电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析第 4章 静态场分析静态场的工程应用一、静态场特性二、泊松方程和拉普拉斯方程三、静态场的重要原理和定理四、镜像法五、分离变量法六、复变函数法电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析喷墨打印机工作原理选矿器硫酸盐矿 石英含石英硫酸盐矿静态场的工程应用电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析均匀电场中带电粒子的轨迹阴极射线示波器原理电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析磁分离器回旋加速器电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析磁悬浮列车电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析磁录音原理：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析一、静态场特性
1,静态场基本概念
– 静态场 是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
– 静态场包括 静电场,恒定电场 及 恒定磁场,它们是时变电磁场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。
0,0,0VDBt t t
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
c
c
dd
d0
dd
d0
d0
lS
l
V
SV
S
S
H l J S
El
D S V
BS
JS
c
c
0
0
0
V
HJ
E
D
B
J
2,静态场的麦克斯韦方程组
– 静态场与时变场的最本质区别,静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
1,静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程
E
VDE
() V 2 V
2 0
静电场基本方程
d0
dd
l
VSV
El
D S V?
0
V
E
D?
DE
—— 静电场是有散 (有源 )无旋场，是保守场。
—— 泊松方程
—— 拉普拉斯方程
0
无源区域电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,恒定电场的拉普拉斯方程
E
c 0JE
( ) 0
2 0
恒定电场基本方程
c
d0
d0
l
S
El
JS
0
0
E
J
cJE
—— 导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，
是保守场
—— 拉普拉斯方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,恒定磁场的矢量泊松方程
BA
cB H J
cAJ
2 c()A A A J0A
洛仑兹规范
—— 矢量泊松方程2
cAJ
cdd
d0
lS
S
H l J S
BS
c
0
HJ
B
BH
恒定磁场基本方程
—— 恒定磁场是无散有旋场。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2 0A
—— 矢量拉普拉斯方程
mH
0H
注意：
标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。
2 m 0
c 0J?
2
2
2
xx
yy
zz
AJ
AJ
AJ
2 cAJ
分解在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有 位场的性质，引入 标量磁位 来表示磁场强度。即
mHm?
—— 标量拉普拉斯方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2?
222
2
2 2 2x y z
22
2
2 2 2
11()r
r r r r z
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i nRR R R R R
拉普拉斯算子直角坐标系圆柱坐标系球坐标系电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析三、静态场的重要原理和定理
1,对偶原理
(1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是 对偶原理,亦称为 二重性原理 。具有同样数学形式的两个方程称为 对偶方程,在对偶方程中，处于同等地位的量称为 对偶量 。
静电场 (无源区域 ) 恒定电场 (电源外区域 )
0E 0E
E E
0D c 0J
DE JE
2 0 2 0
dSq D S c dSI J S
(2)静电场与恒定电场
对偶方程
对偶量电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3)静电场与恒定磁场
对偶方程
对偶量
(4)有源情况下的对偶关系
对偶关系存在
不像上述两种情况那样一目了然
(5)应用
电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，
某些波导中横电波 (TE波 )和横磁波 (TM波 )间的对偶关系静电场 (无源区域 ) 恒定磁场 (无源区域 )
0E 0H
0D 0B
DE BH
2 0 2 m 0
dSq D S dm Sq B S
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2R
1R
例 1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和,如图所示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为,
外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
1R 2R
U
解,根据轴对称的特点和无限长的假设，
可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
采用圆柱坐标系
1 ( ) 0r
r r r
lnA r B积分由边界条件 1lnU A R B
20 lnA R B
2
11
22
ln
l n l n
UUA B R
RR
RR
2
2
1
ln
ln
RU
R r
R
则：
E
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,(1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致,利用对偶原理,可以立即得到
2
2
2
1
ln
ln
RU
R r
R
2
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
2
1
2
1
ln
ln
RU
R r
R
1
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
(2)单位长度同轴线漏电流密度为
c2
2
1
ln
r
UJ E a
Rr
R
c
2
1
2d
ln
S
UI J S
R
R
例 2,如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同“例 1”,求,(1)内外导体间的电位及电场强度。 (2)单位长度上该同轴线的漏电流。
则漏电流为
2R
1R
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,叠加定理
若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合必然满足拉普拉斯方程。
证明：
已知 和 满足拉普拉斯方程所以：
12ab
2 2 2 2
1 2 1 2
22
12
( ) ( ) ( )a b a b
ab
2212 0
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。
1? 2? 1? 2?
2?1?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,惟一性定理
边值问题的分类
狄利克雷问题,给定整个场域边界上的位函数值
聂曼问题,给定待求位函数在边界上的法向导数值
混合边值问题,给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
惟一性定理,在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
用反证法可以证明。
()fs
()fsn
12( ) ( )f s f sn
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析四、镜像法
镜像法概念,在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，
则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为 镜像电荷,这种求解方法称为 镜像法 。
理论依据,惟一性定理是镜像法的理论依据。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。
② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
③ 实际电荷 (或电流 )和镜像电荷 (或电流 )共同作用保持原边界处的边界条件不变。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析待求场域,上半 空间边界,无限大导体平面边界条件：
1,点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
导体平面0
z
d
d
q
q?
p
x
o
1r
2r导体平面在空间的电位为点电荷 q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即
0 1 2
11
4 π
q
rr
12rr?
电位满足边界条件导体平面边界上：
0
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
E
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )x
q x xE
x y z d x y z d?
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )y
q y yE
x y z d x y z d?
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )z
q z d z dE
x y z d x y z d?
1 / 2 1 / 22 2 2 2 2 2
0
11
4 π ( ) ( )
q
x y z d x y z d
上半空间的电场强度：
电位：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
导体表面感应电荷
导体表面上感应电荷总量
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
0 2 2 2 3 / 22 π ()S n z
qdDE
x y d
2 2 2 3 / 2
dd
dd
2 π ()
SSq x y
qd
x y q
x y d
2
2
016 π
z
qFa
d?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,线电荷对无限大接地导体平面的镜像
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为
待求场域 中的电位
上半空间的电场
y x
0? l
h
0?0? o
(,,)P x y z
yh
h ll 1
r
2r
l
( 0)y? 2
01
ln2 π l rr
12
0 1 0 22 π 2 π
ll
rrE a arr
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,点电荷对无限大介质平面的镜像
12
q
11
q?q
R R?
p
d d
设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。
当待求区域为介质 1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
1
114 π 4 π
qq
RR
1 224 π 4 πRR
qqD a a
RR?
介质 1中任一点的电位和电位移矢量分别为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
22
qq
p
R
当待求区域为介质 2所在区域时，
设一镜像电荷 q″位于区域 1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质 2。于是区域 2中任一点的电位和电位移矢量分别为：
2
24 π
qq
R
2 2
4 π RqqDaR
在分界面 (R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：
12 12nnDD?
12
q q q q
q q q q
12
12
q q q
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析电介质中的电场分布：
12 11
12
12
qq 12
12
qq
q?qq qq
22
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
4,线电流对无限大磁介质平面的镜像
当计算上半空间的磁场时
可认为整个空间充满磁导率为 μ1的磁介质，
在下半空间有一镜像电流 I′,与 I关于分界面对称 (如图所示 )。上半空间任一点的磁场为
1 2 π 2 π
IIH a a
rr
设想用镜像电流代替磁化电流的作用，
并在界面上保持原有边界条件不变电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
当计算下半空间磁场时
可认为整个空间充满磁导率为 μ2的磁介质，在上半空间有一镜像电流 I″,与电流 I 位置重合 (如图 )。下半空间任一点的磁场为
在分界面 (r = r′= r″)上，磁场满足边界条件：
1t 2tHH? 1n 2nBB?
1t si n si n2 π 2 π
IIH
rr
11
1n c o s c o s2 π 2 π
IIB
rr
2t sin2 π
IIH
r?
2
2n
() c o s
2 π
IIB
r
21
21
I I I
2 2 π
IIHa
r
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析讨论：
21
21
I I I
(1) 当 时,,说明 与 方向相同，
与 方向相反。
21 0,0II I? I
I I
(2) 当 时,,说明 与 方向相反，
与 方向相同。
21 0,0II I? I
I I
22
1 2 1
2 2 2 2
12
1l i m l i m ( )
2 π π
IB H I I
rr
(3) 当 有限 时,,此时铁磁质中但 。
1? 2
2 0B?
,I I I I
2 0H?
(4) 当 有限 时,,此时 中磁场为原来的两倍。
2?2? 1,I I I I
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
II
21
21
II
上半空间的磁场：当 有限 时,
1? 2
磁壁电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
II
2
上半空间的磁场：当 有限 时,
1? 2
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
5,点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解
当 n=2时：
该角域外有 3个镜像电荷 q1,q2和 q3,位置如图所示。其中
π,n
n
1 2 3,,q q q q q q
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
当 n=3时：
角域夹角为 π/n,n为整数时，有 (2n－ 1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；
当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
角域外有 5个镜像电荷，
大小和位置如图所示。
所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。
π( 2 ),1,2,,( 1 )
(2 π )
m m n
n
及
π3
q
π3
q
q
q
q?
q?q?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
6,点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷 q位于半径 a 为的 接地导体球 附近，与球心的距离为 d，如图所示。待求场域为 r >a区域，边界条件为导体球面上电位为零。
a
d
q
a
d
qq?
设想在待求场域之外有一镜像电荷 q′，位置如图所示。
根据镜像法原理,q 和 q′在球面上的电位为零。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析点电荷与接地导体球周围的电场
a
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0 1 2
1 ( ) 0
4 πc
qq
rr
2
1
rq
qr
q a b
q d a
q a b
q d a
aqq
d
2a
b d?
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
qa
r d r d d r d r a a
a
d
qq?
c
1r
2r
b
在球面上任取一点 c，则
MN
(,)r
空间任意点 的电位：(,)r?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析导体球不接地：
aqq
d
2a
b d?
aq q q
d
a
—
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
导体球不接地,根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷
q″= － q′ a
b
qq?(,,)rpr2 1 qd
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
q a a
r d r d d r d r a a d r
004 π 4 π
qq
ad
球外任一点电位：
球面上任一点电位：
为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷 q″应 位于球心处 。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 3,有一接地导体球壳，内外半径分别为 a1和 a2，在球壳内外各有一点电荷 q1和 q2,与球心距离分别为 d1和 d2,如图所示。
求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
球壳外,边界为 r = a2的导体球面，边界条件为
根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为
球壳外区域任一点电位为
2
a
2
d
2
q
o
2
b
2q? 1rr2 (,,)r
2(,,) 0a
2
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0 2 2 2 2 2 2
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
aq
r d r d d r d r a a
外
2q?
2
2
2
2
ab
d?
2
22
2
aqq
d
2a
2d
2q1q
1a
1d
解：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
球壳内,边界为 r = a1的导体球面，
边界条件为
根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为
球壳内区域任一点电位为
球壳中：
球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
1(,,) 0a
1q?
2
1
1
1
ab
d?
1
11
1
aqq
d
2 2 1 / 2
0 1 1
1
2 2 2 4 1 / 2
1 1 1 1
1
4 π ( 2 c os )
( 2 c os )
q
r d r d
a
d r d ra a
内
用镜像法解题时，一定要注意 待求区域 及其 边界条件,对边界以外的情况不予考虑。
1
a
1
d
1
q
1
q
1
b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
7,线电荷对导体圆柱面的镜像
待求区域：
边界条件：柱面上电位为零
设想镜像线电荷 位于对称面上，
且与圆柱轴线距离为 b，则导体柱面上任一点的电位表示为其中：
ra?
l
12
00
l n l n2 π 2 πllrr面
221 2 co sr a d a d
222 2 c o sr a b a b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
00
l n ( ) l n ( )2 π 2 πllM d a a b
00
l n ( ) l n ( )2 π 2 πllN d a a b
ll
2
01
ln2 π l r cr
221 2 c osr r d dr
222 2 c osr r b br
2a
b d?
两平行线电荷的电位分布
在柱面上取两个特殊点 M和 N，则空间电位为：
其中：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
8,带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，
线电荷密度分别为 和,其位置如图所示。l?
l
l l?ab d l l?x
y 1r2rc c
1x2x
其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析两电轴在空间产生的电位为等位面方程为
2
01
ln2 π l rr
22
2
22
1
()
()
x c yr k
r x c y
2
2 2 2
22
12( ) ( )
11
k c kx c y
kk
2
1
1 2
1
1
1
kxc
k
1
2
1
2
1
cka
k
2
2
2 2
2
1
1
kxc
k
2
2
2
2
1
ckb
k
2 2 2
1 2
a b dx
d
2 2 2
2 2
a b dx
d
221c x a
通常把这两个等效的线电荷称为 电轴,该方法也称为 电轴法
12x x d
2 2 21x c a
2 2 22x c b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 4,图为一偏心电缆，内导体半径为 a，外导体半径为 b，两几何轴线间距离为 d，求两等效电轴的位置。
只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。
根据电轴法
两等效电轴的位置分别位于（ c,0）和（－ c,0）处。
2 2 21x b c
2 2 22x a c
12d x x
2 2 2
1 2
d b ax
d
2 2 2
2 2
d a bx
d
221c x b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析五、分离变量法
理论基础
惟一性定理
分离变量法的 主要步骤
① 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。
② 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。
③ 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
1,直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法
本征方程的求解
(1)当 时
22
22 0xy
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
1 d ( ) 1 d ( ) 0
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
本征函数
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
22 0xykk
0xykk
0 1 0 2 0()X x A x A
0 1 0 2 0()Y y B y B
1 1 0 2 0 1 0 2 0(,) ( ) ( )x y A x A B y B
本征方程
本征值电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2 1 2 1 2
1
(,) ( c o s s i n ) ( c o s h s i n h )m m m m m m m m
m
x y A k x A k x B k y B k y?
(2)当 时，设2 0
xk? ( 1,2,,)xmk k m
jj12( ) e emmk x k xm m mX x A A
12( ) e emmk y k ym m mY y B B
或
2
2
2
d ( ) ()
d m
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ()
d m
Yy k Y y
y?
22 0xykk
由
ymk jk?
本征方程为：
则：
12( ) c o s s i n
( ) c o s h s i n h
m m m m m
m m m m m
X x A k x A k x
Y y B k y B k y
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3 1 2 1 2
1
(,) ( c o s h s i n h )( c o s s i n )m m m m m m m m
m
x y A k x A k x B k y B k y?
12( ) e emmk x k xm m mX x A A
jj12( ) e emmk y k ym m mY y B B
12( ) c o s h s in h
( ) c o s s in
m m m m m
m m m m m
X x A k x A k x
Y y B k y B k y
(3)当 时，设
2 0xk? j ( 1,2,,)xmk k m
22 0xykk
由
ymkk
2
2
2
d ( ) ()
d m
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ()
d m
Yy k Y y
y
本征方程为：
或则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的 通解
1 0 2 0 1 0 2 0
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
(,) ( ) ( )
c o s s in c o s h s in h
c o s h s in h c o s s in
m m m m m m m m
m
m m m m m m m m
m
x y A x A B y B
A k x A k x B k y B k y
A k x A k x B k y B k y
三种解的特点：
第一种解中,X(x)和 Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；
第二种解中,X(x)为三角函数，有多个零点,Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；
第三种解中,X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而 Y(y)为三角函数，有多个零点。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,选直角坐标系,电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件：
例 5,一接地金属槽如图所示,其侧壁和底壁电位均为零,顶盖与侧壁绝缘,其电位为 U0,求槽内电位分布 。
22
22 0 ( 1 )xy
0
0 0 0 ( 2 )
0 0 ( 3 )
0 0 0 ( 4 )
0 ( 5 )
x y b
x a y b
y x a
U y b x a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析设,代入式 (1)
中得,
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
1 d ( ) 1 d ( ) 0
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
22 0xykk
( ) s i nmmX x A k x?
s in 0mka? π ( 1,2,,)
m
mkm
a
根据边界条件 (2)与 (3)可知，函数 X(x)沿 x方向有 两个零点,因此 X(x)应为 三角函数 形式，又因为 X(0) =0，所以 X(x)应选取 正弦 函数，即由边界条件 (3)得：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析对应的 Y(y)函数为双曲函数，且 Y(0)=0，于是 Y(y)的形式为
π( ) s in h ( )
m
mY y B y
a?
此时，电位可表示为由边界条件 (5)知其中：
1
π π(,) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmx y C x y
aa?
0
11
π π πs i n ( ) s i n h ( ) s i n ( )
mm
mm
m m mU C x b C x
a a a
πs i n h ( )
mm
mC C b
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0
1
πs i n ( )
m
m
mU C x
a
000
1
π π πs i n ( ) d s i n ( ) s i n ( ) daa
m
m
n m nU x x C x x x
a a a
2
001
π π πs i n ( ) s i n ( ) d s i n ( )d
2
aa n
mn
m
aCm n nC x x x C x x
a a a
0
00
2πsin d ( 1,3,5,)
π
a aUnU x x n
an
对上式两边同乘以,再对 x从 0到 a进行积分，即πsin( )n x
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
04 ( 1,3,5,)
πn
UCn
n
04 ( 1,3,5,)
ππ s i n h ( )n
UCn
nnb
a
0
1,3,
4 π π(,) si n( ) si nh ( )
ππ si nh ( )m
U mmx y x y
m aamb
a
满足边界条件的特解为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 6,一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。
12
0
0
1V3 π1 0 0 s i n y
b?
a
b
x
y
o
解,从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，
将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令
1 0
1 0
11V
1 0
a
b
x
y
o
2 0
2 0
2 0
2
3 π1 0 0 s in y
b?
a
b
x
y
o
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(1)求,
1(,)xy?
1
1
π π(,) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmx y C y x
bb?
14
ππ s i n h ( )m
VC
mma
b
22
11
22 0xy
1
1
1
11
0 0 0
00
0 0 0
0
y x a
y b x a
x y b
V x a y b
1 0
1 0
11V
1 0
a
b
x
y
o
类似于,例 5” 求解过程，
形式为：
1(,)xy?
由非零边界条件确定
mC
0
1
1,3,
4 π π(,) si n( ) si nh ( )
ππ si nh ( )m
V mmx y y x
m bbma
b
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
1
π π(,) s i n ( ) s i n h [ ( ) ]
m
m
mmx y D y a x
bb?
1
3 π π π1 0 0 s i n ( ) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmy D y a
b b b
22
22 0
xy
2
2
2
2
0 0 0
00
00
3 π
1 0 0 s in ( ) 0 0
y x a
y b x a
x a y b
y x y b
b
2
1 0 0 3 π 3 π(,) s i n ( ) s i n h [ ( ) ]
3 πs i n h ( )x y y a xbba
b
可见，当 m≠3时，
当 m＝ 3时：
0mD?
3
3 π100 / si nh ( )Da
b?
(2)求,
2(,)xy?
其解为：
由非零边界条件得
2 0
2 0
2 0
2
3 π1 0 0 s in y
b?
a
b
x
y
o
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法
222
2 2 2 0x y z
(,,) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 2
1 d 1 d 1 d 0
d d d
X Y Z
X x Y y Z z
根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
2
2
2
1 d ( )
( ) d z
Zz k
Z z z
222 0x y zkkk
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表 4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实数。(,,)x y z?
mk nk
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件
0x y
za bc
0
00V
0
0
222
2 2 2 0x y z
例 7,求图示长方形体积内的电位函数。
0
0 0 0,0
0 0,0
0 0 0,0
0 0,0
0 0 0,0
0,0
x y b z c
x a y b z c
y x a z c
y b x a z c
z x a y b
V z c x a y b
由边界条件可以判断，
特征函数可表示为：
( ) s i nmmX x A k x?
( ) s i nnnY y B k y?
( ) s i n hm n m nZ z C k z?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(,,) 0a y z s in 0mka? π 1,2,3,m mkm
a
(,,) 0x b z sin 0nkb? π 1,2,3,
n
nkn
b
由边界条件可得：
11
(,,) s i n ( ) s i n ( ) s i n h ( )m n m n m n
nm
x y z D k x k y k z?
电位函数可表示为：
222 0x y zkkk
由本征值关系可得：
2 2 1 / 2π π[ ( ) ( ) ]
mn
mnk
ab
22
11
π π π π(,,) s i n ( ) s i n ( ) s i n h [ ( ) ( ) ]
mn
nm
m n m nx y z D x y z
a b a b?
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析最后，由最后一个边界条件得：
2 2 1 / 2
0
11
π π π πs i n ( ) s i n ( ) s i n h [ ( ) ( ) ]
mn
nm
m n m nV D x y c
a b a b
上式两端同乘以,并对 x,y积分，
利用三角函数正交性可得：
π πsin ( ) sin ( )stxy
ab
0
2 2 2 1 / 2
16 1,3,5,; 1,3,5,
π ππ s i n h [ ( ) ( ) ]mn
VD m n
mnm n c
ab
于是所求的电位函数为：
0
2 2 2 1 / 21,3,5,1,3,5,
2 2 1 / 2
16
(,,)
π π
π s in h [ ( ) ( ) ]
π π π π
s in ( ) s in ( ) s in h [ ( ) ( ) ]
nm
V
x y z
mn
m n c
ab
m n m n
x y z
a b a b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,圆柱坐标系中的分离变量法
22
2 2 2
11( ) 0r
r r r r z
(,,) ( ) ( ) ( )r z R r Z z
22
2
22
d d 1 d 1 d( ) 0
d d d d
r R Zrr
R r r Z z
2
2
2
1d
d n
2
2
2
1d
d z
Z k
Zz?
2
2
2
1 d d( ) ( ) 0
dd z
Rnrk
r R r r r
该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
( ) c o s h s i n hm m m mZ z C k z D k z
的解：
00( ) A B
( ) c o s s i nnnA n B n
2 0n?(1) 当 时，
2 0n?(2) 当 时，
( ) ( 2 π )由于,限定了 n必须为正整数。
00()Z z C z D
( ) c o s s i nm m m mZ z C k z D k z
，2 0
zk? jzmkk? mk
(2) 当 时，设 为任意非零实数。
2 0zk?
zmkk mk?
(3) 当 时，设,为任意非零实数。
2 0zk? 时，(1) 当
2
2
2
1d
d n?
的 解,2 2
2
1d
d z
Z k
Zz?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
2
2
1 d d( ) ( ) 0
dd z
Rnrk
r R r r r
的解
2
2 2 2
2
dd [ ( ) ] 0
dd z
RRr r k r n R
rr
0 0 0 0( ) ( ) ( )zzR r A J k r B N k r
2 0n?(1)当 时，方程化简为 零阶贝塞尔方程，其解的形式为
() nnnnR r A r B r
2 0zk?(2)当 时，方程化简为 欧拉方程，其解的形式为
( ) l nR r A r B
( ) ( ) ( )n n z n n zR r A J k r B N k r
22 0znk(3)当 时，方程 的解为
220,0znk(4) 当 时，方程的解为
—— n阶贝塞尔方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 8,在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。
解,按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而
0 ( 0 )E r a
( ) c o snAn
() nnnnR r C r D r
1
(,) c o s ( )nnn n n
n
r A n C r D r
2 0n? ()根据题意可确定,的形式为
220,0zkn ()Rr当 时，对应的 函数的形式为
(,)r于是，电位 的形式为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，
电场仍然保持均匀状态。
0 xE E a?
由 得相应的电位函数为：E
00(,) | c o srr E x E r
1
0(,) ( ) c o s
Dr E r
r
未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场
1n? 1 1 0A C E比较上两式可知，当 时，
2n? 0
nA?
当 时，
于是：
1
(,) c o s ( )nnn n n
n
r A n C r D r
已知：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
0 2( 1 ) c o sr
aEE
rr
2
0 2( 1 ) s i n
aEE
rr?
m a x 02EE?
E根据,得到
,0,πr a r a及可见，在 处，电场强度最大。
2
0(,) ( ) c o s (,0 2 π )
ar E r a r
r
故圆柱体外部空间的电位为
1
0(,) ( ) c o s 0
Da E a
a
1 0Da
a
21Da
边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即于是电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
4,球坐标系中的分离变量法
2
2
2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n ) 0
s i n s i nrr r r r r
(,,) ( ) ( ) ( )r R r
22
2
2
s i n d d s i n d d 1 d( ) ( s i n ) 0
d d d d d
Rr
R r r
2
2
2
1d
d m?
21 d d( ) ( 1 )
dd
Rr n n
R r r
2
2
1 d d( s i n ) ( 1 ) 0
s i n d d s i n
mnn?
该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0,
2 0m? () A
2 0n? 100()R r A B r
2 0n? ( 1 )() nn
nnR r A r B r
2 0n?
(1) 时，
(2) 时，
的情况不存在。
当电位与方位角无关时，
即：
2
2
2
1d
d m
■ 的解
■ 的解
21 d d( ) ( 1 )
dd
Rr n n
R r r
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0 π nQ当 或 时,是发散的。 而电位应为有限值，所以
nQΦ的解中不含有 项。
( 1 )
0
(,) [ ] ( c o s )nnn n n
n
r A r B r P
(,)r通过以上分析，电位 的通解为
nA nB
和 根据给定的边界条件来确定。
2 0n? 0 0 0 0( ) ( c o s ) ( c o s )A P B Q
2 0n? ( ) ( c o s ) ( c o s )n n n nA P B Q
(1) 时，
(2) 时，
—— 勒让德方程1 d d
( sin ) ( 1 ) 0sin d d nn
2
2
1 d d( s in ) ( 1 ) 0
s in d d s in
mnn
■ 的解电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析六、复变函数法
利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。
利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。
利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为 复变函数法 。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
复变函数：自变量为复数的函数。
( ) (,) j (,)W z u x y v x y
解析函数
uv
xy
uv
yx
柯西 — 黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件。
1,复变函数的性质柯西 — 黎曼条件：
自变量 jz x y
----复变函数
1uv
rr?
1vu
rr?
或电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
复变函数的几个重要性质
（ 1）复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程。
uv
xy
uv
yx
柯西 — 黎曼条件：
22
2
uv
x y x
22
2
uv
y x y
可见,22
22 0
uu
xy
同理,22
22 0
vv
xy
柱坐标中：
2
22
11( ) 0uur
r r r r?
2
22
11( ) 0vvr
r r r r?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
（ 2）在坐标变量为 x及 y的复平面 z上，解析函数 W(z)的实部
u(x,y)等于常数的曲线与虚部 v(x,y)等于常数的曲线处处正交。
令：
1,2(,) (,)u x y C v x y C
对这两条曲线求梯度,
xy
uuu a a
xy
xyvvv a axy
可见：
0u v u v u u u uuv x x y y x y y x
说明,u(x,y)等于常数的曲线与虚部 v(x,y)等于常数的曲线处处正交。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3) 解析函数 W(z)可将复平面 z上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为 u+jv的复平面 W上。
保角变换的含义：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,复变函数法
■ 复 (电 )位函数
( ) (,) j (,)W z u x y v x y
若已知某一解析函数 W(z)的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为 复位函数法 。
应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(1) 对数函数
( ) l nW z K z C
j
12
12
( ) l n ( e ) j
l n j
W z K r C C
K r C K C
（ ）
1lnu K r C
2v K C
实部可以视为无限长线电荷的电位函数
虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数
jz re在柱坐标系，令 则电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(2) 幂函数
() pW z k z?
jj( ) ( e ) e
c o s ( ) j s in ( )
p p p
pp
W z k r k r
k r p k r p
(,) c o s ( )pu r k r p
(,) s i n ( )pv r k r p
jz re用柱坐标系，令,则
2()W z k z?
2 / 3()W z k z?
幂函数可以表示为两个夹角为
π / p 的接地无限大导体平面间的复电位
π /2 3π /2和半无限大导体平面间的场的接地分布。
复电位分别为例：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3) 反余弦函数
c o s c o s ( j )
c o s c o s h j s i n s i n h
z k W k u v
k u v k u v
c o s c o s h s i n s i n hx k u v y k u v,
22
2
22c o s h s in h
xy k
vv
22
2
22c o s s i n
xy k
uu
( ) a r c c o s( )zWz k?
可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位
无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况
两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 9,有 Ⅰ,Ⅱ 两半无限大导电平板，其夹角为 α，在交界处互相绝缘，两板电位分别为 φ1和 φ2，如图所示。求两板间的电位函数。 0 1?
2?
Ⅱ
Ⅰ
解,根据给定的边界条件，等位面是和的两个径向辐射平面选取对数函数为复电位函数
( ) l nW z K z C
jezr
12( ) l n j (W z K r C K C )
2kC
选式中虚部为电位函数：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
21C
21K 21K
21 1
(0 )
0（ 1） 区域：
，代入得
2当 时，,代入得故得电位函数为：
根据边界条件，
2 22KC
2π 1 122 KC
12
2 πK
21
2
2 π
2 πC
1 2 2 12 π
2 π 2 π
2π（ 2） 区域：
时，,代入得当 时，,代入得联立可得：
该区域的电位函数为：
根据边界条件，当
0 1时，当电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,保角变换法
保角变换法 就是选择合适的解析函数将 z平面上较为复杂的边界变换为 W平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解。 l
M0r?
0? x
jyo
例 10,在夹角为 α的角形区域内，线电荷的位置坐标为，如图所示。求角形区域内的位函数。
解,先进行保角变换，再结合镜像法求解。对于角形边界问题，采用幂函数进行变换。
,π /nW z n
jje,ez r W R
eennRrjj
nRr?
n
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
M?0?
l? 0Rojvul
M0r?
0? x
jyo
πRr π
Ox 边,0,r
0
0,R
0
OM 边,0,r
0,R
π
可见,z平面上的角形边界，被变换为 W平面上的无限大平面边界。
线电荷 ρl的坐标
π
00
00
π
Rr?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析在 W平面上可以用镜像法求解，镜像电荷 -ρl的坐标为 (R0,-θ0)，
电位为,
0
0
2
01
jj
0
jj
00
(,) l n
2 π
| e e |
ln
2 π | e e |
l
l
R
R
R
RR
RR
0
0
jj
0
jj
00
| e e |(,) l n
2 π | e e |
nn n n
l
nn n n
rrr
rr
z平面角形区域的电位函数：
其中,π /n
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析一、静态场特性
1,静态场基本概念
– 静态场 是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
– 静态场包括 静电场,恒定电场 及 恒定磁场,它们是时变电磁场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。
0,0,0VDBt t t
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
c
c
dd
d0
dd
d0
d0
lS
l
V
SV
S
S
H l J S
El
D S V
BS
JS
c
c
0
0
0
V
HJ
E
D
B
J
2,静态场的麦克斯韦方程组
– 静态场与时变场的最本质区别,静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
1,静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程
E
VDE
() V 2 V
2 0
静电场基本方程
d0
dd
l
VSV
El
D S V?
0
V
E
D?
DE
—— 静电场是有散 (有源 )无旋场，是保守场。
—— 泊松方程
—— 拉普拉斯方程
0
无源区域电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,恒定电场的拉普拉斯方程
E
c 0JE
( ) 0
2 0
恒定电场基本方程
c
d0
d0
l
S
El
JS
0
0
E
J
cJE
—— 导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，
是保守场
—— 拉普拉斯方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,恒定磁场的矢量泊松方程
BA
cB H J
cAJ
2 c()A A A J0A
洛仑兹规范
—— 矢量泊松方程2
cAJ
cdd
d0
lS
S
H l J S
BS
c
0
HJ
B
BH
恒定磁场基本方程
—— 恒定磁场是无散有旋场。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2 0A
—— 矢量拉普拉斯方程
mH
0H
注意：
标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。
2 m 0
c 0J?
2
2
2
xx
yy
zz
AJ
AJ
AJ
2 cAJ
分解在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有 位场的性质，引入 标量磁位 来表示磁场强度。即
mHm?
—— 标量拉普拉斯方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2?
222
2
2 2 2x y z
22
2
2 2 2
11()r
r r r r z
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i nRR R R R R
拉普拉斯算子直角坐标系圆柱坐标系球坐标系电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析三、静态场的重要原理和定理
1,对偶原理
(1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是 对偶原理,亦称为 二重性原理 。具有同样数学形式的两个方程称为 对偶方程,在对偶方程中，处于同等地位的量称为 对偶量 。
静电场 (无源区域 ) 恒定电场 (电源外区域 )
0E 0E
E E
0D c 0J
DE JE
2 0 2 0
dSq D S c dSI J S
(2)静电场与恒定电场
对偶方程
对偶量电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3)静电场与恒定磁场
对偶方程
对偶量
(4)有源情况下的对偶关系
对偶关系存在
不像上述两种情况那样一目了然
(5)应用
电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，
某些波导中横电波 (TE波 )和横磁波 (TM波 )间的对偶关系静电场 (无源区域 ) 恒定磁场 (无源区域 )
0E 0H
0D 0B
DE BH
2 0 2 m 0
dSq D S dm Sq B S
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2R
1R
例 1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和,如图所示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为,
外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
1R 2R
U
解,根据轴对称的特点和无限长的假设，
可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
采用圆柱坐标系
1 ( ) 0r
r r r
lnA r B积分由边界条件 1lnU A R B
20 lnA R B
2
11
22
ln
l n l n
UUA B R
RR
RR
2
2
1
ln
ln
RU
R r
R
则：
E
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,(1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致,利用对偶原理,可以立即得到
2
2
2
1
ln
ln
RU
R r
R
2
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
2
1
2
1
ln
ln
RU
R r
R
1
2
1
ln
r
UEa
Rr
R
(2)单位长度同轴线漏电流密度为
c2
2
1
ln
r
UJ E a
Rr
R
c
2
1
2d
ln
S
UI J S
R
R
例 2,如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同“例 1”,求,(1)内外导体间的电位及电场强度。 (2)单位长度上该同轴线的漏电流。
则漏电流为
2R
1R
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,叠加定理
若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合必然满足拉普拉斯方程。
证明：
已知 和 满足拉普拉斯方程所以：
12ab
2 2 2 2
1 2 1 2
22
12
( ) ( ) ( )a b a b
ab
2212 0
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。
1? 2? 1? 2?
2?1?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,惟一性定理
边值问题的分类
狄利克雷问题,给定整个场域边界上的位函数值
聂曼问题,给定待求位函数在边界上的法向导数值
混合边值问题,给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
惟一性定理,在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
用反证法可以证明。
()fs
()fsn
12( ) ( )f s f sn
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析四、镜像法
镜像法概念,在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，
则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为 镜像电荷,这种求解方法称为 镜像法 。
理论依据,惟一性定理是镜像法的理论依据。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。
② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
③ 实际电荷 (或电流 )和镜像电荷 (或电流 )共同作用保持原边界处的边界条件不变。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析待求场域,上半 空间边界,无限大导体平面边界条件：
1,点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
导体平面0
z
d
d
q
q?
p
x
o
1r
2r导体平面在空间的电位为点电荷 q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即
0 1 2
11
4 π
q
rr
12rr?
电位满足边界条件导体平面边界上：
0
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
E
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )x
q x xE
x y z d x y z d?
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )y
q y yE
x y z d x y z d?
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
04 π ( ) ( )z
q z d z dE
x y z d x y z d?
1 / 2 1 / 22 2 2 2 2 2
0
11
4 π ( ) ( )
q
x y z d x y z d
上半空间的电场强度：
电位：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
导体表面感应电荷
导体表面上感应电荷总量
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
0 2 2 2 3 / 22 π ()S n z
qdDE
x y d
2 2 2 3 / 2
dd
dd
2 π ()
SSq x y
qd
x y q
x y d
2
2
016 π
z
qFa
d?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,线电荷对无限大接地导体平面的镜像
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为
待求场域 中的电位
上半空间的电场
y x
0? l
h
0?0? o
(,,)P x y z
yh
h ll 1
r
2r
l
( 0)y? 2
01
ln2 π l rr
12
0 1 0 22 π 2 π
ll
rrE a arr
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,点电荷对无限大介质平面的镜像
12
q
11
q?q
R R?
p
d d
设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。
当待求区域为介质 1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
1
114 π 4 π
RR
1 224 π 4 πRR
qqD a a
RR?
介质 1中任一点的电位和电位移矢量分别为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
22
p
R
当待求区域为介质 2所在区域时，
设一镜像电荷 q″位于区域 1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质 2。于是区域 2中任一点的电位和电位移矢量分别为：
2
24 π
R
2 2
4 π RqqDaR
在分界面 (R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：
12 12nnDD?
12
q q q q
q q q q
12
12
q q q
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析电介质中的电场分布：
12 11
12
12
qq 12
12
q?qq qq
22
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
4,线电流对无限大磁介质平面的镜像
当计算上半空间的磁场时
可认为整个空间充满磁导率为 μ1的磁介质，
在下半空间有一镜像电流 I′,与 I关于分界面对称 (如图所示 )。上半空间任一点的磁场为
1 2 π 2 π
IIH a a
rr
设想用镜像电流代替磁化电流的作用，
并在界面上保持原有边界条件不变电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
当计算下半空间磁场时
可认为整个空间充满磁导率为 μ2的磁介质，在上半空间有一镜像电流 I″,与电流 I 位置重合 (如图 )。下半空间任一点的磁场为
在分界面 (r = r′= r″)上，磁场满足边界条件：
1t 2tHH? 1n 2nBB?
1t si n si n2 π 2 π
IIH
rr
11
1n c o s c o s2 π 2 π
IIB
rr
2t sin2 π
IIH
r?
2
2n
() c o s
2 π
IIB
r
21
21
I I I
2 2 π
IIHa
r
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析讨论：
21
21
I I I
(1) 当 时,,说明 与 方向相同，
与 方向相反。
21 0,0II I? I
I I
(2) 当 时,,说明 与 方向相反，
与 方向相同。
21 0,0II I? I
I I
22
1 2 1
2 2 2 2
12
1l i m l i m ( )
2 π π
IB H I I
rr
(3) 当 有限 时,,此时铁磁质中但 。
1? 2
2 0B?
,I I I I
2 0H?
(4) 当 有限 时,,此时 中磁场为原来的两倍。
2?2? 1,I I I I
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
II
21
21
II
上半空间的磁场：当 有限 时,
1? 2
磁壁电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
II
2
上半空间的磁场：当 有限 时,
1? 2
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
5,点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解
当 n=2时：
该角域外有 3个镜像电荷 q1,q2和 q3,位置如图所示。其中
π,n
n
1 2 3,,q q q q q q
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
当 n=3时：
角域夹角为 π/n,n为整数时，有 (2n－ 1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；
当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
角域外有 5个镜像电荷，
大小和位置如图所示。
所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。
π( 2 ),1,2,,( 1 )
(2 π )
m m n
n
及
π3
q
π3
q
q
q
q?
q?q?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
6,点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷 q位于半径 a 为的 接地导体球 附近，与球心的距离为 d，如图所示。待求场域为 r >a区域，边界条件为导体球面上电位为零。
a
d
q
a
d
qq?
设想在待求场域之外有一镜像电荷 q′，位置如图所示。
根据镜像法原理,q 和 q′在球面上的电位为零。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析点电荷与接地导体球周围的电场
a
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0 1 2
1 ( ) 0
4 πc
rr
2
1
rq
qr
q a b
q d a
q a b
q d a
aqq
d
2a
b d?
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
qa
r d r d d r d r a a
a
d
qq?
c
1r
2r
b
在球面上任取一点 c，则
MN
(,)r
空间任意点 的电位：(,)r?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析导体球不接地：
aqq
d
2a
b d?
aq q q
d
a
—
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
导体球不接地,根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷
q″= － q′ a
b
qq?(,,)rpr2 1 qd
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
q a a
r d r d d r d r a a d r
004 π 4 π
ad
球外任一点电位：
球面上任一点电位：
为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷 q″应 位于球心处 。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 3,有一接地导体球壳，内外半径分别为 a1和 a2，在球壳内外各有一点电荷 q1和 q2,与球心距离分别为 d1和 d2,如图所示。
求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
球壳外,边界为 r = a2的导体球面，边界条件为
根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为
球壳外区域任一点电位为
2
a
2
d
2
q
o
2
b
2q? 1rr2 (,,)r
2(,,) 0a
2
2 2 1 / 2 2 2 2 4 1 / 2
0 2 2 2 2 2 2
1
4 π ( 2 c o s ) ( 2 c o s )
aq
r d r d d r d r a a
外
2q?
2
2
2
2
ab
d?
2
22
2
aqq
d
2a
2d
2q1q
1a
1d
解：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
球壳内,边界为 r = a1的导体球面，
边界条件为
根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为
球壳内区域任一点电位为
球壳中：
球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
1(,,) 0a
1q?
2
1
1
1
ab
d?
1
11
1
aqq
d
2 2 1 / 2
0 1 1
1
2 2 2 4 1 / 2
1 1 1 1
1
4 π ( 2 c os )
( 2 c os )
q
r d r d
a
d r d ra a
内
用镜像法解题时，一定要注意 待求区域 及其 边界条件,对边界以外的情况不予考虑。
1
a
1
d
1
q
1
q
1
b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
7,线电荷对导体圆柱面的镜像
待求区域：
边界条件：柱面上电位为零
设想镜像线电荷 位于对称面上，
且与圆柱轴线距离为 b，则导体柱面上任一点的电位表示为其中：
ra?
l
12
00
l n l n2 π 2 πllrr面
221 2 co sr a d a d
222 2 c o sr a b a b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
00
l n ( ) l n ( )2 π 2 πllM d a a b
00
l n ( ) l n ( )2 π 2 πllN d a a b
ll
2
01
ln2 π l r cr
221 2 c osr r d dr
222 2 c osr r b br
2a
b d?
两平行线电荷的电位分布
在柱面上取两个特殊点 M和 N，则空间电位为：
其中：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
8,带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，
线电荷密度分别为 和,其位置如图所示。l?
l
l l?ab d l l?x
y 1r2rc c
1x2x
其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析两电轴在空间产生的电位为等位面方程为
2
01
ln2 π l rr
22
2
22
1
()
()
x c yr k
r x c y
2
2 2 2
22
12( ) ( )
11
k c kx c y
kk
2
1
1 2
1
1
1
kxc
k
1
2
1
2
1
cka
k
2
2
2 2
2
1
1
kxc
k
2
2
2
2
1
ckb
k
2 2 2
1 2
a b dx
d
2 2 2
2 2
a b dx
d
221c x a
通常把这两个等效的线电荷称为 电轴,该方法也称为 电轴法
12x x d
2 2 21x c a
2 2 22x c b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 4,图为一偏心电缆，内导体半径为 a，外导体半径为 b，两几何轴线间距离为 d，求两等效电轴的位置。
只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。
根据电轴法
两等效电轴的位置分别位于（ c,0）和（－ c,0）处。
2 2 21x b c
2 2 22x a c
12d x x
2 2 2
1 2
d b ax
d
2 2 2
2 2
d a bx
d
221c x b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析五、分离变量法
理论基础
惟一性定理
分离变量法的 主要步骤
① 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。
② 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。
③ 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
1,直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法
本征方程的求解
(1)当 时
22
22 0xy
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
1 d ( ) 1 d ( ) 0
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
本征函数
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
22 0xykk
0xykk
0 1 0 2 0()X x A x A
0 1 0 2 0()Y y B y B
1 1 0 2 0 1 0 2 0(,) ( ) ( )x y A x A B y B
本征方程
本征值电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2 1 2 1 2
1
(,) ( c o s s i n ) ( c o s h s i n h )m m m m m m m m
m
x y A k x A k x B k y B k y?
(2)当 时，设2 0
xk? ( 1,2,,)xmk k m
jj12( ) e emmk x k xm m mX x A A
12( ) e emmk y k ym m mY y B B
或
2
2
2
d ( ) ()
d m
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ()
d m
Yy k Y y
y?
22 0xykk
由
ymk jk?
本征方程为：
则：
12( ) c o s s i n
( ) c o s h s i n h
m m m m m
m m m m m
X x A k x A k x
Y y B k y B k y
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3 1 2 1 2
1
(,) ( c o s h s i n h )( c o s s i n )m m m m m m m m
m
x y A k x A k x B k y B k y?
12( ) e emmk x k xm m mX x A A
jj12( ) e emmk y k ym m mY y B B
12( ) c o s h s in h
( ) c o s s in
m m m m m
m m m m m
X x A k x A k x
Y y B k y B k y
(3)当 时，设
2 0xk? j ( 1,2,,)xmk k m
22 0xykk
由
ymkk
2
2
2
d ( ) ()
d m
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ()
d m
Yy k Y y
y
本征方程为：
或则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的 通解
1 0 2 0 1 0 2 0
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
(,) ( ) ( )
c o s s in c o s h s in h
c o s h s in h c o s s in
m m m m m m m m
m
m m m m m m m m
m
x y A x A B y B
A k x A k x B k y B k y
A k x A k x B k y B k y
三种解的特点：
第一种解中,X(x)和 Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；
第二种解中,X(x)为三角函数，有多个零点,Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；
第三种解中,X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而 Y(y)为三角函数，有多个零点。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,选直角坐标系,电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件：
例 5,一接地金属槽如图所示,其侧壁和底壁电位均为零,顶盖与侧壁绝缘,其电位为 U0,求槽内电位分布 。
22
22 0 ( 1 )xy
0
0 0 0 ( 2 )
0 0 ( 3 )
0 0 0 ( 4 )
0 ( 5 )
x y b
x a y b
y x a
U y b x a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析设,代入式 (1)
中得,
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
1 d ( ) 1 d ( ) 0
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
22 0xykk
( ) s i nmmX x A k x?
s in 0mka? π ( 1,2,,)
m
mkm
a
根据边界条件 (2)与 (3)可知，函数 X(x)沿 x方向有 两个零点,因此 X(x)应为 三角函数 形式，又因为 X(0) =0，所以 X(x)应选取 正弦 函数，即由边界条件 (3)得：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析对应的 Y(y)函数为双曲函数，且 Y(0)=0，于是 Y(y)的形式为
π( ) s in h ( )
m
mY y B y
a?
此时，电位可表示为由边界条件 (5)知其中：
1
π π(,) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmx y C x y
aa?
0
11
π π πs i n ( ) s i n h ( ) s i n ( )
mm
mm
m m mU C x b C x
a a a
πs i n h ( )
mm
mC C b
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0
1
πs i n ( )
m
m
mU C x
a
000
1
π π πs i n ( ) d s i n ( ) s i n ( ) daa
m
m
n m nU x x C x x x
a a a
2
001
π π πs i n ( ) s i n ( ) d s i n ( )d
2
aa n
mn
m
aCm n nC x x x C x x
a a a
0
00
2πsin d ( 1,3,5,)
π
a aUnU x x n
an
对上式两边同乘以,再对 x从 0到 a进行积分，即πsin( )n x
a
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
04 ( 1,3,5,)
πn
UCn
n
04 ( 1,3,5,)
ππ s i n h ( )n
UCn
nnb
a
0
1,3,
4 π π(,) si n( ) si nh ( )
ππ si nh ( )m
U mmx y x y
m aamb
a
满足边界条件的特解为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 6,一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。
12
0
0
1V3 π1 0 0 s i n y
b?
a
b
x
y
o
解,从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，
将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令
1 0
1 0
11V
1 0
a
b
x
y
o
2 0
2 0
2 0
2
3 π1 0 0 s in y
b?
a
b
x
y
o
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(1)求,
1(,)xy?
1
1
π π(,) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmx y C y x
bb?
14
ππ s i n h ( )m
VC
mma
b
22
11
22 0xy
1
1
1
11
0 0 0
00
0 0 0
0
y x a
y b x a
x y b
V x a y b
1 0
1 0
11V
1 0
a
b
x
y
o
类似于,例 5” 求解过程，
形式为：
1(,)xy?
由非零边界条件确定
mC
0
1
1,3,
4 π π(,) si n( ) si nh ( )
ππ si nh ( )m
V mmx y y x
m bbma
b
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
1
π π(,) s i n ( ) s i n h [ ( ) ]
m
m
mmx y D y a x
bb?
1
3 π π π1 0 0 s i n ( ) s i n ( ) s i n h ( )
m
m
mmy D y a
b b b
22
22 0
xy
2
2
2
2
0 0 0
00
00
3 π
1 0 0 s in ( ) 0 0
y x a
y b x a
x a y b
y x y b
b
2
1 0 0 3 π 3 π(,) s i n ( ) s i n h [ ( ) ]
3 πs i n h ( )x y y a xbba
b
可见，当 m≠3时，
当 m＝ 3时：
0mD?
3
3 π100 / si nh ( )Da
b?
(2)求,
2(,)xy?
其解为：
由非零边界条件得
2 0
2 0
2 0
2
3 π1 0 0 s in y
b?
a
b
x
y
o
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法
222
2 2 2 0x y z
(,,) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 2
1 d 1 d 1 d 0
d d d
X Y Z
X x Y y Z z
根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。
2
2
2
1 d ( )
( ) d x
Xx k
X x x
2
2
2
1 d ( )
( ) d y
Yy k
Y y y
2
2
2
1 d ( )
( ) d z
Zz k
Z z z
222 0x y zkkk
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表 4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实数。(,,)x y z?
mk nk
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析解,选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件
0x y
za bc
0
00V
0
0
222
2 2 2 0x y z
例 7,求图示长方形体积内的电位函数。
0
0 0 0,0
0 0,0
0 0 0,0
0 0,0
0 0 0,0
0,0
x y b z c
x a y b z c
y x a z c
y b x a z c
z x a y b
V z c x a y b
由边界条件可以判断，
特征函数可表示为：
( ) s i nmmX x A k x?
( ) s i nnnY y B k y?
( ) s i n hm n m nZ z C k z?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(,,) 0a y z s in 0mka? π 1,2,3,m mkm
a
(,,) 0x b z sin 0nkb? π 1,2,3,
n
nkn
b
由边界条件可得：
11
(,,) s i n ( ) s i n ( ) s i n h ( )m n m n m n
nm
x y z D k x k y k z?
电位函数可表示为：
222 0x y zkkk
由本征值关系可得：
2 2 1 / 2π π[ ( ) ( ) ]
mn
mnk
ab
22
11
π π π π(,,) s i n ( ) s i n ( ) s i n h [ ( ) ( ) ]
mn
nm
m n m nx y z D x y z
a b a b?
则：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析最后，由最后一个边界条件得：
2 2 1 / 2
0
11
π π π πs i n ( ) s i n ( ) s i n h [ ( ) ( ) ]
mn
nm
m n m nV D x y c
a b a b
上式两端同乘以,并对 x,y积分，
利用三角函数正交性可得：
π πsin ( ) sin ( )stxy
ab
0
2 2 2 1 / 2
16 1,3,5,; 1,3,5,
π ππ s i n h [ ( ) ( ) ]mn
VD m n
mnm n c
ab
于是所求的电位函数为：
0
2 2 2 1 / 21,3,5,1,3,5,
2 2 1 / 2
16
(,,)
π π
π s in h [ ( ) ( ) ]
π π π π
s in ( ) s in ( ) s in h [ ( ) ( ) ]
nm
V
x y z
mn
m n c
ab
m n m n
x y z
a b a b
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,圆柱坐标系中的分离变量法
22
2 2 2
11( ) 0r
r r r r z
(,,) ( ) ( ) ( )r z R r Z z
22
2
22
d d 1 d 1 d( ) 0
d d d d
r R Zrr
R r r Z z
2
2
2
1d
d n
2
2
2
1d
d z
Z k
Zz?
2
2
2
1 d d( ) ( ) 0
dd z
Rnrk
r R r r r
该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
( ) c o s h s i n hm m m mZ z C k z D k z
的解：
00( ) A B
( ) c o s s i nnnA n B n
2 0n?(1) 当 时，
2 0n?(2) 当 时，
( ) ( 2 π )由于,限定了 n必须为正整数。
00()Z z C z D
( ) c o s s i nm m m mZ z C k z D k z
，2 0
zk? jzmkk? mk
(2) 当 时，设 为任意非零实数。
2 0zk?
zmkk mk?
(3) 当 时，设,为任意非零实数。
2 0zk? 时，(1) 当
2
2
2
1d
d n?
的 解,2 2
2
1d
d z
Z k
Zz?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
2
2
1 d d( ) ( ) 0
dd z
Rnrk
r R r r r
的解
2
2 2 2
2
dd [ ( ) ] 0
dd z
RRr r k r n R
rr
0 0 0 0( ) ( ) ( )zzR r A J k r B N k r
2 0n?(1)当 时，方程化简为 零阶贝塞尔方程，其解的形式为
() nnnnR r A r B r
2 0zk?(2)当 时，方程化简为 欧拉方程，其解的形式为
( ) l nR r A r B
( ) ( ) ( )n n z n n zR r A J k r B N k r
22 0znk(3)当 时，方程 的解为
220,0znk(4) 当 时，方程的解为
—— n阶贝塞尔方程电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 8,在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。
解,按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而
0 ( 0 )E r a
( ) c o snAn
() nnnnR r C r D r
1
(,) c o s ( )nnn n n
n
r A n C r D r
2 0n? ()根据题意可确定,的形式为
220,0zkn ()Rr当 时，对应的 函数的形式为
(,)r于是，电位 的形式为：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，
电场仍然保持均匀状态。
0 xE E a?
由 得相应的电位函数为：E
00(,) | c o srr E x E r
1
0(,) ( ) c o s
Dr E r
r
未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场
1n? 1 1 0A C E比较上两式可知，当 时，
2n? 0
nA?
当 时，
于是：
1
(,) c o s ( )nnn n n
n
r A n C r D r
已知：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2
0 2( 1 ) c o sr
aEE
rr
2
0 2( 1 ) s i n
aEE
rr?
m a x 02EE?
E根据,得到
,0,πr a r a及可见，在 处，电场强度最大。
2
0(,) ( ) c o s (,0 2 π )
ar E r a r
r
故圆柱体外部空间的电位为
1
0(,) ( ) c o s 0
Da E a
a
1 0Da
a
21Da
边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即于是电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
4,球坐标系中的分离变量法
2
2
2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n ) 0
s i n s i nrr r r r r
(,,) ( ) ( ) ( )r R r
22
2
2
s i n d d s i n d d 1 d( ) ( s i n ) 0
d d d d d
Rr
R r r
2
2
2
1d
d m?
21 d d( ) ( 1 )
dd
Rr n n
R r r
2
2
1 d d( s i n ) ( 1 ) 0
s i n d d s i n
mnn?
该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0,
2 0m? () A
2 0n? 100()R r A B r
2 0n? ( 1 )() nn
nnR r A r B r
2 0n?
(1) 时，
(2) 时，
的情况不存在。
当电位与方位角无关时，
即：
2
2
2
1d
d m
■ 的解
■ 的解
21 d d( ) ( 1 )
dd
Rr n n
R r r
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
0 π nQ当 或 时,是发散的。 而电位应为有限值，所以
nQΦ的解中不含有 项。
( 1 )
0
(,) [ ] ( c o s )nnn n n
n
r A r B r P
(,)r通过以上分析，电位 的通解为
nA nB
和 根据给定的边界条件来确定。
2 0n? 0 0 0 0( ) ( c o s ) ( c o s )A P B Q
2 0n? ( ) ( c o s ) ( c o s )n n n nA P B Q
(1) 时，
(2) 时，
—— 勒让德方程1 d d
( sin ) ( 1 ) 0sin d d nn
2
2
1 d d( s in ) ( 1 ) 0
s in d d s in
mnn
■ 的解电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析六、复变函数法
利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。
利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。
利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为 复变函数法 。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
复变函数：自变量为复数的函数。
( ) (,) j (,)W z u x y v x y
解析函数
uv
xy
uv
yx
柯西 — 黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件。
1,复变函数的性质柯西 — 黎曼条件：
自变量 jz x y
----复变函数
1uv
rr?
1vu
rr?
或电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
复变函数的几个重要性质
（ 1）复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程。
uv
xy
uv
yx
柯西 — 黎曼条件：
22
2
uv
x y x
22
2
uv
y x y
可见,22
22 0
uu
xy
同理,22
22 0
vv
xy
柱坐标中：
2
22
11( ) 0uur
r r r r?
2
22
11( ) 0vvr
r r r r?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
（ 2）在坐标变量为 x及 y的复平面 z上，解析函数 W(z)的实部
u(x,y)等于常数的曲线与虚部 v(x,y)等于常数的曲线处处正交。
令：
1,2(,) (,)u x y C v x y C
对这两条曲线求梯度,
xy
uuu a a
xy
xyvvv a axy
可见：
0u v u v u u u uuv x x y y x y y x
说明,u(x,y)等于常数的曲线与虚部 v(x,y)等于常数的曲线处处正交。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3) 解析函数 W(z)可将复平面 z上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为 u+jv的复平面 W上。
保角变换的含义：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
2,复变函数法
■ 复 (电 )位函数
( ) (,) j (,)W z u x y v x y
若已知某一解析函数 W(z)的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为 复位函数法 。
应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数。
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(1) 对数函数
( ) l nW z K z C
j
12
12
( ) l n ( e ) j
l n j
W z K r C C
K r C K C
（ ）
1lnu K r C
2v K C
实部可以视为无限长线电荷的电位函数
虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数
jz re在柱坐标系，令 则电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(2) 幂函数
() pW z k z?
jj( ) ( e ) e
c o s ( ) j s in ( )
p p p
pp
W z k r k r
k r p k r p
(,) c o s ( )pu r k r p
(,) s i n ( )pv r k r p
jz re用柱坐标系，令,则
2()W z k z?
2 / 3()W z k z?
幂函数可以表示为两个夹角为
π / p 的接地无限大导体平面间的复电位
π /2 3π /2和半无限大导体平面间的场的接地分布。
复电位分别为例：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
(3) 反余弦函数
c o s c o s ( j )
c o s c o s h j s i n s i n h
z k W k u v
k u v k u v
c o s c o s h s i n s i n hx k u v y k u v,
22
2
22c o s h s in h
xy k
vv
22
2
22c o s s i n
xy k
uu
( ) a r c c o s( )zWz k?
可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位
无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况
两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析例 9,有 Ⅰ,Ⅱ 两半无限大导电平板，其夹角为 α，在交界处互相绝缘，两板电位分别为 φ1和 φ2，如图所示。求两板间的电位函数。 0 1?
2?
Ⅱ
Ⅰ
解,根据给定的边界条件，等位面是和的两个径向辐射平面选取对数函数为复电位函数
( ) l nW z K z C
jezr
12( ) l n j (W z K r C K C )
2kC
选式中虚部为电位函数：
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
21C
21K 21K
21 1
(0 )
0（ 1） 区域：
，代入得
2当 时，,代入得故得电位函数为：
根据边界条件，
2 22KC
2π 1 122 KC
12
2 πK
21
2
2 π
2 πC
1 2 2 12 π
2 π 2 π
2π（ 2） 区域：
时，,代入得当 时，,代入得联立可得：
该区域的电位函数为：
根据边界条件，当
0 1时，当电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
3,保角变换法
保角变换法 就是选择合适的解析函数将 z平面上较为复杂的边界变换为 W平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解。 l
M0r?
0? x
jyo
例 10,在夹角为 α的角形区域内，线电荷的位置坐标为，如图所示。求角形区域内的位函数。
解,先进行保角变换，再结合镜像法求解。对于角形边界问题，采用幂函数进行变换。
,π /nW z n
jje,ez r W R
eennRrjj
nRr?
n
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析
M?0?
l? 0Rojvul
M0r?
0? x
jyo
πRr π
Ox 边,0,r
0
0,R
0
OM 边,0,r
0,R
π
可见,z平面上的角形边界，被变换为 W平面上的无限大平面边界。
线电荷 ρl的坐标
π
00
00
π
Rr?
电磁场与电磁波 第 4章 静态场分析在 W平面上可以用镜像法求解，镜像电荷 -ρl的坐标为 (R0,-θ0)，
电位为,
0
0
2
01
jj
0
jj
00
(,) l n
2 π
| e e |
ln
2 π | e e |
l
l
R
R
R
RR
RR
0
0
jj
0
jj
00
| e e |(,) l n
2 π | e e |
nn n n
l
nn n n
rrr
rr
z平面角形区域的电位函数：
其中,π /n
