电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波第 6章 平面电磁波引言一、平面电磁波的概念三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性二、均匀平面波的特性四、均匀平面波在有耗媒质中的传播规律五、均匀平面波的极化特性六、均匀平面波对平面边界的垂直入射七、多层介质分界面上的垂直入射八、均匀平面波对平面边界的斜入射九、电磁波的应用电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波引言 隐身飞机是怎么隐身的？
隐身大体可以分为三种：
1.视觉隐身（或光学隐身）
光线弯曲，透视等。
2.红外隐身红外辐射屏蔽。
3.电磁隐身（或雷达隐身）
外形整体设计，涂敷吸波材料，面阻抗加载等。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
F22隐身战斗机电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例如：水波问题：一个点源所发射的电磁波的等相位面是什么样？
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
1.等相位面：
在某一时刻,空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面 。
等相位面又称为波阵面。
2.球面波,等相位面是球面的电磁波称为球面波。
3.平面波,等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波 。
4.均匀平面波：
任意时刻,如果在平面等相位面上,每一点的电场强度均相同,这种电磁波称为均匀平面波 。
一、平面电磁波的概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波二、均匀平面波的特性
1.均匀平面波满足一维波动方程从麦克斯韦方程出发,c
v
0
D
HJ
t
B
E
t
D
B
在自由空间：
HB
ED
0
0
H
E
t
H
E
t
E
H
cv0,0J?
对第一方程两边取旋度，
)( EtH
根据矢量运算：
2()H H H
2 ()HH
tt
则：
2
22
t
HH
—— 磁场的波动方程由此得：得,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
x
y
zO
对均匀平面波而言，选直角坐标系，假设电磁波沿 z 方向传播，等相位面平面平行于 xOy平面。如图所示：
0,0 yx
所以：
2
2
2
2
2
2
2
2
t
E
z
E
t
H
z
H
可见,均匀平面波满足一维波动方程。
同理可得：
2
22
t
EE
—— 电场的波动方程电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2.均匀平面波是横电磁波（ TEM波）
根据麦克斯韦第一方程,
t
EH
,
,
0
y x
yx
z
H E
zt
EH
zt
E
t
结论：电场只有 Ex 和 Ey 分量，说明电场矢量位于 xOy 平面上。
可见,EZ与时间 t 无关，说明电场中没有 EZ分量 。 0?zE
() yx zx y zEE EE a a at t t t
00
x y z
y x
xy
x y z
a a a
H H
H a a
z z z
H H H
电场强度可表示为,
x x y yE a E a E
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波结论：
对传播方向而言,电场和磁场只有横向分量,没有纵向分量,这种电磁波称为横电磁波,简写为 TEM 波 。
根据麦克斯韦尔第二方程,
t
HE
00
0
()
x y z
y x
xy
xy
yx z
x y z
a a a
E E
E a a
z z z
EE
HH H
a a a
t t t
y xE H
zt?
yx HE
zt?
0zHt
x x y yH a H a H
可见,HZ 与时间 t 无关,不属于时变场部分 。 0
zH?
磁场强度可表示为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性对于随时间按正弦变化的电磁场，因子为,因此,
je t? xx E
z
E 2
2
2
其中,称为角频率。 2 π2 πf T?
令,22k
22
22
EE
zt
已知电场的波动方程为：
分解为标量方程：
22
22
xxEE
zt
22
22
yyEE
zt
1,波动方程的解
2
2
2
x
x
E kE
z
得到：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2
2
2
x
x
E kE
z
方程：
该方程的解为,j j
12ee
kz kz
xE A A
式中,和 为复常数。
1A 2A 1j
1 1 m e? xAA
2j
2 2 m e? xAA?
12j ( ) j ( )1 m 2 mee xxk z k zxE A A
12j ( ) j ( )1 m 2 mee yyk z k zyE A A
同理：
前向行波后向行波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波已知,为波的传播速度。
1?v
k
k 又称为波数。
可见,k 反映的是随着波传播距离 z 的增加，波的相位的变化情况，所以 k 称为相位常数 。
2,相位常数 k
12j ( ) j ( )1 m 2 mee xxk z k zxE A A
2 π 2 πfk
vf
若只考虑前向的单行波，即：
—— 复数表示形式在这种表达形式中隐含了时间因子 。
je t?
j ( )m e xkzxxEE?
电场：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场的另一种表示形式为：
j ( ) jmR e ( e e ) xkz txxEEm c o s ( )xxE t k z—— 瞬时表示形式等相位面方程为：
xt k z C
（常数）
相速,等相位面运动的速度。
p
d
d
zv
tk
对于无限大、均匀、理想介质中的均匀平面波，相速等于波速 。
pv
v
rr
1
p
cvv?
3,相速
pv
d ( ) 0
d xt k zt
d 0
d
z
t
真空中的光速所以：
v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波磁场可由麦克斯韦方程求得：
HjtHE?
1j x
y
EH
z?
j ( )
m
jje xkz
x
k E?
xE?
4,介质的本质阻抗令：
称为介质的本质阻，有阻抗的量纲。
在真空中,0
0
0
120 π 377
j ( )m e xkzxxEE?
若：
0 0 ( )
00
xyz
x
y x x y y z z
x
a a a
E
E a j H a H a H a
zz
E
x
y
E
H
可见：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波结论,与 在空间是相互垂直的,在时间上是同相的,振幅之比为本质阻抗 。
E? H?
平面波动态演示 1 点的振动演示 2 平面电场演示 3
j( )m e ykzyyEE?
若：
jHEHt
j ( )m e ykzy
x
EH?
j ( )m e xkzxxEE?
若：
j ( )m e xkzx
y
EH?
根据：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,坡印廷矢量
2
e
1
2?wE?
2
m
1
2?wH?
电场能量密度,磁场能量密度,
电磁场中任意体积 V内储存的总电磁能量为：
22
em
11( ) ( ) d
22VVW w w d V E H V
设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为：
2211()
22
E H E HE H E H E H
t t t t t
(1)坡印廷矢量的概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波运用矢量恒等式,()E H H E E H
上式两边在给定的体积 V内积分,有
22
c
11( ) ( )
22
V V VE H d V E H d V J E d Vt
22
c
11()
22
E H E H E J H Et c()E H J E
2211()
22
E H E HE H E H E H
t t t t t
c
EE H E J E
t?
由麦克斯韦方程,
HH E H
t?
22
c
11()
22
E H E H E J H Et
可得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波由高斯定律得：
22
c
11( ) ( )
22
V S VE H d V E H d S J E d Vt
—— 坡印廷定理欧姆功率损耗坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。
S E H
电磁场的瞬时形式为,mec o s ( )E E t k z
mmc o s ( )H H t k z
m m e m
m m e m e m
c o s ( ) c o s ( )
1
[ c o s ( ) c o s ( 2 2 ) ]
2
S E H
E H t k z t k z
E H t k z
（ 2）瞬时坡印廷矢量电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
av 0
m m e m e m0
1
11
[ c os( ) c os( 2 2 ) ]
2
T
T
S Sd t
T
E H t k z dt
T
m m e m
1 c o s( )
2EH
（ 3）平均坡印廷矢量
jjm ee ekzEE? mjjm kzH H e e?
电磁场的复数形式为：
*
av
1 R e ( )
2S E H
mj*jm e kzH H e?
式中 表示 的共轭。*H H
m m e m
1 c o s( )
2EH
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 1,在介质 中沿 方向传播的均匀平面波电场强度为,求 (1)相对介电常数； (2)传播速度；
(3)本质阻抗； (4)波长； (5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度的复数表示形式； (7)波的平均功率密度。
00(,)r y
9?3 7 7 c o s (1 0 5 ) V / mzE t y a
由电场 强度的表达式可知,E
解 (1)相对介电常数
91 0 r a d / s,5 r a d / m k?
0 0 rk
18 1 8 8 2
r
00
2 5 1 0 2 5 1 0 ( 3 1 0 ) 2,2 5
(2)传播速度为 9 8
p
10 m /s 2 1 0 m /s
5v k
0
r0
120 π 2 5 1,3 3
2,2 5
(3)本质阻抗为
(4)波长为
2 π 2 π m 1,2 5 7 m
5k
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(5)根据均匀平面波的电场、磁场和传播方向满足右手螺旋法则的规律，及电场强度和磁场强度的关系，可得
911,5 c o s ( 1 0 5 ) A /m
yxH a E t y a?
(7)媒质中的平均功率密度是
*
av
1 R e [ ]
2S E H
(6)电场强度和磁场强度的复数形式为
j5?3 7 7 e V / m y zEa
j5?1,5 A / m y xH e a
2
av
13 7 7 1,5 [ ] 2 8 2,7 5 W /m
2z x yS a a a
9?3 7 7 c o s ( 1 0 5 ) V / m zE t y a
9?1,5 c o s ( 1 0 5 ) A / m xH t y a
* j 5?1,5 A / m? y xH e a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波四,均匀平面波在有耗媒质中的传播规律有耗媒质 也称为导电媒质。( 0)
1,复介电常数和复本质阻抗
c jH J E
j ( j ) jH E E
称为复介电常数。 j
cta n?
c?JE?
d j?JE
损耗正切,复介电常数虚部和实部的比。
损耗角
jEE
在理想介质中,0 jHE
在有耗媒质中,0
损耗正切 代表传导电流密度和位移电流密度的大小之比。
有耗媒质中的本质阻抗为,j e
复本质阻抗电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,相位常数和衰减系数有耗媒质中的均匀平面波波动方程为,2 22
2
d
d
x
xx
E E k E
z
式中 称为 复波数。k
( j )k
令,jjk 为传播常数
2 2 2j j 2
2 2 2
2
21 ( ) 1
2
21 ( ) 1
2
得：
jjmmek z z zxxE E e a E e a
电场强度：
为衰减系数
为相位常数电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,相速和色散现象有耗媒质中，波传播的相速为：
p
2
12
1 ( ) 1
v?
jjmm?e e ek z z z xE E E a
电场强度：
可以看出：
p
1?v
a.由 于媒质的损耗使波的传播速度变慢，波长变短。
色散现象,
在有耗媒质中，不同频率的波以不同的相速传播的现象。
色散媒质,能发生色散现象的媒质。有耗媒质为 色散媒质 。
结论：
b.相速与频率有关。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场强度：
jmme e ez z zxxE E a E a
其对应的磁场强度为：
jmme e e e
||
z z j z
yy
EEH a a
4,有耗媒质中电磁场的表示特点：
（ 1）电场强度和磁电场强度的振幅以 因子衰减。
（ 2）电场相位超前磁 场。
e? z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波平面波在有耗媒质中的传播瞬时表达式分别为：
m?e c o s ( )z xE E t z a
m?e c o s ( )
||
z
y
EH t z a?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,有耗媒质中的坡印廷矢量瞬时坡印廷矢量为：
2
2m?e c o s ( ) c o s ( )
||
z
z
ES t z t z a?
22
22mm?[ e c o s e c o s ( 2 2 ) ]
2 | | 2 | |
zz
z
EE t z a
平均坡印廷矢量为：
2
2m
av?e c o s2 | |
z
z
ESa?
可见：在有耗媒质中，随着传播距离的增加，平均坡印廷矢量也呈指数规律下降。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
6,有耗媒质的讨论
1
2
1j 2 p 1v
得：
（ 1）低损耗媒质在低损耗媒质中的相位常数和相速与无耗介质中的近似相同。但确实存在衰减，而且电场强度和磁场强度存在微小的相位差。
低损耗媒质又称良介质，条件为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波高损耗媒质也称为良导体。
（ 2） 高损耗媒质
() 100?
复介电常数为,j
衰减系数和相位常数分别为：
2
2
复本质阻抗为,πj
4
j/ e
若将复本质阻抗表示为：
ssjRX?
ss 2RX
则,称为表面电阻,为表面电抗
sR sX
相速为：
p
2v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场强度和磁场强度分别为：
jm ee zz xE E a
πj( )
4
m e
zz
yH E e a
传导电流密度为：
jcm ee zz xJ E E a
1m a x m a xeeJJ
趋肤深度,电流密度幅值衰减为导体表面上幅值的 倍，
电磁波所传输的距离,即
1e?
12?
趋肤效应,高频条件下，良导体中的电流绝大部分集中在导体表面附近，这种现象称为趋肤效应。
电磁屏蔽原理,根据 趋肤效应，利用一定厚度的导体板作成屏蔽罩，将电子设备保护起来。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波五、均匀平面波的极化特性
1,波的极化定义波的极化是指空间某点的电场强度矢量随时间的变化规律 。
波的极化用电场强度矢量的端点在空间随时间变化所画的轨迹来表示。
2,极化的形式
（ 1） 线极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是一条直线 。 x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2） 圆极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是圆 。
（ 3）椭圆极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是椭圆。
x
y
E
x
y
E
x
y
E
x
y
E
x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1） 线极化：
假设空间任意一个平面波：
x x y yE E a E a 其中：
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
条件,
yx
22mm c os ( )xyE E E t k z
与 x 轴的夹角为,E
a r c t a n? y
x
E
E? a r c ta n?
ym
xm
E
E
可见,是不随时间变化的 。那么合成电场端点的轨迹位于与 x 轴夹角为 的直线上，构成线极化。 演示 3
若电场表示为：
m?c o s ( )x x xE E t k z a?
—— x方向的线极化波演示 1
m?c o s ( )y y yE E t k z a?
—— y方向的线极化波演示 2
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2）圆极化,由两个相互垂直的线极化叠加而成。
电场表示为,
x x y yE E a E a
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
条件：
m m mxyE E E π
2xy
且：
22 mxyE E E E
m c o sxxE E ( t k z )
m c o s ( )yyE E t k z m s i n ( ) xE t k z
右旋圆极化波 左旋圆极化波则：
演示 1 演示 2
t a n t a n ( )y x
x
E t k z
E
() xt k z
与 x 轴的夹角为,E
可得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 3） 椭圆极化 波
2 2 2
m m m m
2( ) c o s ( ) ( ) s i n ( )x y yx
x y x y
x x y y
E E EE
E E E E
右旋椭圆极化波 左旋椭圆极化波右旋圆极化波 左旋圆极化波线极化波短轴缩为零长短轴相等 长短轴相等对于一般情况：
电场表示为,
x x y yE E a E a
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
—— 椭圆方程
x
y
E
x
y
E
x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,极化的分解对任一线极化波，将 分解为 和 两个分量,E
xE yE
m c o s ( )xxE E t k z
m c o s ( )yyE E t k z
mm c o s?xEE?
mm s i n?yEE?
m
mm
c o s c o s ( )
c o s ( ) c o s ( )
22
x
xx
E E t k z
EE t k z t k z E E
m
mm
s in c o s ( )
s in ( ) s in ( )
22
y
yy
E E t k z
EE t k z t k z E E
任一线极化波均可分解为两个幅值相等，但旋转方向相反的圆极化波。
x
y
myE
mxE
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波六、均匀平面波对平面边界的垂直入射
1,概念反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。
入射波,投射到分界面上的波。
反射波,从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。
透射波,进入分界面另一侧传播的波。
垂直入射,入射波的传播方向与分界面的法线平行。
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
rE
rH
1v?
iE
iH
1v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,对理想导体表面的垂直入射
ji i 0?e kz xEaE
ji0
i?e
kz
y
EHa
入射波表示为：
反射波表示为：
jr r 0?e? kz xE E a
在介质空间内任一点的电场：
jji 0 r 0?( e e ) k z k z xE E E a
x
z
O
,
iE
iH
v
rE
rH
v?
jr0
r?e
kz
y
EHa
i 0 r 0 0EE r 0 i 0EE
边界条件,理想导体表面上电场强度切向分量为零。
0z? 时
（ 1）线极化波的垂直入射电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波反射波电场可表示为：
jr i 0?e kz xE E a
相应的反射波磁场为：
jjr 0 i 0
ree
k z k z
yy
EEH a a
jji 0 i 0( e e ) j 2 s i nk z k z xxE E a E k z a
jji 0 i 02(e e ) c o sk z k z
yy
EEH a k z a
在 的空间内，合成电场强度和磁场强度分别为：0z?
i02 c o s ( ) c o s?
y
EH k z t a?
瞬时形式为：
i02 s i n ( ) s i n? xE E k z t a?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波当 时，即πkz n
2
nz ( 0,1,2,)n?
波节点,在任意时刻,电场强度的值总为零的点。
当 时，即π
( 2 1 )2kz n ( 2 1 ) ( 0,1,2,)4z n n
s in 1kz?
s in 0kz?
波腹点,任意时刻，电场强度的值为最大的点。
驻波,这种波节点和波腹点位置固定的波称为 驻波。
纯驻波,节点处值为零的驻波称为纯驻波。 演示电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波平均坡印廷矢量
*
av
1 Re
2SEH
2
i0
av
1?R e 4 j s i n c o s 0
2 z
ES k z k z a
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
入射波电场：
ji i 0( j )kz xyE e a aE
反射波电场,j
r i 0( j )kz xyE e a aE
合成波电场为：
i r i 0j 2 s i n ( )xyE k z a j aE E E
i0?j 2 s i n xE E k z a
i02?c os
y
EH k za
（ 2）圆极化波的垂直入射右旋圆极化波左旋圆极化波纯驻波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 2,有一 频率 1 0 0 M Hzf?,x 方向极化的均匀平面波,从空气 垂直入 射到 0z? 的理想导体 表 面上,设入射波电场 强度 振幅 为 6 m V /m,试写出,( 1 ) 入射波电场 强度
i
E 和磁场 强度
i
H
的复数和瞬时表达式； ( 2 ) 反射波电场 强度
r
E 和磁场 强度
r
H 的复数和瞬时表达式； ( 3 ) 空气中的合成场 E 和 H ； ( 4 ) 空气中离界面第一个电场 强度 波腹点的位置 ； ( 5 ) 理想导体表面的感应电流密度 。
解,(1)入射波电场强度复数形式
ji i 0?kz xE E e a
0
6
80
2 π 1 0 0 1 0 2 π
3 1 0 3k
3i0 6 1 0E V/m
rad/m
0
0
120 π
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波瞬时表达式为：
j 3 8
ii
2?(,) Re [ ] 6 1 0 c o s( 2 π 10 π )
3
t
xE z t E e t z a
4
8
i
1 0 2?(,) c o s ( 2 π 10 π )
2 π 3 yH z t t z a
(2)反射波电磁场复数形式
r 0 i 0EE
2j π3
3r?6 1 0 z xE e a
24 j π
3r 10?
2 π
z
yH e a
瞬时表达式为：
38
r
2?(,) 6 1 0 c o s( 2 π 10 π )
3 xE z t t z a
2j π
3 3
i?6 1 0
z
xE e a
24 j π
3
ii
1 1 0
2 π
z
zyH a E e a?
复数表达式为：
4
8
r
1 0 2?c o s ( 2 π 10 π )
2 π 3 yH t z a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(3)空气中的合成场复数形式
3
ir
2?j1 2 1 0 sin ( π )
3 xE E E z a
4
ir
1 0 2?c o s ( π )
π 3 yH H H z a
瞬时表达式为：
j
38
(,) R e ( )
2?1 2 1 0 s in ( π ) s in ( 2 π 1 0 )
3
t
x
E z t E e
z t a
j
4
8
(,) R e ( )
1 0 2?
c o s ( π ) c o s ( 2 π 1 0 )
π 3
t
y
H z t H e
z t a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(4) 在空气中离开界面第一个电场强度波腹点位于
2s i n ( ) 1
3 z
2 ππ
32z
0
4
810( ) c os( 2 π 10 )
π
S z
zy
J n H
a t a
4
810?c o s ( 2 π 1 0 )
π xta
A/m
即：
0,7 5z得,m
4
81 0 2?(,) c o s ( π ) c o s ( 2 π 1 0 )
π 3 yH z t z t a
(5) 在 的理想导体边界上感应电流密度为0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,对无限大理想介质分界面的垂直入射透射波表示为：
2jt t 0?e kz xE E a
2jt0
t
2
e kz yEHa
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
rE
rH
1v?
iE
iH
1v
1ji i 0?e kz xEaE
1ji0
i
1
e kz yEHa
入射波表示为：
反射波表示为：
1jr r 0?e kz xE E a?
1jr0
r
1
e kz yEHa
1t 2 tEE? 1t 2tHH?
0z?在 处有：根据边界条件：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波则,i 0 r 0 t 0E E E
i 0 r 0 t 0
12
E E E
21
r 0 i 0
21
EE
2
t 0 i 0
21
2EE?
解得：
令：
r0 21
i 0 2 1
E
E
t0 2
i 0 2 1
2ET
E
1T
反射系数,分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比。
透射系数,分界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比。
T
与 之间的关系为：T?
反射波为：
1r i 0?e j k z xE E a
1ji0
r
1
e kz yEHa
透射波为：
2jt i 0?e kz xE E a
2ji0
t
2
e kz yEHa
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波介质 1中的合成电磁场分别为：
11jj
1 i 0
1
1?(e e )k z k z
yH E a
11jj1 i 0?( e e )k z k z xE E a
1 i 0 1 1 1 1
i 0 1 1
c o s j s in c o s j s in
( 1 ) c o s j ( 1 ) s in
x
x
E E k z k z k z k z a
E k z k z a
1 / 22
1 i 0 11 2 c o s 2E E k z
总电场：
行驻波 演示
21
在分界面处总电场达到极大值。
21
21
讨论：
21
在分界面处总电场达到极小值。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系在介质 1中，平均坡印廷矢量为：
2
0*2
1 a v 1 1 1
1
2
i0 2
1
1
R e R e 1 j 2 si n 2
22
( 1 )
2
i
z
z
E
S E H k z a
E
a
在介质 2中，平均坡印廷矢量为,2
i0 2
2 av t av
2
2 z
ES S T a
2 2 2
i 0 i 0 i 022
1 1 22 2 2
E E E T?
1av 2 avSS?
说明：入射、反射和透射能量三者之间符合能量守恒规律。
无耗介质中无能量的损耗：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
4,对无限大有耗媒质分界面的垂直入射入射波表示为：
1i i 0?e z xE E a
1i0
i
1
e z yEHa
1 1 1j
1j11 e
反射系数和透射系数均为复数，分别为：
j21
21
e j2
21
2 e TTT
反射波为：
1r i 0?e z xE E a
1i0
r
1
e z yEHa
透射波为：
2t i 0?e z xE T E a
2i0
t
2
e z yTEHa
2 2 2j 2j22 e
其中：
其中：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波媒质 1中的平均坡印廷矢量为：
11
1 1 1
1 a v 1 1
2
222i0
1
1
1
R e [ ]
2
[ e c o s e c o s 2 s in ( 2 ) s in ]
2
zz
z
S E H
E
za
其中入射波的平均功率密度为：
1
1
ia v i i
2
2i0
1
1
R e [ ]
2
e c o s
2
z
z
S E H
E
a
反射波的平均功率密度为：
1
1
r a v r r
2
2 2i0
1
1
Re [ ]
2
e c os
2
z
z
S E H
E
a
入射波和反射波交叉耦合引起的平均功率密度为：
1
i0
i r a v i r r i 1
1
1?R e [ ] s i n ( 2 ) s i n
2 z
ES E H E H z a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波七、多层介质分界面上的垂直入射在工程实际中，多层介质的应用很广,如雷达罩、频率选择表面、吸波涂层等。
入射波反射波 透射波
11, 22, 33,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波介质 1中的总电磁场为：
1,边界条件法
11j ( ) j ( )1 1 i 1 r?( e e )k z d k z d xE E E a
11j ( ) j ( )
1 1 i 1 r
1
1?( e e )k z d k z d
yH E E a?
x
z
11, 22, 33,
dz 0?z
1iE
1iH
v
1rE
1rH
v?
2iE
2iH
v
3tE
3tH
v
2rE
2rH
v?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波在介质 2中总电磁场为,22jj2 2i 2?( e e )k z k zrxE E E a
22jj2 2 i 2 r
2
1?( e e )k z k z
yH E E a?
在介质 3中电磁场为,3j3 3 t?e kz xE E a
3j3t
3
3
e kz yEHa
利用界面 Ⅰ 和 Ⅱ 处的边界条件：
23( 0 ) ( 0 )EE?
23( 0 ) ( 0 )HH?
2 i 2 r 3 tE E E
3t2 i 2 r
2 2 3
EEE
在 处：0z?
12( ) ( )E d E d
12( ) ( )H d H d
22jj1 i 1 r 2i 2 reek d k dE E E E
22jj1 i 1 r 2 i 2 r
12
11( ) ( e e )k d k dE E E E
在 处：zd
可以得到,,及 和入射波电场 的关系。
1rE 2iE 2rE 3tE 1iE
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,等效阻抗法波阻抗定义,相对于传播方向成右手螺旋法则的电场强度与磁场强度正交分量之比。
()()()
( ) ( )
yx
yx
EzEzZz
H z H z
可见,在均匀无界媒质中,波阻抗等于媒质的本质阻抗。
（ 1）均匀无界媒质情况
（ 2）两层介质情况等效波阻抗定义,在与分界面平行的任何面上，总电场强度与总磁场强度的正交切向分量之比。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波媒质 1中任意一点的等效波阻抗为：
1
1
1
()()
()
x
y
EzZz
Hz?
11
11
jj
1 jj
ee
ee
k z k z
k z k z
21
21
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
iE
iH
1v
介质 1中的合成电磁场分别为：
11jj
1 i 0
1
1?(e e )k z k z
yH E a
11jj1 i 0?( e e )k z k z xE E a
其中：
2 1 1
11
1 2 1
j t a n()
j t a n
kdZd
kd
在 处，等效波阻抗为：zd
d
rE
rH
1v?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3 2 2
22
2 3 2
j ta n()
j ta n
kdZd
kd
在媒质 1与媒质 2的分界面处，
反射系数可表示为：
21
1
21
()
()
Zd
Zd
（ 3）三层介质情况
x
z
11, 22, 33,
dz 0?z
1iE
1iH
v
1rE
1rH
v?
2iE
2iH
v
3tE
3tH
v
2rE
2rH
v?
在 分界面处，zd
等效波阻抗为：
可见：
一定厚度的介质插入另两种介质中间，可起到阻抗变换作用。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 3,有一厚度为 d,本质阻抗为 2? 的介质置于本质阻抗分别为 1? 和 3? 的媒质之间，欲使均匀平面波从媒质 1 垂直入射于媒质 2 的分界面上时不发生反射。求 d 和 2? 的根据题意，要求 则,即
1 0 21()Zd
3 2 2 2
21
2 2 3 2
c o s j s in
c o s j s in
k d k d
k d k d
上式展开：
22 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2c o s j s i n c o s j s i nk d k d k d k d
已知在媒质 1与媒质 2的分界面处，反射系数可表示为
21
1
21
()
()
Zd
Zd
解：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1）当 时，要求：
13 2 πk d n?
2
2
π 1,2,3,
2
nd n n
k
对给定的工作频率，当介质层厚度为介质的半波长的整数倍时，无反射发生，因此这种介质层称为 半波介质窗 。
得：
2 3 2 1 2 2c o s c o sk d k d 22 2 1 3 2s i n s i nk d k d
2sin 0kd?
（ 2）当 时，要求：13
2c o s 0kd?
且
2 1 3
2
( 2 1 ) π
2
nkd 2( 2 1 )
4dn
得：
—— 四分之一波长阻抗变换器得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 4） n+1层介质情况
x
z
1? 3?
0?z
1iE
1iH
1v
1rE
1rH
1v?
tE
tH
n1v?
2? n? n+1?
2d 3d
nd n+1
d
入射波反射波透射波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3 3 2 2 2
2 2 2
2 3 3 2 2
( ) j t a n()
j ( ) t a n
Z d k dZd
Z d k d
在媒质 1与媒质 2分界面处，反射系数为：
2 2 1
1
2 2 1
()
()
Zd
Zd
1
1
j ta n()
j ta n
n n n n
n n n
n n n n
kdZd
kd
1 1 1
1 1 1
1 1 1
( ) j t a n()
j ( ) t a n
n n n n n
n n n
n n n n n
Z d k dZd
Z d k d
在第 n 层媒质中,处，等效波阻抗为：
nzd
在第 n+1 层媒质中,处，等效波阻抗为：
1nzd
在第 2 层媒质中,处，等效波阻抗为：
2zd
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波八、均匀平面波对平面边界的斜入射入射面,均匀平面波的传播方向与分界面法线所构成的平面。
斜入射,电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的入射方式。
分界面
i?
r? t?
入射面
x
z
y
O
1,概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波入射角,入射波的传播方向与分界面法线的夹角。
反射角,反射波的传播方向与分界面法线的夹角。 折射角,透射波的传播方向与分界面法线的夹角。
平行极化波,电场强度平行于入射面的波。
垂直极化波,电场强度垂直于入射面的波。
分界面
i?
r? t?
入射面
x
z
y
O
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,垂直极化波的斜入射
（ 1）入射波
1iji i 0?kl yE E e a
( ) ( c o s c o s c o s )
ii
x y z i x i y i z
l l a
x a y a z a a a a
于是：
i i ic o s c o s c o sx y z ii
π /2
i π /2
ii
iiis i n c o sl x z
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
其中：
1 i ij ( s i n c o s )i i 0?k x z yE E e a
得：
电场强度表示为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波磁场强度为
i0
i i i
1
( c o s s i n )xzEH a a
电场强度为：
1rjr r 0?e kl yE E a
rrs i n c o sxz
反射波电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r r 0?e k x z yE E a
1 i ij ( s i n c o s )e k x z
（ 2）反射波
r r r
c o s c o s c o s
rrl l a
x y z
rrπ /2
r π /2
rrπ
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
rH
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波反射波磁场强度为：
r0
r r r
1
( c o s s i n )xzEH a a
rH
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
tE
tH
22,
11,
1 r rj ( s i n c o s )e k x z
电场强度为：
2tjt t 0?e kl yE E a
tts i n c o sxz
（ 3）折射波
t t t
c o s c o s c o s
ttl l a
x y z
ttπ /2
t π /2
tt
折射波电场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )t t 0?e k x z yE E a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波折射波磁场强度为：
t0
t t t
2
( c o s s in )xzEH a a
2 t tj ( s i n c o s )e k x z
1 i ij ( s i n c o s )1 i 0[e k x zEE
介质 1内总的电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r0?]k x z yE e a
介质 2内总的电场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )2 t 0?e k x z yE E a
rH
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(4) 反射定律在 z=0的分界面上，边界条件为：
1t 2tEE?
2t1 i 1 r j s i nj s i n j s i ni 0 r 0 t 0e e e kxk x k xE E E
对任意 x值成立，当 x=0时：
i 0 r 0 t 0E E E
2 t 2 t1 i 1 rj s i n j s i nj s i n j s i ni 0 r 0( e e ) ( e e ) 0k x k xk x k xEE
由于 欲使上式对任意 x都成立，则有
i 0 r 0EE?
1 i 2 t 1 rs i n s i n s i nk x k x k x
ri
斯涅耳反射定律,入射角等于反射角。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
1 i 2 ts i n s i nk x k x
t 1 2 1 1
i 2 1 2 2
s i n
s i n
kv
kv
,分别为均匀平面波在介质 1和介质 2中的波速。
1v 2v
对非铁磁性材料有：
1 2 0
1
2
sin
sin
t
i
该式称为 斯涅耳折射定律 。
由：
得：
所以：
（ 5）折 射定律电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(6) 反射系数和折射系数
1 t 2 tHH?
2t1i j s i nj s i n ti
i 0 r 0 t 0
12
c o sc o s( ) e e kxkxE E E
1 i 2 ts i n s i nkk
ti
i 0 r 0 t 0
12
c o sc o s()E E E
i 0 r 0 t 0E E E
2 i 1 t
r 0 i 0
2 i 1 t
c o s c o s
c o s c o sEE
2i
t 0 i 0
2 i 1 t
2 c o s
c o s c o sEE
得：
根据边界条件，在 分界面处，磁场强度切向分量连续，
即：
0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
0 2 1
0 2 1
c o s c o s
c o s c o s
r i t
i i t
E
E
02
0 2 1
2 c o s
c o s c o s
ti
i i t
ET
E
上两式也称为 垂直极化波的费涅耳公式反射系数：
折射系数：
若利用等效阻抗法推导反射系数和折射系数介质 1的等效波阻抗为：
i 1
1
iic o s
y
x
EZ
H
介质 2的等效波阻抗为：
t 2
2
ttc o s
y
x
EZ
H
21
21
ZZ
ZZ
2
21
2 ZT
ZZ
则：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 4:一角频率为 的均匀平面波由空气向理想导体平面斜入射，入射角为,入射电场强度振幅为 10V/m,电场矢量和入射面垂直，求,(1)空气中总的电场强度和磁场强度；
(2)边界面上的感应电流密度； (3)波在空气中的平均坡印廷矢量。
i?
r?
x
zO
iE
iH
rE
rH
00,
解,选择如图坐标系由反射定律可知：
ri
2 i 1 t
2 i 1 t
c o s c o s
c o s c o s
1 0 2120 π,0
1
已知：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
k c
其中：
反射波电磁场分别为：
j ( s i n c o s )r?10e k x z yEa
j ( s in c os )
r
1( c os sin ) e
12 π
k x z
xzH a a
j ( s i n c o s )i?10e k x z yEa
i
j ( s in c o s )
1
( c o s sin )
12 π
e
xz
k x z
H a a
入射波 电磁场分别 为：
i?
r?
x
zO
iE
iH
rE
rH
00,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1）空气中总电场强度和磁场强度分别为：
1 i rE E E
j s i n?j 2 0 s i n ( c o s ) e kx yk z a
1 i rH H H
j sin
j sin
1
c os c os( c os ) e
6 π
1
si n si n( c os ) e
6 π
kx
x
kx
z
k z a
j k z a
j s i n j c o s j c o s?1 0 e ( e e )k x k z k z ya
请问：总场沿什么方向传播？
相位常数是多少？
相速是多大？
x方 向传播
sink
pv
sink
sin
c
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
11?SzJ n H a H j si n1?c o s e
6 π
kx
ya
1 irH H H
si n
si n
1
cos cos ( cos )
6
1
s i n s i n ( cos )
6
j k x
x
j k x
z
kz e a
j kz e a
（ 3）波在空气中的平均坡印廷矢量：
*
a v 1 1
1 R e ( )
2S E H
25?sin sin ( c o s )
3 π xk z a
c
pv
gv
pgv c v
相速为什么大于光速？
2pgv v c?
z
x
（ 2） 在 的理想导体边界上，感应电流密度为：0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,平行极化的斜入射入射波磁场强度为,
1 i ij ( s i n c o s )i0
i
1
e k x z yEHa
入射波电场强度为：
1 i ij ( s i n c o s )i i 0 i i( c o s s i n ) e k x zxzE E a a
反射波磁场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r0
r
1
e k x z yEHa
反射波电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r r 0 r r( c o s s i n ) e k x zxzE E a a
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波在媒质 2中，折射波磁场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )t0
t
2
e k x z yEHa
折射波电场强度为：
2 t t
t t 0 t t
j ( s i n c o s )
( c o s s i n )
e
xz
k x z
E E a a
根据分界面上的边界条件：
r 0 1 i 2 t
//
i 0 1 i 2 t
c o s c o s
c o s c o s
E
E
t0 2i
//
i 0 1 i 2 t
2 c o s
c o s c o s
ET
E
上两式也称为 平行极化波的费涅耳公式
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
1 t 2 t 1 t 2 t,E E H H
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
4,波的全反射现象由折射定律可知：
当 时，必然有 。1 1 2 2
ti
临界角如果入射角增大到某个角度时，恰好使,则：o90
t
12
22
c
11
a r c si n
t 11
i 2 2
s in
s in
o
11
c 2 2
s in 9 0
s in
2
c
1
a rc s i n
全反射,当 时，介质 2中没有透射波的现象。
ic
i?
t?
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波当 时，有,
此时 不是实数角，而是复数角。
ic tsin 1
t?
则
21
ti
2
c o s j s in 1
211
2 i 2 i
22
s in 1 j s in
t t0?ee
k z k x
yE E a
该式表明：当 时，透射波在分界面上沿 x方向以行波传播，而沿 z方向按指数规律快速衰减。这种在 z方向衰减而沿分界面方向传播的波称为 表面波。
ic
讨论：
t?
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,波的全透射现象全透射,当入射波以某一角度入射时，入射波在分界面处全部透射于第二种媒质中，不发生反射的现象。
（ 1） 对平行极化波的情况：
1 i 2 t
//
1 i 2 t
c o s c o s 0
c o s c o s
1 B 2 tc o s c o s
布儒斯特角或偏振角
1 2 0
2
tB
1
co s co s
若
1
tB
2
s i n s i n
2 2
B
12
sin
2
B
12
a rc s i n
2
B
1
a r c s i n
或：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2）对垂直极化波的情况
2 i 1 t
2 i 1 t
c o s c o s 0
c o s c o s
t 1
i2
cos
cos
t 1
i2
sin
sin
it
但由于,因此 。
12 it
2 i 1 tc o s c o s 0
结论,垂直极化波斜入射时，不可能发生全透射现象。
请问：
一圆极化波布儒斯特角斜入射时，反射波是什么极化方式？
折射定律：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波九、电磁波的应用
在发现电磁波不到 6年，利用电磁波的技术，如雨后春笋般相继问世。
无线电报（ 1894年）
无线电广播（ 1906年）
无线电导航（ 1911年）
无线电话（ 1916年）
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
短波通信（ 1921年）
无线电传真（ 1923年）
电视（ 1929年）
微波通信（ 1933年）
雷达（ 1935年）
遥控、遥感、卫星通信、
射电天文学 …… 它们使整个世界面貌发生了深刻的变化。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波微波通信微波加热电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波移动通信电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波卫星通信电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波卫星测控、遥感、微波成像卫星地面测控站电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波射电天文射电望远镜微波武器电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波雷达系统电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁波频谱的划分频段 波长范围 频率范围极高频 (EHF) 0.1~1 cm 30 ~ 300 GHz
特高频 (SHF) 1 ~ 10 cm 3 ~ 30 GHz
超高频 (UHF) 10 ~ 100 cm 0.3 ~ 3 GHz
甚高频 (VHF) 1 ~ 10 m 30 ~ 300 MHz
高频 (HF) 10 ~ 100 m 3 ~ 30 MHz
中频 (MF) 0.1 ~ 1 km 0.3 ~ 3 MHz
低频 (LF) 1 ~ 10 km 30 ~ 300 kHz
甚低频 (VLF) 10 ~ 100 km 3 ~ 30 kHz
超低频 (ULF) 0.1 ~ 1 Mm 0.3 ~ 3 kHz
特低频 (SLF) 1 ~ 10 Mm 30 ~ 300 Hz
极低频 (ELF) 10 ~ 100 Mm 3 ~ 30 Hz
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波射频电磁场下人体的安全水平标准
IEEE/ANSI 标准给出频率为 90 MHz~300 GHz的射频电磁场下电磁功率面密度限定值如下：
90~300 MHz,0.2 mW/cm2；
300~12500 MHz,f /1250 mW/cm2（ f单位为 MHz）；
12.5 ~300 GHz,10 mW/cm2。
隐身大体可以分为三种：
1.视觉隐身（或光学隐身）
光线弯曲，透视等。
2.红外隐身红外辐射屏蔽。
3.电磁隐身（或雷达隐身）
外形整体设计，涂敷吸波材料，面阻抗加载等。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
F22隐身战斗机电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例如：水波问题：一个点源所发射的电磁波的等相位面是什么样？
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
1.等相位面：
在某一时刻,空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面 。
等相位面又称为波阵面。
2.球面波,等相位面是球面的电磁波称为球面波。
3.平面波,等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波 。
4.均匀平面波：
任意时刻,如果在平面等相位面上,每一点的电场强度均相同,这种电磁波称为均匀平面波 。
一、平面电磁波的概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波二、均匀平面波的特性
1.均匀平面波满足一维波动方程从麦克斯韦方程出发,c
v
0
D
HJ
t
B
E
t
D
B
在自由空间：
HB
ED
0
0
H
E
t
H
E
t
E
H
cv0,0J?
对第一方程两边取旋度，
)( EtH
根据矢量运算：
2()H H H
2 ()HH
tt
则：
2
22
t
HH
—— 磁场的波动方程由此得：得,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
x
y
zO
对均匀平面波而言，选直角坐标系，假设电磁波沿 z 方向传播，等相位面平面平行于 xOy平面。如图所示：
0,0 yx
所以：
2
2
2
2
2
2
2
2
t
E
z
E
t
H
z
H
可见,均匀平面波满足一维波动方程。
同理可得：
2
22
t
EE
—— 电场的波动方程电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2.均匀平面波是横电磁波（ TEM波）
根据麦克斯韦第一方程,
t
EH
,
,
0
y x
yx
z
H E
zt
EH
zt
E
t
结论：电场只有 Ex 和 Ey 分量，说明电场矢量位于 xOy 平面上。
可见,EZ与时间 t 无关，说明电场中没有 EZ分量 。 0?zE
() yx zx y zEE EE a a at t t t
00
x y z
y x
xy
x y z
a a a
H H
H a a
z z z
H H H
电场强度可表示为,
x x y yE a E a E
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波结论：
对传播方向而言,电场和磁场只有横向分量,没有纵向分量,这种电磁波称为横电磁波,简写为 TEM 波 。
根据麦克斯韦尔第二方程,
t
HE
00
0
()
x y z
y x
xy
xy
yx z
x y z
a a a
E E
E a a
z z z
EE
HH H
a a a
t t t
y xE H
zt?
yx HE
zt?
0zHt
x x y yH a H a H
可见,HZ 与时间 t 无关,不属于时变场部分 。 0
zH?
磁场强度可表示为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性对于随时间按正弦变化的电磁场，因子为,因此,
je t? xx E
z
E 2
2
2
其中,称为角频率。 2 π2 πf T?
令,22k
22
22
EE
zt
已知电场的波动方程为：
分解为标量方程：
22
22
xxEE
zt
22
22
yyEE
zt
1,波动方程的解
2
2
2
x
x
E kE
z
得到：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2
2
2
x
x
E kE
z
方程：
该方程的解为,j j
12ee
kz kz
xE A A
式中,和 为复常数。
1A 2A 1j
1 1 m e? xAA
2j
2 2 m e? xAA?
12j ( ) j ( )1 m 2 mee xxk z k zxE A A
12j ( ) j ( )1 m 2 mee yyk z k zyE A A
同理：
前向行波后向行波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波已知,为波的传播速度。
1?v
k
k 又称为波数。
可见,k 反映的是随着波传播距离 z 的增加，波的相位的变化情况，所以 k 称为相位常数 。
2,相位常数 k
12j ( ) j ( )1 m 2 mee xxk z k zxE A A
2 π 2 πfk
vf
若只考虑前向的单行波，即：
—— 复数表示形式在这种表达形式中隐含了时间因子 。
je t?
j ( )m e xkzxxEE?
电场：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场的另一种表示形式为：
j ( ) jmR e ( e e ) xkz txxEEm c o s ( )xxE t k z—— 瞬时表示形式等相位面方程为：
xt k z C
（常数）
相速,等相位面运动的速度。
p
d
d
zv
tk
对于无限大、均匀、理想介质中的均匀平面波，相速等于波速 。
pv
v
rr
1
p
cvv?
3,相速
pv
d ( ) 0
d xt k zt
d 0
d
z
t
真空中的光速所以：
v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波磁场可由麦克斯韦方程求得：
HjtHE?
1j x
y
EH
z?
j ( )
m
jje xkz
x
k E?
xE?
4,介质的本质阻抗令：
称为介质的本质阻，有阻抗的量纲。
在真空中,0
0
0
120 π 377
j ( )m e xkzxxEE?
若：
0 0 ( )
00
xyz
x
y x x y y z z
x
a a a
E
E a j H a H a H a
zz
E
x
y
E
H
可见：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波结论,与 在空间是相互垂直的,在时间上是同相的,振幅之比为本质阻抗 。
E? H?
平面波动态演示 1 点的振动演示 2 平面电场演示 3
j( )m e ykzyyEE?
若：
jHEHt
j ( )m e ykzy
x
EH?
j ( )m e xkzxxEE?
若：
j ( )m e xkzx
y
EH?
根据：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,坡印廷矢量
2
e
1
2?wE?
2
m
1
2?wH?
电场能量密度,磁场能量密度,
电磁场中任意体积 V内储存的总电磁能量为：
22
em
11( ) ( ) d
22VVW w w d V E H V
设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为：
2211()
22
E H E HE H E H E H
t t t t t
(1)坡印廷矢量的概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波运用矢量恒等式,()E H H E E H
上式两边在给定的体积 V内积分,有
22
c
11( ) ( )
22
V V VE H d V E H d V J E d Vt
22
c
11()
22
E H E H E J H Et c()E H J E
2211()
22
E H E HE H E H E H
t t t t t
c
EE H E J E
t?
由麦克斯韦方程,
HH E H
t?
22
c
11()
22
E H E H E J H Et
可得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波由高斯定律得：
22
c
11( ) ( )
22
V S VE H d V E H d S J E d Vt
—— 坡印廷定理欧姆功率损耗坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。
S E H
电磁场的瞬时形式为,mec o s ( )E E t k z
mmc o s ( )H H t k z
m m e m
m m e m e m
c o s ( ) c o s ( )
1
[ c o s ( ) c o s ( 2 2 ) ]
2
S E H
E H t k z t k z
E H t k z
（ 2）瞬时坡印廷矢量电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
av 0
m m e m e m0
1
11
[ c os( ) c os( 2 2 ) ]
2
T
T
S Sd t
T
E H t k z dt
T
m m e m
1 c o s( )
2EH
（ 3）平均坡印廷矢量
jjm ee ekzEE? mjjm kzH H e e?
电磁场的复数形式为：
*
av
1 R e ( )
2S E H
mj*jm e kzH H e?
式中 表示 的共轭。*H H
m m e m
1 c o s( )
2EH
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 1,在介质 中沿 方向传播的均匀平面波电场强度为,求 (1)相对介电常数； (2)传播速度；
(3)本质阻抗； (4)波长； (5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度的复数表示形式； (7)波的平均功率密度。
00(,)r y
9?3 7 7 c o s (1 0 5 ) V / mzE t y a
由电场 强度的表达式可知,E
解 (1)相对介电常数
91 0 r a d / s,5 r a d / m k?
0 0 rk
18 1 8 8 2
r
00
2 5 1 0 2 5 1 0 ( 3 1 0 ) 2,2 5
(2)传播速度为 9 8
p
10 m /s 2 1 0 m /s
5v k
0
r0
120 π 2 5 1,3 3
2,2 5
(3)本质阻抗为
(4)波长为
2 π 2 π m 1,2 5 7 m
5k
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(5)根据均匀平面波的电场、磁场和传播方向满足右手螺旋法则的规律，及电场强度和磁场强度的关系，可得
911,5 c o s ( 1 0 5 ) A /m
yxH a E t y a?
(7)媒质中的平均功率密度是
*
av
1 R e [ ]
2S E H
(6)电场强度和磁场强度的复数形式为
j5?3 7 7 e V / m y zEa
j5?1,5 A / m y xH e a
2
av
13 7 7 1,5 [ ] 2 8 2,7 5 W /m
2z x yS a a a
9?3 7 7 c o s ( 1 0 5 ) V / m zE t y a
9?1,5 c o s ( 1 0 5 ) A / m xH t y a
* j 5?1,5 A / m? y xH e a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波四,均匀平面波在有耗媒质中的传播规律有耗媒质 也称为导电媒质。( 0)
1,复介电常数和复本质阻抗
c jH J E
j ( j ) jH E E
称为复介电常数。 j
cta n?
c?JE?
d j?JE
损耗正切,复介电常数虚部和实部的比。
损耗角
jEE
在理想介质中,0 jHE
在有耗媒质中,0
损耗正切 代表传导电流密度和位移电流密度的大小之比。
有耗媒质中的本质阻抗为,j e
复本质阻抗电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,相位常数和衰减系数有耗媒质中的均匀平面波波动方程为,2 22
2
d
d
x
xx
E E k E
z
式中 称为 复波数。k
( j )k
令,jjk 为传播常数
2 2 2j j 2
2 2 2
2
21 ( ) 1
2
21 ( ) 1
2
得：
jjmmek z z zxxE E e a E e a
电场强度：
为衰减系数
为相位常数电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,相速和色散现象有耗媒质中，波传播的相速为：
p
2
12
1 ( ) 1
v?
jjmm?e e ek z z z xE E E a
电场强度：
可以看出：
p
1?v
a.由 于媒质的损耗使波的传播速度变慢，波长变短。
色散现象,
在有耗媒质中，不同频率的波以不同的相速传播的现象。
色散媒质,能发生色散现象的媒质。有耗媒质为 色散媒质 。
结论：
b.相速与频率有关。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场强度：
jmme e ez z zxxE E a E a
其对应的磁场强度为：
jmme e e e
||
z z j z
yy
EEH a a
4,有耗媒质中电磁场的表示特点：
（ 1）电场强度和磁电场强度的振幅以 因子衰减。
（ 2）电场相位超前磁 场。
e? z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波平面波在有耗媒质中的传播瞬时表达式分别为：
m?e c o s ( )z xE E t z a
m?e c o s ( )
||
z
y
EH t z a?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,有耗媒质中的坡印廷矢量瞬时坡印廷矢量为：
2
2m?e c o s ( ) c o s ( )
||
z
z
ES t z t z a?
22
22mm?[ e c o s e c o s ( 2 2 ) ]
2 | | 2 | |
zz
z
EE t z a
平均坡印廷矢量为：
2
2m
av?e c o s2 | |
z
z
ESa?
可见：在有耗媒质中，随着传播距离的增加，平均坡印廷矢量也呈指数规律下降。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
6,有耗媒质的讨论
1
2
1j 2 p 1v
得：
（ 1）低损耗媒质在低损耗媒质中的相位常数和相速与无耗介质中的近似相同。但确实存在衰减，而且电场强度和磁场强度存在微小的相位差。
低损耗媒质又称良介质，条件为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波高损耗媒质也称为良导体。
（ 2） 高损耗媒质
() 100?
复介电常数为,j
衰减系数和相位常数分别为：
2
2
复本质阻抗为,πj
4
j/ e
若将复本质阻抗表示为：
ssjRX?
ss 2RX
则,称为表面电阻,为表面电抗
sR sX
相速为：
p
2v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电场强度和磁场强度分别为：
jm ee zz xE E a
πj( )
4
m e
zz
yH E e a
传导电流密度为：
jcm ee zz xJ E E a
1m a x m a xeeJJ
趋肤深度,电流密度幅值衰减为导体表面上幅值的 倍，
电磁波所传输的距离,即
1e?
12?
趋肤效应,高频条件下，良导体中的电流绝大部分集中在导体表面附近，这种现象称为趋肤效应。
电磁屏蔽原理,根据 趋肤效应，利用一定厚度的导体板作成屏蔽罩，将电子设备保护起来。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波五、均匀平面波的极化特性
1,波的极化定义波的极化是指空间某点的电场强度矢量随时间的变化规律 。
波的极化用电场强度矢量的端点在空间随时间变化所画的轨迹来表示。
2,极化的形式
（ 1） 线极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是一条直线 。 x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2） 圆极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是圆 。
（ 3）椭圆极化,电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是椭圆。
x
y
E
x
y
E
x
y
E
x
y
E
x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1） 线极化：
假设空间任意一个平面波：
x x y yE E a E a 其中：
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
条件,
yx
22mm c os ( )xyE E E t k z
与 x 轴的夹角为,E
a r c t a n? y
x
E
E? a r c ta n?
ym
xm
E
E
可见,是不随时间变化的 。那么合成电场端点的轨迹位于与 x 轴夹角为 的直线上，构成线极化。 演示 3
若电场表示为：
m?c o s ( )x x xE E t k z a?
—— x方向的线极化波演示 1
m?c o s ( )y y yE E t k z a?
—— y方向的线极化波演示 2
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2）圆极化,由两个相互垂直的线极化叠加而成。
电场表示为,
x x y yE E a E a
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
条件：
m m mxyE E E π
2xy
且：
22 mxyE E E E
m c o sxxE E ( t k z )
m c o s ( )yyE E t k z m s i n ( ) xE t k z
右旋圆极化波 左旋圆极化波则：
演示 1 演示 2
t a n t a n ( )y x
x
E t k z
E
() xt k z
与 x 轴的夹角为,E
可得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 3） 椭圆极化 波
2 2 2
m m m m
2( ) c o s ( ) ( ) s i n ( )x y yx
x y x y
x x y y
E E EE
E E E E
右旋椭圆极化波 左旋椭圆极化波右旋圆极化波 左旋圆极化波线极化波短轴缩为零长短轴相等 长短轴相等对于一般情况：
电场表示为,
x x y yE E a E a
m c o s ( )x x xE E t k z
m c o s ( )y y yE E t k z
—— 椭圆方程
x
y
E
x
y
E
x
y
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,极化的分解对任一线极化波，将 分解为 和 两个分量,E
xE yE
m c o s ( )xxE E t k z
m c o s ( )yyE E t k z
mm c o s?xEE?
mm s i n?yEE?
m
mm
c o s c o s ( )
c o s ( ) c o s ( )
22
x
xx
E E t k z
EE t k z t k z E E
m
mm
s in c o s ( )
s in ( ) s in ( )
22
y
yy
E E t k z
EE t k z t k z E E
任一线极化波均可分解为两个幅值相等，但旋转方向相反的圆极化波。
x
y
myE
mxE
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波六、均匀平面波对平面边界的垂直入射
1,概念反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。
入射波,投射到分界面上的波。
反射波,从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。
透射波,进入分界面另一侧传播的波。
垂直入射,入射波的传播方向与分界面的法线平行。
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
rE
rH
1v?
iE
iH
1v
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,对理想导体表面的垂直入射
ji i 0?e kz xEaE
ji0
i?e
kz
y
EHa
入射波表示为：
反射波表示为：
jr r 0?e? kz xE E a
在介质空间内任一点的电场：
jji 0 r 0?( e e ) k z k z xE E E a
x
z
O
,
iE
iH
v
rE
rH
v?
jr0
r?e
kz
y
EHa
i 0 r 0 0EE r 0 i 0EE
边界条件,理想导体表面上电场强度切向分量为零。
0z? 时
（ 1）线极化波的垂直入射电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波反射波电场可表示为：
jr i 0?e kz xE E a
相应的反射波磁场为：
jjr 0 i 0
ree
k z k z
yy
EEH a a
jji 0 i 0( e e ) j 2 s i nk z k z xxE E a E k z a
jji 0 i 02(e e ) c o sk z k z
yy
EEH a k z a
在 的空间内，合成电场强度和磁场强度分别为：0z?
i02 c o s ( ) c o s?
y
EH k z t a?
瞬时形式为：
i02 s i n ( ) s i n? xE E k z t a?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波当 时，即πkz n
2
nz ( 0,1,2,)n?
波节点,在任意时刻,电场强度的值总为零的点。
当 时，即π
( 2 1 )2kz n ( 2 1 ) ( 0,1,2,)4z n n
s in 1kz?
s in 0kz?
波腹点,任意时刻，电场强度的值为最大的点。
驻波,这种波节点和波腹点位置固定的波称为 驻波。
纯驻波,节点处值为零的驻波称为纯驻波。 演示电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波平均坡印廷矢量
*
av
1 Re
2SEH
2
i0
av
1?R e 4 j s i n c o s 0
2 z
ES k z k z a
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
入射波电场：
ji i 0( j )kz xyE e a aE
反射波电场,j
r i 0( j )kz xyE e a aE
合成波电场为：
i r i 0j 2 s i n ( )xyE k z a j aE E E
i0?j 2 s i n xE E k z a
i02?c os
y
EH k za
（ 2）圆极化波的垂直入射右旋圆极化波左旋圆极化波纯驻波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 2,有一 频率 1 0 0 M Hzf?,x 方向极化的均匀平面波,从空气 垂直入 射到 0z? 的理想导体 表 面上,设入射波电场 强度 振幅 为 6 m V /m,试写出,( 1 ) 入射波电场 强度
i
E 和磁场 强度
i
H
的复数和瞬时表达式； ( 2 ) 反射波电场 强度
r
E 和磁场 强度
r
H 的复数和瞬时表达式； ( 3 ) 空气中的合成场 E 和 H ； ( 4 ) 空气中离界面第一个电场 强度 波腹点的位置 ； ( 5 ) 理想导体表面的感应电流密度 。
解,(1)入射波电场强度复数形式
ji i 0?kz xE E e a
0
6
80
2 π 1 0 0 1 0 2 π
3 1 0 3k
3i0 6 1 0E V/m
rad/m
0
0
120 π
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波瞬时表达式为：
j 3 8
ii
2?(,) Re [ ] 6 1 0 c o s( 2 π 10 π )
3
t
xE z t E e t z a
4
8
i
1 0 2?(,) c o s ( 2 π 10 π )
2 π 3 yH z t t z a
(2)反射波电磁场复数形式
r 0 i 0EE
2j π3
3r?6 1 0 z xE e a
24 j π
3r 10?
2 π
z
yH e a
瞬时表达式为：
38
r
2?(,) 6 1 0 c o s( 2 π 10 π )
3 xE z t t z a
2j π
3 3
i?6 1 0
z
xE e a
24 j π
3
ii
1 1 0
2 π
z
zyH a E e a?
复数表达式为：
4
8
r
1 0 2?c o s ( 2 π 10 π )
2 π 3 yH t z a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(3)空气中的合成场复数形式
3
ir
2?j1 2 1 0 sin ( π )
3 xE E E z a
4
ir
1 0 2?c o s ( π )
π 3 yH H H z a
瞬时表达式为：
j
38
(,) R e ( )
2?1 2 1 0 s in ( π ) s in ( 2 π 1 0 )
3
t
x
E z t E e
z t a
j
4
8
(,) R e ( )
1 0 2?
c o s ( π ) c o s ( 2 π 1 0 )
π 3
t
y
H z t H e
z t a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(4) 在空气中离开界面第一个电场强度波腹点位于
2s i n ( ) 1
3 z
2 ππ
32z
0
4
810( ) c os( 2 π 10 )
π
S z
zy
J n H
a t a
4
810?c o s ( 2 π 1 0 )
π xta
A/m
即：
0,7 5z得,m
4
81 0 2?(,) c o s ( π ) c o s ( 2 π 1 0 )
π 3 yH z t z t a
(5) 在 的理想导体边界上感应电流密度为0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,对无限大理想介质分界面的垂直入射透射波表示为：
2jt t 0?e kz xE E a
2jt0
t
2
e kz yEHa
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
rE
rH
1v?
iE
iH
1v
1ji i 0?e kz xEaE
1ji0
i
1
e kz yEHa
入射波表示为：
反射波表示为：
1jr r 0?e kz xE E a?
1jr0
r
1
e kz yEHa
1t 2 tEE? 1t 2tHH?
0z?在 处有：根据边界条件：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波则,i 0 r 0 t 0E E E
i 0 r 0 t 0
12
E E E
21
r 0 i 0
21
EE
2
t 0 i 0
21
2EE?
解得：
令：
r0 21
i 0 2 1
E
E
t0 2
i 0 2 1
2ET
E
1T
反射系数,分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比。
透射系数,分界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比。
T
与 之间的关系为：T?
反射波为：
1r i 0?e j k z xE E a
1ji0
r
1
e kz yEHa
透射波为：
2jt i 0?e kz xE E a
2ji0
t
2
e kz yEHa
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波介质 1中的合成电磁场分别为：
11jj
1 i 0
1
1?(e e )k z k z
yH E a
11jj1 i 0?( e e )k z k z xE E a
1 i 0 1 1 1 1
i 0 1 1
c o s j s in c o s j s in
( 1 ) c o s j ( 1 ) s in
x
x
E E k z k z k z k z a
E k z k z a
1 / 22
1 i 0 11 2 c o s 2E E k z
总电场：
行驻波 演示
21
在分界面处总电场达到极大值。
21
21
讨论：
21
在分界面处总电场达到极小值。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系在介质 1中，平均坡印廷矢量为：
2
0*2
1 a v 1 1 1
1
2
i0 2
1
1
R e R e 1 j 2 si n 2
22
( 1 )
2
i
z
z
E
S E H k z a
E
a
在介质 2中，平均坡印廷矢量为,2
i0 2
2 av t av
2
2 z
ES S T a
2 2 2
i 0 i 0 i 022
1 1 22 2 2
E E E T?
1av 2 avSS?
说明：入射、反射和透射能量三者之间符合能量守恒规律。
无耗介质中无能量的损耗：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
4,对无限大有耗媒质分界面的垂直入射入射波表示为：
1i i 0?e z xE E a
1i0
i
1
e z yEHa
1 1 1j
1j11 e
反射系数和透射系数均为复数，分别为：
j21
21
e j2
21
2 e TTT
反射波为：
1r i 0?e z xE E a
1i0
r
1
e z yEHa
透射波为：
2t i 0?e z xE T E a
2i0
t
2
e z yTEHa
2 2 2j 2j22 e
其中：
其中：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波媒质 1中的平均坡印廷矢量为：
11
1 1 1
1 a v 1 1
2
222i0
1
1
1
R e [ ]
2
[ e c o s e c o s 2 s in ( 2 ) s in ]
2
zz
z
S E H
E
za
其中入射波的平均功率密度为：
1
1
ia v i i
2
2i0
1
1
R e [ ]
2
e c o s
2
z
z
S E H
E
a
反射波的平均功率密度为：
1
1
r a v r r
2
2 2i0
1
1
Re [ ]
2
e c os
2
z
z
S E H
E
a
入射波和反射波交叉耦合引起的平均功率密度为：
1
i0
i r a v i r r i 1
1
1?R e [ ] s i n ( 2 ) s i n
2 z
ES E H E H z a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波七、多层介质分界面上的垂直入射在工程实际中，多层介质的应用很广,如雷达罩、频率选择表面、吸波涂层等。
入射波反射波 透射波
11, 22, 33,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波介质 1中的总电磁场为：
1,边界条件法
11j ( ) j ( )1 1 i 1 r?( e e )k z d k z d xE E E a
11j ( ) j ( )
1 1 i 1 r
1
1?( e e )k z d k z d
yH E E a?
x
z
11, 22, 33,
dz 0?z
1iE
1iH
v
1rE
1rH
v?
2iE
2iH
v
3tE
3tH
v
2rE
2rH
v?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波在介质 2中总电磁场为,22jj2 2i 2?( e e )k z k zrxE E E a
22jj2 2 i 2 r
2
1?( e e )k z k z
yH E E a?
在介质 3中电磁场为,3j3 3 t?e kz xE E a
3j3t
3
3
e kz yEHa
利用界面 Ⅰ 和 Ⅱ 处的边界条件：
23( 0 ) ( 0 )EE?
23( 0 ) ( 0 )HH?
2 i 2 r 3 tE E E
3t2 i 2 r
2 2 3
EEE
在 处：0z?
12( ) ( )E d E d
12( ) ( )H d H d
22jj1 i 1 r 2i 2 reek d k dE E E E
22jj1 i 1 r 2 i 2 r
12
11( ) ( e e )k d k dE E E E
在 处：zd
可以得到,,及 和入射波电场 的关系。
1rE 2iE 2rE 3tE 1iE
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,等效阻抗法波阻抗定义,相对于传播方向成右手螺旋法则的电场强度与磁场强度正交分量之比。
()()()
( ) ( )
yx
yx
EzEzZz
H z H z
可见,在均匀无界媒质中,波阻抗等于媒质的本质阻抗。
（ 1）均匀无界媒质情况
（ 2）两层介质情况等效波阻抗定义,在与分界面平行的任何面上，总电场强度与总磁场强度的正交切向分量之比。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波媒质 1中任意一点的等效波阻抗为：
1
1
1
()()
()
x
y
EzZz
Hz?
11
11
jj
1 jj
ee
ee
k z k z
k z k z
21
21
x
z
O
11, 22,
tE
tH
2v
iE
iH
1v
介质 1中的合成电磁场分别为：
11jj
1 i 0
1
1?(e e )k z k z
yH E a
11jj1 i 0?( e e )k z k z xE E a
其中：
2 1 1
11
1 2 1
j t a n()
j t a n
kdZd
kd
在 处，等效波阻抗为：zd
d
rE
rH
1v?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3 2 2
22
2 3 2
j ta n()
j ta n
kdZd
kd
在媒质 1与媒质 2的分界面处，
反射系数可表示为：
21
1
21
()
()
Zd
Zd
（ 3）三层介质情况
x
z
11, 22, 33,
dz 0?z
1iE
1iH
v
1rE
1rH
v?
2iE
2iH
v
3tE
3tH
v
2rE
2rH
v?
在 分界面处，zd
等效波阻抗为：
可见：
一定厚度的介质插入另两种介质中间，可起到阻抗变换作用。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 3,有一厚度为 d,本质阻抗为 2? 的介质置于本质阻抗分别为 1? 和 3? 的媒质之间，欲使均匀平面波从媒质 1 垂直入射于媒质 2 的分界面上时不发生反射。求 d 和 2? 的根据题意，要求 则,即
1 0 21()Zd
3 2 2 2
21
2 2 3 2
c o s j s in
c o s j s in
k d k d
k d k d
上式展开：
22 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2c o s j s i n c o s j s i nk d k d k d k d
已知在媒质 1与媒质 2的分界面处，反射系数可表示为
21
1
21
()
()
Zd
Zd
解：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1）当 时，要求：
13 2 πk d n?
2
2
π 1,2,3,
2
nd n n
k
对给定的工作频率，当介质层厚度为介质的半波长的整数倍时，无反射发生，因此这种介质层称为 半波介质窗 。
得：
2 3 2 1 2 2c o s c o sk d k d 22 2 1 3 2s i n s i nk d k d
2sin 0kd?
（ 2）当 时，要求：13
2c o s 0kd?
且
2 1 3
2
( 2 1 ) π
2
nkd 2( 2 1 )
4dn
得：
—— 四分之一波长阻抗变换器得：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 4） n+1层介质情况
x
z
1? 3?
0?z
1iE
1iH
1v
1rE
1rH
1v?
tE
tH
n1v?
2? n? n+1?
2d 3d
nd n+1
d
入射波反射波透射波电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3 3 2 2 2
2 2 2
2 3 3 2 2
( ) j t a n()
j ( ) t a n
Z d k dZd
Z d k d
在媒质 1与媒质 2分界面处，反射系数为：
2 2 1
1
2 2 1
()
()
Zd
Zd
1
1
j ta n()
j ta n
n n n n
n n n
n n n n
kdZd
kd
1 1 1
1 1 1
1 1 1
( ) j t a n()
j ( ) t a n
n n n n n
n n n
n n n n n
Z d k dZd
Z d k d
在第 n 层媒质中,处，等效波阻抗为：
nzd
在第 n+1 层媒质中,处，等效波阻抗为：
1nzd
在第 2 层媒质中,处，等效波阻抗为：
2zd
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波八、均匀平面波对平面边界的斜入射入射面,均匀平面波的传播方向与分界面法线所构成的平面。
斜入射,电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的入射方式。
分界面
i?
r? t?
入射面
x
z
y
O
1,概念电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波入射角,入射波的传播方向与分界面法线的夹角。
反射角,反射波的传播方向与分界面法线的夹角。 折射角,透射波的传播方向与分界面法线的夹角。
平行极化波,电场强度平行于入射面的波。
垂直极化波,电场强度垂直于入射面的波。
分界面
i?
r? t?
入射面
x
z
y
O
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
2,垂直极化波的斜入射
（ 1）入射波
1iji i 0?kl yE E e a
( ) ( c o s c o s c o s )
ii
x y z i x i y i z
l l a
x a y a z a a a a
于是：
i i ic o s c o s c o sx y z ii
π /2
i π /2
ii
iiis i n c o sl x z
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
其中：
1 i ij ( s i n c o s )i i 0?k x z yE E e a
得：
电场强度表示为：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波磁场强度为
i0
i i i
1
( c o s s i n )xzEH a a
电场强度为：
1rjr r 0?e kl yE E a
rrs i n c o sxz
反射波电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r r 0?e k x z yE E a
1 i ij ( s i n c o s )e k x z
（ 2）反射波
r r r
c o s c o s c o s
rrl l a
x y z
rrπ /2
r π /2
rrπ
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
rH
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波反射波磁场强度为：
r0
r r r
1
( c o s s i n )xzEH a a
rH
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
tE
tH
22,
11,
1 r rj ( s i n c o s )e k x z
电场强度为：
2tjt t 0?e kl yE E a
tts i n c o sxz
（ 3）折射波
t t t
c o s c o s c o s
ttl l a
x y z
ttπ /2
t π /2
tt
折射波电场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )t t 0?e k x z yE E a
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波折射波磁场强度为：
t0
t t t
2
( c o s s in )xzEH a a
2 t tj ( s i n c o s )e k x z
1 i ij ( s i n c o s )1 i 0[e k x zEE
介质 1内总的电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r0?]k x z yE e a
介质 2内总的电场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )2 t 0?e k x z yE E a
rH
iH
i?
r? t?
x
zO
iE
rE
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(4) 反射定律在 z=0的分界面上，边界条件为：
1t 2tEE?
2t1 i 1 r j s i nj s i n j s i ni 0 r 0 t 0e e e kxk x k xE E E
对任意 x值成立，当 x=0时：
i 0 r 0 t 0E E E
2 t 2 t1 i 1 rj s i n j s i nj s i n j s i ni 0 r 0( e e ) ( e e ) 0k x k xk x k xEE
由于 欲使上式对任意 x都成立，则有
i 0 r 0EE?
1 i 2 t 1 rs i n s i n s i nk x k x k x
ri
斯涅耳反射定律,入射角等于反射角。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
1 i 2 ts i n s i nk x k x
t 1 2 1 1
i 2 1 2 2
s i n
s i n
kv
kv
,分别为均匀平面波在介质 1和介质 2中的波速。
1v 2v
对非铁磁性材料有：
1 2 0
1
2
sin
sin
t
i
该式称为 斯涅耳折射定律 。
由：
得：
所以：
（ 5）折 射定律电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
(6) 反射系数和折射系数
1 t 2 tHH?
2t1i j s i nj s i n ti
i 0 r 0 t 0
12
c o sc o s( ) e e kxkxE E E
1 i 2 ts i n s i nkk
ti
i 0 r 0 t 0
12
c o sc o s()E E E
i 0 r 0 t 0E E E
2 i 1 t
r 0 i 0
2 i 1 t
c o s c o s
c o s c o sEE
2i
t 0 i 0
2 i 1 t
2 c o s
c o s c o sEE
得：
根据边界条件，在 分界面处，磁场强度切向分量连续，
即：
0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
0 2 1
0 2 1
c o s c o s
c o s c o s
r i t
i i t
E
E
02
0 2 1
2 c o s
c o s c o s
ti
i i t
ET
E
上两式也称为 垂直极化波的费涅耳公式反射系数：
折射系数：
若利用等效阻抗法推导反射系数和折射系数介质 1的等效波阻抗为：
i 1
1
iic o s
y
x
EZ
H
介质 2的等效波阻抗为：
t 2
2
ttc o s
y
x
EZ
H
21
21
ZZ
ZZ
2
21
2 ZT
ZZ
则：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波例 4:一角频率为 的均匀平面波由空气向理想导体平面斜入射，入射角为,入射电场强度振幅为 10V/m,电场矢量和入射面垂直，求,(1)空气中总的电场强度和磁场强度；
(2)边界面上的感应电流密度； (3)波在空气中的平均坡印廷矢量。
i?
r?
x
zO
iE
iH
rE
rH
00,
解,选择如图坐标系由反射定律可知：
ri
2 i 1 t
2 i 1 t
c o s c o s
c o s c o s
1 0 2120 π,0
1
已知：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
k c
其中：
反射波电磁场分别为：
j ( s i n c o s )r?10e k x z yEa
j ( s in c os )
r
1( c os sin ) e
12 π
k x z
xzH a a
j ( s i n c o s )i?10e k x z yEa
i
j ( s in c o s )
1
( c o s sin )
12 π
e
xz
k x z
H a a
入射波 电磁场分别 为：
i?
r?
x
zO
iE
iH
rE
rH
00,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 1）空气中总电场强度和磁场强度分别为：
1 i rE E E
j s i n?j 2 0 s i n ( c o s ) e kx yk z a
1 i rH H H
j sin
j sin
1
c os c os( c os ) e
6 π
1
si n si n( c os ) e
6 π
kx
x
kx
z
k z a
j k z a
j s i n j c o s j c o s?1 0 e ( e e )k x k z k z ya
请问：总场沿什么方向传播？
相位常数是多少？
相速是多大？
x方 向传播
sink
pv
sink
sin
c
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
11?SzJ n H a H j si n1?c o s e
6 π
kx
ya
1 irH H H
si n
si n
1
cos cos ( cos )
6
1
s i n s i n ( cos )
6
j k x
x
j k x
z
kz e a
j kz e a
（ 3）波在空气中的平均坡印廷矢量：
*
a v 1 1
1 R e ( )
2S E H
25?sin sin ( c o s )
3 π xk z a
c
pv
gv
pgv c v
相速为什么大于光速？
2pgv v c?
z
x
（ 2） 在 的理想导体边界上，感应电流密度为：0z?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
3,平行极化的斜入射入射波磁场强度为,
1 i ij ( s i n c o s )i0
i
1
e k x z yEHa
入射波电场强度为：
1 i ij ( s i n c o s )i i 0 i i( c o s s i n ) e k x zxzE E a a
反射波磁场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r0
r
1
e k x z yEHa
反射波电场强度为：
1 r rj ( s i n c o s )r r 0 r r( c o s s i n ) e k x zxzE E a a
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波在媒质 2中，折射波磁场强度为：
2 t tj ( s i n c o s )t0
t
2
e k x z yEHa
折射波电场强度为：
2 t t
t t 0 t t
j ( s i n c o s )
( c o s s i n )
e
xz
k x z
E E a a
根据分界面上的边界条件：
r 0 1 i 2 t
//
i 0 1 i 2 t
c o s c o s
c o s c o s
E
E
t0 2i
//
i 0 1 i 2 t
2 c o s
c o s c o s
ET
E
上两式也称为 平行极化波的费涅耳公式
i?
r? t?
x
zO
iE
iH
rE
rH
tE
tH
22,
11,
1 t 2 t 1 t 2 t,E E H H
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
4,波的全反射现象由折射定律可知：
当 时，必然有 。1 1 2 2
ti
临界角如果入射角增大到某个角度时，恰好使,则：o90
t
12
22
c
11
a r c si n
t 11
i 2 2
s in
s in
o
11
c 2 2
s in 9 0
s in
2
c
1
a rc s i n
全反射,当 时，介质 2中没有透射波的现象。
ic
i?
t?
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波当 时，有,
此时 不是实数角，而是复数角。
ic tsin 1
t?
则
21
ti
2
c o s j s in 1
211
2 i 2 i
22
s in 1 j s in
t t0?ee
k z k x
yE E a
该式表明：当 时，透射波在分界面上沿 x方向以行波传播，而沿 z方向按指数规律快速衰减。这种在 z方向衰减而沿分界面方向传播的波称为 表面波。
ic
讨论：
t?
c?
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
5,波的全透射现象全透射,当入射波以某一角度入射时，入射波在分界面处全部透射于第二种媒质中，不发生反射的现象。
（ 1） 对平行极化波的情况：
1 i 2 t
//
1 i 2 t
c o s c o s 0
c o s c o s
1 B 2 tc o s c o s
布儒斯特角或偏振角
1 2 0
2
tB
1
co s co s
若
1
tB
2
s i n s i n
2 2
B
12
sin
2
B
12
a rc s i n
2
B
1
a r c s i n
或：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
（ 2）对垂直极化波的情况
2 i 1 t
2 i 1 t
c o s c o s 0
c o s c o s
t 1
i2
cos
cos
t 1
i2
sin
sin
it
但由于,因此 。
12 it
2 i 1 tc o s c o s 0
结论,垂直极化波斜入射时，不可能发生全透射现象。
请问：
一圆极化波布儒斯特角斜入射时，反射波是什么极化方式？
折射定律：
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波九、电磁波的应用
在发现电磁波不到 6年，利用电磁波的技术，如雨后春笋般相继问世。
无线电报（ 1894年）
无线电广播（ 1906年）
无线电导航（ 1911年）
无线电话（ 1916年）
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波
短波通信（ 1921年）
无线电传真（ 1923年）
电视（ 1929年）
微波通信（ 1933年）
雷达（ 1935年）
遥控、遥感、卫星通信、
射电天文学 …… 它们使整个世界面貌发生了深刻的变化。
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波微波通信微波加热电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波移动通信电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波卫星通信电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波卫星测控、遥感、微波成像卫星地面测控站电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波射电天文射电望远镜微波武器电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波雷达系统电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波电磁波频谱的划分频段 波长范围 频率范围极高频 (EHF) 0.1~1 cm 30 ~ 300 GHz
特高频 (SHF) 1 ~ 10 cm 3 ~ 30 GHz
超高频 (UHF) 10 ~ 100 cm 0.3 ~ 3 GHz
甚高频 (VHF) 1 ~ 10 m 30 ~ 300 MHz
高频 (HF) 10 ~ 100 m 3 ~ 30 MHz
中频 (MF) 0.1 ~ 1 km 0.3 ~ 3 MHz
低频 (LF) 1 ~ 10 km 30 ~ 300 kHz
甚低频 (VLF) 10 ~ 100 km 3 ~ 30 kHz
超低频 (ULF) 0.1 ~ 1 Mm 0.3 ~ 3 kHz
特低频 (SLF) 1 ~ 10 Mm 30 ~ 300 Hz
极低频 (ELF) 10 ~ 100 Mm 3 ~ 30 Hz
电磁场与电磁波 第 6章 平面电磁波射频电磁场下人体的安全水平标准
IEEE/ANSI 标准给出频率为 90 MHz~300 GHz的射频电磁场下电磁功率面密度限定值如下：
90~300 MHz,0.2 mW/cm2；
300~12500 MHz,f /1250 mW/cm2（ f单位为 MHz）；
12.5 ~300 GHz,10 mW/cm2。
