1
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
什么是确知信号
什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
信号的功率,设 R = 1,则 P = V2/R = I2R = V2 = I2
信号的能量：设 S代表 V或 I，若 S随时间变化，则写为 s(t),
于是，信号的能量 E =? s2(t)dt
能量信号：满足
平均功率：,故能量信号的 P = 0。
功率信号,P?0 的信号，即持续时间无穷的信号。
能量信号的能量有限，但平均功率为 0。
功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。
/2 2
/2
1l im ( )T
TTP s t d tT
20 ( )E s t d t?
2
2.2 确知信号的性质
2.2.1频域性质
功率信号的频谱：设 s(t)为周期性功率信号,T0为周期，则有式中,?0 = 2? / T0 = 2?f0
∵ C(jn?0)是复数,∴ C(jn?0) = |Cn|ej?n
式中,|Cn| － 频率为 nf0的分量的振幅；
n － 频率为 nf0的分量的相位。
信号 s(t)的傅里叶级数表示法：
2/ 2/00 0 0 0)(1)( TT tjn dtetsTjnC
2/T 2/T tjn
0
0
0
0
0 dte)t(sT1)jn(C
n
tjn
0 0e)jn(C)t(s
3
【 例 2.1】 试求周期性方波的频谱。
解：设一周期性方波的周期为 T，宽度为?，幅度为 V
求频谱：
t)Tt(f)t(f
)2/T(t2/0
2/t2/V
)t(f
2
ns in
Tn
V2
jn
ee
T
V
e
jn
V
T
1
dtVe
T
1
)jn(C
0
00
2/jn2/jn
2/
2/
2/
2/
tjn
0
tjn
0
00
00
4
频谱图
5
【 例 2.2】 试求全波整流后的正弦波的频谱。
解：设此信号的表示式为求频谱：
信号的傅里叶级数表示式：
ttftf
tttf
)1()(
10)s in ()(?
10 222/ 2/
0
0 )14(
2)s in ()(1)( 0
0
0
ndtetdtetsTjnC
ntjT
T
tjn
1
f(t)
t
n
ntje
ntf
2
2 14
12)(
6
能量信号的频谱密度设一能量信号为 s(t)，则其频谱密度为：
S(?)的逆变换为原信号：
【 例 2.3】 试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
dtetsS tj )()(
deSts tj)()(
2/0
2/1)(
t
ttg
2/
)2/s in ()(1)( 2/2/2/
2/
jjtj ee
jdteG
7
【 例 2.4】 试求抽样函数的波形和频谱密度。
解：抽样函数的定义是而 Sa(t)的频谱密度为：
和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的 G(?)曲线相同，
而 Sa(t)的频谱密度 Sa(?)的曲线和上例中的 g(t)波形相同。
【 例 2.5】 试求单位冲激函数及其频谱密度。
解：单位冲激函数常简称为?函数，其定义是：
(t)的频谱密度：
t
ts i n)t(Sa?
其他处0
11s in)( dte
t
tSa tj
00)(
1)(
tt
dtt
1)(1)()( dttdtetf tj
8
Sa(t)及其频谱密度的曲线：
函数的物理意义：
高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为 1的脉冲。
用抽样函数 Sa(t)表示?函数,Sa(t)有如下性质当 k 时，振幅，
波形的零点间隔? 0，
故有
1)( dtktSak?
t
t
t
)(l i m)( ktSakt k
f
(f)
1
0t
(t)
0
9
函数的性质
对 f(t)的抽样：
函数是偶函数：
函数是单位阶跃函数的导数：
能量信号的频谱密度 S(f)和周期性功率信号的频谱 C(jn?0)
的区别,
S(f ) － 连续谱； C(jn?0) － 离散谱
S(f )的单位,V/Hz； C(jn?0) 的单位,V
S(f )在一频率点上的幅度＝无穷小。
u?(t) =?(t)
dt)tt()t(f)t(f 00?
dttttftf )()()( 00?)t()t(
0,1
,0,0)(
t
ttu
当当
t
1
0
图 2.2.6 单位阶跃函数
10
【 例 2.6】 试求无限长余弦波的频谱密度。
解：设一个余弦波的表示式为 f (t) = cos?0t，则其频谱密度
F(?)按式 (2.2-10)计算，可以写为参照式 (2.2-19)，上式可以改写为
引入?(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。
2
)(
2
)(
2
lim
2/)(
]2/)s in [ (
2/)(
]2/)s in [ (
2
limc o slim)(
00
0
0
0
0
2/
2/
0
SaSa
dtteF tj
)]()([)( 00F
t?0－?0 0
(b) 频谱密度(a) 波形
11
能量谱密度设一个能量信号 s(t)的能量为 E，则其能量由下式决定：
若此信号的频谱密度，为 S(f )，则由巴塞伐尔定理得知：
上式中 |S(f )|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：
式中,G(f )＝ |S(f)|2 （ J / Hz） 为能量谱密度。
G(f )的性质：因 s(t)是实函数，故 |S(f )|2 是偶函数,∴
dttsE )(2
dffSdttsE 22 )()(
dffGE )(
0 )(2 dffGE
12
功率谱密度令 s(t)的截短信号为 sT(t),-T/2 < t <T/2，则有定义功率谱密度为：
得到信号功率：
dffSdttsE TT T T 22/ 2/ 2 )()(
2)(1l i m)( fS
TfP TT
dffPdffSTP T T TT )()(1lim 2/ 2/ 2
13
2.2.2 时域性质
自相关函数
能量信号的自相关函数定义：
功率信号的自相关函数定义：
性质：
R(?)只和?有关，和 t 无关
当?= 0时，能量信号的 R(?)等于信号的能量；
功率信号的 R(?)等于信号的平均功率。
dttstsR )()()(
2/ 2/ )()(1lim)( T TT dttstsTR
14
互相关函数
能量信号的互相关函数定义：
功率信号的互相关函数定义：
性质：
1,R12(?)只和?有关，和 t 无关；
2.
证,令 x = t +?,则
,)()()( 2112 dttstsR
2/ 2/ 2112,)()(1lim)( T TT dttstsTR
)()( 1221 RR
)()]([)(
)()()()()(
1221
121221
Rdxxsxs
dxxsxsdttstsR
15
2.3 随机信号的性质
2.3.1 随机变量的概率分布
随机变量的概念：若某种试验 A的随机结果用 X表示，则称此
X为一个随机变量，并设它的取值为 x。
例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
随机变量的分布函数：
定义,FX(x) = P(X? x)
性质,∵ P(a < X? b) + P(X? a) = P(X? b),
P(a < X? b) = P(X? b) – P(X? a)，
∴ P(a < X? b) = FX(b) – FX(a)
16
离散随机变量的分布函数：
设 X的取值为,x1? x2? …? xi? xn，其取值的概率分别为 p1,p2,…,pi,…,pn，则有
P (X < x1) = 0,P(X? xn) = 1
∵ P(X? xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
性质：
FX(-?) = 0
FX(+?) = 1
若 x1 < x2，则有,FX(x1)? FX(x2),
为单调增函数。
n
i
k
ikX
xx
xxxp
xx
xF
1
0
)(
1
11
1
17
连续随机变量的分布函数：
当 x连续时，由定义分布函数定义
FX(x) = P(X? x)
可知,FX(x) 为一连续单调递增函数：
18
2.3.2 随机变量的概率密度
连续随机变量的概率密度 pX (x)
pX (x)的定义：
pX (x)的意义：
pX (x)是 FX (x)的导数，是 FX (x)曲线的斜率
能够从 pX (x)求出 P(a < X? b)：
pX (x)的性质：
dx
xdFxp X
X
)()(?
ba X dxxpbXaP )()(
x XX dyypxF )()(
pX(x)? 0
1)( dxxp X
19
离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：
式中,pi－ x = xi 的概率
u(x) － 单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：
性质：
当 x? xi 时,px (x) = 0，
当 x = xi 时,px (x) =?
n
i
iiX xxupxF
1
)()(
n
i
iiX xxpxp
1
)()(?
20
2.4 常见随机变量举例
正态分布随机变量
定义：概率密度式中,?> 0,a = 常数
概率密度曲线：
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxp
X
21
均匀分布随机变量
定义：概率密度式中,a,b为常数
概率密度曲线：
其他0
)/(1)( bxaabxp
X
ba x0
pA(x)
22
瑞利 (Rayleigh)分布 随机变量
定义：概率密度为式中,a > 0，为常数。
概率密度曲线：
0)e x p (2)( 2 xaxa xxp X
23
2.5 随机变量的数字特征
2.5.1 数学期望
定义：对于连续随机变量
性质：
若 X和 Y互相独立，且 E(X)和 E(Y)存在。
dxxxpXE X )()(
CCE?)(
)()()( YEXEYXE
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE
)()( XECXCE
)()()( YEXEXYE?
C E ( X )E ( C X )?
24
2.5.2 方差
定义：
式中，
方差的改写：
证：
对于离散随机变量，
对于连续随机变量，
性质：
D( C ) = 0
D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)
])[()( 22 XXEXD X
的数学期望－－标准偏差,XXX?
22)( XXXD
22222222 2]2[])[( XXXXXXXXXEXXE
ii i pXxXD 2)()(
dxxpXxXD X )()()( 2
25
2.5.3 矩
定义：随机变量 X的 k阶矩为
k阶原点矩,a = 0时的矩：
k阶中心矩,时的矩：
性质：
一阶原点矩为数学期望：
二阶中心矩为方差：
dxxpaxaXE Xkk )()(])[(
dxxpxXm Xkk )()(
Xa?
dxxpXxXM Xkk )()()(
)()(1 XEXm?
22 )()( XXDXM
26
2.6 随机过程
2.6.1 随机过程的基本概念
X(A,t) － 事件 A的全部可能,实现,的总体；
X(Ai,t) － 事件 A的一个实现，为确定的时间函数；
X(A,tk) － 在给定时刻 tk上的函数值。
简记,X(A,t)? X(t)
X(Ai,t)? Xi (t)
例：接收机噪声
随机过程的数字特征：
统计平均值：
方差：
自相关函数：
)()()]([ iXXi tmdxxxptXE i
2) ] }([)({)]([ iii tXEtXEtXD
)]()([),( 2121 tXtXEttR X?
27
2.6.2 平稳 随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。
（又称严格平稳随机过程）
广义平稳随机过程的定义：
平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。
广义平稳随机过程的性质：
严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。
常数 Xm E [X ( t ) ]
常数 22 X) ] }t(X[E)t(X{E)]t(X[D?
21 tt)(R )t-(tR )t,(tR X21X21X
28
2.6.3 各态历经性
,各态历经,的含义：
平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。
各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
各态历经过程的统计平均值 mX：
各态历经过程的自相关函数 RX(?):
一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。
2/ 2/ )(1l i m T T iTX dttXTm
2/ 2/ )()(1lim)( T T iiTX dttXtXTR
29
稳态通信系统的各态历经性：
假设信号和噪声都是各态历经的。
一阶原点矩 mX= E[X(t)] － 是信号的直流分量；
一 阶原点矩的平方 mX 2 － 是信号直流分量的归一化功率；
二阶原点矩 E [X 2( t )] － 是信号归一化平均功率；
二阶原点矩的平方根 {E [X 2(t)]}1/2 － 是信号电流或电压的均方根值（有效值）；
二阶中心矩?X2 － 是信号交流分量的归一化平均功率 ;
若 mX = mX 2 = 0，则?X2 = E [X 2( t )] ；
标准偏差?X － 是信号交流分量的均方根值；
若 mX = 0，则?X就是信号的均方根值 。
30
2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
自相关函数的性质
功率频谱密度的性质
复习：确知信号的功率谱密度：
类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：
平均功率：
XPtXER )]([)0( 2
)()( RR
)0()( RR
)]([)( 2 tXER
2)()0( XRR
T
fSfP T
T
2)(
lim)(
T
fSEfPEfP T
TX
2)(
lim)]([)(
dfT fSEdffPP TTXX ])([l i m)(
2
31
自相关函数和功率谱密度的关系由式中，
令? =t – t’,k =t + t’，则上式可以化简成于是有
2/
2/
2/
2/
)'(
2/
2/
'
2/
2/
2/
2/
'
2/
2/
2
')'(
1
')'()(
1
')'(*)(
1])([
T
T
T
T
ttj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
T
tj
T
T
dtdtettR
T
dtetsdtets
T
E
dtetsdtets
T
E
T
fSE
)]()([)( tstsEttR
T T jT deRTT fSE)(1])([
2
deR
deR
TT
fSE
fP
j
T
T
j
T
T
T
X
)(
)(1lim
])([
lim)(
2
32
上式表明,PX(f )和 R(?)是一对傅里叶变换：
PX(f )的性质：
PX(f )? 0,并且 PX(f )是实函数。
PX(f ) ＝ PX(-f )，即 PX(f )是偶函数。
【 例 2.7】 设有一个二进制数字信号 x(t),如图所示，其振幅为 +a或 -a；在时间 T 内其符号改变的次数 k服从泊松分布式中,?是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。
试求其相关函数 R(?)和功率谱密度 P(f)。
deRfP jX )()(
dfefPR jX )()(
0,!)()( kk eTkP Tk
+a
-a
x(t)
t
t
0
t-?
33
解,由图可以看出，乘积 x(t)x(t-?)只有两种可能取值,a2,或
-a2。因此，式可以化简为：
R(?) = a2? [a2出现的概率 ] + (-a2)? [(-a2)出现的概率 ]
式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。
若在? 秒内 x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;
若在? 秒内 x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。
因此，
用? 代替泊松分布式中的 T，得到
)]t(x)t(x[E)(R
])5()3()1([
])4()2()0([)]()([)(
2
2
PPPa
PPPatxtxER
222
32
2 ]
!3
)(
!2
)(
!1
1[)(
eaeea
eaR?
34
由于在泊松分布中?是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当?取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：
其功率谱密度 P( f )可以由其自相关函数 R(?)的傅里叶变换求出：
P( f )和 R(?)的曲线：
22)( eaR?
22)( eaR
4
)()(
2
2
20
22
0
22
22
a
deeadeea
deeadeRfP
jj
jj
35
【 例 2.8】 设一随机过程的功率谱密度 P( f )如图所示。试求其自相关函数 R(?)。
解：
∵ 功率谱密度 P( f )已知，
∴
式中，
自相关函数曲线：
0
0
2
2c o s
2
2s i n
4
2c o s22c o s)(2)()(
2
1
f
f
f
fA
dffAdfffPdfefPR
f
f
fj
2,2 12012
ffffff
36
【 例 2.9】 试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。
解,白噪声是指具有均匀功率谱 密度 Pn( f )的噪声，即
Pn( f ) ＝ n0/2
式中,n0为单边功率谱密度 （ W/Hz）
白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得,
由上式看出,白噪声的任何两个相邻时间 （ 即 0时 ） 的抽样值都是不相关的 。
白噪声的平均功率,
上式表明,白噪声的平均功率为无穷大 。
)(22)()( 00 ndfendfefPR jjX
)0(2)0( 0?nR
Pn(f)
n0/2
0 f
Rn(?)
n0/2
0
37
带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
带限白噪声：带宽受到限制的白噪声
带限白噪声的功率谱密度：
设白噪声的频带限制在 (-fH,fH)之间，则有
Pn(f) = n0 / 2,-fH < f < fH
= 0,其他处其自相关函数为：
曲线：
H
H
H
f
f
j
f
ffndfenR H
H 2
2s in
22)(
00
n0/2
Pn(f)
0 f-fH fH
Rn(?)
0
1/2fH-1/2fH
38
2.7 高斯过程（正态随机过程）
定义：
一维高斯过程的概率密度：
式中,a = E[X(t)] 为均值
2 = E[X(t) - a]2 为方差
为标准偏差
∵ 高斯过程是平稳过程，故其概率密度 pX (x,t1)与 t1无关，
即,pX (x,t1) ＝ pX (x)
pX (x)的曲线：
2
2
1 2e x p2
1),(
axtxp
X
39
高斯过程的严格定义：任意 n维联合概率密度满足：
式中,ak为 xk的数学期望（统计平均值）；
k为 xk的标准偏差；
|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子；
bjk为归一化协方差函数，即
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nnX
axax
B
BB
tttxxxp
1 1
2/1
21
2/
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
1
1
1
21
221
112
nn
n
n
bb
bb
bb
B?
kj
kkjj
jk
axaxEb
40
n维高斯过程的性质
pX (x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)仅由各个随机变量的数学期望
ai、标准偏差?i和归一化协方差 bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程 。
若 x1,x2,…,xn等两两之间互不相关,则有当 j? k 时,bjk
= 0。这时，
即，此 n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。
若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者 互不相关 ；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者 互相独立 。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。
高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。
),(),(),(
2
e x p
2
1
),,,;,,,(
2211
2
2
1
2121
nnXXX
k
kk
n
k k
nnX
txptxptxp
ax
tttxxxp
41
正态概率密度的性质
p(x)对称于直线 x = a，即有：
p(x)在区间 (-?,a)内单调上升，在区间 (a,?)内单调下降，
并且在点 a处达到其极大值当 x? -?或 x? +?时,p(x)? 0。
若 a = 0,? = 1，则称这种分布为标准化正态分布：
)()( xapxap
)2/(1
1)( dxxp
a a dxxpdxxp 2/1)()(
2e x p21)(
2x
xp?
42
正态分布函数
将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,
式中,?(x)称为概率积分函数,
此积分不易计算，通常用查表方法计算。
ax
dz
az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
dzzx x?
2e x p2
1)( 2
43
用误差函数表示正态分布
误差函数定义：
补误差函数定义：
正态分布表示法：
dzexe r f x z 0 22)(?
dzedzexe r fxe r fc x zx z 22 221)(1)( 0
ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,,
22
1
2
1
)(
44
频率近似为 fc
2.8 窄带随机过程
2.8.1 窄带随机过程的基本概念
何谓窄带？
设 随机过程的频带宽度为?f，中心频率为 fc。若?f << fc，
则称此随机过程为窄带随机过程。
窄带随机过程的波形和表示式
波形和频谱：
45
表示式式中,aX(t) － 窄带随机过程的随机包络；
X(t) －窄带随机过程的随机相位；
0 － 正弦波的角频率。
上式可以改写为：
式中，
－ X (t)的同相分量
－ X (t)的正交分量
00 )t(a) ],t(tc o s [)t(a)t(X XXX
ts i n)t(Xtco s)t(X)t(X sc 00
)(c o s)()( ttatX XXc
)(s i n)()( ttatX XXs
46
2.8.2 窄带随机过程的性质
Xc(t)和 Xs(t)的统计特性：
设 X(t)是一个均值为 0的平稳窄带高斯过程，则
Xc(t)和 Xs(t)也是高斯过程；
Xc(t)和 Xs(t) 的方差相同，且等于 X(t)的方差 ；
在同一时刻上得到的 Xc和 Xs是不相关的和统计独立的。
aX(t)和?X(t)的统计特性：
窄带平稳随机过程包络 aX(t)的概率密度等于：
窄带平稳随机过程相位?X(t)的概率密度等于：
02e x p)( 2
2
2
X
X
X
X
X
X a
aaap
202 1)( XXp
47
2.9 正弦波加窄带高斯过程
通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：
正弦波加噪声的表示式：
式中,A － 正弦波的确知振幅；
0 － 正弦波的角频率；
－ 正弦波的随机相位；
n(t) － 窄带高斯噪声。
r (t )的包络的概率密度,
式中,? 2 － n(t)的方差；
I0(?) － 零阶修正贝塞尔函数。
pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯 (Rice)分布。
当 A = 0时,pr(x) 变成瑞利概率密度。
)()c o s ()( 0 tntAtr
0,2 1e x p)( 222202 xAxAxIxxp r
48
r (t )的相位的条件概率密度,
式中,?－ r( t )的相位，包括正弦波的相位?和噪声的相位
pr(? /? ) － 给定?的条件下,r( t )的相位的条件概率密度
r (t )的相位的概率密度,
当?= 0时，
式中，
2/1
2
2
2
2/1
22
2
c o s
1s in
2
e x p
22
c o s
2
2/e x p
)/(
A
e r f
AA
A
p r
dppp rrr /)( 20
20e x p)](1[12e x p2 1)0/( 222
GGe r fGAp
r
2
c o sAG G t dteGe r f
0
22)(
49
瑞利分布
r
概率密度包络 r
(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度
(b) 莱斯分布相位的概率密度
莱斯分布的曲线
当 A/?= 0时，
包络?瑞利分布相位?均匀分布
当 A/?很大时，
包络?正态分布相位?冲激函数
50
2.10 信号通过线性系统
2.10.1 线性系统的基本概念
线性系统的特性
有一对输入端和一对输出端
无源
无记忆
非时变
有因果关系：当前输出只决定于当前和过去的输入
有线性关系：满足叠加原理若当输入 为 xi(t)时，输出为 yi(t)，则当输入 为时，输出为：
式中,a1和 a2均为任意常数。
)()()( 2211 txatxatx
)()()( 2211 tyatyaty
51
线性系统的示意图
2.10.2 确知信号通过线性系统
时域分析法设 h(t) － 系统的冲激响应
x(t) － 输入信号波形
y(t) －输出信号波形则有：
线性系统输入 输出
x(t) y(t)
X(f) Y(f)
h(t)
H(f)
图 2.10.1 线性系统示意图
t
(t)
h(t)
t
0
0
dhtx
dthx
thtxty
)()(
)()(
)()()(
dtth
tth
)(
0,0)(
对于物理可实现系统：
52
频域分析法
设：输入为能量信号，令
x( t ) － 输入能量信号
H( f ) － h( t )的 傅里叶变换
X( f ) － x( t )的 傅里叶变换
y( t ) － 输出信号则此系统的输出信号 y( t )的频谱密度 Y( f )为：
由 Y( f )的逆傅里叶变换可以求出 y( t )：
)()()( fHfXfY
dfefYty tj?)()(
53
设：输入 x( t )为周期性功率信号，则有式中，
输出为：
设：输入 x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理
n
tjnejnCtx 0)()(
0
2/ 2/
0
0
0
0
0)(1)( T
T
tjn dtetx
TjnC
0 = 2?/T0
T0 － 信号的周期
f0 =?0 / 2?是信号的基频
n
tjnenHjnCty 0)()()(
00
54
【 例 2.10】 若有一个 RC低通滤波器，如图 2.10.4所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。
解,设 x(t) －输入能量信号
y(t) － 输出能量信号
X(f) － x(t)的频谱密度
Y(f) － y(t)的频谱密度则 此电路的传输函数为：
此滤波器的冲激响应 h(t)：
图 2.10.4 RC滤波器
R
Cx(t) y(t)
RCjCjR
CjfH
1
1
)/1(
/1)(
RCttjtj eRCdfeRCjdfefHth /11 1)()(
55
滤波器输出和输入之间的关系：
假设 输入 x(t)等于：
则此滤波器的输出为：
dexRCdthxthtxty RCt /)()(1)()()()()(
0,0
0,)(
t
tetx at
a R C
ee
aRC
e
RC
e
dee
RC
ty
RCtat
t
aRCRCtt
RCta
1
/1
1
)(
/
0
)/1(/
0
/)(
56
无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号 x(t),
则其无失真输出信号 y(t)为：
式中,k－ 衰减常数，
td － 延迟时间。
求系统的传输函数：
对上式作傅里叶变换：
∴
式中，
无失真传输条件：
振幅特性与频率无关；
相位特性是通过原点的直线。
（实际中,?难测量，常用测量 td代替。）
)()( dttkxty
dtjefkXfY )()(
dtjefkXfHfXfY )()()()(
jtj keke)f(H d
dft 2?
|H(f)|
k
0 f
f0
57
2.10.3 随机信号通过线性系统
物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有若输入为平稳随机信号 X(t)，则输出 Y(t)为
输出 Y(t)的数学期望 E[Y(t)]
由于已假设输入是平稳随机过程，故
∵
∴ 输出的数学期望：
0 )()()( dtxhty
0 )()()( dtXhtY
00 )]([)()()()]([ dtXEhdtXhEtYE
E[X(t-?)] = E[X(t)] = k,k = 常数。
0 )()]([ dhktYE
0000 dt)t(h|dte)t(h|)f(H)(H ftjf?
)0()( kHtYE?
58
输出 Y(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由 X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与 t1无关，故有
∴
由于 Y(t)的数学期望和自相关函数都和 t1无关，故 Y(t)是广义平稳随机过程。
0 0
11
0 0
11
1111
)()()()(
)()()()(
)()(),(
dudvvtXutXEvhuh
dvvtXvhduutXuhE
tYtYEttR Y
vuRvtXutXE X )()( 11
0 011 )()()(, YXY Rd u d vvuRvhuhttR
59
输出 Y(t)的功率谱密度 PY( f ),
由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令=? +u - v代入上式，得到
∴ 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。
dvevuRvhuhdud
deRfP
j
X
j
YY
0 0
)()()(
)()(
)()()()()(*
)()()()(
2
00
fPfHfPfHfH
deRdvevhdueuhfP
XX
j
X
vjuj
Y
60
【 例 2.11】 已知一个白噪声的双边功率谱密度为 n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。
解,因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
所以有输出信号的功率谱密度为输出信号的自相关函数输出噪声功率,PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH
其它处,0
,)( Htj ffkefH d?
HffkfH,)( 22
HXY ff
nkfPfHfP,
2)()()( 0
22
)2/2( s i n4/)()( 0202 Hf f HHjjYY fffnkdfenkdfefPR H
H
61
2.11 小结
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
什么是确知信号
什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
信号的功率,设 R = 1,则 P = V2/R = I2R = V2 = I2
信号的能量：设 S代表 V或 I，若 S随时间变化，则写为 s(t),
于是，信号的能量 E =? s2(t)dt
能量信号：满足
平均功率：,故能量信号的 P = 0。
功率信号,P?0 的信号，即持续时间无穷的信号。
能量信号的能量有限，但平均功率为 0。
功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。
/2 2
/2
1l im ( )T
TTP s t d tT
20 ( )E s t d t?
2
2.2 确知信号的性质
2.2.1频域性质
功率信号的频谱：设 s(t)为周期性功率信号,T0为周期，则有式中,?0 = 2? / T0 = 2?f0
∵ C(jn?0)是复数,∴ C(jn?0) = |Cn|ej?n
式中,|Cn| － 频率为 nf0的分量的振幅；
n － 频率为 nf0的分量的相位。
信号 s(t)的傅里叶级数表示法：
2/ 2/00 0 0 0)(1)( TT tjn dtetsTjnC
2/T 2/T tjn
0
0
0
0
0 dte)t(sT1)jn(C
n
tjn
0 0e)jn(C)t(s
3
【 例 2.1】 试求周期性方波的频谱。
解：设一周期性方波的周期为 T，宽度为?，幅度为 V
求频谱：
t)Tt(f)t(f
)2/T(t2/0
2/t2/V
)t(f
2
ns in
Tn
V2
jn
ee
T
V
e
jn
V
T
1
dtVe
T
1
)jn(C
0
00
2/jn2/jn
2/
2/
2/
2/
tjn
0
tjn
0
00
00
4
频谱图
5
【 例 2.2】 试求全波整流后的正弦波的频谱。
解：设此信号的表示式为求频谱：
信号的傅里叶级数表示式：
ttftf
tttf
)1()(
10)s in ()(?
10 222/ 2/
0
0 )14(
2)s in ()(1)( 0
0
0
ndtetdtetsTjnC
ntjT
T
tjn
1
f(t)
t
n
ntje
ntf
2
2 14
12)(
6
能量信号的频谱密度设一能量信号为 s(t)，则其频谱密度为：
S(?)的逆变换为原信号：
【 例 2.3】 试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
dtetsS tj )()(
deSts tj)()(
2/0
2/1)(
t
ttg
2/
)2/s in ()(1)( 2/2/2/
2/
jjtj ee
jdteG
7
【 例 2.4】 试求抽样函数的波形和频谱密度。
解：抽样函数的定义是而 Sa(t)的频谱密度为：
和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的 G(?)曲线相同，
而 Sa(t)的频谱密度 Sa(?)的曲线和上例中的 g(t)波形相同。
【 例 2.5】 试求单位冲激函数及其频谱密度。
解：单位冲激函数常简称为?函数，其定义是：
(t)的频谱密度：
t
ts i n)t(Sa?
其他处0
11s in)( dte
t
tSa tj
00)(
1)(
tt
dtt
1)(1)()( dttdtetf tj
8
Sa(t)及其频谱密度的曲线：
函数的物理意义：
高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为 1的脉冲。
用抽样函数 Sa(t)表示?函数,Sa(t)有如下性质当 k 时，振幅，
波形的零点间隔? 0，
故有
1)( dtktSak?
t
t
t
)(l i m)( ktSakt k
f
(f)
1
0t
(t)
0
9
函数的性质
对 f(t)的抽样：
函数是偶函数：
函数是单位阶跃函数的导数：
能量信号的频谱密度 S(f)和周期性功率信号的频谱 C(jn?0)
的区别,
S(f ) － 连续谱； C(jn?0) － 离散谱
S(f )的单位,V/Hz； C(jn?0) 的单位,V
S(f )在一频率点上的幅度＝无穷小。
u?(t) =?(t)
dt)tt()t(f)t(f 00?
dttttftf )()()( 00?)t()t(
0,1
,0,0)(
t
ttu
当当
t
1
0
图 2.2.6 单位阶跃函数
10
【 例 2.6】 试求无限长余弦波的频谱密度。
解：设一个余弦波的表示式为 f (t) = cos?0t，则其频谱密度
F(?)按式 (2.2-10)计算，可以写为参照式 (2.2-19)，上式可以改写为
引入?(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。
2
)(
2
)(
2
lim
2/)(
]2/)s in [ (
2/)(
]2/)s in [ (
2
limc o slim)(
00
0
0
0
0
2/
2/
0
SaSa
dtteF tj
)]()([)( 00F
t?0－?0 0
(b) 频谱密度(a) 波形
11
能量谱密度设一个能量信号 s(t)的能量为 E，则其能量由下式决定：
若此信号的频谱密度，为 S(f )，则由巴塞伐尔定理得知：
上式中 |S(f )|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：
式中,G(f )＝ |S(f)|2 （ J / Hz） 为能量谱密度。
G(f )的性质：因 s(t)是实函数，故 |S(f )|2 是偶函数,∴
dttsE )(2
dffSdttsE 22 )()(
dffGE )(
0 )(2 dffGE
12
功率谱密度令 s(t)的截短信号为 sT(t),-T/2 < t <T/2，则有定义功率谱密度为：
得到信号功率：
dffSdttsE TT T T 22/ 2/ 2 )()(
2)(1l i m)( fS
TfP TT
dffPdffSTP T T TT )()(1lim 2/ 2/ 2
13
2.2.2 时域性质
自相关函数
能量信号的自相关函数定义：
功率信号的自相关函数定义：
性质：
R(?)只和?有关，和 t 无关
当?= 0时，能量信号的 R(?)等于信号的能量；
功率信号的 R(?)等于信号的平均功率。
dttstsR )()()(
2/ 2/ )()(1lim)( T TT dttstsTR
14
互相关函数
能量信号的互相关函数定义：
功率信号的互相关函数定义：
性质：
1,R12(?)只和?有关，和 t 无关；
2.
证,令 x = t +?,则
,)()()( 2112 dttstsR
2/ 2/ 2112,)()(1lim)( T TT dttstsTR
)()( 1221 RR
)()]([)(
)()()()()(
1221
121221
Rdxxsxs
dxxsxsdttstsR
15
2.3 随机信号的性质
2.3.1 随机变量的概率分布
随机变量的概念：若某种试验 A的随机结果用 X表示，则称此
X为一个随机变量，并设它的取值为 x。
例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
随机变量的分布函数：
定义,FX(x) = P(X? x)
性质,∵ P(a < X? b) + P(X? a) = P(X? b),
P(a < X? b) = P(X? b) – P(X? a)，
∴ P(a < X? b) = FX(b) – FX(a)
16
离散随机变量的分布函数：
设 X的取值为,x1? x2? …? xi? xn，其取值的概率分别为 p1,p2,…,pi,…,pn，则有
P (X < x1) = 0,P(X? xn) = 1
∵ P(X? xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
性质：
FX(-?) = 0
FX(+?) = 1
若 x1 < x2，则有,FX(x1)? FX(x2),
为单调增函数。
n
i
k
ikX
xx
xxxp
xx
xF
1
0
)(
1
11
1
17
连续随机变量的分布函数：
当 x连续时，由定义分布函数定义
FX(x) = P(X? x)
可知,FX(x) 为一连续单调递增函数：
18
2.3.2 随机变量的概率密度
连续随机变量的概率密度 pX (x)
pX (x)的定义：
pX (x)的意义：
pX (x)是 FX (x)的导数，是 FX (x)曲线的斜率
能够从 pX (x)求出 P(a < X? b)：
pX (x)的性质：
dx
xdFxp X
X
)()(?
ba X dxxpbXaP )()(
x XX dyypxF )()(
pX(x)? 0
1)( dxxp X
19
离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：
式中,pi－ x = xi 的概率
u(x) － 单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：
性质：
当 x? xi 时,px (x) = 0，
当 x = xi 时,px (x) =?
n
i
iiX xxupxF
1
)()(
n
i
iiX xxpxp
1
)()(?
20
2.4 常见随机变量举例
正态分布随机变量
定义：概率密度式中,?> 0,a = 常数
概率密度曲线：
2
2
2
)(e x p
2
1)(
axxp
X
21
均匀分布随机变量
定义：概率密度式中,a,b为常数
概率密度曲线：
其他0
)/(1)( bxaabxp
X
ba x0
pA(x)
22
瑞利 (Rayleigh)分布 随机变量
定义：概率密度为式中,a > 0，为常数。
概率密度曲线：
0)e x p (2)( 2 xaxa xxp X
23
2.5 随机变量的数字特征
2.5.1 数学期望
定义：对于连续随机变量
性质：
若 X和 Y互相独立，且 E(X)和 E(Y)存在。
dxxxpXE X )()(
CCE?)(
)()()( YEXEYXE
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE
)()( XECXCE
)()()( YEXEXYE?
C E ( X )E ( C X )?
24
2.5.2 方差
定义：
式中，
方差的改写：
证：
对于离散随机变量，
对于连续随机变量，
性质：
D( C ) = 0
D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)
])[()( 22 XXEXD X
的数学期望－－标准偏差,XXX?
22)( XXXD
22222222 2]2[])[( XXXXXXXXXEXXE
ii i pXxXD 2)()(
dxxpXxXD X )()()( 2
25
2.5.3 矩
定义：随机变量 X的 k阶矩为
k阶原点矩,a = 0时的矩：
k阶中心矩,时的矩：
性质：
一阶原点矩为数学期望：
二阶中心矩为方差：
dxxpaxaXE Xkk )()(])[(
dxxpxXm Xkk )()(
Xa?
dxxpXxXM Xkk )()()(
)()(1 XEXm?
22 )()( XXDXM
26
2.6 随机过程
2.6.1 随机过程的基本概念
X(A,t) － 事件 A的全部可能,实现,的总体；
X(Ai,t) － 事件 A的一个实现，为确定的时间函数；
X(A,tk) － 在给定时刻 tk上的函数值。
简记,X(A,t)? X(t)
X(Ai,t)? Xi (t)
例：接收机噪声
随机过程的数字特征：
统计平均值：
方差：
自相关函数：
)()()]([ iXXi tmdxxxptXE i
2) ] }([)({)]([ iii tXEtXEtXD
)]()([),( 2121 tXtXEttR X?
27
2.6.2 平稳 随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。
（又称严格平稳随机过程）
广义平稳随机过程的定义：
平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。
广义平稳随机过程的性质：
严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。
常数 Xm E [X ( t ) ]
常数 22 X) ] }t(X[E)t(X{E)]t(X[D?
21 tt)(R )t-(tR )t,(tR X21X21X
28
2.6.3 各态历经性
,各态历经,的含义：
平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。
各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
各态历经过程的统计平均值 mX：
各态历经过程的自相关函数 RX(?):
一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。
2/ 2/ )(1l i m T T iTX dttXTm
2/ 2/ )()(1lim)( T T iiTX dttXtXTR
29
稳态通信系统的各态历经性：
假设信号和噪声都是各态历经的。
一阶原点矩 mX= E[X(t)] － 是信号的直流分量；
一 阶原点矩的平方 mX 2 － 是信号直流分量的归一化功率；
二阶原点矩 E [X 2( t )] － 是信号归一化平均功率；
二阶原点矩的平方根 {E [X 2(t)]}1/2 － 是信号电流或电压的均方根值（有效值）；
二阶中心矩?X2 － 是信号交流分量的归一化平均功率 ;
若 mX = mX 2 = 0，则?X2 = E [X 2( t )] ；
标准偏差?X － 是信号交流分量的均方根值；
若 mX = 0，则?X就是信号的均方根值 。
30
2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
自相关函数的性质
功率频谱密度的性质
复习：确知信号的功率谱密度：
类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：
平均功率：
XPtXER )]([)0( 2
)()( RR
)0()( RR
)]([)( 2 tXER
2)()0( XRR
T
fSfP T
T
2)(
lim)(
T
fSEfPEfP T
TX
2)(
lim)]([)(
dfT fSEdffPP TTXX ])([l i m)(
2
31
自相关函数和功率谱密度的关系由式中，
令? =t – t’,k =t + t’，则上式可以化简成于是有
2/
2/
2/
2/
)'(
2/
2/
'
2/
2/
2/
2/
'
2/
2/
2
')'(
1
')'()(
1
')'(*)(
1])([
T
T
T
T
ttj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
T
tj
T
T
dtdtettR
T
dtetsdtets
T
E
dtetsdtets
T
E
T
fSE
)]()([)( tstsEttR
T T jT deRTT fSE)(1])([
2
deR
deR
TT
fSE
fP
j
T
T
j
T
T
T
X
)(
)(1lim
])([
lim)(
2
32
上式表明,PX(f )和 R(?)是一对傅里叶变换：
PX(f )的性质：
PX(f )? 0,并且 PX(f )是实函数。
PX(f ) ＝ PX(-f )，即 PX(f )是偶函数。
【 例 2.7】 设有一个二进制数字信号 x(t),如图所示，其振幅为 +a或 -a；在时间 T 内其符号改变的次数 k服从泊松分布式中,?是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。
试求其相关函数 R(?)和功率谱密度 P(f)。
deRfP jX )()(
dfefPR jX )()(
0,!)()( kk eTkP Tk
+a
-a
x(t)
t
t
0
t-?
33
解,由图可以看出，乘积 x(t)x(t-?)只有两种可能取值,a2,或
-a2。因此，式可以化简为：
R(?) = a2? [a2出现的概率 ] + (-a2)? [(-a2)出现的概率 ]
式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。
若在? 秒内 x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;
若在? 秒内 x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。
因此，
用? 代替泊松分布式中的 T，得到
)]t(x)t(x[E)(R
])5()3()1([
])4()2()0([)]()([)(
2
2
PPPa
PPPatxtxER
222
32
2 ]
!3
)(
!2
)(
!1
1[)(
eaeea
eaR?
34
由于在泊松分布中?是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当?取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：
其功率谱密度 P( f )可以由其自相关函数 R(?)的傅里叶变换求出：
P( f )和 R(?)的曲线：
22)( eaR?
22)( eaR
4
)()(
2
2
20
22
0
22
22
a
deeadeea
deeadeRfP
jj
jj
35
【 例 2.8】 设一随机过程的功率谱密度 P( f )如图所示。试求其自相关函数 R(?)。
解：
∵ 功率谱密度 P( f )已知，
∴
式中，
自相关函数曲线：
0
0
2
2c o s
2
2s i n
4
2c o s22c o s)(2)()(
2
1
f
f
f
fA
dffAdfffPdfefPR
f
f
fj
2,2 12012
ffffff
36
【 例 2.9】 试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。
解,白噪声是指具有均匀功率谱 密度 Pn( f )的噪声，即
Pn( f ) ＝ n0/2
式中,n0为单边功率谱密度 （ W/Hz）
白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得,
由上式看出,白噪声的任何两个相邻时间 （ 即 0时 ） 的抽样值都是不相关的 。
白噪声的平均功率,
上式表明,白噪声的平均功率为无穷大 。
)(22)()( 00 ndfendfefPR jjX
)0(2)0( 0?nR
Pn(f)
n0/2
0 f
Rn(?)
n0/2
0
37
带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
带限白噪声：带宽受到限制的白噪声
带限白噪声的功率谱密度：
设白噪声的频带限制在 (-fH,fH)之间，则有
Pn(f) = n0 / 2,-fH < f < fH
= 0,其他处其自相关函数为：
曲线：
H
H
H
f
f
j
f
ffndfenR H
H 2
2s in
22)(
00
n0/2
Pn(f)
0 f-fH fH
Rn(?)
0
1/2fH-1/2fH
38
2.7 高斯过程（正态随机过程）
定义：
一维高斯过程的概率密度：
式中,a = E[X(t)] 为均值
2 = E[X(t) - a]2 为方差
为标准偏差
∵ 高斯过程是平稳过程，故其概率密度 pX (x,t1)与 t1无关，
即,pX (x,t1) ＝ pX (x)
pX (x)的曲线：
2
2
1 2e x p2
1),(
axtxp
X
39
高斯过程的严格定义：任意 n维联合概率密度满足：
式中,ak为 xk的数学期望（统计平均值）；
k为 xk的标准偏差；
|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子；
bjk为归一化协方差函数，即
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nnX
axax
B
BB
tttxxxp
1 1
2/1
21
2/
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
1
1
1
21
221
112
nn
n
n
bb
bb
bb
B?
kj
kkjj
jk
axaxEb
40
n维高斯过程的性质
pX (x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)仅由各个随机变量的数学期望
ai、标准偏差?i和归一化协方差 bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程 。
若 x1,x2,…,xn等两两之间互不相关,则有当 j? k 时,bjk
= 0。这时，
即，此 n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。
若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者 互不相关 ；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者 互相独立 。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。
高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。
),(),(),(
2
e x p
2
1
),,,;,,,(
2211
2
2
1
2121
nnXXX
k
kk
n
k k
nnX
txptxptxp
ax
tttxxxp
41
正态概率密度的性质
p(x)对称于直线 x = a，即有：
p(x)在区间 (-?,a)内单调上升，在区间 (a,?)内单调下降，
并且在点 a处达到其极大值当 x? -?或 x? +?时,p(x)? 0。
若 a = 0,? = 1，则称这种分布为标准化正态分布：
)()( xapxap
)2/(1
1)( dxxp
a a dxxpdxxp 2/1)()(
2e x p21)(
2x
xp?
42
正态分布函数
将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,
式中,?(x)称为概率积分函数,
此积分不易计算，通常用查表方法计算。
ax
dz
az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
dzzx x?
2e x p2
1)( 2
43
用误差函数表示正态分布
误差函数定义：
补误差函数定义：
正态分布表示法：
dzexe r f x z 0 22)(?
dzedzexe r fxe r fc x zx z 22 221)(1)( 0
ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,,
22
1
2
1
)(
44
频率近似为 fc
2.8 窄带随机过程
2.8.1 窄带随机过程的基本概念
何谓窄带？
设 随机过程的频带宽度为?f，中心频率为 fc。若?f << fc，
则称此随机过程为窄带随机过程。
窄带随机过程的波形和表示式
波形和频谱：
45
表示式式中,aX(t) － 窄带随机过程的随机包络；
X(t) －窄带随机过程的随机相位；
0 － 正弦波的角频率。
上式可以改写为：
式中，
－ X (t)的同相分量
－ X (t)的正交分量
00 )t(a) ],t(tc o s [)t(a)t(X XXX
ts i n)t(Xtco s)t(X)t(X sc 00
)(c o s)()( ttatX XXc
)(s i n)()( ttatX XXs
46
2.8.2 窄带随机过程的性质
Xc(t)和 Xs(t)的统计特性：
设 X(t)是一个均值为 0的平稳窄带高斯过程，则
Xc(t)和 Xs(t)也是高斯过程；
Xc(t)和 Xs(t) 的方差相同，且等于 X(t)的方差 ；
在同一时刻上得到的 Xc和 Xs是不相关的和统计独立的。
aX(t)和?X(t)的统计特性：
窄带平稳随机过程包络 aX(t)的概率密度等于：
窄带平稳随机过程相位?X(t)的概率密度等于：
02e x p)( 2
2
2
X
X
X
X
X
X a
aaap
202 1)( XXp
47
2.9 正弦波加窄带高斯过程
通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：
正弦波加噪声的表示式：
式中,A － 正弦波的确知振幅；
0 － 正弦波的角频率；
－ 正弦波的随机相位；
n(t) － 窄带高斯噪声。
r (t )的包络的概率密度,
式中,? 2 － n(t)的方差；
I0(?) － 零阶修正贝塞尔函数。
pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯 (Rice)分布。
当 A = 0时,pr(x) 变成瑞利概率密度。
)()c o s ()( 0 tntAtr
0,2 1e x p)( 222202 xAxAxIxxp r
48
r (t )的相位的条件概率密度,
式中,?－ r( t )的相位，包括正弦波的相位?和噪声的相位
pr(? /? ) － 给定?的条件下,r( t )的相位的条件概率密度
r (t )的相位的概率密度,
当?= 0时，
式中，
2/1
2
2
2
2/1
22
2
c o s
1s in
2
e x p
22
c o s
2
2/e x p
)/(
A
e r f
AA
A
p r
dppp rrr /)( 20
20e x p)](1[12e x p2 1)0/( 222
GGe r fGAp
r
2
c o sAG G t dteGe r f
0
22)(
49
瑞利分布
r
概率密度包络 r
(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度
(b) 莱斯分布相位的概率密度
莱斯分布的曲线
当 A/?= 0时，
包络?瑞利分布相位?均匀分布
当 A/?很大时，
包络?正态分布相位?冲激函数
50
2.10 信号通过线性系统
2.10.1 线性系统的基本概念
线性系统的特性
有一对输入端和一对输出端
无源
无记忆
非时变
有因果关系：当前输出只决定于当前和过去的输入
有线性关系：满足叠加原理若当输入 为 xi(t)时，输出为 yi(t)，则当输入 为时，输出为：
式中,a1和 a2均为任意常数。
)()()( 2211 txatxatx
)()()( 2211 tyatyaty
51
线性系统的示意图
2.10.2 确知信号通过线性系统
时域分析法设 h(t) － 系统的冲激响应
x(t) － 输入信号波形
y(t) －输出信号波形则有：
线性系统输入 输出
x(t) y(t)
X(f) Y(f)
h(t)
H(f)
图 2.10.1 线性系统示意图
t
(t)
h(t)
t
0
0
dhtx
dthx
thtxty
)()(
)()(
)()()(
dtth
tth
)(
0,0)(
对于物理可实现系统：
52
频域分析法
设：输入为能量信号，令
x( t ) － 输入能量信号
H( f ) － h( t )的 傅里叶变换
X( f ) － x( t )的 傅里叶变换
y( t ) － 输出信号则此系统的输出信号 y( t )的频谱密度 Y( f )为：
由 Y( f )的逆傅里叶变换可以求出 y( t )：
)()()( fHfXfY
dfefYty tj?)()(
53
设：输入 x( t )为周期性功率信号，则有式中，
输出为：
设：输入 x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理
n
tjnejnCtx 0)()(
0
2/ 2/
0
0
0
0
0)(1)( T
T
tjn dtetx
TjnC
0 = 2?/T0
T0 － 信号的周期
f0 =?0 / 2?是信号的基频
n
tjnenHjnCty 0)()()(
00
54
【 例 2.10】 若有一个 RC低通滤波器，如图 2.10.4所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。
解,设 x(t) －输入能量信号
y(t) － 输出能量信号
X(f) － x(t)的频谱密度
Y(f) － y(t)的频谱密度则 此电路的传输函数为：
此滤波器的冲激响应 h(t)：
图 2.10.4 RC滤波器
R
Cx(t) y(t)
RCjCjR
CjfH
1
1
)/1(
/1)(
RCttjtj eRCdfeRCjdfefHth /11 1)()(
55
滤波器输出和输入之间的关系：
假设 输入 x(t)等于：
则此滤波器的输出为：
dexRCdthxthtxty RCt /)()(1)()()()()(
0,0
0,)(
t
tetx at
a R C
ee
aRC
e
RC
e
dee
RC
ty
RCtat
t
aRCRCtt
RCta
1
/1
1
)(
/
0
)/1(/
0
/)(
56
无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号 x(t),
则其无失真输出信号 y(t)为：
式中,k－ 衰减常数，
td － 延迟时间。
求系统的传输函数：
对上式作傅里叶变换：
∴
式中，
无失真传输条件：
振幅特性与频率无关；
相位特性是通过原点的直线。
（实际中,?难测量，常用测量 td代替。）
)()( dttkxty
dtjefkXfY )()(
dtjefkXfHfXfY )()()()(
jtj keke)f(H d
dft 2?
|H(f)|
k
0 f
f0
57
2.10.3 随机信号通过线性系统
物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有若输入为平稳随机信号 X(t)，则输出 Y(t)为
输出 Y(t)的数学期望 E[Y(t)]
由于已假设输入是平稳随机过程，故
∵
∴ 输出的数学期望：
0 )()()( dtxhty
0 )()()( dtXhtY
00 )]([)()()()]([ dtXEhdtXhEtYE
E[X(t-?)] = E[X(t)] = k,k = 常数。
0 )()]([ dhktYE
0000 dt)t(h|dte)t(h|)f(H)(H ftjf?
)0()( kHtYE?
58
输出 Y(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由 X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与 t1无关，故有
∴
由于 Y(t)的数学期望和自相关函数都和 t1无关，故 Y(t)是广义平稳随机过程。
0 0
11
0 0
11
1111
)()()()(
)()()()(
)()(),(
dudvvtXutXEvhuh
dvvtXvhduutXuhE
tYtYEttR Y
vuRvtXutXE X )()( 11
0 011 )()()(, YXY Rd u d vvuRvhuhttR
59
输出 Y(t)的功率谱密度 PY( f ),
由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令=? +u - v代入上式，得到
∴ 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。
dvevuRvhuhdud
deRfP
j
X
j
YY
0 0
)()()(
)()(
)()()()()(*
)()()()(
2
00
fPfHfPfHfH
deRdvevhdueuhfP
XX
j
X
vjuj
Y
60
【 例 2.11】 已知一个白噪声的双边功率谱密度为 n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。
解,因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
所以有输出信号的功率谱密度为输出信号的自相关函数输出噪声功率,PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH
其它处,0
,)( Htj ffkefH d?
HffkfH,)( 22
HXY ff
nkfPfHfP,
2)()()( 0
22
)2/2( s i n4/)()( 0202 Hf f HHjjYY fffnkdfenkdfefPR H
H
61
2.11 小结
