
G 。
因此
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
例 2.3.1 设 1||?q,证明 { q n } 是无穷大量。
证G 1,取
||lg
lg
q
GN,于是n N,成立
nq || ||lg
lg
|| q
G
q G 。
因此 { q n } 是无穷大量。
无穷大量与无穷小量之间的关系,
定理 2.3.1 设
x n
≠ 0,则｛
x n
｝是无穷大量的充分必要条件是
n
x
1
是无穷小量 。
证 设 {
x n
} 是无穷大量，
0
，取
0
1
G
，于是
N
，
n N
,｜
x n
｜? G
1
，从而
n
x
1
，即
n
x
1
是无穷小量 。
反过来，设
n
x
1
是无穷小量,G 0,取
0
1
G
，于是
N
，
n N
：
n
x
1 1
G
，从而｜
x n
｜? G,即｛
x n
｝是无穷大量。
证毕关于无穷大量的运算性质,
同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同；
无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量；
同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。
定理 2.3.2 设 {}
nx
是无穷大量，若当
0Nn?
时,
0ny
成立，则 {}
nnxy
是无穷大量。
推论 设 {}
nx
是无穷大量，
l i m 0nn yb
，则 {}
nnxy
与
n
n
y
x 都是无穷大量 。
定理 2.3.2 设 {}
nx
是无穷大量，若当
0Nn?
时,
0ny
成立，则 {}
nnxy
是无穷大量。
推论 设 {}
nx
是无穷大量，
l i m 0nn yb
，则 {}
nnxy
与
n
n
y
x 都是无穷大量 。
例题：
lim
n
( n
n
10 ),
lim
n
n
n
1
lg,
lim
n
nn t a na r c
，
lim
n
n
ns i n
。
例 2.3.3 讨论极限
lim
n
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
,
其中
k l，
为正整数，
a 0 0?
，
b 0 0?
。
解
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
n
a
a
n
a
n
a
n
b
b
n
b
n
b
n
k l
k
k
k
k
l
l
l
l
0
1 1
1
0
1 1
1
。
由于
lim
n
11
0 1
0
11
0
0 1
0
kk
kk
ll
ll
aaa
a
a
n n n
bbb b
b
n n n
,
可以得到
lim
n
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
.,
,,
,,0
0
0
lk
lk
b
a
lk
待定型分别以,,?,0 表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当
lim
n
0naa
时，
lim
n
a a a
n
n1 2
就是?
待定型。
下面介绍的 Sto l z 定理将为求某些类型的待定型极限带来很大的方便。
待定型分别以,,?,0 表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当
lim
n
0naa
时，
lim
n
a a a
n
n1 2
就是?
待定型。
定义 2.3.2
如果数列 {
x n
} 满足
x n 1 nx
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 {
x n
} 为 单调增加数列 ；
如果数列 {
x n
} 满足
x n 1 nx
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 {
x n
} 为 严格单调增加数列 。
类似地可定义 单调减少数列 和 严格单调减少数列 。
注 因为数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以下面遇到单调数列的时候，都可以理解为“从某一项开始为单调的数列”。
定理 2.3.3 ( Sto l z 定理 ) 设
{}ny
是严格单调增加的正无穷大量，且
limn x x
y y a
n n
n n
1
1
( a 可以为有限量, 与 ),
则
limn xy an
n
。
证 先考虑 a? 0 的情况。
由
limn x xy yn n
n n
1
1
0
，可知 0,? N
1
,n N
1
,
｜ x x
n n 1
｜ ( y y
n n 1
) 。
定理 2.3.3 ( Sto l z 定理 ) 设
{}ny
是严格单调增加的正无穷大量，且
limn x x
y y a
n n
n n
1
1
( a 可以为有限量, 与 ),
则
limn xy an
n
。
由于 {
y n
} 是正无穷大量，显然可要求
0
1
Ny
，于是
｜
x xn N?
1
｜≤｜
x xn n 1
｜ + ｜
x xn n1 2
｜ +? + ｜
x xN N
1 11?
｜
(
y yn n 1
)+? (
y yn n1 2
)+? +? (
y yN N
1 11?
) (
y yn N?
1
) 。
不等式两边同除以
ny
，得到
n
N
n
n
y
x
y
x
1
n
N
y
y
11
,
对于固定的
1N
，又可以取到
1NN?
，使得 nN,
n
N
y
x
1
，从而
n
n
y
x
1N
n
x
y
2? 。
当 a 是非零有限数时，令?x
n
= x a y
n n?
，于是由
limn
x x
y y
n n
n n
1
1
limn x x
y y
an n
n n
1
1
0
,
得到
limn
x
y
n
n
0
，从而
limn
x
y
n
n
limn
x
y
a an
n
。
对于 a 的情况，首先
N
，
n N
,
1nn xx y yn n 1
,
这说明 {
x n
} 也严格单调增加，且从
Nn xx y yn N?
可知
{}nx
是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n
n
n
y
x
lim
n
y y
x x
n n
n n
1
1
0
因而
lim
n
x
y
n
n
。
对于 a
的情况，证明方法类同。
证毕例如：若 lim
n n
aa?,则 lim
n
12 na a a an
。这只要在 Sto l z 定理中令 x
na a a n1 2?
,y n
n?
即可直接得到。
对于 a 的情况，首先
N
，
n N
,
1nn xx y yn n 1
,
这说明 {
x n
} 也严格单调增加，且从
Nn xx y yn N?
可知
{}nx
是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n
n
n
y
x
lim
n
y y
x x
n n
n n
1
1
0
因而
lim
n
x
y
n
n
。
对于 a
的情况，证明方法类同。
证毕例 2.3.4 求极限
lim
n
1 2
1
k k k
k
n
n
( k 为正整数 ) 。
解 令
x n1 2
k k kn?,
y nn k 1
，由
lim
n
x x
y y
n n
n n
1
1
lim
n
n
n n
k
k k
1 1
1( )
=
lim
n
n
k n n k
k
k
k
k
( ) C
1
1
1
1
2 1
,
得到
lim
n
1 2
1
k k k
k
n
n
1
1k
。
例 2.3.5 设
lim
n
a n? a
,求极限
lim
n
a a na
n
n1 2
2
2 。
解 令
x na a na n1 22?
,
y nn? 2
，由
lim
n
x x
y y
n n
n n
1
1
lim
n
na
n n
n
2 2
1( )
=
lim
n
na
n
n
2 1?
a
2
,
得到
lim
n
a a na
n
n1 2
2
2
a
2
。
定义 2.3.1 若对于任意给定的 G? 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时成立
nxG?
,
则称数列｛
x n
｝是无穷大量，记为
l i m n
n
x
。
§ 3 无穷大量无穷大量随着 n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为 无穷大量,其严格的分析定义为,
定义 2.3.1 若对于任意给定的 G? 0,可以找到正整数 N,使得当 n N? 时成立
nxG?
,
则称数列｛
x n
｝是无穷大量，记为
l i m n
n
x
。
符号表述法
“数列 { x n } 是无穷大量”,G 0,? N,n N,｜ x n ｜? G 。
§ 3 无穷大量注
(1) 与极限定义中? 表示任意给定的很小的正数相类似，这里的 G 表示任意给定的很大的正数。
(2) 如果无穷大量｛
x n
｝从某一项开始都是正的 ( 或负的 ),则称其为 正无穷大量 ( 或 负无穷大量 ),统称为 定号无穷大量,分别记为
l i m n
n
x
( 或
l i m n
n
x
) 。
例如,{ n 2 } 是正无穷大量,{ n10? } 是负无穷大量，而｛
( )? 2 n
｝
是 ( 不定号 ) 无穷大量。
例 2.3.1 设 1||?q,证明 { q n } 是无穷大量。
证G 1,取
||lg
lg
q
GN,于是n N,成立
nq || ||lg
lg
|| q
G
q G 。
因此 { q n } 是无穷大量。
例 2.3.2 证明
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
证 当 5?n 时，有不等式
n
n
2 1
5
2
n
,
于是G 0,取
N G? m a x { [ ],}2 5
,
n N
，成立
n
n
2 1
5
2
n
G 。
因此
5
1
2
n
n
是正无穷大量。
例 2.3.1 设 1||?q,证明 { q n } 是无穷大量。
证G 1,取
||lg
lg
q
GN,于是n N,成立
nq || ||lg
lg
|| q
G
q G 。
因此 { q n } 是无穷大量。
无穷大量与无穷小量之间的关系,
定理 2.3.1 设
x n
≠ 0,则｛
x n
｝是无穷大量的充分必要条件是
n
x
1
是无穷小量 。
证 设 {
x n
} 是无穷大量，
0
，取
0
1
G
，于是
N
，
n N
,｜
x n
｜? G
1
，从而
n
x
1
，即
n
x
1
是无穷小量 。
反过来，设
n
x
1
是无穷小量,G 0,取
0
1
G
，于是
N
，
n N
：
n
x
1 1
G
，从而｜
x n
｜? G,即｛
x n
｝是无穷大量。
证毕关于无穷大量的运算性质,
同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同；
无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量；
同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。
定理 2.3.2 设 {}
nx
是无穷大量，若当
0Nn?
时,
0ny
成立，则 {}
nnxy
是无穷大量。
推论 设 {}
nx
是无穷大量，
l i m 0nn yb
，则 {}
nnxy
与
n
n
y
x 都是无穷大量 。
定理 2.3.2 设 {}
nx
是无穷大量，若当
0Nn?
时,
0ny
成立，则 {}
nnxy
是无穷大量。
推论 设 {}
nx
是无穷大量，
l i m 0nn yb
，则 {}
nnxy
与
n
n
y
x 都是无穷大量 。
例题：
lim
n
( n
n
10 ),
lim
n
n
n
1
lg,
lim
n
nn t a na r c
，
lim
n
n
ns i n
。
例 2.3.3 讨论极限
lim
n
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
,
其中
k l，
为正整数，
a 0 0?
，
b 0 0?
。
解
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
n
a
a
n
a
n
a
n
b
b
n
b
n
b
n
k l
k
k
k
k
l
l
l
l
0
1 1
1
0
1 1
1
。
由于
lim
n
11
0 1
0
11
0
0 1
0
kk
kk
ll
ll
aaa
a
a
n n n
bbb b
b
n n n
,
可以得到
lim
n
a n a n a n a
b n b n b n b
k k
k k
l l
l l
0 1
1
1
0 1
1
1
.,
,,
,,0
0
0
lk
lk
b
a
lk
待定型分别以,,?,0 表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当
lim
n
0naa
时，
lim
n
a a a
n
n1 2
就是?
待定型。
下面介绍的 Sto l z 定理将为求某些类型的待定型极限带来很大的方便。
待定型分别以,,?,0 表示正无穷大量，负无穷大量，无穷大量与无穷小量，则
0
,( ) ( ),( ) ( ),0,,
0
等极限，其结果可以是无穷小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。这种类型的极限称为 待定型 。
例如当
lim
n
0naa
时，
lim
n
a a a
n
n1 2
就是?
待定型。
定义 2.3.2
如果数列 {
x n
} 满足
x n 1 nx
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 {
x n
} 为 单调增加数列 ；
如果数列 {
x n
} 满足
x n 1 nx
,
n? 1 2 3,,,?
,
则称 {
x n
} 为 严格单调增加数列 。
类似地可定义 单调减少数列 和 严格单调减少数列 。
注 因为数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以下面遇到单调数列的时候，都可以理解为“从某一项开始为单调的数列”。
定理 2.3.3 ( Sto l z 定理 ) 设
{}ny
是严格单调增加的正无穷大量，且
limn x x
y y a
n n
n n
1
1
( a 可以为有限量, 与 ),
则
limn xy an
n
。
证 先考虑 a? 0 的情况。
由
limn x xy yn n
n n
1
1
0
，可知 0,? N
1
,n N
1
,
｜ x x
n n 1
｜ ( y y
n n 1
) 。
定理 2.3.3 ( Sto l z 定理 ) 设
{}ny
是严格单调增加的正无穷大量，且
limn x x
y y a
n n
n n
1
1
( a 可以为有限量, 与 ),
则
limn xy an
n
。
由于 {
y n
} 是正无穷大量，显然可要求
0
1
Ny
，于是
｜
x xn N?
1
｜≤｜
x xn n 1
｜ + ｜
x xn n1 2
｜ +? + ｜
x xN N
1 11?
｜
(
y yn n 1
)+? (
y yn n1 2
)+? +? (
y yN N
1 11?
) (
y yn N?
1
) 。
不等式两边同除以
ny
，得到
n
N
n
n
y
x
y
x
1
n
N
y
y
11
,
对于固定的
1N
，又可以取到
1NN?
，使得 nN,
n
N
y
x
1
，从而
n
n
y
x
1N
n
x
y
2? 。
当 a 是非零有限数时，令?x
n
= x a y
n n?
，于是由
limn
x x
y y
n n
n n
1
1
limn x x
y y
an n
n n
1
1
0
,
得到
limn
x
y
n
n
0
，从而
limn
x
y
n
n
limn
x
y
a an
n
。
对于 a 的情况，首先
N
，
n N
,
1nn xx y yn n 1
,
这说明 {
x n
} 也严格单调增加，且从
Nn xx y yn N?
可知
{}nx
是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n
n
n
y
x
lim
n
y y
x x
n n
n n
1
1
0
因而
lim
n
x
y
n
n
。
对于 a
的情况，证明方法类同。
证毕例如：若 lim
n n
aa?,则 lim
n
12 na a a an
。这只要在 Sto l z 定理中令 x
na a a n1 2?
,y n
n?
即可直接得到。
对于 a 的情况，首先
N
，
n N
,
1nn xx y yn n 1
,
这说明 {
x n
} 也严格单调增加，且从
Nn xx y yn N?
可知
{}nx
是正无穷大量。将前面的结论应用到
n
n
x
y
，得到
lim
n
n
n
y
x
lim
n
y y
x x
n n
n n
1
1
0
因而
lim
n
x
y
n
n
。
对于 a
的情况，证明方法类同。
证毕例 2.3.4 求极限
lim
n
1 2
1
k k k
k
n
n
( k 为正整数 ) 。
解 令
x n1 2
k k kn?,
y nn k 1
，由
lim
n
x x
y y
n n
n n
1
1
lim
n
n
n n
k
k k
1 1
1( )
=
lim
n
n
k n n k
k
k
k
k
( ) C
1
1
1
1
2 1
,
得到
lim
n
1 2
1
k k k
k
n
n
1
1k
。
例 2.3.5 设
lim
n
a n? a
,求极限
lim
n
a a na
n
n1 2
2
2 。
解 令
x na a na n1 22?
,
y nn? 2
，由
lim
n
x x
y y
n n
n n
1
1
lim
n
na
n n
n
2 2
1( )
=
lim
n
na
n
n
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