1
第八章 数字信号最佳接收原理
8.1 数字信号的统计表述设：一通信系统的最高传输频率等于 fH,接收电压用其抽样值表示 。
噪声抽样电压的一维概率密度若在一个码元期间内以 2fH的速率抽样,则共得到 k个抽样值,n1,n2,…,ni,…,nk,每个抽样值都是正态分布的随机变量,其一维概率密度可以写为式中,?n － 噪声的标准偏差；
n2 － 噪声的方差 。
2
2
2e x p2
1)(
n
i
n
i
nnf
2
噪声抽样电压的 k维联合概率密度
在一个码元时间 T 内接收的噪声平均功率：
或
将上式代入联合概率密度式，得到式中，
需要注意,f (n) 不是时间函数。 n是一个 k 维矢量，可以看作是 k 维空间中的一个点。 f (n)仅决定于该码元期间内噪声的能量 。
k
i
i
n
k
n
kkk nnfnfnfnnnf
1
2
22121 2
1e x p
2
1)()()(),,,(
k
i
i
H
k
i
i nTfnk
1
2
1
2
2
11
k
i
i
H
T n
TfdttnT 1
2
0
2
2
1)(1
T
k
n
dttnnf
0
2
0
)(1e x p
2
1)(
n
Hn fn02
)()()(),,,()( 2121 kkk nfnfnfnnnffn
T dttn0 2 )(
3
接收电压 r(t) = s(t) + n(t)的 k维联合概率密度函数：
当发送码元,0”时：
式中,r (t) － 接收信号和噪声电压之和；
s0 (t) － 发送码元,0”时的信号波形。
当发送码元,1”时：
式中,s1 (t) － 发送码元,1”时的信号波形。
dttstr
nf
T
k
n
2
0 000
)()(1e x p
2
1)(
r
dttstr
nf
T
k
n
2
0 101
)()(1e x p
2
1)(
r
4
8.2 数字信号的最佳接收准则
,最佳”的含义 － 指错误概率最小。
最佳接收的判决规则
接收矢量 r 看作是 k维空间中一点
k维空间划分为区域 A0和 A1
判决规则：
若接收矢量落在区域 A0内，则判为发送码元是,0”；
若接收矢量落在区域 A1内，则判为发送码元是,1”。
总误码率：
式中，
－ 发送,1”时,r 落在 A0的条件概率；
－ 发送,0”时,r落在 A1的条件概率。
∴
A0
A1
A A1
)0/()0()1/()1( 10 APPAPPP e
0 )()1/( 10 A dfAP rr
1 )()0/( 01 A dfAP rr
10 )()0()()1( 01 AAe dfPdfPP rrrr
5
区域 A0和 A1的划分
∵
∴ 可以改写为由于 P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间 A1中被积因子在各点上的值都最小，
则积分值才最小。这就要求在 A1内所有点上被积因子满足条件：
或者要求：
当 P(1)=P(0)时，要求 在 A1内所有点上,
∴ 当 接收矢量 r 落在 A1内时，有 f0(r)<f1(r)，按照上述判决规则，
应该判为发送码元是,1”。
1)0/()0/(,1)1/()1/( 1010 APAPAPAP 及
10 )()0()()1( 01 AAe dfPdfPP rrrr
1
11
)]()1()()0([)1(
)()0(]1)[1(
)0/()0()]1/(1)[1(
10
01
11
A
AA
e
dfPfPP
dfPdfP
APPAPPP
rrr
rrrr
0)()1()()0( 10 rr fPfP
)(
)(
)1(
)0(
0
1 rrffPP?
)()( 10 rr ff?
6
类似地，可以证明,当 接收矢量 r 落在 A0内时，有 f1(r) < f0(r)，
按照上述判决规则，应该判为发送码元是,0”。
综上所述，最佳接收准则归纳如下：
二进制系统：应将接收矢量空间划分为 A0和 A1两个区域：
在区域 A0内所有点上：
在区域 A1内所有点上：
当 P(1)=P(0)时,则要求在区域 A0内所有点上：
在区域 A1内所有点上：
对接收矢量作如下判决：当 P(1)=P(0)时若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f0(r) < f1(r)，则判发送码元是,1”。
)()0()()1( 01 rr fPfP?
)()1()()0( 10 rr fPfP?
)()( 01 rr ff?
)()( 10 rr ff?
7
8.3 确知数字信号的最佳接收机,码元等概率、等能量条件下
∵
∴ 可以改写为上式可以简化为即，若则判为,0”
若则判为,1”
dttstrnf Tkn
2
0 000 )()(
1e x p
2
1)(
r
dttstrnf Tkn 20 101 )()(1e x p2 1)(r
)()( 01 rr ff?
TT dttstrndttstrn 0 20
0
2
0 10 )()(
1e x p)()(1e x p
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
8
二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
r(t)
S1(t)
S0(t)
相乘器 积分器相乘器 积分器比较判决二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
9
8.4 确知数字信号最佳接收机的误码率
二进制等先验概率信号的误码率公式：
式中，
上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别 [s0(t)-s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。
dxeP c
x
e
2
2
2
2
1
T dttstsc 0 210 )]()([21
10
误码率的计算：首先用相关系数?表示上式中的 c
相关系数?的定义：
式中，
的取值范围：
当 s0(t) = s1(t)时,?＝ 1，为最大值；
当 s0(t) = -s1(t)时,?＝ -1，为最小值。
所以，
当 E0 = E1 = Eb时，有及
10
0 10
0
2
10
2
0
0 10
)()(
)()(
)()(
EE
dttsts
dttsdtts
dttsts
T
TT
T
T dttsE 0 200 )( T dttsE 0 211 )(
11
b
T
E
dttsts?
0 10
)()(
)1()]()([21 0 210 bT Edttstsc
11
将代入得出化简后，有式中，
－ 误差函数
－补误差函数
－ 相关系数； n0 － 噪声功率谱密度。
)1()]()([21 0 210 bT Edttstsc
dxeP c
x
e
2
2
2
2
1
dxedxeP bE
x
c
x
e
)1( 22
2
2
2
2
2
1
2
1
00 2
)1(
2
1
2
)1(1
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
x z dzexe r f 0 22)(?
)(1)( xe r fxe r fc
12
上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。
由上式可以看出：
误码率和噪声功率无直接关系，
而和噪声功率谱密度 n0有关；
误码率和信号波形无直接关系，
而和 Eb及相关系数?有关；
当? = 1时,误码率最大。
这时的误码率 Pe = 1 / 2。
当? = -1时，误码率最小。这时
－ 2PSK信号
00 2
)1(
2
1
2
)1(1
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
00 2
11
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
13
当?= 0 时，为正交信号。这时，
－ 2FSK信号
当 E0 = 0,E1 = Eb时
－ 2ASK信号
2ASK信号的性能比 2FSK信号差 3dB，而 2FSK信号又比
2PSK信号差 3dB。
由可知,E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比 PS/Pn
00 22
1
212
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
T dttsc 0 20 )]([21
00 42
1
412
1
n
Ee r f c
n
Ee r fP bb
e
n
ssssb
P
P
Bn
P
Tn
P
n
TP
n
E
0000 )/1(
14
多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，
能量也相等,则有式中,M － 进制数；
E － M进制码元能量；
n0 － 单边噪声功率谱密度。
由于一个 M进制码元中含有的比特数为 log2M，故每个比特的能量等于每比特的信噪比为当 k时,Eb/n0 = 0.693(-1.6 dB)即可无误码。
dyedxeP
y
M
n
E
y
x
e
2
1
2/1
2
2
2
0
2
2
1
2
1
1
Eb/n0
Pe
0.693
MEE b 2lo g/?
kn
E
Mn
E
n
E b
0200 lo g
15
8.5 随相数字信号的最佳接收
随相信号 － 相位因信道变化而具有随机性的信号。
设：信号 － 2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、
相位的概率密度服从均匀分布；
噪声 － 带限高斯白噪声。
信号表示式：
信号随机相位的概率密度：
)c o s (),(
)c o s (),(
1111
0000
tVts
tVts
T T bEdttsdtts0 0 121020 ),(),(
其他处,0
20,2/1)( 0
0
f
其他处,0
20,2/1)( 1
1
f
16
相关器 平 方
cos?0t 相 加相关器 平 方
sin?0t
相关器 平 方
cos?1t 相 加相关器 平 方
sin?1t
比 较r(t)
Y0
X1
Y1
X0
M02
M12
判决规则：
若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f1(r) > f0(r)，则判发送码元是,1”。
其中，
按照上述判决规则计算得出的误码率公式为
按照上述判决规则得出的方框图如右，图中：
20 00000 )/()()( dfff rr
20 11111 )/()()( dfff rr
)2/e x p (21 0nEP be
,20200 YXM,21211 YXM
T td ttrX 0 00 c o s)(?
T td ttrY 0 00 s in)(?
T td ttrX 0 11 c o s)(?
T td ttrY 0 11 s in)(?
17
8.6 起伏数字信号的最佳接收
起伏信号 － 包络随机起伏、相位随机变化的信号
设：信号 － 2FSK调制、等能量、等先验概率、
相位的概率密度服从均匀分布；
噪声 － 带限高斯白噪声
信号表示式：
式中,V0和 V1服从同一瑞利分布：
0和?1的概率密度服从均匀分布：
Vi的均方值：
)c o s (),,(
)c o s (),,(
111111
000000
tVVts
tVVts
2,1,0,2e x p)( 2
2
2
iVVVVf
i
s
i
s
i
i
2,1,20,2/1)( if ii
22 2 siEV
18
判决规则：同前若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f1(r) > f0(r)，则判发送码元是,1”。
现在
误码率计算结果：
衰落对 2FSK信号误码率的影响：
由右图可见，
当误码率等于 10-2时，
衰落使性能下降约 10 dB；
当误码率等于 10-3时，下降约 20 dB。
即，在有衰落时，
性能随误码率下降而迅速变坏。
20 0000000 00 ),/()()()( ddVVffVff rr
20 1111110 11 ),/()()()( ddVVffVff rr
)/(2
1
0nE
P e
19
rerfc21 0/21 nEerfc b
2/21 rerfc 02/21 nEerfc b
2/exp21 r02/ex p21 nE b?
4/21 rerfc 04/21 nEerfc b
实际接收机的 Pe 最佳接收机的 Pe
相干 2PSK信号 － 式 (6-4-13) － 式 (8.4-21)
相干 2FSK信号 － 式 (6-3-36) － 式 (8.4-22)
非相干 2FSK信号 － 式 (6-3-28) － 式 (8.5-27)
相干 2ASK信号 － 式 (6-2-47) － 式 (8.4-24)
8.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较
20
8.8 数字信号的匹配滤波接收原理
8.8.1 数字信号的匹配滤波接收法
匹配滤波 － 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输出信噪比最大。
设,H(f) － 接收滤波器的传输函数；
h(t) － 接收滤波器的冲激响应；
s(t) － 接收信号； S(f) － 接收信号的频谱密度；
n(t) － 高斯白噪声； Pn(f) = n0/2 － 噪声双边功率谱密度 ;
若滤波器输入码元为则线性滤波器的输出为式中，
输出噪声功率：
Tttntstx 0),()()(
)()()( tntsty oo
dfefSfHts ftjo?2)()()(
dffHndfnfHN o 2002 )(22)(
21
在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为
求 r0的最大值 － 利用施瓦茲 (Schwarz)不等式：
若成立（其中 k为整数），则上式的等号成立。
令则有当 时，上式的等号成立,r0最大。
dffH
n
dfefSfH
N
ts
r
ftj
o
o
20
2
22
0
0
)(
2
)()()( 0?
dxxfdxxfdxxfxf 2221221 )()()()(
)()( *21 xkfxf?
0221 )()(),()( ftjefSxffHxf
00
2
20
22
0
2
2
)(
)(
2
)()(
n
E
n
dffS
dffHn
dffSdffH
r
02)(*)( ftjefkSfH
22
给出最大信噪比 r0，它与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外）,故称之为匹配滤波器。
匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数 h(t)来描述：
由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号 s(t)的镜像
s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了 t0。
02)(*)( ftjefkSfH
)()()(
)(
)(
)(*)()(
00
)(2
)(2
*
2
222
0
0
0
ttksdttsk
dsdfek
dfedesk
dfeefkSdfefHth
ttfj
ttfjfj
ftjftjftj
23
匹配滤波器应该是物理可实现的，即其 h(t)应该满足条件：
即要求满足条件或满足条件
上式的条件说明：滤波器输入信号码元 s(t)在抽样时刻 t0之后必须为零。
一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选 t0 = T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为
这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的 k倍。
0,0)( tth 当
0,0)( 0 ttts 当
0,0)( ttts 当
)()( tTksth
)()()(
)()()()()(
TtkRdTtssk
dTstskdhtsts o
24
【 例 8.1】 设接收信号码元 s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。
【 解 】 s(t)的频谱为由式令 k = 1，可得其匹配滤波器传输函数为由式令 k = 1，得到此匹配滤波器冲激响应为
，由画出曲线如右。
t
Ttts
其他,0
0,1)(
t
T
s(t)1
(a) 接收信号波形
tT
h(t)
1
(b) 冲激响应
tT
so(t)
(c) 输出信号波形
fTjftj efjdtetsfS 22 121)()(
02)(*)( ftjefkSfH
fTjfTj eefjfH 22 121)(
)()( 0 ttksth
TttTsth 0),()(
)()( TtkRts o
25
此匹配滤波器的方框图：由
∵ (1 / j 2? f ) － 是理想积分器的传输函数
exp( -j 2? f T) － 是延迟时间为 T 的延迟电路的传输函数
∴ 方框图如下：
fTjfTj eefjfH 22 121)(
理想积分器 延迟 T
相 减
26
【 例 8.2】 设接收信号 s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。
【 解 】 ∵ s(t)的频谱密度为
故其匹配滤波器的传输函数为上式中，已令 t0 = T。
t
Tttfts
其他,0
0,2c o s)( 0?
(a) 信号波形
(c) 输出波形
)(4
1
)(4
1
2c o s)()(
0
)(2
0
)(2
0
2
0
2
00
ffj
e
ffj
e
dttefdtetsfS
TffjTffj
T ftjftj
)(4
1
)(4
1
)(*)(*)(
0
2)(2
0
2)(2
22
00
0
ffj
ee
ffj
ee
efSefSfH
fTjTffjfTjTffj
fTjftj
27
此匹配滤波器的冲激响应,
为了便于画出波形图，令式中,n = 正整数。这样，上式可以化简为
h(t)的曲线示于右图。
匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出由于 s(t)和 h(t)在区间 (0,T)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：
计算结果如下：
TttTftTsth 0),(2c o s)()( 0?
(c) 输出波形
(b) 冲激响应
0/ fnT?
Tttfth 0,2co s)( 0?
dthsts o )()()(
TtTtTTtt 2,2,0,0
t
TtTtf
tT
Tttf
t
ts
o
其他,0
2,2c o s
2
2
0,2c o s
2
)(
0
0
28
用匹配滤波器构成的接收电路方框图,
匹配滤波器 1
匹配滤波器 2
抽样判决抽样
t = T
t = T
输入 输出
29
8.8.2 数字信号的相关接收法
设：匹配滤波器的冲激响应函数匹配滤波器是物理可实现的：
输入信号码元 x(t) 限定在 ( 0,T )
则输出信号波形 y(t)按照式可以写成：
在抽样时刻 T，输出电压等于：
可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入 x(t)
与和 s(t)作相关运算。只有输入信号 x(t) = s(t)时，在时刻 t = T
才有最大的输出信噪比。
按照上述原理，可以得出相关接收法。
)()( tTksth
0,0)( tth 当
dthsts o )()()(
t Tt duutTsuxkty )()()(
T duusuxkTy 0 )()()(
30
相关接收法方框图
相关接收法判决准则：
相乘相乘积分积分抽样判决抽样判决比较
s0(t)
s1(t)x(t)
t = T
t = T
T T
TT
sduusuxduusux
sduusuxduusux
0 0 001
0 100 1
,)()()()(
,)()()()(
则判为收到若则判为收到若
31
【 例 8.3】 设有一个信号码元如例 8.2中所给出的 s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。
【 解 】 根据此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中，假定 f0很大，故结果近似等于 t / 2，即与 t 成正比。
输出波形：
只有当 t = T 时，
两者的抽样值才相等。
T duusuxkTy 0 )()()(
2
4s in
8
1
2
1
)4c o s1(
2
1
2c o s2c o s2c o s)()()(
0
0
0 0
0 0 0 0
2
00
t
tf
f
tdttf
td tftd tftfdttststy
t
t t t
匹配滤波器输出相关器输出图 8.8.6 匹配滤波和相关接收比较
32
8.9 最佳基带传输系统
基带传输系统
基带总传输函数,H(f) = GT(f)?C(f)?GR(f)
式中,GT(f) － 发送滤波器的传输函数；
GR(f) － 接收滤波器的传输函数；
C(f) － 信道的传输函数。
假设：信道具有理想特性，即假设 C(f) = 1。于是有
H(f) = GT(f)? GR(f)
待解决的问题：如何设计 GT(f)和 GR(f)，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。
发送滤波器 信 道接收滤波器抽样判决噪声
GR(f)C(f)GT(f)
33
用匹配滤波法接收时：
信号频谱 S(f) ＝ 发送滤波器的传输特性 GT(f)
匹配滤波器的传输特性 GR(f)应当是信号频谱 S(f)的复共轭,
∵
∴
即，
或写成最后得到要求接收匹配滤波器满足的条件为由于上式没有限定接收滤波器的相位条件，所以可以选为由式得到发送滤波器的传输特性为
02)()( ftjTR efGfG
)(/)()( fGfHfG RT? )(/)()( fGfHfG RT
02)()()( ftjRR efHfGfG
022 )()( ftjR efHfG
|)(|)( 2 fHfG R?
2/1)()( fHfG R?
)()( 2/1 fHfG R?
)()( 2/1 fHfG T?
)(/)()( fGfHfG RT?
34
最佳系统的误码率性能
设：基带码元为 M进制多电平信号，即码元有 M种电平：
在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在
错误概率：
式中,?是噪声的抽样值，而是噪声抽样值大于 d的概率。
将计算结果，代入 Pe公式，得到误码率最终表示式为
dMdd )1(,,3,
d
3d
7d
-5d
-3d
-d
0 t
-7d
5d
dMdd )2(,,4,2,0
dPMP e11
dP
2/1
0
2 1
311
2
11
n
E
Me r fcM
de r fc
MP e?
dP
35
当 M＝ 2时，
上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。
误码率曲线：
由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若 M
值增大到 2倍，信噪比大约需要增大 7 dB。
0/21 nEer fcP e?
36
8.10 小结
第八章 数字信号最佳接收原理
8.1 数字信号的统计表述设：一通信系统的最高传输频率等于 fH,接收电压用其抽样值表示 。
噪声抽样电压的一维概率密度若在一个码元期间内以 2fH的速率抽样,则共得到 k个抽样值,n1,n2,…,ni,…,nk,每个抽样值都是正态分布的随机变量,其一维概率密度可以写为式中,?n － 噪声的标准偏差；
n2 － 噪声的方差 。
2
2
2e x p2
1)(
n
i
n
i
nnf
2
噪声抽样电压的 k维联合概率密度
在一个码元时间 T 内接收的噪声平均功率：
或
将上式代入联合概率密度式，得到式中，
需要注意,f (n) 不是时间函数。 n是一个 k 维矢量，可以看作是 k 维空间中的一个点。 f (n)仅决定于该码元期间内噪声的能量 。
k
i
i
n
k
n
kkk nnfnfnfnnnf
1
2
22121 2
1e x p
2
1)()()(),,,(
k
i
i
H
k
i
i nTfnk
1
2
1
2
2
11
k
i
i
H
T n
TfdttnT 1
2
0
2
2
1)(1
T
k
n
dttnnf
0
2
0
)(1e x p
2
1)(
n
Hn fn02
)()()(),,,()( 2121 kkk nfnfnfnnnffn
T dttn0 2 )(
3
接收电压 r(t) = s(t) + n(t)的 k维联合概率密度函数：
当发送码元,0”时：
式中,r (t) － 接收信号和噪声电压之和；
s0 (t) － 发送码元,0”时的信号波形。
当发送码元,1”时：
式中,s1 (t) － 发送码元,1”时的信号波形。
dttstr
nf
T
k
n
2
0 000
)()(1e x p
2
1)(
r
dttstr
nf
T
k
n
2
0 101
)()(1e x p
2
1)(
r
4
8.2 数字信号的最佳接收准则
,最佳”的含义 － 指错误概率最小。
最佳接收的判决规则
接收矢量 r 看作是 k维空间中一点
k维空间划分为区域 A0和 A1
判决规则：
若接收矢量落在区域 A0内，则判为发送码元是,0”；
若接收矢量落在区域 A1内，则判为发送码元是,1”。
总误码率：
式中，
－ 发送,1”时,r 落在 A0的条件概率；
－ 发送,0”时,r落在 A1的条件概率。
∴
A0
A1
A A1
)0/()0()1/()1( 10 APPAPPP e
0 )()1/( 10 A dfAP rr
1 )()0/( 01 A dfAP rr
10 )()0()()1( 01 AAe dfPdfPP rrrr
5
区域 A0和 A1的划分
∵
∴ 可以改写为由于 P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间 A1中被积因子在各点上的值都最小，
则积分值才最小。这就要求在 A1内所有点上被积因子满足条件：
或者要求：
当 P(1)=P(0)时，要求 在 A1内所有点上,
∴ 当 接收矢量 r 落在 A1内时，有 f0(r)<f1(r)，按照上述判决规则，
应该判为发送码元是,1”。
1)0/()0/(,1)1/()1/( 1010 APAPAPAP 及
10 )()0()()1( 01 AAe dfPdfPP rrrr
1
11
)]()1()()0([)1(
)()0(]1)[1(
)0/()0()]1/(1)[1(
10
01
11
A
AA
e
dfPfPP
dfPdfP
APPAPPP
rrr
rrrr
0)()1()()0( 10 rr fPfP
)(
)(
)1(
)0(
0
1 rrffPP?
)()( 10 rr ff?
6
类似地，可以证明,当 接收矢量 r 落在 A0内时，有 f1(r) < f0(r)，
按照上述判决规则，应该判为发送码元是,0”。
综上所述，最佳接收准则归纳如下：
二进制系统：应将接收矢量空间划分为 A0和 A1两个区域：
在区域 A0内所有点上：
在区域 A1内所有点上：
当 P(1)=P(0)时,则要求在区域 A0内所有点上：
在区域 A1内所有点上：
对接收矢量作如下判决：当 P(1)=P(0)时若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f0(r) < f1(r)，则判发送码元是,1”。
)()0()()1( 01 rr fPfP?
)()1()()0( 10 rr fPfP?
)()( 01 rr ff?
)()( 10 rr ff?
7
8.3 确知数字信号的最佳接收机,码元等概率、等能量条件下
∵
∴ 可以改写为上式可以简化为即，若则判为,0”
若则判为,1”
dttstrnf Tkn
2
0 000 )()(
1e x p
2
1)(
r
dttstrnf Tkn 20 101 )()(1e x p2 1)(r
)()( 01 rr ff?
TT dttstrndttstrn 0 20
0
2
0 10 )()(
1e x p)()(1e x p
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
T T dttstrdttstr0 0 01 ()()()( ）
8
二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
r(t)
S1(t)
S0(t)
相乘器 积分器相乘器 积分器比较判决二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
9
8.4 确知数字信号最佳接收机的误码率
二进制等先验概率信号的误码率公式：
式中，
上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别 [s0(t)-s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。
dxeP c
x
e
2
2
2
2
1
T dttstsc 0 210 )]()([21
10
误码率的计算：首先用相关系数?表示上式中的 c
相关系数?的定义：
式中，
的取值范围：
当 s0(t) = s1(t)时,?＝ 1，为最大值；
当 s0(t) = -s1(t)时,?＝ -1，为最小值。
所以，
当 E0 = E1 = Eb时，有及
10
0 10
0
2
10
2
0
0 10
)()(
)()(
)()(
EE
dttsts
dttsdtts
dttsts
T
TT
T
T dttsE 0 200 )( T dttsE 0 211 )(
11
b
T
E
dttsts?
0 10
)()(
)1()]()([21 0 210 bT Edttstsc
11
将代入得出化简后，有式中，
－ 误差函数
－补误差函数
－ 相关系数； n0 － 噪声功率谱密度。
)1()]()([21 0 210 bT Edttstsc
dxeP c
x
e
2
2
2
2
1
dxedxeP bE
x
c
x
e
)1( 22
2
2
2
2
2
1
2
1
00 2
)1(
2
1
2
)1(1
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
x z dzexe r f 0 22)(?
)(1)( xe r fxe r fc
12
上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。
由上式可以看出：
误码率和噪声功率无直接关系，
而和噪声功率谱密度 n0有关；
误码率和信号波形无直接关系，
而和 Eb及相关系数?有关；
当? = 1时,误码率最大。
这时的误码率 Pe = 1 / 2。
当? = -1时，误码率最小。这时
－ 2PSK信号
00 2
)1(
2
1
2
)1(1
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
00 2
11
2
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
13
当?= 0 时，为正交信号。这时，
－ 2FSK信号
当 E0 = 0,E1 = Eb时
－ 2ASK信号
2ASK信号的性能比 2FSK信号差 3dB，而 2FSK信号又比
2PSK信号差 3dB。
由可知,E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比 PS/Pn
00 22
1
212
1
n
Ee r fc
n
Ee r fP bb
e
T dttsc 0 20 )]([21
00 42
1
412
1
n
Ee r f c
n
Ee r fP bb
e
n
ssssb
P
P
Bn
P
Tn
P
n
TP
n
E
0000 )/1(
14
多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，
能量也相等,则有式中,M － 进制数；
E － M进制码元能量；
n0 － 单边噪声功率谱密度。
由于一个 M进制码元中含有的比特数为 log2M，故每个比特的能量等于每比特的信噪比为当 k时,Eb/n0 = 0.693(-1.6 dB)即可无误码。
dyedxeP
y
M
n
E
y
x
e
2
1
2/1
2
2
2
0
2
2
1
2
1
1
Eb/n0
Pe
0.693
MEE b 2lo g/?
kn
E
Mn
E
n
E b
0200 lo g
15
8.5 随相数字信号的最佳接收
随相信号 － 相位因信道变化而具有随机性的信号。
设：信号 － 2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、
相位的概率密度服从均匀分布；
噪声 － 带限高斯白噪声。
信号表示式：
信号随机相位的概率密度：
)c o s (),(
)c o s (),(
1111
0000
tVts
tVts
T T bEdttsdtts0 0 121020 ),(),(
其他处,0
20,2/1)( 0
0
f
其他处,0
20,2/1)( 1
1
f
16
相关器 平 方
cos?0t 相 加相关器 平 方
sin?0t
相关器 平 方
cos?1t 相 加相关器 平 方
sin?1t
比 较r(t)
Y0
X1
Y1
X0
M02
M12
判决规则：
若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f1(r) > f0(r)，则判发送码元是,1”。
其中，
按照上述判决规则计算得出的误码率公式为
按照上述判决规则得出的方框图如右，图中：
20 00000 )/()()( dfff rr
20 11111 )/()()( dfff rr
)2/e x p (21 0nEP be
,20200 YXM,21211 YXM
T td ttrX 0 00 c o s)(?
T td ttrY 0 00 s in)(?
T td ttrX 0 11 c o s)(?
T td ttrY 0 11 s in)(?
17
8.6 起伏数字信号的最佳接收
起伏信号 － 包络随机起伏、相位随机变化的信号
设：信号 － 2FSK调制、等能量、等先验概率、
相位的概率密度服从均匀分布；
噪声 － 带限高斯白噪声
信号表示式：
式中,V0和 V1服从同一瑞利分布：
0和?1的概率密度服从均匀分布：
Vi的均方值：
)c o s (),,(
)c o s (),,(
111111
000000
tVVts
tVVts
2,1,0,2e x p)( 2
2
2
iVVVVf
i
s
i
s
i
i
2,1,20,2/1)( if ii
22 2 siEV
18
判决规则：同前若接收矢量 r 使 f1(r) < f0(r)，则判发送码元是,0”，
若接收矢量 r 使 f1(r) > f0(r)，则判发送码元是,1”。
现在
误码率计算结果：
衰落对 2FSK信号误码率的影响：
由右图可见，
当误码率等于 10-2时，
衰落使性能下降约 10 dB；
当误码率等于 10-3时，下降约 20 dB。
即，在有衰落时，
性能随误码率下降而迅速变坏。
20 0000000 00 ),/()()()( ddVVffVff rr
20 1111110 11 ),/()()()( ddVVffVff rr
)/(2
1
0nE
P e
19
rerfc21 0/21 nEerfc b
2/21 rerfc 02/21 nEerfc b
2/exp21 r02/ex p21 nE b?
4/21 rerfc 04/21 nEerfc b
实际接收机的 Pe 最佳接收机的 Pe
相干 2PSK信号 － 式 (6-4-13) － 式 (8.4-21)
相干 2FSK信号 － 式 (6-3-36) － 式 (8.4-22)
非相干 2FSK信号 － 式 (6-3-28) － 式 (8.5-27)
相干 2ASK信号 － 式 (6-2-47) － 式 (8.4-24)
8.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较
20
8.8 数字信号的匹配滤波接收原理
8.8.1 数字信号的匹配滤波接收法
匹配滤波 － 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输出信噪比最大。
设,H(f) － 接收滤波器的传输函数；
h(t) － 接收滤波器的冲激响应；
s(t) － 接收信号； S(f) － 接收信号的频谱密度；
n(t) － 高斯白噪声； Pn(f) = n0/2 － 噪声双边功率谱密度 ;
若滤波器输入码元为则线性滤波器的输出为式中，
输出噪声功率：
Tttntstx 0),()()(
)()()( tntsty oo
dfefSfHts ftjo?2)()()(
dffHndfnfHN o 2002 )(22)(
21
在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为
求 r0的最大值 － 利用施瓦茲 (Schwarz)不等式：
若成立（其中 k为整数），则上式的等号成立。
令则有当 时，上式的等号成立,r0最大。
dffH
n
dfefSfH
N
ts
r
ftj
o
o
20
2
22
0
0
)(
2
)()()( 0?
dxxfdxxfdxxfxf 2221221 )()()()(
)()( *21 xkfxf?
0221 )()(),()( ftjefSxffHxf
00
2
20
22
0
2
2
)(
)(
2
)()(
n
E
n
dffS
dffHn
dffSdffH
r
02)(*)( ftjefkSfH
22
给出最大信噪比 r0，它与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外）,故称之为匹配滤波器。
匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数 h(t)来描述：
由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号 s(t)的镜像
s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了 t0。
02)(*)( ftjefkSfH
)()()(
)(
)(
)(*)()(
00
)(2
)(2
*
2
222
0
0
0
ttksdttsk
dsdfek
dfedesk
dfeefkSdfefHth
ttfj
ttfjfj
ftjftjftj
23
匹配滤波器应该是物理可实现的，即其 h(t)应该满足条件：
即要求满足条件或满足条件
上式的条件说明：滤波器输入信号码元 s(t)在抽样时刻 t0之后必须为零。
一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选 t0 = T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为
这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的 k倍。
0,0)( tth 当
0,0)( 0 ttts 当
0,0)( ttts 当
)()( tTksth
)()()(
)()()()()(
TtkRdTtssk
dTstskdhtsts o
24
【 例 8.1】 设接收信号码元 s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。
【 解 】 s(t)的频谱为由式令 k = 1，可得其匹配滤波器传输函数为由式令 k = 1，得到此匹配滤波器冲激响应为
，由画出曲线如右。
t
Ttts
其他,0
0,1)(
t
T
s(t)1
(a) 接收信号波形
tT
h(t)
1
(b) 冲激响应
tT
so(t)
(c) 输出信号波形
fTjftj efjdtetsfS 22 121)()(
02)(*)( ftjefkSfH
fTjfTj eefjfH 22 121)(
)()( 0 ttksth
TttTsth 0),()(
)()( TtkRts o
25
此匹配滤波器的方框图：由
∵ (1 / j 2? f ) － 是理想积分器的传输函数
exp( -j 2? f T) － 是延迟时间为 T 的延迟电路的传输函数
∴ 方框图如下：
fTjfTj eefjfH 22 121)(
理想积分器 延迟 T
相 减
26
【 例 8.2】 设接收信号 s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。
【 解 】 ∵ s(t)的频谱密度为
故其匹配滤波器的传输函数为上式中，已令 t0 = T。
t
Tttfts
其他,0
0,2c o s)( 0?
(a) 信号波形
(c) 输出波形
)(4
1
)(4
1
2c o s)()(
0
)(2
0
)(2
0
2
0
2
00
ffj
e
ffj
e
dttefdtetsfS
TffjTffj
T ftjftj
)(4
1
)(4
1
)(*)(*)(
0
2)(2
0
2)(2
22
00
0
ffj
ee
ffj
ee
efSefSfH
fTjTffjfTjTffj
fTjftj
27
此匹配滤波器的冲激响应,
为了便于画出波形图，令式中,n = 正整数。这样，上式可以化简为
h(t)的曲线示于右图。
匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出由于 s(t)和 h(t)在区间 (0,T)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：
计算结果如下：
TttTftTsth 0),(2c o s)()( 0?
(c) 输出波形
(b) 冲激响应
0/ fnT?
Tttfth 0,2co s)( 0?
dthsts o )()()(
TtTtTTtt 2,2,0,0
t
TtTtf
tT
Tttf
t
ts
o
其他,0
2,2c o s
2
2
0,2c o s
2
)(
0
0
28
用匹配滤波器构成的接收电路方框图,
匹配滤波器 1
匹配滤波器 2
抽样判决抽样
t = T
t = T
输入 输出
29
8.8.2 数字信号的相关接收法
设：匹配滤波器的冲激响应函数匹配滤波器是物理可实现的：
输入信号码元 x(t) 限定在 ( 0,T )
则输出信号波形 y(t)按照式可以写成：
在抽样时刻 T，输出电压等于：
可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入 x(t)
与和 s(t)作相关运算。只有输入信号 x(t) = s(t)时，在时刻 t = T
才有最大的输出信噪比。
按照上述原理，可以得出相关接收法。
)()( tTksth
0,0)( tth 当
dthsts o )()()(
t Tt duutTsuxkty )()()(
T duusuxkTy 0 )()()(
30
相关接收法方框图
相关接收法判决准则：
相乘相乘积分积分抽样判决抽样判决比较
s0(t)
s1(t)x(t)
t = T
t = T
T T
TT
sduusuxduusux
sduusuxduusux
0 0 001
0 100 1
,)()()()(
,)()()()(
则判为收到若则判为收到若
31
【 例 8.3】 设有一个信号码元如例 8.2中所给出的 s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。
【 解 】 根据此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中，假定 f0很大，故结果近似等于 t / 2，即与 t 成正比。
输出波形：
只有当 t = T 时，
两者的抽样值才相等。
T duusuxkTy 0 )()()(
2
4s in
8
1
2
1
)4c o s1(
2
1
2c o s2c o s2c o s)()()(
0
0
0 0
0 0 0 0
2
00
t
tf
f
tdttf
td tftd tftfdttststy
t
t t t
匹配滤波器输出相关器输出图 8.8.6 匹配滤波和相关接收比较
32
8.9 最佳基带传输系统
基带传输系统
基带总传输函数,H(f) = GT(f)?C(f)?GR(f)
式中,GT(f) － 发送滤波器的传输函数；
GR(f) － 接收滤波器的传输函数；
C(f) － 信道的传输函数。
假设：信道具有理想特性，即假设 C(f) = 1。于是有
H(f) = GT(f)? GR(f)
待解决的问题：如何设计 GT(f)和 GR(f)，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。
发送滤波器 信 道接收滤波器抽样判决噪声
GR(f)C(f)GT(f)
33
用匹配滤波法接收时：
信号频谱 S(f) ＝ 发送滤波器的传输特性 GT(f)
匹配滤波器的传输特性 GR(f)应当是信号频谱 S(f)的复共轭,
∵
∴
即，
或写成最后得到要求接收匹配滤波器满足的条件为由于上式没有限定接收滤波器的相位条件，所以可以选为由式得到发送滤波器的传输特性为
02)()( ftjTR efGfG
)(/)()( fGfHfG RT? )(/)()( fGfHfG RT
02)()()( ftjRR efHfGfG
022 )()( ftjR efHfG
|)(|)( 2 fHfG R?
2/1)()( fHfG R?
)()( 2/1 fHfG R?
)()( 2/1 fHfG T?
)(/)()( fGfHfG RT?
34
最佳系统的误码率性能
设：基带码元为 M进制多电平信号，即码元有 M种电平：
在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在
错误概率：
式中,?是噪声的抽样值，而是噪声抽样值大于 d的概率。
将计算结果，代入 Pe公式，得到误码率最终表示式为
dMdd )1(,,3,
d
3d
7d
-5d
-3d
-d
0 t
-7d
5d
dMdd )2(,,4,2,0
dPMP e11
dP
2/1
0
2 1
311
2
11
n
E
Me r fcM
de r fc
MP e?
dP
35
当 M＝ 2时，
上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。
误码率曲线：
由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若 M
值增大到 2倍，信噪比大约需要增大 7 dB。
0/21 nEer fcP e?
36
8.10 小结
