电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系第 5章 场论和路论的关系安培 (1775－ 1836)
麦克斯韦 (1831－ 1879)
引言一,欧姆定律二,焦耳定律三,电阻的计算四,电容五,电感六,基尔霍夫定律和麦克斯韦方程电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系电路理论基本物理量：电压 电流电路参数,电阻 电感 电容
U I
R L C
电磁场理论基本场量：电场强度 电位移矢量磁感应强度 磁场强度媒质参数：电导率 磁导率 介电常数
D
H
E
B
场论和路论关系：统一、不可分割的。
场论强调普遍性，在电路尺寸远小于工作波长时即准静态情况下，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。
引言：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系一、欧姆定律
lR
S
U IR?
★ 3,欧姆定律的微分形式
JE 1E J J?
==
dlU E l
dd
ll
l I lU J l I
SS
由此可见，从场论出发，可以导出路论中的欧姆定律表达式。
欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。对于均匀直导线的电阻它反映电阻两端电压和流经电阻的电流的关系，即
1,概念
2,条件
4,两者之间的关系
U IR?
电阻率
U
U
I
I
l
R J
E+ -
S
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系二、焦耳定律在一段含有电阻的电路中，计算损耗功率的关系式为：
导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。
1,概念
2,功率损耗的含义
P U I? 2P I R?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系体积元 中全部自由电子的损耗功率为,dV
★ 3,焦耳定律的微分形式
l?电子电荷 在电场力作用下移动距离,则电场力做功为：q
W q E l
相应的功率为,d
d
Wp q E v
t
为电子漂移速度
d ( ) dP p E N q v V dE J V
d
d
P EJ
VJE?= 2d
d
P E
V
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系在体积为 V 的一段导体中，总的损耗功率为,
对于一段均匀直导体的情况，令 d d dV l S?,
d l 和电流线一致,d S 和电流线垂直，则,
所得结果和路论中的焦耳定律式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。
4,关系
dVP E J V
d d dV l SP E J V E l J S U I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系三、电阻的计算
★
设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为,
根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻 R为,d
d
l
S
ElU
R
I ES?
通过任意横截面 S的电流为：
c ddSSI J S E S
dlU E l
l
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 1,有一扇形导体，电导率为?,厚度为 d,圆弧半径分别为 1r 和 2r,两侧平面的夹角为?,如图所示。求,( 1 ) 沿厚度方向的电阻； ( 2 ) 两圆弧面间的电阻； ( 3 ) 两侧平面间的电阻。
扇形导体解 ( 1 ) 上,下扇面分别为等位面，其中电场为均匀场，设该电场为
0
E,上,
下底面间的电压为,
上,下面间的电流密度为,c0JE
厚度方向的电阻为,22
21
2 ()
()
UdR
I r r
于是总电流为,
22
0 2 1
c
()
2
E r rI J S
0U E d?
A
B
C
D
d
1r
2r
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
crr
IIJ a a
S d r
又因为：
cJE
所以其间电场为：
rIEadr
两弧面之间的电压为：
22
11
2
1
d d l nrr rIIU E l rd r d r
于是电阻为：
2
1
1 l n ( )rUR
I d r
（ 2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向流过的电流为 I，则其间任意弧面 S上的电流密度为：
A
B
C
D
d
1r
2r
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
( 3) 两侧面分别为等位面，其中电场与 r 有关，与? 无关，
设两侧面间电压为 U,则,
电流为,
2
1
2
c 0
1
d d d l n
dr
r
U d U rI J S r z
rr
两侧平面间的电阻为,
21
()
ln
UR
I d r r
电流密度为,c?UJ E ar =
0 ( ) d ( )U E r r E r r
得电场：
() UEr r
A
B
C
D
d
1r
2r
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系四、电容
QC
1.孤立导体的电容式中,为导体所带的电荷量,为导体的电位。Q
2,双导体系统的电容 Q
C U?
Q U式中 为带正电导体的电荷量,为两导体间的电压。
dSQ E S
dlU E l
d
d
S
l
ES
C
El
必须求出其间的电场 。
由上式可见：
欲计算两导体间的电容,C E
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系设两极板间电压为
0d ( ) d ( )lU E l E r r E r r
U
则：
() UEr r
21r r r
例 2,如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位径向尺寸,内部填充介质的介电常数为求电容。
xOz xOz? h于 平面，另一极板和 面成 角，电容器高为,
，
解 忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场 与 有关，与无关，
r?
()E E r a
E
x
y
z
1r
2r
h
O
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
S n nDE
的极板处，根据电场边界条件：在 0
2
1
2
0
1
d d d l n
hr
SSr
rU U hQ S r z
rr
U
r
在极板上总电荷为：
2
1
ln rQhC
Ur
所以电容为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 3,一无限长同轴电缆的内外半径分别为,其间填充介电常数为 的介质，如图所示。
求,同轴电缆单位长度的电容。
a b和解,设内导体单位长度带电荷量为,在内、外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面 上应用高斯定律：
Q?ab
同轴电缆截面图
dD S Q
12 π
00 d d 2 πE r z E r Q
2 π rQEar
d l n2 πb ra QbU E ra a
2 π
l n ( )
QC
U b a
即：
所以：
内外导体间的电压为：
同轴线单位长度电容为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系如图 1所示,若在一平行板电容器中置入一金属球，请问：平行板间的电容如何变化？
1 3 2 3
12
1 3 2 3
CCCC
CC
式中,和 称为导体系统的部分电容，其等效电路如图 2所示。
12C 13C 23C
图 1 含金属球的平行板电容器图 2 三导体系统的等效电路多导体的电容，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，对于三个导体以上的多导体系统用部分电容来描述。
3,部分电容电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
jU L I
包括自感 L 和互感 M 。
五、电感在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，
如图所示。电感上的电压和电流的关系为
1 1 1 2
2 1 2 2
j
j
U j L I M I
U j M I L I
当电路包括两个以上电感线圈时，
如图所示。电感上的电压和电流的关系为：
1,概念,
1I 2I
1V 2V
1L 2L
M
I
V L
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
L I
2,自感式中 称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几何形状和尺寸以及磁介质的磁导率。
L
（ 1）单匝线圈的自感 I
B
假设线圈内外不存在铁磁性物质，
则 和 之间存在线性关系，比值是一个常数
I
dS BS
如图所示。
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系磁通为 d
S BS
ddSlA S A l
d
l
Al
L II?
N
NL
I
BA根据矢量磁位 的定义若有 N匝相同的线圈，则得磁链相应回路的电感：
由斯托克斯定理，得到
（ 2）多匝线圈的自感 I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系内自感：导线内部的磁链与导线中电流的比值。
外自感：导线外部环面内的磁链 与导线中电流的比值 。
i0L L L
式中 为内自感,为外自感。
iL 0L
（ 3）内自感和外自感单个载流回路的自感应为内自感和外自感之和，即
i
iL I
0
0L I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 4,一空气同轴线，内导体的半径为 a，外导体的内半径为 b，
设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。
dl H l I
( 0 )ra(1)内导体的内自感如图所示，由安培环路定律得解,同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。
b
a
r
0
i 2?2 π
IrBa
a?
d2 πl H l H r
2
2
22ππ
IrI r I
aa
所以：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
2
2
rII
a
2
ii2dd
r
a
在内导体内的总磁链为,300
i 40 d2 π 8 π
a IIrr
a
所以：内导体单位长度的内自感为
0i
i 8 πL I
(H/m)
dr
1l?
a
r
0
ii 2d d d2 π
IrB S = r
a
单位长度内导体截面的磁通量为只和半径为 r的圆截面内的电流 交链，与总电流 相交链的磁链为：
id?
I? I
32
00
2 2 4( ) d d2 π 2 π
I r r Ir rr
a a a
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
（ 2）内外导体间的外自感
0
0?2
IBa
r?
0
0 0 0d ( ) d l n2 π 2 π
b
Sa
IIbB S r
ra
()a r b
同轴线单位长度的外自感为：
00
0 ln2 π
bL
Ia
(H/m)
内外导体之间单位长度上的磁通为：
根据安培环路定律 a
b
dl H l I
dr
所以：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
(3) 外导体中的内自感按题意，外导体的壁很薄，可以认为电流只在 的壁面上流动，这样外导体中的内自感为零。
rb?
3 0L?
i 0 iL L L L
于是同轴线单位长度的总电感为利用能量关系也可方便地算出：
此时，同轴线单位长度的总电感为,
00
i0 ln8 π 2 π
bL L L
a
(H/m)
4
22
0
i 2 2 2 2 2
ln 3
[]
2 π ( ) 4( )
cc
bcbL
c b c b
(H/m)
若考虑外导体的壁厚,为外导体的外半径，
需给出外导体的内自感 。
()b r c c
iL?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系解,该螺线管内部的磁感应强度可由安培环路定律求出。
如图所示，构造一个长度为 l 的矩形围线，显然，螺线管外部没有磁场，则：
例 5,一非常长的非磁性圆柱的半径为 a，每单位长度上紧密缠绕 n 匝线圈，形成空心电感器 (螺线管 )，若通过线圈的电流 I是恒定的。求该电感器单位长度上的电感。
220π πB a n I a
22
0 π ( H / m )
nL n a
I
0B l n lI 0? zB n Ia
可见，半径为 a的圆柱体内的磁通量为：
所以，该电感器单位长度的电感为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 6,无限长双导线单位长度上的电感。导线半径为 。a
d
I
I
x
0B?
0
1?2 y
IBa
x
0
2?2 ( ) y
IBa
dx
1
0 1 2 1 20?( ) d ( ) d d
da
ySaB B S B B x z a?
单位长度上的外自感,00
0 ln
daL
Ia
双导线单位长度上的电感,i02L L L 00 ln
4 π π
da
a
z
0 1 2B B B
解,已知单位长度的内自感为：
0
i 8 πL
外自感：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系思考,一 无限长导线平行于无限大导磁面，导线半径为 a，
求,单位长度上的电感。
I
d
I?
d
单位长度上的电感：
i0L L L
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
3,互感
21
21
1
M I
不难证明，线圈回路间的互感是互易的，即
1 2 2 1MM?
22 1 1
dS BS
式中：
同理,线圈对 线圈的互感为
2C 1C
12
12
2
M I
线圈对 线圈的互感为
2C1C
2 2 1
21
1
NM
I
1 1 2
12
2
NM
I
如果两个载流回路分别由匝线圈组成，
则互感变为
12NN、
12?1C 2C1
I 2IR1dl
2dl
21?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 7,如图所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。
01
1?2
IBa
r?
22
0121 1?dd
2 πSS
IB S a S
r?
ddS z ra
( ) t a nz d b r
01
21
01
t a n ()
d
2 π
t a n
[ ( ) l n( 1 ) ]
2 π
db
d
I d b r
r
r
I b
d b b
rd
0
21
ta n [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
bM d b b
d
d
db?
drr
1I
解,根据互感定义
21
21
1
M I
22 1 1
dS BS 得：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系思考,如图所示，求两对 无限长双导线单位长度上的 的互感。
1I
1I
2I
2I
1I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系六、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程的统一
1,基尔霍夫电流定律任一瞬时任一节点的电流的代数和恒为零。
1
0
N
j
j
I
表明电荷是守恒的，电荷不会在节点处积累或消失，
换句话说，电流在节点处是连续的。
（ 1）概念
（ 2）物理意义电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系根据电流连续性定律
c ddSVJ S Vt?
S为围绕一节点的任意封闭曲面。
ddd d dV S S
DV S J S I
tt?
c j d
1
N
j
II
1
0
N
j
j
I
（ 3）由场论中的推导其中,可为传导电流或位移电流,则代表节点处这些电流的代数和，这样就证明了基尔霍夫电流定律。
jI jI?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
2,克希荷夫电压定律一瞬时网络中任一回路内全部电压降的代数和为零，即
1
0
N
j
j
U
基尔霍夫电压定律实际上是能量守恒原理的体现。
ddlSE l B St
BA
dd
ll
E l A lt
（ 1）概念
（ 2）物理意义
（ 3）由场论中的推导法拉第电磁感应定律
( ) 0AE t( ) d 0l AElt
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
AE
t?
AE
t?
0aE E E
0
JE
a
JAE
t
积分形式：
等号右边三项分别为电阻、电容和电感元件中的电场。
d d d da
l l l l
JAE l l l l
t
电源电场 电路中的电场所以：
则：
S 0R L CU U U U
1
0
N
j
j
U
麦克斯韦 (1831－ 1879)
引言一,欧姆定律二,焦耳定律三,电阻的计算四,电容五,电感六,基尔霍夫定律和麦克斯韦方程电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系电路理论基本物理量：电压 电流电路参数,电阻 电感 电容
U I
R L C
电磁场理论基本场量：电场强度 电位移矢量磁感应强度 磁场强度媒质参数：电导率 磁导率 介电常数
D
H
E
B
场论和路论关系：统一、不可分割的。
场论强调普遍性，在电路尺寸远小于工作波长时即准静态情况下，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。
引言：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系一、欧姆定律
lR
S
U IR?
★ 3,欧姆定律的微分形式
JE 1E J J?
==
dlU E l
dd
ll
l I lU J l I
SS
由此可见，从场论出发，可以导出路论中的欧姆定律表达式。
欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。对于均匀直导线的电阻它反映电阻两端电压和流经电阻的电流的关系，即
1,概念
2,条件
4,两者之间的关系
U IR?
电阻率
U
U
I
I
l
R J
E+ -
S
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系二、焦耳定律在一段含有电阻的电路中，计算损耗功率的关系式为：
导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。
1,概念
2,功率损耗的含义
P U I? 2P I R?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系体积元 中全部自由电子的损耗功率为,dV
★ 3,焦耳定律的微分形式
l?电子电荷 在电场力作用下移动距离,则电场力做功为：q
W q E l
相应的功率为,d
d
Wp q E v
t
为电子漂移速度
d ( ) dP p E N q v V dE J V
d
d
P EJ
VJE?= 2d
d
P E
V
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系在体积为 V 的一段导体中，总的损耗功率为,
对于一段均匀直导体的情况，令 d d dV l S?,
d l 和电流线一致,d S 和电流线垂直，则,
所得结果和路论中的焦耳定律式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。
4,关系
dVP E J V
d d dV l SP E J V E l J S U I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系三、电阻的计算
★
设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为,
根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻 R为,d
d
l
S
ElU
R
I ES?
通过任意横截面 S的电流为：
c ddSSI J S E S
dlU E l
l
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 1,有一扇形导体，电导率为?,厚度为 d,圆弧半径分别为 1r 和 2r,两侧平面的夹角为?,如图所示。求,( 1 ) 沿厚度方向的电阻； ( 2 ) 两圆弧面间的电阻； ( 3 ) 两侧平面间的电阻。
扇形导体解 ( 1 ) 上,下扇面分别为等位面，其中电场为均匀场，设该电场为
0
E,上,
下底面间的电压为,
上,下面间的电流密度为,c0JE
厚度方向的电阻为,22
21
2 ()
()
UdR
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于是总电流为,
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c
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2
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A
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电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
crr
IIJ a a
S d r
又因为：
cJE
所以其间电场为：
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两弧面之间的电压为：
22
11
2
1
d d l nrr rIIU E l rd r d r
于是电阻为：
2
1
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（ 2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向流过的电流为 I，则其间任意弧面 S上的电流密度为：
A
B
C
D
d
1r
2r
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
( 3) 两侧面分别为等位面，其中电场与 r 有关，与? 无关，
设两侧面间电压为 U,则,
电流为,
2
1
2
c 0
1
d d d l n
dr
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rr
两侧平面间的电阻为,
21
()
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电流密度为,c?UJ E ar =
0 ( ) d ( )U E r r E r r
得电场：
() UEr r
A
B
C
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1r
2r
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系四、电容
QC
1.孤立导体的电容式中,为导体所带的电荷量,为导体的电位。Q
2,双导体系统的电容 Q
C U?
Q U式中 为带正电导体的电荷量,为两导体间的电压。
dSQ E S
dlU E l
d
d
S
l
ES
C
El
必须求出其间的电场 。
由上式可见：
欲计算两导体间的电容,C E
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系设两极板间电压为
0d ( ) d ( )lU E l E r r E r r
U
则：
() UEr r
21r r r
例 2,如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位径向尺寸,内部填充介质的介电常数为求电容。
xOz xOz? h于 平面，另一极板和 面成 角，电容器高为,
，
解 忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场 与 有关，与无关，
r?
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E
x
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2r
h
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电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
S n nDE
的极板处，根据电场边界条件：在 0
2
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U
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在极板上总电荷为：
2
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所以电容为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 3,一无限长同轴电缆的内外半径分别为,其间填充介电常数为 的介质，如图所示。
求,同轴电缆单位长度的电容。
a b和解,设内导体单位长度带电荷量为,在内、外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面 上应用高斯定律：
Q?ab
同轴电缆截面图
dD S Q
12 π
00 d d 2 πE r z E r Q
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2 π
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QC
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即：
所以：
内外导体间的电压为：
同轴线单位长度电容为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系如图 1所示,若在一平行板电容器中置入一金属球，请问：平行板间的电容如何变化？
1 3 2 3
12
1 3 2 3
CCCC
CC
式中,和 称为导体系统的部分电容，其等效电路如图 2所示。
12C 13C 23C
图 1 含金属球的平行板电容器图 2 三导体系统的等效电路多导体的电容，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，对于三个导体以上的多导体系统用部分电容来描述。
3,部分电容电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
jU L I
包括自感 L 和互感 M 。
五、电感在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，
如图所示。电感上的电压和电流的关系为
1 1 1 2
2 1 2 2
j
j
U j L I M I
U j M I L I
当电路包括两个以上电感线圈时，
如图所示。电感上的电压和电流的关系为：
1,概念,
1I 2I
1V 2V
1L 2L
M
I
V L
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
L I
2,自感式中 称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几何形状和尺寸以及磁介质的磁导率。
L
（ 1）单匝线圈的自感 I
B
假设线圈内外不存在铁磁性物质，
则 和 之间存在线性关系，比值是一个常数
I
dS BS
如图所示。
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系磁通为 d
S BS
ddSlA S A l
d
l
Al
L II?
N
NL
I
BA根据矢量磁位 的定义若有 N匝相同的线圈，则得磁链相应回路的电感：
由斯托克斯定理，得到
（ 2）多匝线圈的自感 I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系内自感：导线内部的磁链与导线中电流的比值。
外自感：导线外部环面内的磁链 与导线中电流的比值 。
i0L L L
式中 为内自感,为外自感。
iL 0L
（ 3）内自感和外自感单个载流回路的自感应为内自感和外自感之和，即
i
iL I
0
0L I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 4,一空气同轴线，内导体的半径为 a，外导体的内半径为 b，
设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。
dl H l I
( 0 )ra(1)内导体的内自感如图所示，由安培环路定律得解,同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。
b
a
r
0
i 2?2 π
IrBa
a?
d2 πl H l H r
2
2
22ππ
IrI r I
aa
所以：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
2
2
rII
a
2
ii2dd
r
a
在内导体内的总磁链为,300
i 40 d2 π 8 π
a IIrr
a
所以：内导体单位长度的内自感为
0i
i 8 πL I
(H/m)
dr
1l?
a
r
0
ii 2d d d2 π
IrB S = r
a
单位长度内导体截面的磁通量为只和半径为 r的圆截面内的电流 交链，与总电流 相交链的磁链为：
id?
I? I
32
00
2 2 4( ) d d2 π 2 π
I r r Ir rr
a a a
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
（ 2）内外导体间的外自感
0
0?2
IBa
r?
0
0 0 0d ( ) d l n2 π 2 π
b
Sa
IIbB S r
ra
()a r b
同轴线单位长度的外自感为：
00
0 ln2 π
bL
Ia
(H/m)
内外导体之间单位长度上的磁通为：
根据安培环路定律 a
b
dl H l I
dr
所以：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
(3) 外导体中的内自感按题意，外导体的壁很薄，可以认为电流只在 的壁面上流动，这样外导体中的内自感为零。
rb?
3 0L?
i 0 iL L L L
于是同轴线单位长度的总电感为利用能量关系也可方便地算出：
此时，同轴线单位长度的总电感为,
00
i0 ln8 π 2 π
bL L L
a
(H/m)
4
22
0
i 2 2 2 2 2
ln 3
[]
2 π ( ) 4( )
cc
bcbL
c b c b
(H/m)
若考虑外导体的壁厚,为外导体的外半径，
需给出外导体的内自感 。
()b r c c
iL?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系解,该螺线管内部的磁感应强度可由安培环路定律求出。
如图所示，构造一个长度为 l 的矩形围线，显然，螺线管外部没有磁场，则：
例 5,一非常长的非磁性圆柱的半径为 a，每单位长度上紧密缠绕 n 匝线圈，形成空心电感器 (螺线管 )，若通过线圈的电流 I是恒定的。求该电感器单位长度上的电感。
220π πB a n I a
22
0 π ( H / m )
nL n a
I
0B l n lI 0? zB n Ia
可见，半径为 a的圆柱体内的磁通量为：
所以，该电感器单位长度的电感为：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 6,无限长双导线单位长度上的电感。导线半径为 。a
d
I
I
x
0B?
0
1?2 y
IBa
x
0
2?2 ( ) y
IBa
dx
1
0 1 2 1 20?( ) d ( ) d d
da
ySaB B S B B x z a?
单位长度上的外自感,00
0 ln
daL
Ia
双导线单位长度上的电感,i02L L L 00 ln
4 π π
da
a
z
0 1 2B B B
解,已知单位长度的内自感为：
0
i 8 πL
外自感：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系思考,一 无限长导线平行于无限大导磁面，导线半径为 a，
求,单位长度上的电感。
I
d
I?
d
单位长度上的电感：
i0L L L
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
3,互感
21
21
1
M I
不难证明，线圈回路间的互感是互易的，即
1 2 2 1MM?
22 1 1
dS BS
式中：
同理,线圈对 线圈的互感为
2C 1C
12
12
2
M I
线圈对 线圈的互感为
2C1C
2 2 1
21
1
NM
I
1 1 2
12
2
NM
I
如果两个载流回路分别由匝线圈组成，
则互感变为
12NN、
12?1C 2C1
I 2IR1dl
2dl
21?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系例 7,如图所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。
01
1?2
IBa
r?
22
0121 1?dd
2 πSS
IB S a S
r?
ddS z ra
( ) t a nz d b r
01
21
01
t a n ()
d
2 π
t a n
[ ( ) l n( 1 ) ]
2 π
db
d
I d b r
r
r
I b
d b b
rd
0
21
ta n [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
bM d b b
d
d
db?
drr
1I
解,根据互感定义
21
21
1
M I
22 1 1
dS BS 得：
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系思考,如图所示，求两对 无限长双导线单位长度上的 的互感。
1I
1I
2I
2I
1I
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系六、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程的统一
1,基尔霍夫电流定律任一瞬时任一节点的电流的代数和恒为零。
1
0
N
j
j
I
表明电荷是守恒的，电荷不会在节点处积累或消失，
换句话说，电流在节点处是连续的。
（ 1）概念
（ 2）物理意义电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系根据电流连续性定律
c ddSVJ S Vt?
S为围绕一节点的任意封闭曲面。
ddd d dV S S
DV S J S I
tt?
c j d
1
N
j
II
1
0
N
j
j
I
（ 3）由场论中的推导其中,可为传导电流或位移电流,则代表节点处这些电流的代数和，这样就证明了基尔霍夫电流定律。
jI jI?
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
2,克希荷夫电压定律一瞬时网络中任一回路内全部电压降的代数和为零，即
1
0
N
j
j
U
基尔霍夫电压定律实际上是能量守恒原理的体现。
ddlSE l B St
BA
dd
ll
E l A lt
（ 1）概念
（ 2）物理意义
（ 3）由场论中的推导法拉第电磁感应定律
( ) 0AE t( ) d 0l AElt
电磁场与电磁波 第 5章 场论和路论的关系
AE
t?
AE
t?
0aE E E
0
JE
a
JAE
t
积分形式：
等号右边三项分别为电阻、电容和电感元件中的电场。
d d d da
l l l l
JAE l l l l
t
电源电场 电路中的电场所以：
则：
S 0R L CU U U U
1
0
N
j
j
U
