1
第四章 模拟信号的数字化
4.1 引言
两类信源：模拟信号、数字信号
模 /数变换的三步骤：抽样、量化和编码
最常用的模 /数变换方法：脉冲编码调制 (PCM)
2
4.2 模拟信号的抽样
4.2.1 低通模拟信号的抽样
通常是在等间隔 T上抽样
理论上，抽样过程 ＝ 周期性单位冲激脉冲?模拟信号
实际上,抽样过程 ＝ 周期性单位窄脉冲?模拟信号
抽样定理：若一个连续模拟信号 s(t)的最高频率小于 fH，则以间隔时间为 T? 1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时,s(t)将被这些抽样值所完全确定。
模拟信号
s(t)
模拟信号的抽样
3
抽样定理的证明：
设,s(t) － 最高频率小于 fH的信号，
T(t) － 周期性单位冲激脉冲，其重复周期为 T，重复频率为 fs = 1/T
则抽样信号为：
设 sk(t)的傅里叶变换为 Sk(f),则有,
式中，
Sk(f) － sk(t)的频谱
S(f) － s(t)的频谱
( f ) －?T(t)的频谱
(f )是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出等于：
)()()()( kTsttsts Tk?
)()()( ffSfS k
n
snffTf )(
1)(?
4
将 代入,
得到由上式看出：由于 S(f - nfs)是信号频谱 S(f)在频率轴上平移了 nfs的结果，所以抽样信号的频谱 Sk(f)是无数间隔频率为 fs
的原信号频谱 S(f)相叠加而成。
因已经假设 s(t)的最高频率小于 fH，所以若上式中的频率间隔 fs? 2fH，则 Sk(f)中包含的每个原信号频谱 S(f )之间互不重叠，如图所示。这样就能够从 Sk(f )中分离出信号 s(t)的频谱 S(f)，并能够容易地从 S(f)得到 s(t)；也就是能从抽样信号中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。
这里，恢复原信号的条件是：
2fH称为 奈奎斯特 (Nyquist)抽样速率 。与此相应的最小抽样时间间隔称为 奈奎斯特抽样间隔 。
1( ) ( )
snf f n fT?
( ) ( ) ( )kS f S f f
11( ) ( ) ( ) ( )
k s s
n
S f S f f n f S f n fTT?
2sHff?
5
由抽样信号恢复原信号的方法,
从频域看,当 fs? 2fH时，用一个截止频率为 fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。
从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，
滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。
理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。 所以，实用的抽样频率 fs 必须比 2fH 大较多。
例如，典型电话信号的最高频率限制在 3400 Hz，而抽样频率采用 8000 Hz。
6
4.2.2 带通模拟信号的抽样
带通信号的频带 限制在 fL和 fH之间，即其频谱低端截止频率明显大于零。
要求抽样频率 fs,
式中，
B － 信号带宽,n － 小于 fH/B的最大整数，
0 < k < 1。
由图可见，
当 fL = 0时,fs ＝ 2B，
当 fL很大时,fs?2B。
图中的曲线表示要求的最小 抽样频率 fs，
但是这并不意味着 用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
)1(222 nkBnkBBf s
3BB 2B 4B 5B 6B fL0
fs
7
4.2.3 模拟脉冲调制
脉冲振幅调制 PAM
脉冲宽度调制 PDM
脉冲位置调制 PPM
（ a) 基带信号 (b) PAM信号
(c) PDM信号 (d) PPM信号图 4.2.6 模拟脉冲调制
8
4.3 抽样信号的量化
4.3.1 量化原理
量化的目的：
将抽样信号数字化。
量化的方法：
设 s(kT) － 抽样值，
若用 N位二进制码元表示，
则只能 表示 M = 2N个 不同的抽样值。
共有 M个离散电平，它们称为量化电平。
用这 M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。
例：见图，
图示为均匀量化。
图 4.3.1 抽样信号的量化
iiiq mkTsmqkTs )(,)( 1当
9
4.3.2 均匀量化
设：模拟抽样信号的取值范围,a～ b
量化电平数 ＝ M
则均匀量化时的量化间隔为：
量化区间的端点为：
若量化输出电平 qi 取 为量化间隔的中点，则有
量化噪声＝量化输出电平和量化前信号的抽样值 之差
信号功率与量化噪声之比（简称信号量噪比）
Mabv /)(
viam i
Mimmq iii,...,2,1,2 1
10
求量化噪声 功率的平均值 Nq,
式中,sk为信号的抽样值，即 s(kT)
sq为量化信号值，即 sq(kT)
f(sk)为信号抽样值 sk的概率密度
E表示求统计平均值
M为量化电平数
求信号 sk的平均功率,
由上两式可以求出平均量化信噪比。
ba
M
i
m
m kkikkkqkqkq
i
i
dssfqsdssfssssEN
1
222
1
)()()()(])[(
viam i
2
vviaq
i
ba kkkk dssfssES )()( 22
11
【 例 4.1】 设一个均匀 量化器的量化电平数为 M，其输入信号抽样值在区间 [-a,a]内具有均匀的概率密度。试求该量化器的平均信号量噪比。
解：
∵ ∴
或 （ dB）
a
vMv
a
ds
a
v
vias
ds
a
qsdssfqsN
M
i
M
i
via
via
kk
M
i
m
m
kik
M
i
m
m
kkikq
i
i
i
i
24122
1
2
1
)
2
(
2
1
)()()(
3
1
2
1
)1(
2
1
2
1
2
11
avM 2
12
2v
N q
a a kk vMdsasS 222 )(122 1
2M
N
S
q
M
N
S
dBq
lg20
12
4.3.3 非均匀量化
均匀量化的缺点,量化噪声 Nq是确定的。但是，信号的强度可能随时间变化，例如语音信号。当信号小时，信号量噪比也就很小。非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比。
非均匀量化原理：用一个非线性电路将输入电压 x 变换成输出电压 y,y = f (x)
当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为或设 x和 y的范围都限制在 0和 1之间，
且纵座标 y在 0和 1之间均匀划分成 N个量化区间，则有区间间隔为：
∴
ydxdyxy ydydxx
Ny
1
dy
dx
Nydy
dxx 1
13
由有为了保持信号量噪比恒定，要求,?x? x
即要求,dx/dy? x 或 dx/dy = kx,式中 k =常数由上式解出：
为了求 c,将边界条件 (当 x = 1时,y = 1)，代入上式，得到
k + c =0,即求出,c = -k,将 c值代入上式，得到由上式看出，为了保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性为对数特性 。
对于电话信号,ITU制定了两种建议，即 A压缩律和?压缩律，以及相应的近似算法 － 13折线法和 15折线法。
dy
dx
Nydy
dxx 1
xNdydx
ckyxln
kkyxln x
ky ln
11
14
A压缩率式中,x为压缩器归一化输入电压；
y为压缩器归一化输出电压；
A为常数，决定压缩程度。
A律中的常数 A不同，则压缩曲线的形状不同。它将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择 A等于
87.6。
1
1
,
ln1
ln1
1
0,
ln1
x
AA
Ax
A
x
A
Ax
y
15
13折线压缩特性 － A律的近似
A律是平滑曲线，用电子线路很难准确地实现，但很容易用数字电路来近似实现。
13折线特性就是近似于 A律的特性。
图中 x在 0～ 1区间中分为不均匀的 8段。 1/2至 1间的线段称为第 8段； 1/4至 1/2间称为第 7段； 1/8至 1/4间称为第 6段；
依此类推，直到 0至 1/128间的线段称为第 1段。
纵坐标 y则均匀地划分作 8段。将这 8段相应的座标点 (x,y)
相连，就得到了一条折线。
除第 1和 2段外，其他各段折线的斜率都不相同：
折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8
斜 率 16 16 8 4 2 1
对交流信号，正负第 1和 2段斜率相同，故共有 13段折线。
16
A律和 13折线法比较
i 8 7 6 5 4 3 2 1 0
y =1-i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
A律 x值 0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1
13折线法 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1
x=1/2i
折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8
折线斜率 16 16 8 4 2 1
从表中看出,13折线法和 A = 87.6时的 A律压缩法十分接近。
17
压缩律和 15折线压缩特性
A律中，选用 A=87.6有两个目的,
1,使曲线在原点附近的斜率＝ 16，使 16段折线简化成 13段；
2,使转折点上 A律曲线的横坐标 x值? 1/2i (i = 0,1,2,…,7) 。
若仅要求满足第二个目的：仅要求满足当 x = 1/2i 时,y = 1 – i/8，则可以得到?律：
15折线：近似?律
1ln
1ln xy
255
12
255
1256
255
1256 8/ iiyx
18
15折线法的转折点坐标和各段斜率
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
x=(2i - 1)/255 0 1/255 3/255 7/255 15/255 31/255 63/255 127/255 1
斜率? 255 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024
段号 1 2 3 4 5 6 7 8
由于其第 1段和第 2段的斜率不同，
不能合并为一条直线，故考虑交流电压正负极性后，共得到
15段折线。
19
13折线法和 15折线法比较比较 13折线特性和 15折线特性的第一段斜率可知,15折线特性第一段的斜率（ 255/8）大约是 13折线特性第一段斜率
（ 16）的两倍。
所以,15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是 13折线特性的两倍。
但是，对于大信号而言,15折线特性给出的信号量噪比要比 13折线特性时稍差。这可以从对数压缩式 (4.3-22)看出，
在 A律中 A值等于 87.6；但是在 m律中，相当 A值等于 94.18。 A
值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。
20
非均匀量化和均匀量化的比较现以 13折线法为例作一比较。若用 13折线法中的（第 1和第 2
段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则 13折线法中第 1
至第 8段包含的均匀量化间隔数分别为 16,16,32,64,128,256、
512,1024，共有 2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有 128
个量化间隔。
因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要
11比特编码，而非均匀量化只要 7比特就够了。
21
4.4 脉冲编码调制
4.4.1脉冲编码调制（ PCM）的基本原理
抽样? 量化? 编码
例：见右图
3.15? 3? 011
3.96? 4? 100
方框图：
7
6
5
4
3
2
1
3
4
5
6
7
6
011 100 101 110 111 110
3.15
3.96
5.00
6.38 6.80 6.42
抽样值量化值二进制符号抽样保持量化编码解码低通滤波编码器 解码器模拟信号输入
PCM
信号模拟信号输出
22
4.4.2 自然二进制码和折叠二进制码
折叠二进制码的特点：
有映像关系，最高位可以表示极性，使编码电路简化；
误码对小电压影响小，可减小语音信号平均量化噪声。
量化值序号 量化电压极性 自然二进制码 折叠二进制码
15
14
13
12
11
10
9
8
正极性
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
7
6
5
4
3
2
1
0
负极性
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
23
13折线法中采用的折叠码
共 8位,c1至 c8
c1：极性
c2 ～ c4：段落码 － 8种段落斜率
c5 ～ c8：段内码 － 16个量化电平段落序号 段落码
c2 c3 c4
8 111
7 110
6 101
5 100
4 011
3 010
2 001
1 000
量化间隔 段内码
c5 c6 c7 c8
15 1111
14 1110
14 1101
12 1100
11 1011
10 1010
9 1001
8 1000
7 0111
6 0110
5 0101
4 0100
3 0011
2 0010
1 0001
0 0000
24
4.4.3 PCM系统的 量化噪声在 4.3.2节中，已求出：均匀量化时的信号量噪比为
S / Nq = M 2
当采用 N位二进制码编码时,M = 2N,故有
S / Nq = 22N
由抽样定理，若信号为限制在 f H的低通信号，则抽样速率不应低于每秒 2 f H次。
对于 PCM系统，这相当于要求传输速率? 2NfH b/s，故要求系统带宽 B = NfH，即要求,N = B/fH，代入上式，得到上式表明,PCM系统的输出信号量噪比随系统的带宽 B
按指数规律增长。
)2 ( B / f H2 Nq / S?
25
4.5 差分脉冲编码调制
4.5.1差分脉冲编码调制 (DPCM)的原理
线性预测基本原理
利用前面的几个抽样值的线性组合来预测当前的抽样值，
称为线性预测。
当前抽样值和预测值之差，称为预测误差。
由于相邻抽样值之间的相关性，预测值和抽样值很接近，
即误差的取值范围较小。
对较小的误差值编码，可以降低比特率。
26
线性预测编解码器原理方框图：
编码器：见右图
s(t) － 输入信号；
sk ＝ s(kT) － s(t)的抽样值；
s?k － 预测值；
ek － 预测误差；
rk － 量化预测误差；
s*k － 预测器输入 ；
s*k 的含义：当无量化误差时,ek = rk,则由图可见：
故 s*k是带有量化误差的 sk。
预测器的输入～输出关系：
式中,p是预测阶数,ai是预测系数 。
相加器
kkkkkkkkk sssssesrs ''''*
p
i
ikik sas
1
*'
27
解码器：见下图编码器中预测器和相加器的连接电路和解码器中的完全一样 。 故当无传输误码时,即当编码器的输出就是解码器的输入时,这两个相加器的输入信号相同,即
rk=r?k。 所以,此时解码器的输出信号 sk*?和编码器中相加器输出信号 sk*相同,即等于带有量化误差的信号抽样值 sk。
DPCM基本原理：当 p = 1,a1 = 1时,s?k = s*k-1，预测器简化成延迟电路，延迟时间为 T。这时，线性预测就成为 DPCM。
rk'
＋ s*
k
28
4.5.1 DPCM系统的量化噪声和信号量噪比
量化噪声：即量化误差 qk,其定义为式中,sk －编码器输入模拟信号抽样值；
sk* －量化后带有量化误差的抽样值。
设,(+?,-?) － 预测误差 ek的范围；
M － 量化器的量化电平数；
v － 量化间隔；
则有设：量化误差 qk在 (-?v,+?v)间均匀分布则 qk的概率分布密度 f (qk)可以表示为：
kkkkkkkkk rersesssq )'('*
vMMv 2 )1(,)1( 2
+?
-?
v
v
0?v
M1
M2
M3
M4
图 4.5.2?,和 M之间关系
vqf k
1)(
29
并且,qk的 平均功率可以表示成：
设,fs － 抽样频率，
N = log2 M － 每个抽样值 编码的码元数，
Nfs － DPCM编码器输出的码元速率，
E(qk2)在 ( 0,Nfs )间均匀分布，
则 E(qk2)的功率谱密度为：
此量化噪声通过 截止频率为 fL的低 通滤波器之后，其功率等于：
－ DPCM系统输出的量化噪声
2/ 2/ 222/ 2/ 22 12 )(1)()( v v kkv v kkkk vdqqvdqqfqqE
s
s
q ffNf
vfP 0,
12
)()( 2
s
L
Lqq f
f
N
vffPN
12
)( 2
30
信号功率：
当预测误差 ek的范围限制在 (+?,-?)时，同时也限制了信号的变化速度。
这就是说，在相邻抽样点之间，信号抽样值的增减不能超过此范围。一旦超过此范围，编码器将发生过载。若抽样点间隔为 T＝ 1 / fs，则将限制信号的斜率不能超过?/ T。
设,输入信号是一个正弦波：
式中,A– 振幅；?0 – 角频率其斜率为 － 最大斜率等于 A?0
为了不发生过载，信号的最大斜率不应超过?/T，即要求故最大允许信号振幅为：
最大允许信号功率为：
tAtm 0s i n)(
tAdt tdm 00 c o s)(
sfTA /0
0m a x / sfA?
2
0
2
22
2
0
222
m a x
822 f
ffAS ss
31
将代入得到
信号量噪比：
上式表明，信号量噪比随编码位数 N和抽样频率 fs的增大而增加 。
2
0
2
22
2
0
222
m a x
822 f
ffAS ss
vM 2 )1(
2
0
2
222
2
0
2
22
2
32
)1(
8
2
1
f
fvM
f
fvM
S s
s
L
s
q ff
fMN
N
S
2
0
3
2
2
8
)1(3
32
4.6 增量调制
4.6.1 增量调制 (DM)原理
增量调制：当 DPCM系统中量化器的量化电平数取为 2，且预测器仍是一个延迟时间为 T 的延迟线时，此 DPCM系统就称作增量调制系统。
33
原理方框图
预测误差 ek = sk – sk’被量化成两个电平 +?和－?。
值称为量化台阶。
rk只取两个值 +?或－?。
例如，可以用,1”表示,+?”，及用,0”表示“－?”。
当无传输误码时,sk* ’ = sk*。
sk*
抽 样 二电平量化＋
－
s(t) sk ek rk
sk’
延 迟
＋
rk' sk*'
(a) 编码器 (b)解码器延 迟
＋
34
在实用中，为了简单起见，通常用一个积分器来代替上述
“延迟相加电路”，如下图所示。
(a) 编码器 (b)解码器积分器抽样 判决
＋
－
s(t) e(t) d(t)
s’(t)
积 分d'(t) 低通
T(t)
s'(t)
输出二进制波形
35
解码原理：
在解码器中，积分器只要每收到一个,1”码元就使其输出升高?V，每收到一个,0”码元就使其输出降低?V，这样就可以恢复出图中的阶梯形电压
。这个阶梯电压通过低通滤波器平滑后，就得到十分接近编码器原输入的模拟信号。
输出二进制波形
36
4.6.2 增量调制系统中的量化噪声
量化噪声的产生
两种产生原因,1,由于编解码时用的阶梯波形本身的电压突跳产生的，见图 (a)。这是基本量化噪声，称为 e1(t)。它伴随着信号永远存在，即只要有信号，就有这种噪声。
2,过载量化噪声，见图 (b)。它发生在输入信号斜率的绝对值过大时。若信号上升的斜率超过阶梯波的最大可能斜率，则阶梯波的上升赶不上信号的上升，就发生了过载量化噪声 e2(t)。
图中示出的这两种量化噪声是经过低通滤波器前的波形。
(a) 基本量化噪声 (b) 过载量化噪声
37
降低量化噪声的途径
基本量化噪声：减小量化台阶?。
过载量化噪声：
设抽样周期为 T，抽样频率为 fs = 1/T，量化台阶为?，
则一个阶梯台阶的斜率 k为：
－ 最大跟踪斜率当输入信号斜率 > 最大跟踪斜率时，将发生过载量化噪声。
避免发生过载量化噪声的途径：使 fs的乘积足够大。
因 若取?值太大，将增大基本量化噪声。所以，只能用增大 fs 的办法增大乘积 fs，才能保证基本量化噪声和过载量化噪声两者都不超过要求。
实际中增量调制采用的抽样频率 fs值比 PCM和 DPCM的抽样频率值都大很多。
当输入电压 <? /2 时，输出为,1”和,0”交替序列。
起始编码电平,? /2
sfTk /
38
量化噪声功率假设：无过载量化噪声，仅考虑基本量化噪声。
低通滤波前，基本量化 噪声 e(t)为均匀分布：
则 e(t)的平均功率为：
假设此功率均匀分布在 0～ fs 间，则其功率谱密度为：
故通过截止频率为 fL的低通滤波器之后，量化噪声功率为由上式看出，它只和量化台阶?与 (fL / fs)有关，和输入信号大小无关。
eef,2 1)(
32 1)()]([ 2222 deedeefeteE
s
s
ffffP 0,3)(
2
s
L
Lq f
fffPN
3)(
2
39
量化信噪比
求信号功率：设输入信号为：
则其斜率为,－ 斜率最大值等于 A?0
为了保证不发生过载，要求,
∴ 保证不过载的临界振幅 Amax应该等于：
由上式得最大信号功率,
求出量化信噪比：
上式表明，最大量化信噪比 和 fs3成正比,而和 f02成反比。
所以，提高抽样频 率 fs 将能显著增大量化信噪比。
tAts 0s in)(
tAdt tds 00 c o s)(
sfT
0A?
0
m a x?
sfA
2
0
2
22
2
0
222
ma x
ma x 822 f
ffAS ss
L
s
L
ss
q ff
f
f
f
f
f
N
S
2
0
3
222
0
2
22
m a x
8
33
8
40
4.7 小结
第四章 模拟信号的数字化
4.1 引言
两类信源：模拟信号、数字信号
模 /数变换的三步骤：抽样、量化和编码
最常用的模 /数变换方法：脉冲编码调制 (PCM)
2
4.2 模拟信号的抽样
4.2.1 低通模拟信号的抽样
通常是在等间隔 T上抽样
理论上，抽样过程 ＝ 周期性单位冲激脉冲?模拟信号
实际上,抽样过程 ＝ 周期性单位窄脉冲?模拟信号
抽样定理：若一个连续模拟信号 s(t)的最高频率小于 fH，则以间隔时间为 T? 1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时,s(t)将被这些抽样值所完全确定。
模拟信号
s(t)
模拟信号的抽样
3
抽样定理的证明：
设,s(t) － 最高频率小于 fH的信号，
T(t) － 周期性单位冲激脉冲，其重复周期为 T，重复频率为 fs = 1/T
则抽样信号为：
设 sk(t)的傅里叶变换为 Sk(f),则有,
式中，
Sk(f) － sk(t)的频谱
S(f) － s(t)的频谱
( f ) －?T(t)的频谱
(f )是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出等于：
)()()()( kTsttsts Tk?
)()()( ffSfS k
n
snffTf )(
1)(?
4
将 代入,
得到由上式看出：由于 S(f - nfs)是信号频谱 S(f)在频率轴上平移了 nfs的结果，所以抽样信号的频谱 Sk(f)是无数间隔频率为 fs
的原信号频谱 S(f)相叠加而成。
因已经假设 s(t)的最高频率小于 fH，所以若上式中的频率间隔 fs? 2fH，则 Sk(f)中包含的每个原信号频谱 S(f )之间互不重叠，如图所示。这样就能够从 Sk(f )中分离出信号 s(t)的频谱 S(f)，并能够容易地从 S(f)得到 s(t)；也就是能从抽样信号中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。
这里，恢复原信号的条件是：
2fH称为 奈奎斯特 (Nyquist)抽样速率 。与此相应的最小抽样时间间隔称为 奈奎斯特抽样间隔 。
1( ) ( )
snf f n fT?
( ) ( ) ( )kS f S f f
11( ) ( ) ( ) ( )
k s s
n
S f S f f n f S f n fTT?
2sHff?
5
由抽样信号恢复原信号的方法,
从频域看,当 fs? 2fH时，用一个截止频率为 fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。
从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，
滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。
理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。 所以，实用的抽样频率 fs 必须比 2fH 大较多。
例如，典型电话信号的最高频率限制在 3400 Hz，而抽样频率采用 8000 Hz。
6
4.2.2 带通模拟信号的抽样
带通信号的频带 限制在 fL和 fH之间，即其频谱低端截止频率明显大于零。
要求抽样频率 fs,
式中，
B － 信号带宽,n － 小于 fH/B的最大整数，
0 < k < 1。
由图可见，
当 fL = 0时,fs ＝ 2B，
当 fL很大时,fs?2B。
图中的曲线表示要求的最小 抽样频率 fs，
但是这并不意味着 用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
)1(222 nkBnkBBf s
3BB 2B 4B 5B 6B fL0
fs
7
4.2.3 模拟脉冲调制
脉冲振幅调制 PAM
脉冲宽度调制 PDM
脉冲位置调制 PPM
（ a) 基带信号 (b) PAM信号
(c) PDM信号 (d) PPM信号图 4.2.6 模拟脉冲调制
8
4.3 抽样信号的量化
4.3.1 量化原理
量化的目的：
将抽样信号数字化。
量化的方法：
设 s(kT) － 抽样值，
若用 N位二进制码元表示，
则只能 表示 M = 2N个 不同的抽样值。
共有 M个离散电平，它们称为量化电平。
用这 M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。
例：见图，
图示为均匀量化。
图 4.3.1 抽样信号的量化
iiiq mkTsmqkTs )(,)( 1当
9
4.3.2 均匀量化
设：模拟抽样信号的取值范围,a～ b
量化电平数 ＝ M
则均匀量化时的量化间隔为：
量化区间的端点为：
若量化输出电平 qi 取 为量化间隔的中点，则有
量化噪声＝量化输出电平和量化前信号的抽样值 之差
信号功率与量化噪声之比（简称信号量噪比）
Mabv /)(
viam i
Mimmq iii,...,2,1,2 1
10
求量化噪声 功率的平均值 Nq,
式中,sk为信号的抽样值，即 s(kT)
sq为量化信号值，即 sq(kT)
f(sk)为信号抽样值 sk的概率密度
E表示求统计平均值
M为量化电平数
求信号 sk的平均功率,
由上两式可以求出平均量化信噪比。
ba
M
i
m
m kkikkkqkqkq
i
i
dssfqsdssfssssEN
1
222
1
)()()()(])[(
viam i
2
vviaq
i
ba kkkk dssfssES )()( 22
11
【 例 4.1】 设一个均匀 量化器的量化电平数为 M，其输入信号抽样值在区间 [-a,a]内具有均匀的概率密度。试求该量化器的平均信号量噪比。
解：
∵ ∴
或 （ dB）
a
vMv
a
ds
a
v
vias
ds
a
qsdssfqsN
M
i
M
i
via
via
kk
M
i
m
m
kik
M
i
m
m
kkikq
i
i
i
i
24122
1
2
1
)
2
(
2
1
)()()(
3
1
2
1
)1(
2
1
2
1
2
11
avM 2
12
2v
N q
a a kk vMdsasS 222 )(122 1
2M
N
S
q
M
N
S
dBq
lg20
12
4.3.3 非均匀量化
均匀量化的缺点,量化噪声 Nq是确定的。但是，信号的强度可能随时间变化，例如语音信号。当信号小时，信号量噪比也就很小。非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比。
非均匀量化原理：用一个非线性电路将输入电压 x 变换成输出电压 y,y = f (x)
当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为或设 x和 y的范围都限制在 0和 1之间，
且纵座标 y在 0和 1之间均匀划分成 N个量化区间，则有区间间隔为：
∴
ydxdyxy ydydxx
Ny
1
dy
dx
Nydy
dxx 1
13
由有为了保持信号量噪比恒定，要求,?x? x
即要求,dx/dy? x 或 dx/dy = kx,式中 k =常数由上式解出：
为了求 c,将边界条件 (当 x = 1时,y = 1)，代入上式，得到
k + c =0,即求出,c = -k,将 c值代入上式，得到由上式看出，为了保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性为对数特性 。
对于电话信号,ITU制定了两种建议，即 A压缩律和?压缩律，以及相应的近似算法 － 13折线法和 15折线法。
dy
dx
Nydy
dxx 1
xNdydx
ckyxln
kkyxln x
ky ln
11
14
A压缩率式中,x为压缩器归一化输入电压；
y为压缩器归一化输出电压；
A为常数，决定压缩程度。
A律中的常数 A不同，则压缩曲线的形状不同。它将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择 A等于
87.6。
1
1
,
ln1
ln1
1
0,
ln1
x
AA
Ax
A
x
A
Ax
y
15
13折线压缩特性 － A律的近似
A律是平滑曲线，用电子线路很难准确地实现，但很容易用数字电路来近似实现。
13折线特性就是近似于 A律的特性。
图中 x在 0～ 1区间中分为不均匀的 8段。 1/2至 1间的线段称为第 8段； 1/4至 1/2间称为第 7段； 1/8至 1/4间称为第 6段；
依此类推，直到 0至 1/128间的线段称为第 1段。
纵坐标 y则均匀地划分作 8段。将这 8段相应的座标点 (x,y)
相连，就得到了一条折线。
除第 1和 2段外，其他各段折线的斜率都不相同：
折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8
斜 率 16 16 8 4 2 1
对交流信号，正负第 1和 2段斜率相同，故共有 13段折线。
16
A律和 13折线法比较
i 8 7 6 5 4 3 2 1 0
y =1-i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
A律 x值 0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1
13折线法 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1
x=1/2i
折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8
折线斜率 16 16 8 4 2 1
从表中看出,13折线法和 A = 87.6时的 A律压缩法十分接近。
17
压缩律和 15折线压缩特性
A律中，选用 A=87.6有两个目的,
1,使曲线在原点附近的斜率＝ 16，使 16段折线简化成 13段；
2,使转折点上 A律曲线的横坐标 x值? 1/2i (i = 0,1,2,…,7) 。
若仅要求满足第二个目的：仅要求满足当 x = 1/2i 时,y = 1 – i/8，则可以得到?律：
15折线：近似?律
1ln
1ln xy
255
12
255
1256
255
1256 8/ iiyx
18
15折线法的转折点坐标和各段斜率
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
x=(2i - 1)/255 0 1/255 3/255 7/255 15/255 31/255 63/255 127/255 1
斜率? 255 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024
段号 1 2 3 4 5 6 7 8
由于其第 1段和第 2段的斜率不同，
不能合并为一条直线，故考虑交流电压正负极性后，共得到
15段折线。
19
13折线法和 15折线法比较比较 13折线特性和 15折线特性的第一段斜率可知,15折线特性第一段的斜率（ 255/8）大约是 13折线特性第一段斜率
（ 16）的两倍。
所以,15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是 13折线特性的两倍。
但是，对于大信号而言,15折线特性给出的信号量噪比要比 13折线特性时稍差。这可以从对数压缩式 (4.3-22)看出，
在 A律中 A值等于 87.6；但是在 m律中，相当 A值等于 94.18。 A
值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。
20
非均匀量化和均匀量化的比较现以 13折线法为例作一比较。若用 13折线法中的（第 1和第 2
段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则 13折线法中第 1
至第 8段包含的均匀量化间隔数分别为 16,16,32,64,128,256、
512,1024，共有 2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有 128
个量化间隔。
因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要
11比特编码，而非均匀量化只要 7比特就够了。
21
4.4 脉冲编码调制
4.4.1脉冲编码调制（ PCM）的基本原理
抽样? 量化? 编码
例：见右图
3.15? 3? 011
3.96? 4? 100
方框图：
7
6
5
4
3
2
1
3
4
5
6
7
6
011 100 101 110 111 110
3.15
3.96
5.00
6.38 6.80 6.42
抽样值量化值二进制符号抽样保持量化编码解码低通滤波编码器 解码器模拟信号输入
PCM
信号模拟信号输出
22
4.4.2 自然二进制码和折叠二进制码
折叠二进制码的特点：
有映像关系，最高位可以表示极性，使编码电路简化；
误码对小电压影响小，可减小语音信号平均量化噪声。
量化值序号 量化电压极性 自然二进制码 折叠二进制码
15
14
13
12
11
10
9
8
正极性
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
7
6
5
4
3
2
1
0
负极性
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
23
13折线法中采用的折叠码
共 8位,c1至 c8
c1：极性
c2 ～ c4：段落码 － 8种段落斜率
c5 ～ c8：段内码 － 16个量化电平段落序号 段落码
c2 c3 c4
8 111
7 110
6 101
5 100
4 011
3 010
2 001
1 000
量化间隔 段内码
c5 c6 c7 c8
15 1111
14 1110
14 1101
12 1100
11 1011
10 1010
9 1001
8 1000
7 0111
6 0110
5 0101
4 0100
3 0011
2 0010
1 0001
0 0000
24
4.4.3 PCM系统的 量化噪声在 4.3.2节中，已求出：均匀量化时的信号量噪比为
S / Nq = M 2
当采用 N位二进制码编码时,M = 2N,故有
S / Nq = 22N
由抽样定理，若信号为限制在 f H的低通信号，则抽样速率不应低于每秒 2 f H次。
对于 PCM系统，这相当于要求传输速率? 2NfH b/s，故要求系统带宽 B = NfH，即要求,N = B/fH，代入上式，得到上式表明,PCM系统的输出信号量噪比随系统的带宽 B
按指数规律增长。
)2 ( B / f H2 Nq / S?
25
4.5 差分脉冲编码调制
4.5.1差分脉冲编码调制 (DPCM)的原理
线性预测基本原理
利用前面的几个抽样值的线性组合来预测当前的抽样值，
称为线性预测。
当前抽样值和预测值之差，称为预测误差。
由于相邻抽样值之间的相关性，预测值和抽样值很接近，
即误差的取值范围较小。
对较小的误差值编码，可以降低比特率。
26
线性预测编解码器原理方框图：
编码器：见右图
s(t) － 输入信号；
sk ＝ s(kT) － s(t)的抽样值；
s?k － 预测值；
ek － 预测误差；
rk － 量化预测误差；
s*k － 预测器输入 ；
s*k 的含义：当无量化误差时,ek = rk,则由图可见：
故 s*k是带有量化误差的 sk。
预测器的输入～输出关系：
式中,p是预测阶数,ai是预测系数 。
相加器
kkkkkkkkk sssssesrs ''''*
p
i
ikik sas
1
*'
27
解码器：见下图编码器中预测器和相加器的连接电路和解码器中的完全一样 。 故当无传输误码时,即当编码器的输出就是解码器的输入时,这两个相加器的输入信号相同,即
rk=r?k。 所以,此时解码器的输出信号 sk*?和编码器中相加器输出信号 sk*相同,即等于带有量化误差的信号抽样值 sk。
DPCM基本原理：当 p = 1,a1 = 1时,s?k = s*k-1，预测器简化成延迟电路，延迟时间为 T。这时，线性预测就成为 DPCM。
rk'
＋ s*
k
28
4.5.1 DPCM系统的量化噪声和信号量噪比
量化噪声：即量化误差 qk,其定义为式中,sk －编码器输入模拟信号抽样值；
sk* －量化后带有量化误差的抽样值。
设,(+?,-?) － 预测误差 ek的范围；
M － 量化器的量化电平数；
v － 量化间隔；
则有设：量化误差 qk在 (-?v,+?v)间均匀分布则 qk的概率分布密度 f (qk)可以表示为：
kkkkkkkkk rersesssq )'('*
vMMv 2 )1(,)1( 2
+?
-?
v
v
0?v
M1
M2
M3
M4
图 4.5.2?,和 M之间关系
vqf k
1)(
29
并且,qk的 平均功率可以表示成：
设,fs － 抽样频率，
N = log2 M － 每个抽样值 编码的码元数，
Nfs － DPCM编码器输出的码元速率，
E(qk2)在 ( 0,Nfs )间均匀分布，
则 E(qk2)的功率谱密度为：
此量化噪声通过 截止频率为 fL的低 通滤波器之后，其功率等于：
－ DPCM系统输出的量化噪声
2/ 2/ 222/ 2/ 22 12 )(1)()( v v kkv v kkkk vdqqvdqqfqqE
s
s
q ffNf
vfP 0,
12
)()( 2
s
L
Lqq f
f
N
vffPN
12
)( 2
30
信号功率：
当预测误差 ek的范围限制在 (+?,-?)时，同时也限制了信号的变化速度。
这就是说，在相邻抽样点之间，信号抽样值的增减不能超过此范围。一旦超过此范围，编码器将发生过载。若抽样点间隔为 T＝ 1 / fs，则将限制信号的斜率不能超过?/ T。
设,输入信号是一个正弦波：
式中,A– 振幅；?0 – 角频率其斜率为 － 最大斜率等于 A?0
为了不发生过载，信号的最大斜率不应超过?/T，即要求故最大允许信号振幅为：
最大允许信号功率为：
tAtm 0s i n)(
tAdt tdm 00 c o s)(
sfTA /0
0m a x / sfA?
2
0
2
22
2
0
222
m a x
822 f
ffAS ss
31
将代入得到
信号量噪比：
上式表明，信号量噪比随编码位数 N和抽样频率 fs的增大而增加 。
2
0
2
22
2
0
222
m a x
822 f
ffAS ss
vM 2 )1(
2
0
2
222
2
0
2
22
2
32
)1(
8
2
1
f
fvM
f
fvM
S s
s
L
s
q ff
fMN
N
S
2
0
3
2
2
8
)1(3
32
4.6 增量调制
4.6.1 增量调制 (DM)原理
增量调制：当 DPCM系统中量化器的量化电平数取为 2，且预测器仍是一个延迟时间为 T 的延迟线时，此 DPCM系统就称作增量调制系统。
33
原理方框图
预测误差 ek = sk – sk’被量化成两个电平 +?和－?。
值称为量化台阶。
rk只取两个值 +?或－?。
例如，可以用,1”表示,+?”，及用,0”表示“－?”。
当无传输误码时,sk* ’ = sk*。
sk*
抽 样 二电平量化＋
－
s(t) sk ek rk
sk’
延 迟
＋
rk' sk*'
(a) 编码器 (b)解码器延 迟
＋
34
在实用中，为了简单起见，通常用一个积分器来代替上述
“延迟相加电路”，如下图所示。
(a) 编码器 (b)解码器积分器抽样 判决
＋
－
s(t) e(t) d(t)
s’(t)
积 分d'(t) 低通
T(t)
s'(t)
输出二进制波形
35
解码原理：
在解码器中，积分器只要每收到一个,1”码元就使其输出升高?V，每收到一个,0”码元就使其输出降低?V，这样就可以恢复出图中的阶梯形电压
。这个阶梯电压通过低通滤波器平滑后，就得到十分接近编码器原输入的模拟信号。
输出二进制波形
36
4.6.2 增量调制系统中的量化噪声
量化噪声的产生
两种产生原因,1,由于编解码时用的阶梯波形本身的电压突跳产生的，见图 (a)。这是基本量化噪声，称为 e1(t)。它伴随着信号永远存在，即只要有信号，就有这种噪声。
2,过载量化噪声，见图 (b)。它发生在输入信号斜率的绝对值过大时。若信号上升的斜率超过阶梯波的最大可能斜率，则阶梯波的上升赶不上信号的上升，就发生了过载量化噪声 e2(t)。
图中示出的这两种量化噪声是经过低通滤波器前的波形。
(a) 基本量化噪声 (b) 过载量化噪声
37
降低量化噪声的途径
基本量化噪声：减小量化台阶?。
过载量化噪声：
设抽样周期为 T，抽样频率为 fs = 1/T，量化台阶为?，
则一个阶梯台阶的斜率 k为：
－ 最大跟踪斜率当输入信号斜率 > 最大跟踪斜率时，将发生过载量化噪声。
避免发生过载量化噪声的途径：使 fs的乘积足够大。
因 若取?值太大，将增大基本量化噪声。所以，只能用增大 fs 的办法增大乘积 fs，才能保证基本量化噪声和过载量化噪声两者都不超过要求。
实际中增量调制采用的抽样频率 fs值比 PCM和 DPCM的抽样频率值都大很多。
当输入电压 <? /2 时，输出为,1”和,0”交替序列。
起始编码电平,? /2
sfTk /
38
量化噪声功率假设：无过载量化噪声，仅考虑基本量化噪声。
低通滤波前，基本量化 噪声 e(t)为均匀分布：
则 e(t)的平均功率为：
假设此功率均匀分布在 0～ fs 间，则其功率谱密度为：
故通过截止频率为 fL的低通滤波器之后，量化噪声功率为由上式看出，它只和量化台阶?与 (fL / fs)有关，和输入信号大小无关。
eef,2 1)(
32 1)()]([ 2222 deedeefeteE
s
s
ffffP 0,3)(
2
s
L
Lq f
fffPN
3)(
2
39
量化信噪比
求信号功率：设输入信号为：
则其斜率为,－ 斜率最大值等于 A?0
为了保证不发生过载，要求,
∴ 保证不过载的临界振幅 Amax应该等于：
由上式得最大信号功率,
求出量化信噪比：
上式表明，最大量化信噪比 和 fs3成正比,而和 f02成反比。
所以，提高抽样频 率 fs 将能显著增大量化信噪比。
tAts 0s in)(
tAdt tds 00 c o s)(
sfT
0A?
0
m a x?
sfA
2
0
2
22
2
0
222
ma x
ma x 822 f
ffAS ss
L
s
L
ss
q ff
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