应力状态 强度理论
1,图示单元体，试求
(1) 指定斜截面上的应力；
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。
解：(1)
(2) MPa
MPa，，MPa
2,某点应力状态如图示。试求该点的主应力。
解：取合适坐标轴令 MPa， MPa
由 得MPa
所以
MPa
MPa，， MPa
3,一点处两个互成平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。
解： MPa， MPa
由
得 MPa
所以
MPa
MPa，， MPa
4,图示封闭薄壁圆筒，内径 mm，壁厚 mm，承受内压 MPa，外力偶矩 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
解： MPa
MPa
MPa
MPa
MPa， MPa， MPa
5,受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。
解：取坐标轴使MPa，MPa
得MPa
MPa
MPa，MPa，
6,某点的应力状态如图示，求该点的主应力及最大切应力。
解：
MPa
所以MPa，MPa，MPa
MPa
7,图示工字形截面梁，截面的惯性矩 m，求固定端截面翼缘和腹板交界处点的主应力和主方向。
解： MPa（压应力）
MPa
MPa
MPa，， MPa
8,图示矩形截面拉杆受轴向拉力，若截面尺寸、和材料的弹性模量，泊松比均已知，试求杆表面方向线段的改变量？
解：，，
，（）
所以
9,一边长为50 mm的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应力 MPa，并已知材料的弹性模量 GPa，泊松比。试求对角线的伸长量。
解：MPa，MPa
mm
10,一变形体四周和底边均与刚性边界光滑接触，上边受均布压力。已知材料的的弹性模量，泊松比，求竖向和水平方向上的应变和应力。
解：，，
，得到
11,设地层由石灰岩组成，其密度 kg/m，泊松比。计算离地面200m深处的地压应力。
解, MPa
，
得到 MPa
12,一体积为 mm的立方铝块，将其放入宽为 mm的刚性槽中。
已知铝的泊松比，求铝块的三个主应力。
解,MPa,
由 得 MPa
13,直径为的实心圆轴，受外力偶作用如图。测得轴表面点与轴线成方向的线应变为，试导出用、、表示的切变弹性模量的表达式。
解：,
，所以
又，所以
14,直径 mm的圆轴，受轴向拉力和力偶矩作用。材料的弹性模量 GPa，泊松比。现测得圆轴表面的轴向线应变，方向的线应变，求和。
解： kN
设力偶矩引起的切应力为
，
MPa，又
kN·m
15,直径 mm的实心钢球，受静水压力 MPa作用。求直径和体积的缩减量。设钢球的弹性模量 GPa，泊松比。
解：因为 MPa
所以
得 mm
mm
16,边长0 mm的立方体，已知弹性模量 GPa，泊松比。如将立方体沉入100 m深的水中，求其体积变化。
解：因为MPa
mm
17,图示拉杆，，，及材料的弹性常数、均为已知。试求线段的正应变和转角。
解：，
所以
又因为，
所以
18,图示曲拐在水平面内，悬臂端处作用铅垂集中力。在上表面处，沿与母线成方向贴一应变片，已测得线应变，求载荷值。已知长度l、a、直径d及材料的常数E、v。
解：应力状态如图示，，
，
所以
所以
19,三个弹性常数之间的关系：适用于
(A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段；
(C)各向同性材料应力在比例极限范围内； (D)任何材料在弹性变形范围内。
答：C
20,一实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态。
(A)单向拉伸应力状态； (B)二向拉伸应力状态；
(C)三向等值拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。
答：C
21,混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板面上涂有润滑剂，则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。
(A)最大压应力； (B)最大切应力； (C)最大伸长线应变； (D)存在横向拉应力。
答：C
22,已知单元体的主应力为，，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为常数 。
证：
常数 得证。
23,受内压的薄壁圆筒，已知内压为，平均直径为，壁厚为，弹性常数为、。试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。
解：，，
24,图示正方形截面棱柱体，弹性常数、均为已知。试比较在下列两种情况下的相当应力。
(a) 棱柱体自由受压；
(b) 棱柱体在刚性方模内受压。
解：(a) ，
(b) ,
所以
所以
25,图示重N的信号牌，受最大水平风力 N，立柱直径 mm。试用第三强度理论计算立柱危险点处的相当应力。
解： MPa
MPa
MPa
26,纯剪切状态的单元体如图，则其第三强度理论相当应力为 。
答：
27,图示单元体所示的应力状态按第四强度理论，其相当应力为：
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：C
28,第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为和，对于纯剪切状态，恒有 。
答：
29,按第三强度理论计算图示单元体的相当应力 。
答：60 MPa
30,图示单元体，第三、四强度理论的相当应力分别为, 。
答：,
31,图示为承受气体压力的封闭薄壁圆筒，平均直径为，壁厚为，气体压强均为已知，用第三强度理论校核筒壁强度的相当应力为 。
答：
32,铸铁轴向受压时，沿图示斜面破坏，试用莫尔强度理论解释该破坏面与竖直线夹角应大于还是小于？
证：利用莫尔理论作极限莫尔圆、包络线和应力圆与单元体间的对应关系来解释。单元体上的面对应于应力圆上的点，以此为基准面及基准点。根据莫尔理论由极限莫尔圆得到的包络线与单向受压极限莫尔圆的交点（即破坏点）可以观出圆弧对应的圆心角。由点面对应关系而知这时在单元体上的破裂面与竖直线间的夹角。
33,试用强度理论证明铸铁在单向压缩时的强度条件为。
证：，
所以
所以
1,图示单元体，试求
(1) 指定斜截面上的应力；
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。
解：(1)
(2) MPa
MPa，，MPa
2,某点应力状态如图示。试求该点的主应力。
解：取合适坐标轴令 MPa， MPa
由 得MPa
所以
MPa
MPa，， MPa
3,一点处两个互成平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。
解： MPa， MPa
由
得 MPa
所以
MPa
MPa，， MPa
4,图示封闭薄壁圆筒，内径 mm，壁厚 mm，承受内压 MPa，外力偶矩 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
解： MPa
MPa
MPa
MPa
MPa， MPa， MPa
5,受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。
解：取坐标轴使MPa，MPa
得MPa
MPa
MPa，MPa，
6,某点的应力状态如图示，求该点的主应力及最大切应力。
解：
MPa
所以MPa，MPa，MPa
MPa
7,图示工字形截面梁，截面的惯性矩 m，求固定端截面翼缘和腹板交界处点的主应力和主方向。
解： MPa（压应力）
MPa
MPa
MPa，， MPa
8,图示矩形截面拉杆受轴向拉力，若截面尺寸、和材料的弹性模量，泊松比均已知，试求杆表面方向线段的改变量？
解：，，
，（）
所以
9,一边长为50 mm的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应力 MPa，并已知材料的弹性模量 GPa，泊松比。试求对角线的伸长量。
解：MPa，MPa
mm
10,一变形体四周和底边均与刚性边界光滑接触，上边受均布压力。已知材料的的弹性模量，泊松比，求竖向和水平方向上的应变和应力。
解：，，
，得到
11,设地层由石灰岩组成，其密度 kg/m，泊松比。计算离地面200m深处的地压应力。
解, MPa
，
得到 MPa
12,一体积为 mm的立方铝块，将其放入宽为 mm的刚性槽中。
已知铝的泊松比，求铝块的三个主应力。
解,MPa,
由 得 MPa
13,直径为的实心圆轴，受外力偶作用如图。测得轴表面点与轴线成方向的线应变为，试导出用、、表示的切变弹性模量的表达式。
解：,
，所以
又，所以
14,直径 mm的圆轴，受轴向拉力和力偶矩作用。材料的弹性模量 GPa，泊松比。现测得圆轴表面的轴向线应变，方向的线应变，求和。
解： kN
设力偶矩引起的切应力为
，
MPa，又
kN·m
15,直径 mm的实心钢球，受静水压力 MPa作用。求直径和体积的缩减量。设钢球的弹性模量 GPa，泊松比。
解：因为 MPa
所以
得 mm
mm
16,边长0 mm的立方体，已知弹性模量 GPa，泊松比。如将立方体沉入100 m深的水中，求其体积变化。
解：因为MPa
mm
17,图示拉杆，，，及材料的弹性常数、均为已知。试求线段的正应变和转角。
解：，
所以
又因为，
所以
18,图示曲拐在水平面内，悬臂端处作用铅垂集中力。在上表面处，沿与母线成方向贴一应变片，已测得线应变，求载荷值。已知长度l、a、直径d及材料的常数E、v。
解：应力状态如图示，，
，
所以
所以
19,三个弹性常数之间的关系：适用于
(A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段；
(C)各向同性材料应力在比例极限范围内； (D)任何材料在弹性变形范围内。
答：C
20,一实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态。
(A)单向拉伸应力状态； (B)二向拉伸应力状态；
(C)三向等值拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。
答：C
21,混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板面上涂有润滑剂，则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。
(A)最大压应力； (B)最大切应力； (C)最大伸长线应变； (D)存在横向拉应力。
答：C
22,已知单元体的主应力为，，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为常数 。
证：
常数 得证。
23,受内压的薄壁圆筒，已知内压为，平均直径为，壁厚为，弹性常数为、。试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。
解：，，
24,图示正方形截面棱柱体，弹性常数、均为已知。试比较在下列两种情况下的相当应力。
(a) 棱柱体自由受压；
(b) 棱柱体在刚性方模内受压。
解：(a) ，
(b) ,
所以
所以
25,图示重N的信号牌，受最大水平风力 N，立柱直径 mm。试用第三强度理论计算立柱危险点处的相当应力。
解： MPa
MPa
MPa
26,纯剪切状态的单元体如图，则其第三强度理论相当应力为 。
答：
27,图示单元体所示的应力状态按第四强度理论，其相当应力为：
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：C
28,第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为和，对于纯剪切状态，恒有 。
答：
29,按第三强度理论计算图示单元体的相当应力 。
答：60 MPa
30,图示单元体，第三、四强度理论的相当应力分别为, 。
答：,
31,图示为承受气体压力的封闭薄壁圆筒，平均直径为，壁厚为，气体压强均为已知，用第三强度理论校核筒壁强度的相当应力为 。
答：
32,铸铁轴向受压时，沿图示斜面破坏，试用莫尔强度理论解释该破坏面与竖直线夹角应大于还是小于？
证：利用莫尔理论作极限莫尔圆、包络线和应力圆与单元体间的对应关系来解释。单元体上的面对应于应力圆上的点，以此为基准面及基准点。根据莫尔理论由极限莫尔圆得到的包络线与单向受压极限莫尔圆的交点（即破坏点）可以观出圆弧对应的圆心角。由点面对应关系而知这时在单元体上的破裂面与竖直线间的夹角。
33,试用强度理论证明铸铁在单向压缩时的强度条件为。
证：，
所以
所以
