弯曲变形
1,已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值Me1/Me2为：
(A) Me1/Me2=2； (B) Me1/Me2=3；
(C) Me1/Me2=1/2； (D) Me1/Me2=1/3。
答：(C)
2,外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：
答：(B)
3,简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力FS与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：
(A)；
(B)；
(C)；
(D)。
答：(B)
4,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度（↓）
则截面C处挠度为：
(A)（↓）； (B)（↓）；
(C)（↓）；(D)（↓）。
答：(C)
5,画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：
6,试画出图示梁的挠曲线大致形状。
答：
7,正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种：
(A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；
(C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：(C)
8,试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
答：x=0,w1=0,=0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a，。
9,试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线的大致形状。
答：
10,画出图示各梁的挠曲线大致形状。
答：
11,作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。
答：
12,弯曲刚度为EI的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为l-2a=0.577l。
证：
令外伸端长度为a，内跨长度为2b，，因对称性，由题意有：
得 a3 + 3a2b -2b3 = 0
a3 + a2b + 2a2b -2b3 = 0
a2 + 2ba -2b2 = 0
a = 0.211l
即 l -2a = 0.577l 证毕。
13,等截面悬臂梁弯曲刚度EI为已知，梁下有一曲面，方程为w = -Ax3。欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。
解：
FS(x) = -6EIA
x=l,M = -6EIAl
F=6EIA（↑），Me=6EIAl（）
14,变截面悬臂梁受均布载荷q作用，已知q、梁长l及弹性模量E。试求截面A的挠度wA和截面C的转角θC。
解：
由边界条件得
（↓）,（）
15,在刚性圆柱上放置一长2R、宽b、厚h的钢板，已知钢板的弹性模量为E。试确定在铅垂载荷q作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l及其中之最大应力。
解：钢板与圆柱接触处有
故
16,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠曲线方程。
解：
（↓）
17,图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。试用积分法求力F作用处点A下降的位移。
解：
（↓）
18,简支梁上自A至B的分布载荷q(x)=-Kx2，K为常数。试求挠曲线方程。
解：
二次积分
x=0,M=0,B=0
x=l,M=0,
x=0,w=0,D=0
x=l,w=0,
（↓）
19,弯曲刚度为EI的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y=Kx3。现在梁B端作用一集中力，如图示。当F力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段梁将与刚性水平面接触。若作用力为F，试求：
（1）梁与水平面的接触长度；
（2）梁B端与水平面的垂直距离。
解：(1) 受力前C处曲率，弯矩M(a)1 = 0
受力后C处曲率，弯矩M(a)2 = -F (l - a)
(2) 同理,受力前x1截面处
受力后x1截面处
积分二次
C=0,D=0
20,图示弯曲刚度为EI的两端固定梁，其挠度方程为
式中A、B、C、D为积分常数。试根据边界条件确定常数A、B、C、D，并绘制梁的剪力FS、弯矩M图。
解：x = 0，w = 0，D = 0
代入方程
21,已知承受均布载荷q0的简支梁中点挠度为，则图示受三角形分布载荷作用梁中点C的挠度为wC= 。
答：（↓）
22,试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA。
解：
（↓）
23,试求图示梁BC段中点的挠度。
解：
（↓）
24,已知梁的弯曲刚度EI。试用叠加法求图示梁截面C的挠度wC。
解：
（↓）
25,已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求图示梁B截面的挠度和转角。
解,（↓）
（）
26,试用叠加法求图示简支梁跨度中点C的挠度。
解：
（↓）
27,试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C的挠度。
解：
（↓）
28,已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为，用叠加法求图示梁中点C的挠度。
解,（↓）
29,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A端的转角θA。
解：
（）
30,弯曲刚度为EI的等截面梁受载荷如图示，试用叠加法计算截面C的挠度wC。
解：（↓）
31,如图所示两个转子，重量分别为P1和P2，安装在刚度分别为EI1及EI2的两个轴上，支承轴是A、B、C、D四个轴承。B、C两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一起。如果四个轴承的高度相同，两根轴在B、C处连接时将出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将A处轴承抬高，试求抬高的高度。
解,,
点A抬高的高度为
32,图示梁AB的左端固定，而右端铰支。梁的横截面高度为h，弯曲刚度为EI，线膨胀系数为，若梁在安装后，顶面温度为t1，底面温度为t2（t2＞t1），试求此梁的约束力。
解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为
由A处边界条件得
而
33,图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。两种材料的弹性模量分别为E1与E2。线膨胀系数分别为与，并且＞。试求温度升高t℃时在B端引起的挠度。
解：＞，梁上凸下凹弯曲
平衡条件 FN1 = FN2 = FN
M1 + M2 = FNh
变形协调 θ1 =θ2，
ε1 =ε2，即ε1N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t
得
其中 A1 = A2 = bh，I1 = I2 =
则 FN1 = FN2 =
M1 =
M2 =
故
34,单位长度重量为q，弯曲刚度为EI的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的一端伸出水平面一小段CD，若伸出段的长度为a，试求钢条抬高水平面BC段的长度b。
解,
35,图示将厚为h = 3 mm的带钢围卷在半径R = 1.2 m的刚性圆弧上，试求此时带钢所产生的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E = 210 GPa，屈服极限= 280 MPa，为避免带钢产生塑性变形，圆弧面的半径R应不小于多少？
解：MPa,
,R = 1.12 m
36,一悬臂梁受分布载荷作用如图示，荷载集度，试用叠加原理求自由端处截面B的挠度wB，梁弯曲刚度EI为常量。
解：
（↑）
37,试用叠加法求图示简支梁跨中截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：
（↓）
38,试求图示超静定梁截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,取悬臂梁为基本系统，wB = 0
，
（↑）
（↓）
39,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：取悬臂梁为基本系统，wB = 0
（↑），（↑），（）
40,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,去C支座，取简支梁AB为基本系统
，（↑）
（↑），（↑）
41,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,去C支座，取简支梁AB为基本系统
，（↑）
（↑），（↓）
42,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
wC = 0，（↑），（↑）
利用对称性取C端固定，以AC段悬梁比拟作基本系统，wA = 0
，（↑）
43,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
（↓）
（↑）
wC = 0，（↑）
（↑）
另解：因对称性，取C处固定的AC悬臂梁为基本系统，wA = 0
，（↑），（↑）
44,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去A支座，以外伸梁为基本系统，wA = 0
（↓），（↑），（↑）
45,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：因反对称，wC = 0
取AC段悬臂梁为基本系统，C处只有反对称内力FSC
（↑），（）
（↓），（）
46,图示超静定梁A端固定，B端固结于可沿铅垂方向作微小移动，但不可转动的定向支座上。梁弯曲刚度EI为常量，试求挠度wB值。
解：去B支座，以悬臂梁AB为基本系统，θB = 0
（）
（↓）
47,图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B下沉Δ后，梁支座B处约束力。
解,取悬臂梁AB为基本系统，wB =Δ，θB = 0
（↓）
（）
另解：由挠曲线反对称，内力一定是反对称，且l/2处有拐点，此处M = 0，挠度
,（↓）
（↑），（）
48,图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B转动φ角后，梁支座的约束力。
解：取悬臂梁AB为基本系统，wB = 0，θB =φ
（↑）
（）
另解：取简支梁AB为基本系统，θA = 0，θB =φ
（）
（）
49,图示悬臂梁自由端B处与45°光滑斜面接触，设梁材料弹性模量E、横截面积A、惯性矩I及线膨胀系数αl已知，当温度升高ΔT，试求梁内最大弯矩Mmax。
解：取AB悬臂梁为基本系统
变形协调关系
即
且 N = FB
,
50,试用积分法求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,
x = 0，θA = 0，C = 0
x = 0，wA = 0，D = 0
联立求解得
（），（↑）
（），（↑）
51,梁挠曲线近似微分方程为，其近似性是,和 。
答：；略去剪力对位移的影响。
52,应用叠加原理求梁的变形及位移应满足的条件是,和 。
答：线弹性；小变形。
53,梁变形中挠度和转角之间的关系为 。
答：
54,等截面纯弯曲梁变形的挠曲线为 曲线，其曲率与外力偶矩间关系为 。
答：圆；。
55,图示简支梁跨中截面C的挠曲线曲率半径为 。
答：
56,一超静定梁受载荷如图示，当梁长l增加一倍，其余不变，则跨中挠度wC增大 倍。
答：15。
1,已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值Me1/Me2为：
(A) Me1/Me2=2； (B) Me1/Me2=3；
(C) Me1/Me2=1/2； (D) Me1/Me2=1/3。
答：(C)
2,外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：
答：(B)
3,简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力FS与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：
(A)；
(B)；
(C)；
(D)。
答：(B)
4,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度（↓）
则截面C处挠度为：
(A)（↓）； (B)（↓）；
(C)（↓）；(D)（↓）。
答：(C)
5,画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：
6,试画出图示梁的挠曲线大致形状。
答：
7,正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种：
(A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；
(C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：(C)
8,试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
答：x=0,w1=0,=0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a，。
9,试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线的大致形状。
答：
10,画出图示各梁的挠曲线大致形状。
答：
11,作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。
答：
12,弯曲刚度为EI的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为l-2a=0.577l。
证：
令外伸端长度为a，内跨长度为2b，，因对称性，由题意有：
得 a3 + 3a2b -2b3 = 0
a3 + a2b + 2a2b -2b3 = 0
a2 + 2ba -2b2 = 0
a = 0.211l
即 l -2a = 0.577l 证毕。
13,等截面悬臂梁弯曲刚度EI为已知，梁下有一曲面，方程为w = -Ax3。欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。
解：
FS(x) = -6EIA
x=l,M = -6EIAl
F=6EIA（↑），Me=6EIAl（）
14,变截面悬臂梁受均布载荷q作用，已知q、梁长l及弹性模量E。试求截面A的挠度wA和截面C的转角θC。
解：
由边界条件得
（↓）,（）
15,在刚性圆柱上放置一长2R、宽b、厚h的钢板，已知钢板的弹性模量为E。试确定在铅垂载荷q作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l及其中之最大应力。
解：钢板与圆柱接触处有
故
16,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠曲线方程。
解：
（↓）
17,图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。试用积分法求力F作用处点A下降的位移。
解：
（↓）
18,简支梁上自A至B的分布载荷q(x)=-Kx2，K为常数。试求挠曲线方程。
解：
二次积分
x=0,M=0,B=0
x=l,M=0,
x=0,w=0,D=0
x=l,w=0,
（↓）
19,弯曲刚度为EI的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y=Kx3。现在梁B端作用一集中力，如图示。当F力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段梁将与刚性水平面接触。若作用力为F，试求：
（1）梁与水平面的接触长度；
（2）梁B端与水平面的垂直距离。
解：(1) 受力前C处曲率，弯矩M(a)1 = 0
受力后C处曲率，弯矩M(a)2 = -F (l - a)
(2) 同理,受力前x1截面处
受力后x1截面处
积分二次
C=0,D=0
20,图示弯曲刚度为EI的两端固定梁，其挠度方程为
式中A、B、C、D为积分常数。试根据边界条件确定常数A、B、C、D，并绘制梁的剪力FS、弯矩M图。
解：x = 0，w = 0，D = 0
代入方程
21,已知承受均布载荷q0的简支梁中点挠度为，则图示受三角形分布载荷作用梁中点C的挠度为wC= 。
答：（↓）
22,试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA。
解：
（↓）
23,试求图示梁BC段中点的挠度。
解：
（↓）
24,已知梁的弯曲刚度EI。试用叠加法求图示梁截面C的挠度wC。
解：
（↓）
25,已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求图示梁B截面的挠度和转角。
解,（↓）
（）
26,试用叠加法求图示简支梁跨度中点C的挠度。
解：
（↓）
27,试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C的挠度。
解：
（↓）
28,已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为，用叠加法求图示梁中点C的挠度。
解,（↓）
29,弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A端的转角θA。
解：
（）
30,弯曲刚度为EI的等截面梁受载荷如图示，试用叠加法计算截面C的挠度wC。
解：（↓）
31,如图所示两个转子，重量分别为P1和P2，安装在刚度分别为EI1及EI2的两个轴上，支承轴是A、B、C、D四个轴承。B、C两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一起。如果四个轴承的高度相同，两根轴在B、C处连接时将出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将A处轴承抬高，试求抬高的高度。
解,,
点A抬高的高度为
32,图示梁AB的左端固定，而右端铰支。梁的横截面高度为h，弯曲刚度为EI，线膨胀系数为，若梁在安装后，顶面温度为t1，底面温度为t2（t2＞t1），试求此梁的约束力。
解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为
由A处边界条件得
而
33,图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。两种材料的弹性模量分别为E1与E2。线膨胀系数分别为与，并且＞。试求温度升高t℃时在B端引起的挠度。
解：＞，梁上凸下凹弯曲
平衡条件 FN1 = FN2 = FN
M1 + M2 = FNh
变形协调 θ1 =θ2，
ε1 =ε2，即ε1N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t
得
其中 A1 = A2 = bh，I1 = I2 =
则 FN1 = FN2 =
M1 =
M2 =
故
34,单位长度重量为q，弯曲刚度为EI的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的一端伸出水平面一小段CD，若伸出段的长度为a，试求钢条抬高水平面BC段的长度b。
解,
35,图示将厚为h = 3 mm的带钢围卷在半径R = 1.2 m的刚性圆弧上，试求此时带钢所产生的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E = 210 GPa，屈服极限= 280 MPa，为避免带钢产生塑性变形，圆弧面的半径R应不小于多少？
解：MPa,
,R = 1.12 m
36,一悬臂梁受分布载荷作用如图示，荷载集度，试用叠加原理求自由端处截面B的挠度wB，梁弯曲刚度EI为常量。
解：
（↑）
37,试用叠加法求图示简支梁跨中截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：
（↓）
38,试求图示超静定梁截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,取悬臂梁为基本系统，wB = 0
，
（↑）
（↓）
39,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：取悬臂梁为基本系统，wB = 0
（↑），（↑），（）
40,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,去C支座，取简支梁AB为基本系统
，（↑）
（↑），（↑）
41,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,去C支座，取简支梁AB为基本系统
，（↑）
（↑），（↓）
42,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
wC = 0，（↑），（↑）
利用对称性取C端固定，以AC段悬梁比拟作基本系统，wA = 0
，（↑）
43,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
（↓）
（↑）
wC = 0，（↑）
（↑）
另解：因对称性，取C处固定的AC悬臂梁为基本系统，wA = 0
，（↑），（↑）
44,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：去A支座，以外伸梁为基本系统，wA = 0
（↓），（↑），（↑）
45,试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：因反对称，wC = 0
取AC段悬臂梁为基本系统，C处只有反对称内力FSC
（↑），（）
（↓），（）
46,图示超静定梁A端固定，B端固结于可沿铅垂方向作微小移动，但不可转动的定向支座上。梁弯曲刚度EI为常量，试求挠度wB值。
解：去B支座，以悬臂梁AB为基本系统，θB = 0
（）
（↓）
47,图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B下沉Δ后，梁支座B处约束力。
解,取悬臂梁AB为基本系统，wB =Δ，θB = 0
（↓）
（）
另解：由挠曲线反对称，内力一定是反对称，且l/2处有拐点，此处M = 0，挠度
,（↓）
（↑），（）
48,图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B转动φ角后，梁支座的约束力。
解：取悬臂梁AB为基本系统，wB = 0，θB =φ
（↑）
（）
另解：取简支梁AB为基本系统，θA = 0，θB =φ
（）
（）
49,图示悬臂梁自由端B处与45°光滑斜面接触，设梁材料弹性模量E、横截面积A、惯性矩I及线膨胀系数αl已知，当温度升高ΔT，试求梁内最大弯矩Mmax。
解：取AB悬臂梁为基本系统
变形协调关系
即
且 N = FB
,
50,试用积分法求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解,
x = 0，θA = 0，C = 0
x = 0，wA = 0，D = 0
联立求解得
（），（↑）
（），（↑）
51,梁挠曲线近似微分方程为，其近似性是,和 。
答：；略去剪力对位移的影响。
52,应用叠加原理求梁的变形及位移应满足的条件是,和 。
答：线弹性；小变形。
53,梁变形中挠度和转角之间的关系为 。
答：
54,等截面纯弯曲梁变形的挠曲线为 曲线，其曲率与外力偶矩间关系为 。
答：圆；。
55,图示简支梁跨中截面C的挠曲线曲率半径为 。
答：
56,一超静定梁受载荷如图示，当梁长l增加一倍，其余不变，则跨中挠度wC增大 倍。
答：15。
