定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间[a,b]上有定义，如果存在多项式序列｛ P
n
(x)｝在[a,b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近 。
应用分析语言,,f (x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为,
对任意给定的ε ＞ 0，存在多项式P(x)，使得
｜ P(x) - f (x)｜＜ ε
对一切x∈ [a,b]成立。
§ 5 用多项式逼近连续函数
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a,b]上任意连续函数f (x)都可以用多项式一致逼近。
这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在
1953 年给出的。
定理 10.5.1 (Weierstrass 第一逼近定理 ) 设f (x)是闭区间[a,b]
上的连续函数，则对任意给定的ε ＞ 0，存在多项式P(x)，使得
｜ P(x) - f (x)｜＜ ε
对一切x∈ [a,b]成立。
证 不失一般性，我们设 [a,b]为 [0,1] 。
设 X 是 [0,1]上连续函数全体构成的集合,Y 是多项式全体构成的集合，现定义映射
n
B
,X → Y
f (t) 6
=),( xfB
n ∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
f
0
)1(C
,
这里
),( xfB
n
表示 f ∈ X 在映射
n
B
作用下的像,它是以 x 为变量的 n 次多项式，称为 Bernstein 多项式。
关于映射
n
B
，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式,
(1)
n
B
是线性映射，即对于任意 f,g ∈ X 及
,α β ∈R
，成立
n
B
(
fgα β+
,x) = α
n
B
(f,x) +
β
n
B
(g,x)；
(2)
n
B
具有单调性，即对于任意 f,g ∈ X，若 f (t)≥ g(t) 对一切
t∈ [0,1]成立，则
n
B
(f,x)≥
n
B
(g,x)
对一切 x∈ [0,1]成立；
(3)
n
B
(1,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
0
)1(C
= [x + (1- x)]
n
= 1；
n
B
(t,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
)1(C
=
11
1
1
C(1)
n
kk nk
n
k
xxx
=
∑
=
1
[(1 )]
n
xx x
= x；
n
B
(t
2
,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
2
2
)1(C
=
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
1
1
1
)1(C
=
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
2
1
1
)1(C
1
+
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
1
1
1
)1(C
1
=
∑
=
n
k
knkk
n
xxx
n
n
2
22
2
2
)1(C
1
+
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
x
1
11
1
)1(C
=
2
1
x
n
n?
+
n
x
=
2
x
+
n
xx
2
。
综合上述三式，考虑函数( t - s)
2
在
n
B
映射下的像，注意 s 在这里被视为常数，得到
n
B
((t-s)
2
,x) =
n
B
(t
2
,x)-2s
n
B
(t,x) + s
2
n
B
(1,x)
= x
2
+
n
xx
2
-2sx + s
2
=
n
xx
2
+ (x-s)
2
。
现在证明定理。
由于函数 f 在 [0,1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞ 0，对于一切 t∈ [0,1]，成立
｜ f (t)｜≤ M；
而根据 Cantor 定理,f 在 [0,1]上一致连续，于是对任意给定的 ε ＞ 0，
存在 δ ＞ 0，对一切 t,s ∈ [0,1],
当｜t - s ｜＜ δ 时，成立
｜ f (t) - f (s)｜＜
2
ε;
当｜t - s ｜≥ δ 时，成立
｜ f (t) - f (s)｜≤ 2M ≤
2
2M
δ
(t - s)
2
。
也就是说，对一切 t,s ∈ [0,1],成立
-
2
ε
-
2
2M
δ
(t - s)
2
≤ f (t) - f (s) ≤
2
ε
+
2
2M
δ
(t - s)
2
。
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射
n
B
作用下的像（关于 x 的多项式）,注意 f (s)在这里被视为常数，即
n
B
(f (s),x) = f (s)，并根据上面性质(1),(2)与 (3)，得到对一切 x,s∈ [0,
1]，成立
-
2
ε
-
2
2M
δ
2
2
()
xx
x s
n
+?
≤
n
B
(f,x)-f (s) ≤
2
ε
+
2
2M
δ
2
2
()
xx
x s
n
+?
，
令 s = x，且注意 x (1-x)≤
4
1
,即得
∑
=
n
k
knkk
n
xfxx
n
k
f
0
)()1(C ≤
2
ε
+
2
2
M
nδ
。
取 N =
2
M
δ ε
，当 n＞ N 时,
∑
=
n
k
knkk
n
xfxx
n
k
f
0
)()1(C ＜ ε
对一切 x∈ [0,1]成立。
定理 10.5.1 还可以表述为,设f 在[a,b]上连续，则它的Bernstein
多项式序列｛
),( xfB
n
｝在[a,b]上一致收敛于f 。
n
(x)｝在[a,b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近 。
应用分析语言,,f (x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为,
对任意给定的ε ＞ 0，存在多项式P(x)，使得
｜ P(x) - f (x)｜＜ ε
对一切x∈ [a,b]成立。
§ 5 用多项式逼近连续函数
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a,b]上任意连续函数f (x)都可以用多项式一致逼近。
这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在
1953 年给出的。
定理 10.5.1 (Weierstrass 第一逼近定理 ) 设f (x)是闭区间[a,b]
上的连续函数，则对任意给定的ε ＞ 0，存在多项式P(x)，使得
｜ P(x) - f (x)｜＜ ε
对一切x∈ [a,b]成立。
证 不失一般性，我们设 [a,b]为 [0,1] 。
设 X 是 [0,1]上连续函数全体构成的集合,Y 是多项式全体构成的集合，现定义映射
n
B
,X → Y
f (t) 6
=),( xfB
n ∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
f
0
)1(C
,
这里
),( xfB
n
表示 f ∈ X 在映射
n
B
作用下的像,它是以 x 为变量的 n 次多项式，称为 Bernstein 多项式。
关于映射
n
B
，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式,
(1)
n
B
是线性映射，即对于任意 f,g ∈ X 及
,α β ∈R
，成立
n
B
(
fgα β+
,x) = α
n
B
(f,x) +
β
n
B
(g,x)；
(2)
n
B
具有单调性，即对于任意 f,g ∈ X，若 f (t)≥ g(t) 对一切
t∈ [0,1]成立，则
n
B
(f,x)≥
n
B
(g,x)
对一切 x∈ [0,1]成立；
(3)
n
B
(1,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
0
)1(C
= [x + (1- x)]
n
= 1；
n
B
(t,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
)1(C
=
11
1
1
C(1)
n
kk nk
n
k
xxx
=
∑
=
1
[(1 )]
n
xx x
= x；
n
B
(t
2
,x) =
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
0
2
2
)1(C
=
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
1
1
1
)1(C
=
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
k
2
1
1
)1(C
1
+
∑
=
n
k
knkk
n
xx
n
1
1
1
)1(C
1
=
∑
=
n
k
knkk
n
xxx
n
n
2
22
2
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)1(C
1
+
∑
=
n
k
knkk
n
xx
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x
1
11
1
)1(C
=
2
1
x
n
n?
+
n
x
=
2
x
+
n
xx
2
。
综合上述三式，考虑函数( t - s)
2
在
n
B
映射下的像，注意 s 在这里被视为常数，得到
n
B
((t-s)
2
,x) =
n
B
(t
2
,x)-2s
n
B
(t,x) + s
2
n
B
(1,x)
= x
2
+
n
xx
2
-2sx + s
2
=
n
xx
2
+ (x-s)
2
。
现在证明定理。
由于函数 f 在 [0,1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞ 0，对于一切 t∈ [0,1]，成立
｜ f (t)｜≤ M；
而根据 Cantor 定理,f 在 [0,1]上一致连续，于是对任意给定的 ε ＞ 0，
存在 δ ＞ 0，对一切 t,s ∈ [0,1],
当｜t - s ｜＜ δ 时，成立
｜ f (t) - f (s)｜＜
2
ε;
当｜t - s ｜≥ δ 时，成立
｜ f (t) - f (s)｜≤ 2M ≤
2
2M
δ
(t - s)
2
。
也就是说，对一切 t,s ∈ [0,1],成立
-
2
ε
-
2
2M
δ
(t - s)
2
≤ f (t) - f (s) ≤
2
ε
+
2
2M
δ
(t - s)
2
。
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射
n
B
作用下的像（关于 x 的多项式）,注意 f (s)在这里被视为常数，即
n
B
(f (s),x) = f (s)，并根据上面性质(1),(2)与 (3)，得到对一切 x,s∈ [0,
1]，成立
-
2
ε
-
2
2M
δ
2
2
()
xx
x s
n
+?
≤
n
B
(f,x)-f (s) ≤
2
ε
+
2
2M
δ
2
2
()
xx
x s
n
+?
，
令 s = x，且注意 x (1-x)≤
4
1
,即得
∑
=
n
k
knkk
n
xfxx
n
k
f
0
)()1(C ≤
2
ε
+
2
2
M
nδ
。
取 N =
2
M
δ ε
，当 n＞ N 时,
∑
=
n
k
knkk
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n
k
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)()1(C ＜ ε
对一切 x∈ [0,1]成立。
定理 10.5.1 还可以表述为,设f 在[a,b]上连续，则它的Bernstein
多项式序列｛
),( xfB
n
｝在[a,b]上一致收敛于f 。
