链式规则
设∈= ),(),,( yxyxfz
f
D是区域
f
D?
2
R上的二元函数，而
,
g
g D→
2
R,
)),(),,((),( vuyvuxvu 6
是区域
g
D?
2
R上的二元二维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
那么可以构造复合函数
g Dfz = ∈= ),()],,(),,([ vuvuyvuxf
g
D。
复合函数有如下求偏导数的法则。
§2 多元复合函数的求导法则定理 12.2.1 （链式规则） 设g在∈),(
00
vu
g
D点可导，即),( vuxx =，
),( vuyy =在),(
00
vu点可偏导。记),(),,(
000000
vuyvuxx ==，如果f在
),(
00
yx点可微，那么
00 0 0 00 0 0 00
(,) (,) (,) (,) (,)
zzxzy
uv xy uv xy uv
uxuyu
=+；
00 0 0 00 0 0 00
(,) (,) (,) (,) (,)
zzxzy
uv xy uv xy uv
vxvyv
。
证 只证明第一式。由于f在),(
00
yx点可微，因此
,),(),(),(
),(),(
22
0000
0000
yxyxyyx
y
f
xyx
x
f
yxfyyxxf
Δ+ΔΔΔ+Δ
+Δ
=
Δ+Δ+
α
其中),( yx ΔΔα满足0),(lim
0),(
=ΔΔ
→ΔΔ
yx
yx
α。定义0)0,0( =α，那么上式当
)0,0(),( =ΔΔ yx时也成立。
设 ),(),(
0000
vuxvuuxx?Δ+=Δ,),(),(
0000
vuyvuuyy?Δ+=Δ,
由于),( vuxx =，),( vuyy =在),(
00
vu点可偏导，所以成立
),(lim),,(lim
00
0
00
0
vu
u
y
u
y
vu
u
x
u
x
uu
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
,
并且有0lim
22
0
=Δ+Δ
→Δ
yx
u
。于是当uΔ趋于0时,
22
22
),(
),(
Δ
Δ
+
Δ
Δ
Δ
Δ
ΔΔ=
Δ
Δ+ΔΔΔ
u
y
u
x
u
u
yx
u
yxyx
α
α
也趋于0，所以
u
vuyvuxfvuuyvuuxf
vu
u
z
u
Δ
Δ+Δ+
=
→Δ
)),(),,(()),(),,((
lim),(
00000000
0
00
u
yxfyyxxf
u
Δ
Δ+Δ+
=
→Δ
),(),(
lim
0000
0
u
yxyx
u
y
yx
y
f
u
x
yx
x
f
uu
Δ
Δ+ΔΔΔ
+
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
22
0
0000
0
),(
lim),(),(lim
α
00 00 00 00
(,) (,) (,) (,)
fx fy
x yuv xyuv
xu yu
=+
。
注意，定理条件“f可微”不能减弱为“f可偏导”。
例 12.2.1 从上节已经知道,
=+
≠+
+
==
0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxfz
在)0,0(点可偏导，且0)0,0()0,0( ==
yx
ff，但它在)0,0(点不可微。
现在设yx,分别是自变量t的函数
=
=
,
,
2
ty
tx
直接代入就知这个复合函数实质上是tz =，因此在0=t点的导数为
1)0(
d
d
=
t
z
。
但若贸然套用链式规则，就会导出
0
22
]1),(2),([)0(
d
d
=
+?=
t
yx
ttftttf
t
z
0]1)0,0(02)0,0([ =?+=
yx
ff
的错误结果。
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。
设
∈= ),,,(),,,,(
2121 mm
yyyyyyfz " "
f
D
为区域
f
D?
m
R上的m元函数。又设
:
g
gD→
m
R,
),,,(),,,(
2121 mn
yyyxxx " 6 "
为区域
g
D?
n
R上的n元m维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
那么可以构造复合函数
g Dfz = = )],,,(,),,,,(),,,,([
21212211 nmnn
xxxyxxxyxxxyf " " " ",
12
(,,,)
n
xx x∈ "
g
D。
定理 12.2.2（链式规则） 设g在∈
0
x
g
D点可导，即
m
yyy,,,
21
"在
0
x点可偏导，且f在)(
00
xgy =点可微，则
)(
0
x
i
x
z
)()()()()()(
00020
2
010
1
xyxyxy
i
m
mii
x
y
y
z
x
y
y
z
x
y
y
z
++
+
= ",
ni,,2,1 "=。
上式可以用矩阵表示为
0
,,,
21
xx
n
x
z
x
z
x
z
=
"
0
0
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
,,,
xx
n
mmm
n
n
yy
m
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
z
y
z
y
z
=
=
=
"
# # #
"
"
",
或用向量值函数的导数记号表为
)()()()(
000
xgyxg
′′
=
′
ff D。
例12.2.2 设),arctan(xyz =
x
y e=，求
0
d
d
=x
x
z
。
解 由链式规则
22 22 22
ddd e(1)
1e
ddd1 1 1e
x
x
x
zzxzy y x x
xxxyx xy xy x
+
=+=?+?=
+ + +
。
于是
1
d
d
0
=
=x
x
z
。
例 12.2.3 设
y
x
z
2
=，而vuyvux +=?= 2,2，计算
v
z
u
z
,。
解
2
2
2
12
zzxzyx x
uxuyuy y
= +=?+
2
22
2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 )
2(2)()
uv uv uvuv
uv uv uv
+
=? =
++
。
2
2
2
(2) 1
zzxzyx x
vxvyvy y
= +=+
2
22
4( 2) ( 2) (2 )(9 2)
2(2)(2)
uv uv vuuv
uv uv uv
+
= =
++ +
。
例 12.2.4 设
yx
yxz
2
)2(
+
+=，计算
y
z
x
z
,。
解 设yxvyxu 2,2 +=+=，则
v
uz =。于是
1
2ln1
vv
zzuzv
vu u u
xuxvx
= +=?+?
21 2
2
2( 2 )(2 ) (2 ) ln(2 )
2( 2 )
(2 ) ln(2 )
2
xy xy
xy
x y xy xy xy
xy
xy xy
xy
+? +
+
= ++++ +
+
=+ + +
+
。
2ln1
1
+?=
+
=
uuvu
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
vv
)2ln()2(2)2)(2(
212
yxyxyxyx
yxyx
+++++=
+?+
2
(2)
(2 ) 2ln(2 )
2
xy
xy
xy xy
xy
+
+
=+ + +
+
。
例 12.2.5 设),(
222
xyzzyxfw ++=，f具有二阶连续偏导数，计算
xz
w
x
w
2
,。
解 将),(
222
xyzzyxfw ++=看成复合函数
=
++=
=
.
,
),,(
222
xyzv
zyxu
vufw
显然
yz
x
v
x
x
u
=
=
,2。
由链式规则,
v
w
yz
u
w
x
x
v
v
w
x
u
u
w
x
w
+
=
+
=
2。
注意到
v
w
u
w
和仍是复合函数，于是由
xy
z
v
z
z
u
=
=
,2,
再运用链式规则就得到
2
2
ww ww
xyz
zx z x z u v
== +
2
ww w
xyyz
zu v zv
=++
22 22
222
22 2
22 2
42()
www ww
x z xy y yz z xy
uvuv uvv
wwww
xz y x z xy z y
uuvvv
=+++ +
=+++ +
。
若用函数符号加下标i表示对其第i个变量的偏导数，即
u
vuf
f
=
),(
1
，
vu
vuf
f
uv
vuf
f
v
vuf
f
=
=
=
),(
,
),(
,
),(
2
21
2
122
,
如此等等，则上面的结果可表示为
12
2
w
xf yzf
x
=+
2
22 2
11 12 22 2
42()
w
xzf y x z f xy zf yf
zx
=+++ +
。
例 12.2.6 已知),( yxuu =为可微函数，试求
2
2
+
y
u
x
u
在极坐标下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系,
θθ sin,cos ryrx ==,
将yx,看成中间变量，就得到
.cossin
.sincos
y
u
r
x
u
r
y
y
ux
x
uu
y
u
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
+
=
+
=
+
=
+
=
θθ
θθθ
θθ
将第一式乘r后的平方加上第二式的平方，再乘以
2
/1 r，即得到
2
2
2
2
2
1
+
=
+
θ
u
rr
u
y
u
x
u
。
设
,
f
fD→
2
R,
)),,(),,((),( vuyvuxvu 6
是区域
f
D?
2
R上的二元二维向量值函数。又设
,
g
gD→
2
R,
)),(),,((),( tsvtsuts 6
是区域
g
D?
2
R上的二元二维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
则可以构造复合向量值函数gf D。具体写出来就是
∈
=
=
),(
)],,(),,([
)],,(),,([
ts
tsvtsuyy
tsvtsuxx
g
D。
如果f和g分别在
f
D与
g
D上具有连续导数，那么由定理12.2.1
),,(),(),(),(),(
),,(),(),(),(),(
ts
t
v
vu
v
x
ts
t
u
vu
u
x
ts
t
x
ts
s
v
vu
v
x
ts
s
u
vu
u
x
ts
s
x
+
=
+
=
(,) (,) (,) (,) (,),
(,) (,) (,) (,) (,)
yyuyv
st uv st uv st
susvs
yyuyv
st uv st uv st
tutvt
=+
=+
。
写成矩阵形式就是
=
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
ts
t
v
ts
s
v
ts
t
u
ts
s
u
vu
v
y
vu
u
y
vu
v
x
vu
u
x
ts
t
y
ts
s
y
ts
t
x
ts
s
x
,
即
),(),(),()( tsvuts gfgf
′′
=
′
D。
事实上，可以有如下的一般结果。
定理 12.2.3 设f：
f
D（?
k
R）→
m
R与g：
g
D（?
n
R）→
k
R分别是多元向量值函数，且分别在
f
D与
g
D上具有连续导数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，并记)(xgu =，那么复合向量值函数gf D在
g
D上也具有连续的导数，并且成立等式
)()]([)()()()( xgxgfxgufxgf
′
′
=
′
′
=
′
D,
其中)(uf
′
，)(xg
′
和)()( xgf
′
D是相应的导数，即Jacobi矩阵。
例 12.2.7 设向量值函数
22
,RR →f
的坐标分量函数为
=
=
.cossin
,sincos
vuy
vux
向量值函数
22
,RR →g
的坐标分量函数为
=
+=
.
,
tsv
tsu
于是，复合函数gf D的坐标分量函数为
+=
+=
).cos()sin(
),sin()cos(
tstsy
tstsx
它们的偏导数可以用如下方式算出来,
sin sin cos cos 1 1
cos cos sin sin 1 1
sin sin cos cos sin sin cos cos
cos cos sin sin cos cos
xx xxuu
st uvst
yy yy vv
st uvst
uv uv
uv uv
uv uv uv uv
uv uv uv
=
=
+
=
+sin sin
cos( ) cos( ) cos 2 cos 2
cos( ) cos( ) cos 2 cos 2
uv
uv uv s t
uv uv s t
+
==
。
一阶全微分的形式不变性
以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。
设),( yxfz =为二元函数，那么当yx,为自变量时,
y
y
z
x
x
z
z ddd
+
=。
而当yx,为中间变量时，如
),,(
),,(
vuyy
vuxx
=
=
这时vyuyyvxuxx
vuvu
ddd,ddd +=+=,
那么由链式规则得
vyfxfuyfxf
v
v
z
u
u
z
z
vyvxuyux
d)(d)(
ddd
+++=
+
=
)dd()dd( vyuyfvxuxf
vuyvux
+++=
dd
zz
xy
xy
=+
。
这说明了无论yx,是自变量，还是中间变量，一阶微分具有相同的形式，这就是一阶全微分的形式不变性。
对于多元函数)(yfz =，其中
T
12
(,,,)
m
yy y= "y。当y为自变量时，
一阶全微分形式为
yy d)(d fz
′
=。
而当y为中间变量)(xgy =（
T
12
(,,,)
n
x xx= "x）时，xxgy d)(d
′
=。由定理12.2.2,
yyxxgyxxgyxxg d)()d)()((d)()(d)()(d ffffz
′
=
′′
=
′′
=
′
= D。
这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例如函数),( yxfz =，当yx,为自变量时,
222
22 2
dd2d d
zzz
zx xyy
xxyy
=+ +
,
而当yx,为中间变量时
222
22 222
d d2ddddd
zzzzz
zx xyy xy
xxyyxy
=+ +++
。
与一维情况相同，当yx,为自变量时，x
2
d = y
2
d =0；而当yx,为中间变量时，x
2
d与y
2
d一般不为零。
例12.2.8 设4
yx
yx
z
+
=,求全微分dz。
解 在4
yx
yx
z
+
=的两边取对数,
)]ln()[ln(
4
1
ln yxyxz+=。
两边求全微分，利用一阶全微分的形式不变性，得到
+
+
=
yx
yx
yx
yx
z
z dddd
4
1d
,
即
22
4
dd
2
1
d
yx
xyyx
yx
yx
z
+
=。
由此得到
22
4
22
4
2
1
,
2
1
yx
x
yx
yx
y
z
yx
y
yx
yx
x
z
+
=
+
=
。
例 12.2.9 设)ln( yxz +=，求z
k
d。
解 设yxu +=，则 yxu ddd +=，0d
2
=u，因此
2,0d ≥= ku
k
。
于是
yx
yx
u
u
z
+
+
==
ddd
d,
2
2
2
2
22
)(
)d(dd
d
1
d
1
d
d
dd
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
+
+
=?=+
=
=,
.
)(
)d(d!2d!2
)d(d
1
d
1
d
d
dd
3
3
3
3
2
2
2
22
2
3
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
+
+
==
=
=
应用归纳法即可得到
k
k
kk
yx
yxk
z
)(
)d(d)!1(
)1(d
1
+
+?
=
+
, ",2,1=k。
设∈= ),(),,( yxyxfz
f
D是区域
f
D?
2
R上的二元函数，而
,
g
g D→
2
R,
)),(),,((),( vuyvuxvu 6
是区域
g
D?
2
R上的二元二维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
那么可以构造复合函数
g Dfz = ∈= ),()],,(),,([ vuvuyvuxf
g
D。
复合函数有如下求偏导数的法则。
§2 多元复合函数的求导法则定理 12.2.1 （链式规则） 设g在∈),(
00
vu
g
D点可导，即),( vuxx =，
),( vuyy =在),(
00
vu点可偏导。记),(),,(
000000
vuyvuxx ==，如果f在
),(
00
yx点可微，那么
00 0 0 00 0 0 00
(,) (,) (,) (,) (,)
zzxzy
uv xy uv xy uv
uxuyu
=+；
00 0 0 00 0 0 00
(,) (,) (,) (,) (,)
zzxzy
uv xy uv xy uv
vxvyv
。
证 只证明第一式。由于f在),(
00
yx点可微，因此
,),(),(),(
),(),(
22
0000
0000
yxyxyyx
y
f
xyx
x
f
yxfyyxxf
Δ+ΔΔΔ+Δ
+Δ
=
Δ+Δ+
α
其中),( yx ΔΔα满足0),(lim
0),(
=ΔΔ
→ΔΔ
yx
yx
α。定义0)0,0( =α，那么上式当
)0,0(),( =ΔΔ yx时也成立。
设 ),(),(
0000
vuxvuuxx?Δ+=Δ,),(),(
0000
vuyvuuyy?Δ+=Δ,
由于),( vuxx =，),( vuyy =在),(
00
vu点可偏导，所以成立
),(lim),,(lim
00
0
00
0
vu
u
y
u
y
vu
u
x
u
x
uu
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
,
并且有0lim
22
0
=Δ+Δ
→Δ
yx
u
。于是当uΔ趋于0时,
22
22
),(
),(
Δ
Δ
+
Δ
Δ
Δ
Δ
ΔΔ=
Δ
Δ+ΔΔΔ
u
y
u
x
u
u
yx
u
yxyx
α
α
也趋于0，所以
u
vuyvuxfvuuyvuuxf
vu
u
z
u
Δ
Δ+Δ+
=
→Δ
)),(),,(()),(),,((
lim),(
00000000
0
00
u
yxfyyxxf
u
Δ
Δ+Δ+
=
→Δ
),(),(
lim
0000
0
u
yxyx
u
y
yx
y
f
u
x
yx
x
f
uu
Δ
Δ+ΔΔΔ
+
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
22
0
0000
0
),(
lim),(),(lim
α
00 00 00 00
(,) (,) (,) (,)
fx fy
x yuv xyuv
xu yu
=+
。
注意，定理条件“f可微”不能减弱为“f可偏导”。
例 12.2.1 从上节已经知道,
=+
≠+
+
==
0,0
,0,
2
),(
22
22
42
3
yx
yx
yx
xy
yxfz
在)0,0(点可偏导，且0)0,0()0,0( ==
yx
ff，但它在)0,0(点不可微。
现在设yx,分别是自变量t的函数
=
=
,
,
2
ty
tx
直接代入就知这个复合函数实质上是tz =，因此在0=t点的导数为
1)0(
d
d
=
t
z
。
但若贸然套用链式规则，就会导出
0
22
]1),(2),([)0(
d
d
=
+?=
t
yx
ttftttf
t
z
0]1)0,0(02)0,0([ =?+=
yx
ff
的错误结果。
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。
设
∈= ),,,(),,,,(
2121 mm
yyyyyyfz " "
f
D
为区域
f
D?
m
R上的m元函数。又设
:
g
gD→
m
R,
),,,(),,,(
2121 mn
yyyxxx " 6 "
为区域
g
D?
n
R上的n元m维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
那么可以构造复合函数
g Dfz = = )],,,(,),,,,(),,,,([
21212211 nmnn
xxxyxxxyxxxyf " " " ",
12
(,,,)
n
xx x∈ "
g
D。
定理 12.2.2（链式规则） 设g在∈
0
x
g
D点可导，即
m
yyy,,,
21
"在
0
x点可偏导，且f在)(
00
xgy =点可微，则
)(
0
x
i
x
z
)()()()()()(
00020
2
010
1
xyxyxy
i
m
mii
x
y
y
z
x
y
y
z
x
y
y
z
++
+
= ",
ni,,2,1 "=。
上式可以用矩阵表示为
0
,,,
21
xx
n
x
z
x
z
x
z
=
"
0
0
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
,,,
xx
n
mmm
n
n
yy
m
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
z
y
z
y
z
=
=
=
"
# # #
"
"
",
或用向量值函数的导数记号表为
)()()()(
000
xgyxg
′′
=
′
ff D。
例12.2.2 设),arctan(xyz =
x
y e=，求
0
d
d
=x
x
z
。
解 由链式规则
22 22 22
ddd e(1)
1e
ddd1 1 1e
x
x
x
zzxzy y x x
xxxyx xy xy x
+
=+=?+?=
+ + +
。
于是
1
d
d
0
=
=x
x
z
。
例 12.2.3 设
y
x
z
2
=，而vuyvux +=?= 2,2，计算
v
z
u
z
,。
解
2
2
2
12
zzxzyx x
uxuyuy y
= +=?+
2
22
2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 )
2(2)()
uv uv uvuv
uv uv uv
+
=? =
++
。
2
2
2
(2) 1
zzxzyx x
vxvyvy y
= +=+
2
22
4( 2) ( 2) (2 )(9 2)
2(2)(2)
uv uv vuuv
uv uv uv
+
= =
++ +
。
例 12.2.4 设
yx
yxz
2
)2(
+
+=，计算
y
z
x
z
,。
解 设yxvyxu 2,2 +=+=，则
v
uz =。于是
1
2ln1
vv
zzuzv
vu u u
xuxvx
= +=?+?
21 2
2
2( 2 )(2 ) (2 ) ln(2 )
2( 2 )
(2 ) ln(2 )
2
xy xy
xy
x y xy xy xy
xy
xy xy
xy
+? +
+
= ++++ +
+
=+ + +
+
。
2ln1
1
+?=
+
=
uuvu
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
vv
)2ln()2(2)2)(2(
212
yxyxyxyx
yxyx
+++++=
+?+
2
(2)
(2 ) 2ln(2 )
2
xy
xy
xy xy
xy
+
+
=+ + +
+
。
例 12.2.5 设),(
222
xyzzyxfw ++=，f具有二阶连续偏导数，计算
xz
w
x
w
2
,。
解 将),(
222
xyzzyxfw ++=看成复合函数
=
++=
=
.
,
),,(
222
xyzv
zyxu
vufw
显然
yz
x
v
x
x
u
=
=
,2。
由链式规则,
v
w
yz
u
w
x
x
v
v
w
x
u
u
w
x
w
+
=
+
=
2。
注意到
v
w
u
w
和仍是复合函数，于是由
xy
z
v
z
z
u
=
=
,2,
再运用链式规则就得到
2
2
ww ww
xyz
zx z x z u v
== +
2
ww w
xyyz
zu v zv
=++
22 22
222
22 2
22 2
42()
www ww
x z xy y yz z xy
uvuv uvv
wwww
xz y x z xy z y
uuvvv
=+++ +
=+++ +
。
若用函数符号加下标i表示对其第i个变量的偏导数，即
u
vuf
f
=
),(
1
，
vu
vuf
f
uv
vuf
f
v
vuf
f
=
=
=
),(
,
),(
,
),(
2
21
2
122
,
如此等等，则上面的结果可表示为
12
2
w
xf yzf
x
=+
2
22 2
11 12 22 2
42()
w
xzf y x z f xy zf yf
zx
=+++ +
。
例 12.2.6 已知),( yxuu =为可微函数，试求
2
2
+
y
u
x
u
在极坐标下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系,
θθ sin,cos ryrx ==,
将yx,看成中间变量，就得到
.cossin
.sincos
y
u
r
x
u
r
y
y
ux
x
uu
y
u
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
+
=
+
=
+
=
+
=
θθ
θθθ
θθ
将第一式乘r后的平方加上第二式的平方，再乘以
2
/1 r，即得到
2
2
2
2
2
1
+
=
+
θ
u
rr
u
y
u
x
u
。
设
,
f
fD→
2
R,
)),,(),,((),( vuyvuxvu 6
是区域
f
D?
2
R上的二元二维向量值函数。又设
,
g
gD→
2
R,
)),(),,((),( tsvtsuts 6
是区域
g
D?
2
R上的二元二维向量值函数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，
则可以构造复合向量值函数gf D。具体写出来就是
∈
=
=
),(
)],,(),,([
)],,(),,([
ts
tsvtsuyy
tsvtsuxx
g
D。
如果f和g分别在
f
D与
g
D上具有连续导数，那么由定理12.2.1
),,(),(),(),(),(
),,(),(),(),(),(
ts
t
v
vu
v
x
ts
t
u
vu
u
x
ts
t
x
ts
s
v
vu
v
x
ts
s
u
vu
u
x
ts
s
x
+
=
+
=
(,) (,) (,) (,) (,),
(,) (,) (,) (,) (,)
yyuyv
st uv st uv st
susvs
yyuyv
st uv st uv st
tutvt
=+
=+
。
写成矩阵形式就是
=
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
ts
t
v
ts
s
v
ts
t
u
ts
s
u
vu
v
y
vu
u
y
vu
v
x
vu
u
x
ts
t
y
ts
s
y
ts
t
x
ts
s
x
,
即
),(),(),()( tsvuts gfgf
′′
=
′
D。
事实上，可以有如下的一般结果。
定理 12.2.3 设f：
f
D（?
k
R）→
m
R与g：
g
D（?
n
R）→
k
R分别是多元向量值函数，且分别在
f
D与
g
D上具有连续导数。如果g的值域()?
g
gD
f
D，并记)(xgu =，那么复合向量值函数gf D在
g
D上也具有连续的导数，并且成立等式
)()]([)()()()( xgxgfxgufxgf
′
′
=
′
′
=
′
D,
其中)(uf
′
，)(xg
′
和)()( xgf
′
D是相应的导数，即Jacobi矩阵。
例 12.2.7 设向量值函数
22
,RR →f
的坐标分量函数为
=
=
.cossin
,sincos
vuy
vux
向量值函数
22
,RR →g
的坐标分量函数为
=
+=
.
,
tsv
tsu
于是，复合函数gf D的坐标分量函数为
+=
+=
).cos()sin(
),sin()cos(
tstsy
tstsx
它们的偏导数可以用如下方式算出来,
sin sin cos cos 1 1
cos cos sin sin 1 1
sin sin cos cos sin sin cos cos
cos cos sin sin cos cos
xx xxuu
st uvst
yy yy vv
st uvst
uv uv
uv uv
uv uv uv uv
uv uv uv
=
=
+
=
+sin sin
cos( ) cos( ) cos 2 cos 2
cos( ) cos( ) cos 2 cos 2
uv
uv uv s t
uv uv s t
+
==
。
一阶全微分的形式不变性
以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。
设),( yxfz =为二元函数，那么当yx,为自变量时,
y
y
z
x
x
z
z ddd
+
=。
而当yx,为中间变量时，如
),,(
),,(
vuyy
vuxx
=
=
这时vyuyyvxuxx
vuvu
ddd,ddd +=+=,
那么由链式规则得
vyfxfuyfxf
v
v
z
u
u
z
z
vyvxuyux
d)(d)(
ddd
+++=
+
=
)dd()dd( vyuyfvxuxf
vuyvux
+++=
dd
zz
xy
xy
=+
。
这说明了无论yx,是自变量，还是中间变量，一阶微分具有相同的形式，这就是一阶全微分的形式不变性。
对于多元函数)(yfz =，其中
T
12
(,,,)
m
yy y= "y。当y为自变量时，
一阶全微分形式为
yy d)(d fz
′
=。
而当y为中间变量)(xgy =（
T
12
(,,,)
n
x xx= "x）时，xxgy d)(d
′
=。由定理12.2.2,
yyxxgyxxgyxxg d)()d)()((d)()(d)()(d ffffz
′
=
′′
=
′′
=
′
= D。
这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例如函数),( yxfz =，当yx,为自变量时,
222
22 2
dd2d d
zzz
zx xyy
xxyy
=+ +
,
而当yx,为中间变量时
222
22 222
d d2ddddd
zzzzz
zx xyy xy
xxyyxy
=+ +++
。
与一维情况相同，当yx,为自变量时，x
2
d = y
2
d =0；而当yx,为中间变量时，x
2
d与y
2
d一般不为零。
例12.2.8 设4
yx
yx
z
+
=,求全微分dz。
解 在4
yx
yx
z
+
=的两边取对数,
)]ln()[ln(
4
1
ln yxyxz+=。
两边求全微分，利用一阶全微分的形式不变性，得到
+
+
=
yx
yx
yx
yx
z
z dddd
4
1d
,
即
22
4
dd
2
1
d
yx
xyyx
yx
yx
z
+
=。
由此得到
22
4
22
4
2
1
,
2
1
yx
x
yx
yx
y
z
yx
y
yx
yx
x
z
+
=
+
=
。
例 12.2.9 设)ln( yxz +=，求z
k
d。
解 设yxu +=，则 yxu ddd +=，0d
2
=u，因此
2,0d ≥= ku
k
。
于是
yx
yx
u
u
z
+
+
==
ddd
d,
2
2
2
2
22
)(
)d(dd
d
1
d
1
d
d
dd
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
+
+
=?=+
=
=,
.
)(
)d(d!2d!2
)d(d
1
d
1
d
d
dd
3
3
3
3
2
2
2
22
2
3
yx
yx
u
u
u
u
u
uu
u
z
+
+
==
=
=
应用归纳法即可得到
k
k
kk
yx
yxk
z
)(
)d(d)!1(
)1(d
1
+
+?
=
+
, ",2,1=k。
