偏导数
定义 12.1.1 设D?
2
R为开集,
(,),(,)z f xy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数，),(
00
yx ∈D为一定点。如果存在极限
x
yxfyxxf
x
Δ
Δ+
→Δ
),(),(
lim
0000
0
,
那么就称函数f在点),(
00
yx关于x可偏导，并称此极限为f在点
),(
00
yx关于x的偏导数，记为
),(
00
yx
x
z
（或),(
00
yxf
x
,),(
00
yx
x
f
）。
第十二章 多元函数的微分学
§1 偏导数与全微分如果函数 f 在 D 中每一点都关于 x 可偏导,则 D 中每一点 ),( yx 与其相应的 f 关于 x 的偏导数 ),( yxf
x
构成了一种对应关系即二元函数 关系，它称为 f 关于 x 的 偏导函数 （也称为偏导数 ）,记为
x
z
（或 ),( yxf
x
，
x
f
）。
类似地可定义 f 在点 ),(
00
yx 关于 y 的偏导数 ),(
00
yx
y
z
（ 或
),(
00
yxf
y
,),(
00
yx
y
f
）及关于 y 的偏导函数
y
z
（或 ),( yxf
y
，
y
f
）。
若 f 在点 ),(
00
yx 关于 x 和 y 均可偏导，就简称 f 在点 ),(
00
yx 可 偏导。
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数
(,),(,)zfxy xy= ∈D,
它的图像是一张曲面。平面
0
yy = 与这张曲面的交线 l （见图 12.1.1）
方程为
l,
=
=
=
).,(
,
,
0
0
yxfz
yy
xx
X
Y
Z
0
x
(,)zfxy=
T
O
y
0
图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),(
00
yx 处的切向 量
T 的方向余弦满足
00
cos(,),cos(,),cos(,) 1,0,(,)
x
xyzfy=TTT,
也就是说,),(
00
yxf
x
是平面
0
yy = 上的曲线 l 在点 ),(
00
yx 处的切线关于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。
X
Y
Z
0
x
(,)zfxy=
T
O
y
0
图12.1.1
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导 时将其他变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的 n 元函 数上去：设 ),,,(
00
2
0
1
0
n
xxx "=x 为开集
n
RD 中一定点。定义 n元函数
),,,(
21 n
xxxfu "=,
12
(,,,)
n
xx x∈ " D
在
0
x 点关于
i
x （ ni,,2,1 "= ）的偏导数为
)(
0
x
i
x
f
= ),,,(
00
2
0
1 n
i
xxx
x
f
"
=
i
nniiii
x
x
xxxfxxxxxxf
i Δ
Δ+
+?
→Δ
),,,(),,,,,,(
lim
00
2
0
1
00
1
00
1
0
1
0
" " "
（如果等式右面的极限存在的话） 。
如果函数 f 在开集（或区域） D 上每一点关于每个
i
x 都可偏导
（ ni,,2,1 "= ）,则称 f 在 D 上可偏导。
例12.1.1 设
424
2),( yyxxyxf ++=,求 ),( yxf
x
,),( yxf
y
,)1,0(
x
f 和
)1,0(
y
f 。
解 把 y 看成常数，对 x 求导便得
xyxyxf
x
44),(
3
+= 。
于是 0)1,0( =
x
f 。
把 x 看成常数，对 y 求导便得
32
42),( yxyxf
y
+= 。
于是 4)1,0( =
y
f 。
例 12.1.2 求函数 )ln(
32
zyxu ++= 的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
++
=
,
32
2
zyx
y
y
u
++
=
,
32
2
3
zyx
z
z
u
++
=
。
例12.1.3 设 )1,0( ≠>= xxxz
y
，证明它满足方程
z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
=
+
。
证 由于 xx
y
z
yx
x
z
yy
ln,
1
=
=
，因此
zxxx
x
yx
y
x
y
z
xx
z
y
x
yyy
22ln
ln
1
ln
1
1
==?+?=
+
。
例 12.1.2 求函数 )ln(
32
zyxu ++= 的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
++
=
,
32
2
zyx
y
y
u
++
=
,
32
2
3
zyx
z
z
u
++
=
。
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。
例 12.1.4 设
=
≠
+
=
).0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
计算 )0,0(),0,0(
yx
ff 。
解 由定义得到
0
0
lim
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
0
22
00
=
Δ
=
Δ
+Δ
Δ
=
Δ
Δ+
=
→Δ→Δ→Δ
xx
x
x
x
fxf
f
xxx
x
。
同理 0)0,0( =
y
f 。这说明了 ),( yxf 在 )0,0( 点可偏导。
但我们已经知道,),( yxf 在 )0,0( 点不连续。
方向导数
偏导数反映的是二元函数沿 x 轴方向或 y 轴方向的变化率。而在平面
2
R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。
2
R 中的单位向量 v 总可以表示为 )sin,(cos αα=v,这里 α为 v 与 x 轴正向的夹角，因此 v 代表了一个方向,)cos(sin,cos βαα = 就是 v 的方向余弦（其中 β 为 v 与 y 轴正向的夹角） 。设 ∈),(
000
yxP
2
R,则以
0
P 为起点，方向为 v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为
=+= vOPx t
0
)sin,cos(
00
αα tytx ++,0≥t 。
y
)sin,(cos αα=v
α
O x
图 12.1.2
00
0
(),P xy
定义 12.1.2 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数,),(
00
yx ∈D为一定点，)sin,(cos αα=v为一个方向。如果极限
t
yxftytxf
t
),()sin,cos(
lim
0000
0
++
+→
αα
存在，则称此极限为函数f在点),(
00
yx的沿方向v的方向导数,记为
),(
00
yx
v
f
。
由于 x 轴和 y 轴的正向的方向分别为 )1,0()0,1(
21
== ee 和,由定义立即得到，函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处关于 x（或 y ）可偏导的充分必要条件为 ),( yxf 沿方向
1
e 和
1
e? （或方向
2
e 和
2
e? ）的方向导数都存在且为相反数，且这时成立
),(),(
00
1
00
yx
e
f
yx
x
f
=
（或 ),(),(
00
2
00
yx
e
f
yx
y
f
=
）。
定义 12.1.2 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数,),(
00
yx ∈D为一定点，)sin,(cos αα=v为一个方向。如果极限
t
yxftytxf
t
),()sin,cos(
lim
0000
0
++
+→
αα
存在，则称此极限为函数f在点),(
00
yx的沿方向v的方向导数,记为
),(
00
yx
v
f
。
例 12.1.5 求二元函数
2122
||),( yxyxf?= 在原点的方向导数。
解 对于任一方向 )sin,(cos αα=v,有
2122
|sincos|
||)0,0()sin0,cos0(
αα
αα
=
++
t
t
t
fttf
。
当 αα
22
sincos = 时，上式为零，因此 ),( yxf 沿这样的方向的方向导数为零。
当 αα
22
sincos ≠ 时，当 +→ 0t 时上式的极限为
2122
|sincos| αα?,它就是 ),( yxf 沿方向 v 的方向导数。同样可计算出,),( yxf 沿方向 v? 的方向导数仍为
2122
|sincos| αα? 。
特别地,),( yxf 沿方向
i
e 和
i
e? )2,1( =i 的方向导数均为 1，因此
),( yxf 在 )0,0( 点的偏导数不存在。
若将
n
R 中的单位向量 v （即满足 1=v 的向量）视为一个方向，
就可类似定义 n 元函数的方向导数,设
n
RD 为开集,),,,(
00
2
0
1
0
n
xxxx "=
为 D 中一定点,),,,(
21 n
vvv "=v 为一方向。定义 D 上的 n 元函 数
),,,(
21 n
xxxfu "= 在点
0
x 的沿方向 v 的方向导数为
),,,(
00
2
0
1 n
xxx
v
f
"
t
xxxftvxtvxtvxf
nnn
t
),,,(),,,(
lim
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1
0
" "?+++
=
+→
,
（如果等式右面的极限存在的话） 。
全微分
对于函数 ),( yxfz =,记它的 全增量 为
zΔ =
00 00
(,)(,)f xxyyfxy+Δ+Δ? 。
定义 12.1.3 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数，),(
00
yx ∈D为一定点。
若存在只与点),(
00
yx有关而与yx ΔΔ,无关的常数A和B，使得
zΔ ( )
22
yxoyBxA Δ+Δ+Δ+Δ=,
这里( )
22
yxo Δ+Δ表示在0
22
→Δ+Δ yx时比
22
yx Δ+Δ高阶的无穷小量。则称函数f在点),(
00
yx处是可微的，并称其线性主要部 分
yBxA Δ+Δ为f在点),(
00
yx处的全微分,记为),(d
00
yxz或),(d
00
yxf 。
若（在 0
22
→Δ+Δ yx 时）将自变量 yx,的微分 yx ΔΔ,分别记为
yx d,d,那么有全微分形式
),(d
00
yxz = yBxA dd + 。
说明,
（ 1） 如果函数 f 在点 ),(
00
yx 处可微,则 f 在点 ),(
00
yx 处是连续的，
即 可微必连续。
（ 2）若 yΔ =0，则得到
( )xoxAyxfyxxf Δ+Δ=?Δ+ ),(),(
0000
,
于是
A
x
yxfyxxf
x
=
Δ
Δ+
→Δ
),(),(
lim
0000
0
,
所以 Ayx
x
f
=
),(
00
。同理可证 Byx
y
f
=
),(
00
。因 此 可微必可偏导，同 时,
得到 全微分公式
yyx
y
f
xyx
x
f
yxf d),(d),(),(d
000000
+
= 。
例 12.1.6 求函数
xy
z e= 在点 )1,2( 处的全微分。
解 由于
xyxy
x
y
z
y
x
z
e,e =
=
,
则
22
e2)1,2(,e)1,2( =
=
y
z
x
z
。所以函数在点 )1,2( 处的全微分为
yxz de2ded
22
+= 。
定理 12.1.1 设D?
2
R为开集，),(
00
yx ∈D为一定点。如果函数
(,),(,)zfxy xy= ∈D
在),(
00
yx可微，那么对于任一方向)sin,(cos αα=v,f在),(
00
yx点沿方向v的方向导数存在，且
αα sin),(cos),(),(
000000
yx
y
f
yx
x
f
yx
v
f
+
=
。
证 由定义和全微分公式，得
t
yxftytxf
yx
v
f
t
),()sin,cos(
lim),(
0000
0
00
++
=
+→
αα
t
totyx
y
f
tyx
x
f
t
)(sin),(cos),(
lim
0000
0
+α
+α
=
+→
αα sin),(cos),(
0000
yx
y
f
yx
x
f
+
= 。
如果函数 f 在开集（或区域） D上的每一点都是可微的，则称 f
在 D上可微。此时成立
yyx
y
f
xyx
x
f
z d),(d),(d
+
= 。
（ 3）用同样的思想可以定义一般 n 元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 的 全微分，并可得到
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
u dddd
2
2
1
1
++
+
= " 。
如果 ),,,(
21 n
xxxfu "= 在 x ),,,(
21 n
xxx "= 点可微，那么
n
n
x
f
x
f
x
f
v
f
θθθ coscoscos
2
2
1
1
++
+
=
",
其中 )cos,,cos,(cos
21 n
θθθ "=v 为一方向,而
i
θ 就是 v 与
i
x 轴正向的夹角。
例12.1.7 求函数
y
zy
xu arctan
2
cos +?= 的全微分。
解 由于
2222
,
2
sin
2
1
,1
zy
y
z
u
zy
zy
y
u
x
u
+
=
+
=
=
,
所以
z
zy
y
y
zy
zy
xu dd
2
sin
2
1
dd
2222
+
+
+
+= 。
（ 4）一元函数的可导与可微是等价的。在高维情形可微必可偏导，但可偏导并不一定可微。例如，函数
=
≠
+
=
)0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 )0,0( 点不连续，因此不可微，但它在 )0,0( 点是可偏导的（见例
12.1.4）。
事实上,一个函数即使在某一点处连续,且所有方向导数都存在，
也不一定在该点可微。
例12.1.8 设
=+
≠+
+
=
.0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxf
由于
||
2
|),(|
42
42
42
2
yy
yx
yx
y
yx
xy
yxf =
+
+
≤
+
=,
所以 ),( yxf 在 )0,0( 点连续；而 ),( yxf 在 )0,0( 点沿方向 )sin,(cos αα=v 的方向导数为
t
fttf
v
f
t
)0,0()sin0,cos0(
lim
0
++
=
+→
αα
0
sincos
sincos2
lim
422
3
0
=
+
=
+→
t
t
t
αα
αα
。
因此 0)0,0()0,0( ==
yx
ff 。
但因为
),(])0,0()0,0([)0,0()0,0( yxfyfxffyxf
yx
ΔΔ=Δ+ΔΔ+Δ+,
而
220
),(
lim
2 yx
yxf
yx
y
Δ+Δ
ΔΔ
Δ=Δ
+→Δ
=
22
42
3
0
2
lim
2 yx
yx
yx
yx
y
Δ+Δ
Δ+Δ
ΔΔ
Δ=Δ
+→Δ
2
44
5
0
1
2
lim
yy
yy
y
y
Δ+Δ
Δ+Δ
Δ
=
+→Δ
1
1
1
lim
20
=
Δ+
=
+→Δ
y
y
0≠,
即
[ ] ( )
22
)0,0()0,0()0,0()0,0( yxoyfxffyxf
yx
Δ+Δ≠Δ+ΔΔ+Δ+,
所以 ),( yxf 在 )0,0( 点不可微。
关于函数的可微性有如下的充分条件,
定理 12.1.2 设函数),( yxfz =在),(
00
yx点的某个邻域上存在偏导数，并且偏导数在),(
00
yx点连续，那么f在),(
00
yx点可微。
证 首先我们有
.1,0,),(),(
)],(),([)],(),([
),(),(
21200010
00000000
0000
<<ΔΔ++ΔΔ+Δ+=
Δ++Δ+?Δ+Δ+=
Δ+Δ+
θθθθ yyyxfxyyxxf
yxfyyxfyyxfyyxxf
yxfyyxxf
yx
其中最后一步利用了微分中值定理。
因为
x
f 和
y
f 在 ),(
00
yx 点连续，所以
),1(),(),(
),1(),(),(
00200
00010
oyxfyyxf
oyxfyyxxf
yy
xx
+=Δ+
+=Δ+Δ+
θ
θ
其中 )1(o 表示当 0
22
→Δ+Δ yx 时的无穷小量。于是
( ),),(),(
)1()1(),(),(
),(),(
22
0000
0000
0000
yxoyyxfxyxf
yoxoyyxfxyxf
yxfyyxxfz
yx
yx
Δ+Δ+Δ+Δ=
Δ+Δ+Δ+Δ=
Δ+Δ+=Δ
即 f 在 ),(
00
yx 点可微。
梯度
定义 12.1.4 设D?
2
R为开集,∈),(
00
yx D为一定点。如果函数
),( yxfz =在),(
00
yx点可偏导，则称向量)),(),,((
0000
yxfyxf
yx
为f在点
),(
00
yx的梯度，记为
00
(,)f xygrad,即
00 00 00
(,) (,) (,)
xy
f xy fxy fxy= +grad ij。
如果 f 在 ),(
00
yx 点可微，注意到方向导数公式中 1=v,则得到 它的另一种表达,
00 00
(,) (,)
f
xy fxy
v
=?
grad v
00
(,) cos(,)f x yf= grad grad v 。
其中 (,)fgrad v 表示 fgrad 与 v 的夹角。
由此可见，函数 f 在其任何一可微点的方向导数的最大值 fgrad
在梯度方向达到。这就是说，沿着梯度方向函数值增加最快。同样，
f 的方向导数的最小值 f? grad 在梯度的反方向达到，或者说，沿 着梯度相反方向函数值减少最快。
梯度
定义 12.1.4 设D?
2
R为开集,∈),(
00
yx D为一定点。如果函数
),( yxfz =在),(
00
yx点可偏导，则称向量)),(),,((
0000
yxfyxf
yx
为f在点
),(
00
yx的梯度，记为
00
(,)f xygrad,即
00 00 00
(,) (,) (,)
xy
f xy fxy fxy= +grad ij。
梯度具有下列基本性质,
1） 若 cf ≡ （ c为常数），则 fgrad =0；
2） 若 α,β 为常数，则 ()fgα β+grad =α fgrad +β ggrad ；
3） ()f g?grad = f g?grad + gf?grad ；
4）
2
(0)
fg ff g
g
gg
= ≠
grad grad
grad 。
同样可以定义一般 n 元函数的梯度：设
n
RD 为开集,=
0
x
",,(
0
2
0
1
xx ),
0
n
x ∈D为一定点。如果函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 在
0
x 点可偏导，
我们称向量,,((
0
2
0
1
1
xxf
x
)),,,(,),,,,(),,
00
2
0
1
00
2
0
1
0
2
nxnxn
xxxfxxxfx
n
" " " " 为 f 在点
0
x 的梯度，记为
00 0
12
(,,,)
n
f xx xgrad " （或
0
()fgrad x ）。
上面叙述的关于梯度的基本性质与公式对一般 n元函数也成立。
梯度具有下列基本性质,
1） 若 cf ≡ （ c为常数），则 fgrad =0；
2） 若 α,β 为常数，则 ()fgα β+grad =α fgrad +β ggrad ；
3） ()f g?grad = f g?grad + gf?grad ；
4）
2
(0)
fg ff g
g
gg
= ≠
grad grad
grad 。
例 12.1.9 设 0,),(
2
2
2
2
>>+= ba
b
y
a
x
yxf 。在上半平面
}0|),{(
2
≥∈ yyx R 上，指出函数值增加最快的方向。
解 由于在梯度不为零向量处，梯度方向就是函数值增加最快的方向，所以在 )0,0(),( ≠yx 的点，函数 f 的梯度
22
22
(,)
x y
fxy
ab
=+grad ij
就是函数值增加最快的方向。
fgrad
y
xO
图12.1.3
而在原点 )0,0(,函 数 f 的梯度为零向量，这就要用其他方法考虑。
()
22
22 2
22 2 22
111
(,) (0,0)
xy
f xy f x y x
abb ba
=+=+
,
因此，在以原点为中心的任意小圆周上，当 0=x 时 )0,0(),( fyxf? 最大，
即函数值增加最大。这就是说，在原点处，沿 y 轴方向函数值增加 最快（参见图 12.1.3）。
关于梯度的性质，以后在场论中还要详加讨论。
fgrad
y
xO
图12.1.3
高阶偏导数
设 ),( yxfz = 在区域 D?
2
R 上具有偏导数
),( yxf
x
z
x
=
和 ),( yxf
y
z
y
=
。
那么在 D 上,),( yxf
x
和 ),( yxf
y
都是 yx,的二元函数。如果这两个偏 导函数的偏导数也存在，则称它们是 ),( yxf 的 二阶偏导数 。
按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种,
() ),(),(
2
2
yxfyxf
xx
z
xx
z
xxx
=
=
=
,
() ),(),(
2
yxfyxf
xy
z
xyx
z
yxy
=
=
=
,
() ),(),(
2
yxfyxf
yx
z
yxy
z
xyx
=
=
=
,
() ),(),(
2
2
yxfyxf
yy
z
yy
z
yyy
=
=
=
。
其中第二、第三两个二阶偏导数称为 混合偏导数 。
类似可得到三阶、四阶以至更高阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数。
同样可对 n元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 定义高阶偏导数。
例 12.1.10 设
xy
yx
z
+
=
1
arctan,求
2
222
2
2
,,,
y
z
xy
z
yx
z
x
z
。
解
2
2 222
1(1)()() 1
(1 ) (1 ) ( )
1
1
zxyxyy
x xy xy x y
xy
xy
+?+
=? =
+
+
2
22 2
11
(1 )(1 ) 1
y
xy x
+
==
+ ++
,
因此
22
222 2
21
,0
(1 ) 1
zx z z
xx yxyxyx
= == =
++
,
同理
2
1
1
yy
z
+
=
，因此
222
22
)1(
2
,0
y
y
y
z
yx
z
+
=
=
。
注意本例中两个混合偏导数是相等的。
例 12.1.11 设
=+
≠+
+
=
,0,0
,0,
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
xy
yxf 求
2
(0,0)
z
xy
与
2
(0,0)
z
yx
。
解 (,)f xy一阶偏导数为
=+
≠+
+
+
=
,0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
y
yxf
x
=+
≠+
+
=
.0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
x
yxf
y
于是
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
Δ+
==
→Δ→Δ
y
y
y
y
fyf
f
xy
z
y
xx
y
xy
，
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
Δ+
==
→Δ→Δ
x
x
x
x
fxf
f
yx
z
x
yy
x
yx
。
注意本例中 ),( yxf 在 )0,0( 点的两个混合偏导数不相等。
关于混合偏导数相等的条件有如下定理,
定理 12.1.3 如果函数),( yxfz =的两个混合偏导数
xy
f和
yx
f在点
),(
00
yx连续，那么等式
),(),(
0000
yxfyxf
yxxy
=
成立。
证 考虑差商
yx
yxfyyxfyxxfyyxxf
I
ΔΔ
Δ+?Δ+?Δ+Δ+
=
)],(),([)],(),([
00000000
。
设
).,(),()(
),,(),()(
00
00
yxfyxxfy
yxfyyxfx
Δ+=
Δ+=
φ
利用微分中值定理可得
00 00 00 00
0001
01 0 01 0
01 02 12
[(,) (,)][(,) (,)]
()()( )
[(,) (,)]
(,)(0,1)
xx
xy
f x xy y fx xy fx y y fx y
I
xy
xx x x xx
xy xy
fx xy y fx xy
y
fx xy y
α
αα
αα α
+Δ +Δ? +Δ? +Δ?
=
ΔΔ
′
+Δ? + Δ Δ
==
ΔΔ ΔΔ
+Δ +Δ? +Δ
=
Δ
=+Δ+Δ <<。
另一方面，将 I 重新组合可以得到
00 00 0000
0003
003 003
04 03 34
[(,) (,)][(,) (,)]
()()( )
[(,) (,)]
(,)(0,1)
yy
yx
f xxyyfxyyfxxyfxy
I
xy
yy y y yy
xy xy
fx xy y fxy y
x
fx xy y
φφφα
αα
αα α
+Δ+Δ? +Δ? +Δ?
=
ΔΔ
′
+Δ? + Δ Δ
==
ΔΔ ΔΔ
+Δ + Δ? + Δ
=
Δ
=+Δ+Δ <<。
因此
),(),(
30402010
yyxxfyyxxf
yxxy
Δ+Δ+=Δ+Δ+ αααα 。
利用两个混合偏导数
xy
f 和
yx
f 在点 ),(
00
yx 连续的条件，得到
00 0 1 0 2
(,)(0,0)
04 03 00
(,)(0,0)
(,) lim (,)
lim (,) (,).
xy xy
xy
yx yx
xy
fxy fx xy y
f xxyyfy
α α
αα
ΔΔ→
ΔΔ→
= +Δ +Δ
=+Δ=
在科学和工程技术的实际应用中,往往认为所出现的偏导数是连续的，所以不介意求偏导的次序。例如
22
4
yx
f
就概括了六种不同次序的四阶混合偏导数
yyxxyxyxxyyxyxxyxyxyxxyy
ffffff,,,,,
。
读者在阅读有关书籍时，请注意这一点。
例 12.1.12 设
yx
yxz
+
+= e)(
22
，计算
qp
qp
yx
z
+
（ qp,为正整数） 。
解 由于
() () ",2,1,eee ==
=
+++
k
yx
yxyx
k
k
yx
k
k
,
因此，关于 y 用 Leibniz 公式，得
.e)]1(2[
e2Ce)2(Ce)(
22
2122
yx
yx
q
yx
q
yx
q
q
qqqyyx
yyx
y
z
+
+++
+++=
+++=
关于 x 再用一次 Leibniz 公式，就得到
22 1 2
[2(1)]eC(2)eCe
pq
x yxyxy
pp
pq
z
xy qyqq x
xy
+
+ ++
=+++? + +
22
[2()(1)(1)]e
x y
xy pxqypp qq
+
=++ ++?+? 。
高阶微分
设 ),( yxfz = 在区域 D?
2
R 上具有连续偏导数，那么它是可微的，
并且
ddd
zz
zxy
xy
=+
。
若 ),( yxfz = 具有二阶连续偏导数，那么
x
z
与
y
z
也是可微的,从而 zd 可微。我们称 zd 的微分为 z 的 二阶微分，记为
)d(dd
2
zz = 。
一般地，可在 z 的 k 阶微分 z
k
d 的基础上定义它的 1+k 阶微分为
（如果存在的话）
",2,1),d(dd
1
==
+
kzz
kk
。
二阶及二阶以上的微分统称为 高阶微分。
由于对自变量 yx,总有
0)d(dd,0)d(dd
22
==== yyxx,
于是 ),( yxfz = 的二阶微分为
yy
y
z
x
yx
z
xy
xy
z
x
x
z
y
y
z
y
y
z
x
x
z
x
x
z
y
y
z
x
x
z
zz
dddddd
dddddd
ddd)d(dd
2
222
2
2
22
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
==
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
+
+
=,
这里
2
dx 和
2
dy 分别表示
2
(d )x 和
2
(d )y 。
若将
x?
和
y?
看作求偏导数的运算符号，并约定
2
2
2
xx?
=
，
yxyx
=
2
，
2
2
2
yy?
=
,
那么一阶和二阶的微分公式可以分别表示为
z
y
y
x
xz
+
= ddd,
z
y
y
x
xz
2
2
ddd
+
= 。
同样地约定
p
p
p
xx?
=
，
qp
qp
q
p
yxyx
=
+
，
q
q
q
yy?
=
（ ",2,1,=qp ），
读者不难用数学归纳法证明高阶微分公式
z
y
y
x
xz
k
k
+
= ddd, ",2,1=k 。
对 n元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 可同样定义各阶微分，并且成立
u
x
x
x
x
x
xu
k
n
n
k
++
+
= dddd
2
2
1
1
", ",2,1=k 。
例 12.1.13 设 xyzu =,计算
3
d u 。
解 首先易知
0
3
3
3
3
3
3
=
=
=
z
u
y
u
x
u
,
0
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
=
=
=
=
=
=
zy
u
zy
u
zx
u
zx
u
yx
u
yx
u
。
以及
1
3
=
zyx
u
。
利用上面所述的多元函数的高阶微分公式，可得
3
3
dd d d 6dddux y zu xy z
xyz
=++ =
。
向量值函数的导数
将
n
R 上区域 D 上的 n 元 m 值向量值函数
f:
m
→ RD,
x 6 y = )(xf
写成坐标分量形式
1112
2212 T
12
12
(,,,),
(,,,),
(,,,)
(,,,),
n
n
n
mm n
yfxx x
yfxx x
xx x
yfxx x
=
=
∈
=
"
"
"
" "
"
D,
并设点
000 0T
12
(,,,)
n
xx x=∈ "x D（记号,
T
”表示转置） 。
将上面关于多元函数的讨论用于 f 的每一个分量函数，即可平 行地得到,
1,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 都在
0
x 点 可偏导，就称 向量值函数 f 在
0
x 点可导，并称矩阵
nm
j
i
x
f
×
)(
0
x =
)()()(
)()()(
)()()(
00
2
0
1
0
2
0
2
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
1
1
xxx
xxx
xxx
n
mmm
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
"
# # #
"
"
为 向量值函数 f 在
0
x 点的导数或 Jacobi 矩阵,记为 )(
0
xf
′
（或
0
()Df x,
0
()
f
J x ）。
注 n 元函数 ),,,(
21 n
xxxfz "= 是 1=m 时的特殊情形，所以它在
0
x
点的导数就是
)(
0
xf
′
=
T
00 0
12
(),(),,()
n
ff f
xx x
"xx x。
如果向量值函数 f 在 D 上每一点可导，就称 f 在 D上可导。这 时对应关系
() ()
′
∈ = 6
f
xD fx Jx
称为 f 在 D上的导数，记为 )(xf ′ （或 ()Df x,()
f
J x ）。
例 12.1.14 向量值函数
3
:[,]αβ→ Rf
)(
)(
)(
tz
ty
tx
t 6
用坐标分量表示就是
∈
=
=
=
],[
),(
),(
),(
βαt
tzz
tyy
txx
。
这是空间曲线的参数方程,f 的导数
T
( ( ),( ),( ))xt yt zt
′′′
就是曲线 在
T
))(),(),(( tztytx 点的切向量。如果这条曲线是质点关于时间 t 的运动 轨迹，那么 f 的导数
Τ
′′′
))(),(),(( tztytx 就是质点运动的速度。
例 12.1.15 求向量值函数
+
+
=
xzy
zx
zyx
y
ln
e
),,(
3
3
f
在 )1,1,1( 点的导数。
解 (,,)xyzf 的坐标分量函数为
xzyzyxfzxzyxf
y
ln),,(,e),,(
3
2
3
1
+=+=,
因此
=
=
=
′
031
ee3
ln3
ee3
)1,1,1(
)1,1,1(
2
2
)1,1,1(
222
111
xy
x
z
zx
z
f
y
f
x
f
z
f
y
f
x
f
f
yy
。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 的偏导数都 在
0
x 点连续，即 f 的 Jacobi 矩阵的每个元素都在
0
x 点连续，则称向 量值函数 f 的导数在
0
x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
3,若存在只与
0
x 有关，而与 xΔ 无关的 nm× 矩阵 A，使得在
0
x 点附近成立
)()()(
00
xxAxfxxfy Δ+Δ=?Δ+=Δ o
（其中 xΔ
T
12
(,,,)
n
x xx=Δ Δ Δ " ； )( xΔo 是列向量，其模是 xΔ 的高阶无 穷小量）,则称向量值函数 f 在
0
x 点可微,并称 A xΔ 为 f 在
0
x 点的微分,
记为 yd 。若 将 xΔ 记为 xd （ xd
T
12
(d,d,,d )
n
x xx= " ）,那么就有 yd = A xd 。
如果向量值函数 f 在 D 上每一点可微，则称 f 在 D 上可微。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 的偏导数都 在
0
x 点连续，即 f 的 Jacobi 矩阵的每个元素都在
0
x 点连续，则称向 量值函数 f 的导数在
0
x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
定理 12.1.4 向量值函数f在
0
x点可微的充分必要条件是它的坐标分量函数),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "=都在
0
x点可微。此时成立微分公式
yd = )(
0
xf
′
xd 。
证 必要性：设 f 在
0
x 点可微，记
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
"
# # #
"
"
21
22221
11211
,
和
Τ
ΔΔΔ=Δ )))((,,))((,))((()(
21 n
oooo xxxx ",
则可将 yΔ 写成分量形式
i
n
k
kikii
oxayf ))((
1
xΔ+Δ=Δ=Δ
∑
=
,mi,,2,1 "=,
并满足
0
))((
lim
0
=
Δ
Δ
→Δ
x
x
x
i
o
,mi,,2,1 "= 。
由函数可微的定义，即知 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 在
0
x 处可微，
并且
j
i
ij
x
f
a
=,也就是
A = )(
0
xf
′
。
充分性：设 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 在
0
x 处可微。则由定义得到
()xxxx Δ+Δ
++Δ
+Δ
=Δ=Δ ox
x
f
x
x
f
x
x
f
fy
n
n
iii
ii
)()()(
0
2
0
2
1
0
1
" 。
将上式写成矩阵乘积形式，并令 A
0
()
i
j
mn
f
x
×
=
x,就知道 f 在
0
x 点 可微。
综合上述三点，我们可以得到以下的统一表述,
向量值函数f连续、可导和可微就是它的每一个坐标分量函数
),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "=连续、可导和可微。
此外，在用 Jacobi 矩阵定义了向量值函数的导数 )(
0
xf
′
之后，多元函数和向量值函数的微分公式与一元函数的微分公式
xxfy d)(d
′
=
在形式上就是完全一致的。也就是说，只要将 x,y 和 f 理解为向量，
这就是多元函数和向量值函数的微分公式。
定义 12.1.1 设D?
2
R为开集,
(,),(,)z f xy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数，),(
00
yx ∈D为一定点。如果存在极限
x
yxfyxxf
x
Δ
Δ+
→Δ
),(),(
lim
0000
0
,
那么就称函数f在点),(
00
yx关于x可偏导，并称此极限为f在点
),(
00
yx关于x的偏导数，记为
),(
00
yx
x
z
（或),(
00
yxf
x
,),(
00
yx
x
f
）。
第十二章 多元函数的微分学
§1 偏导数与全微分如果函数 f 在 D 中每一点都关于 x 可偏导,则 D 中每一点 ),( yx 与其相应的 f 关于 x 的偏导数 ),( yxf
x
构成了一种对应关系即二元函数 关系，它称为 f 关于 x 的 偏导函数 （也称为偏导数 ）,记为
x
z
（或 ),( yxf
x
，
x
f
）。
类似地可定义 f 在点 ),(
00
yx 关于 y 的偏导数 ),(
00
yx
y
z
（ 或
),(
00
yxf
y
,),(
00
yx
y
f
）及关于 y 的偏导函数
y
z
（或 ),( yxf
y
，
y
f
）。
若 f 在点 ),(
00
yx 关于 x 和 y 均可偏导，就简称 f 在点 ),(
00
yx 可 偏导。
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数
(,),(,)zfxy xy= ∈D,
它的图像是一张曲面。平面
0
yy = 与这张曲面的交线 l （见图 12.1.1）
方程为
l,
=
=
=
).,(
,
,
0
0
yxfz
yy
xx
X
Y
Z
0
x
(,)zfxy=
T
O
y
0
图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),(
00
yx 处的切向 量
T 的方向余弦满足
00
cos(,),cos(,),cos(,) 1,0,(,)
x
xyzfy=TTT,
也就是说,),(
00
yxf
x
是平面
0
yy = 上的曲线 l 在点 ),(
00
yx 处的切线关于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。
X
Y
Z
0
x
(,)zfxy=
T
O
y
0
图12.1.1
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导 时将其他变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的 n 元函 数上去：设 ),,,(
00
2
0
1
0
n
xxx "=x 为开集
n
RD 中一定点。定义 n元函数
),,,(
21 n
xxxfu "=,
12
(,,,)
n
xx x∈ " D
在
0
x 点关于
i
x （ ni,,2,1 "= ）的偏导数为
)(
0
x
i
x
f
= ),,,(
00
2
0
1 n
i
xxx
x
f
"
=
i
nniiii
x
x
xxxfxxxxxxf
i Δ
Δ+
+?
→Δ
),,,(),,,,,,(
lim
00
2
0
1
00
1
00
1
0
1
0
" " "
（如果等式右面的极限存在的话） 。
如果函数 f 在开集（或区域） D 上每一点关于每个
i
x 都可偏导
（ ni,,2,1 "= ）,则称 f 在 D 上可偏导。
例12.1.1 设
424
2),( yyxxyxf ++=,求 ),( yxf
x
,),( yxf
y
,)1,0(
x
f 和
)1,0(
y
f 。
解 把 y 看成常数，对 x 求导便得
xyxyxf
x
44),(
3
+= 。
于是 0)1,0( =
x
f 。
把 x 看成常数，对 y 求导便得
32
42),( yxyxf
y
+= 。
于是 4)1,0( =
y
f 。
例 12.1.2 求函数 )ln(
32
zyxu ++= 的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
++
=
,
32
2
zyx
y
y
u
++
=
,
32
2
3
zyx
z
z
u
++
=
。
例12.1.3 设 )1,0( ≠>= xxxz
y
，证明它满足方程
z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
=
+
。
证 由于 xx
y
z
yx
x
z
yy
ln,
1
=
=
，因此
zxxx
x
yx
y
x
y
z
xx
z
y
x
yyy
22ln
ln
1
ln
1
1
==?+?=
+
。
例 12.1.2 求函数 )ln(
32
zyxu ++= 的偏导数。
解
32
1
zyxx
u
++
=
,
32
2
zyx
y
y
u
++
=
,
32
2
3
zyx
z
z
u
++
=
。
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。
例 12.1.4 设
=
≠
+
=
).0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
计算 )0,0(),0,0(
yx
ff 。
解 由定义得到
0
0
lim
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
0
22
00
=
Δ
=
Δ
+Δ
Δ
=
Δ
Δ+
=
→Δ→Δ→Δ
xx
x
x
x
fxf
f
xxx
x
。
同理 0)0,0( =
y
f 。这说明了 ),( yxf 在 )0,0( 点可偏导。
但我们已经知道,),( yxf 在 )0,0( 点不连续。
方向导数
偏导数反映的是二元函数沿 x 轴方向或 y 轴方向的变化率。而在平面
2
R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。
2
R 中的单位向量 v 总可以表示为 )sin,(cos αα=v,这里 α为 v 与 x 轴正向的夹角，因此 v 代表了一个方向,)cos(sin,cos βαα = 就是 v 的方向余弦（其中 β 为 v 与 y 轴正向的夹角） 。设 ∈),(
000
yxP
2
R,则以
0
P 为起点，方向为 v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为
=+= vOPx t
0
)sin,cos(
00
αα tytx ++,0≥t 。
y
)sin,(cos αα=v
α
O x
图 12.1.2
00
0
(),P xy
定义 12.1.2 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数,),(
00
yx ∈D为一定点，)sin,(cos αα=v为一个方向。如果极限
t
yxftytxf
t
),()sin,cos(
lim
0000
0
++
+→
αα
存在，则称此极限为函数f在点),(
00
yx的沿方向v的方向导数,记为
),(
00
yx
v
f
。
由于 x 轴和 y 轴的正向的方向分别为 )1,0()0,1(
21
== ee 和,由定义立即得到，函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处关于 x（或 y ）可偏导的充分必要条件为 ),( yxf 沿方向
1
e 和
1
e? （或方向
2
e 和
2
e? ）的方向导数都存在且为相反数，且这时成立
),(),(
00
1
00
yx
e
f
yx
x
f
=
（或 ),(),(
00
2
00
yx
e
f
yx
y
f
=
）。
定义 12.1.2 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数,),(
00
yx ∈D为一定点，)sin,(cos αα=v为一个方向。如果极限
t
yxftytxf
t
),()sin,cos(
lim
0000
0
++
+→
αα
存在，则称此极限为函数f在点),(
00
yx的沿方向v的方向导数,记为
),(
00
yx
v
f
。
例 12.1.5 求二元函数
2122
||),( yxyxf?= 在原点的方向导数。
解 对于任一方向 )sin,(cos αα=v,有
2122
|sincos|
||)0,0()sin0,cos0(
αα
αα
=
++
t
t
t
fttf
。
当 αα
22
sincos = 时，上式为零，因此 ),( yxf 沿这样的方向的方向导数为零。
当 αα
22
sincos ≠ 时，当 +→ 0t 时上式的极限为
2122
|sincos| αα?,它就是 ),( yxf 沿方向 v 的方向导数。同样可计算出,),( yxf 沿方向 v? 的方向导数仍为
2122
|sincos| αα? 。
特别地,),( yxf 沿方向
i
e 和
i
e? )2,1( =i 的方向导数均为 1，因此
),( yxf 在 )0,0( 点的偏导数不存在。
若将
n
R 中的单位向量 v （即满足 1=v 的向量）视为一个方向，
就可类似定义 n 元函数的方向导数,设
n
RD 为开集,),,,(
00
2
0
1
0
n
xxxx "=
为 D 中一定点,),,,(
21 n
vvv "=v 为一方向。定义 D 上的 n 元函 数
),,,(
21 n
xxxfu "= 在点
0
x 的沿方向 v 的方向导数为
),,,(
00
2
0
1 n
xxx
v
f
"
t
xxxftvxtvxtvxf
nnn
t
),,,(),,,(
lim
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1
0
" "?+++
=
+→
,
（如果等式右面的极限存在的话） 。
全微分
对于函数 ),( yxfz =,记它的 全增量 为
zΔ =
00 00
(,)(,)f xxyyfxy+Δ+Δ? 。
定义 12.1.3 设D?
2
R为开集,
(,),(,)zfxy xy= ∈D
是定义在D上的二元函数，),(
00
yx ∈D为一定点。
若存在只与点),(
00
yx有关而与yx ΔΔ,无关的常数A和B，使得
zΔ ( )
22
yxoyBxA Δ+Δ+Δ+Δ=,
这里( )
22
yxo Δ+Δ表示在0
22
→Δ+Δ yx时比
22
yx Δ+Δ高阶的无穷小量。则称函数f在点),(
00
yx处是可微的，并称其线性主要部 分
yBxA Δ+Δ为f在点),(
00
yx处的全微分,记为),(d
00
yxz或),(d
00
yxf 。
若（在 0
22
→Δ+Δ yx 时）将自变量 yx,的微分 yx ΔΔ,分别记为
yx d,d,那么有全微分形式
),(d
00
yxz = yBxA dd + 。
说明,
（ 1） 如果函数 f 在点 ),(
00
yx 处可微,则 f 在点 ),(
00
yx 处是连续的，
即 可微必连续。
（ 2）若 yΔ =0，则得到
( )xoxAyxfyxxf Δ+Δ=?Δ+ ),(),(
0000
,
于是
A
x
yxfyxxf
x
=
Δ
Δ+
→Δ
),(),(
lim
0000
0
,
所以 Ayx
x
f
=
),(
00
。同理可证 Byx
y
f
=
),(
00
。因 此 可微必可偏导，同 时,
得到 全微分公式
yyx
y
f
xyx
x
f
yxf d),(d),(),(d
000000
+
= 。
例 12.1.6 求函数
xy
z e= 在点 )1,2( 处的全微分。
解 由于
xyxy
x
y
z
y
x
z
e,e =
=
,
则
22
e2)1,2(,e)1,2( =
=
y
z
x
z
。所以函数在点 )1,2( 处的全微分为
yxz de2ded
22
+= 。
定理 12.1.1 设D?
2
R为开集，),(
00
yx ∈D为一定点。如果函数
(,),(,)zfxy xy= ∈D
在),(
00
yx可微，那么对于任一方向)sin,(cos αα=v,f在),(
00
yx点沿方向v的方向导数存在，且
αα sin),(cos),(),(
000000
yx
y
f
yx
x
f
yx
v
f
+
=
。
证 由定义和全微分公式，得
t
yxftytxf
yx
v
f
t
),()sin,cos(
lim),(
0000
0
00
++
=
+→
αα
t
totyx
y
f
tyx
x
f
t
)(sin),(cos),(
lim
0000
0
+α
+α
=
+→
αα sin),(cos),(
0000
yx
y
f
yx
x
f
+
= 。
如果函数 f 在开集（或区域） D上的每一点都是可微的，则称 f
在 D上可微。此时成立
yyx
y
f
xyx
x
f
z d),(d),(d
+
= 。
（ 3）用同样的思想可以定义一般 n 元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 的 全微分，并可得到
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
u dddd
2
2
1
1
++
+
= " 。
如果 ),,,(
21 n
xxxfu "= 在 x ),,,(
21 n
xxx "= 点可微，那么
n
n
x
f
x
f
x
f
v
f
θθθ coscoscos
2
2
1
1
++
+
=
",
其中 )cos,,cos,(cos
21 n
θθθ "=v 为一方向,而
i
θ 就是 v 与
i
x 轴正向的夹角。
例12.1.7 求函数
y
zy
xu arctan
2
cos +?= 的全微分。
解 由于
2222
,
2
sin
2
1
,1
zy
y
z
u
zy
zy
y
u
x
u
+
=
+
=
=
,
所以
z
zy
y
y
zy
zy
xu dd
2
sin
2
1
dd
2222
+
+
+
+= 。
（ 4）一元函数的可导与可微是等价的。在高维情形可微必可偏导，但可偏导并不一定可微。例如，函数
=
≠
+
=
)0,0(),(,0
),0,0(),(,
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 )0,0( 点不连续，因此不可微，但它在 )0,0( 点是可偏导的（见例
12.1.4）。
事实上,一个函数即使在某一点处连续,且所有方向导数都存在，
也不一定在该点可微。
例12.1.8 设
=+
≠+
+
=
.0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxf
由于
||
2
|),(|
42
42
42
2
yy
yx
yx
y
yx
xy
yxf =
+
+
≤
+
=,
所以 ),( yxf 在 )0,0( 点连续；而 ),( yxf 在 )0,0( 点沿方向 )sin,(cos αα=v 的方向导数为
t
fttf
v
f
t
)0,0()sin0,cos0(
lim
0
++
=
+→
αα
0
sincos
sincos2
lim
422
3
0
=
+
=
+→
t
t
t
αα
αα
。
因此 0)0,0()0,0( ==
yx
ff 。
但因为
),(])0,0()0,0([)0,0()0,0( yxfyfxffyxf
yx
ΔΔ=Δ+ΔΔ+Δ+,
而
220
),(
lim
2 yx
yxf
yx
y
Δ+Δ
ΔΔ
Δ=Δ
+→Δ
=
22
42
3
0
2
lim
2 yx
yx
yx
yx
y
Δ+Δ
Δ+Δ
ΔΔ
Δ=Δ
+→Δ
2
44
5
0
1
2
lim
yy
yy
y
y
Δ+Δ
Δ+Δ
Δ
=
+→Δ
1
1
1
lim
20
=
Δ+
=
+→Δ
y
y
0≠,
即
[ ] ( )
22
)0,0()0,0()0,0()0,0( yxoyfxffyxf
yx
Δ+Δ≠Δ+ΔΔ+Δ+,
所以 ),( yxf 在 )0,0( 点不可微。
关于函数的可微性有如下的充分条件,
定理 12.1.2 设函数),( yxfz =在),(
00
yx点的某个邻域上存在偏导数，并且偏导数在),(
00
yx点连续，那么f在),(
00
yx点可微。
证 首先我们有
.1,0,),(),(
)],(),([)],(),([
),(),(
21200010
00000000
0000
<<ΔΔ++ΔΔ+Δ+=
Δ++Δ+?Δ+Δ+=
Δ+Δ+
θθθθ yyyxfxyyxxf
yxfyyxfyyxfyyxxf
yxfyyxxf
yx
其中最后一步利用了微分中值定理。
因为
x
f 和
y
f 在 ),(
00
yx 点连续，所以
),1(),(),(
),1(),(),(
00200
00010
oyxfyyxf
oyxfyyxxf
yy
xx
+=Δ+
+=Δ+Δ+
θ
θ
其中 )1(o 表示当 0
22
→Δ+Δ yx 时的无穷小量。于是
( ),),(),(
)1()1(),(),(
),(),(
22
0000
0000
0000
yxoyyxfxyxf
yoxoyyxfxyxf
yxfyyxxfz
yx
yx
Δ+Δ+Δ+Δ=
Δ+Δ+Δ+Δ=
Δ+Δ+=Δ
即 f 在 ),(
00
yx 点可微。
梯度
定义 12.1.4 设D?
2
R为开集,∈),(
00
yx D为一定点。如果函数
),( yxfz =在),(
00
yx点可偏导，则称向量)),(),,((
0000
yxfyxf
yx
为f在点
),(
00
yx的梯度，记为
00
(,)f xygrad,即
00 00 00
(,) (,) (,)
xy
f xy fxy fxy= +grad ij。
如果 f 在 ),(
00
yx 点可微，注意到方向导数公式中 1=v,则得到 它的另一种表达,
00 00
(,) (,)
f
xy fxy
v
=?
grad v
00
(,) cos(,)f x yf= grad grad v 。
其中 (,)fgrad v 表示 fgrad 与 v 的夹角。
由此可见，函数 f 在其任何一可微点的方向导数的最大值 fgrad
在梯度方向达到。这就是说，沿着梯度方向函数值增加最快。同样，
f 的方向导数的最小值 f? grad 在梯度的反方向达到，或者说，沿 着梯度相反方向函数值减少最快。
梯度
定义 12.1.4 设D?
2
R为开集,∈),(
00
yx D为一定点。如果函数
),( yxfz =在),(
00
yx点可偏导，则称向量)),(),,((
0000
yxfyxf
yx
为f在点
),(
00
yx的梯度，记为
00
(,)f xygrad,即
00 00 00
(,) (,) (,)
xy
f xy fxy fxy= +grad ij。
梯度具有下列基本性质,
1） 若 cf ≡ （ c为常数），则 fgrad =0；
2） 若 α,β 为常数，则 ()fgα β+grad =α fgrad +β ggrad ；
3） ()f g?grad = f g?grad + gf?grad ；
4）
2
(0)
fg ff g
g
gg
= ≠
grad grad
grad 。
同样可以定义一般 n 元函数的梯度：设
n
RD 为开集,=
0
x
",,(
0
2
0
1
xx ),
0
n
x ∈D为一定点。如果函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 在
0
x 点可偏导，
我们称向量,,((
0
2
0
1
1
xxf
x
)),,,(,),,,,(),,
00
2
0
1
00
2
0
1
0
2
nxnxn
xxxfxxxfx
n
" " " " 为 f 在点
0
x 的梯度，记为
00 0
12
(,,,)
n
f xx xgrad " （或
0
()fgrad x ）。
上面叙述的关于梯度的基本性质与公式对一般 n元函数也成立。
梯度具有下列基本性质,
1） 若 cf ≡ （ c为常数），则 fgrad =0；
2） 若 α,β 为常数，则 ()fgα β+grad =α fgrad +β ggrad ；
3） ()f g?grad = f g?grad + gf?grad ；
4）
2
(0)
fg ff g
g
gg
= ≠
grad grad
grad 。
例 12.1.9 设 0,),(
2
2
2
2
>>+= ba
b
y
a
x
yxf 。在上半平面
}0|),{(
2
≥∈ yyx R 上，指出函数值增加最快的方向。
解 由于在梯度不为零向量处，梯度方向就是函数值增加最快的方向，所以在 )0,0(),( ≠yx 的点，函数 f 的梯度
22
22
(,)
x y
fxy
ab
=+grad ij
就是函数值增加最快的方向。
fgrad
y
xO
图12.1.3
而在原点 )0,0(,函 数 f 的梯度为零向量，这就要用其他方法考虑。
()
22
22 2
22 2 22
111
(,) (0,0)
xy
f xy f x y x
abb ba
=+=+
,
因此，在以原点为中心的任意小圆周上，当 0=x 时 )0,0(),( fyxf? 最大，
即函数值增加最大。这就是说，在原点处，沿 y 轴方向函数值增加 最快（参见图 12.1.3）。
关于梯度的性质，以后在场论中还要详加讨论。
fgrad
y
xO
图12.1.3
高阶偏导数
设 ),( yxfz = 在区域 D?
2
R 上具有偏导数
),( yxf
x
z
x
=
和 ),( yxf
y
z
y
=
。
那么在 D 上,),( yxf
x
和 ),( yxf
y
都是 yx,的二元函数。如果这两个偏 导函数的偏导数也存在，则称它们是 ),( yxf 的 二阶偏导数 。
按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种,
() ),(),(
2
2
yxfyxf
xx
z
xx
z
xxx
=
=
=
,
() ),(),(
2
yxfyxf
xy
z
xyx
z
yxy
=
=
=
,
() ),(),(
2
yxfyxf
yx
z
yxy
z
xyx
=
=
=
,
() ),(),(
2
2
yxfyxf
yy
z
yy
z
yyy
=
=
=
。
其中第二、第三两个二阶偏导数称为 混合偏导数 。
类似可得到三阶、四阶以至更高阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数。
同样可对 n元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 定义高阶偏导数。
例 12.1.10 设
xy
yx
z
+
=
1
arctan,求
2
222
2
2
,,,
y
z
xy
z
yx
z
x
z
。
解
2
2 222
1(1)()() 1
(1 ) (1 ) ( )
1
1
zxyxyy
x xy xy x y
xy
xy
+?+
=? =
+
+
2
22 2
11
(1 )(1 ) 1
y
xy x
+
==
+ ++
,
因此
22
222 2
21
,0
(1 ) 1
zx z z
xx yxyxyx
= == =
++
,
同理
2
1
1
yy
z
+
=
，因此
222
22
)1(
2
,0
y
y
y
z
yx
z
+
=
=
。
注意本例中两个混合偏导数是相等的。
例 12.1.11 设
=+
≠+
+
=
,0,0
,0,
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
xy
yxf 求
2
(0,0)
z
xy
与
2
(0,0)
z
yx
。
解 (,)f xy一阶偏导数为
=+
≠+
+
+
=
,0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
y
yxf
x
=+
≠+
+
=
.0,0
,0,
)(
4
),(
22
22
222
4224
yx
yx
yx
yyxx
x
yxf
y
于是
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
Δ+
==
→Δ→Δ
y
y
y
y
fyf
f
xy
z
y
xx
y
xy
，
1
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0()0,0(
4
5
00
2
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
Δ+
==
→Δ→Δ
x
x
x
x
fxf
f
yx
z
x
yy
x
yx
。
注意本例中 ),( yxf 在 )0,0( 点的两个混合偏导数不相等。
关于混合偏导数相等的条件有如下定理,
定理 12.1.3 如果函数),( yxfz =的两个混合偏导数
xy
f和
yx
f在点
),(
00
yx连续，那么等式
),(),(
0000
yxfyxf
yxxy
=
成立。
证 考虑差商
yx
yxfyyxfyxxfyyxxf
I
ΔΔ
Δ+?Δ+?Δ+Δ+
=
)],(),([)],(),([
00000000
。
设
).,(),()(
),,(),()(
00
00
yxfyxxfy
yxfyyxfx
Δ+=
Δ+=
φ
利用微分中值定理可得
00 00 00 00
0001
01 0 01 0
01 02 12
[(,) (,)][(,) (,)]
()()( )
[(,) (,)]
(,)(0,1)
xx
xy
f x xy y fx xy fx y y fx y
I
xy
xx x x xx
xy xy
fx xy y fx xy
y
fx xy y
α
αα
αα α
+Δ +Δ? +Δ? +Δ?
=
ΔΔ
′
+Δ? + Δ Δ
==
ΔΔ ΔΔ
+Δ +Δ? +Δ
=
Δ
=+Δ+Δ <<。
另一方面，将 I 重新组合可以得到
00 00 0000
0003
003 003
04 03 34
[(,) (,)][(,) (,)]
()()( )
[(,) (,)]
(,)(0,1)
yy
yx
f xxyyfxyyfxxyfxy
I
xy
yy y y yy
xy xy
fx xy y fxy y
x
fx xy y
φφφα
αα
αα α
+Δ+Δ? +Δ? +Δ?
=
ΔΔ
′
+Δ? + Δ Δ
==
ΔΔ ΔΔ
+Δ + Δ? + Δ
=
Δ
=+Δ+Δ <<。
因此
),(),(
30402010
yyxxfyyxxf
yxxy
Δ+Δ+=Δ+Δ+ αααα 。
利用两个混合偏导数
xy
f 和
yx
f 在点 ),(
00
yx 连续的条件，得到
00 0 1 0 2
(,)(0,0)
04 03 00
(,)(0,0)
(,) lim (,)
lim (,) (,).
xy xy
xy
yx yx
xy
fxy fx xy y
f xxyyfy
α α
αα
ΔΔ→
ΔΔ→
= +Δ +Δ
=+Δ=
在科学和工程技术的实际应用中,往往认为所出现的偏导数是连续的，所以不介意求偏导的次序。例如
22
4
yx
f
就概括了六种不同次序的四阶混合偏导数
yyxxyxyxxyyxyxxyxyxyxxyy
ffffff,,,,,
。
读者在阅读有关书籍时，请注意这一点。
例 12.1.12 设
yx
yxz
+
+= e)(
22
，计算
qp
qp
yx
z
+
（ qp,为正整数） 。
解 由于
() () ",2,1,eee ==
=
+++
k
yx
yxyx
k
k
yx
k
k
,
因此，关于 y 用 Leibniz 公式，得
.e)]1(2[
e2Ce)2(Ce)(
22
2122
yx
yx
q
yx
q
yx
q
q
qqqyyx
yyx
y
z
+
+++
+++=
+++=
关于 x 再用一次 Leibniz 公式，就得到
22 1 2
[2(1)]eC(2)eCe
pq
x yxyxy
pp
pq
z
xy qyqq x
xy
+
+ ++
=+++? + +
22
[2()(1)(1)]e
x y
xy pxqypp qq
+
=++ ++?+? 。
高阶微分
设 ),( yxfz = 在区域 D?
2
R 上具有连续偏导数，那么它是可微的，
并且
ddd
zz
zxy
xy
=+
。
若 ),( yxfz = 具有二阶连续偏导数，那么
x
z
与
y
z
也是可微的,从而 zd 可微。我们称 zd 的微分为 z 的 二阶微分，记为
)d(dd
2
zz = 。
一般地，可在 z 的 k 阶微分 z
k
d 的基础上定义它的 1+k 阶微分为
（如果存在的话）
",2,1),d(dd
1
==
+
kzz
kk
。
二阶及二阶以上的微分统称为 高阶微分。
由于对自变量 yx,总有
0)d(dd,0)d(dd
22
==== yyxx,
于是 ),( yxfz = 的二阶微分为
yy
y
z
x
yx
z
xy
xy
z
x
x
z
y
y
z
y
y
z
x
x
z
x
x
z
y
y
z
x
x
z
zz
dddddd
dddddd
ddd)d(dd
2
222
2
2
22
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
==
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
+
+
=,
这里
2
dx 和
2
dy 分别表示
2
(d )x 和
2
(d )y 。
若将
x?
和
y?
看作求偏导数的运算符号，并约定
2
2
2
xx?
=
，
yxyx
=
2
，
2
2
2
yy?
=
,
那么一阶和二阶的微分公式可以分别表示为
z
y
y
x
xz
+
= ddd,
z
y
y
x
xz
2
2
ddd
+
= 。
同样地约定
p
p
p
xx?
=
，
qp
qp
q
p
yxyx
=
+
，
q
q
q
yy?
=
（ ",2,1,=qp ），
读者不难用数学归纳法证明高阶微分公式
z
y
y
x
xz
k
k
+
= ddd, ",2,1=k 。
对 n元函数 ),,,(
21 n
xxxfu "= 可同样定义各阶微分，并且成立
u
x
x
x
x
x
xu
k
n
n
k
++
+
= dddd
2
2
1
1
", ",2,1=k 。
例 12.1.13 设 xyzu =,计算
3
d u 。
解 首先易知
0
3
3
3
3
3
3
=
=
=
z
u
y
u
x
u
,
0
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
=
=
=
=
=
=
zy
u
zy
u
zx
u
zx
u
yx
u
yx
u
。
以及
1
3
=
zyx
u
。
利用上面所述的多元函数的高阶微分公式，可得
3
3
dd d d 6dddux y zu xy z
xyz
=++ =
。
向量值函数的导数
将
n
R 上区域 D 上的 n 元 m 值向量值函数
f:
m
→ RD,
x 6 y = )(xf
写成坐标分量形式
1112
2212 T
12
12
(,,,),
(,,,),
(,,,)
(,,,),
n
n
n
mm n
yfxx x
yfxx x
xx x
yfxx x
=
=
∈
=
"
"
"
" "
"
D,
并设点
000 0T
12
(,,,)
n
xx x=∈ "x D（记号,
T
”表示转置） 。
将上面关于多元函数的讨论用于 f 的每一个分量函数，即可平 行地得到,
1,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 都在
0
x 点 可偏导，就称 向量值函数 f 在
0
x 点可导，并称矩阵
nm
j
i
x
f
×
)(
0
x =
)()()(
)()()(
)()()(
00
2
0
1
0
2
0
2
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
1
1
xxx
xxx
xxx
n
mmm
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
"
# # #
"
"
为 向量值函数 f 在
0
x 点的导数或 Jacobi 矩阵,记为 )(
0
xf
′
（或
0
()Df x,
0
()
f
J x ）。
注 n 元函数 ),,,(
21 n
xxxfz "= 是 1=m 时的特殊情形，所以它在
0
x
点的导数就是
)(
0
xf
′
=
T
00 0
12
(),(),,()
n
ff f
xx x
"xx x。
如果向量值函数 f 在 D 上每一点可导，就称 f 在 D上可导。这 时对应关系
() ()
′
∈ = 6
f
xD fx Jx
称为 f 在 D上的导数，记为 )(xf ′ （或 ()Df x,()
f
J x ）。
例 12.1.14 向量值函数
3
:[,]αβ→ Rf
)(
)(
)(
tz
ty
tx
t 6
用坐标分量表示就是
∈
=
=
=
],[
),(
),(
),(
βαt
tzz
tyy
txx
。
这是空间曲线的参数方程,f 的导数
T
( ( ),( ),( ))xt yt zt
′′′
就是曲线 在
T
))(),(),(( tztytx 点的切向量。如果这条曲线是质点关于时间 t 的运动 轨迹，那么 f 的导数
Τ
′′′
))(),(),(( tztytx 就是质点运动的速度。
例 12.1.15 求向量值函数
+
+
=
xzy
zx
zyx
y
ln
e
),,(
3
3
f
在 )1,1,1( 点的导数。
解 (,,)xyzf 的坐标分量函数为
xzyzyxfzxzyxf
y
ln),,(,e),,(
3
2
3
1
+=+=,
因此
=
=
=
′
031
ee3
ln3
ee3
)1,1,1(
)1,1,1(
2
2
)1,1,1(
222
111
xy
x
z
zx
z
f
y
f
x
f
z
f
y
f
x
f
f
yy
。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 的偏导数都 在
0
x 点连续，即 f 的 Jacobi 矩阵的每个元素都在
0
x 点连续，则称向 量值函数 f 的导数在
0
x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
3,若存在只与
0
x 有关，而与 xΔ 无关的 nm× 矩阵 A，使得在
0
x 点附近成立
)()()(
00
xxAxfxxfy Δ+Δ=?Δ+=Δ o
（其中 xΔ
T
12
(,,,)
n
x xx=Δ Δ Δ " ； )( xΔo 是列向量，其模是 xΔ 的高阶无 穷小量）,则称向量值函数 f 在
0
x 点可微,并称 A xΔ 为 f 在
0
x 点的微分,
记为 yd 。若 将 xΔ 记为 xd （ xd
T
12
(d,d,,d )
n
x xx= " ）,那么就有 yd = A xd 。
如果向量值函数 f 在 D 上每一点可微，则称 f 在 D 上可微。
2,若 f 的每一个分量函数 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 的偏导数都 在
0
x 点连续，即 f 的 Jacobi 矩阵的每个元素都在
0
x 点连续，则称向 量值函数 f 的导数在
0
x 点连续。
如果向量值函数 f 的导数在 D 上每一点连续，则称 f 的导数在 D
上连续。
定理 12.1.4 向量值函数f在
0
x点可微的充分必要条件是它的坐标分量函数),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "=都在
0
x点可微。此时成立微分公式
yd = )(
0
xf
′
xd 。
证 必要性：设 f 在
0
x 点可微，记
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
"
# # #
"
"
21
22221
11211
,
和
Τ
ΔΔΔ=Δ )))((,,))((,))((()(
21 n
oooo xxxx ",
则可将 yΔ 写成分量形式
i
n
k
kikii
oxayf ))((
1
xΔ+Δ=Δ=Δ
∑
=
,mi,,2,1 "=,
并满足
0
))((
lim
0
=
Δ
Δ
→Δ
x
x
x
i
o
,mi,,2,1 "= 。
由函数可微的定义，即知 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 在
0
x 处可微，
并且
j
i
ij
x
f
a
=,也就是
A = )(
0
xf
′
。
充分性：设 ),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "= 在
0
x 处可微。则由定义得到
()xxxx Δ+Δ
++Δ
+Δ
=Δ=Δ ox
x
f
x
x
f
x
x
f
fy
n
n
iii
ii
)()()(
0
2
0
2
1
0
1
" 。
将上式写成矩阵乘积形式，并令 A
0
()
i
j
mn
f
x
×
=
x,就知道 f 在
0
x 点 可微。
综合上述三点，我们可以得到以下的统一表述,
向量值函数f连续、可导和可微就是它的每一个坐标分量函数
),,,(
21 ni
xxxf " ),,2,1( mi "=连续、可导和可微。
此外，在用 Jacobi 矩阵定义了向量值函数的导数 )(
0
xf
′
之后，多元函数和向量值函数的微分公式与一元函数的微分公式
xxfy d)(d
′
=
在形式上就是完全一致的。也就是说，只要将 x,y 和 f 理解为向量，
这就是多元函数和向量值函数的微分公式。
