电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析第 1章 矢量分析一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度七、重要的场论公式电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析一、矢量和标量的定义
1.标量,只有大小，没有方向的物理量。
矢量 表示为：
||A A a?
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
其中,为矢量的模，表示该矢量的大小。
为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为 1。
||A?
a
2.矢量,不仅有大小，而且有方向的物理量。
如,力,速度,电场 等F E
v
如：温度 T、长度 L 等电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 1：在直角坐标系中,x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
6 xa
图示法,?6
xa
G
NF
fF
x
y
力的图示法：
F
NfF F F
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析二、矢量的运算法则
1.加法,矢量加法是矢量的几何和,服从 平行四边形规则 。
a.满足交换律,A B B A
b.满足结合律：
C A B
B
A
C
B
A
C
( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
z
o
y
x
三个方向的单位矢量用 表示。
,,x y za a a
根据矢量加法运算：
x y zA A A A
,,x x x y y y z z zA A a A A a A A a
所以：
x x y y z zA A a A a A a
在直角坐标系下的矢量表示,
A
xA
yA
zA
其中：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析矢量：
x x y y z zA A a A a A a
模的计算,
222|| x y zA A A A
单位矢量,
| | | | | | | |yx zx y zAA AAa a a aA A A A
方向角与方向余弦,,,
||c o s,||c o s,||c o s A
A
A
A
A
A zyx
c o s c o s c o sx y za a a
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
( ) ( ) ( )x x x x y y y y z z z zA B C A B C a A B C a A B C a
z
o
y
x
A
xA
yA
zA
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
2.减法,换成加法运算
()D A B A B
A B C
B
A
B?
逆矢量,和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。B
()B?
D
B
A D
A
B
C
0?
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B A B a A B a A B a
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3.乘法：
（ 1）标量与矢量的乘积：
0
| | 0
0
k
k A k A a k
k
方向不变，大小为 |k|倍方向相反，大小为 |k|倍
（ 2）矢量与矢量乘积分两种定义
a,标量积（点积）：
| | | | c osA B A B
B
A
两矢量的点积 含义：
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的，即
0,0,0
1,1,1
x y x z y z
x x y y z z
a a a a a a
a a a a a a
有两矢量点积：
( ) ( )x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a
zzyyxx BABABA
结论,两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
推论 1：满足交换律推论 2：满足分配律推论 3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
A B B A
()A B C A B A C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析推论 1：不服从交换律：,A B B A A B B A
推论 2：服从分配律,()A B C A B A C
推论 3：不服从结合律：
( ) ( )A B C A B C
推论 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
b.矢量积（叉积）：
| | | | s in cA B A B a
含义：
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。
B?
A?
ca
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
x y z
x y z
x y z
a a a
A B A A A
B B B
( ) ( )x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a
( ) ( ) ( )y z z y x z x x z y x y y x zA B A B a A B A B a A B A B a
两矢量的叉积又可表示为：
x
y
z
o
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
（ 3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
()A B C?
矢量，标量与矢量相乘。
()A B C
标量，标量三重积。
矢量，矢量三重积。
a,标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：
| || || | sin c osA B C A B C
()A B C
含义：
标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。
A
B
C
h B C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析注意,先后轮换次序。
推论,三个非零矢量共面的条件。
在直角坐标系中：
( ) 0A B C
()
x y z
x y z
x y z
A A A
A B C B B B
C C C
( ) ( )
x y z
x x y y z z x y z
x y z
a a a
A B C A a A a A a B B B
C C C
b.矢量三重积：
( ) ( ) ( )A B C B A C C A B
( ) ( ) ( )V A B C C A B B C A
A
B
C
h B C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 2：
12
34
2,3 2
2 3,3 2 5
x y z x y z
x y z x y z
r a a a r a a a
r a a a r a a a
求：
4 1 2 3r a r b r c r
中的标量 a,b,c。
解：
3 2 5
( 2 ) ( 3 2 ) ( 2 3 )
x y z
x y z x y z x y z
a a a
a a a a b a a a c a a a
( 2 2 ) ( 3 ) ( 2 3 )x y za b c a a b c a a b c a
则：
设
2
1
3
a
b
c
2 2 3
32
2 3 5
a b c
a b c
a b c
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 3,已知
2 6 3x y zA a a a43x y zB a a a
求：确定垂直于,所在平面的单位矢量。
A B
解,已知 AB? 所得矢量垂直于,所在平面。A B
n ABa
AB
2 6 3 1 5 1 0 3 0
4 3 1
x y z
x y z
a a a
A B a a a
1( 3 2 6 )
7n x y za a a a
2 2 2| | 1 5 ( 1 0 ) 3 0 3 5AB
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析已知 A点和 B点对于原点的位置矢量为 和,
求：通过 A点和 B点的直线方程。
例 4,a
b
()c a k b a
其中,k 为任意实数。
(1 )c k a k b
x
y
z
C
c
A
B
a
b
解,在 通过 A点和 B点的直线方程上，
任取一点 C，对于原点的位置矢量为,则
c
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析三、矢量微分元：线元、面元、体元例,d,d,dF l B S V
其中,和 称为微分元。
d,dlS dV
1,直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为 (x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：
ddyyl y a?
d d d dx y zl x a y a z a
dl
dS
ddxxl x a?
ddzzl za?
面元：
d d dxxS y za?
体元：
d d d dV x y z?
d d dyyS x z a?
d d dzzS x y a?
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
2,圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为,如图，做一微分体元。
(,,)rz?
线元：
d d d drzl r a r a z a
d d drrS r z a
d d dS r z a
d d dzzS r r a
d d d dV r r z
面元：
体元：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,球坐标系在球坐标系中，坐标变量为,如图，做一微分体元。(,,)R
2d s in d dRRS R a
d s in d dS R R a
d d dS R R a
d d d s i n dRl R a R a R a
线元：
面元：
体元：
2d s i n d d dV R R
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
a,在直角坐标系中,x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为 1，
即：
1321 hhh
1,,1 321 hrhh
b,在柱坐标系中，坐标变量为,其中 为角度，
其对应的线元,可见拉梅系数为：
(,,)rz
dra
c,在球坐标系中，坐标变量为,其中 均为角度，其拉梅系数为：
(,,)R,
s i n,,1 321 RhRhh
注意：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数,就可正确写出其线元、
面元和体元。
1 2 3(,,)u u u
1 2 3,,h h h
体元：
1 2 3 1 2 3d d d dV h h h u u u?
1 2 31 1 2 2 3 3d d d du u ul h u a h u a h u a
线元：
11 2 3 2 3?d d d uS h h u u a?
22 1 3 1 3?d d d uS h h u u a?
33 1 2 1 2?d d d uS h h u u a?
面元：
正交曲线坐标系：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析四、标量场的梯度
1,标量场的 等值面可以看出,标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。
以温度场为例：
热源等温面电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
b.梯度定义,标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
其方向为该点所在等值面的法线方向。
数学表达式：
d?g ra d
d nan
2,标量场的梯度
a.方向导数：
d
dl
空间变化率，称为方向导数。
d
dn
为最大的方向导数。
标量场的场函数为 ),,,( tzyx?
0?
0 d
P
1P
2P
dn
dl
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析计算：
d co s
d n
d ra d dgl
d d d
d d d
n
l n l
dd nlaan
在直角坐标系中：
d d d dx y zx y z
d d d dx y zl x a y a z a
所以：
g r a d x y za a ax y z
梯度也可表示,g ra d
0?
0 d
P
1P
2P
dn
dl
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在柱坐标系中：
在球坐标系中：
在任意正交曲线坐标系中：
rza a ar r z
s i nRa a aR R R
1 2 3
1 1 2 2 3 3
u u ua a ah u h u h u
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x y za a ax y z
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析五、矢量场的散度
1,矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
2,通量：
定义,如果在该矢量场中取一曲面 S，
通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：
dS vS
若曲面为闭合曲面：
dS vS
+ -
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析讨论：
a,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入的通量等于穿出的通量。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,散度：
a.定 义,矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
0
d
d i v li m S
V
FS
F V
c.散度的计算,
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场 表示为：F
x x y y z zF F a F a F a
1S
z
y
x
6S
5S
4S3
S
2S
1 2 31 2 3
d d d dS S S SF S F S F S F S
4 5 64 5 6
d d dS S SF S F S F S
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
1 11
d ( ) ( )x x xS F S F x a y z a
zyxF x )( 1
2 22
d ( )x x xS F S F x a y z a
在 x方向上,计算穿过 和 面的通量为
2S1S
1()xF x x y z
11
()( ) ( ) x
xx
FxF x x F x x
x
因为：
2
21
()d ( ) x
xS
FxF S F x y z x y z
x
则：
在 x 方向上的总通量：
12
12dd
x
SS
FF S F S x y z
x
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：
5S 6S
56
56dd
Z
SS
FF S F S x y z
z
整个封闭曲面的总通量：
d yx z
S
FF FF S x y z
x y z
34
34dd
y
SS
FF S F S x y z
y
同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：
3S 4S
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析该闭合曲面所包围的体积：
zyxV
0
d
d i v li m S
V
FS
F
V
z
F
y
F
x
F zyx
通常散度表示为：
d iv FF
4.散度定理：
ddSVF S F V
物理含义,穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析柱坐标系中：
1 ( ) 1rz FF r FF
r r r z
球坐标系中：
2
2
( s i n )()1 1 1
s i n s i n
R FFRFF
R R R R
1
3223 1213
1 2 3 1 2 3
()()1 u uuF h h F h hF h h
F
h h h u u u
正交曲线坐标系中：
直角坐标系中：
yx zFF FF
x y z
常用坐标系中，散度的计算公式电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析六、矢量场的旋度
1,环量,
在矢量场中，任意取一闭合曲线,将矢量沿该曲线积分称之为环量。
dlC F l
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2,旋度,
定义,一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
表 达式：
m a x0
1?r ot l im [ d ]
n lSF a F lS
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析旋度计算：
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：
( ) ( ) ( )x x y y z zF F a F a F a
1
0
d
( ) l im lx
S
x
Fl
F
S
x x y y z zF F a F a F a
场矢量：
1
d d d d d
a b b c c d d aa b b c c d d al l l l l
F l F l F l F l F l
其中,为 x 方向的环量密度。()
xF
x
z
y
旋度可用符号表示,ro tFF
d
cb
a
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
d d ( )a b zl z a
1
d zyl F l F z F y
( ) ( )yzzy FFF y z F z yyz () yz xFF Syz
其中：
ddb c yl y a?
ddc d zl z ad d ( )d a yl y a
可得：
() yzx FFF yz
() x zy F FF zx () y xz F FF xy
同理：
x
z
y
d
cb
a
所以：
1
0
d
( ) l im lx
S
x
Fl
F
S
yy xxzz x y zFF FFFFF a a ay z z x x y
旋度公式：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式,x y z
x y z
a a a
F
x y z
F F F
类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：
对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
u u u
u u u
h a h a h a
F
h h h u u u
h F h F h F
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,斯托克斯定理：
物理含义：
一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。
( ) d dSlF S F l
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析七、重要的场论公式
(1) ( ) 0
1,两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。
( 2 ) ( ) 0F
任何矢量场的旋度的散度恒为零。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在圆柱坐标系中：
2
2
2
2
2
2 1)(1
zrrrrr?
在球坐标系中：
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i nRR R R R R
在广义正交曲线坐标系中：
2 2 3 1 3 12
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ( ) ( ) ( )h h h h hh
h h h u h u u h u u h u
2,拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
)(
()A A A
AAA )(
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B B A
()A B B A A B
( ) ( ) ( )A B A B B A B A A B
3,常用的矢量恒等式
1.标量,只有大小，没有方向的物理量。
矢量 表示为：
||A A a?
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
其中,为矢量的模，表示该矢量的大小。
为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为 1。
||A?
a
2.矢量,不仅有大小，而且有方向的物理量。
如,力,速度,电场 等F E
v
如：温度 T、长度 L 等电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 1：在直角坐标系中,x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
6 xa
图示法,?6
xa
G
NF
fF
x
y
力的图示法：
F
NfF F F
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析二、矢量的运算法则
1.加法,矢量加法是矢量的几何和,服从 平行四边形规则 。
a.满足交换律,A B B A
b.满足结合律：
C A B
B
A
C
B
A
C
( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
z
o
y
x
三个方向的单位矢量用 表示。
,,x y za a a
根据矢量加法运算：
x y zA A A A
,,x x x y y y z z zA A a A A a A A a
所以：
x x y y z zA A a A a A a
在直角坐标系下的矢量表示,
A
xA
yA
zA
其中：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析矢量：
x x y y z zA A a A a A a
模的计算,
222|| x y zA A A A
单位矢量,
| | | | | | | |yx zx y zAA AAa a a aA A A A
方向角与方向余弦,,,
||c o s,||c o s,||c o s A
A
A
A
A
A zyx
c o s c o s c o sx y za a a
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
( ) ( ) ( )x x x x y y y y z z z zA B C A B C a A B C a A B C a
z
o
y
x
A
xA
yA
zA
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
2.减法,换成加法运算
()D A B A B
A B C
B
A
B?
逆矢量,和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。B
()B?
D
B
A D
A
B
C
0?
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B A B a A B a A B a
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3.乘法：
（ 1）标量与矢量的乘积：
0
| | 0
0
k
k A k A a k
k
方向不变，大小为 |k|倍方向相反，大小为 |k|倍
（ 2）矢量与矢量乘积分两种定义
a,标量积（点积）：
| | | | c osA B A B
B
A
两矢量的点积 含义：
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的，即
0,0,0
1,1,1
x y x z y z
x x y y z z
a a a a a a
a a a a a a
有两矢量点积：
( ) ( )x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a
zzyyxx BABABA
结论,两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
推论 1：满足交换律推论 2：满足分配律推论 3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
A B B A
()A B C A B A C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析推论 1：不服从交换律：,A B B A A B B A
推论 2：服从分配律,()A B C A B A C
推论 3：不服从结合律：
( ) ( )A B C A B C
推论 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
b.矢量积（叉积）：
| | | | s in cA B A B a
含义：
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。
B?
A?
ca
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
x y z
x y z
x y z
a a a
A B A A A
B B B
( ) ( )x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a
( ) ( ) ( )y z z y x z x x z y x y y x zA B A B a A B A B a A B A B a
两矢量的叉积又可表示为：
x
y
z
o
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
（ 3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
()A B C?
矢量，标量与矢量相乘。
()A B C
标量，标量三重积。
矢量，矢量三重积。
a,标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：
| || || | sin c osA B C A B C
()A B C
含义：
标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。
A
B
C
h B C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析注意,先后轮换次序。
推论,三个非零矢量共面的条件。
在直角坐标系中：
( ) 0A B C
()
x y z
x y z
x y z
A A A
A B C B B B
C C C
( ) ( )
x y z
x x y y z z x y z
x y z
a a a
A B C A a A a A a B B B
C C C
b.矢量三重积：
( ) ( ) ( )A B C B A C C A B
( ) ( ) ( )V A B C C A B B C A
A
B
C
h B C
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 2：
12
34
2,3 2
2 3,3 2 5
x y z x y z
x y z x y z
r a a a r a a a
r a a a r a a a
求：
4 1 2 3r a r b r c r
中的标量 a,b,c。
解：
3 2 5
( 2 ) ( 3 2 ) ( 2 3 )
x y z
x y z x y z x y z
a a a
a a a a b a a a c a a a
( 2 2 ) ( 3 ) ( 2 3 )x y za b c a a b c a a b c a
则：
设
2
1
3
a
b
c
2 2 3
32
2 3 5
a b c
a b c
a b c
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析例 3,已知
2 6 3x y zA a a a43x y zB a a a
求：确定垂直于,所在平面的单位矢量。
A B
解,已知 AB? 所得矢量垂直于,所在平面。A B
n ABa
AB
2 6 3 1 5 1 0 3 0
4 3 1
x y z
x y z
a a a
A B a a a
1( 3 2 6 )
7n x y za a a a
2 2 2| | 1 5 ( 1 0 ) 3 0 3 5AB
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析已知 A点和 B点对于原点的位置矢量为 和,
求：通过 A点和 B点的直线方程。
例 4,a
b
()c a k b a
其中,k 为任意实数。
(1 )c k a k b
x
y
z
C
c
A
B
a
b
解,在 通过 A点和 B点的直线方程上，
任取一点 C，对于原点的位置矢量为,则
c
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析三、矢量微分元：线元、面元、体元例,d,d,dF l B S V
其中,和 称为微分元。
d,dlS dV
1,直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为 (x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：
ddyyl y a?
d d d dx y zl x a y a z a
dl
dS
ddxxl x a?
ddzzl za?
面元：
d d dxxS y za?
体元：
d d d dV x y z?
d d dyyS x z a?
d d dzzS x y a?
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
2,圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为,如图，做一微分体元。
(,,)rz?
线元：
d d d drzl r a r a z a
d d drrS r z a
d d dS r z a
d d dzzS r r a
d d d dV r r z
面元：
体元：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,球坐标系在球坐标系中，坐标变量为,如图，做一微分体元。(,,)R
2d s in d dRRS R a
d s in d dS R R a
d d dS R R a
d d d s i n dRl R a R a R a
线元：
面元：
体元：
2d s i n d d dV R R
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
a,在直角坐标系中,x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为 1，
即：
1321 hhh
1,,1 321 hrhh
b,在柱坐标系中，坐标变量为,其中 为角度，
其对应的线元,可见拉梅系数为：
(,,)rz
dra
c,在球坐标系中，坐标变量为,其中 均为角度，其拉梅系数为：
(,,)R,
s i n,,1 321 RhRhh
注意：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数,就可正确写出其线元、
面元和体元。
1 2 3(,,)u u u
1 2 3,,h h h
体元：
1 2 3 1 2 3d d d dV h h h u u u?
1 2 31 1 2 2 3 3d d d du u ul h u a h u a h u a
线元：
11 2 3 2 3?d d d uS h h u u a?
22 1 3 1 3?d d d uS h h u u a?
33 1 2 1 2?d d d uS h h u u a?
面元：
正交曲线坐标系：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析四、标量场的梯度
1,标量场的 等值面可以看出,标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。
以温度场为例：
热源等温面电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
b.梯度定义,标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
其方向为该点所在等值面的法线方向。
数学表达式：
d?g ra d
d nan
2,标量场的梯度
a.方向导数：
d
dl
空间变化率，称为方向导数。
d
dn
为最大的方向导数。
标量场的场函数为 ),,,( tzyx?
0?
0 d
P
1P
2P
dn
dl
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析计算：
d co s
d n
d ra d dgl
d d d
d d d
n
l n l
dd nlaan
在直角坐标系中：
d d d dx y zx y z
d d d dx y zl x a y a z a
所以：
g r a d x y za a ax y z
梯度也可表示,g ra d
0?
0 d
P
1P
2P
dn
dl
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在柱坐标系中：
在球坐标系中：
在任意正交曲线坐标系中：
rza a ar r z
s i nRa a aR R R
1 2 3
1 1 2 2 3 3
u u ua a ah u h u h u
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x y za a ax y z
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析五、矢量场的散度
1,矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
2,通量：
定义,如果在该矢量场中取一曲面 S，
通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：
dS vS
若曲面为闭合曲面：
dS vS
+ -
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析讨论：
a,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c,如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入的通量等于穿出的通量。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,散度：
a.定 义,矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
0
d
d i v li m S
V
FS
F V
c.散度的计算,
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场 表示为：F
x x y y z zF F a F a F a
1S
z
y
x
6S
5S
4S3
S
2S
1 2 31 2 3
d d d dS S S SF S F S F S F S
4 5 64 5 6
d d dS S SF S F S F S
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
1 11
d ( ) ( )x x xS F S F x a y z a
zyxF x )( 1
2 22
d ( )x x xS F S F x a y z a
在 x方向上,计算穿过 和 面的通量为
2S1S
1()xF x x y z
11
()( ) ( ) x
xx
FxF x x F x x
x
因为：
2
21
()d ( ) x
xS
FxF S F x y z x y z
x
则：
在 x 方向上的总通量：
12
12dd
x
SS
FF S F S x y z
x
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：
5S 6S
56
56dd
Z
SS
FF S F S x y z
z
整个封闭曲面的总通量：
d yx z
S
FF FF S x y z
x y z
34
34dd
y
SS
FF S F S x y z
y
同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：
3S 4S
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析该闭合曲面所包围的体积：
zyxV
0
d
d i v li m S
V
FS
F
V
z
F
y
F
x
F zyx
通常散度表示为：
d iv FF
4.散度定理：
ddSVF S F V
物理含义,穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析柱坐标系中：
1 ( ) 1rz FF r FF
r r r z
球坐标系中：
2
2
( s i n )()1 1 1
s i n s i n
R FFRFF
R R R R
1
3223 1213
1 2 3 1 2 3
()()1 u uuF h h F h hF h h
F
h h h u u u
正交曲线坐标系中：
直角坐标系中：
yx zFF FF
x y z
常用坐标系中，散度的计算公式电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析六、矢量场的旋度
1,环量,
在矢量场中，任意取一闭合曲线,将矢量沿该曲线积分称之为环量。
dlC F l
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2,旋度,
定义,一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
表 达式：
m a x0
1?r ot l im [ d ]
n lSF a F lS
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析旋度计算：
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：
( ) ( ) ( )x x y y z zF F a F a F a
1
0
d
( ) l im lx
S
x
Fl
F
S
x x y y z zF F a F a F a
场矢量：
1
d d d d d
a b b c c d d aa b b c c d d al l l l l
F l F l F l F l F l
其中,为 x 方向的环量密度。()
xF
x
z
y
旋度可用符号表示,ro tFF
d
cb
a
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
d d ( )a b zl z a
1
d zyl F l F z F y
( ) ( )yzzy FFF y z F z yyz () yz xFF Syz
其中：
ddb c yl y a?
ddc d zl z ad d ( )d a yl y a
可得：
() yzx FFF yz
() x zy F FF zx () y xz F FF xy
同理：
x
z
y
d
cb
a
所以：
1
0
d
( ) l im lx
S
x
Fl
F
S
yy xxzz x y zFF FFFFF a a ay z z x x y
旋度公式：
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式,x y z
x y z
a a a
F
x y z
F F F
类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：
对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
u u u
u u u
h a h a h a
F
h h h u u u
h F h F h F
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
3,斯托克斯定理：
物理含义：
一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。
( ) d dSlF S F l
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析七、重要的场论公式
(1) ( ) 0
1,两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。
( 2 ) ( ) 0F
任何矢量场的旋度的散度恒为零。
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析在圆柱坐标系中：
2
2
2
2
2
2 1)(1
zrrrrr?
在球坐标系中：
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i nRR R R R R
在广义正交曲线坐标系中：
2 2 3 1 3 12
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ( ) ( ) ( )h h h h hh
h h h u h u u h u u h u
2,拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
电磁场与电磁波 第 1章 矢量分析
)(
()A A A
AAA )(
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B B A
()A B B A A B
( ) ( ) ( )A B A B B A B A A B
3,常用的矢量恒等式
