中值定理
定义 12.3.1 设
n
RD 是区域。若连结 D中 任意两点的线段都 完全属于 D，即对于任意两点
0
x,
1
x ∈D和一切 ]1,0[∈λ,恒有
)(
010
xxx?+λ ∈D,
则称 D为凸区域。
例如
2
R 上的开圆盘
22 22
{(,) | ()() }x y xa y br=∈?+?<RD
就是凸区域。
§ 3 中值定理和 Taylor公式定理 12.3.1 (中值定理) 设二元函数 ),( yxf 在凸区域
2
RD 上可微，则对于 D内任意两点 ),(
00
yx 和 ),(
00
yyxx Δ+Δ+,至少存在一个 θ
（ 10 <<θ ）,使得
.),(),(
),(),(
0000
0000
yyyxxfxyyxxf
yxfyyxxf
yx
ΔΔ+Δ++ΔΔ+Δ+=
Δ+Δ+
θθθθ
证 因为 D是凸区域，所以
00
(,)xtxyty+ Δ+Δ∈D,]1,0[∈t 。
作辅助函数
),()(
00
ytyxtxft Δ+Δ+=?,
这是定义在 ]1,0[ 上的一元函数，由已知条件,)(t? 在 ]1,0[ 连续,在 )1,0( 可导，且
yytyxtxfxytyxtxft
yx
ΔΔ+Δ++ΔΔ+Δ+=
′
),(),()(
0000
。
由 Lagrange 中值定理，可知存在 θ（ 10 <<θ ）,使得
)()0()1( θ
′
=? 。
注意 ),()1(
00
yyxxf Δ+Δ+=?,),()0(
00
yxf=?,并将 )(t?′ 的表达式代入 上式，即得到定理的结论。
推论 12.3.1 如果函数 ),( yxf 在区域
2
RD 上的偏导数恒为零,
那么它在 D上必是常值函数。
证 设 ),( yx ′′ 是区域 D上任意一点，则存在 0>
′
r,使得点 ),( yx
′′ 的邻域 )),,(( ryxO ′′′? D。由定理 12.3.1，对任意的 ∈),( yx )),,(( ryxO ′′′,存在 θ（ 10 <<θ ）,使得
0),(),(),(),( =ΔΔ+
′
Δ+
′
+ΔΔ+
′
Δ+
′
=
′′
yyyxxfxyyxxfyxfyxf
yx
θθθθ,
其中 xxx
′
=Δ,yyy
′
=Δ 。因此
),(),( yxfyxf
′′
=,∈),( yx )),,(( ryxO
′′′
,
即 ),( yxf 在 )),,(( ryxO ′′′ 上是常值函数。
现设 ),(
00
yx 为区域 D上一定点,),( yx 为区域 D上任意一点，则 存在连续映射 →]1,0[:γ D，满足?])1,0([γ D,=)0(γ ),(
00
yx,=)1(γ ),( yx,
即 γ 是区域 D中以 ),(
00
yx 为起点，以 ),( yx 为终点的道路。于是函 数
))(( tf γ 在 ]1,0[ 连续，且满足
),())0((
00
yxff =γ,),())1(( yxff =γ 。
记
]},0[),,())0(())((|]1,0[sup{
000
styxfftfst ∈==∈= γγ,
则 0
0
>t,且由 ))(( tf γ 的连续性，有 ),())((
000
yxftf =γ 。
由于
0
()tγ ∈D，根据上面的证明，存在 )(
0
tγ 的邻域 )),((
00
rtO γ,使得?)),((
00
rtO γ D，且对于一切 ∈),( yx )),((
00
rtO γ,成立
=),( yxf ),())((
000
yxftf =γ 。
如果 1
0
<t,由 )(tγ 的连续性可知，对于充分小的 0>Δt,有 1
0
<Δ+ tt
及 )),(()(
000
rtOtt γγ ∈Δ+,从而又成立 ))((
0
ttf Δ+γ ),())((
000
yxftf == γ,
这与
0
t 的定义矛盾，于是必有 1
0
=t 。所以
),())0(())1((),(
00
yxfffyxf === γγ,
即 ),( yxf 在 D上是常值函数。
下面是一般 n元函数的中值定理。
定理 12.3.2 设 n元函数 ),,,(
21 n
xxxf"在凸区域
n
RD 上连续,
且在 D 上可微，则对于 D 内任意两点 ),,,(
00
2
0
1 n
xxx"和
),,,(
0
2
0
21
0
1 nn
xxxxxx Δ+Δ+Δ+"，至少存在一个 θ（ 10 <<θ ）,使得
),,,(),,,(
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1 nnn
xxxfxxxxxxf""?Δ+Δ+Δ+
inn
n
i
x
xxxxxxxf
i
ΔΔ+Δ+Δ+=
∑
=
),,,(
0
2
0
21
0
1
1
θθθ" 。
Taylor 公式
定理 12.3.3 （ Taylor 公式） 设 ),( yxf 在 点 ),(
00
yx 的邻域 U =
)),,((
00
ryxO 上具有 1+k 阶连续偏导数,那么对于 U 内每一点
),(
00
yyxx Δ+Δ+ 都成立
),(
00
yyxxf Δ+Δ+
="+
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+ ),(
!2
1
),(),(
00
2
0000
yxf
y
y
x
xyxf
y
y
x
xyxf
),(
!
1
00
yxf
y
y
x
x
k
k
Δ+
Δ+ +
k
R,
其中 ),(
)!1(
1
00
1
yyxxf
y
y
x
x
k
R
k
k
Δ+Δ+
Δ+
Δ
+
=
+
θθ （ 10 <<θ ） 称为
Lagrange 余项。
注
00 00
0
(,) C (,)( ) ( )
p
pp
ipi
p
pi i
i
f
xyfxy xyxy
xy xy
=

Δ +Δ = Δ Δ



∑
（ 1≥p ）。
证 对于给定点 ),(
00
yyxx Δ+Δ+ ∈U,构造辅助函数
),()(
00
ytyxtxft Δ+Δ+=φ,
则由定理条件，一元函数 )(tφ 在 || t ≤ 1 上具有 1+k 阶连续导数，因 此在 t = 0 处成立 Taylor 公式
10,)(
)!1(
1
)0(
!
1
)0(
!2
1
)0()0()(
1)1()(2
<<
+
+++
′′
+
′
+=
++
θθφφφφφφ
kkkk
tt
k
t
k
ttt"。
特别当 1=t 时，有
10),(
)!1(
1
)0(
!
1
)0(
!2
1
)0()0()1(
)1()(
<<
+
+++
′′
+
′
+=
+
θθφφφφφφ
kk
kk
"。
应用复合函数求导的链式规则易算出
),,()(
),,()(
00
2
00
ytyxtxf
y
y
x
xt
ytyxtxf
y
y
x
xt
Δ+Δ+
Δ+
Δ=
′′
Δ+Δ+
Δ+
Δ=
′
φ
φ
……
),,()(
00
)(
ytyxtxf
y
y
x
xt
k
k
Δ+Δ+
Δ+
Δ=φ
代入上面 φ (1)的表示式即得定理结论。
当 0=k 时，就得到在 U = )),,((
00
ryxO 上的中值公式
00 00
(,)(,)f xxyyfxy+Δ +Δ?
00 00
(,)(,),01
xy
f x xy y x f x xy y yθ θθθθ= +Δ +ΔΔ+ +Δ +ΔΔ < <。
推论 12.3.2 设 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 的某个邻域上具有 1+k 阶连续偏导数，那么在点 ),(
00
yx 附近成立
),(
00
yyxxf Δ+Δ+
="+
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+ ),(
!2
1
),(),(
00
2
0000
yxf
y
y
x
xyxf
y
y
x
xyxf
),(
!
1
00
yxf
y
y
x
x
k
k
Δ+
Δ+ + ( )
Δ+Δ
k
yxo
22
。
例12.3.1 在计算机上求
x
f
在点 ),( yx 的值,通常选取一个很小 的
h，然后用 中心差商
h
y
h
xfy
h
xf ),
2
(),
2
(+
近似代替
x
f
),( yx 。对 ),(
2
2
yx
x
f
作同样处理，即有
),(
2
2
yx
x
f
≈
h
1
[
x
f
),
2
( y
h
x + -
x
f
),
2
( y
h
x? ]
≈
h
h
yhxfyxf
h
yxfyhxf ),(),(),(),(
+
=
2
),(),(2),(
h
yhxfyxfyhxf?+?+
。
在 y 方向也采用这个方法，并记
),( yxf
h
Δ =
2
),(4),(),(),(),(
h
yxfhyxfyhxfhyxfyhxf+?++++
,
就可以通过计算 ),( yxf
h
Δ 来求得 ),(
2
2
2
2
yxf
yx
+
的近似值。
这是一个重要的近似计算公式。 由于在计算 ),( yx 处的二阶偏导 数时用到了 ),( yxf 在它及它的上下左右共五个点的函数值 (见图 12.3.1)，
因此称 ),( yxf
h
Δ 为 五点差分格式 。
图 12.3.1
(,)xy
(,)x yh?
(,)x hy+
(,)x hy?
(,)x yh+
在 y 方向也采用这个方法，并记
),( yxf
h
Δ =
2
),(4),(),(),(),(
h
yxfhyxfyhxfhyxfyhxf+?++++
,
就可以通过计算 ),( yxf
h
Δ 来求得 ),(
2
2
2
2
yxf
yx
+
的近似值。
定理 12.3.4 设 n元函数 ),,,(
21 n
xxxf"在点 ),,,(
00
2
0
1 n
xxx"附近具有
1+k 阶的连续偏导数,那么在这点附近成立如下的 Taylor 公式,
),,,(
0
2
0
21
0
1 nn
xxxxxxf Δ+Δ+Δ+"
+
Δ+
Δ+=
∑∑
==
),,,(
!2
1
),,,(),,,(
00
2
0
1
2
1
00
2
0
1
1
00
2
0
1 n
n
i
i
in
n
i
i
in
xxxf
x
xxxxf
x
xxxxf"""
),,,(
!
1
00
2
0
1
1
n
k
n
i
i
i
xxxf
x
x
k
""
Δ+
∑
=
+
k
R,
其中
k
R = 10),,,,(
)!1(
1
0
2
0
21
0
1
1
1
<<Δ+Δ+Δ+
Δ
+
+
=
∑
θθθθ
nn
k
n
i
i
i
xxxxxxf
x
x
k
",
为 Lagrange 余项。