∑
∞
=
0
0
)(
n
n
n
xxa = +
0
a )(
01
xxa?
2
02
)( xxa?+ ++"
n
n
xxa )(
0
"+
这样的函数项级数称为幂级数。 幂级数的部分和函数 S
n
(x)是一个 1?n
次多项式。
为了方便，我们通常取
0
x = 0,也就是讨论
∑
∞
=0n
n
n
xa = +
0
a xa
1
2
2
xa+ ++"
n
n
xa"+,
然后对所得的结果做一个平移 x =
0
xt?,就可以平行推广到 0
0
≠x 的情况。
§ 3 幂级数
幂级数的收敛半径
对于幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa,首先有
∞→n
lim
n
n
n
xa || =
∞→n
lim?
n
n
a || ｜ x｜,
根据数项级数的 Cauchy 判别法，当上面的极限值小于 1 时，
∑
∞
=0n
n
n
xa 绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，
∑
∞
=0n
n
n
xa 发散。
令
A =
∞→n
lim
n
n
a ||,
定义
R =
+∞=
+∞∈
=
∞+
,
),,0(
,0
,0
,
1
,
A
A
A
A
当当当
则我们有
定理 10.3.1 （ Cauchy - Hadamard 定理 ） 幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa当Rx <||
（ 0>R ）时绝对收敛；当Rx >||时发散。
注意在区间的端点 x =± R，幂级数收敛与否必须另行判断。
对于
∑
∞
=
0
0
)(
n
n
n
xxa,则有平行的结论：幂级数在以
0
x为中心，以R
为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散。在区间的端点
0
x
± R，幂级数的敛散性必须另行判断。
数 R 称为幂级数的 收敛半径。当 +∞=R 时，幂级数对一切 x 都是绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x =
0
x 时收敛。
定理 10.3.1 （ Cauchy - Hadamard 定理 ） 幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa当Rx <||
（ 0>R ）时绝对收敛；当Rx >||时发散。
注意在区间的端点 x =± R，幂级数收敛与否必须另行判断。
例10.3.1 幂级数
∑
∞
=1n
n
n
x
，
∑
∞
=
1
2
)1(
n
n
n
x
，
∑
∞
=
+
1
)1(
n
n
xn 的收敛半径都是
R = 1。
∑
∞
=1n
n
n
x
的收敛域是 [-1,1)；
∑
∞
=
1
2
)1(
n
n
n
x
的收敛域是 [0,2]；
∑
∞
=
+
1
)1(
n
n
xn
的收敛域是(- 2,0)。
例10.3.2 考察幂级数
∑
∞
=
+
0
2
1])1(2[
n
n
nn
x
n
的收敛情况。
解 因为
∞→n
lim
n
nn
n
])1(2[?+
= 3,
所以收敛半径为 R =
3
1
。
读者可以自己证明：当 x = +
2
1
R =
6
5
与 x =?
2
1
R =
6
1
时，幂级数都是发散的。因此它的收敛域是
6
5
,
6
1
。
例10.3.1 幂级数
∑
∞
=1n
n
n
x
，
∑
∞
=
1
2
)1(
n
n
n
x
，
∑
∞
=
+
1
)1(
n
n
xn 的收敛半径都是
R = 1。
∑
∞
=1n
n
n
x
的收敛域是 [-1,1)；
∑
∞
=
1
2
)1(
n
n
n
x
的收敛域是 [0,2]；
∑
∞
=
+
1
)1(
n
n
xn
的收敛域是(- 2,0)。
在判断数项级数的收敛性时，除了 Cauchy 判别法，还有
D'Alembert 判别法,下面的定理就是 D'Alembert 判别法在幂级数上的应用。
定理 10.3.2 (D'Alembert 判别法 ) 如果对幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa成立
∞→n
lim
n
n
a
a
1+
= A,
则此幂级数的收敛半径为R =
A
1
。
定理的证明包含在引理 9.3.1 给出的不等式
∞→n
lim ≤
+
n
n
a
a
1
∞→n
lim ≤
n
n
a ||
∞→n
lim ≤
n
n
a ||
∞→n
lim
n
n
a
a
1+
中。
例 10.3.3 考察幂级数
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
的收敛情况。
解 因为
∞→n
lim
n
n
a
a
1+
=
∞→n
lim
!
)!1(
)1(
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
= e,
所以收敛半径为 R =
e
1
。
当 x =
e
1
时，
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）,
n
n
x
n
n
!
～
n
n
n
n
n
+
π e2
2
1
e
1
=
nπ2
1
( ∞→n )
可知
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时发散；
当 x =
e
1
,
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
是交错级数，由于
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
!
)!1(
)1(
1
1
+
+
+
+
=
e
1
1
1
1 <
+
n
n
且
n
n
x
n
n
!
～ 0
2
1
→
πn
( ∞→n ),
可知
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
在 x =
e
1
时是 Leibniz 级数，所以收敛。
综上所述，
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
n
n
的收敛域是
11
,
ee


。
幂级数的性质
Abel 第一定理：如果幂级数在点ξ收敛，则当||||x ξ<时幂级数绝对收敛；如果幂级数在点η发散,则当||||x η>时幂级数发散。
显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中。
定理 10.3.3 (Abel 第二定理) 设幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径为R，
则
(i)
∑
∞
=0n
n
n
xa在(-R,R)上内闭一致收敛，即在任意闭区间[ a,b]?
(-R,R)上一致收敛；
(ii) 若在x = R收敛，则它在任意闭区间[,] (,]aR RR上一致收敛。
幂级数的性质
Abel 第一定理：如果幂级数在点ξ收敛，则当||||x ξ<时幂级数绝对收敛；如果幂级数在点η发散,则当||||x η>时幂级数发散。
显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中。
证
(i) 记
{ }
max | |,| |abξ =,对一切 x∈ [a,b]，成立
≤
n
n
xa
n
n
a ξ
,
由于 ||ξ <R，所以
0
||
n
n
n
a ξ
∞
=
∑
收敛，由 Weierstrass 判别法，可知
∑
∞
=0n
n
n
xa 在
[a,b] 上一致收敛。
(ii) 先证明
∑
∞
=0n
n
n
xa 在 [0,R]上一致收敛。
当
∑
∞
=0n
n
n
Ra 收敛时，由于
n
R
x
在 [0,R] 一致有界（ 10 ≤
≤
n
R
x
)，且关于 n 单调，根据 Abel 判别法,
∑
∞
=0n
n
n
xa =
∑
∞
=0
)(
n
n
n
Ra
n
R
x
在 [0,R]上一致收敛。
于是当 0≥a 时，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在 [a,R]上一致收敛； 当 0<<? aR 时,由 (i)，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在[ a,0]上一致收敛，结合
∑
∞
=0n
n
n
xa 在 [0,R]上的一致收敛性就得到
∑
∞
=0n
n
n
xa 在 [a,R]上一致收敛。
注 类似地可进一步得到,
若
∑
∞
=0n
n
n
xa在x = -R收敛，则它在任意闭区间[ -R,b]? ),[ RR?上一致收敛；
若
∑
∞
=0n
n
n
xa在x =± R都收敛，则它在[-R,R]上一致收敛。
概括地说：幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上一致收敛。
根据 Abel 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 10.3.4 设
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径为R，则和函数在(-R,R)上连续；若
∑
∞
=0n
n
n
xa在x = R（或x = -R）收敛，则和函数在x = R（或 x = -R）
左(右)连续。
证 幂级数的一般项是幂函数，显然是连续函数。由 Abel 第二定理，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在其收敛域上内闭一致收敛，根据一致收敛函数项级数的和函数的连续性，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在包含于收敛域中的任意闭区间上连续，
因而在它的整个收敛域上连续。
根据 Abel 第二定理，可以得到幂级数的如下性质,
(1) 和函数的连续性,幂级数在它的收敛域上连续 。
定理 10.3.4 设
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径为R，则和函数在(-R,R)上连续；若
∑
∞
=0n
n
n
xa在x = R（或x = -R）收敛，则和函数在x = R（或 x = -R）
左(右)连续。
(2) 逐项可积性：幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分。
定理 10.3.5 设a,b是幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa收敛域中任意二点，则
∫
∑
∞
=
b
a
n
n
n
xxa d
0
= xxa
n
b
a
n
n
d
0
∑
∫
∞
=
,
特别地，取a = 0,b = x，则有
∫
∑
∞
=
x
n
n
n
tta
0
0
d =
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
,
且逐项积分所得幂级数
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
与原幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa具有相同的收敛半径。
证 由 Abel 第二定理，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
∞→n
lim
1
1
||
+
+
n
n
n
a
=
∞→n
lim
n
n
a ||,
可知
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
与
∑
∞
=0n
n
n
xa 具有相同的收敛半径。
注 虽然逐项积分所得的幂级数
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
与原幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa 收敛半径相同，但收敛域有可能扩大。
证 由 Abel 第二定理，
∑
∞
=0n
n
n
xa 在其收敛域上内闭一致收敛。应用一致收敛函数项级数的逐项积分定理，即得到幂级数的逐项可积性。
由于
∞→n
lim
1
1
||
+
+
n
n
n
a
=
∞→n
lim
n
n
a ||,
可知
∑
∞
=
+
+
0
1
1
n
nn
x
n
a
与
∑
∞
=0n
n
n
xa 具有相同的收敛半径。
例10.3.4 在例 10.2.7 中，通过对
∑
∞
=

1
221
)1(
n
nn
x 的逐项积分，已得到
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1
x
3
xx arctan
5
1
5
=?+",)1,1(?∈x 。
显然，
∑
∞
=

1
221
)1(
n
nn
x 的收敛域是 (-1,1)，但
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是
[-1,1]。
由于
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
在 x = ± 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，
即可得
∑
∞
=
→
1
12
1
1
12
)1(
lim
n
n
n
x
x
n
=
∑
∞
=
1
1
12
)1(
n
n
n
=
∑
∞
=
→
1
12
1
1
12
)1(
lim
n
n
n
x
x
n
=
4
arctanlim
1
π
=
→
x
x
,
也就是
""+
+?+?=
π
12
)1(
5
1
3
1
1
4
1
n
n
。
例 10.3.5 在例 10.2.8 中，通过对
∑
∞
=

1
11
)1(
n
nn
x 的逐项积分，已得到
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln(
3
1
3
xx +=?+",)1,1(?∈x 。
显然，
∑
∞
=

1
11
)1(
n
nn
x 的收敛域是( -1,1)，但
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
的收敛域是( -1,1]。
由于
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
在 x = 1 收敛，由幂级数和函数的连续性，即可得
∑
∞
=
→
1
1
1
)1(
lim
n
n
n
x
x
n
=
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
=
∑
∞
=
→
1
1
1
)1(
lim
n
n
n
x
x
n
= 2ln)1ln(lim
1
=+
→
x
x
,
也就是
ln2 = 1 +?
2
1
3
1
+?"
n
n 1
)1(
+,"
此即为例 2.4.10 的结果。
(3) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 10.3.6 设
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径为R，则它在(-R,R)上可以逐项求导，即
xd
d
∑
∞
=0n
n
n
xa =
∑
∞
=0
d
d
n
n
n
xa
x
=
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna,
且逐项求导所得的幂级数
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna的收敛半径也是R。
证 首先有
∞→n
lim
1
||
n
n
an
∞→
=
n
lim
n
n
a ||,
即
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna 的收敛半径也是 R，因此
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna 在 (-R,R)上内闭一致收敛。再由于
∑
∞
=0n
n
n
xa 在( -R,R)上收敛,应用函数项级数的逐项求导定理，
即得到幂级数的逐项可导性。
(3) 逐项可导性,幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导 。
定理 10.3.6 设
∑
∞
=0n
n
n
xa的收敛半径为R，则它在(-R,R)上可以逐项求导，即
xd
d
∑
∞
=0n
n
n
xa =
∑
∞
=0
d
d
n
n
n
xa
x
=
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna,
且逐项求导所得的幂级数
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna的收敛半径也是R。
注 虽然逐项求导所得的幂级数
∑
∞
=
1
1
n
n
n
xna 与原幂级数
∑
∞
=0n
n
n
xa 收敛半径相同，但收敛域有可能缩小。这只要考察例 10.3.4 中的
∑
∞
=
0
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
与例 10.3.5 中的
∑
∞
=
0
1
)1(
n
n
n
x
n
。前者的收敛域是 [-1,1]; 后者的收敛域是 (-1,1],但它们经过逐项求导后,收敛域都缩小为(- 1,1)。
例 10.3.6 求
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
的和函数。
解 由于
∞→n
lim
!
1
)!1(
1
n
n +
= 0,
可知
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
的收敛半径为 +∞=R,即它的收敛域为 ),( +∞?∞ 。令
S(x) =
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
（ ),( +∞?∞∈x ）,
应用幂级数的逐项可导性，可得
S ' (x) =
∑
∞
=
′
0
!
n
n
n
x
=
∑
∞
=
1
1
!)1(
n
n
n
x
=
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
= S(x)。
于是有
′?
))((e xS
x
=
x?
e ( )(xS
′
- S(x)) = 0,),( +∞?∞∈x 。
这说明
x?
e S(x)是一个常数，且该常数为 1))((e
0
=
=
x
x
xS 。从而得到
S(x) =
∑
∞
=0
!
n
n
n
x
= e
x
,),( +∞?∞∈x 。
例10.3.7 求级数
∑
∞
=
+
1
3
12
n
n
n
之和。
解 先考察幂级数
∑
∞
=0n
n
x =
x?1
1
,)1,1(?∈x,
逐项求导后，再两边乘以 x，得到
∑
∞
=1n
n
nx =
2
)1( x
x
,)1,1(?∈x 。
令 3/1=x,则有
∑
∞
=
1
3
1
n
n
=
2
1
,
∑
∞
=
1
3
1
n
n
n =
4
3
,
于是得到
∑
∞
=
+
1
3
12
n
n
n
= 2
∑
∞
=
1
3
1
n
n
n +
∑
∞
=
1
3
1
n
n
= 2。
例 10.3.8 求幂级数
∑
∞
=
+
0
2
!2
1
n
n
n
x
n
n
的和函数。
解 易知幂级数的收敛域为 ),( +∞?∞,并且有
,
!2
1
)!1(2!2
1
010
2
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
其中右面两个幂级数的收敛域显然也为 ),( +∞?∞ 。
由例 10.3.6 得到
/2
00
11
e
2! !2
n
nx
n
nn
x
x
nn
∞∞
==

==


∑∑
,),( +∞?∞∈x 。
再看
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
2)!1()!1(2
n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
。
设 =)(
1
xS
∑
∞
=
1
1
)!1(
n
n
x
n
n
，由逐项积分与例 10.3.6 的结论得
1
0
()d
x
St t=
∫
1
100
11 1
e,(,),
(1)! ! !
nn nx
nnn
xxxx x
∞∞∞
+
===
= ==∈?∞+∞
∑∑∑
对等式两边求导得
1
() e(1 )
x
Sx x= +,),( +∞?∞∈x,
所以
1
/2
1
11
1e
2( 1)! 2 ( 1)! 2 2 2 2 2
n
nx
n
nn
nxnxxxxx
xS
nn
∞∞
==

===+



∑∑
。
于是
22
/2
0
1
e1
2! 2 4
nx
n
n
nxx
x
n
∞
=
+
=++


∑
,),( +∞?∞∈x 。
在§ 9.4,我们曾证明,若
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 绝对收敛，则它们的 Cauchy
乘积
∑
∞
=1n
n
c =
∑∑
∞
=+=+11nnji
ji
ba =
∑
∞
=
+++
1
1121
)(
n
nnn
bababa"
等于?
∑
∞
=1n
n
a?
∑
∞
=1n
n
b 。但是当
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。下面我们应用幂级数的性质证明，即使
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 没有绝对收敛性，但只要它们的 Cauchy 乘积
∑
∞
=1n
n
c 收敛，则上述结论仍然成立。
于是
++=
+
∑
∞
=
42
1
!2
1
2
2/
0
2
xx
ex
n
n
x
n
n
n
,),( +∞?∞∈x 。
在§9.4,我们曾证明,若
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 绝对收敛,则它们的 Cauchy
乘积
∑
∞
=1n
n
c =
∑∑
∞
=+=+11nnji
ji
ba =
∑
∞
=
+++
1
1121
)(
n
nnn
bababa"
等于?
∑
∞
=1n
n
a?
∑
∞
=1n
n
b 。但是当
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 不是绝对收敛时，则上述结论不一定成立。 下面我们应用幂级数的性质证明,即使
∑
∞
=1n
n
a 与
∑
∞
=1n
n
b 没有绝对收敛性，但只要它们的 Cauchy 乘积
∑
∞
=1n
n
c 收敛，则上述结论仍然成立。
例 10.3.9 设
∑
∞
=1n
n
a,
∑
∞
=1n
n
b 及它们的 Cauchy 乘积
∑
∞
=1n
n
c 收敛，则
∑
∞
=1n
n
c =?
∑
∞
=1n
n
a?
∑
∞
=1n
n
b 。
证 定义三个幂级数及它们的和函数如下,
f (x) =
∑
∞
=1n
n
n
xa,g(x) =
∑
∞
=1n
n
n
xb,h(x) =
∑
∞
=1n
n
n
xc 。
这三个幂级数在 x = 1 都收敛，根据幂级数的性质,f (x),g(x),h(x)
三个和函数都在 [0,1]连续，且当 10 << x 时，三个幂级数都绝对收敛，
于是由定理 9.4.7,
∑
∞
=1n
n
n
xa?
∑
∞
=1n
n
n
xb = x
∑
∞
=1n
n
n
xc,
即
f (x) g(x) = xh(x),∈x (0,1) 。
令?→1x,得到 f (1) g(1) = h(1)，也就是得到
∑
∞
=1n
n
a?
∑
∞
=1n
n
b =
∑
∞
=1n
n
c 。