紧集上的连续映射
为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。
定义 11.3.1 设点集 K?
n
R,f,K→
m
R 为映射 （ 向量值函数 ），
0
∈xK。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当
0
(,)O δ∈ ∩xx K
时,成立
ε<? )()(
0
xfxf （即 )),(()(
0
εxfxf O∈ ）,
则称 f 在点
0
x 连续 。
如果映射 f 在 K 上每一点连续,就称 f 在 K 上连续,或 称映 射
f 为 K 上的连续映射。
§ 3 连续函数的性质也就是说，当
0
x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0
x 是 K
的边界点时，只要求 f 在
0
x 的 δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不 等式
ε<? )()(
0
xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集，
即紧集。
也就是说，当
0
x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0
x 是 K
的边界点时，只要求 f 在
0
x 的 δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不 等式
ε<? )()(
0
xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。
证 设 K 是
n
R 中紧集,:
m
→ RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfK y y fx x K
是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()f K 的任意一个点列必有聚点属于 ()f K
即可。
设 {y
k
}为 ()fK的任意一个点列。对于每个 y
k
，任取一个满足 f (x
k
)
= y
k
的 x
k∈ K
（ null,2,1=k ）,则{ x
k
}为紧集 K 中的点列，它必有聚点属于 K，即存在{x
k
}的子列 }{
l
k
x 满足
∈=
∞→
ax
l
k
l
lim K 。
由 f 在 a 点的连续性得
)()(limlim afxfy ==
∞→∞→
ll
k
l
k
l
,
即 )(af 是 {y
k
}的一个聚点，它显然属于 ()f K 。因此,()f K 是紧集。
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集 。
证 设 K 是
n
R 中紧集,:
m
→ RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfK y y fx x K
是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()f K 的任意一个点列必有聚点属于 ()f K
即可。
设 f (x) 是
n
R 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定理 11.3.3（最值定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数。则 f 在 K 上必能取到最大值和最小值，即存在 ξ
1
,ξ
2
∈K，
使得对于一切 x∈K 成立
f (ξ
1
) ≤ f (x) ≤ f (ξ
2
) 。
设 f (x) 是
n
R 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定义 11.3.2 设 K 是
n
R 中点集,f,K→
m
R 为映射 。 如 果对于 任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得
ε<
′′
′
)()( xfxf
对于 K 中所有满足 ||δ′′? <x' x 的 xx ′′′,成立,则称 f 在 K 上 一致连续 。
一致连续的映射一定是连续的，但反之不然（参见本节习题 3）。
定理 11.3.4（一致连续性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f,K→
m
R 为连续映射 。 则 f 在 K 上一致连续 。
证 对于任意给定的 0>ε,由于 f 在 K 上连续，因此对于任意的
a ∈ K，存在 0>
a
δ,使得当 ∩),(
a
O δ∈ ax K 时,
|() ()|
2
ε
<fx fa 。
显然开集族,,
2
a
O
δ
∈
aaK是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集，
因此存在其中有限个开集
2
,
1
1
a
O
δ
a,
2
,
2
2
a
O
δ
a,…，,
2
p
a
p
O
δ
a 覆盖了
K。
记 }{min
2
1
1
j
a
pj
δδ
≤≤
=,那么对于 K 中满足 δ<
′′
′
|| xx 的任意 x
′
和 x
′′
,不妨设 x
′
∈
2
,
t
a
t
O
δ
a (1≤t ≤ p)，则有
ttt
aaatt
δδδ =+<?
′
+
′
′′
≤?
′′
2
1
2
1
|| ax||xx||ax,
于是成立
2
|)()(|
ε
<?
′′
t
afxf 。因此
)()( xfxf
′′
′
≤ |)()(|
t
afxf?
′′
+ |)()(|
t
afxf?
′
ε
εε
=+<
22
。
由定义,f 在 K 上一致连续。
连通集与连通集上的连续映射
定义 11.3.3 设 S 是
n
R 中点集,若连续映射
n
R→]1,0[:γ
的值域全部落在 S 中,即满足?])1,0[(γ S，则称 γ为 S 中的 道路,)0(γ
与 )1(γ 分别称为道路的 起点与 终点 。
若 S 中的任意两点 x,y 之间，都存在 S 中以 x 为起点,y 为 终 点的道路，则称 S 为（道路） 连通的，或称 S 为 连通集 。
直观地说,这意味着 S 中任意两点可以用位于 S 中的曲线相联 结
（见图 11.3.1）。
显然 R 上的连通子集为区间，而且 R 上的连通子集为紧集的充 要条件为：它是闭区间。
x
y
图 11.3.1
定义 11.3.4 连通的开集称为（开） 区域。 （开） 区域的 闭包 称为 闭区域 。
例如，若
n
R∈a,那么开球
S = {
n
R∈x | r<? || ax }
是区域；集合
S = {
n
R∈x },,2,1,nibxa
iii
null=<<
也是区域。请读者思考如何为上述 S 上任意两点构造相应的道路（ 连续映射） 。
定理 11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集 。
证 设 D 是
n
R 中的连通集,:
m
→ RfD 为连续映射，现证明 f 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfD y y fx x D
是连通集。
对任意 )(),( yfxf ∈ ()fD,yx,∈ D，由 D 的连通性，知道存在连续映射
→]1,0[:γ D?
n
R,
使得 yx == )1(,)0( γγ 。于是对于连续映射 γnullf 来说,有
( ([0,1])) ( )γ?ffD，且 )())0(( xff =γ 及 )())1(( yff =γ 。 这就是说,γnullf 是
()fD中以 )(xf 为起点，以 )( yf 为终点的道路。
由 )(),( yfxf 的任意性即知 ()fD是连通的。
推论 11.3.1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间 。
由此立即得到,
定理 11.3.6（中间值定理） 设 K 为
n
R 中连通的紧集,f 是 K
上的连续函数 。 则 f 可取到它在 K 上的最小值 m与最大值 M 之间 的一切值 。 换言之,f 的值域是闭区间 ],[ Mm 。
为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。
定义 11.3.1 设点集 K?
n
R,f,K→
m
R 为映射 （ 向量值函数 ），
0
∈xK。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当
0
(,)O δ∈ ∩xx K
时,成立
ε<? )()(
0
xfxf （即 )),(()(
0
εxfxf O∈ ）,
则称 f 在点
0
x 连续 。
如果映射 f 在 K 上每一点连续,就称 f 在 K 上连续,或 称映 射
f 为 K 上的连续映射。
§ 3 连续函数的性质也就是说，当
0
x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0
x 是 K
的边界点时，只要求 f 在
0
x 的 δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不 等式
ε<? )()(
0
xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集，
即紧集。
也就是说，当
0
x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当
0
x 是 K
的边界点时，只要求 f 在
0
x 的 δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不 等式
ε<? )()(
0
xfxf 。
请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。
证 设 K 是
n
R 中紧集,:
m
→ RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfK y y fx x K
是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()f K 的任意一个点列必有聚点属于 ()f K
即可。
设 {y
k
}为 ()fK的任意一个点列。对于每个 y
k
，任取一个满足 f (x
k
)
= y
k
的 x
k∈ K
（ null,2,1=k ）,则{ x
k
}为紧集 K 中的点列，它必有聚点属于 K，即存在{x
k
}的子列 }{
l
k
x 满足
∈=
∞→
ax
l
k
l
lim K 。
由 f 在 a 点的连续性得
)()(limlim afxfy ==
∞→∞→
ll
k
l
k
l
,
即 )(af 是 {y
k
}的一个聚点，它显然属于 ()f K 。因此,()f K 是紧集。
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集 。
证 设 K 是
n
R 中紧集,:
m
→ RfK 为连续映射。要证明 K 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfK y y fx x K
是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于 ()fK就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即点列的子集，所以只要证明 ()f K 的任意一个点列必有聚点属于 ()f K
即可。
设 f (x) 是
n
R 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定理 11.3.3（最值定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数。则 f 在 K 上必能取到最大值和最小值，即存在 ξ
1
,ξ
2
∈K，
使得对于一切 x∈K 成立
f (ξ
1
) ≤ f (x) ≤ f (ξ
2
) 。
设 f (x) 是
n
R 中紧集 K 上的连续函数,那么 ()f K 是 R 中的紧集，
因此是有界闭集，并且集合 ()f K 有最大值和最小值。于是就可得到以下结论,
定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f 是 K 上的连续函数 。 则 f 在 K 上有界 。
定义 11.3.2 设 K 是
n
R 中点集,f,K→
m
R 为映射 。 如 果对于 任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得
ε<
′′
′
)()( xfxf
对于 K 中所有满足 ||δ′′? <x' x 的 xx ′′′,成立,则称 f 在 K 上 一致连续 。
一致连续的映射一定是连续的，但反之不然（参见本节习题 3）。
定理 11.3.4（一致连续性定理） 设 K 是
n
R 中紧集,f,K→
m
R 为连续映射 。 则 f 在 K 上一致连续 。
证 对于任意给定的 0>ε,由于 f 在 K 上连续，因此对于任意的
a ∈ K，存在 0>
a
δ,使得当 ∩),(
a
O δ∈ ax K 时,
|() ()|
2
ε
<fx fa 。
显然开集族,,
2
a
O
δ
∈
aaK是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集，
因此存在其中有限个开集
2
,
1
1
a
O
δ
a,
2
,
2
2
a
O
δ
a,…，,
2
p
a
p
O
δ
a 覆盖了
K。
记 }{min
2
1
1
j
a
pj
δδ
≤≤
=,那么对于 K 中满足 δ<
′′
′
|| xx 的任意 x
′
和 x
′′
,不妨设 x
′
∈
2
,
t
a
t
O
δ
a (1≤t ≤ p)，则有
ttt
aaatt
δδδ =+<?
′
+
′
′′
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′′
2
1
2
1
|| ax||xx||ax,
于是成立
2
|)()(|
ε
<?
′′
t
afxf 。因此
)()( xfxf
′′
′
≤ |)()(|
t
afxf?
′′
+ |)()(|
t
afxf?
′
ε
εε
=+<
22
。
由定义,f 在 K 上一致连续。
连通集与连通集上的连续映射
定义 11.3.3 设 S 是
n
R 中点集,若连续映射
n
R→]1,0[:γ
的值域全部落在 S 中,即满足?])1,0[(γ S，则称 γ为 S 中的 道路,)0(γ
与 )1(γ 分别称为道路的 起点与 终点 。
若 S 中的任意两点 x,y 之间，都存在 S 中以 x 为起点,y 为 终 点的道路，则称 S 为（道路） 连通的，或称 S 为 连通集 。
直观地说,这意味着 S 中任意两点可以用位于 S 中的曲线相联 结
（见图 11.3.1）。
显然 R 上的连通子集为区间，而且 R 上的连通子集为紧集的充 要条件为：它是闭区间。
x
y
图 11.3.1
定义 11.3.4 连通的开集称为（开） 区域。 （开） 区域的 闭包 称为 闭区域 。
例如，若
n
R∈a,那么开球
S = {
n
R∈x | r<? || ax }
是区域；集合
S = {
n
R∈x },,2,1,nibxa
iii
null=<<
也是区域。请读者思考如何为上述 S 上任意两点构造相应的道路（ 连续映射） 。
定理 11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集 。
证 设 D 是
n
R 中的连通集,:
m
→ RfD 为连续映射，现证明 f 的像集
(){ | (),}
m
=∈ = ∈RfD y y fx x D
是连通集。
对任意 )(),( yfxf ∈ ()fD,yx,∈ D，由 D 的连通性，知道存在连续映射
→]1,0[:γ D?
n
R,
使得 yx == )1(,)0( γγ 。于是对于连续映射 γnullf 来说,有
( ([0,1])) ( )γ?ffD，且 )())0(( xff =γ 及 )())1(( yff =γ 。 这就是说,γnullf 是
()fD中以 )(xf 为起点，以 )( yf 为终点的道路。
由 )(),( yfxf 的任意性即知 ()fD是连通的。
推论 11.3.1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间 。
由此立即得到,
定理 11.3.6（中间值定理） 设 K 为
n
R 中连通的紧集,f 是 K
上的连续函数 。 则 f 可取到它在 K 上的最小值 m与最大值 M 之间 的一切值 。 换言之,f 的值域是闭区间 ],[ Mm 。
